7 -Triângulos - elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órtico

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DESENHO 
GEOMÉTRICO
Tiago Giora
Triângulos: elementos, 
construções, pontos 
notáveis e triângulos órticos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Descrever os elementos e as características dos triângulos.
  Construir triângulos utilizando instrumentos de desenho.
  Reconhecer os pontos notáveis e triângulos órticos em triângulos.
Introdução
Os triângulos são formas geométricas estáveis e rígidas que apresentam 
três vértices e uma base. São figuras de grande importância histórica 
nos campos da matemática, astronomia, arquitetura e arte, estudadas e 
utilizadas por civilizações antigas, como a egípcia, a babilônica e a grega. 
O triângulo é o menor entre os polígonos e admite uma circunferência 
inscrita e circunscrita em seu perímetro.
Neste capítulo, você vai estudar as classificações de triângulos de 
acordo com seus lados e ângulos, as operações gráficas executadas a 
partir da forma do triângulo e os elementos e pontos notáveis como 
incentro, circuncentro, baricentro e ortocentro, além dos instrumentos 
utilizados para desenhá-los.
Elementos e características dos triângulos
Dentre os polígonos, os triângulos se destacam e são de fundamental importância 
para o desenho geométrico por apresentarem uma série de propriedades especí-
fi cas. O triângulo é o polígono que apresenta o menor número de lados e resulta 
da interligação de três segmentos de reta consecutivos e não colineares. Para que 
três segmentos de reta, AB, BC e AC, formem um triângulo, é necessário que:
AB + BC > AC
AB − BC < AC
A forma e o tamanho de um triângulo ficam determinados quando se 
conhecem os tamanhos de pelo menos três dos seus elementos — lados, ân-
gulos, medianas, alturas, razão entre dois lados, etc. —, sendo que um desses 
elementos conhecidos deve ser um comprimento, conforme lecionam Albrecht 
e Oliveira (2013). A Figura 1 apresenta os elementos notáveis dos triângulos.
Figura 1. Elementos notáveis do triângulo. 
Fonte: Adaptada de triangulo-divisoes.png ([2018]).
  Altura: medida da reta imaginária que faz ângulo de 90° com a base e vai até o 
seu vértice oposto.
  Bissetriz: reta que divide o ângulo pela metade.
  Mediana: segmento de reta imaginário que conecta o vértice ao ponto médio 
do lado oposto a ele.
  Mediatriz: reta que passa pelo ponto médio de um segmento fazendo ângulo 
de 90° com este.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos2
Quando combinamos as informações de medidas de lados e ângulos de 
um triângulo, obtemos uma figura estável e rígida. Não é possível construir 
dois triângulos diferentes a partir das mesmas medidas; trata-se de uma fi-
gura plana indeformável. Por isso utilizamos o termo “triangular” para fazer 
referência ao processo de obtenção ou de conferência de medidas por meio 
do desenho de triângulos.
Um exemplo de triangulação de medidas pode ser observado quando se 
faz o levantamento métrico de um espaço construído: depois de medir duas 
paredes ou a distância entre dois pilares, verifica-se o ângulo e a precisão 
dessas medidas por meio do traçado de uma diagonal, que também é medida 
fechando-se um triângulo, conforme mostra a Figura 2.
Figura 2. Levantamento métrico e triangulação de medidas.
Fonte: Imagem... [2018]).
A Figura 2 mostra um esboço de planta baixa em que algumas paredes 
da edificação não são ortogonais. Assim, para garantir a correção das me-
3Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
didas de paredes e os seus ângulos de inclinação, a pessoa responsável pelo 
levantamento tirou as medidas das paredes e, além disso, mediu as diagonais, 
desenhando triângulos imaginários nessa planta. Combinando essas medidas 
e sabendo que, para cada três medidas de lados, apenas um triângulo pode 
ser desenhado, garante-se que as paredes levantadas terão os seus ângulos e 
medidas em correspondência com a realidade.
Os triângulos podem ser classificados quanto aos seus lados ou ângulos, 
conforme mostra a Figura 3.
Figura 3. Tipos de triângulo.
Fonte: Adaptada de udaix/Shutterstock.com.
Portanto, quanto aos lados:
  Equilátero — possui lados iguais.
  Isósceles — possui dois lados iguais.
  Escaleno — possui lados desiguais.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos4
E quanto aos ângulos:
  Retângulo — possui dois ângulos agudos e um ângulo reto.
  Acutângulo — possui três ângulos agudos.
  Obtusângulo — possui um ângulo maior do que 90º.
Mesmo sabendo que o triângulo é uma figura fechada, devemos sempre lembrar que, 
na sua definição, ele não se configura como uma área de superfícies — pelo contrário, 
os seus elementos constitutivos são três segmentos de reta e três pontos. Ou seja, um 
triângulo é diferente de um plano triangular.
A noção intuitiva de plano apoia-se na ideia de superfícies como um quadro ou uma 
parede. O plano é uma figura ideal e deve-se entendê-lo como formado por infinitos 
pontos — ou seja; ele é aberto e infinito. A identificação do plano é dada por letras 
minúsculas do alfabeto grego: α, β, δ, Φ, ψ, etc.
A construção de triângulos utilizando 
instrumentos de desenho
Lápis, régua, esquadros e compasso são os instrumentos básicos para trabalhar 
com desenho geométrico. Para a construção de triângulos, normalmente 
iniciamos com o desenho do segmento de reta que defi ne sua base e, então, 
defi nimos os outros dois lados a partir dos ângulos formados com esta, ou 
triangulamos suas medidas com o uso do compasso.
Abaixo podemos analisar três exemplos que ilustram maneiras diferentes 
de desenhar um triângulo equilátero e nos mostram como a prática do desenho 
geométrico permite que o desenhista encontre soluções variadas para um 
problema, desde que conheça a lógica geral da geometria plana.
1. Construir um triângulo equilátero de lado ⎯ AB = 3 cm usando somente 
a régua e o par de esquadros.
 ■ 1º passo: Traçar o lado – AB = 3cm.
 ■ 2º passo: Posicionar os esquadros de forma a obter, a partir de A 
e B, ângulos de 60º, cruzando-os e obtendo-se o ponto C (vértice 
oposto à base AB).
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2. Construir um triângulo equilátero de lado ⎯ AB = 3cm utilizando régua 
e compasso (Figura 4).
 ■ 1º passo: Traçar o lado ⎯ AB = 3cm.
 ■ 2º passo: Abrir o compasso com a distância ⎯ AB e colocar a sua 
ponta seca em A, traçando um arco a partir de B. Com a ponta seca 
em B e a mesma abertura, traçar um arco a partir de A, encontrando, 
assim, o ponto C; assim é possível ligar os pontos e definir o triângulo 
desejado.
Figura 4. Desenho com instrumentos. 
Fonte: Adaptada de 4.jpg ([2018]).
3. Construir um triângulo equilátero inscrito, sendo dada a circunferência 
de raio = 1,25 cm (Figura 5). 
 ■ 1º passo: Traçar a circunferência e o seu diâmetro.
 ■ 2º passo: Com a ponta seca do compasso em uma das extremidades 
do diâmetro e abertura igual ao raio, traçar um arco cruzando a cir-
cunferência duas vezes, definindo-se, assim, os dois pontos (vértices) 
que geram o triângulo.
 ■ 3º passo: Por fim, ligam-se os pontos e define-se o triângulo.
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos6
Figura 5. Desenho com instrumentos, a partir de uma circunferência.
Fonte: Adaptada de Bola (2012).
Aplicação no design
No design de interiores, o uso de triângulos é normalmente associado com 
a criação de superfícies — pisos, ladrilhos ou estampas. Por formar ângulos 
mais agudos do que as outras formas planas perfeitas, o triângulo é menos 
utilizado na defi nição de áreas e compartimentações. A prevalência do ângulo 
reto, que, via de regra, defi ne espaços retangulares, tem conexão com as 
formas do corpo humano. Portanto, no design de mobiliário, os triângulos 
podem aparecer como fi gura defi nidora de posições do corpo, mas raramente 
são construídos como partes do mobiliário que interagem diretamente com 
as noções de conforto e ergonomia.
Na Figura 6,podemos observar um exemplo de como a definição de triân-
gulos pode auxiliar o designer nos projetos de leiaute de interiores.
7Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
Figura 6. Aplicação de triângulos no leiaute de interiores. 
Fonte: Adaptada de 2011-06-09_112308.png ([2011]).
O caráter simbólico dos triângulos
Paralelamente às questões do desenho e da geometria como conhecimentos ligados 
à matemática, podemos olhar para as muitas e profundas significações simbólicas 
atribuídas ao triângulo ao longo da história de diferentes culturas.
No cristianismo, o triângulo equilátero é vinculado à Santa Trindade e serviu como 
elemento de composição pictórica para artistas, sobretudo na Idade Média e no Renas-
cimento, que tinham como intenção vincular a percepção das imagens representadas 
na arte com as relações hierárquicas estabelecidas no evangelho. Em culturas menos 
figurativas, como na Mesopotâmia e no Egito, o triângulo equilátero é muitas vezes 
interpretado como seta, com o seu vértice apontando para o Sol, fazendo referência à 
divindade atribuída a ele e à conexão entre a Terra e o plano superior. Além disso, por 
ser a figura geométrica fechada com menor número de lados, o triângulo configura 
uma ponta mais aguda do que em outras figuras — quanto maior o número de lados 
de uma figura plana regular, mais obtuso o ângulo formado por esses lados, tendendo à 
circunferência. Portanto, o triângulo tem sido usado como símbolo fálico, em oposição 
ao feminino e à maternidade, representados pelo círculo (NUNES E FAINGUELERNT, 2015).
Fonte: image.jpg ([2018].
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos8
Pontos notáveis e triângulos órticos 
em triângulos
Além de seus vértices e lados, os triângulos carregam consigo outros pontos, 
formas inscritas, circunscritas e interseções, que têm sido estudados desde 
as origens da geometria. Esses pontos e relações notáveis são descritos aqui 
com o intuito de aprofundar a análise da forma dos triângulos e investigar suas 
interações com outras aplicações do desenho geométrico. Para entender e ser 
capaz de aplicar o conhecimento dos pontos notáveis do triângulo, deve-se 
ter em mente as operações de traçado de bissetrizes, mediatrizes, medianas 
e alturas, conceitos descritos anteriormente neste capítulo.
  Incentro do triângulo — é o centro da circunferência inscrita no tri-
ângulo. Esse ponto é a intersecção das bissetrizes dos ângulos internos 
do triângulo (Figura 7).
Figura 7. Incentro do triângulo.
Fonte: 1200px-Inradius.svg.png ([2018]).
  Circuncentro do triângulo — é o centro da circunferência circunscrita 
no triângulo. Esse ponto é a intersecção das mediatrizes dos lados do 
triângulo (Figura 8).
9Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
Figura 8. Circuncentro do triângulo. 
Fonte: Circuncentro_en_triángulo_acutángulo.png ([2018]).
  Baricentro ou centro de gravidade do triângulo — é a intersecção 
das medianas do triângulo (Figura 9).
Figura 9. Baricentro do triângulo. 
Fonte: Adaptada de bari.jpg ([2018]).
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos10
  Ortocentro do triângulo — é a intersecção das alturas do triângulo 
(Figura 10).
Figura 10. Ortocentro. 
Fonte: 279px-Altitudes_and_orthic_triangle_SVG.svg.png ([2018]).
Ao unirmos os pés dessas alturas, obtemos um novo triângulo, denominado 
triângulo órtico, justamente por ser obtido a partir da construção do ortocentro. 
Assim, chama-se órtico um triângulo ABC qualquer cujos vértices são os pés 
das alturas do triângulo ABC.
O ortocentro existe em qualquer triângulo, seja ele acutângulo, obtu-
sângulo ou retângulo. No entanto, o triângulo órtico só existe no triângulo 
acutângulo e no triângulo obtusângulo, pois no triângulo retângulo os pés 
das três alturas coincidem em um mesmo ponto, que é o vértice do triângulo 
que contém o ângulo reto. Todo triângulo não retângulo possui um único 
triângulo órtico. Porém, um mesmo triângulo órtico pode ser obtido de 
quatro triângulos diferentes: um acutângulo e três obtusângulos, conforme 
mostra a Figura 11.
11Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos
Figura 11. Triângulos órticos iguais obtidos de quatro triângulos diferentes. 
Fonte: Figura3_triangulos_orticos.png ([2018]).
A figura acima mostra os quatro triângulos que possuem o mesmo triângulo 
órtico. Note que o triângulo acutângulo ABC contém os outros três triângulos 
obtusângulos; por esse motivo, o triângulo acutângulo é denominado triângulo 
fundamental do triângulo órtico. As alturas de um triângulo acutângulo são 
as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo órtico, conforme leciona 
Kilhian (2015). 
Triângulos: elementos, construções, pontos notáveis e triângulos órticos12
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Leituras recomendadas
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JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. Florianópolis: UFSC, 2000.
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