Livro_Introdução à Física Quântica_v_16set2022

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Introdução à 
FÍSICA QUÂNTICA 
Lev Vertchenko 
Larissa Vertchenko 
 
 
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“Uma das alegrias de ser estudante de Física consiste na condição de se apreciar a beleza desta 
teoria e os monumentais avanços que ela nos permite fazer em nossa compreensão das 
propriedades da matéria”. 
Stephen Gasiorowicz 
 
 
Os autores deste livro em frente à entrada do Instituto Niels Bohr, da Universidade de 
Copenhagen, onde Larisa Vertchenko trabalha, e diante da escrivaninha de Niels Bohr, em seu 
escritório (julho de 2022). 
 
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SUMÁRIO pág. 
Capítulo 1 – INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 3 
Capítulo 2 – UM MUNDO DIFERENTE ...................................................................................... 6 
Capítulo 3 - EVOLUÇÃO DAS IDÉIAS: UM RESUMO MUITO BREVE ......................................... 13 
Capítulo 4 - A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER ........................................................................... 25 
Capítulo 5 - A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO .............................. 36 
Capítulo 6 - A NOTAÇÃO DE DIRAC ......................................................................................... 55 
Capítulo 7 - SISTEMAS DE DOIS NÍVEIS .................................................................................... 65 
Capítulo 8 - O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO .................................................................................. 80 
Capítulo 9 – SPIN ...................................................................................................................... 86 
Capítulo 10 - DESCRIÇÃO QUÂNTICA DO EXPERIMENTO DE INTERFERÊNCIA ......................... 94 
Apêndice – SOLUÇÕES DAS QUESTÕES .................................................................................. 106 
 
 
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CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO 
 
O presente material surgiu da organização das notas de aulas que um dos autores, Lev 
Vertchenko, elaborou para lecionar a disciplina “física quântica” a estudantes de licenciatura em 
física da PUC-Minas, desde a primeira turma do curso. Posteriormente o trabalho foi enriquecido 
com a contribuição da sua filha, Larissa Vertchenko, que se deparou com o desafio de abordar 
conteúdos da teoria quântica com estudantes de áreas tecnológicas na Universidade Técnica da 
Dinamarca (DTU). 
Geralmente, estudantes de licenciatura em física contam em seu currículo com apenas um 
semestre de física quântica, enquanto no bacharelado costumam ser ofertados dois semestres. 
É consenso que, mesmo contemplando essa disciplina com uma carga curricular extensa, a 
assimilação da mesma é lenta e difícil. Quais as razões de ser desejável que estudantes de 
licenciatura em física tenham uma disciplina de física quântica? Podemos afirmar que, sem 
sombra de dúvida, a verdadeira revolução da física no século 20 deu-se com a física quântica e 
seu formalismo, que constitui a mecânica quântica. A teoria da relatividade especial, que 
usualmente também se abriga debaixo do guarda-chuva da física moderna, é na verdade um 
apêndice à teoria eletromagnética de Maxwell. Assim, ignorar a física quântica é viver somente 
com a física até o século 19. Toda a microeletrônica da qual usufruímos é fundamentada pela 
física quântica. É impossível filosofar hoje em dia desconhecendo-se as implicações da física 
quântica para as noções de realidade. Ciências que se ocupam da mente discutem o seu possível 
papel na explicação de fenômenos mentais. Isso tudo justifica a pressão que se faz para que as 
ideias quânticas sejam apresentadas antecipadamente, no ensino médio. Como participar da 
seleção de seus conteúdos desconhecendo-a? 
Acreditamos que o nosso trabalho também possa beneficiar estudantes de áreas técnicas que 
necessitem conteúdos de física quântica, como a engenharia eletrônica ou a ciência dos 
materiais, cujos currículos, dando ênfase, naturalmente, às suas aplicações, não disponibilizam 
carga horária ao entendimento do seu formalismo. 
Em língua portuguesa existem excelentes livros voltados ao tratamento conceitual da física 
quântica, como os “Conceitos de Física Quântica”, volumes 1 e 2, de Osvaldo Pessoa Jr., ricos 
em referências sobre o assunto, e o “Quem tem medo da Física Quântica”, de Ramayana 
Gazzinelli, professor do qual um de nós teve o privilégio de ser aluno na década de 1980. No 
entanto, uma leitura proveitosa dos “Conceitos de Física Quântica” exige algum domínio do 
formalismo da teoria, assim como alguma maturidade filosófica. Concordamos com o Prof. 
Ramayana quando ele afirma no prefácio do seu livro: “Muitos conceitos da mecânica quântica 
só podem ser compreendidos por meio de seu formalismo matemático, que infelizmente não 
pode ser substituído por palavras...” 
Em sua espetacular obra “Lições de Física”, Richard Feynman coloca a seguinte questão: por que 
não podemos apresentar inicialmente todas as leis ou equações fundamentais da física e a seguir 
simplesmente não nos ocuparmos de deduzirmos as suas consequências ou aplicações? A 
resposta é que essas leis ou equações demandam tempo e pré-requisitos ao seu entendimento. 
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Essa é uma das razões da disciplina física quântica ser oferecida ao final da graduação: é 
desejável que o aluno já esteja familiarizado com a física ondulatória, com os números 
complexos e com as álgebras linear e vetorial para ancorar o formalismo da mecânica quântica. 
A outra razão, acreditamos, é o grau de abstração exigido: estranhas ondas associadas ao cálculo 
de probabilidade, grandezas físicas associadas a operadores, a generalização do espaço vetorial 
de forma a abrigar a descrição dos estados quânticos, etc. 
Não é pretensão dessas notas a substituição dos muitos excelentes livros de mecânica quântica, 
mas eles normalmente se destinam a uma carga horária muito superior à das licenciaturas. Além 
disso, temos percebido que o estudante costuma submergir em seus cálculos, sobretudo no 
tratamento dos potenciais quânticos e do átomo de hidrogênio, sem perceber que a teoria 
quântica, na verdade, se resume a umas poucas regras de álgebra linear. A percepção de que a 
essência da mecânica quântica está nessas poucas regras é o objetivo destas notas, onde se 
procura antecipar o uso elegante da notação de Dirac e da expressão de operadores por 
matrizes. Não nos demoraremos aqui com os potenciais quânticos e nem nos deteremos com o 
átomo de hidrogênio, assuntos que se encontram muito bem tratados nos diversos livros de 
mecânica quântica. Apesar do material, obviamente, por seu caráter introdutório, se ocupar da 
mecânica quântica não-relativística, o seu formalismo pode, com os cuidados adequados, ser 
estendido também para a descrição quântica de fenômenos luminosos, como a polarização da 
luz. Os “cuidados adequados” significam que interação do fóton com o material não desce ao 
nível mais fundamental, já que este exige a teoria da eletrodinâmica quântica, que foge aos 
propósitos dessas notas. Assim, a ausência de alguns conteúdos que são tradicionalmente 
abordados em textos introdutórios é compensada, de certa forma, pelo tratamento quântico da 
luz. Filtros polarizadores de luz são encontrados com facilidade, inclusive os de polarização 
elíptica (próxima da circular) como os usados nos óculos do cinema 3D. Estes filtros permitem 
que se façam experiências simples, em sala de aula, que ilustram na prática as previsões 
estatísticas do formalismo da mecânica quântica. Também não nos deteremos em discussões 
acerca das interpretações da mecânica quântica, para as quais remetemos o leitor aos já 
mencionados livros de Osvaldo Pessoa. Ao contrário, procuraremos nos nortear pela filosofia de 
Feynman, quando ele coloca que uma vez conhecidas as “regras do jogo”,vamos ver o quão 
longe podemos chegar com elas na explicação dos fenômenos físicos. A propósito do Feynman, 
faremos aqui adaptações da sua frutífera abordagem de sistemas de dois níveis. Apesar do 
mesmo usar a notação de Dirac, achamos que algumas coisas em seus textos podem ser 
simplificadas com as regras de álgebra linear que acompanham a notação. Assimilados os 
conteúdos expostos nessas notas, acreditamos que o estudante-leitor poderá alçar voos mais 
altos dentro da mecânica quântica não-relativística, podendo ser atraído às maiores altitudes, 
como o interessante livro “Quantum Paradoxes”, de Aharonov e Rohrlich. A exposição dos 
conteúdos dar-se-á em meio a atividades propostas na forma de questões constituídas de 
exercícios e problemas. Usamos esta estratégia como tentativa de se quebrar uma leitura 
passiva do material, em acordo com o que a psicopedagogia tem redescoberto, ou seja, a 
importância de se fazer anotações durante a leitura. É importante frisar que estas atividades 
não são apenas coadjuvantes da leitura, mas fazem parte do corpo principal das notas, e 
frequentemente a solução destas é pré-requisito para a exposição seguinte. Sugerimos ao 
estudante sempre tentar inicialmente resolver as questões por conta própria, sendo que as 
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soluções estão disponibilizadas em material complementar. Disponibilizadas as soluções para os 
problemas mais complexos, as respectivas questões podem ser abordadas como “exemplos 
resolvidos”. 
No capítulo 2 fazemos uma descrição qualitativa do fenômeno de interferência, enfatizando os 
conceitos de “experimento corpuscular” e “experimento ondulatório”, contidos no princípio da 
complementaridade de Bohr. O capítulo termina com a apresentação do chocante experimento 
das bombas de Elitzur-Vaidman, com a intenção de mostrar que o mundo quântico é 
completamente diferente ao mundo com o qual os estudantes estão acostumados. 
No capítulo 3 fazemos uma muito breve apresentação das principais ideias na evolução em 
direção à mecânica quântica com a qual trabalhamos hoje. 
No capítulo 4 nos inspiramos na mecânica ondulatória de Hamilton-Jacobi para mostrar que a 
equação de Schrödinger é natural se procuramos associar ondas a partículas. É desejável que o 
estudante tenha noções da síntese (e análise) de Fourier. 
No capítulo 5 a equação de Schrödinger independente do tempo é obtida e mostramos como 
ela deve ser usada no tratamento dos potenciais quânticos. 
No capítulo 6 introduzimos a notação de Dirac, esforçando-nos em mostrar a semelhança dos 
estados quânticos com os vetores aos quais os estudantes encontram-se familiarizados, e 
mostramos a expressão dos operadores por meio de matrizes. Ali aplicamos essa notação à 
descrição quântica dos fenômenos de polarização da luz. 
No capítulo 7 aplicamos o formalismo já alcançado no tratamento de um sistema de dois níveis, 
exemplificado pelo dipolo elétrico da molécula de amônia. Apesar de claramente baseado no 
texto de Feynman, procuramos simplificar algumas passagens com o uso do formalismo 
desenvolvido no capítulo anterior. A interação dessa molécula com o campo elétrico oscilante 
de uma onda eletromagnética permite entender o processo de emissão estimulada do LASER e 
a regra de transição entre níveis de energia pela absorção de um fóton, postulada por Bohr. 
No capítulo 8 abordamos a equação de Schrödinger em três dimensões para obter propriedades 
do operador momento angular e mostramos, de forma bastante resumida, como essa equação 
leva aos orbitais do elétron no átomo de hidrogênio. 
No capítulo 9 apresentamos o spin do elétron, enfatizamos a sua semelhança com o operador 
momento angular e procuramos justificar a necessidade de se usar as matrizes de Pauli na sua 
descrição. 
Tendo iniciado o nosso trabalho com a discussão dos aspectos quânticos do experimento de 
interferência, a ele retornamos no capítulo 10 para, já munidos do formalismo necessário, 
rediscuti-lo dentro dos quadros da mecânica quântica, concluindo o trabalho. 
 
6 
 
CAPÍTULO 2 – UM MUNDO DIFERENTE 
 
Neste capítulo pretendemos mostrar, qualitativamente, que a física quântica nos apresenta um 
mundo completamente diferente daquele ao qual estamos acostumados. Para isso é 
conveniente abordarmos o experimento de interferência em uma perspectiva quântica. Bem 
adiante, no capítulo 10, voltaremos a esse assunto, porém já munidos de um instrumental que 
permitirá uma descrição formal, quântica, do experimento. O capítulo 1 do volume 3 das “Lições 
de Física” de Feynman proporciona um excelente texto sobre esse assunto. Nele, Richard 
Feynman, inclusive, afirma que toda a essência da física quântica já está contida nesse 
experimento. Com o objetivo de proporcionar o desapego das ideias clássicas no tratamento 
dos fenômenos quânticos, faremos um “tratamento de choque”, ao concluirmos o presente 
capítulo com o experimento das bombas de Elitzur-Vaidman. 
 
2.1. Um pouco de ótica física 
A ótica geométrica, lidando com o conceito de raio luminoso, é capaz de explicar os fenômenos 
da reflexão e refração. No entanto, ela é incapaz de descrever os fenômenos da interferência e 
difração, que exigem tratar a luz como onda, no que constitui a ótica física. O conceito de raio 
aparece aqui como a direção perpendicular à frente de onda, constituída pelo conjunto de 
pontos da onda que estão em uma mesma fase, como ao longo de uma mesma crista. Por 
exemplo, ondas planas, em que as cristas são paralelas, correspondem a um feixe de raios 
paralelos. 
Antes de partirmos para a abordagem quântica, vamos rever a descrição clássica do 
experimento de interferência de duas fendas, primeiramente realizado por Thomas Young em 
1801. O arranjo experimental utilizado é esquematizado na figura 2.1.a, onde uma fonte de luz 
incandescente ilumina um anteparo com um minúsculo orifício, que tem como objetivo 
proporcionar coerência à luz que atravessa as duas fendas. Dizemos que duas fontes são 
perfeitamente coerentes se as ondas eletromagnéticas provenientes das mesmas mantêm uma 
diferença de fase constante entre si ao longo do tempo. Fontes incandescentes são ditas 
incoerentes por difundirem frentes de ondas aleatórias sem relação entre si. No anteparo que 
serve de tela observamos a distribuição da intensidade luminosa, que é a potência luminosa por 
unidade de área, constituindo um padrão de interferência, contendo franjas claras e escuras. As 
franjas claras resultam de uma interferência construtiva, onde as cristas das ondas se somam, 
enquanto nas franjas escuras ocorre o encontro de cristas com vales, resultando em 
interferência destrutiva. Na abordagem do experimento pela física ondulatória clássica 
primeiramente combinamos (somamos) o campo elétrico da onda eletromagnética proveniente 
de cada fenda para depois calcularmos a intensidade na tela, que é proporcional ao quadrado 
do campo elétrico resultante em cada ponto. Assim, os máximos de intensidade ocorrem 
quando a diferença entre os caminhos das fendas à tela constituir um número inteiro de 
comprimentos de onda, enquanto para os mínimos a diferença entre os caminhos deve ser igual 
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a um número ímpar de meios comprimentos de onda. A figura 2.1.b ilustra o padrão de 
interferência observado. 
 
Figura 2.1. (a) Esquema do arranjo da experiência de fendas duplas de Young com fonte de luz 
incoerente, onde as linhas sólidas marcam o encontro de duas cristas, promovendo interferência 
construtiva. (b) Padrão de interferência observado na tela adiante. 
 
Atualmente é muito fácil dispormos de um LASER (sigla de light amplification 
by stimulated emission of radiation), como os apontadores de apresentações, para 
reproduzirmos esse experimento. LASERs foram disponibilizados a partir da década de 1960. O 
processo de emissão estimulada da radiação proporciona um feixe de luz capaz de iluminar de 
forma coerente fendas situadas dentro da sua área transversal.Dessa forma o anteparo com 
orifício anterior às fendas tornou-se desnecessário, bastando iluminá-las com um feixe de LASER 
para se observar em uma tela adiante a figura de interferência. 
 
2.2. Aspectos quânticos do experimento de interferência 
Experimentos de interferência e difração que usam luz constituem assunto da física ondulatória 
clássica, que será revista ao início do capítulo 10. Assim, o que tais experimentos têm a ver com 
a física quântica? 
Experimentos de interferência e difração também podem ser realizados com partículas 
materiais quânticas como elétrons, nêutrons, etc. A atribuição de características ondulatórias a 
tais partículas, tornando-as “quânticas”, é um dos principais aspectos da física quântica. O 
experimento de interferência de duas fendas pode ser realizado enviando-se um feixe de 
baixíssima intensidade em direção às fendas, constituído de luz ou partículas materiais 
quânticas, de forma que apenas uma partícula passe pelas fendas de cada vez e marque um 
ponto na tela de detecção. Não é possível saber onde cada partícula se posicionará 
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individualmente na tela. Essa aleatoriedade presente na física quântica incomodava Einstein, 
que afirmou “Deus não joga dados.” Para ilustrar tal afirmação, vamos supor que seguramos 
sobre a mesa um lápis em posição vertical, apoiado sobre sua própria ponta, e ao soltá-lo ele cai 
em uma direção aleatória. Poderíamos argumentar que essa aleatoriedade poderia ser 
removida se observássemos os detalhes da ponta do lápis ao microscópio, o que nos permitiria 
prever a direção em que ele cai. Algo semelhante deveria acontecer com os sistemas quânticos. 
Ficou famoso o debate entre Einstein, defendendo que a mecânica quântica é incompleta, e 
Bohr, que defendia sê-la, apesar de seus estranhos aspectos, uma teoria completa, parecendo 
sair vitorioso o ponto de vista de Bohr. À medida que o número de partículas detectadas vai 
aumentando, vemos surgir na tela, gradualmente, o padrão de intensidade previsto pela física 
ondulatória clássica e que caracteriza o experimento de interferência (figura 2.2). Como 
garantimos anteriormente que apenas uma partícula passa pelas fendas, temos que descartar a 
hipótese que as partículas se empurram para formar o padrão de interferência. Além disso, as 
partículas não se esparramam, nem se fragmentam, pois seus fragmentos não são detectados. 
Mas, então, quem interfere com quem? A resposta a essa pergunta é o “estado quântico” da 
partícula que sofre interferência. Enquanto a interpretação do estado quântico é dependente 
da filosofia adotada, como mostram os livros “Conceitos de Física Quântica”, de Osvaldo Pessoa 
Jr., o seu significado prático, para propósito de cálculos de previsão estatística, constitui o cerne 
do presente livro. Veremos que o estado quântico nos possibilita fazer uma operação para 
prever as probabilidades de detecção da partícula na tela. E quando o número de partículas 
enviado à tela for grande, devemos ver estas probabilidades coincidirem com o que se espera 
da física ondulatória clássica. Feynman, no primeiro capítulo do volume 3 de seus “Lições de 
Física”, nos apresenta um excelente texto, que é considerado um clássico, sobre os aspectos 
quânticos do experimento de interferência. Ele enfatiza que, se tentamos descobrir por qual 
fenda a partícula passa, o padrão de intensidade característico da interferência é destruído, 
resultando no padrão que se espera quando são usadas partículas clássicas (figura 2.3). Veremos 
no capítulo 10 que basta a informação da trajetória da partícula estar disponível para que o 
padrão de interferência não ocorra. Isto nos leva a classificar os experimentos em duas 
categorias: experimento “ondulatório”, quando ele não permite saber a trajetória da partícula 
e ocorre o padrão de interferência, e experimento “corpuscular”, no qual a trajetória da 
partícula pode ser inferida e não ocorre o padrão de interferência. Com essas definições, o 
“princípio da complementaridade” de Bohr afirma que um experimento é corpuscular, ou 
ondulatório, mas não os dois ao mesmo tempo. Além disso, veremos a seguir que experimentos 
quânticos devem ser considerados em sua totalidade; analisar as partes do experimento 
separadamente e depois adicionar os resultados da análise não leva a resultados corretos. 
 
9 
 
 
Figura 2.2. Formação gradual do padrão de interferência, quando as partículas são lançadas uma 
a uma sobre as fendas. 
 
 
Figura 2.3. Padrão de distribuição das partículas na tela quando a informação da trajetória pode 
ser obtida pelos detectores de trajetória colocados após as fendas. 
 
 
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2.3. O experimento das bombas de Elitzur-Vaidman 
O arranjo da figura 2.4 retrata o interferômetro de Mach-Zehnder. Ele é constituído de dois 
divisores de feixe, semi-refletores, que refletem 50% dos fótons incidentes e transmitem os 
demais, e de dois espelhos, 100% refletores. Os divisores de feixe fazem com que as ondas 
eletromagnéticas que percorrem os dois braços do interferômetro atinjam o detector 1 com a 
mesma fase, em interferência construtiva, enquanto acrescentam uma diferença de fase de π 
entre as ondas que percorrem os dois braços para atingir o detector 2 em interferência 
destrutiva. Assim, todos os fótons que incidem no interferômetro são detectados no detector 1, 
e nenhum é detectado no detector 2. 
 
Figura 2.4. O interferômetro de Mach-Zehnder, constituído pelos semi-espelhos (ou divisores 
de feixe) BS1 e BS2, pelos espelhos M1 e M2, e pelos detectores D1 e D2. Ocorre interferência 
construtiva em D1 e destrutiva em D2. 
 
QUESTÃO 2.1: 
 (a) O experimento que usa o interferômetro de Mach-Zehnder é corpuscular ou ondulatório? 
 (b) Se o segundo divisor de feixe for removido, o experimento passa a ser corpuscular ou 
ondulatório? 
(c) Na ausência do segundo divisor de feixe, qual é a percentagem de fótons que se espera contar 
em cada detector? 
 
 
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Podemos agora discutir o experimento das bombas de Elitzur-Vaidman, que mostra o quanto é 
estranho o mundo da física quântica. Imagine bombas cujo detonador, muito sensível, é 
constituído por um espelho de modo a ser acionado pela reflexão de um único fóton. O 
fabricante dessas bombas não pode garantir que todas as suas bombas funcionem, e um 
especialista em demolições necessita de um conjunto de bombas que todas, sem exceção 
funcionem. É possível imaginar um experimento que permita a obtenção de uma amostra de 
bombas em bom estado, sem que elas explodam? Pensando em termos clássicos, não é: 
equivaleria a testar palitos de fósforo riscando-os. Mas vamos supor que substituímos um dos 
espelhos do interferômetro de Mach-Zehnder pelo espelho do detonador da bomba, como na 
ilustrado na figura 2.5. 
 
Figura 2.5. O interferômetro de Mach-Zehnder com um dos espelhos substituído pelo espelho 
do detonador de uma bomba. 
 
QUESTÃO 2.2: 
(a) Se a bomba está defeituosa, o experimento é corpuscular ou ondulatório? Nesse caso, 
quantos fótons devem ser detectados em cada um dos detectores? 
(b) Se a bomba funciona, o experimento é corpuscular ou ondulatório? 
(c) Se a bomba não explodir e um único fóton for detectado no detector 2, a bomba funcionará 
ou é defeituosa? 
 
Assim, detectando-se um único fóton no detector 2, desligamos a incidência de fótons sobre o 
interferômetro e removemos a bomba, que sabemos funcionará. Obviamente uma fração das 
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bombas explodirá durante a realização do experimento, mas conseguiremos obter uma amostra 
de bombas que teremos a certeza de que funcionarão. Esse experimento mostra que 
experimentos quânticos possuem um caráter holístico, devendo ser considerados em sua 
totalidade. A presença de uma bomba em funcionamento fornece indicação da trajetória do 
fóton e torna o experimento corpuscular, ainda que, estranhamente, nenhum fóton a atinja. 
 
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CAPÍTULO 3 – EVOLUÇÃO DAS IDÉIAS: UMRESUMO MUITO BREVE 
 
A adjetivação “quântica” à física que estamos abordando deve-se à constatação de que 
grandezas que se supunham contínuas, como os valores da energia da partícula e da carga 
elétrica, aparecem como múltiplos de uma quantidade elementar, o quantum. Isto faz com que 
o espectro de valores destas grandezas contenha partes discretas. Estes valores discretos são 
atributos de elementos como elétrons, átomos, moléculas, etc., que fazem com que a própria 
matéria seja vista como discreta em sua constituição. Uma grandeza é chamada de “discreta” 
quando ela pode ser associada a números inteiros, isto é, pode ser contada. Logo, não somente 
a matéria é discreta, como também podem ser suas propriedades. 
No capítulo que abre a sua espetacular coleção “Lições de Física”, Feynman coloca a seguinte 
questão: “Se, em algum cataclisma, todo o conhecimento científico for destruído e só uma frase 
for passada para a próxima geração, qual seria a afirmação que conteria a maior quantidade de 
informação na menor quantidade de palavras?” Ele responde que seria a hipótese atómica, em 
que todas as coisas são feitas de átomos. 
Hoje já nos acostumamos com a ideia do átomo desde o jardim de infância, mas somente no 
século 20 essa ideia passou a ser aceita. 
Na antiga Grécia a hipótese atômica foi proposta por Leucipo e Demócrito com argumentação 
filosófica, para conciliar o conflito entre a essência das coisas, que deveria ser imutável, com a 
multiplicidade das coisas que observamos. Os átomos seriam imutáveis e a multiplicidade 
observada resultaria de combinações diferentes dos mesmos. 
Modernamente, podemos considerar que a hipótese atômica foi proposta em termos científicos 
por Dalton, em 1803, explicando as reações químicas como um rearranjo de átomos. Na física, 
podemos considerar que a hipótese atômica, discretizando a matéria, começa a se estabelecer 
com os trabalhos de Boltzmann e Maxwell para a explicação de propriedades dos gases, como a 
pressão, fazendo uma estatística sobre as moléculas que os constituem, e com a formulação 
estatística da entropia pelo último. (Em 1866 Boltzmann defendeu a “teoria cinética dos gases” 
como tese de doutorado e a sua formulação estatística para a entropia é de 1877. Em 1873 
Maxwell publicou o artigo intitulado “Moléculas”, em que explica a pressão dos gases em termos 
destes constituintes.) Hoje aceitamos como natural a constituição da matéria por átomos e 
moléculas, mas a hipótese atomista teve que esperar pelos trabalhos de Einstein (1905) e 
Smoluchowski (1906) sobre a explicação do movimento browniano para começar a ser aceita. 
Até então predominava o ponto de vista dos energetistas, de que a matéria, assim como a 
energia, era contínua, e Boltzmann foi duramente atacado, cometendo suicídio em uma crise de 
depressão. 
Mas os átomos também revelaram uma estrutura, constituída por elementos ainda menores, as 
partículas subatômicas como os prótons, elétrons e nêutrons. Experimentos de colisões em altas 
energias mostram que os prótons e nêutrons também apresentam uma estrutura, atualmente 
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explicada fazendo uso da combinação de quarks de vários tipos, caracterizados por “cores” e 
“sabores”. 
Em 1897 Thomson mostrou que os raios emitidos por um eletrodo negativo, o catodo, aquecido 
e submetido a uma diferença de potencial elétrico, chamados “raios catódicos”, são constituídos 
por cargas negativas. Esse experimento marcou a descoberta dos elétrons e em 1904 Thomson 
propôs um modelo atômico em que os elétrons se distribuiriam dentro de uma esfera de carga 
positiva como as passas em um pudim. Em 1909, Millikan mostrou que o elétron possui uma 
carga elementar ao equilibrar com a aplicação de um campo elétrico a força gravitacional de 
gotículas de óleo eletrizadas. Posteriormente, bombardeando finas folhas de ouro com 
partículas α, que são núcleos de átomos de Hélio, portanto, cargas positivas, Rutherford 
observou que algumas partículas sofriam desvios muito superiores aos que poderiam ser 
explicados se a carga positiva estivesse uniformemente distribuída nos átomos de ouro, e em 
1911 mostrou que esses desvios poderiam ser explicados se a carga positiva é encontrada em 
um volume que corresponde a uma minúscula fração do volume atômico, o núcleo do átomo. 
É interessante ver como o desenvolvimento posterior do modelo atômico se encontra com o 
desenvolvimento do estudo da luz. Nos livros de física é comum a introdução à teoria quântica 
pelo estudo do modelo de Planck, de 1900, sobre a radiação do “corpo negro”. Estamos 
acostumados com o fenômeno da incandescência, quando corpos a temperaturas altas emitem 
luz. Em fins do século 19, físicos se voltaram ao estudo de fontes de luz de emissão térmica, 
sendo o corpo negro, que é constituído por uma cavidade em um certo meio, com uma pequena 
abertura para o exterior, considerado um emissor térmico ideal. As paredes da cavidade, 
estando a uma certa temperatura, são constituídas de cargas (prótons e elétrons) em agitação 
térmica. Estas cargas em agitação, umas sem compromisso com as demais, emitem uma 
radiação que é rotulada de térmica e que, após um grande número de espalhamentos pela 
parede da cavidade, acaba saindo pela pequena abertura (figura 3.1). A análise da radiância 
espectral da luz que sai pela abertura do corpo negro, isto é, da potência por área da abertura, 
por intervalo de comprimento de onda, revela um perfil como o apresentado na figura 3.2. 
 
 
Figura 3.1. O “corpo negro”. 
 
15 
 
 
Figura 3.2. Perfis da radiância espectral para três temperaturas do corpo negro. 
 
Duas relações associadas a esta radiação eram bem conhecidas: (a) a lei de deslocamento de 
Wien, relacionando o comprimento de onda na qual a emissão é máxima, λm, à temperatura 
absoluta T do corpo emissor através da expressão 
T
m
-3102,8977685 
= (3.1) 
(para λm em unidade de metro), e (b) a lei de Stefan-Boltzmann, relacionando a potência Pbol (em 
todos os comprimentos de onda, chamada de “potência bolométrica” em astrofísica) por área 
A da abertura do corpo negro à temperatura das suas paredes pela expressão 
4T
A
Pbol = , (3.2) 
onde a constante de Stefan-Boltzmann é 428106697,5 −−−= KWm . 
A primeira foi derivada em 1893, através da análise da redistribuição de energia em uma 
cavidade esférica refletora em contração adiabática. Ela implica que o máximo da emissão 
ocorre em comprimento de onda que vai diminuindo quando se aumenta a temperatura do 
corpo emissor, o que pode ser constatado observando-se a mudança de cor de uma barra de 
ferro incandescente. A segunda lei foi obtida experimentalmente por Stefan, em 1879, e 
deduzida teoricamente por Boltzmann, considerando a cavidade do corpo negro preenchida por 
um gás de radiação e usando 1ª lei da termodinâmica. A radiância espectral está relacionada à 
densidade de energia uλ (por intervalo de comprimento de onda dλ em torno de um 
comprimento de onda λ) da radiação na cavidade através de 
16 
 
4
cu
R  = , (3.3) 
onde c é a velocidade da luz no vácuo. 
 
QUESTÃO 3.1: Considerando que dentro da cavidade a radiação é isotrópica, deduza a equação 
3.3. 
QUESTÃO 3.2. A radiação emitida pela camada da estrela chamada fotosfera é considerada 
“termalizada”, podendo a parte “contínua” do seu espectro ser adequadamente descrita pela 
radiação do corpo negro, como mostra a figura 3.3 (a parte contínua apresenta-se “machucada” 
devido às linhas da absorção da luz pelos elementos presentes na atmosfera da estrela). Nesse 
caso, substituindo-se, na equação 3.2, a área do orifício pelo qual sai a radiação pela área 
esférica da superfície da fotosfera pode-se estimar a temperatura dessa camada, que é chamada 
de “temperatura efetiva” da estrela. O disco do Sol que observamos refere-se à fotosfera. 
(a) O fluxo luminoso (bolométrico) proveniente do Sol que atinge a Terra é chamado de 
“constante solar” e vale1360 W/m2. Considere a distância média da Terra ao Sol de 1,5 x 1011 
m e determine a luminosidade (potência luminosa) bolométrica do Sol. 
(b) Sendo o raio do Sol Rʘ = 6,960 x 108 m, determine a sua temperatura efetiva. 
(c) Use a Lei de Wien, dada pela equação 3.1, para estimar o comprimento de onda no qual é 
máxima a emissão do Sol e compare-o com o observado. 
 
 
 
Figura 3.3. A parte contínua do espectro de uma estrela e o seu espectro real. 
 
17 
 
Tratando as ondas eletromagnéticas dentro da cavidade classicamente, como osciladores 
bidimensionais devido aos dois possíveis estados de polarização das ondas, Rayleigh obteve a 
densidade de energia no interior da cavidade, por intervalo de frequências dν em torno da 
frequência ν da radiação, dada por 
 
2
3
8
u kT
c


= , (3.4) 
onde T é a temperatura da parede da cavidade e k é a constante de Boltzmann. Na derivação 
dessa expressão foi calculado o número de possíveis modos de oscilação para o campo 
eletromagnético confinado à cavidade, por unidade de volume e intervalo de frequências dν em 
torno da frequência ν, que é 
2
3
8
n
c


= , (3.5) 
e associada uma energia média de kT a cada modo de oscilação, de acordo com o que se obtém 
quando o teorema da equipartição da energia da termodinâmica é aplicado a um oscilador 
harmônico. A relação assim obtida concorda com o perfil da radiância observado para o corpo 
negro nos comprimentos de onda altos, mas diverge drasticamente nos comprimentos de onda 
baixos. O problema é que o número de modos de oscilação cresce com a diminuição do 
comprimento de onda, fazendo a densidade de energia “explodir” para os modos de alta 
frequência, o que é chamado de “catástrofe do ultravioleta”. 
Planck, bastante envolvido com o problema de se encontrar um modelo que descrevesse a 
radiância espectral do corpo negro, percebeu que ele se ajustaria ao observado se no cômputo 
da energia média para obter a densidade de energia fosse admitido que a energia associada a 
cada modo de oscilação, de frequência ν, assumisse valores quantizados 
...,2,1, == nnhEn  (3.6) 
onde 
346,63 10h J s−=   passou a ser conhecida como constante de Planck. Observem que a 
constante h possui a mesma dimensão do momento angular. 
 
QUESTÃO 3.3: Calcule o momento angular de uma esfera maciça, homogênea, de massa M = 
1,0 kg e raio R = 0,10 m, girando em torno do seu eixo com um período de rotação de T = 0,1 s, 
e compare o resultado com o valor da constante de Planck. 
 
QUESTÃO 3.4: Considere um oscilador macroscópico, constituído por uma partícula de massa 
M = 0,01 kg presa a uma mola de constante elástica k = 16 N/m e oscilando com a amplitude de 
A = 1,0 cm. Calcule a energia deste oscilador e quantos pacotes de energia hν ela contém. 
 
18 
 
Usando-se essa quantização da energia juntamente com a distribuição de probabilidades de 
Boltzmann, a energia média associada a cada modo de oscilação pode ser calculada da seguinte 
maneira: 
/
00
/
0 0
/
nxnh kT
nn
nh kT nx
n n
x h kT
d
enh e
dx
E h
e e







−−
==
 
− −
= =
=
  
  
  = = −
 
 
 

 
 
 Percebendo-se que os somatórios que aparecem nessa expressão são a expansão em série de 
uma função, isto é, que 
0
1
1
n
n
y
y

=
=
−
 , a energia média pode ser reescrita como 
( )
// /
1 1
1
1 1 1
x
x
x x x
x h kTx h kT x h kT
d e
E h e h h
dx e e e

 
  
−
−
− −
== =
     
= − − = =      − − −       , 
ou seja, 
/ 1h kT
h
E
e
 

=
−
 . (3.7) 
Multiplicando-se essa expressão pelo número de modos de oscilação, por unidade de volume e 
intervalo de frequências dν, dado pela equação 3.5, chega-se à densidade de energia obtida por 
Planck, 
3
3 /
8
1h kT
h
u
c e
 
 
=
− 
(3.8) 
que se mostrou impressionantemente adequada para a descrição da radiância espectral de um 
emissor térmico. 
 
QUESTÃO 3.5: A densidade de energia dada pela equação 3.8 é para a frequência ν, dentro de 
um intervalo de frequências dν das ondas eletromagnéticas. Obtenha a densidade de energia 
associada ao comprimento de onda λ, dentro de um intervalo dλ, da radiação do corpo negro, 
u . 
 
QUESTÃO 3.6: Use o resultado do exercício anterior para obter a lei de Wien. 
QUESTÃO 3.7: Use o resultado do exercício anterior para, juntamente com a equação 3.3, obter 
a lei de Stefan-Boltzmann. 
19 
 
 
A energia quantizada deveria ser a dos elementos osciladores da parede da cavidade do corpo 
negro e, portanto, deveria relacionar-se à radiação eletromagnética por eles emitida. Planck 
publicou essa ideia em 1900 e à época ele era aliado dos energetistas que, como vimos, 
mantinham uma contenda com os atomistas, sendo-lhe difícil admitir que a matéria seria 
composta por osciladores elementares e com valores discretos de energia. Assim, ele enxergou 
a quantização da energia do seu modelo apenas como um artifício para ajustá-lo aos dados 
experimentais e não se preocupou com a atribuição desta energia a alguma entidade. No 
entanto, seguiu-se a aplicação frutífera do seu pacote de energia hν a muitas situações 
importantes para o desenvolvimento da mecânica quântica. 
 
Figura 3.4. Arranjo experimental para a observação do efeito fotoelétrico. 
 
No efeito fotoelétrico, a luz transfere energia para os elétrons de um metal, podendo arrancá-
los e fazer com que circule corrente em um circuito aberto, como ilustrado na figura 3.4. Pode-
se aplicar uma diferença de potencial que favoreça ou iniba a circulação da carga. No entanto, 
foi observado por Hertz em 1887 que luz com o comprimento de onda acima de um determinado 
valor, que depende do tipo de metal sobre o qual ela incide, não é capaz de arrancar os elétrons, 
qualquer que seja a sua intensidade. A explicação para isso foi dada por Einstein em 1905, 
supondo que a luz carrega o pacote de energia proposto por Planck e que a energia cinética 
máxima que os elétrons do metal podem adquirir pela incidência luminosa é dada pela 
expressão 
,maxKE hf= − , (3.9) 
em que φ é a “função trabalho”, isto é, a energia de ligação dos elétrons de condução com a 
rede de íons que constitui o metal (os chamados elétrons “livres” não são completamente livres, 
20 
 
mas interagem com o arranjo coletivo de íons positivos dos quais se desprenderam). Assim, o 
pacote de energia, ao qual o próprio Planck inicialmente não dava importância a qual ente físico 
estava associado, foi atribuído a uma onda eletromagnética. 
 
QUESTÃO 3.8: A função trabalho do alumínio tem o valor de 4,08 eV. Determine o comprimento 
de onda máximo da onda eletromagnética que é capaz de arrancar elétrons de uma placa de 
alumínio. 
 
Ao contrário do espectro contínuo da radiação térmica, o espectro da luz emitida ou absorvida 
pelo hidrogênio apresenta linhas discretas, como mostra a figura 3.5. O comprimento de onda 
dessas linhas espectrais foi descrito por Rydberg em 1888, associando-o aos números inteiros n 
e m através da expressão 
2 2
1 1 1
R
n m
 
= − 
 
, (3.10) 
onde R é a constante de Rydberg. 
 
 
Figura 3.5. O espectro do átomo de hidrogênio. 
 
Para explicar essas linhas, Bohr em 1913 propôs um modelo em que o elétron orbitava em torno 
do núcleo do átomo à semelhança de um planeta em torno do Sol. Tratando-se de uma carga 
que apresenta aceleração centrípeta, de acordo com a teoria eletromagnética o elétron deveria 
emitir ondas eletromagnéticas e, portanto, perder energia e caminhar em direção a um colapso 
com o núcleo. Bohr postulou, então, que sob a atração elétrica do núcleo, o elétron deveria 
descrever órbitas estáveis desde que o seu momento angular orbital fosse quantizado segundo 
, 1, 2,3,...
2
h
l n n

= = (3.11) 
21 
 
ou, introduzindo a notação 
2
h

= , l n= . 
A passagem do elétron de uma órbita a outra se daria pela absorção ou emissão de luz 
carregando o pacote deenergia de Planck, sendo a diferença de energia das órbitas dada por 
E h = . (3.12) 
Assim, além de reforçar a ideia do pacote de energia transportado pela luz, mais uma grandeza 
passa a ser quantizada: o momento angular, apesar do modelo de Bohr prever valores incorretos 
para essa grandeza (pelo modelo de Bohr, a órbita de menor energia do elétron deveria ter 
momento angular , mas posteriormente se verificou que o momento angular orbital dessa 
órbita é nulo). 
 
QUESTÃO 3.9: Use o modelo de Bohr para obter a equação 3.10 e, com isso, a constante de 
Rydberg como 
4
2 3
08
em eR
ch
= , onde me e e são, respectivamente, a massa e o módulo da carga 
do elétron, e ε0 é a constante de permissividade elétrica do vácuo. Considere, para simplificar, 
que o centro de massa do sistema encontra-se exatamente no núcleo de carga positiva. 
 
A equação 3.12, postulada por Bohr, pode ser estendida para qualquer sistema cuja transição 
de energia ocorra pela absorção ou emissão de um fóton. Assim, análises do espectro 
eletromagnético permitem detectar transições de energia em átomos ou moléculas. Veremos 
no capítulo 7 que essa equação encontrará uma explicação natural dentro do quadro da 
mecânica quântica. 
 
QUESTÃO 3.10: De acordo com a eletrodinâmica, uma espira conduzindo corrente comporta-se 
como um magneto, possuindo um dipolo magnético  que, na presença de um campo 
magnético B , apresenta uma energia de interação com o campo U B= −  . Esse dipolo 
magnético está orientado perpendicularmente à superfície limitada pela espira e, sendo A a área 
dessa superfície e i a corrente na espira, tem o módulo iA = . Considere que no modelo de 
Bohr o elétron se comporte como uma espira conduzindo uma corrente 
e
i
T
= , onde T é o 
período orbital do elétron. Mostre que as órbitas do elétron têm um dipolo magnético de 
módulo 
2 e
e
n
m
 = . A quantidade 
2 e
e
m
é chamada de “magneto de Bohr”. 
Anteriormente vimos que uma onda eletromagnética carrega o pacote de energia de Planck. 
Além disso, ela pode também se comportar como uma partícula material em colisões 
22 
 
semelhantes às das bolas de bilhar. Em 1923 Compton observou que ao incidir raios-X sobre 
elétrons que estão praticamente livres (elétrons das camadas externas de átomos pesados) o 
comprimento de onda da radiação espalhada depende do seu ângulo em relação à direção da 
radiação incidente. A descrição desse espalhamento pode ser obtida tratando-o como uma 
colisão elástica dos fótons com os elétrons, porém considerando a energia relativística, 
resultando em 
1 0 (1 cos )
e
h
m c
  − = − , (3.13) 
onde λ0 é o comprimento de onda da radiação incidente, λ1 é o comprimento de onda da 
radiação espalhada, ϴ é o ângulo entre as direções das radiações incidente e espalhada, e h/mec 
é chamado de “comprimento de onda Compton” (λC) do elétron. Veremos adiante que λC 
representa o limite inferior para a escala em que a mecânica quântica não-relativista pode ser 
aplicada. 
 
QUESTÃO 3.11: Obtenha a relação da equação 3.13 tratando o espalhamento Compton como 
uma colisão elástica entre um fóton e um elétron, usando a expressão relativística para a energia 
do elétron. 
 
Assim, o que é considerado onda, a luz, carrega um pacote de energia e pode se comportar como 
bolas de bilhar em colisões, reforçando a ideia de seu caráter também corpuscular. Pode-se 
então perguntar, será que as partículas materiais não terão também características 
ondulatórias? 
A ótica geométrica lida com o conceito de raio luminoso, abordando os fenômenos da reflexão 
e difração, enquanto a ótica física trata a luz como onda para explicar os fenômenos da 
interferência e difração. Sabemos que a ótica geométrica é o caso particular da ótica física 
quando o comprimento de onda da luz tende a zero, isto é, é muito menor que as outras 
dimensões envolvidas. Procurando fazer analogia com o que acontece na ótica, no século 19 foi 
elaborada a teoria de Hamilton-Jacobi, em que deveria haver também uma mecânica 
ondulatória da qual a mecânica newtoniana emergiria como caso limite: as trajetórias das 
partículas estariam relacionadas às suas ondas de forma análoga à que os raios luminosos se 
relacionam às ondas luminosas. Chegaram, inclusive, muito próximo da equação de Schrödinger, 
com a qual trabalhamos hoje, para a qual faltou um ingrediente indispensável, que foi 
proporcionado por de Broglie. 
Conhecendo a teoria de Hamilton-Jacobi, em 1924, em sua tese de doutorado, Louis de Broglie 
propôs que partículas materiais possuem um comprimento de onda dado por 
DB
h
p
 = , (3.14) 
23 
 
sendo p = mv o (módulo do) momento linear da partícula. Esse caráter ondulatório foi verificado 
em 1927 pelo experimento de difração de elétrons pelo níquel cristalino de Davisson e Germer. 
 
QUESTÃO 3.12. Pela equação 3.13 também devemos ter um comprimento de onda. Por que não 
difratamos ao atravessar uma porta? 
QUESTÃO 3.13. Qual deve ser a diferença de potencial elétrico que deve ser aplicada para 
acelerar um elétron a partir do repouso de modo que ele apresente um comprimento de onda 
de 1 angstron, que é a ordem de grandeza da dimensão atômica e dos espaçamentos inter-
atômicos em sólidos? 
QUESTÃO 3.14. Mostre que usando-se as equações 3.11 e 3.14 as órbitas do elétron no modelo 
de Bohr podem ser interpretadas como ondas estacionárias sobre o seu perímetro. 
 
Muito bem, partículas materiais apresentam um comprimento de onda, mas que ondas são 
essas? Qual é a propriedade que se propaga com essas ondas? A resposta a essas perguntas 
começa a ser respondida por Schrödinger, que havia inicialmente desprezado a proposta de de 
Broglie, mas que em seguida a usou na elaboração da sua equação, publicada em 1926, que 
deveria descrever a onda associada a uma partícula material. Para uma partícula de massa m 
localizada sobre o eixo x, a equação de Schrödinger escreve-se como 
2 2
2
( , ) ( , ) ( , )
2
x t V x t i x t
m x t
 
−  +  = 
 
, (3.15) 
onde i é o número imaginário (i2 = -1), V é a energia potencial à qual a partícula está submetida 
e Ψ é chamada de “função de onda”. 
Apesar da equação de Schrödinger parecer muito estranha em um primeiro contato com ela, no 
próximo capítulo veremos que essa equação é natural se pretendemos associar uma onda a uma 
partícula, de forma que essa onda resulte no pacote de energia de Planck e obedeça à relação 
dada pela equação 3.14. 
Inicialmente Schrödinger tentou interpretar a onda da sua equação como se a partícula se 
espalhasse pelo volume da onda, o que não era razoável, pois se assim o fosse, seria possível 
cortar um pedaço da onda do elétron e obter um pedaço do mesmo. Foi Max Born que elaborou 
a interpretação estatística para a mecânica quântica, onde a função de onda é um instrumento 
de cálculo para probabilidades, ficando a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo 
dx em torno de uma posição x dada por 
dP dx=   , (3.16) 
o asterisco (*) indicando o complexo conjugado da função de onda. 
24 
 
É importante mencionarmos que, paralelamente, Heisenberg apresentou a sua mecânica 
quântica na forma matricial e que Schrödinger e Dirac mostraram fazer as mesmas previsões da 
mecânica quântica ondulatória de Schrödinger. Foi Dirac, inclusive, que tornou elegante o 
formalismo da mecânica quântica, colocando-o no formato que hoje estudamos. Apesar da 
função de onda representar uma estranha onda, envolvendo números complexos e estando 
associada a probabilidades, ainda assim o seu estudo pode ser ancorado nas ideias que temos 
das ondas. Logo, começaremos o estudo da mecânica quântica pela equação de Schrödinger. 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
CAPÍTULO 4: A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER 
 
Seja 𝑦 uma propriedade que se propaga com um pulso ao longo da direção x. Este pulso 
apresenta a sua forma constante, não dependendo do tempo, no referencial S’, que se propagajunto com ele. Usando as transformadas de Galileu, que relacionam as coordenadas do sistema 
em que o pulso é observado propagando-se com uma velocidade 𝑣 às coordenadas do sistema 
que se propaga junto com o pulso, ele pode ser descrito pela expressão 
 𝑦 = 𝑓(𝑥′) = 𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡), (4.1) 
em que o sinal “+” está associado à propagação no sentido negativo e o sinal “-“ à propagação 
no sentido positivo. Desejando expressar um trem de ondas periódico propagando-se, podemos 
usar a mesma expressão, 
𝑦 = 𝑓𝑃(𝑥 ± 𝑣𝑡), (4.2) 
em que na função acrescentamos o índice “P” para indicar tratar-se de função periódica. O 
argumento da função na equação 4.2 possui a dimensão de comprimento. No entanto, é usual 
escrevermos o argumento de funções periódicas na forma adimensional. Para isso fazemos uso 
da frequência angular, 𝜔 =
2𝜋
𝑇
 e do número de onda 𝑘 =
2𝜋
𝜆
 , onde T e λ são, respectivamente, 
o período e o comprimento de onda do trem de ondas. A velocidade de sua propagação escreve-
se como 𝑣 =
𝜔
𝑘
 e a expressão que o descreve fica 
𝑦 = 𝑓𝑃(𝑥 ±
𝜔
𝑘
𝑥), (4.3) 
ou 
𝑦 = 𝑓𝑃 [
1
𝑘
(𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡)] , (4.4) 
onde notamos que os termos entre parêntesis são adimensionais. Fazendo a conversão de 
notação que acompanha a mudança de variável, ( )F f
k


 
=  
 
 , ficamos com 
𝑦 = 𝐹𝑃(𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡). (4.5) 
No entanto, em física ondulatória trabalhamos com o vetor número de onda, �⃗� , orientado na 
direção de propagação da onda e contribuindo para a sua fase por meio do produto escalar com 
o vetor posição, �⃗� ∙ 𝑟 . Para mantermos coerência com essa descrição, se desejamos usar a letra 
“𝑘” para o módulo do número de onda (𝑘 > 0), a propagação de uma onda na direção negativa 
do eixo x deverá conter em sua fase o termo – 𝑘𝑥. Dessa forma devemos usar o sinal “-“ em 
frente ao termo 𝜔𝑡 na expressão acima, ficando um trem de ondas propagando-se na direção 
negativa do eixo x descrito por 
𝑦 = 𝐹𝑃(−𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) . (4.6) 
26 
 
Essa alteração de sinal é justificada através da conversão de notação F( ) ( )F = − , da qual 
obtemos a expressão 
 𝑦 = F (𝑘𝑥 + 𝜔𝑡), (4.7) 
que é compatível com a escolha do sinal “+” em frente ao termo 𝜔𝑡 na equação 4.5 para 
indicarmos a propagação das ondas na direção negativa do eixo x. Olhando para as equações 
4.5 e 4.6 e seus significados, vemos que fica cômodo mantermos o sinal “-“ diante do termo 𝜔𝑡 
para ambos os sentidos de propagação da onda, mas considerando a natureza vetorial do 
número de onda (usando 𝑘 < 0 para a propagação no sentido negativo). Resumindo, qualquer 
que seja o sentido de propagação do trem de ondas ao longo do eixo x, podemos expressá-lo 
por 
𝑦 = 𝐹𝑃(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡), (4.8) 
ficando o sentido determinado pelo valor positivo ou negativo de 𝑘. 
Toda esta discussão parece ser supérflua e poderia até mesmo ser evitada se levássemos em 
consideração a descrição tridimensional das ondas, que faz uso do vetor �⃗� . Porém, é usual 
iniciarmos o estudo da equação de Schrödinger com o caso unidimensional, em que a partícula 
está localizada ao longo do eixo x. Sendo necessária uma descrição que contemple ondas 
propagando-se em qualquer direção, o desenvolvimento a seguir fará uso da expressão da 
equação 4.8 pelas razões já expostas. Além disso, como veremos adiante, o sentido de 
propagação do fluxo de probabilidade dependerá também de 𝑘 e prestar atenção à natureza 
vetorial deste será útil. 
 
QUESTÃO 4.1: Mostre que a expressão dada pela equação 4.8 é solução da “equação da onda” 
2 2
2 2 2
1y y
x v t
 
=
 
, onde v
k

= é a velocidade de propagação da onda. 
 
Vamos supor que desejamos associar, de alguma forma, uma onda a uma partícula. Uma onda 
perfeitamente monocromática, isto é, com um único número de onda k bem definido não serve 
se desejarmos que a partícula seja razoavelmente localizada, pois essa onda monocromática 
oscila por igual sobre todo o eixo das posições, como mostra a figura 4.1.a. Se a onda associada 
à partícula permitir a localização da mesma, com uma incerteza δx, devemos ter algo como o 
“pacote de onda” da figura 4.1.b. 
27 
 
 
Figura 4.1. (a) Uma onda perfeitamente monocromática e (b) um pacote de onda, com a 
incerteza δx de localização da partícula. 
 
Tal pacote de onda pode ser descrito por um somatório de ondas senoidais e cossenoidais de 
diferentes números de onda e, portanto, de diferentes comprimentos de onda, que é conhecido 
por “síntese de Fourier”, representada por 
( , ) [ sen( ) cos( )]k k k k
k
Y x t A kx t B kx t = − + − , (4.9) 
onde, em um processo inverso, dado o pacote, os coeficientes Ak e Bk são determinados por 
meio do método conhecido como “análise de Fourier”. 
A figura 4.2 ilustra graficamente como gradativamente pacotes de onda vão surgindo à medida 
que são adicionadas ondas de k’s diferentes. 
 
Figura 4.2. Adição de duas senóides com comprimentos de onda diferentes. 
28 
 
As equações diferenciais relacionam derivadas. Vamos, então, obter derivadas espaciais e 
temporais da função dada pela equação 4.9, para depois compará-las: 
( , )
[ cos( ) sen( )]k k k k
k
Y x t
k A kx t B kx t
x
 

= − − −

 (4.10) 
2
2
2
( , )
[ sen( ) cos( )]k k k k
k
Y x t
k A kx t B kx t
x
 

= − − + −

 (4.11) 
( , )
[ cos( ) sen( )]k k k k k
k
Y x t
A kx t B kx t
t
  

= − − − −

 (4.12) 
e assim por diante. A relação entre ωk e k é conhecida como relação de dispersão. Observando 
as equações acima, notamos que se usarmos uma relação de dispersão e adequarmos os 
coeficientes Ak e Bk talvez consigamos obter uma relação linear entre essas derivadas. 
No capítulo anterior vimos que o pacote de energia de Planck é escrito como 
2
2
h
E h  

= = = , (4.13) 
enquanto a relação de de Broglie implica em um momento linear da partícula dado por 
2
2
h h
p k

  
= = = . (4.14) 
 A energia de uma partícula livre é a sua energia cinética, 
2
21
2 2
K
p
E E mv
m
= = = . (4.15) 
Se usarmos as equações 4.13 e 4.14 na equação 4.15, obtemos a relação de dispersão 
2
2
k
k
m
 = (4.16) 
correspondente a uma partícula livre com características ondulatórias. Se usarmos essa 
expressão para ωk na equação 4.12 teremos 
2( , ) { [ cos( ) sen( )]}
2
k k k k
k
Y x t
k A kx t B kx t
t m
 

= − − − −

 (4.16) 
e, observando a equação 4.11, ficamos tentados a substituir o que está dentro das chaves na 
equação 4.16 pela derivada espacial segunda da equação 4.11, na esperança que os coeficientes 
Ak e Bk possam ser ajustados. Mas a comparação dos termos que contém os senos e cossenos 
nas equações 4.16 e 4.11 implica em Ak = Bk e Ak = -Bk, condição que não pode ser satisfeita para 
coeficientes não nulos. Não querendo descartar completamente a ideia de relacionar a equação 
29 
 
4.16 com a derivada espacial segunda da equação 4.11, vamos tentar fazê-lo acrescentando um 
fator C, ficando 
2
2
( , ) ( , )
2
Y x t Y x t
C
t m x
 
=
 
 (4.17). 
Agora a comparação dos termos com senos e cossenos implica em Ak = CBk e Bk = -CAk, condição 
que pode ser satisfeita se o fator C é o número imaginário i (i2 = -1). Fazendo C = i na equação 
4.17 e multiplicando os dois lados da equação por iħ, chegamos em 
2 2
2
( , ) ( , )
2
i Y x y Y x t
t m x
 
= −
 
, (4.18) 
e fazendo a identificação Y = Ψ, chegamos na equação de Schrödinger para a partícula livre, que 
é a equação 3.14 do capítulo anterior com a energia potencial da partícula V = 0. 
Vemos, portanto, que as relações de Planck e de Broglie das equações 4.3 e 4.4 são ingredientes 
indispensáveis para a obtenção da equação de Schrödinger usando considerações da mecânica 
ondulatória. Se essas relações estivessem disponíveis à época da formulação da mecânica 
ondulatória da teoria de Hamilton-Jacobi, muito provavelmente se teria chegado à equação de 
Schrödinger ainda no século 19 (e, obviamente, ela nãoreceberia esse nome). 
A mecânica quântica permite fazer previsões estatísticas sobre medições de grandezas físicas. 
Nessa teoria, as grandezas físicas passíveis de medição são associadas a operadores. Operadores 
são entes matemáticos que atuam sobre uma função, transformando-a em outra função. 
Alguns exemplos de operadores: 
2. ( ) 2 ( )
3 . ( ) 3 ( )
. ( ) ( )
A Af x f x
B x Bf x x f x
d d
C Cf x f x
dx dx
= = 
= = 
= =
 
A previsão da mecânica quântica para o valor médio que um conjunto de medidas deve 
apresentar é obtida fazendo-se um “sanduíche” com o operador correspondente à grandeza 
física medida e a função de onda, na forma 
( ) ( , ) ( , )A t dx x t A x t
+

−
=   (4.19) 
Cabe aqui uma importante observação. Se x refere-se à posição de uma partícula, nessa 
representação x não varia com o tempo; x refere-se à numeração do eixo das posições e não 
muda. O que varia com o tempo é o valor médio do operador x, cuja evolução temporal é 
governada pela evolução temporal da função de onda 
30 
 
( ) ( , ) ( , )x t dx x t x x t
+

−
=   . (4.20) 
Essa evolução temporal do valor médio, governada pela evolução temporal da função de onda, 
ocorre na representação de Schrödinger. Na representação de Heisenberg é o operador que 
evolui com o tempo. 
De alguma forma, as grandezas da mecânica clássica devem emergir da mecânica quântica, em 
acordo com o chamado “princípio da correspondência”. Desse modo, ao momento linear de 
uma partícula é adequado associar um operador com valor médio dado por 
d
p m x
dt
= , (4.21) 
ou, fazendo uso da equação 4.20, 
p m dx x x
t t
+ 

−
  
=  + 
  
 . (4.22) 
Por enquanto estamos considerando a partícula livre. A equação de Schrödinger para a partícula 
livre, 
2 2
2
( , ) ( , )
2
x t i x t
m x t
 
−  = 
 
 (4.23) 
 permite obter 
2
22
i
t m x
  
=
 
 (4.24) 
e, consequentemente, 
2
22
i
t m x
   
= −
 
. (4.25). 
Inserindo as derivadas temporais, dadas pelas equações 4.24 e 4.25, na equação 4.22, temos 
2 2
2 22
p dx x x
i x x
+ 

−
    
=  − 
  
 . (4.26) 
 
QUESTÃO 4.2: (a) Mostre que uma integração por partes da equação 4.26, juntamente com a 
condição 0
x=
 = (se a partícula encontra-se em uma região finita do eixo x, ela não está no 
infinito) resulta em .p dx
i x
+

−

=  

 
31 
 
(b) Lembrando que p dx p
+

−
=   , qual deve ser a expressão do operador momento linear? 
 
Na mecânica clássica o hamiltoniano de uma partícula livre é simplesmente a sua energia 
cinética, 
2
2
livre
p
H
m
= . Sendo o operador momento linear p
i x

=

, se aplicarmos o princípio 
da correspondência devemos ter 
2 2 2
2
1 1
2 2 2 2
livre
p
H pp
m m m i x i x m x
  
= = = = −
  
 
e notamos que a equação 4.23 assume a forma 
( , ) ( , )livreH x t i x t
t

 = 

. (4.27) 
Se a partícula não está livre, isto é, se está submetida a uma energia potencial V, é natural 
acrescentarmos ao hamiltoniano da partícula livre a energia potencial, ficando o operador 
hamiltoniano dado por 
2 2
22
livreH H V V
m x

= + = − +

. (4.28) 
OBSERVAÇÃO: Em física, e em particular na mecânica quântica, trabalha-se também no espaço 
do momento linear. Porém, no espaço das posições x, operadores que são função de x apenas, 
como a energia potencial, atuam sobre as funções apenas multiplicando-as: 
( ) ( ) ( )Vf x V x f x=  . Como estamos operando no espaço das posições, pudemos fazer 
simplesmente V V= na equação 4.28. 
Substituindo, então, na equação 4.27 o operador hamiltoniano da partícula livre pelo 
hamiltoniano dado pela equação 4.28, ficamos com 
2 2
22
H V i
m x t
  
 = − +  =  
  
, (4.29) 
que é a equação de Schrödinger completa (equação 3.14 do capítulo anterior), adequada para 
o caso unidimensional que descreve uma partícula sobre o eixo x: 
2 2
2
( , ) ( , ) ( , )
2
x t V x t i x t
m x t
 
−  +  = 
 
. 
 
32 
 
QUESTÃO 4.3: Mostre que mesmo se usarmos a equação de Schrödinger completa para 
obtermos as derivadas temporais da função de onda e de sua conjugada, presentes na equação 
4.22, juntamente com a condição da energia potencial ter valores reais (V*=V), como deve ser, 
chegamos à mesma expressão para o operador momento linear, p
i x

=

. 
 
Enquanto na mecânica quântica relativística partículas podem ser criadas do vácuo ou 
aniquiladas, uma característica importante da mecânica quântica não-relativística, aqui tratada, 
é que nela não ocorre o surgimento, nem o desaparecimento, da partícula. Portanto, a 
probabilidade total de se encontrar a partícula é sempre 100%, cuja expressão para o caso 
unidimensional da partícula poder ser encontrada somente sobre o eixo x, 
∫𝑑𝑃 =∫ 𝑑𝑥𝛹∗𝛹
+∞
−∞
= 1 (4.30) 
é chamada de “condição de normalização da função de onda”. O produto Ψ*Ψ é chamado de 
“densidade de probabilidade”. 
Na teoria eletromagnética existe uma “equação da continuidade” associada à conservação da 
carga. Somente podemos alterar a carga total dentro de um volume limitado por uma superfície 
fechada introduzindo ou retirando cargas desse volume. O processo de transportar carga pela 
superfície fechada é descrito pelo fluxo do vetor densidade de corrente ( j ) pela superfície 
fechada. Assim a variação da carga total Q dentro de um volume V limitado por uma superfície 
fechada S se expressa como 
V
S
dQ
dV j da
dt t

= = − 
 
 (4.31) 
onde ρ é a densidade volumétrica de carga, da é o elemento de área, perpendicular à superfície 
S e apontando para fora dela, e o sinal “menos” leva em conta que um fluxo de j para fora da 
superfície diminui a carga dentro dela. Aplicando o teorema da divergência no último termo, 
fazendo ( )
S V
j da j dV =    , chegamos à expressão 
j
t

  = −

, (4.32) 
que é conhecida como “equação da continuidade” para a carga elétrica. De forma análoga, já 
que a probabilidade também se conserva, deve também existir uma equação da continuidade 
na mecânica quântica, relacionando a densidade de corrente de probabilidade j à densidade 
de probabilidade Ψ*Ψ. Isto é, se a probabilidade de encontrar a partícula varia dentro de uma 
região fechada, isso se deve ao fluxo de j para dentro ou fora dessa região. 
 
33 
 
QUESTÃO 4.4: (a) Para o caso unidimensional, a equação da continuidade, dada pela equação 
4.32, escreve-se como 
j
x t
 
= −
 
. Sendo a densidade de probabilidade  =   , use a 
equação de Schrödinger para a partícula livre, relacionando as derivadas espacial e temporal da 
função de onda, para mostrar que a densidade de corrente de probabilidade é 
*
*
2
j
im x x
  
=  − 
  
. (4.33) 
(b) Mostre que mesmo para o caso da partícula submetida a uma energia potencial V, a 
expressão para a densidade de corrente de probabilidade acima mencionada continua sendo 
compatível com a equação da continuidade, contanto que a energia potencial seja real, isto é, 
V = V* (como deve ser mesmo). 
 
Uma importante consequência da definição acima para a densidade de corrente de 
probabilidade é que a função de onda deve ser necessariamente espacialmente contínua. Como 
a expressão para j, dada pela equação 4.33, envolve uma derivada espacial da função de onda e 
de seu complexo conjugado, se houver uma descontinuidade da função de onda em alguma 
posição, aparecerá uma derivada de módulo tendendo a infinito naquele ponto, implicando em 
uma densidade de corrente de probabilidade infinita naquela posição, o que não é razoável. 
 
Além da previsão do valor médio para um conjunto de medições de uma grandeza física, a 
mecânica quântica permite também a previsão da sua incerteza. De forma semelhante ao que 
se faz na estatística clássica, a incerteza ΔA prevista para a grandeza A (associada ao operador 
Ã) está relacionada à sua variância através da expressão( ) ( )
22
A A A = − . (4.34) 
OBSERVAÇÃO: Na estatística a variância é o quadrado do desvio padrão. 
 
QUESTÃO 4.5: Mostre que a variância também pode ser escrita como ( )
2 22A A A = − . 
 
Na mecânica quântica a comutação de operadores (ou operador comutação), definida por 
,A B AB BA  = −  , tem grande importância. Usando-se a álgebra de operadores, pode-se 
mostrar que o produto das variâncias de dois operadores com valores médios dados por 
números reais obedece à desigualdade 
34 
 
( ) ( )
22 2 1
,
4
A B i A B      . (4.35) 
 
QUESTÃO 4.6: Mostre que  ,p x
i
= . 
QUESTÃO 4.7: Mostre que com a relação de comutação  ,p x
i
= , a desigualdade 4.35 implica 
na relação de incerteza de Heisenberg 
2
p x   . 
QUESTÃO 4.8: Vimos que a álgebra de operadores prevê uma relação entre a incerteza da 
posição e a incerteza do momento linear dada por 
2

 px . Na presente sequência de 
exercícios mostraremos que o mínimo desta relação, 
2

, ocorre para uma função de onda 
gaussiana. Serão necessárias as integrais: 




−
− =dxe x
2
 
3
2
2
122






−
−

−
− =


−= dxedxex xx 
0
2


−
− =dxex x . 
(a) Considere uma função de onda gaussiana 
2xeC  −= , em que as constantes C e α são reais. 
Obtenha o valor da constante C para que esta função fique normalizada, em acordo com a 
condição expressa pela equação 4.30. 
(b) Calcule x , 2x e determine a incerteza x . 
(c) Sendo o operador 
xi
p


=

, calcule p , 2p e determine a incerteza p . 
(d) Faça o produto px  e analise o resultado perante a relação de Heinsenberg acima 
mencionada. 
 
 
35 
 
 Uma importante consequência da relação expressa pela equação 4.35 é que as medições de 
grandezas físicas associadas a operadores que não comutam estarão sujeitas a relações de 
incerteza semelhantes à de Heisenberg e trarão consigo necessariamente incertezas de valor 
mínimo determinadas por essas relações. 
 
QUESTÃO 4.9: Grosso modo, a extensão x de um pacote de onda como o da figura 4.1(b) está 
relacionada à faixa de números de onda k que são usados para construí-lo através de 
1x k  . Mostre que essa relação leva à relação de incerteza de Heisenberg quando se faz uso 
da relação de de Broglie, expressa pela equação 4.14. 
 
 
36 
 
CAPÍTULO 5 – A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO 
 
Para que a equação de Schrödinger possa prever as energias acessíveis à partícula é conveniente 
descrevê-la em uma forma em que a parte com dependência espacial fica separada da parte 
com dependência temporal. Se a energia potencial da partícula é apenas uma função da posição, 
V = V(x), vamos tentar obter uma função de onda que possa ser fatorada em uma parte espacial 
e outra temporal, isto é, ( , ) ( ) ( )x t x t  = . Com isso, a equação de Schrödinger é escrita 
como 
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x t V x x t i x t
m x t
     
 
− + =
 
 (5.1) 
que, com a atuação da derivada espacial na parte espacial e da derivada temporal na parte 
temporal, fica 
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
d d
t x V x x t i x t
m dx dt
     − + = . (5.2) 
Dividindo-se todos os termos pelo produto ( ) ( )x t  ficamos com o lado esquerdo como 
função apenas da variável espacial e o lado direito como função apenas da variável temporal: 
2 2
2
1 1
( ) ( ) ( )
2 ( ) ( )
d d
x V x i t
m x dx t dt
 
 
− + = . (5.3) 
Se uma função que depende apenas da coordenada espacial é igual a outra função que depende 
apenas da coordenada temporal, isto é, se F(x) = G(t), ambas as funções não podem depender 
nem de x, nem de t, ou seja, têm que ser iguais a uma constante. Para a equação 5.3 vamos 
chamar intencionalmente essa constante de E. Assim, a parte temporal fica 
1
( )
( )
d
i t E
t dt


= , 
ou 
( ) ( )
d iE
t t
dt
 = − , (5.4) 
cuja solução é simplesmente 
/( ) ( 0) iEtt t e  −= = , (5.5) 
como pode ser facilmente verificado. 
Já a parte espacial fica 
37 
 
2 2
2
1
( ) ( )
2 ( )
d
x V x E
m x dx


− + = , 
ou 
2 2
2
( ) ( ) ( )
2
d
V x x E x
m dx
 
 
− + = 
 
, (5.6) 
onde no termo entre parêntesis reconhecemos o operador hamiltoniano dado pela equação 
4.28 do capítulo anterior, isto é, 
( ) ( )H x E x = . (5.7) 
Quando um operador atuando em uma função resulta em um número que multiplica a função, 
a função é chamada de autofunção desse operador, e o número é o autovalor desse operador, 
correspondente à sua autofunção. Vemos que a equação 5.7 representa justamente esse caso 
para o operador hamiltoniano, e a interpretação que é dada para os seus autovalores é que eles 
constituem as possíveis energias da partícula. 
 
QUESTÃO 5.1: Mostre que a função /( ) ipxx e = é autofunção do operador momento linear. 
Qual é o auto-valor correspondente? 
QUESTÃO 5.2: Mostre que a função /( ) ipxx e = é autofunção do operador hamiltoniano da 
partícula livre (V = 0). Qual é o auto-valor correspondente? 
 
Enquanto não mostramos como se calculam as autofunções do hamiltoniano para uma partícula 
que não está livre, por estar submetida a uma energia potencial, vamos discorrer sobre alguns 
aspectos gerais envolvendo tais funções. Antes de medirmos a energia da partícula, ela pode 
estar em uma superposição de estados descritos por autofunções correspondentes a diferentes 
energias, de forma análoga à de uma partícula em um experimento ondulatório, no qual parece 
haver uma superposição de “algo” passando por diferentes trajetórias e depois interferindo. 
Sendo Ψi(x) a autofunção do hamiltoniano correspondente à energia Ei, isto é, 
( ) ( )i i iH x E x = , essa superposição escreve-se, para um certo tempo ta, como 
1 1 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )a a a i a i
i
x t c t x c t x c t x   = + + = . (5.8) 
Uma regra da maior importância: a probabilidade de uma medição nesse tempo ta resultar em 
uma das energias, por exemplo Ej, é dada por 
*( ) ( ) ( )j a j a j aP t c t c t= , (5.9) 
38 
 
e, logo após a medição, a superposição “colapsa”, ficando a função de onda dada pela 
autofunção correspondente à energia encontrada Ej: 
medição
i i j
i
c  = → 
Do mesmo jeito que a função de onda anterior à medição obedece à condição de normalização 
descrita pela equação 4.30 do capítulo anterior, as autofunções do hamiltoniano também 
devem, cada uma, obedecer a essa mesma condição, já que a partícula será encontrada em uma 
delas após a medição: 
* 1i idx 
+
−
= . (5.10) 
Mostraremos adiante que, como as energias são números reais e, portanto, o operador 
hamiltoniano pertence à categoria dos operadores “hemitianos”, as autofunções 
correspondentes a energias diferentes obedecem à “condição de ortogonalidade”: 
* 0i jdx 
+
−
= (se i jE E ). (5.11) 
 Assim, as autofunções do hamiltoniano são chamadas de “ortonormais”, isto é, obedecem à 
condição de normalização dada pela equação 5.10 e à condição de ortogonalidade, dada pela 
equação 5.11. Essas duas condições podem ser escritas em uma mesma expressão como 
*
,i j i jdx  
+
−
= , (5.12) 
onde o símbolo ,i j é chamado de “delta de Kronecker”, valendo 1 quando i = j e sendo nulo 
quando i j . 
 
QUESTÃO 5.3: Seja a função de onda  constituída por uma superposição de autofunções i 
do hamiltoniano, i i
i
c = . (a) Mostre que a condição de normalização de  implica em 
* 1i i
i
c c = e interprete o resultado. (b) Mostre que *i ic dx
+
−
=  . 
 
QUESTÃO 5.4: Seja a mesma função de onda i i
i
c = da questão anterior descrevendo o 
estado da partícula. Calcule o valor médio do operador hamiltoniano para esse estado e 
interprete o resultado. 
39 
 
 
 
Vamos supor que a função de onda está em um estado de superposição descrito pela equação 
5.8 e, para simplificar, consideraremos o tempo ta = 0, ficando 
1 1 2 2( ,0) (0) ( ) (0) ( ) ... (0) ( )i i
i
xc x c x c x   = + + = . (5.13) 
Como cada uma das autofunções do hamiltoniano tem a evolução temporal na forma da 
equação 5.5, em um tempo t > 0 a função de onda evolui de acordo com 
 1 2
// /
1 1 2 2( , ) (0) ( ) (0) ( ) ... (0) ( )
iiE tiE t iE t
i i
i
x t c e x c e x c e x  −− − = + + = , (5.14) 
ou seja, os coeficientes da expansão da função de onda em termos das autofunções do 
hamiltoniano ficam dados por 
/
( ) (0) i
iE t
i ic t c e
−
= . (5.15) 
Ora, a regra para cálculo da probabilidade de encontrar uma das energias, dada pela equação 
5.9, deve valer para qualquer tempo, pois as leis da física não podem depender do instante em 
que se resolveu começar a cronometrar o tempo. Assim, a probabilidade de encontrar a energia 
Ei em um tempo t > 0 é 
( )
*
/ /* *( ) ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) (0)i i
iE t iE t
i i i i i i i iP t c t c t c e c e c c P
− −
= = = = , 
que mostra que essa probabilidade não muda com o tempo e, por isso, as autofunções do 
hamiltoniano são chamadas “estados estacionários”. 
O cálculo mais simples, porém muito importante, de autofunções e respectivos autovalores do 
hamiltoniano para uma partícula não-livre é o do chamado “poço quadrado infinito”, no qual a 
partícula está confinada por paredes impenetráveis em uma certa região, sendo que dentro 
dessa região a sua energia potencial é nula. O nome “infinito” deve-se ao fato, como 
examinaremos adiante no tratamento do “potencial degrau”, de uma barreira ser 
completamente impenetrável por uma partícula de energia finita quando a sua energia 
potencial for infinita. Vamos considerar o poço infinito da figura 5.1, em que a partícula está 
confinada na região 0 < x < L. 
40 
 
 
Figura 5.1. Poço quadrado infinito, de extensão L. 
 
Como as paredes do poço são completamente impenetráveis, não existe probabilidade alguma 
de encontrar a partícula na região anterior ou posterior ao poço. Assim, ( ) 0x = para 0x  e 
para x L . 
Dentro do poço a equação de Schrödinger independente do tempo escreve-se como 
 
2 2
2
( ) ( )
2
d
x E x
m dx
 − = , 
ou 
2
2 2
2
( ) ( )
d m
x E x
dx
 = − . (5.16) 
Para indicar que do lado direito da equação 5.16 temos um número negativo multiplicando Ψ(x), 
vamos escrevê-lo como –k2, sendo 
2
2
2mE
k = , (5.17) 
e a equação 5.16 torna-se 
2
2
2
( ) ( )
d
x k x
dx
 = − , (5.18) 
cuja solução geral é 
41 
 
( ) sen( ) cos( )x A kx B kx = + . (5.19) 
No capítulo anterior vimos que a função de onda deve ser necessariamente contínua, para evitar 
o aparecimento de uma densidade de corrente de probabilidade infinita. 
Sabendo que a função de onda é nula para 0x  , a continuidade da função de onda em x = 0 
implica em ( 0) 0x B = = = . Como também a função de onda é nula para x L , devemos 
ter, assim, ( ) sen( ) 0x L A kL = = = , o que implica em 
, 1, 2,3,...nk n n
L

= = (5.20) 
onde acrescentamos o índice “n” ao parâmetro k para mostrar que este está associado a um 
número inteiro n. Uma observação: n é inteiro, mas não pode ser nulo, pois para n = 0 teríamos 
k = 0 e, já sendo B = 0, a função de onda seria nula em qualquer posição, não havendo, 
consequentemente, partícula alguma. 
A equação 5.17 pode ser reescrita como 
2 2
2
k
E
m
= , (5.21) 
e assim, como o parâmetro k está relacionado a um número inteiro n pela equação 5.20, a 
energia também o está, ficando 
2 2 2
2
, 1,2,3,...
2
n
n
E n
mL

= = (5.22) 
Ou seja, uma partícula confinada tem a sua energia assumindo valores discretos e ficando, desse 
modo, quantizada. Além disso, o confinamento impede um estado fundamental de energia nula. 
É importante dizer que se simplesmente identificarmos o parâmetro k com o número de onda e 
usarmos a relação de de Broglie p k= (equação 4.14 do capítulo anterior) na expressão da 
energia cinética, 
2
2
p
m
, obtemos a expressão 5.21 para a energia da partícula, mas para 
chegarmos nos valores dados pela equação 5.22 é necessário o emprego da equação de 
Schrödinger. 
 
QUESTÃO 5.5: Mostre que uma estimativa da energia do estado fundamental de uma partícula 
confinada em um poço infinito pode ser obtida pela relação de incerteza de Heisenberg, 
x p   , usando-se p p  e x L  . 
 
42 
 
QUESTÃO 5.6: Mostre que se uma partícula está confinada em uma região inferior ao seu 
comprimento de onda Compton, dado por C
h
mc
 = , as suas possíveis energias tornam-se 
relativísticas. A energia de uma partícula é considerada relativística se ela não pode ser 
desprezada perante a sua energia de repouso, mc2. Isso mostra que o comprimento de onda 
Compton fornece o limite inferior para a escala de aplicação da mecânica quântica não-
relativística. 
 
QUESTÃO 5.7: Sendo as autofunções do hamiltoniano do poço infinito, de extensão L, dadas por 
sen( )n nA k x = , onde , 1, 2,3,...nk n n
L

= = : 
(a) obtenha o valor da constante A para que essas funções fiquem normalizadas; 
(b) verifique que as autofunções correspondentes a energias diferentes são, como já foi 
mencionado, ortogonais entre si, isto é, 
*( ) ( ) 0n mdx x x 
+
−
= para os números inteiros n e m, 
com n m . 
 
QUESTÃO 5.8: Resolva o problema de encontrar as autofunções do hamiltoniano e os 
correspondentes autovalores, isto é, as energias permitidas à partícula, para o chamado “poço 
infinito simétrico”, que se estende de 
2
L
x = − até 
2
L
x = + , e compare-os com os resultados 
anteriormente obtidos para o poço que se estende de x = 0 até x = L. Pode haver alguma 
diferença física entre os dois casos? 
 
Acabamos de constatar, pela questão 5.7, que autofunções do poço infinito, correspondentes a 
um espectro discreto de autovalores são ortonormais, isto é, obedecem à condição de 
ortonormalidade ditada pela equação 5.12. Mas como ficaria essa condição para as autofunções 
do momento linear, do tipo que apareceu nas questões 5.1 e 5.2, correspondentes a autovalores 
diferentes, se não existir restrição para esses autovalores de modo que eles possam constituir 
um espectro contínuo? Isto é, sendo 
/( ) ipxp x Ae = e 
/( ) iqxq x Ae = autofunções do 
operador 
d
p
i dx
= correspondentes aos autovalores p e q, como fica a condição 
* ( ) ( )p qdx x x 
+
−
 se p e q podem assumir quaisquer valores reais? Para respondermos a essa 
pergunta, devemos travar conhecimento com a função “delta de Dirac”. Existe uma categoria 
de funções, chamadas de “delta de Dirac” e representadas como δ(x), que possuem as seguintes 
propriedades: 
43 
 
(a) ( ) 0x a − = para x a , isto é, são nulas quando o seu argumento não é nulo; 
(b) ( ) 1dx x a
+
−
− = , logo, não são nulas em x = a, onde, na verdade, ocorre uma singularidade; 
(c) ( ) ( ) ( )dx f x x a f a
+
−
− = . 
QUESTÃO 5.9: Mostre que a função 
0
0 para e
( ) lim 1
para
2
x x
x
x
 

 

→
=  − 

= 
= −  


 
obedece às propriedades acima e é, portanto, uma função delta de Dirac. 
 
Da teoria das transformadas de Fourier sabe-se que 
( ) 2 ( )ik a bdk e a b 
+
−
−
= − . Logo, 
2 2 2* ( ) / ( )( ) ( ) 2 ( )i q p x i q p up qdx x x A dxe A du e A q p  
+ + +
− −
− − −
= = = −   . 
Se fizermos 
1
2
A

= , teremos 
 
* ( ) ( ) ( )p qdx x x q p  
+
−
= − , (5.23) 
uma expressão semelhante à da condição de ortonormalidade para autofunções de espectro 
discreto de autovalores, ditada pela equação 5.12, apenas fazendo a troca do “delta de 
Kronecker” pelo “delta de Dirac”. A expressão da equação 5.23 é, portanto, a condição de 
ortonormalidade para autofunções de espectro contínuo de autovalores. 
Como a equação de Schrödinger é de segunda ordem quanto à derivação espacial, para o 
tratamento das demais formas de energia potencial necessitamos, além de considerar que a 
função de onda deve ser contínua, examinar o que acontece com a sua derivada espacial 
primeira. 
Vamos considerar um ponto x e comparara derivada espacial primeira da função de onda em 
um ponto ligeiramente à esquerda de x, em x – ε, com a derivada em um ponto ligeiramente à 
direita de x, em x + ε, onde 0 → . Sabendo que a derivada primeira é a integral da derivada 
segunda, 
44 
 
2
2
x
x x x
d d d
dx
dx dx dx

  
  
+
+ − −
− =  . (5.24) 
Da equação de Schrödinger independente do tempo (equação 5.6), 
2
2 2
2
( )
d m
V E
dx

= −
 
e a diferença entre as derivadas da equação 5.24 fica 
2
2
( )
x
x x x
d d m
dx V E
dx dx

  
 

+
+ − −
− = − . (5.25) 
Se a energia potencial é finita, no limite 0 → a integral do lado direito da equação 5.25 se 
anula e então 
x x
d d
dx dx 
 
+ −
= , ou seja, a derivada espacial primeira da função de onda deve 
ser contínua. Exceção a essa regra é se a energia potencial contiver função delta de Dirac, caso 
em que deve ser calculada a integral da equação 5.25 para relacionar as derivadas à esquerda e 
à direita do ponto onde o argumento da função delta de Dirac é nulo (onde o argumento da 
função delta de Dirac não é nulo, essa função é nula e a integral se anula). Funções delta de 
Dirac são usadas, por exemplo, em um modelo simples para explicar a condutividade, onde a 
interação dos elétrons da banda de condução com os íons do material é representada por uma 
energia potencial constituída por um arranjo periódico de funções delta de Dirac, chamado 
modelo de Kronig-Penney. 
Resumindo, no tratamento da equação de Schrödinger independente do tempo deve-se 
considerar: (a) que a função de onda é sempre contínua; (b) que a derivada da função de onda 
é contínua na ausência de função delta de Dirac e (c) se houver delta de Dirac na energia 
potencial, a integral da equação 5.25 deve ser calculada para relacionar as derivadas à direita e 
à esquerda do ponto onde o argumento da função delta de Dirac é nulo. 
Para exemplificar, vamos analisar o caso do chamado “potencial degrau”, definido por V = 0 para 
x < 0 e V = V0 para x > 0, como mostra a figura 5.2. 
 
Figura 5.2. O potencial degrau. 
45 
 
Vamos considerar inicialmente o caso em que a energia da partícula é E > V0. À esquerda do 
degrau, onde V(x) = 0, temos uma situação idêntica à do interior do poço infinito anteriormente 
abordado (equações 5.16 a 5.18): 
2
2 2
2
( ) ( )
d m
x E x
dx
 = − , (5.26) 
e fazendo 
2
2
2mE
k = , (5.27) 
 
2
2
2
( ) ( )
d
x k x
dx
 = − . (5.28) 
A solução geral, como vimos, é uma combinação de funções seno e cosseno, que vamos escrevê-
la como 
( ) ikx ikxx e Re −= + , (5.29) 
onde introduzimos o coeficiente R cujo significado ficará claro na questão seguinte. 
 
QUESTÃO 5.10: 
(a) Mostre que a função descrita pela equação 5.29 é solução da equação 5.28. 
(b) Calcule a densidade de corrente de probabilidade definida pela equação 4.33 do capítulo 
anterior para a função de onda descrita pela equação 5.29 e interprete o resultado. 
 
Na região do degrau, em 0x  , a equação de Schrödinger fica 
( )
2
02 2
2
( ) ( )
d m
x E V x
dx
 = − − , (5.30) 
e lembrando que E > V0, vamos definir o parâmetro positivo q2 por 
 
( )02
2
2m E V
q
−
= , (5.31) 
ficando com 
 
2
2
2
( ) ( )
d
x q x
dx
 = − , (5.32) 
cuja solução vamos escrever, introduzindo o coeficiente T, como 
( ) iqxx Te = . (5.33) 
46 
 
 
QUESTÃO 5.11: 
(a) Mostre que a função descrita pela equação 5.33 é solução da equação 5.32. 
(b) Calcule a densidade de corrente de probabilidade definida pela equação 4.33 do capítulo 
anterior para a função de onda descrita pela equação 5.33 e interprete o resultado. 
 
Assim, as expressões das equações 5.29 e 5.33 mostram um típico comportamento ondulatório, 
onde uma onda, ao incidir em um meio diferente (a região do degrau) se divide em uma parte 
refletida e outra transmitida. Isso não acontece com uma partícula clássica, que ao penetrar na 
região do degrau simplesmente teria a sua energia cinética reduzida de E para E – V0. Os 
coeficientes R e T são chamados de coeficientes de reflexão e de transmissão, respectivamente. 
 
QUESTÃO 5.12: Use as condições da continuidade da função de onda e de sua derivada em x 
= 0 para relacionar os coeficientes de reflexão (R) e de transmissão (T) aos parâmetros k e q. 
Como as equações 5.27 e 5.31 mostram que esses parâmetros são números reais, pode-se 
concluir que R e T também são reais? 
QUESTÃO 5.13: Use os resultados da questão anterior para comparar a densidade de corrente 
de probabilidade anterior ao degrau, obtida na questão 5.10, com a densidade de corrente de 
probabilidade na região do degrau, obtida na questão 5.11. Esse resultado é esperado pela 
análise da equação da continuidade? 
 
Vamos considerar agora o caso em que a energia da partícula é inferior à do degrau, E < V0. 
Classicamente a partícula jamais poderia penetrar na região do degrau, pois isso implicaria em 
uma energia cinética negativa. Vamos ver como fica o tratamento quântico desse caso. 
Na região anterior ao degrau nada muda, e continuamos usando as equações de 5.26 a 5.29 
para x < 0. Na região do degrau, em x > 0, temos agora 
( )
2
02 2
2
( ) ( )
d m
x V E x
dx
 = − , (5.34) 
e lembrando que agora V0 > E, vamos definir o parâmetro positivo r2 por 
 
( )02
2
2m V E
r
−
= , (5.35) 
ficando com 
47 
 
 
2
2
2
( ) ( )
d
x r x
dx
 = , (5.36) 
cuja solução geral tem a forma 
( ) rx rxx Ae Be −= + , (5.37) 
onde atribuímos ao parâmetro r a raiz positiva de r2 da equação 5.35. 
 
QUESTÃO 5.14: Mostre que a função descrita pela equação 5.37 é solução da equação 5.36. 
 
Como a função de onda deve se anular para x → , devemos descartar o segundo termo do 
lado direito da equação 5.37 e a função de onda no degrau fica 
( ) rxx Ae −= . (5.38) 
 
QUESTÃO 5.15: Calcule a densidade de corrente de probabilidade para a função descrita pela 
equação 5.38 e interprete o resultado. 
QUESTÃO 5.16: Calcule o coeficiente de reflexão R da função de onda descrita pela equação 
5.29 para esse caso de E < V0 e interprete o resultado. 
 
A equação 5.38 mostra que agora, diferentemente do que é proibido pela mecânica clássica, 
existe a possibilidade de penetração da partícula na região do degrau, sendo a probabilidade de 
encontrá-la em um intervalo dx em torno de uma posição x > 0 
* 2 2( ) ( ) rxdP x x dx A e dx  − = .(5.39) 
Estamos usando a proporcionalidade para a probabilidade na equação 5.39, pois não nos 
ocupamos de normalizar a função de onda, mas apenas nos preocupamos em compará-la nas 
regiões anterior ao degrau e no degrau. 
Da equação 5.35 vemos que no limite 0V → , r → e a probabilidade de penetração, dada 
pela equação 5.39, fica nula. Isso justifica o uso do termo “infinito” para o poço de paredes 
impenetráveis. 
Uma situação particularmente interessante e importante é quando uma partícula incide sobre 
uma região de extensão finita que para ela é classicamente proibida. O caso de tratamento mais 
simples é o de uma partícula de energia E que incide sobre uma barreira quadrada de energia 
potencial V0 constante e extensão d, sendo E < V0, como mostra a figura 5.3. 
48 
 
 
Figura 5.3: Uma barreira quadrada de potencial. 
 
Essa barreira pode ser interpretada como constituída por dois potenciais do tipo degrau, um em 
x = 0 e o outro em x = d. Podemos escrever a solução para a equação de Schrödinger 
independente do tempo como: 
( ) ikx ikxx e Re −= + para a região anterior à barreira, x < 0, 
 ( ) rx rxx Ae Be −= + para a região da barreira, 0 < x < d, 
( ) ikxx Te = para a região posterior à barreira, x > d, 
com as definições para os parâmetros k e r como nas equações 5.27 e 5.35. Uma importante 
diferença em relação ao caso do potencial degrau anteriormente abordado é que, ao contrário 
dele, não temos necessidade de descartar o termo de crescimento exponencial (o segundo 
termo do lado direito da equação 5.37),pois a barreira possui extensão finita e esse termo agora 
não “explode”. 
O tratamento segue a mesma receita usada ao tratar o potencial degrau: aplicar a continuidade 
da função de onda e de sua derivada em x = 0 e em x = d. A figura 5.4 ilustra o resultado dos 
cálculos, mostrando que existe a probabilidade da partícula atravessar a região que lhe seria 
proibida classicamente e ser encontrada após a barreira, fenômeno esse que é conhecido por 
“tunelamento quântico”. 
 
 
Figura 5.4. Tunelamento quântico através de uma barreira quadrada de potencial. 
 
49 
 
Um exemplo de tunelamento que ocorre na prática é quando fazemos uma ligação elétrica 
enrolando um fio condutor no outro. Dificilmente a superfície desses fios fica livre de uma 
camada de óxido, que proíbe a passagem dos elétrons da condução. No entanto, esse 
procedimento permite a condução, pois os elétrons tunelam por essa região proibida. 
Um segundo exemplo de tunelamento ocorre na emissão de partículas, como as partículas alfa, 
pelo núcleo atômico. Dentro do núcleo, devido à força nuclear forte, a partícula encontra-se em 
um poço atrativo de potencial, limitado por uma barreira de potencial devida à repulsão 
coulombiana, como mostra a figura 5.5. A travessia da barreira de potencial se dá por 
tunelamento. 
 
Figura 5.5. Energia potencial de interação de uma partícula nuclear com o núcleo atômico. 
 
Especialmente importante é o tratamento da partícula de massa m submetida à energia 
potencial de uma mola, 
21( )
2
V x kx= , que na mecânica clássica executaria a oscilação do 
movimento harmônico simples com a frequência angular 
k
m
 = . O operador hamiltoniano é 
2 2
2 2 21 1
2 2 2 2
p p
H kx m x
m m
= + = + (5.40) 
e a correspondente equação de Schrödinger independente do tempo é 
2 2
2 2
2
1
( ) ( ).
2 2
d
m x x E x
m dx
  
 
− + = 
 
 (5.41) 
Poderíamos resolver diretamente a equação diferencial dada pela equação 5.41, ainda que isso 
seja um pouco trabalhoso, mas, ao invés disso, vamos fazer uma abordagem mais elegante, que 
introduz os importantíssimos operadores “criação” e “destruição” e mostra mais uma vez a 
importância da comutação de operadores na mecânica quântica. 
Vamos fazer uma mudança de variáveis, reescrevendo o hamiltoniano da equação 5.40 como 
50 
 
( )2 2
1
2
H u q= + , (5.42) 
sendo as novas variáveis (operadores) 
p
u
m 
= (5.43) 
e 
m
q x

= . (5.44) 
 
QUESTÃO 5.17: Mostre que a comutação dos operadores q e u é 
 ,u q i= − . (5.45) 
 
Vamos introduzir dois novos operadores, definidos por 
1
( )
2
a q iu= + , (5.46) 
† 1 ( )
2
a q iu= − . (5.47) 
 
QUESTÃO 5.18: Mostre que 
†, 1a a  =  . (5.48) 
 
O sistema composto pelas equações 5.46 e 5.47 permite escrever os operadores u e q em termos 
desses novos operadores a e †a como 
†( )
2
i a a
u
−
= − ,(5.49) 
†
2
a a
q
+
= . (5.50) 
 Dessa forma, 
51 
 
2 2 † †u q aa a a+ = + . (5.51) 
Sendo o comutador † † †,a a aa a a  = −  , tem-se o termo 
† † †,aa a a a a = +  , e usando o 
resultado da questão 5.18, 
† †1aa a a= + , transformando a equação 5.51 em 
2 2 †1 2u q a a+ = + , (5.52) 
e tornando o hamiltoniano da equação 5.42 
1
†
2
H a a
 
= + 
 
. (5.53) 
 
QUESTÃO 5.19: Mostre que 
 ,H a a= − . (5.54) 
 
Sendo [ , ]Ha H a aH= + , usando-se a relação de comutação dada pela equação 5.54, tem-se 
Ha a aH= − + . (5.55) 
Vamos supor que a função ( )E x é autofunção do hamiltoniano correspondente ao autovalor 
(energia) E e construímos a função ( ) ( )Ex a x = . Aplicando-se o operador hamiltoniano 
nessa nova função tem-se, em acordo com a equação 5.55: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E E EH x Ha x a aH x E a x E x       = = − + = − + = − . (5.56) 
Vemos que a aplicação do operador a sobre ( )E x faz surgir uma nova autofunção do 
hamiltoniano, porém com o autovalor, isto é, a energia, diminuído de uma quantidade igual ao 
pacote de energia de Planck,  . Chamamos, então, o operador a de “operador destruição”. 
Sendo as energias do oscilador harmônico necessariamente não negativas, esse processo de 
aplicar sucessivamente o operador destruição e obter cada vez uma energia subtraída de 
deve parar quando aplicado a uma função de energia mínima 0 ( )x , o que pode ser traduzido 
como 
0( ) 0a x = . (5.57) 
Se fossem permitidas energias negativas, o operador destruição poderia ser aplicado infinitas 
vezes sobre as autofunções, obtendo infinitos valores negativos de energia. Usando o 
hamiltoniano na forma da equação 5.53, juntamente com a condição da equação 5.57, obtemos 
0 0
1
( ) ( )
2
H x x = , (5.58) 
52 
 
mostrando que 
1
2
 é a energia mínima do oscilador harmônico, correspondente à 
autofunção 
0 ( )x . O estado associado a essa função 0 ( )x encontra correspondência, na 
teoria quântica de campos, com o “estado do vácuo”, e a energia mínima 
1
2
 é chamada de 
“energia do vácuo”. 
Vamos agora reverter o processo, e verificar o que acontece quando o operador 
†a é aplicado 
sobre as autofunções ( )E x do hamiltoniano. 
 
QUESTÃO 5.20: Mostre que 
† †,H a a  = +  . (5.58) 
 
QUESTÃO 5.21: Usando a equação 5.58, mostre que 
† †( ) ( ) ( )E EHa x E a x  = + . (5.59) 
 
A equação 5.59 mostra que, ao contrário do operador destruição a , o operador †a aumenta o 
autovalor do hamiltoniano por uma quantidade  quando aplicado a uma autofunção. Por 
isso, o operador recebe o nome de “operador criação”. Enquanto aplicações sucessivas do 
operador destruição fazem descer uma escada de valores de energia, com degrau  , 
aplicações sucessivas do operador criação fazem subir essa mesma escada. Na teoria quântica 
de campos, os campos passam a ser operadores descritos por uma combinação desses 
operadores criação e destruição. 
Até agora nos focamos nos autovalores do hamiltoniano, que são as energias permitidas à 
partícula, mas nada falamos da forma das autofunções. Substituindo as expressões dadas pelas 
equações 5.43 e 5.44 na equação 5.46, o operador destruição fica 
2 2
m p
a x i
m


= + , (5.60) 
e lembrando que 
d
p
i dx
= , 
1
2
d
a m x
dxm


 
= + 
 
. (5.61) 
Dessa forma, a destruição do estado fundamental, descrita pela equação 5.57, implica em 
53 
 
0 ( ) 0
d
m x x
dx
 
 
+ = 
 
, (5.62) 
ou 
0 0( ) ( )
d m
x x x
dx

 = − , (5.63) 
cuja solução é 
2 / 2
0( )
m xx Ce  −= , (5.64) 
em que C é a constante necessária à normalização da função. 
 
QUESTÃO 5.22: Mostre que a função descrita pela equação 5.64 é solução da equação 
diferencial 5.63. 
 
QUESTÃO 5.23: Calcule a constante de normalização C. 
 
De forma parecida ao que foi feito para o operador destruição a , a substituição das expressões 
das equações 5.43 e 5.44 na equação 5.47 faz com que o operador criação possa ser expresso 
como 
† 1
2
d
a m x
dxm


 
= − 
 
. (5.65) 
Assim, as demais autofunções do hamiltoniano do oscilador harmônico, correspondentes às 
energias de “subida da escada” de degrau  , podem ser obtidas por sucessivas aplicações do 
operador criação, na forma da equação 5.65, sobre a função da energia mínima, 0 ( )x , sempre 
se fazendo acompanhar pelo processo de normalização da função. Essas funções, e as 
respectivas densidades de probabilidade, estão representadas na figura 5.6, mostrando que 
ocorre alguma penetração da partícula em regiões que classicamente lhe seriam proibidas. 
54 
 
 
Figura 5.6. (a) As autofunções do oscilador harmônico e (b) as respectivas densidades de 
probabilidade. 
 
55 
 
CAPÍTULO 6 - A NOTAÇÃO DE DIRAC 
 
A notação de Dirac torna bastante elegante a física quântica, de forma análoga ao papel que a 
notação vetorial desempenhou na física clássica. Aliás, a notação de Dirac é fortemente 
inspirada na notação vetorial. 
Na notação de Dirac, um estado quântico é representado por um “ket”  , que possuium 
estado correspondente “bra”  . Da mesma forma que um vetor pode representar muitas 
grandezas, como velocidade, força, campo elétrico, etc., esse estado quântico pode representar 
a partícula em um estado de posição, momento linear, spin, etc. 
A operação “produto escalar” entre os estados  e  é representada por  e, no caso 
destes estados encontrarem correspondência nas funções de onda α(x) e β(x), fica definida por 
)()( xxdx  

−
= . 
Considere uma função de onda ψ(x) escrita como uma superposição de autofunções ϕi(x) do 
hamiltoniano, =
i
ii xcx )()(  , correspondendo, na notação de Dirac, a ic
i
i= . 
Da mesma forma que a base de vetores unitários constituída pelos elementos  ˆˆ ˆ, ,i j k pode ser 
usada para expressar um vetor na forma ˆˆ ˆ
x y zv v i v j v k= + + , os elementos  1 , 2 ,..., ,...i
podem ser usados para expressar um estado quântico num espaço semelhante ao espaço 
vetorial, chamado “espaço de Hilbert”. Apesar da semelhança com o espaço de três dimensões 
com o qual usualmente se trabalha na física clássica, esse espaço de Hilbert pode possuir um 
número infinito de dimensões, e os coeficientes que multiplicam os elementos da base podem 
ser números complexos. 
 
QUESTÃO 6.1: Mostre que  =
*
. 
QUESTÃO 6.2: Escreva a condição de normalização da função de onda, 1)()(* =

−
xxdx , 
na notação de Dirac. 
 
56 
 
QUESTÃO 6.3: Expresse a condição de ortonormalidade das autofunções do hamiltoniano, 
ijji xxdx  =

−
)()(
*
, na notação de Dirac. 
Observe que isso é análogo a ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k =  =  = e ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i j j k k i =  =  = . 
 
QUESTÃO 6.4: Mostre que os coeficientes ci podem ser obtidos através de = ici . Observe 
a semelhança com ˆˆ ˆ, ,x y zv i v v j v v k v=  =  =  
 
QUESTÃO 6.5: Mostre que Iii
i
= , onde I é o “operador identidade”, definido por 
= I . Quando os elementos i da base satisfazem esta relação dizemos que a base é 
“completa”, no sentido de poder ser usada para expressar qualquer estado quântico, e a relação 
recebe o nome de “relação de completeza”. 
 
QUESTÃO 6.6: Na notação de Dirac a função de onda é ( )x x =  , constituindo os 
coeficientes da expansão do estado quântico  em termos de uma base formada por um 
número infinito, contínuo, de elementos de posição x . Nesse caso, o somatório anteriormente 
usado deve ser substituído por uma integral, ficando a expansão 
( )dx x x dx x x dx x x =  =  =    . 
(a) Mostre que a relação de ortonormalidade entre esses elementos contínuos x é dada por 
, ,( )x x x x= − , onde δ(x) é a função delta de Dirac. 
(b) Como fica a relação de completeza para essa base de elementos contínuos  x ? 
OBSERVAÇÃO: Atente para a semelhança no uso dos coeficientes = ici e ( )x x =  
para cálculo probabilístico. A probabilidade de encontrar o estado i é dada por i i iP c c
= , 
enquanto a probabilidade de encontrar a partícula em torno de um estado de posição x é 
( ) ( )dP x x dx=  . 
 
 
57 
 
No capítulo 5 vimos que as autofunções normalizadas do operador momento linear são 
/1( )
2
ipx
p x e

= . Na notação de Dirac temos ( )p x x p = e, sendo assim, um estado 
quântico  pode ser expresso também em termos de uma base constituída pelos elementos 
de momento linear p por meio de ˆ ( )dp p p dp p p =  =   . Os coeficientes que 
multiplicam os elementos da base nessa nova expansão são 
( ) .p p p dx x x dx p x x =  =  =   
Usando-se 
* /1( )
2
ipx
pp x x p x e

 −= = = , esses coeficientes passam a ser 
/1( ) ( )
2
ipxp dx e x

− =  e podemos notar que eles são a transformada de Fourier dos 
coeficientes ( )x , que multiplicam os elementos da base de posição x . 
Para sermos rigorosos, na representação dos estados de posição, x , o já nosso bem conhecido 
operador momento linear, para atuar sobre um estado “ket”, é expresso como 
p dx x x
i x

=

. Isto faz com que a atuação dele sobre um estado quântico resulte no 
nosso familiar procedimento de derivação em relação à posição da função de onda, pois 
' ' ( ') ( ) ( ')
'
x p dx x x x dx x x x x
i x i x i x
    
  
= = − =
   
 . 
 
QUESTÃO 6.7: Como fica o operador posição, x , quando representado em termos dos estados 
de momento linear? 
 
QUESTÃO 6.8: Obtenha a solução para a função de onda do poço quadrado infinito, que se 
estende de x = 0 até x = L, através da representação no espaço dos estados de momento linear. 
 
QUESTÃO 6.9: O estado  pode ser expresso por um “vetor coluna” na forma 










=
...
2
1
c
c
. 
Mostre que, neste caso, os elementos da base escrevem-se como 










=
...
0
1
1 , 










=
...
1
0
2 , etc. 
58 
 
 
QUESTÃO 6.10: Argumente que, para se obedecer à regra de multiplicação de matrizes, se um 
estado “ket” é um vetor coluna, um estado “bra” deve ser um “vetor linha”. 
 
QUESTÃO 6.11: Mostre que, para se obedecer à regra de multiplicação de matrizes juntamente 
com  =
*
, se o estado “ket” é 










=
...
2
1
a
a
 , então o estado “bra” correspondente é 
( )...*2*1 aa= . Ou seja, para obtermos um estado “bra” representado por um vetor linha 
a partir de um estado “ket” representado por um vetor coluna, trocamos a coluna pela linha, 
mas tomando o cuidado de tomarmos o complexo conjugado dos elementos presentes na 
coluna. 
 
QUESTÃO 6.12: Usando as representações em linha e em coluna dos estados “bra” e “ket”, 
mostre que ijji = 
 
QUESTÃO 6.13: Sendo 





=
0
1
1 e 





=
1
0
2 , use a regra de multiplicação de matrizes para 
mostrar que Iii
i
= , onde I é a matriz identidade. Atente para o fato que a ordem dos 
elementos é importante nesse formalismo: enquanto  é um produto escalar, isto é, 
uma operação entre os estados  e  que resulta em um escalar,  é uma matriz. 
 
QUESTÃO 6.14: Operadores transformam um estado quântico em outro estado quântico. Sendo 
 A= , argumente que, se os estados “ket” são representados por vetores coluna, o 
operador A deve ser representado por uma matriz. 
 
QUESTÃO 6.15: Sendo a base de estados constituída pelos elementos 





=
0
1
1 e 





=
1
0
2 e 
11 12
21 22
a a
a a
 
 
 
a matriz que representa o operador A descrita nessa base, verifique que os 
59 
 
elementos dessa matriz são dados por jAia
ji
= . Atente para o fato que, sempre que uma 
matriz representar um operador, fica implícita a escolha de uma base para representá-la. 
 
QUESTÃO 6.16: Enquanto a relação entre estados “ket” escreve-se como  A= , a relação 
entre os respectivos estados “bra” escreve-se como 
tA = , onde At é chamado de 
operador adjunto de A. Mostre que a matriz que representa At é obtida da matriz A trocando as 
linhas pelas colunas e tomando o conjugado dos elementos. 
 
QUESTÃO 6.17: Os autoestados a e os correspondentes autovalores λa de uma matriz A são 
definidos pela relação aaA a= . Um operador é chamado de “hermitiano” quando os seus 
autovalores são números reais. Argumente que o operador hamiltoniano é hermitiano. 
 
QUESTÃO 6.18: Mostre que se dois operadores comutam, o autoestado de um deles é também 
autoestado do outro. 
 
QUESTÃO 6.19: Nessa notação o valor médio de um operador A, computado sobre um estado 
quântico  , escreve-se como  AA = . Operadores hermitianos, como o 
hamiltoniano H, tem valores médios reais. Mostre que Ht = H, ou seja, que o adjunto do operador 
hamiltoniano é ele mesmo e, portanto, ele é denominado autoadjunto. 
 
QUESTÃO 6.20: Considere os autoestados i e j do hamiltoniano, e os respectivos 
autovalores (energias) Ei e Ej. Mostre que, se ji EE  , uma vez que o hamiltoniano é 
hermitiano, tem-se 0=ji , o que justifica a ortogonalidade entre os autoestados do 
hamiltoniano, correspondentes a energias diferentes.QUESTÃO 6.21: O operador projetor do estado j é definido por jP j j= . Calcule o seu 
valor médio quando a partícula está no estado ic
i
i= e interprete o resultado. 
 
60 
 
QUESTÃO 6.22: Sendo os autovalores do hamiltoniano 
1 2, , ..., , ...iE E E correspondentes aos 
seus autoestados 1 , 2 , ..., , ...i , obtenha a matriz que representa o operador hamiltoniano 
usando como base os seus autoestados, isto é, calcule os elementos da matriz do hamiltoniano 
através de ,i jH i H j= . 
 
QUESTÃO 6.23: A “matriz densidade” para um estado quântico  é construída usando-se o 
operador  =   . 
(a) Sendo o estado ic
i
i= , calcule os elementos da matriz densidade usando a base de 
elementos  1 , 2 ,..., ,...i , isto é, calcule os elementos ,i j i j = . 
(b) Calcule o traço da matriz densidade obtida em (a) e interprete o resultado. 
(c) Usando a matriz que representa o hamiltoniano, obtida na questão 6.20, calcule o traço da 
matriz que representa o produto de operadores H e interprete o resultado. 
A equação de Schrödinger é adequada ao tratamento de partículas de massa de repouso não 
nula, em regime não relativístico. Apesar do fóton não possuir massa de repouso, podemos usar 
a notação de Dirac para descrever os seus estados de trajetória e polarização. Aqui abordaremos 
a polarização da luz. 
Para a luz de polarização plana, o plano de polarização é aquele no qual o campo elétrico oscila 
durante a propagação da onda eletromagnética, como mostra a figura 6.1. 
 
Figura 6.1. Esquema de uma onda eletromagnética com polarização plana. 
 
61 
 
Ao se incidir luz em uma placa plano-polarizadora (também chamada de polarizador), ela 
permite passar apenas a componente do campo elétrico paralela ao eixo de polarização da 
placa. Sendo E0 a amplitude do campo elétrico da onda incidente na placa e ϴ o ângulo entre o 
plano da onda incidente e o eixo de polarização da placa, a componente do campo elétrico que 
a placa deixa passar é 0 cosE E = . No entanto, devido à altíssima frequência de oscilação das 
ondas do espectro visível, não observamos o campo elétrico, mas a intensidade (ou brilho), que 
é a energia por área por tempo. Como a energia associada ao campo elétrico é proporcional ao 
quadrado deste, a intensidade também é proporcional ao quadrado do campo elétrico. Assim, 
incidindo luz de polarização plana, de intensidade I0, sobre uma placa plano-polarizadora, a 
intensidade que passa é 20 cosI I = , expressão que é conhecida por “lei de Malus da 
polarização”. Mas essa é uma descrição clássica, adequada para a luz constituída por um número 
muito grande de fótons. Se incidirmos fótons um a um sobre o polarizador, cada fóton somente 
tem as opções de passar pela placa ou não passar, pois não observamos fração do fóton. Logo, 
em uma descrição quântica, a lei de Malus passa a valer em termos estatísticos, descrevendo a 
probabilidade do fóton passar pela placa. 
 
QUESTÃO 6.24: Na descrição dos fótons podem ser usados como base os estados de luz plano-
polarizada nas direções x e y, escritos como 





=
0
1
x e 





=
1
0
y , respectivamente. 
Considere um estado de polarização do fóton dado por cos senx y  = + . 
(a) Mostre que o estado  está normalizado. 
(b) Lembrando que os coeficientes que multiplicam os elementos da base são usados no cálculo 
da probabilidade, mostre que a lei de Malus pode ser obtida no cálculo da probabilidade de um 
fóton no estado  passar por uma placa plano-polarizadora que permite passar fótons apenas 
no estado x . 
 
Materiais como a calcita exibem um fenômeno chamado de birrefringência, em que a velocidade 
da onda eletromagnética que os atravessa depende da sua polarização. Podemos cortar um 
material birrefringente na forma de uma placa de espessura tal que a componente vertical do 
campo elétrico (na direção y) se adiante ou se atrase de um ângulo de fase de π/2 em relação à 
componente horizontal (na direção x) ao atravessar a placa, que é então chamada de “placa de 
λ/4”. 
Vamos supor que estamos incidindo perpendicularmente à placa de λ/4 uma onda 
eletromagnética que se propaga na direção z e cujas componentes nas direções x e y são, 
imediatamente antes de atingir a placa, de mesma amplitude e descritas por 
62 
 
, 0 cos( )x antesE E kz t= − 
, 0 cos( )y antesE E kz t= − 
Se ao atravessar a placa a componente y se adianta de π/2 em relação à componente x, temos 
depois da placa 
, 0 cos( )x depoisE E kz t= − 
, 0 0cos( / 2) sen( )y depoisE E kz t E kz t  = − + = − − . 
Se jogarmos valores de tempo nas expressões acima veremos que após a placa o campo elétrico 
da onda eletromagnética gira no sentido anti-horário à medida que a onda se propaga, quando 
a onda é observada de uma posição à sua frente. Dizemos que essa onda possui polarização 
circular direita. 
Se, ao contrário, a componente y se atrasa de π/2 em relação à componente x, temos depois da 
placa 
, 0 cos( )x depoisE E kz t= − 
, 0 0cos( / 2) sen( )y depoisE E kz t E kz t  = − − = − 
e o campo elétrico agora gira no sentido horário, constituindo uma onda de polarização circular 
esquerda. 
Atualmente, essas polarizações circulares são usadas nos cinemas na exibição de filmes em três 
dimensões (3D), fazendo uso de óculos em que uma das lentes deixa passar a imagem com luz 
de polarização direita, enquanto a outra deixa passar a imagem com luz de polarização esquerda 
(na verdade, no cinema 3D, as amplitudes das componentes x e y das ondas não são exatamente 
iguais e, para se expressar corretamente, a luz é de polarização elíptica). O cérebro compara as 
imagens produzidas em cada olho para atribuir profundidade aos objetos observados. 
É comum na teoria eletromagnética expressarmos o campo elétrico de uma onda 
eletromagnética na notação de números complexos, como 
 ( )0 0 cos( ) sen( )
i kz tE E e E kz t i kz t     − += = − + + − + . 
 
Nessa notação, as componentes x e y da onda circularmente polarizada direita são escritas como 
( )
0
i kz t
xE E e
−= 
( / 2) ( ) / 2 ( )
0 0 0
i kz t i kz t i i kz t
yE E e E e e i E e
    − + − −= = = , 
63 
 
onde vemos que y xE iE= , ficando o campo elétrico, na notação de vetor coluna: 
1
R xE E
i
 
=  
 
. 
Já a componente y da onda circularmente polarizada esquerda escreve-se como 
( / 2) ( ) / 2 ( )
0 0 0
i kz t i kz t i i kz t
yE E e E e e iE e
    − − − − −= = = − , 
ficando y xE i E= − e o campo elétrico: 
1
L xE E
i
 
=  
− 
. 
 
 
QUESTÃO 6.25: Sendo os estados de luz plano-polarizada nas direções x e y, escritos como 






=
0
1
x e 





=
1
0
y , os estados correspondentes à luz circularmente polarizada “direita” 
e “esquerda”, que também constituem uma base para descrição dos fótons, escrevem-se, 
respectivamente, como ( )
11 1
2 2
R x i y
i
 
= = + 
 
 e 
( )
11 1
2 2
L x i y
i
 
= = − 
− 
 . 
(a) Mostre que os estados R e L são normais e ortogonais entre si. 
(b) A questão 6.11 mostra que Iyyxx =+ , onde I é o operador identidade, 
representado pela matriz identidade. Portanto a base constituída pelos elementos yx ,
obedece à relação de completeza. Mostre que também temos ILLRR =+ . Logo, a 
base constituída pelos elementos LR , também obedece à relação de completeza e é 
igualmente boa para descrever os estados de polarização dos fótons. 
 
 
QUESTÃO 6.26: Considere um fóton no estado R . Qual é a probabilidade dele ser encontrado 
no estado x ? E no estado y ? 
 
 
QUESTÃO 6.27: Considere um fóton no estado x . Qual é a probabilidade dele ser encontrado 
no estado R ? E no estado L ? 
 
64 
 
 
QUESTÃO 6.28: Considere um fóton no estado 
3 1
2 2
x y = + . 
(a) Mostre que esse estado  está normalizado. 
(b) Qual é a probabilidade de um fóton nesse estado  ser encontrado em cadaum dos 
estados x , y , R e L ? 
 
65 
 
CAPÍTULO 7 – SISTEMAS DE DOIS NÍVEIS 
 
7.1. A evolução temporal do estado quântico 
Na notação de Dirac, a equação que descreve a evolução temporal do sistema quântico, que é 
a equação de Schrödinger, escreve-se como 
( ) ( )
d
i t H t
dt
 = , (7.1) 
onde H é o operador hamiltoniano. Se usarmos os elementos 1 , 2 ,..., ,...i como uma 
base ortonormal para expandirmos o estado quântico na forma 
1 2( ) ( ) 1 ( ) 2 ... ( )i
i
t c t c t c t i = + + = , veremos que são os coeficientes 
 ( ) ( )ic t i t= (7.2) 
os responsáveis pela evolução temporal do estado. Esses coeficientes estão relacionados à 
probabilidade de encontrar numa medição um dos estados i através de 
*( ) ( ) ( )i i iP t c t c t= . (7.3) 
Vamos introduzir o operador identidade, que não altera o estado quântico, representado pela 
relação de completeza 
j
I j j= , no lado direito da equação 7.1, 
( ) ( )
j
d
i t H j j t
dt
 =  , (7.4) 
e, fazendo o produto escalar com o elemento i nos dois lados da equação 7.4, obtemos 
( ) ( )
j
d
i i t i H j j t
dt
 = . (7.5) 
Lembrando que os elementos da matriz que representa o operador hamiltoniano nessa base 
são dados por ,i jH i H j= e que os coeficientes podem ser obtidos pela equação 7.2, 
temos para a evolução dos coeficientes a equação 
,
( )
( )i i j j
j
dc t
i H c t
dt
= . (7.6) 
Traduzindo, são os elementos da matriz que representa o hamiltoniano que governam a 
evolução do estado quântico. 
66 
 
Vamos supor que na base usada a matriz do hamiltoniano seja diagonal, onde os elementos são 
dados por ,i j iH E= para i j= , e , 0i jH = para i j . Nesse caso, a equação 7.6 torna-se 
simplesmente 
( )
( )i i i
dc t
i E c t
dt
= , (7.7) 
cuja solução é 
/
( ) (0) i
iE t
i ic t c e
−
= . (7.8) 
Dessa forma, fica muito fácil escrever a evolução do estado quântico, que fica 
1 2 // /
1 2( ) (0) 1 (0) 2 ... (0)
iiE tiE t iE t
i
i
t c e c e c e i −− −= + + = . (7.9) 
Além disso, com a probabilidade dada pela equação 7.3, temos ( ) (0)i iP t P= , de forma idêntica 
ao que acontecia com os coeficientes que multiplicavam as autofunções do hamiltoniano, no 
capítulo 5. Logo, quando a base usada para expressar a matriz do hamiltoniano torna-a diagonal, 
os seus elementos são chamados de estados estacionários. Assim, uma boa estratégia para 
estudar a evolução do estado quântico é procurar os estados (elementos da base) que tornam 
a matriz do hamiltoniano diagonal. Para isso precisamos saber achar os autovalores e os 
respectivos autoestados de uma matriz. 
 
7.2. Um pouco de álgebra linear 
O autoestado  de um operador A , correspondente ao autovalor λ, obedece a 
A   = . (7.10) 
Vimos no capítulo anterior que os operadores podem ser expressos por meio de matrizes e os 
estados “ket” através de vetores coluna. Por simplicidade, trataremos aqui um “sistema de dois 
níveis”, isto é, em que a base para os estados quânticos é constituída por dois elementos, 
1
1
0
 
=  
 
 e 
0
2
1
 
=  
 
. Sempre que usamos uma matriz para representar um operador, está 
implícito o uso de uma base, pois lembramos que os elementos da matriz são dados por 
ija i A j= . Portanto, a matriz que representa os operadores em um sistema de dois níveis é 
uma matriz 2x2 e, dessa forma, a equação 7.10 é escrita na forma matricial como 
11 12
21 22
a a x x
a a y y

     
=     
    
. (7.11) 
Inserindo a matriz identidade no lado direito da equação 7.11, temos 
67 
 
11 12
21 22
1 0 0
0 1 0
a a x x x
a a y y y



           
= =           
          
, 
ou 
11 12
21 22
0
a a x
a a y


−   
=   
−   
. (7.12) 
O sistema da equação 7.12 admite solução não-trivial, isto é, uma solução em que ambos x e y 
não sejam nulos, se o determinante da matriz que representa o operador for nulo: 
11 12 11 12
21 22 21 22
Det 0
a a a a
a a a a
 
 
− − 
= = 
− − 
. (7.13) 
Observação: usamos a notação de colocar a matriz entre barras verticais para representar a 
operação de obter o seu determinante. 
No caso do sistema de dois níveis, o determinante acima implica em uma equação de segundo 
grau, 11 22 12 21( )( ) 0a a a a − − − = , que possui duas raízes, que são os autovalores λ1 e λ2. 
Cada um desses autovalores λi retorna à equação 7.11 para obter a relação entre os elementos 
x e y do vetor coluna, que representa o autoestado i correspondente, através de 
11 12 ia x a y x+ = ou de 12 22 ia x a y y+ = . 
Finalmente, cada um dos autoestados i deve ser normalizado, de modo que 1i i  = . 
Resumindo: 
1° passo: encontram-se os autovalores da matriz que representa o operador; 
2° passo: obtém-se a relação entre os elementos x e y do vetor coluna que representa o 
autoestado correspondente a cada autovalor; 
3° passo: normalizam-se os autoestados. 
 
QUESTÃO 7.1: Mostre que para um operador representado por uma matriz diagonal, isto é, que 
possui elementos não nulos apenas na sua diagonal principal, como a matriz 
11
22
0
0
a
a
 
 
 
, 
os seus autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal e os autoestados 
normalizados correspondentes são os elementos da base usada para expressar a matriz, isto é, 
1 11a = , 1
1
0

 
=  
 
 e 2 22a = , 2
0
1

 
=  
 
. 
68 
 
O que se pede para mostrar na questão 7.1 é importantíssimo e aqui o expressaremos em outra 
forma: usando-se como base os seus autoestados normalizados, a matriz que representa um 
operador torna-se diagonal, sendo que os autovalores constituem a sua diagonal principal. E, 
como vimos no final da seção anterior, no caso do operador hamiltoniano, os autoestados são 
os estados estacionários. 
 
7.3. Sistemas quânticos de dois níveis 
Quando submetido a um campo elétrico E , um dipolo elétrico 
E sofre um torque 
E E E =  e possui uma energia potencial devida à interação com o campo dada por 
E EU E= −  . De forma análoga, em um campo magnético B um dipolo magnético B sofre 
um torque B B B =  e possui uma energia potencial B BU B= −  . Em um campo uniforme, 
o dipolo simplesmente procura se orientar com o campo, mas em um campo não uniforme ele 
também é forçado a se deslocar para minimizar a sua energia potencial de interação com o 
campo. 
Em 1922 Stern e Gerlach realizaram um experimento que causou um impacto muito grande na 
Física. Eles submeteram um feixe de átomos de prata, que possuem momento magnético, a um 
campo magnético não uniforme, como na figura 7.1, e observaram que o feixe se dividia em 
dois: um com o momento magnético paralelo ao campo e de energia B BU B= − , e o outro 
com o momento magnético antiparalelo ao campo e de energia B BU B= + . Se fosse usado 
um feixe de partículas clássicas com momento magnético, como limalhas de um magneto, o 
feixe deveria exibir toda a faixa de energia entre BB− e BB+ , e o surpreendente é que o 
feixe de átomos exibia apenas dois níveis de energia, mostrando a discretização do momento 
magnético, que foi posteriormente atribuída ao spin do elétron. 
Observação: O experimento foi realizado com átomos neutros, pois se fosse realizado com 
partículas eletricamente carregadas, a força de Lorentz, BF qv B=  , impediria a separação dos 
feixes. 
 
69 
 
 
 
Figura 7.1: O experimento de Stern-Gerlach, que utiliza magnetos que proporcionam um campo 
magnético não-uniforme, pelo qual passa um feixe de átomos de prata, que se depositam em 
uma tela após os magnetos, revelando dois níveis de energia para os átomos, devido à sua 
interação com o campo magnético. 
 
QUESTÃO 7.2: Considere um aparato de Stern-Gerlach em que o campo magnético está na 
direção vertical, apontando para baixo, e é mais intenso em cima que embaixo. Partículas com 
momento magnético antiparalelo ao campo tendem a subir ou descerao passar por esse campo 
magnético? 
 
 
De forma semelhante ao experimento original de Stern-Gerlach, pode-se fazer passar um feixe 
de átomos ou moléculas que apresentam dipolo elétrico por um campo elétrico não uniforme 
que também divide o feixe, revelando dois níveis de energia. Como exemplo, Feynman, no 
terceiro volume das suas “Lições de Física”, aborda a molécula de amônia, NH3, que possui um 
dipolo elétrico orientado do átomo de nitrogênio para o plano constituído pelos átomos de 
hidrogênio. Vamos usar a mesma notação do Feynman e considerar o estado 1 como aquele 
em que o átomo de nitrogênio está acima e o dipolo aponta para baixo, e o estado 2 como 
aquele em que o átomo de nitrogênio está abaixo e o dipolo aponta para cima, como mostra a 
figura 7.2 (a direção vertical é definida pelo arranjo do experimento a ser executado). 
70 
 
 
 
Figura 7.2. As configurações da molécula de NH3 correspondentes aos seus estados 1 e 2 . 
 
Na ausência de interação com um campo elétrico externo, o hamiltoniano que governa a 
evolução dessa molécula é representado, usando como base os estados 1 e 2 , pela matriz 
0
0
U A
H
A U
− 
=  
− 
, (7.14) 
onde U0 é a energia cinética da molécula e o significado do parâmetro A (A > 0), que está fora 
da diagonal principal, será esclarecido resolvendo as questões seguintes. 
 
QUESTÃO 7.3: (a) Encontre os autovalores e os respectivos autoestados normalizados da matriz 
acima, seguindo os três passos da seção anterior. Chame de  o autoestado correspondente 
à maior energia e de  o correspondente à menor energia. (b) O que mudaria se os termos 
da diagonal secundária da matriz do hamiltoniano fossem positivos, isto é, se a matriz fosse 
0
0
U A
H
A U
 
=  
 
? 
QUESTÃO 7.4: Mostre que os estados  e  são ortogonais entre si, em acordo com o que 
se espera de autoestados de um operador hermitiano, correspondentes a autovalores 
diferentes. 
 
71 
 
QUESTÃO 7.5: Escreva a matriz que representa o hamiltoniano usando como base os estados 
 e  , calculando os elementos da matriz dados por H H  = , H H  = , 
H H  = , H H  = . Essa nova matriz está em acordo com o que foi chamado 
à atenção ao final da seção 7.2? 
 
QUESTÃO 7.6: Suponha que no tempo t = 0 uma medição mostrou que o estado da molécula 
de NH3 é o estado 1 , aquele em que o átomo de nitrogênio está em cima e o dipolo aponta 
para baixo. Qual é a probabilidade de, em um tempo posterior t > 0, a molécula continuar no 
estado 1 ? E de ser encontrada no estado 2 , aquele em que o átomo de nitrogênio está 
embaixo e o dipolo aponta para cima? 
Guia para a solução: 
1 – Faça uma mudança de base, escrevendo o estado inicial da molécula, (0) 1 = , como 
uma combinação dos estados estacionários  e  ; 
2 – Aplique a evolução temporal dos estados estacionários para encontrar ( )t ; 
3 – Retorne à base anterior, escrevendo o estado ( )t como uma combinação dos estados 
1 e 2 ; 
4 – Relacione os coeficientes que multiplicam os estados 1 e 2 às probabilidades solicitadas. 
 
A solução da questão 7.6 mostra que a probabilidade da molécula permanecer no estado 1 é 
2
1 cos ( / )P At= e que a probabilidade dela ser encontrada no estado 2 é 
2
2 sen ( / )P At= . 
Como a matriz do hamiltoniano não é diagonal na base dos elementos 1 e 2 , esses estados 
não são estacionários e a molécula transita entre esses dois estados, sendo que o parâmetro A, 
que se encontra nos elementos da matriz fora da diagonal principal, é o responsável por essa 
transição. Essa transição ocorre pelo tunelamento do átomo de nitrogênio através do plano 
definido pelos três átomos de hidrogênio da molécula. 
Se no tempo t = 0 o estado da molécula foi medido como 1 , e uma nova medição for realizada 
após um tempo muito pequeno t1 tal que, no argumento da função cosseno da probabilidade 
P1, 
1 0
At
→ , essa probabilidade tende a 1 e a molécula tende a permanecer no mesmo estado 
1 . Se outra medida for realizada em um tempo t2 tal que o intervalo t2 – t1 seja novamente 
muito pequeno, essa probabilidade continua sendo praticamente 1. Assim, uma sucessão de 
72 
 
medidas realizadas a intervalos de tempo muito pequenos praticamente congela o estado, 
inibindo a sua transição. É como se a molécula, tímida, ficasse inibida de exibir a transição para 
o outro estado ao ser observada. Esse efeito é conhecido como “efeito Zenão quântico”, em 
homenagem ao filósofo da Grécia antiga que argumentava que toda mudança é ilusória. 
 
QUESTÃO 7.7: Suponha que à molécula de NH3, que possui um dipolo elétrico de módulo μ, é 
aplicado um campo elétrico na vertical, apontando para cima, de módulo E. 
(a) Se a molécula não sofresse transição entre os estados 1 e 2 , isto é, se A = 0, como ficaria 
a matriz que representa o seu hamiltoniano usando-se como base esses elementos 1 e 2 ? 
(b) Levando em conta o resultado do item (a), escreva a matriz do hamiltoniano da molécula de 
NH3 quando ela pode transitar entre os estados 1 e 2 , na presença do campo elétrico acima 
mencionado. Use a mesma base dos elementos 1 e 2 . 
(c) Calcule os autovalores da matriz do item (b). 
 
Com os campo elétricos usuais, .E A  Logo, a expansão binomial ( )1 1
n
x nx+  + quando 
1x  pode ser aplicada nos autovalores da matriz do hamiltoniano, encontrados no item (c) 
da QUESTÃO 7.7, que ficam dados por 
2 2
0
2
I
E
U U A
A

= + + , (7.15) 
2 2
0
2
II
E
U U A
A

= − − . (7.16) 
Se o campo elétrico aplicado não é homogêneo, as moléculas de NH3 nos estados das energias 
acima sofrem uma força devida à interação com o campo dada por F U= − . Assim, as 
moléculas nos estados de maior e menor energia sofrem forças de sentido opostos quando 
submetidos a um campo elétrico não homogêneo E(z), dadas por  
2
2
( )
2
d
E z
A dz

 , e podem 
ser separadas pela aplicação desse campo. 
 
Vamos supor agora que a molécula de NH3 vai interagir com o campo elétrico proveniente de 
uma onda eletromagnética, E(t), que oscila senoidalmente com o tempo. Levando em 
consideração o que foi obtido no item (b) da questão 7.7, na base dos estados 1 e 2 a matriz 
hamiltoniana deverá ser escrita como 
73 
 
0
0
( )
( )
U E t A
H
A U E t


+ − 
=  
− − 
 (7.17) 
que não possui estados estacionários, pois os seus autovalores dependem do tempo. 
 
QUESTÃO 7.8: Expresse a matriz hamiltoniana usando como base os estados  e 
encontrados na questão 7.3. 
 
Identificamos na diagonal principal da matriz obtida na questão 7.8 os auto-valores do 
hamiltoniano na ausência do campo elétrico externo, quando ( ) 0E t = . Porém, devido ao 
elemento perturbador ( )E t que aparece fora da diagonal principal, os estados  e  não 
mais constituem estados estacionários. Inicialmente, na ausência do campo elétrico externo, 
quando usamos como base os estados 1 e 2 , vimos que era o elemento –A, que aparecia 
fora da diagonal principal, que causava a transição entre os estados 1 e 2 . De forma 
semelhante, agora é o elemento perturbador que vai provocar a transição entre os estados 
e  . 
O estado quântico da molécula pode ser expresso, usando a base dos estados  e  , como 
( ) ( ) ( )t c t c t   = + (7.18) 
onde, de acordo com a equação 7.6, que descreve a evolução temporal dos coeficientes, eles 
ficam determinados por 
( )0
( )
( ) ( ) ( )
dc t
i U A c t E t c t
dt

 = + + , (7.19) 
( )0
( )
( ) ( ) ( )
dc t
i E t c t U A c t
dt

 = + − . (7.20) 
Vamos considerar que o elemento perturbador é pequeno, isto é, ( )E t A  e 
0( )E t U  . Podemos, então, tentar aproveitar o que conhecemos da evolução dos estados 
estacionários, modificando um pouco a evolução dos coeficientes que era ditada pela equação 
7.8, escrevendo 
/
( ) ( )
U t
c t t e  
−
= , (7.21) 
/
( ) ( )
U t
c t t e  
−
= , (7.22) 
74 
 
onde as antigas energias da moléculasão 0U U A = + e 0U U A = − , e os desvios do 
comportamento em relação ao que se teria sem a perturbação causada pelo campo elétrico 
externo são jogados para dentro cos coeficientes ( )t e ( )t , que agora dependem do tempo. 
Essa maneira de proceder, aproveitando e modificando ligeiramente a solução de quando a 
perturbação estava ausente, é chamada de “teoria da perturbação dependente do tempo”. 
Substituindo os coeficientes pelas expressões das equações 7.19 e 7.20 no lado direito das 
equações 7.21 e 7.22 e colocando as suas derivadas no lado esquerdo dessas mesmas equações, 
chegamos a 
// / / iU tiU t iU t iU td
i e U e U e E e
dt
  
 

   
−− − −
+ = + , (7.23) 
/ / / /iU t iU t iU t iU td
i e U e U e E e
dt
   
 

   
− − − −
+ = + , (7.24) 
que, com as devidas simplificações, resultam em 
// iU tiU t d
i e E e
dt


 
−−
= , (7.25) 
/ /iU t iU td
i e E e
dt
 

 
− −
= , (7.26) 
ou 
( ) /i U U td
i E e
dt
   
−
= , (7.27) 
( ) /i U U td
i E e
dt
   
− −
= . (7.28) 
Sendo 2U U A − = , vamos definir uma frequência angular característica da molécula de NH3, 
que chamaremos de ω0, através de 
02A = . (7.29) 
Usando essa definição para a frequência característica, as equações 7.27 e 7.28 tornam-se 
0i t
d
i Ee
dt
  = , (7.30) 
0i t
d
i Ee
dt
  −= . (7.31) 
75 
 
As probabilidades da molécula ser encontrada nos estados de maior energia, 0U U A = + , e 
de menor energia, 0U U A = − , são, respectivamente, 
*( ) ( ) ( )P t c t c t  = e 
*( ) ( ) ( )P t c t c t  = . Usando as expressões para os coeficientes c e c dadas pelas equações 
7.21 e 7.22, essas probabilidades ficam 
*( ) ( ) ( )P t t t  = , (7.32) 
*( ) ( ) ( )P t t t  = . (7.33) 
Portanto, as equações diferenciais 7.30 e 7.31 permitem calcularmos essas probabilidades. 
Nosso objetivo adiante será a obtenção das probabilidades de encontrarmos sistemas em certos 
estados, permitindo assim o entendimento de importantes processos, como a emissão 
estimulada de radiação e a absorção ou emissão de fótons na transição entre níveis de energia 
em átomos ou moléculas. 
Vamos escrever o campo elétrico externo que está interagindo com a molécula como 
( )0 0( ) 2 cos( ) i t i tE t E t E e e  −= = + . (7.34) 
Levando essa expressão para o campo elétrico nas equações 7.30 e 7.31 elas tornam-se 
( ) ( )( )0 00 i t i t
d
i E e e
dt
   
 
+ − −
= + , (7.35) 
( ) ( )( )0 00 i t i t
d
i E e e
dt
   
 
− − +
= + . (7.36) 
Como  e  resultarão da integração das equações acima, observamos que termos que oscilam 
com alta frequência, no caso 0 + , contribuem menos para a integral que os termos que 
oscilam com baixa frequência, no caso 0 − . Assim vamos desprezar os termos de oscilações 
rápidas nas equações 7.35 e 7.36, que, dessa forma, ficam 
( )0
0
i td
i E e
dt
 
 
− −
= , (7.37) 
( )0
0
i td
i E e
dt
 
 
−
= . (7.38) 
Vamos recordar que 0 é a frequência angular característica da molécula, enquanto  é a 
frequência angular do campo elétrico externo que a está perturbando. Sabemos da Mecânica 
Clássica que quando a frequência da força que perturba um sistema é igual à frequência natural 
desse sistema ocorre o fenômeno da ressonância. Vamos examinar como fica a ressonância, 
quando 0 = , porém no quadro da Mecânica Quântica. 
76 
 
Fazendo-se 
0 = , as equações 7.37 e 7.38 tornam-se 
0
d
i E
dt

 = , (7.39) 
0
d
i E
dt

 = , (7.40) 
e derivando-as, 
 
2
02
d d
i E
dt dt
 
= , (7.41) 
2
02
d d
i E
dt dt
 
= . (7.42) 
Substituindo no lado direito das equações 7.41 e 7.42 as derivadas primeiras dadas pelas 
equações 7.39 e 7.40, chegamos a 
2 22
0
2 2
Ed
dt

= − , (7.43) 
2 22
0
2 2
Ed
dt

= − . (7.44) 
Essas últimas equações diferenciais são idênticas às do oscilador harmônico, com solução geral 
( ) cos( )t A t  =  + , (7.45) 
( ) cos( )t B t  =  + , (7.46) 
onde a frequência angular dessa oscilação dos estados é 0
E
 = . Lembrando que  e 
estão ligados às probabilidades P e P pelas equações 7.32 e 7.33 e que devemos ter 
( ) ( ) 1P t P t + = , os parâmetros , , ,A B    nas equações 7.45 e 7.46 devem ser ajustados 
para que se cumpra essa condição de soma das probabilidades, resultando em 
2( ) cos ( )P t t =  + , (7.47) 
2( ) sen ( )P t t =  + . (7.48) 
Se o campo elétrico da onda eletromagnética, de frequência angular 0 , incide sobre uma 
molécula que no instante t0 sabemos estar no estado  , de energia 0U U A = + , as 
probabilidades nesse instante são 0( ) 1P t = e 0( ) 0P t = . As equações 7.47 e 7.48 mostram 
77 
 
que, em um tempo posterior 
1 0t t T= + , onde 
02 2
T
E
 

= =

, essas probabilidades mudam 
para 
1( ) 0P t = e 1( ) 1P t = , indicando a certeza de que a molécula no instante t1 está no estado 
 , de energia menor 0U U A = − . A diminuição de energia pelo valor 2A ao passar do estado 
 para o estado  ocorre pela emissão de um fóton com energia 0 2A = , ou seja, com 
a frequência igual à da onda eletromagnética incidente, já que estamos analisando o caso em 
que esta é 
0 = . Tal processo é chamado de “emissão estimulada de radiação”, pois fótons 
de frequência 0 , da onda eletromagnética incidente, estimulam a emissão de outros fótons 
pela molécula, com a mesma frequência 0 . Esse processo é essencial para o entendimentos 
dos LASERs, cujo nome é a sigla em inglês para “amplificação da luz por emissão estimulada de 
radiação”, ou MASERs, em que os fótons emitidos estão na faixa das micro-ondas, como é o caso 
quando se usa a molécula de NH3. Se a molécula, após a emissão do fóton, continuar submetida 
a essa onda eletromagnética, do estado  ela retornará ao estado  pela absorção de um 
fóton dessa mesma onda. 
Para se entender ainda mais porque esse é um fenômeno de ressonância, vamos permitir agora 
que a frequência da onda, , possa ser diferente da frequência característica da molécula, 0 . 
Vamos supor que a molécula encontra-se inicialmente no estado  , sendo 0 = , 1 = , e 
examinar a probabilidade de transição para o estado  em função de  após um pequeno 
intervalo de tempo ft tal que 
0 1f f
E
t t

 =  . 
A integração da equação 7.37 fornece 
0( )0
0 0
f ft t
i tEd
dt e dt
dt i
  − −=  . (7.49) 
Como o intervalo de tempo ft é muito pequeno, não deve haver uma variação significativa de 
 em torno do valor 1, permitindo removê-lo da integral. A integração da equação 7.49 fornece, 
então, 
( )
0
0
( )
( )
0 0
0 00
1
( )
( )
ff
i tt
i t
f
eE Ee
t
i i
 
  

   
− −
− −  −   = = 
− − − 
. (7.50) 
 
Lembrando que a probabilidade da molécula ser encontrada no estado  é dada pela equação 
7.32, essa probabilidade, após o pequeno intervalo de tempo ft , fica 
78 
 
( )
2 2
00
22
0
1 cos( )
( ) 2
f
f
tE
P t
 
 
 − −
=  
−  
. (7.51) 
Usando-se a identidade trigonométrica 21 cos(2 ) 2sen − = , a expressão acima pode ser 
colocada na forma 
2 0
2 2 2
0
22
0
sen
2
( )
2
f
f
f
f
t
E t
P t
t

 

 
− 
 
 =
− 
 
 
. (7.52) 
Sendo 
0
sen
lim 1


→
= , quando  é igual à frequência de ressonância 0 , tem-se 
0
2 2 2
0
2
( )
f
f
E t
P t 

= , (7.53) 
e dividindo-se a equação 7.52 pela equação 7.53, 
0
2 0
2
0
sen
( ) 2
( )
2
f
f
f
f
t
P t
P t
t

 
 
 
− 
 
 =
− 
 
 
, (7.54) 
cuja representação gráfica está na figura 7.3. 
 
Apesar de termos usado um intervalo de tempo muito pequeno ft para facilitar o cálculo, o 
resultado mostra a sensibilidade da probabilidade de transição para o estado  em relação à 
frequência. Podemos observar que a probabilidade da molécula passar do estado  para o 
estado  aumenta drasticamente quando 0 = . Na mecânica clássica, quando a frequênciado elemento excitador é igual à frequência natural do sistema, o sistema exibe resposta máxima 
à excitação. Aqui também ocorre isso, mas agora a resposta do sistema é a probabilidade de 
transição de um estado para o outro. Logo, a regra postulada por Bohr, em que a transição de 
um nível de energia menor para um nível de energia maior ocorre pela absorção de um fóton 
de frequência angular 0
U


= encontra explicação no quadro da mecânica quântica como 
sendo um fenômeno de ressonância: quando a frequência da onda eletromagnética, que 
perturba a molécula, for igual à frequência natural desta, a molécula exibe a máxima 
probabilidade de transição para o estado de maior energia. 
 
79 
 
 
 
Figura 7.3. Gráfico da probabilidade normalizada 
0
( )
( )
f
f
P t
P t

 
como função de 0
2
ft
 −
. 
 
 
80 
 
CAPÍTULO 8 – O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO 
 
8.1. A equação de Schrödinger tridimensional 
No capítulo 5 a partícula tinha a restrição de ocupar posições somente ao longo do eixo x, caso 
que é tratado pela equação de Schrödinger em uma dimensão. Na generalização para um espaço 
tridimensional, é natural trocarmos o operador momento linear, p
i x

=

, por 
p
i
=  , (8.1) 
ficando a equação de Schrödinger independente do tempo na forma 
2
2 ( ) ( ) ( )
2
E EV r r E r
m
 
 
−  + = 
 
. (8.2) 
 
QUESTÃO 8.1: Mostre que a função ( )
ikre
r C
r
 = , onde C é uma constante e r é a coordenada 
radial, é solução da equação de Schrödinger tridimensional, dada pela equação 8.2, para a 
partícula livre. 
 
8.2. O operador momento angular 
O uso do “princípio da correspondência” com a mecânica clássica impõe a existência do 
operador momento angular 
L r p=  , (8.3) 
que em coordenadas cartesianas assume a forma 
ˆˆ ˆ
x y z
i j k
L x y z
p p p
= , (8.4) 
tendo as componentes 
x z yL yp zp= − , (8.5) 
y x zL zp xp= − , (8.6) 
81 
 
z y xL xp yp= − , (8.7) 
onde 
xp
i x

=

, (8.8) 
yp
i y

=

, (8.9) 
zp
i z

=

. (8.10) 
 
QUESTÃO 8.2: Mostre que  , 0xp y = . 
As relações de comutação entre as componentes do operador momento linear e as 
componentes do vetor posição podem ser sintetizadas por 
,i j ijp x
i
  =  , (8.11) 
onde ij é o “delta de Kronecker” e os índices i, j, variando de 1 a 3, correspondem às 
coordenadas x, y, z. 
 
QUESTÃO 8.3: Usando as relações de comutação expressas pela equação 8.11, mostre que as 
componentes do operador momento angular, dadas pelas equações 8.5, 8.6 e 8.7, obedecem à 
relações de comutação 
,x y zL L i L  =  , (8.12) 
,y z xL L i L  =  , (8.13) 
 ,z x yL L i L= . (8.14) 
 
QUESTÃO 8.4: Sendo o operador 2 2 2 2x y zL L L L L L=  = + + , use as relações de comutação das 
equações 8.12, 8.13 e 8.14 para mostrar que 
2 2 2, , , 0x y zL L L L L L     = = =      . (8.15) 
82 
 
Da equação 4.35 do capítulo 4 sabemos que sempre que dois operadores não comutam, existe 
uma relação de incerteza a eles associada semelhante à relação de incerteza de Heisenberg. 
Assim, as relações de comutação acima nos dizem que não podemos determinar ao mesmo 
tempo, sem erro, duas componentes do momento angular, mas podemos determinar com total 
precisão uma de suas componentes e o seu módulo. 
 
8.3. O átomo de hidrogênio 
A intenção dessa seção é apenas mostrar como a equação de Schrödinger é usada na abordagem 
atual do átomo de hidrogênio e apresentaremos apenas um resumo dos passos usados no seu 
tratamento. 
No átomo de hidrogênio o elétron encontra-se submetido à energia potencial de sua interação 
com o próton que está no núcleo. Sendo r a distância do elétron ao núcleo, essa energia 
potencial é 
2
0
1
( )
4
e
V r
r
= − , (8.16) 
onde e é o módulo da carga do elétron e o sinal “menos” deve-se à atração entre as cargas 
opostas do elétron e do próton. Assim, a equação de Schrödinger tridimensional escreve-se 
como 
2 2
0
1
( ) ( )
2 4
E E
e
p e
r E r
m r
 

 
− = 
 
, (8.17) 
A rigor, como sabemos do tratamento do problema de dois corpos na mecânica clássica, a massa 
me do elétron deve ser substituída pela “massa reduzida” do sistema elétron + próton, 
e p
e p
m m
m
m m
=
+
, que orbita em torno do centro de massa do sistema. Considerando-se que a 
equação 8.3 refere-se a operadores, um desenvolvimento algébrico mostra que 
22
2 2 2
2 2
1 1L
p r
r r r r r
  
= − − 
  
, (8.18) 
e a equação de Schrödinger fica 
22 2 2 2
2 2
0
1
( ) ( )
2 2 2 4
E E
L e
r r E r
mr mr r mr r r
 

   
− − − =  
    
. (8.19) 
Em coordenadas esféricas a componente z do momento angular é escrita como 
zL
i 

=

, (8.20) 
83 
 
sendo  o ângulo em torno desse eixo. Logo, as demais componentes do momento angular 
também devem atuar apenas sobre os ângulos em torno dos seus respectivos eixos e, 
consequentemente, o operador L2, que aparece na equação 8.19, pode atuar somente na parte 
angular de ( )E r , que envolve os ângulos  e  nas coordenadas esféricas. Sendo a energia 
potencial dependente somente da coordenada radial r, podemos fatorar a autofunção do 
hamiltoniano na forma 
( ) ( , ) ( )E Er Y R r   = . (8.21) 
Como na QUESTÃO 8.4 vimos que os operadores L2 e Lz comutam, podemos encontrar 
autofunções comuns a esses dois operadores. Lembrando que tem a dimensão do momento 
angular, é conveniente escrever 
( , ) ( , )z lm lmL Y m Y   = , (8.22) 
2 2( , ) ( 1) ( , )lm lmL Y l l Y   = + . (8.23) 
Escrevendo a autofunção das equações 8.22 e 8.23 na forma 
( , ) ( ) ( )lm lm mY    =  , (8.24) 
Uma vez que Lz é descrito pela equação 8.20, a equação 8.22 torna ( )
im
m e
  e, então, 
( , ) ( ) .imlm lmY e
  =  (8.25) 
De forma análoga ao que fizemos no tratamento do oscilador harmônico, quando introduzimos 
os operadores criação e destruição, vamos definir os operadores L+ e L- através de 
x yL L iL =  , (8.26) 
e verificamos que esses operadores fazem aumentar ou diminuir os autovalores de Lz de uma 
unidade de , pois 
 ( , ) ( 1) ( , )z lm lmL L Y m Y    =  , (8.27) 
o que permite concluir que m varia de –l até l por passos de uma unidade, isto é, 
, 1,..., 1,m l l l l= − − + − , (8.28) 
e, portanto, 2 1l + deve ser um número inteiro. Para o valor máximo m = l, devemos ter 
( , ) 0llL Y  + = . (8.29) 
Em coordenadas esféricas, os operadores L+ e L- são expressos como 
84 
 
cotgiL e i 
 


  
=  + 
  
, (8.30) 
e a equação 8.29 implica em 
( )( ) sen
l
ll   = . (8.31) 
Sucessivas aplicações do operador L- sobre a função ( , )lmY   descrita pela equação 8.25 
permitem concluir que essa função, normalizada sobre os ângulos, é 
1/ 2
2 1 ( )!
( , ) ( 1) (cos )
4 ( )!
m m im
lm l
l l m
Y P e
l m
  

 + −
= −  
+ 
, (8.32) 
onde ( )mlP u são os polinômios de Legendre, que são gerados através de 
2 / 2
2( )! (1 )( ) ( 1) (1 )
( )! 2 !
l mm
m l m l
l l
l m u d
P u u
l m l du
−−
+ + −  = − − 
−  
. (8.33) 
Considerando a fatoração das autofunções do hamiltoniano, expressa pela equação 8.21, e os 
autovalores do quadrado do momento angular na operação sobre a parte angular dessas 
funções, presentes na equação 8.23, a equação de Schrödinger na forma de equação 8.19 
resulta na seguinte equação para a sua parte radial: 
22 2 2 2
2 2
0
( 1) 1
( ) ( )
2 2 2 4
El El
l l e
r R r ER r
mr mr r mr r r
 +   
− − − =  
    
. (8.34) 
A solução dessa equação mostra que os autovalores do hamiltoniano, isto é, as energias E, 
aparecem quantizados segundo 
2 4
2 2 2 2
0
1
, 1,2,3,...
32
n
m e
E n
n  
= − = (8.35) 
em concordância com as energias obtidas na parte (a) da QUESTÃO 3.7 do capítulo 3 para o 
modelo de Bohr (corrigidas para a massa reduzida), enquanto as correspondentes autofunções 
normalizadas ficam dadas por 
 
3
/ 2 1
13
2 ( 1)! 2 2( )
2 ( )!
l
r na l
nl n l
n l r r
R r e L
na na nan n l
− +
− −
− −     
=      
     +
, (8.36) 
onde 
2
0
2
4
a
me

= (8.37) 
85 
 
é o raio da primeira órbita (n=1) no modelo de Bohr, também obtida na parte (a) da QUESTÃO 
3.7 do capítulo 3, e 
( )( ) ( 1)
q q
p p x x q
q p
d d
L x e e x
dx dx
−
−
    
= −     
     
 (8.37) 
são os polinômios associados de Laguerre. n é chamado de “número quântico principal” e pode-
se mostrar que o “número quântico orbital” l é limitado pela relação 1l n − . 
A probabilidade de encontrar o elétron com os números quânticos n, l, m em um elemento de 
volume dV em uma posição r em torno do núcleo é 
2
( )nlm nlmdP r dV= , (8.38) 
que em coordenadas esféricas fica 
 
2 2( , ) ( ) sen drd dnlm lm ndP Y R r r    = . (8.39) 
Aqueles orbitais estudados na química são justamente as regiões de maior probabilidade de 
encontrar o elétron, como está ilustrado na figura 8.1. Chamamos a atenção para o fato que as 
energias desses orbitais dependem apenas do número quântico principal n, como mostra a 
equação 8.35. 
 
 
Figura 8.1. Alguns orbitais do elétron no átomo de hidrogênio. Entre parêntesis estão os 
respectivos números quânticos, na forma (n, l, m). 
86 
 
CAPÍTULO 9 – SPIN 
 
9.1. Partículas idênticas 
Na física clássica partículas idênticas possuem trajetórias que podem ser sempre acompanhadas 
e tais partículas podem ser distinguidas por essas trajetórias. Portanto, qualquer experimento 
que utilize partículas clássicas é “corpuscular”, no sentido definido no capítulo 2. Já partículas 
quânticas, como elétrons, prótons, fótons, etc., podem se apresentar indistinguíveis, como na 
interação representada na figura 9.1. 
 
Figura 9.1. Duas partículas idênticas interagem. Não é possível estabelecer uma relação unívoca 
entre as partículas depois e antes da interação, pois são possíveis ambos os processos 
representados na figura. 
 
Vamos considerar duas partículas quânticas indistinguíveis, a e b, que podem ocupar as posições 
x1 ou x2, e as funções de onda 
1 2 1 2, , ( ) ( )a bx x a b x x = (9.1) 
e 
2 1 2 1, , ( ) ( )a bx x a b x x = .(9.2) 
Como essas partículas não podem ser distinguidas pelas posições que ocupam, a probabilidade 
das partículas a e b serem encontradas, respectivamente, em x1 e x2, deve ser igual à 
probabilidade delas serem encontradas, trocando as posições, em x2 e x1, que se expressa como 
2 2
2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )a b a bx x x x   = . (9.1) 
Logo, as funções de onda 2 1( ) ( )a bx x  e 1 2( ) ( )a bx x  podem diferir apenas por um fator de 
fase, ficando 
2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )
i
a b a bx x e x x
   = . (9.2) 
87 
 
Quando 0 = as partículas são chamadas de “bósons” e as suas funções de onda são simétricas 
em relação à troca, 
2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )a b a bx x x x   = , (9.3) 
enquanto quando  = as partículas são chamadas de “férmions” e as suas funções de onda 
são antissimétricas na troca, 
2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )a b a bx x x x   = − . (9.4) 
Na física quântica, todas as possíveis formas de um processo ocorrer devem ser levadas em 
conta, traduzindo-se na superposição de estados. Portanto, se as partículas a e b estão indo 
ocupar as posições x1 e x2 de uma forma indistinguível, a função de onda do estado conjunto 
dessas duas partículas deve ser 
 1 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a b a bx x x x x x    =  , (9.5) 
onde o sinal “+” se aplica a bósons, o sinal “-“ é para férmions e o fator 
1
2
deve-se à 
normalização do estado. Exemplos bem conhecidos de bósons são os fótons, e de férmions são 
os elétrons, prótons e nêutrons. 
 
QUESTÃO 9.1: Considere os casos (a) de duas partículas distinguíveis, descritas pela função de 
onda da equação 9.1, (b) dois bósons e (c) dois férmions, os dois últimos casos descritos pela 
equação 9.5. Calcule o valor médio ( )
2
1 2x x− para os três casos. Admita que ( ) ( )a bx x 
para que a função de onda não se anule no caso dos férmions e que ( )a x e ( )b x são ambas 
normais e ortogonais entre si. 
 
Os resultados da questão 9.1 mostram que o simples fato da função de onda para os bósons ser 
simétrica faz com que as partículas fiquem em média menos separadas que no caso das 
partículas distinguíveis, enquanto ocorre o contrário com os férmions, que tendem a ficar mais 
separados. Essa é a essência da repulsão que equilibra a contração gravitacional em uma estrela 
anã branca, causado pela natureza fermiônica dos elétrons e que tem um poder repulsivo muito 
superior ao da repulsão coulombiana, quando ocorre um grande adensamento das partículas 
devido à compressão gravitacional. Repulsão semelhante ocorre em uma estrela de nêutrons, 
mas agora causada pela natureza fermiônica dos nêutrons. De forma análoga à diminuição da 
separação dos bósons, ocorre também a aglutinação dos seus níveis de energia, permitindo a 
inversão de população nos LASERs, em que as partículas são levadas a se aglutinar em um 
mesmo nível de energia acima do estado fundamental. 
88 
 
Observando a equação 9.5 para o caso de férmions, vemos que se tivermos ( )a x x a = igual 
a ( )b x x b = a função de onda das duas partículas simplesmente se anula e não sobra 
partícula alguma. Logo, deve haver um parâmetro adicional que impeça isso de ocorrer. Esse 
parâmetro é o “spin” da partícula, resultando na necessidade de um número quântico adicional 
para caracterizá-la. Daí decorre o “princípio de exclusão de Pauli” que afirma que um férmion 
não pode ter todos os números quânticos iguais, pois se todos os números quânticos forem 
iguais a função de onda conjunta das duas partículas se anula. No elétron o spin é uma espécie 
de momento angular intrínseco, que gera um momento magnético intrínseco de dois níveis de 
forma a explicar o resultado do experimento de Stern-Gerlach abordado no capítulo 7. Para o 
elétron, podemos escrever ( ) ( )a x x  = e ( ) ( )b x x  = , onde as setas indicam o sentido 
do spin em uma determinada direção, transformando a função de onda descrita pela equação 
9.5 em 
 1 2 1 2 1 2
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x x x x x x   
   
 = −   . (9.6) 
Observe que o sentido das setas não determina a posição, pois em uma mesma posição 
podemos encontrar o elétron tanto com a projeção do spin “para cima”, como “para baixo” ao 
longo de uma mesma direção. 
Isso faz com que, ao contrário dos bósons, os elétrons sejam levados a ocupar uma 
multiplicidade de níveis de energia, pois cada estado descrito por um conjunto de números 
quânticos que não inclua o spin, como os orbitais do átomo de hidrogênio abordados no capítulo 
anterior, comporta no máximo dois elétrons: um com a projeção do spin em determinada 
direção “para cima” ( ) e outro “para baixo” nessa mesma direção ( ) . As respectivas funções 
de onda são 
( ) , , ,
nlm
r r n l m

 =  , (9.7) 
( ) , , ,
nlm
r r n l m

 =  , (9.8) 
onde n, l, m são os números quânticos que caracterizam a órbita do elétron e as setas devem-
se ao seu spin. 
Na verdade, se não houvesse o “princípio de exclusão de Pauli”, os elétrons tenderiam a ocupar 
o nível fundamental de energia e não haveria a multiplicidade de orbitais que se observa nos 
átomos. De uma forma mais geral, de acordo com o “teorema spin-estatística” da teoria 
quântica de campos, partículas com spin semi-inteiro são férmions e partículas com spin inteiro 
são bósons. 
 
 
89 
 
9.2. Emaranhamento 
A função de onda descrita pela equação 9.6 pode ser escrita como 
( )1, 2 1 2 1 2 1 2
1
( ) ,
2
x x x x =    −    , (9.9) 
onde o estado 
( )
1 2 1 2
1
2
 =    −    , (9.10) 
é um exemplo de um “estado emaranhado”, isto é, que compromete os estados de spin nas 
posições x1 e x2, de maneira que uma medição feita em x1 automaticamente nos revela o estado 
de x2 e vice versa. 
A ideia deque as propriedades de uma partícula quântica podem ser usadas para inferir as 
propriedades de outra foram propostas em um artigo de Einstein, Podolsky e Rosen em 1935, 
onde se procurava argumentar pela incompletude da mecânica quântica na descrição dos 
fenômenos quânticos. Atacava-se a relação de incerteza de Heisenberg, argumentando-se que 
para preservar a “localidade einsteiniana”, em que a velocidade de propagação da informação 
é limitada pela velocidade da luz, a partícula teria bem definidas as suas propriedades de posição 
e velocidade anteriormente à observação, em uma postura filosófica “realista”. Em 1964 Bell 
elaborou uma forma de confrontar as previsões da mecânica quântica diante do “realismo”, 
colocada em prática por John Clauser e, com resultados mais fortes, por Alain Aspect em 1982, 
que, usando fótons emaranhados, corroborou o aspecto não-local da física quântica. 
Formalmente, o emaranhamento significa que o estado quântico não pode ser fatorado nos 
espaços das propriedades envolvidas. Vamos aqui usar os mesmos personagens que são 
frequentes na literatura que cuida do tema, Alice e Bob, onde cada um deles pode fazer 
medições somente em seu próprio universo. 
 
QUESTÃO 9.2: O estado do spin de dois elétrons, projetado na direção z, é descrito pela equação 
9.10. Um dos elétrons é enviado para Alice, e o outro para Bob, ficando 
( )1
2 A B A B
 =    −    , (9.11) 
onde os índices A e B referem-se aos espaços de Alice e Bob. 
(a) Mostre que o estado descrito pela equação 9.11 não pode ser fatorado em estados nos 
estados de Alice e Bob, sendo, portanto, um estado emaranhado. 
(b) Qual é a probabilidade de Alice, em uma medição, encontrar 
A
 ou 
A
 ? 
90 
 
(c) Se Alice encontrar 
A
 , qual é a probabilidade de Bob encontrar 
B
 ? E de encontrar 
B
 ? 
 
Apesar de haver uma estranha influência, que parece se propagar instantaneamente, entre os 
elétrons de Alice e Bob, Alice não pode fazer uso desse fenômeno para mandar uma mensagem 
a Bob. Suponha que seja usada uma linguagem binária, onde o dígito 1 se refere ao estado 
e o dígito 0 ao estado  . Se Alice desejar mandar uma informação na forma, por exemplo, 
11000101..., ela não o conseguirá, pois não tem como saber se cada uma das suas medições lhe 
revelará 1 ou 0. Se fosse possível construir um “telégrafo quântico”, usando o emaranhamento 
para a propagação instantânea da informação, poderíamos sincronizar relógios em diferentes 
referenciais de forma a ter um tempo absoluto, e a teoria da relatividade poderia ser descartada 
(e, com ela, a teoria eletromagnética de Maxwell!). 
 
9.3. Matrizes de Pauli 
O spin é uma espécie de momento angular intrínseco, que faz a partícula ter um momento 
magnético intrínseco. 
Na questão 3.10 do capítulo 3 vemos que podemos relacionar o dipolo magnético  , devido ao 
movimento orbital do elétron, ao seu momento angular orbital L , através de 
2 e
e
L
m
 = − . 
De forma parecida, o elétron possui um momento magnético intrínseco dado por 
2
S
e
eg
S
m
 = − , (9.12) 
onde S é “operador de spin” do elétron e o fator adimensional g = 2,0023193043617(15) é 
chamado de “razão giromagnética” do elétron, cuja enorme precisão na previsão de seu valor é 
considerado o grande trunfo da teoria da eletrodinâmica quântica. Adiante definiremos esse 
operador de spin e veremos que ele tem muitas características em comum com o operador 
momento angular orbital, estudado no capítulo 8. Sendo S um momento angular intrínseco do 
elétron, a versão popularmente ensinada, que o spin se deve à rotação do elétron, à maneira de 
uma bolinha, em torno do seu próprio eixo, não é compatível com uma razão giromagnética que 
difere da unidade, como mostrará a questão a seguir. 
 
QUESTÃO 9.3: (a) Considere uma partícula de massa m e carga q descrevendo uma órbita 
circular com um período T, de modo a produzir uma corrente elétrica de valor 
q
i
T
= . Obtenha 
91 
 
a razão entre o dipolo magnético da partícula, produzido pelo seu movimento orbital, e o seu 
momento angular. 
(b) Considere um corpo de massa M e carga Q constituído por N partículas de massa m e carga 
q em movimento orbital circular. Mostre que a razão entre o dipolo magnético desse corpo e o 
seu momento angular é a mesma obtida no item (a). 
(c) Mostre que na razão entre o dipolo magnético e o momento angular obtida em (b) a massa 
m e a carga q da partícula podem ser substituídas pela massa M e carga Q do corpo. 
(d) Em acordo com os resultados acima obtidos, se considerarmos o elétron como uma bolinha 
que gira em torno do seu próprio eixo com um momento angular S , qual deveria ser a sua 
razão giromagnética g, definida pela equação 9.12? 
 
Quando submetido a um campo magnético ˆˆ ˆ
x y zB B i B j B k= + + , a energia de interação do 
dipolo magnético intrínseco do elétron com o campo, SU B= −  , fica 
( )
2
x x y y z z
e
eg
U S B S B S B
m
= + + , (9.13) 
em que cada componente do operador de spin relaciona-se à sua respectiva “matriz de Pauli” 
através de 
2
i iS = . (9.14) 
Escolhendo-se a base para o espaço bidimensional do spin constituída pelos elementos 
1
0
 
 =  
 
e 
0
1
 
 =  
 
, correspondentes ao spin medido “para cima“ e “para baixo” ao longo 
da direção z, as matrizes de Pauli são dadas por 
0 1
1 0
x
 
=  
 
, (9.15) 
0
0
y
i
i

− 
=  
 
, (9.16) 
1 0
0 1
z
 
=  
− 
. (9.17) 
 
 
92 
 
QUESTÃO 9.4: (a) Obtenha as relações de comutação entre as matrizes de Pauli. 
(b) Use os resultados do item (a) e a expressão da equação 9.11, que relaciona as matrizes de 
Pauli às componentes do operador de spin, para obter as relações de comutação entre as 
componentes do operador de spin. 
(c) Use os resultados do item (b) para obter as relações de comutação entre cada componente 
do spin e o quadrado do spin, 2,iS S   . 
 
Os resultados da questão acima mostram que o operador de spin obedece a relações de 
comutação idênticas à do momento angular, dadas pelas equações 8.12 a 8.15 do capítulo 
anterior. Além disso, ele origina um dipolo magnético da mesma forma que o momento angular 
orbital o faz, podendo ser considerado, portanto, um momento angular intrínseco da partícula. 
Veremos agora a necessidade de se usar as matrizes de Pauli para expressá-lo. 
 
QUESTÃO 9.5: Considere o hamiltoniano que descreve a interação do dipolo magnético 
originado pelo spin e o campo magnético, dado pela equação 9.13. Tome come base os 
elementos 
1
0
 
 =  
 
e 
0
1
 
 =  
 
, correspondentes ao spin medido “para cima“ e “para baixo” 
ao longo da direção z. 
(a) Suponha que o campo magnético é aplicado na direção z, sendo ˆB Bk= . Obtenha os 
autovalores do hamiltoniano e os seus respectivos autoestados normalizados. 
(b) Suponha que o campo magnético é aplicado na direção x, sendo ˆB Bi= . Obtenha os 
autovalores do hamiltoniano e os seus respectivos autoestados normalizados. 
(c) Suponha que o campo magnético é aplicado na direção y, sendo ˆB Bj= . Obtenha os 
autovalores do hamiltoniano e os seus respectivos autoestados normalizados. 
(d) Suponha agora que o campo magnético possa ser aplicado em qualquer direção, dado 
por ˆˆ ˆ
x y zB B i B j B k= + + 
e sendo seu módulo B. Obtenha os autovalores do 
hamiltoniano. 
 
Os resultados da última questão mostram que, independentemente da direção do campo 
magnético aplicado, o hamiltoniano da interação do dipolo magnético do elétron com o campo 
sempre fornece os mesmos autovalores: +μB e –μB. As energias dele inferidas não podem 
depender da escolha da direção do campo magnético no espaço tridimensional, e a única forma 
de adaptar isso ao espaço bidimensional da projeção do spin do elétron é fazendo uso das 
matrizes de Pauli. 
A próxima questão fará emergir mais um estranho comportamento associado ao spin do elétron. 
93 
 
 
QUESTÃO 9.6:Considere uma direção em torno do eixo z indicada pelo vetor unitário 
ˆˆˆ cos sen jn i = + e a projeção do operador de spin nessa direção, dada por ˆnS n S=  . 
(a) Mostre que os estados 
/ 2
/ 2
1
2
i
i
e
n
e


−
+
 
=  
 
 e 
/ 2
/ 2
1
2
i
i
e
n
e


−
−
 
=  
− 
 são autoestados 
normalizados do operador Sn. 
(b) De forma idêntica ao uso da base constituída pelos elementos  e  , podemos usar 
para o espaço do spin do elétron a base constituída pelos elementos n+ e n− . Assim, 
um estado de spin projetado em qualquer direção pode ser escrito como 
.S a n b n+ −= + O que acontecerá com o estado S se for executada uma rotação 
de 2π em torno do eixo z, isto é, se acrescentarmos 2π ao ângulo ϕ? 
 
O resultado da última questão mostra que, de uma forma surpreendentemente diferente do 
que acontece no mundo clássico, a rotação de uma volta (2π) transforma o estado de spin no 
negativo desse estado, ou seja, o estado fica invariante não para uma volta, mas para duas (4π) 
em torno do eixo. Esse estranho comportamento do spin do elétron pode ter consequências 
mensuráveis, como mostrará a questão seguinte. 
OBS.: Não confunda −  com  , pois ( ) 1−   = − , enquanto 0  = . 
 
QUESTÃO 9.7: Considere um estado de spin de dois elétrons 
1 2
 =   e uma máquina 
(um operador) que age sobre esse estado da seguinte forma: se o estado do primeiro elétron 
for 
1 1
 =  , ela gira o segundo elétron de 2π, se o estado for 
1 1
 =  , ela não faz nada. 
Qual será o resultado da operação da máquina sobre o estado  dos dois elétrons se o 
primeiro elétron estiver no estado ( )1 1 1
1
2
 =  +  , que é um dos autoestados 
encontrado no item (b) da questão 9.5? 
Vê-se, então, que o primeiro elétron passou de um estado a outro que lhe é ortogonal! 
 
94 
 
CAPÍTULO 10 – DESCRIÇÃO QUÂNTICA DO EXPERIMENTO DE INTERFERÊNCIA 
Já familiarizados com o formalismo da mecânica quântica, podemos agora abordar as previsões 
dessa teoria para o experimento de interferência que começou a ser abordado no capítulo 2. 
Devemos ser capazes de explicar não somente o aparecimento do padrão de interferência 
observado, mas também o seu desaparecimento, quando o experimento passa a ser corpuscular 
e é possível obter a informação da trajetória das partículas. 
 
10.1. Coerência 
No capítulo 2 mencionamos que para se observar um padrão de interferência no experimento 
de duas fendas de Young é necessário que a luz que atravessa uma fenda tenha coerência em 
relação à luz que atravessa outra fenda. Mais precisamente, é preciso haver “coerência espacial” 
na luz que ilumina as fendas, de forma que a luz em pontos espacialmente distintos, no caso, 
nas fendas, mantenha uma diferença de fase constante no tempo (que pode ser nula, se a 
mesma crista da onda eletromagnética atinge simultaneamente as fendas). Hoje é fácil atender 
a essa condição usando-se LASER, pois o processo de emissão estimulada de radiação 
proporciona coerência espacial ao longo da área transversal do seu feixe luminoso. Mas antes 
do advento do LASER, para se realizar o experimento de Young com luz, era necessário colocar 
um anteparo com um minúsculo orifício entre a fonte luminosa e as fendas. Se aumentarmos o 
tamanho do orifício anterior às fendas, veremos que as franjas tornar-se-ão menos nítidas, 
borrando o padrão de interferência. Esta perda de visibilidade do padrão de interferência deve-
se ao fenômeno da decoerência, isto é, à perda da coerência. De acordo com o teorema de van 
Cittert-Zernike, luz proveniente de uma fonte não coerente, apresenta um comprimento de 
coerência, transversal à direção de propagação, d, dado por 
L
D
d

 , (10.1) 
onde D é a distância à fonte, L é a sua extensão linear (no caso, L é o diâmetro do orifício) e λ é 
o comprimento de onda da luz. Isso significa que se forem colocadas fendas com espaçamento 
inferior a esse comprimento transversal, a luz delas proveniente exibirá um padrão de 
interferência. Essa dependência do comprimento transversal de coerência com a distância à 
fonte pode ser ilustrada pelas ondas na superfície da água em torno de um bando de patos 
nadando que, exibindo um padrão caótico próximo aos patos, tornam-se coerentes à medida 
que se afasta deles. 
QUESTÃO 10.1: Sírius A, a estrela mais brilhante que observamos, teve o seu diâmetro 
determinado por uma técnica de interferometria, que analisa o grau de coerência da luz captada 
em dois diferentes telescópios, na década de 1950. Nessa técnica a separação entre os 
telescópios é variada até que se perca essa coerência. Sabendo que o raio de Sirius A é de 1,714 
Rʘ e a sua distância à Terra é de 8,57 anos-luz, use a equação 10.1 para estimar a separação 
entre os telescópios a partir da qual desaparece a coerência entre a luz captada por eles. 
OBS.: A unidade “raio solar” é 1 Rʘ = 6,960 x 108 m. 
95 
 
QUESTÃO 10.2: Na lâmpada de filamento a emissão da luz é térmica, não havendo compromisso 
entre a emissão dos elementos (átomos) constituintes do filamento. Pretende-se realizar o 
experimento de duas fendas com o arranjo experimental da figura 2.1.a, usando-se uma 
lâmpada de filamento de 100 W que dista 0,5 m de um anteparo com orifício de 1,0 mm de 
diâmetro e 2 fendas separadas por 0,1 mm, de forma a se observar nitidamente um padrão de 
interferência em uma tela situada distante das fendas. A lâmpada emite luz de comprimento de 
onda λ = 500 nm. (a) Calcule a distância a que o orifício deve ficar das fendas. (b) Considere a 
lâmpada como uma fonte puntiforme e que o orifício difrata a luz incidente na forma esférica. 
Estime a redução na intensidade da luz que incide nas fendas causada pelo orifício, concluindo 
sobre a dificuldade de realização do experimento. 
 
10.2. Descrição clássica do experimento de duas fendas de Young 
Vamos considerar o esquema da Figura 10.1, onde uma fonte de luz coerente e monocromática, 
de número de onda k e frequência angular ω, ilumina por igual as fendas A e B, de mesma 
abertura a e separadas por uma distância d. Para se obter o padrão de intensidade observado 
em uma tela distante das fendas, devemos inicialmente determinar o campo elétrico em um 
ponto na tela, resultante da combinação dos campos provenientes das duas fendas. 
 
 
Figura 10.1: Esquema do arranjo do experimento de interferência de duas fendas de Young. 
 
 
Por enquanto vamos ignorar o efeito de difração causado pela abertura das fendas e 
admitiremos que o campo elétrico se dirige em direção à tela na forma de uma onda plana. 
Estando a tela bem distante das fendas, os raios luminosos provenientes das fendas são 
aproximadamente paralelos e, portanto, o são também os respectivos campos elétricos. Na tela, 
os campos elétricos provenientes das fendas A e B são, respectivamente 
96 
 
0 1sen( )AE E kr t= − , (10.2) 
0 2sen( )BE E kr t= − , (10.3) 
e, usando-se a igualdade trigonométrica 
+
sen sen 2sen cos
2 2
   
 
−   
+ =    
   
, o campo 
elétrico resultante é 
1 2
02 sen cos
2 2
R A B
r r r
E E E E k t k
+    
= + = −   
  
, (10.4) 
onde 
2 1r r r = − é a diferença entre os caminhos óticos provenientes das fendas. 
Uma forma de obter a combinação dos campos elétricos provenientes das fendas, que será 
particularmente útil no tratamento, realizado adiante, da difração, é usando-se o diagrama de 
fasores, como mostra a figura 10.2. Nesse diagrama, os fasores giram com a velocidade angular 
ω e os valores instantâneos dos campos, dados pelas equações 10.2 e 10.3, podem ser obtidos 
projetando-se o respectivo fasor no eixo vertical. A projeção do fasor resultante no eixo vertical 
fornece o mesmo resultado da equação 10.4. 
 
 
Fig. 10.2. Diagrama de fasores representando os campos elétricos provenientes de cada fenda 
e o campo elétrico resultante na tela. 
 
Para o caso de tela distante das fendas e raiosaproximadamente paralelos, podemos adotar 
senr d  = , (10.5) 
97 
 
em que o ângulo θ indica a direção da reta que une as fendas ao ponto na tela, de coordenada 
vertical y, em relação à horizontal, como também mostra a figura 10.1. 
No entanto, não observamos o campo elétrico da luz, mas a sua intensidade, ou seja, a potência 
luminosa por área, que é proporcional ao quadrado do campo elétrico, 2
RI E= , sendo η a 
constante de proporcionalidade. Assim, a intensidade na tela fica 
2 2 21 2
0
sen
4 sen cos
2 2
r r d
I E k t k

 
+   
= −   
  
, (10.6) 
sendo que o fator constituído pelo quadrado da função seno oscila rapidamente com o tempo 
e deve ser substituído pela sua média temporal, que é ½. Dessa forma, a média temporal da 
intensidade na tela escreve-se como 
2 2
0
sen
2 cos
2t
kd
I E


 
=  
 
. (10.7) 
Se apenas uma das fendas estivesse aberta, a respectiva média temporal da intensidade seria 
2
0
1
2t
E
I = , e a equação 10.6 pode ser reescrita como 
2
1
sen
4 cos
2t t
kd
I I
 
=  
 
. (10.8) 
 
QUESTÃO 10.3: Use a equação 10.8 para 
(a) obter as direções em que se formam os máximos e mínimos de intensidade na tela; 
(b) obter a média da intensidade sobre toda a tela e interprete o resultado. 
 
Podemos mostrar a razoabilidade da equação 10.1, decorrente do teorema de van Cittert-
Zernike, usando a argumentação seguinte. Considere na figura 10.3 que a fonte S1 está gerando 
ondas planas (cristas paralelas) que atingem as duas fendas, separadas por uma distância d, 
formando o padrão de interferência representado pela linha contínua. Supondo grande a 
distância D entre a fonte e as fendas, a diferença de caminho até a tela onde é observado o 
padrão de interferência entre as ondas eletromagnéticas provenientes das duas fendas é 
dx  . Temos o primeiro mínimo de intensidade quando esta diferença de caminho for igual 
a 
2

, que ocorre na direção 
 
d2
min

  . (10.9) 
98 
 
Vamos posicionar uma segunda fonte, S2, a uma distância L da fonte S1. O ângulo que as ondas 
planas emitidas por esta segunda fonte forma com as ondas da primeira é 
D
L
 . (10.10) 
Se esta segunda fonte for posicionada de modo que o ângulo Ɵ obedeça à condição da equação 
10.9, os mínimos de uma fonte se sobreporão aos máximos da outra fonte e não será observado 
o padrão de interferência. 
 
Figura 10.3. Posicionamento de duas fontes luminosas de forma a fazer desaparecer o padrão 
de interferência. No gráfico da intensidade, a linha contínua refere-se ao padrão de interferência 
da fonte S1 e a linha tracejada é o padrão da fonte S2. 
 
QUESTÃO 10.4: Mostre que a ordem de grandeza do comprimento transversal de coerência, d, 
dado pela equação 10.1, pode ser obtida combinando-se as equações 10.9 e 10.10. 
 
Até aqui ignoramos o efeito da difração da luz que atravessa as fendas, mas obviamente cada 
fenda possui uma abertura que difrata a luz. De acordo com o Princípio de Huygens cada ponto 
 
99 
 
ao longo da fenda funciona como uma fonte luminosa para as direções adiante da fenda e o que 
se vê na tela, como padrão de difração, é resultado da interferência da luz proveniente de todas 
essas fontes. A figura 10.4 mostra um diagrama de fasores dos campos de todas essas fontes 
em uma tela distante. Sendo a a abertura da fenda, a diferença de fase entre o primeiro e o 
último fasor é senka  . 
 
Fig. 10.4. Diagrama de fasores correspondentes aos campos provenientes de pontos ao longo 
da fenda. 
 
Chamando de Em o comprimento do arco de circunferência formado pelos minúsculos fasores, 
o fasor resultante fica dado por 
sen
sen
2
sen
2
R m
ka
E E
ka


 
 
 = . (10.11) 
Como a intensidade é proporcional ao quadrado do campo elétrico, o padrão de intensidade 
devido à difração por uma única fenda fica descrito por 
100 
 
2
0 2
sen
sen
2
sen
2
difr
ka
I I
ka


 
 
 =
 
 
 
, (10.12) 
onde I0 é a intensidade na direção central, como pode ser constatado tomando-se o limite da 
equação 10.9 para θ = 0. Portanto, necessariamente o efeito da difração tem que estar presente 
quando se tem a interferência de duas fendas e ele se manifesta modulando o padrão de 
interferência da equação 10.8 pelo padrão da difração da equação 10.12, resultando no padrão 
de intensidade descrito por 
 
2
2
2
sen
sen
sen2
cos
2sen
2
ka
kd
I
ka



 
 
     
  
 
 
, (10.13) 
como ilustra a figura 10.5. 
 
 
Figura 10.5. O padrão de interferência de duas fendas, em que é levado em conta o efeito da 
difração pelas fendas, representado por um gráfico da intensidade em função da separação 
angular. A curva preenchida refere-se à intensidade observada, enquanto a linha que modula os 
máximos representa a difração descrita pela equação 10.12. 
 
QUESTÃO 10.5: Por que na figura 10.5 os máximos de intensidade não são de mesmo tamanho? 
 
101 
 
10.3. Descrição quântica do experimento de interferência de duas fendas 
Em um certo intervalo de tempo t , a energia que incide sobre um elemento de área dA na tela 
é 
dU I tdA=  . (10.14) 
OBS.: Podemos usar um intervalo de tempo finito na equação 10.14, pois I representa a média 
temporal da intensidade. 
Como a energia de cada fóton é  , o número de fótons que incide no elemento de área dA é 
I tdA
dN


= , (10.15) 
que, usando-se o padrão de intensidade descrito pela equação 10.13, podemos escrever na 
forma 
2 sen( ) ( ) cos
2
kd
dN f dA

 
 
  
 
, (10.16) 
em que o efeito da difração da fenda está contido na função ( )f  . 
Na perspectiva quântica de tratar os fótons individualmente, a equação 10.16 passa a ter um 
significado probabilístico, fazendo com que a probabilidade de encontrar o fóton em um 
elemento dA na tela fique dada, então, por 
2 sen( ) ( )cos
2
kd
dP f dA

 
 
  
 
. (10.17) 
Já que o experimento de interferência pode ser realizado também com partículas materiais 
como os elétrons que, como vimos, podem exibir aspecto ondulatório, esperamos que um 
padrão semelhante de distribuição de probabilidade aconteça para tais partículas. 
Mostraremos agora que o formalismo da mecânica quântica também é capaz de levar à equação 
10.17. 
Vamos recordar que, estando a partícula em um estado  , para se calcular a probabilidade 
P de se encontrar a partícula em um estado  devemos primeiramente calcular a amplitude 
de probabilidade   para depois calcularmos a probabilidade através de
P  =   . A principal regra da mecânica quântica é que a amplitude de probabilidade 
associada a um processo é dada pela adição das amplitudes de probabilidade associadas a todas 
as formas com que o processo pode ocorrer, traduzindo-se na superposição de estados. O 
cálculo dessa amplitude de probabilidade para o posterior cálculo da probabilidade é que é uma 
inovação da mecânica quântica em relação à estatística usada na física clássica. Mas veremos 
102 
 
que se é possível distinguir os processos, emaranhando-os com alguma informação, como se 
colássemos etiquetas nos processos, a estatística clássica, onde simplesmente se adicionam as 
probabilidades de cada processo ocorrer, emerge dessa mesma regra. 
Para o experimento de duas fendas em questão, vamos chamar de  o estado da partícula 
que incide nas fendas e de A , B e Y os estados das posições das fendas A e B e de um 
ponto Y na tela. Logo, a amplitude de probabilidade de se encontrar a partícula em uma área dA 
em torno do ponto y na tela fica dada por 
Y A Y A B Y B =  +  (10.18) 
e a respectiva probabilidade fica 
2
dP Y dA Y Y dA=  =   , (10.19) 
onde, na última expressão, podemos identificar o valor médio do operador projetor Y Y . 
Podemos ler o lado direito da equação 10.18 da seguinte maneira: a amplitude de probabilidade 
da partícula passar pela fenda A e, uma vez passando pela fenda A, aamplitude de probabilidade 
de ser encontrada na posição y na tela, mais a amplitude de probabilidade da partícula passar 
pela fenda B e, uma vez passando pela fenda B, a amplitude de probabilidade de ser encontrada 
na posição Y na tela. 
Vamos supor que o feixe de partículas incide por igual nas duas fendas, de modo que podemos 
fazer 
A B  =  = . (10.20) 
Como ( ) ikxx e  é a parte espacial da solução tanto da equação de Schrödinger para uma 
partícula livre, como da equação da onda à qual a luz obedece, é razoável fazermos 
1( )
ikr
Y A g e= , (10.21) 
2( )
ikr
Y B g e= , (10.22) 
onde o efeito da difração causado pela abertura da fenda sobre a função de onda está 
incorporado na função ( )g  . 
Assim, substituindo as expressões das equações 10.20, 10.21 e 10.22 na equação 10.18 temos 
( )1 2( ) ikr ikrY g e e  = + . (10.23) 
 
103 
 
QUESTÃO 10.6: Mostre que substituindo na equação 10.19 a amplitude de probabilidade dada 
pela equação 10.23, obtemos a distribuição de probabilidade descrita pela equação 10.17, se 
fizermos 
2
( ) ( )f g  e a diferença de caminho 2 1 senr r d − = . 
 
O resultado da questão 10.6 mostra que as regras da mecânica quântica explicam 
probabilisticamente o mesmo padrão de interferência obtido na ótica clássica. Essas mesmas 
regras devem agora mostrar que a informação da trajetória da partícula torna o experimento 
corpuscular e faz desaparecer o padrão de interferência. Como a coerência das ondas que 
emergem das fendas é condição para a formação do padrão de interferência, essa perda da 
capacidade de exibi-la recebe o nome de “decoerência”. 
 
10.4. Decoerência 
Vamos mostrar aqui a impossibilidade de aparecimento do padrão de interferência no 
experimento de duas fendas, ao ser possível determinar a trajetória da partícula, de duas 
formas: usando a relação de incerteza de Heisenberg, que introduz fases aleatórias nas ondas, 
e através do emaranhamento da trajetória com estados ortogonais da partícula. 
10.4.1. Decoerência por introdução de fases aleatórias 
A figura 10.7 mostra o momento linear da partícula que emerge da fenda, na direção do ângulo 
θ e com módulo 
h
p

= , segundo de Broglie. Esse momento linear possui uma componente 
senyp p = que obedece à relação de incerteza de Heisenberg yp y h   . Se sabemos por 
qual fenda a partícula passou, devemos ter 
2
d
y  , o que implica em ( )sen
2
h h
d


  , 
(10.24) 
ou uma incerteza na diferença de caminho 
( )sen 2d    . (10.25) 
Lembrando que é o fator 2
sen
cos
2
kd  
 
 
na equação 10.17 o responsável pelo padrão de 
interferência, uma incerteza na diferença de caminho dessa ordem implica em uma incerteza da 
ordem de 2π em seu argumento, e o melhor que podemos então fazer é trocá-lo pelo seu valor 
médio, desaparecendo o padrão de interferência. 
104 
 
 
Figura 10.6: O momento linear da partícula no experimento de duas fendas. 
 
10.4.2. Decoerência por emaranhamento com a informação da trajetória 
Vamos colocar em uma fenda um filtro que deixa passar apenas luz no estado de polarização 
horizontal x e na outra um filtro que deixa passar apenas luz no estado polarização vertical 
y . Dessa forma ocorre o emaranhamento do estado de polarização da luz com a sua trajetória, 
e o estado da luz após as fendas escreve-se como 
' A A x B B y =   +   , (10.26) 
e a amplitude de probabilidade de encontrar o fóton em uma posição Y na tela fica 
'Y A Y A x B Y B y =   +   . (10.27) 
 
QUESTÃO 10.7: Use a amplitude de probabilidade dada pela equação 10.27 para, através da 
equação 10.19, encontrar a distribuição da probabilidade de encontrar o fóton na tela. 
 
O resultado da questão 10.7 mostra que, uma vez que podemos usar a informação da 
polarização para inferir a trajetória do fóton, o experimento passa a ser corpuscular e não mais 
ocorre o padrão de interferência; observa-se na tela simplesmente a soma das probabilidades 
do fóton passar em cada fenda, como acontece com partículas clássicas. O mesmo resultado 
seria obtido se colocássemos numa fenda o filtro de polarização circular R e na outra o filtro 
de polarização circular L . 
 
105 
 
QUESTÃO 10.8: De forma semelhante ao experimento com fótons, em um experimento de duas 
fendas com elétrons podemos usar um aparato de Stern-Gerlach de modo que elétrons no 
estado de spin  passem por uma fenda, e elétrons no estado  passem pela outra fenda, 
emaranhando o estado de spin com a trajetória. 
(a) Escreva a expressão da amplitude de probabilidade de encontrar um elétron na tela, 
análoga à equação 10.27. 
(b) Mostre que não ocorre interferência. 
 
 
 
 
106 
 
Apêndice - SOLUÇÕES DAS QUESTÕES 
 
CAPÍTULO 2 
QUESTÃO 2.1. (a) Ondulatório. (b) Corpuscular. (c) 50%. 
QUESTÃO 2.2. (a) Ondulatório. 0 fótons no detector 2 e 100% dos fótons no detector 1. (b) 
Corpuscular. (c) Funcionará. 
 
CAPÍTULO 3 
QUESTÃO 3.1. 
Vamos considerar um elemento de volume dentro da cavidade, localizado por um sistema de 
coordenadas esféricas com origem localizada no orifício, que possui área ΔA. A energia contida 
nesse elemento de volume, por intervalo de comprimento de onda, é 
2sendU u r drd d    = . 
Como a radiação dentro da cavidade é isotrópica, essa energia tem igual probabilidade de se 
deslocar em qualquer direção, e a probabilidade que ela saia pelo orifício é 
2
cos
4
A
r



, ou seja, 
pela razão entre a área do orifício projetada sobre a superfície esférica de raio igual à distância 
que a radiação percorre até o orifício, e a área dessa superfície. Assim, é provável que saia pelo 
orifício uma energia, correspondente ao elemento acima, 
2
, . 2
cos
sen
4
prov
A
dU u r drd d
r
 

  


= . Em um intervalo de tempo Δt pode sair da cavidade a 
radiação dos elementos que distam até r = cΔt do orifício. Assim, deve sair pelo orifício, nesse 
intervalo de tempo, uma energia, por intervalo de comprimento de onda, 
/ 2 22
2
0 0 0
sen cos
4
c t
u A r dr
U d d
r
 

    



 =    , 
sendo que o limite de π/2 para a integração em ϴ se deve a se levar em conta apenas o volume 
interno à cavidade. O cálculo das integrais resulta em 
4
u Ac t
U 
 
 = , ou 
4
U cu
R
A t
 


= =
 
. 
 
107 
 
QUESTÃO 3.2 
(a) Sendo a constante solar Qʘ = 1360 W/m2 e a distância da Terra ao Sol d = 1,5 x 1011 m, a 
luminosidade do Sol é Lʘ = 4πd2 Qʘ = 3,8 x 1026 W. 
(b) Aplicando a lei de Stefan-Boltzmann, 
4
24
ef
L
T
R


= , o valor acima encontrado para a 
luminosidade solar resulta em uma temperatura efetiva Tef = 5780 K. 
(c) Da lei de Wien, com a temperatura efetiva acima encontrada: 
-3
72,8977685 10 5,0 10
5780
m m
−= =  
 
QUESTÃO 3.3 
O momento angular da esfera é 2
2 2
5
L I MR
T

= =  que, com os valores fornecidos, resulta 
em L = 0,25 J.s. Isso dá 323,8 10
L
h
=  . 
 
QUESTÃO 3.4 
A energia do sistema massa-mola é 2 4
1
8,0 10
2
E kA J−= =  . A frequência da oscilação é 
11 6,4
2
k
s
m


−= = , que dá um pacote de energia 334,2 10h J −=  . O número de pacotes 
de energia é 291,9 10 .
E
h
=  
 
QUESTÃO 3.5 
A densidade de energia contida em um intervalo de frequências dν deve ser igual à densidade 
de energia no correspondente intervalo de comprimentos de onda dλ, isto é, u d u d  = , 
ou 
d
u u
d
 


= . Sendo c = , 
2
d c
d

 
= e, usando-se a densidade de energia u dada pela 
equação 3.8, tem-se 
5 /
8 1
1hc kT
hc
u
e
 


=
−
. 
 
108 
 
QUESTÃO 3.6. 
Quando a radiância espectral é máxima, a densidade de energia no comprimento de onda λm é 
máxima: 0.
m
du
d


= Usando o resultado para u da questão anterior, 
/
// 6
8 1
5 0.
1 1
m
m
m
hc kT
hc kThc kT
m m
du hc hc e
d e kT e





  
 
= − + = 
− − 
 
Definindo 
m
hc
x
kT
= , o termo entre parêntesisacima se anula quando 
5
1
x
x
e
x
e
=
−
, ou 5
1 x
x
e−
=
−
, cuja solução por métodos numéricos fornece x = 4,9651142... 
Logo, 
-32,8977685 10
m
hc
m K
xkT T


= =  
 
 
QUESTÃO 3.7: 
De acordo com a equação 3.3, a intensidade que sai pelo orifício, em todas as frequências (ou 
comprimentos de onda), é 
0
4
c
R u d 

=  . 
Usando a densidade de energia em cada frequência, dada pela equação 3.8, 
3
3 /
0
8
4 1h kT
c h
R d
c e 
 


=
−
. 
Fazendo-se a mudança de variável para 
h
x
kT

= , 
4 3
4
3 2
0
2
1x
k x
R T dx
h c e


=
−
, onde a integral resulta em 
4
15

. 
Assim, a constante de Stefan-Boltzmann fica dada por 
5 4
3 2
2
15
k
a
h c

= . 
 
109 
 
QUESTÃO 3.8 
Acima do comprimento de onda máximo, λmax, já não se consegue arrancar elétrons e, 
obviamente, na equação 3.9 a energia cinética máxima que os elétrons podem adquirir é nula. 
Logo, 
max
c
h

=  , ou max
hc
 =

. 
Para o alumínio φ = 4,08 eV = 6,53 x 10-19 J, que implica em λmax = 3,04 x 10-7 m. 
 
QUESTÃO 3.9 
Da equação 3.12, 
hc
E

 = , ou 
1 E
hc

= . (1) 
A energia mecânica total do elétron, submetido a uma atração coulombiana do núcleo, é 
2
2
0
1 1
2 4
e
e
E m v
r
= − . (2) 
A força centrípeta sobre o elétron é a força de Coulomb, 
2 2
2
0
1
4
e
v e
m
r r
= , que fornece 
2
2
0
1
4
e
e
m v
r
= . (3) 
Substituindo a equação 3 na equação 2, 
2
0
1
8
e
E
r
= − . (4) 
A condição de quantização do momento angular da equação 3.11 é 
2
e
h
l m vr n

= = . (5) 
Da equação 3, 
2
0
1
4
e
e
m vr
v
= que, com a a equação 5 permite obter 
2
2
2
e
h
r n
m e
= . (6) 
Levando o resultado da equação 6 na equação 4 temos a energia quantizada, associada a um 
número inteiro n, dada por 
4
2 2
08
e
n
m e
E
h n
= − . (7) 
Associando a energia a outro número inteiro m < n, e subtraindo as energias, temos 
4
2 2 2
0
1 1
8
e
n m
m e
E E E
h m n
 
 = − = − 
 
, (8) 
110 
 
e, finalmente, usando a equação 1, 
4
3 2 2
0
1 1 1
8
em e
ch m n 
 
= − 
 
 , (9) 
onde identificamos a constante de Rydberg no fator que multiplica os parêntesis. 
 
QUESTÃO 3.10 
O período orbital do elétron, que se move com uma velocidade v em uma órbita de raio r em 
torno do núcleo, é 
2 r
T
v

= . Da quantização do momento angular orbital, 
em vr n= , temos 
e
n
v
m r
= e, portanto, 
22 em rT
n

= . Assim, a corrente associada ao movimento orbital do 
elétron é 
22 e
e ne
i
T m r
= = , e o módulo do dipolo magnético fica 2
2 e
e
i r n
m
 = = . 
 
QUESTÃO 3.11 
Sejam λ0 e λ1 os comprimentos de onda da radiação incidente e espalhada, me a massa de 
repouso do elétron e p o momento linear do elétron após a colisão com o fóton. Considerando 
que a colisão é elástica, a conservação da energia, na forma relativística, escreve-se como 
2 2 2 2 4
0 1
e e
c c
h m c h p c m c
 
+ = + + , 
da qual obtém-se 
2 2
2 2
0 1 0 1 0 1
1 1 2 1 1
2 ep h hm c
     
   
= + − + −   
   
. (1) 
Por outro lado, estando os vetores unitários î e ê nas direções dos fótons incidente e 
espalhado, a conservação do momento linear escreve-se como 
0 1
ˆ ˆ
h h
i p e
 
= + , ou 
0 1
ˆ ˆi e
p h
 
 
= − 
 
, da qual obtém-se 
2 2
2 2
0 1 0 1
1 1 2cos
p p p h

   
 
=  = + − 
 
, (2) 
onde ˆ ˆcos i e =  . 
111 
 
Comparando-se as equações 1 e 2 chega-se a 
( )
0 1 0 1
1 1
1 cos e
h
m c
   
 
− = − 
 
, e, finalmente, a 
1 0 (1 cos )
e
h
m c
  − = − 
 
QUESTÃO 3.12 
Para que se perceba nitidamente a difração o comprimento de onda deve ser da ordem de 
grandeza da abertura da fenda. Uma pessoa de massa 100 kg que atravessa a porta com a 
velocidade de 1 m/s tem o momento linear p = 100 kg.m/s e o comprimento de onda de de 
Broglie 366,63 10
h
m
p
 −= =  não apenas imensamente inferior à abertura da porta, como 
muito menor que o núcleo atômico, que é da ordem de 10-15 m. 
 
 
112 
 
QUESTÃO 3.13 
Pelo teorema do trabalho-energia cinética, ou pela conservação da energia, 
2
2 e
p
eV
m
= , ou 2 ep m eV= , que dá um comprimento de onda de de Broglie 
2 e
h h
p m eV
 = = , resultando em uma diferença de potencial 
2
2
150 volt
2 e
h
V
m e
= = . 
 
QUESTÃO 3.14 
Da equação 3.11, o momento angular orbital do elétron em órbita circular de raio r em torno do 
núcleo é 
2
h
l pr n

= = . Usando a relação de de Broglie 
h
p

= nessa expressão, temos 
2
h h
r n
 
= , resultando no perímetro da órbita 2 r n = . 
 
 
CAPÍTULO 4 
 
QUESTÃO 4.1 
Escrevendo ( )Py F = , onde kx t = − , 
22
2
2 2
Pd Fy k
x d

=

, ou 
2 2
2 2 2
1Pd F y
d k x

=

. 
Também, 
22
2
2 2
Pd Fy
t d



=

, ou 
2 2
2 2 2
1Pd F y
d t 

=

. 
Logo, 
2 2
2 2 2 2
1 1y y
k x t
 
=
 
, da qual se obtém a equação da onda 
2 2
22 2
1y y
x t
k

 
=
  
 
 
. 
 
113 
 
QUESTÃO 4.2 
(a) Integrando por partes, 
2
2
dx x x dx x
x x x x
++ +  
− −−
      
 =  − +   
     
 
 
Observamos que 0x
x



 =

, já que, como 0

 = , também 0
x 

=

, e assim temos 
o produto de dois fatores que tendem a zero por apenas um fator, x, que tende ao infinito. Logo, 
2
2
.dx x dx dx
x x x x
+ + +  
− − −
    
 = −  −
     
 
Analogamente, 
2
2
.dx x dx dx
x x x x
+ + + 
 
− − −
    
 = −  −
     
 
Portanto, 
2 2
2 2
.dx x x dx
x x x x
+ + 
 
− −
        
 − = −  −    
      
  
Mas ( ) ,
x x x

    =   − 
  
e então 
2 2
2 2
2 2 .dx x x dx dx
x x x x
+ + +
+
   
−
− − −
      
  − = −   +  =        
   
Assim, 
2 2
2 2
.
2
dx x x dx dx
i x x i x i x
+ + +
  
− − −
       
 − =  =     
     
   
(b) .p
i x

=
 
 
 
114 
 
QUESTÃO 4.3 
Da equação de Schrödinger com o termo da energia potencial V, 
2 2
2
,
2
V i
m x t
 
−  +  = 
  
as equações 4.24 e 4.25 modificam-se para 
2
2 2
2
2
i mV
t m x
    
= − 
  
 e 
2
2 2
2
,
2
i mV
t m x
       
= − − 
   
em que, por enquanto, admitimos que V possa ser um número complexo. 
Dessa forma, a equação 4.26 modifica-se para 
( )
2 2
2 2 2
2
.
2
m
p dx x x V x xV
i x x
+ 
   
−
     
= − −  −   
   

 
Se V é um número real, o segundo parêntesis na expressão acima se anula e retornamos à 
equação 4.26, que, como vimos no exercício anterior, resulta na mesma expressão para o 
momento linear que no caso da partícula livre. 
 
QUESTÃO 4.4 
(a) Admitindo 
*
*
2
j
im x x
  
=  − 
  
, temos 
2 2
2 22
j
x im x x

     =  − 
   
.
 
Da equação de Schrödinger independente do tempo para a partícula livre, 
2
2
2im
x t
  
= −
 
 e 
2
2
2
.
im
x t
   
=
 
 
Logo, ( )
j
x t t t t
      = −  − = −   = − 
     
. 
(b) Admitindo, por enquanto, que a energia seja um número complexo, temos 
2
2 2
2 2im mV
x t
   
= − +
 
 e 
2
2 2
2 2im mV
x t
     
= +
 
. 
Logo, ( ) .
j
V V
x t t i
 
      = −  − + − 
   
 
115 
 
Como V é, na verdade, um número real, o termo entre parêntesis se anula e obtemos o 
mesmo resultado do item (a). 
 
QUESTÃO 4.5 
( ) ( )
22 22 2 .A A A A A A A = − = − +
 
Lembrando que o valor médio de um número, como, por exemplo, o valor médio, é ele 
mesmo, 
( )
2 2 2 22 22 .A A A A A A = − + = − 
 
QUESTÃO 4.6 
Sendo ϕ(x) uma função qualquer da posição, 
     
   
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
p x x px xxp x x x x x
i x i x
x x x x x x
i i x i x i
    
   
 
= − = − =
 
 
= + − =
 
 
Portanto,  ,p x
i
= . 
 
QUESTÃO 4.7 
Fazendo, na expressão 4.35, A = p e B = x: 
( ) ( )  
2
22 2 21 1 1, ,
4 4 4
p x i p x i
i
   = = que resulta em 
2
x p   .
 
 
 
116 
 
QUESTÃO 4.8 
(a)
22 2 2 1
2
xdx C e dx C

 

 
 −
− −
= = =  . Logo, 
1
42
C


 
=  
 
. 
(b)
22 2 0xx C xe dx

−
−
= = e 
( )
22 2 2 2
3
2 1 1
.
2 42
xx C x e dx
 
 

−
−
= =  =
 
Logo, usando-se a questão 4.5, ( )
2 22 1 ,
4
x x x

 = − = ou seja, 
1
.
2
x

 = 
(c)
2 2 22 2 22 0x x xp C e e dx C xe dx
i x i
  
 
− − −
− −

= = − =
 
. 
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
22 2 2
22 2 2 2 2
22 2
3
2 2
2 2
2 2
1
2 2
2 2 (2 )
2 1
2 .
2
x x
x x x
x x
p C e e dx
x
C e e x e dx
C e dx x e dx
C
 
  
 
 
 
 
 
 

 


− −
−

− − −
−
 
− −
− −

= − =

 = − − + =
 
 
= − − + = 
 
 
= − − + = 
 
 
= −  − = 
 


  
( )
2 22 2 ,p p p  = − = 
ou seja, p  = . 
(d) Usando-se os resultados de (b) e (c), 
1
.
22
x p 

  =  = 
 
QUESTÃO 4.9 
Da equação 4.14, Δp = ħΔk, ou Δk = Δp / ħ. Logo, 
1
1, ou .x k x p x p  =    
 
117 
 
CAPÍTULO 5 
QUESTÃO 5.1 
/ /( ) ( ).ipx ipx
d
p x e pe p x
i dx
 = = =
 
Logo, o autovalor é p. 
 
QUESTÃO 5.2 
2 2 2 2
/ /
2
( ) ( ).
2 2 2
ipx ipx
free
d p p
H x e e x
m dx m m
 = − = = 
Logo, o autovalor é 
2
2
p
E
m
= . 
 
QUESTÃO 5.3 
(a)
, ,
1i i j j i j i j i j ij i i
i j i j i j i
dx dx c c c c dx c c c c    
+ + +
      
− − −
  = = = = =       , 
ou seja, a soma das probabilidades Pi é 1.i
i
P = 
(b)
* * *
i i j j j i j j ij i
j j j
dx dx c c dx c c     
+ + +
− − −
 = = = =     
 
QUESTÃO 5.4 
,
, , ,
.
i i j j i j i j
i j i j
i j i j j i j j i j i j j ij i i i i i
i j i j i j i i
H dx H dx c H c c c dx H
c c dx E c c E dx c c E c c E PE
   
    
+ + +
    
− − −
+ +
     
− −
=   = = =
= = = = =
    
     
 
O valor médio do hamiltoniano é a média das possíveis energias, ponderadas pelas respectivas 
probabilidades. 
 
 
118 
 
QUESTÃO 5.5 
.x p Lp p
L
     
 
2 2
2
.
2 2
p
E
m mL
= 
 
 
QUESTÃO 5.6 
2h
L
mc mc

 =
 
implica, fazendo uso da equação 5.22, em 
2 2 2 2
2
2
.
82
2
n
n n
E mc
m
mc


 =
 
 
 
 
 
QUESTÃO 5.7 
(a) 
2 2
0
1 sen
L
n n
n x
dx A dx
L

 


−
 
= =  
 
  . 
Usando a identidade trigonométrica 
 2
1
sen 1 cos(2 ) ,
2
 = −
 
2 2
0 0
2
cos .
2 2
L L
n n
A n x A
dx dx dx L
L

 


−
  
= + =  
  
   
Logo, 
2
.A
L
=
 
(b) Para n m 
2 2
0
0
( ) ( )
sen sen 0
( ) ( )
2 2
L
L
n m
n m x n m x
sen sen
n x m x L L
dx A dx A
n m n mL L
L L
 
 
 
 


−
 − +    
            = = − =    − +     
  
 
. 
119 
 
QUESTÃO 5.8 
A solução gral da equação de Schrödinger independente do tempo para a região dentro do 
poço é, como no caso do poço que se estende de x = 0 até x = L, 
( ) sen( ) cos( )x A kx B kx = + , 
onde a energia E da partícula está relacionada ao parâmetro k através de 2
2
2mE
k = . 
Mas agora 0.
2
L
x
 
=  = 
 
Como as funções seno e cosseno não se anulam ao mesmo 
tempo, devemos ter ou seno, ou cosseno, que se alternam. 
Para ( ) sen( )x A kx = temos ' , ' 1, 2,3,...
2
L
k n n= = ou '
2 '
n
n
k
L

= , que fornece as 
energias 
2 2 2
' 2
' 2
, ' 1,2, 3, ...n
n
E n
mL

= = 
Para ( ) cos( )x B kx = temos ( )2 '' 1 , '' 0,1, 2,...
2 2
L
k n n

= + = ou ''
(2 '' 1)
n
n
k
L
+
= , que 
fornece as energias 
2 2 2
'' 2
(2 '' 1)
, '' 0,2, 3, ...
2
n
n
E n
mL
+
= = 
A comparação com a solução do poço que se estende de x = 0 até x = L, para o qual usamos n 
sem linha, pode ser feita pela comparação entre as energias. Sendo a energia do estado 
fundamental, correspondente a n =1, dada por 
2 2
1 22
E
mL

= , a tabela a seguir permite essa 
comparação: 
E n n’ n’’ 
E1 1 0 
4E1 2 1 
9E1 3 1 
16E1 4 2 
 
Como podemos observar, as energias obtidas são as mesmas, como deve ser, pois elas não 
podem depender da escolha da origem da coordenada x usada para localizar o poço. 
 
120 
 
QUESTÃO 5.9 
0
1 1 2
( ) lim 1.
2 2 2
dx x dx dx
 

 


  
+
→
− − −
= = = =   
Também 
0
( ) (0) (0)2
( ) ( ) lim (0).
2 2 2
f x f f
dx f x x dx dx f
 

 


  
+
→
− − −
= = = =   
 
QUESTÃO 5.10 
(a) ( )ikx ikx
d
ik e R e
dx
 −= − 
( )
2
2 2
2
.ikx ikx
d
k e Re k
dx
 −= − + = − 
(b) 
* ,
2
d d
j
im dx dx
 
 
 
= − 
 
 
onde 
,ikx ikxe Re −= + 
,ikx ikxe R e  − = + 
( ) ,ikx ikx
d
ik e Re
dx
 −= −
 ( ).
ikx ikxd ik e Re
dx
  − −= − +
 
Logo, ( )21 ,kj R
m
= − que pode ser interpretado como o resultado de parte da densidade de 
corrente de probabilidade incidente ser refletida no degrau. 
 
QUESTÃO 5.11 
(a) 
2
2 2
2
.iqx
d
q Te q
dx
 = − = − 
(b) 
2
,
q
j T
m
= que pode ser interpretado como a densidade de corrente transmitida. 
 
121 
 
QUESTÃO 5.12 
0
1 ,
x
R T
=
= + =
 
0
(1 ) .
x
d
ik R iqT
dx

=
= − =
 
Logo, resolvendo o sistema dessas duas equações, encontramos 
2
, ,
k q k
R T
k q k q
−
= =
+ + 
que, devido ao fato dos parâmetros k e q serem números reais, são também números reais. 
 
QUESTÃO 5.13 
Para x < 0 
( )
2 2
2
2
4
1 1 .
( )
k k k q k q
j R
m m k q m k q
  −
= − = − =  
+ +    
Para x > 0 
2 2
2
2
2 4
.
( )
q q k k q
j T
m m k q m k q
 
= = = 
+ +  
A densidade de corrente de probabilidade é a mesma nos dois casos, portanto, constante. 
Como a energia potencial não depende do tempo, devemos ter 0
t

=

, 
e, pela equação da continuidade, 0
j
j
x

  = =

.
 
Logo, j não pode depender da posição, como mostram os resultados acima. 
 
QUESTÃO 5.14 
,rx rx
d
rAe rBe
dx
 −= − + ( )
2
2 2
2
.rx rx
d
r Ae Be r
dx

−= + = 
 
122 
 
QUESTÃO 5.15 
,rxAe −= ,rxA e   −= 
,rx
d
rAe
dx
 −= −
 
.rx
d
rA e
dx
   −= −
 
Logo, 
* 0,
2
d d
j
im dx dx
 
 
 
= − = 
 
que é interpretado como a densidade de corrente de 
probabilidade incidente sendo cancelada pela densidade de corrente refletida. 
 
QUESTÃO 5.16 
Da continuidade da função de onda em x = 0 temos 1 + R = A, enquanto da continuidade da 
derivada da função de onda em x = 0 temos ik(1 – R) = -rA. A eliminação da constante A nesse 
sistema de equações fornece um coeficiente de reflexão complexo, dado por 
2 2
2 2
2
.
ik r ik r ik r k r ikr
R
ik r ik r ik r k r
+ + − − − −
= =  =
− − − − + 
Podemos observar que R*R=1, e usando-se a expressão para a densidade de corrente de 
probabilidade obtida na questão 5.10 (b), isso implica em j = 0, significando que a densidade de 
corrente de probabilidade é integralmente refletida pelo degrau, em acordo com o resultado da 
questão 5.15. 
 
QUESTÃO 5.17 
   
1 1
, , .
m
u q p x i
im


=   =  = − 
 
QUESTÃO 5.18 
Aplicando a propriedade distributiva da comutação: 
           †
1 1
, , , , , 2 , ( ) 1.
2 2
a a q q i q u i u q u u i u q i i  = − + + = =  − =  
 
 
123 
 
QUESTÃO 5.19 
  † † † † †, , ( ) , , .H a a a a a aa aa a a a a a a a a         = = − = = − = −      
 
QUESTÃO 5.20 
† † † † † † † † † †, , ( ) , .H a a a a a aa a a a a a a a        = = − = =      
 
QUESTÃO 5.21 
Sendo 
† † †[ , ]Ha H a a H= + , usando-se a relação de comutação dada pela equação 5.58, tem-
se † † †Ha a a H= + . 
Vamos supor que a função ( )E x é autofunçãodo hamiltoniano correspondente ao autovalor 
E e construímos a função †( ) ( )Ex a x = . Aplicando-se o operador hamiltoniano nessa nova 
função tem-se: 
( )† † † †( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).E E EH x Ha x a a H x E a x E x       = = + = + = + 
 
QUESTÃO 5.22 
2
2
/ 2
0 0.
2
m xd d m x mCe x
dx dx
   −
 −
= = − 
 
 
 
QUESTÃO 5.23 
22 / 2 1,m xdx C dxe C
m
  

 
 −
− −
= = =  o que implica em 
1
4
.
m
C


 
=  
 
 
 
 
 
124 
 
CAPÍTULO 6 
 
QUESTÃO 6.1 
( ) ( ) ( ) ( ) .dx x x dx x x       

 
  
− −
 
= = = 
 
  
 
QUESTÃO 6.2 
*( ) ( ) 1.dx x x

−
  =   = 
 
 
QUESTÃO 6.3 
*( ) ( ) .i j ijdx x x i j  

−
= = 
 
QUESTÃO 6.4 
.j j j ij i
j j j
i i c j c i j c c = = = =   
 
QUESTÃO 6.5 
.i
i i i
i i i i i c
 
 =  = =  
 
   
Logo, Iii
i
= . 
 
QUESTÃO 6.6 
(a) ' ' ' ' ' ' ,x x dx x x dx x x x =  =   
ou seja, ( ) ' ' ( ').x dx x x x =  Logo, 
, ,( )x x x x= − . 
125 
 
(b) Como dx x x =  , .I dx x x=  
 
QUESTÃO 6.7 
x x x x= , onde x é um número, que é o autovalor do operador x . 
Usando a relação de completeza para a base do momento linear, 
/ipxx x x x dp p p x x dp p x p x dp p i e dp p i p x
p p
− = = = = =
    
Portanto, x dp p i p
p

=

. 
Como consequência, temos ( )p x i p
p

 = 

. 
 
QUESTÃO 6.8 
Dentro do poço, o operador hamiltoniano é o de uma partícula livre, 
2
2
free
p
H
m
= , que tem como 
auto-estados os estados p e p− , que são auto-estados do operador momento linear, com 
autovalores p e -p, respectivamente. Estes estados fornecem o mesmo autovalor para o 
operador hamiltoniano, pois 
2 2
2 2
free
p p
H p p p
m m
= = e também 
2 2 2( )
2 2 2
free
p p p
H p p p p
m m m
−
− = − = − = − . Logo, um estado quântico geral dentro do 
poço deve ser dado por uma combinação destes estados p e p− , na forma 
A p B p = + − . A função de onda é obtida projetando-se o estado quântico no espaço 
das posições: ( )x x A x p B x p = = + − . Isto resulta em 
/ /1 1( )
2 2
ipx ipxx A e B e
 
−= + . Na extremidade esquerda do poço devemos ter 
( 0) 0x = = , o que implica em A = - B. Deste modo, / /
1
( ) ( )
2
ipx ipxx A e e

−= − . 
Usando a identidade 2 sen
i ie e i  −− = , podemos escrever 
1
( ) 2 sen
2
px
x iA

 
=  
 
, ou 
( ) sen( )x C kx = , onde o valor da constante C deve normalizar a função de onda e 
p
k = . Na 
126 
 
extremidade direita do poço devemos ter ( ) 0x L = = , implicando em 
, 1, 2, 3, ...
n
k n
L

= = , de forma idêntica à da abordagem realizada no Capítulo 5. 
 
QUESTÃO 6.9 
1
2 1 2
1 0
0 1 ...
... ... ...
c
c c c
     
     
 = = + +
     
     
     
 
 
QUESTÃO 6.10 
A operação   deve resultar em um escalar. Portanto, se o estado “ket”  é expresso por 
um “vetor coluna” na forma 
1
2
...
b
b
 
 
 
 
 
, o estado “bra”  deve ser expresso por um vetor 
linha na forma ( )1 2 ...a a , de modo que 1 1 2 2 ...a b a b  = + + , que é um escalar. 
 
QUESTÃO 6.11 
Sejam os estados “ket” 










=
...
2
1
a
a
 e 
1
2
...
b
b
 
 
=  
 
 
. Sabemos que os estados “bra” 
correspondentes devem ter a forma ( )1 2 ...A A = e ( )1 2 ...B B = . Logo, 
1 1 2 2 ...Ab A b  = + + (1) 
e 
1 1 2 2 ...B a B a  = + + (2) 
Por outro lado,    

= , que, usando-se a equação 1 fica 
1 1 2 2 ...A b A b 
   = + + (3) 
127 
 
Comparando as equações 2 e 3 vemos que os elementos do vetor-linha do estado “bra” (as 
letras maiúsculas) se relacionam aos elementos do vetor-coluna do estado “ket” (as letras 
minúsculas) através de 
1 1 2 2 1 1 2 2, , ..., , , ...A a A a B b B b
   = = = = 
 
QUESTÃO 6.12 
Sendo os estados “ket” dos elementos da base 
1
1 0
...
 
 
=  
 
 
 , 
0
2 1
...
 
 
=  
 
 
, etc., os estados “bra” 
correspondentes são ( )1 1 0 ...= , ( )2 0 1 ...= , etc. Portanto, 
( )
1
1 1 1 0 ... 0 1
...
 
 
= = 
 
 
, ( )
0
1 2 1 0 ... 1 0
...
 
 
= =
 
 
 
, etc., que pode ser sintetizado como 
ijji = . 
 
 
QUESTÃO 6.13 
( ) ( )
1 0
1 1 2 2 1 0 0 1
0 1
1 0 0 0 1 0
.
0 0 0 1 0 1
i
i i
I
   
= + = + =   
   
     
= + = =     
     

 
 
QUESTÃO 6.14 
A multiplicação de um vetor coluna, de N elementos, por uma matriz de N x N elementos, situada 
à esquerda do vetor-coluna, resulta em um vetor coluna de N elementos. 
 
 
128 
 
QUESTÃO 6.15 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
11 12 11
11
21 22 21
11 12 12
12
21 22 22
11 12 11
21
21 22 21
11 12 12
21 22 22
1
1 1 1 0 1 0 ,
0
0
1 2 1 0 1 0 ,
1
1
2 1 0 1 0 1 ,
0
0
2 2 0 1 0 1
1
a a a
A a
a a a
a a a
A a
a a a
a a a
A a
a a a
a a a
A
a a a
    
= = =    
    
    
= = =    
    
    
= = =    
    
   
= =   
   
22.a

=

 
 
 
QUESTÃO 6.16 
Sendo 
1
2
f
f

 
=  
 
 e a matriz que representa o operador A dada por 
11 12
21 22
a a
a a
 
 
 
, 
11 12 1 11 1 12 2
21 22 2 21 1 22 2
.
a a f a f a f
A
a a f a f a f
 
+    
= = =    
+    
 
Logo, ( ) ( ) 11 2111 1 12 2 21 1 22 2 1 2
12 22
.
a a
a f a f a f a f f f
a a

 
         
 
 
= + + =  
 
 
 
QUESTÃO 6.17 
Os autovalores do operador hamiltoniano são os possíveis valores de energia que a partícula 
pode apresentar. Como os valores de energia são números reais, os autovalores do operador 
hamiltoniano também o são. 
 
QUESTÃO 6.18 
Seja a um autoestado do operador A, isto é, aaA a= . 
Se um operador B comuta com o operador A, a aAB a BA a B a B a = = = , ou seja, o 
estado B a também é autoestado do operador A. Logo, B a só pode diferir do estado a
129 
 
pela multiplicação por um escalar c, ficando B a c a= , que mostra que a é autoestado do 
operador B. 
 
QUESTÃO 6.19 
Seja o estado “ket” H = e, consequentemente, o estado “bra” 
tH = . 
H H   = = (1) 
e .tH H     
 
= = = (2) 
Como H H

= , a comparação das equações 1 e 2 implica em tH H= . 
 
QUESTÃO 6.20 
ji H j E i j= . 
j ji H j E i j E j i
 = = . 
Por outro lado, 
t
ii H j j H i j H i E j i

= = = . 
Logo, j iE j i E j i= , que para a condição i jE E só pode ser satisfeito se 0j i = . 
 
QUESTÃO 6.21 
,
j k i k i kj ji j j
k i k i
P c k j j c i c c c c     = = =   , que é a probabilidade Pj de 
encontrar a partícula no estado j . 
 
QUESTÃO 6.22 
,i j j j ijH i H j E i j E = = = . Logo, a matriz do hamiltoniano tem a forma diagonal 
1
2
0 ...
0 ...
... ... ...
E
E
 
 
 
 
 
. 
130 
 
 
QUESTÃO 6.23 
(a) ,i j i ji j i j c c 
= =   = . 
(b) ( ) 1i i i
i i
Tr c c P = = =  . É a soma das probabilidades da partícula ser encontrada nos 
diversos estados. 
(c) ( ) i i
i
Tr H PE H = = , que é a média das energias, ponderadas pelas respectivas 
probabilidades de serem encontradas, ou seja, o valor médio do hamiltoniano. 
 
 
QUESTÃO 6.24 
(a) 
2 2 2 2cos cos sen sen cos sen cos sen 1x x x y y x y y         = + + + = + = 
(b) cosxc x  = = . A respectiva probabilidade é 
2cosx x xP c c 
= = . 
 
QUESTÃO 6.25 
(a) ( ) ( )2
11 1 1
1 1 1
22 2
R R i i
i
 
= − = − = 
 
. 
( ) ( )2
11 1 1
1 1 1
22 2
L L i i
i
 
= = − = 
− 
. 
( ) ( )2
11 1 1
1 1 0
22 2
R L i i
i
 
= − = + = 
− 
. 
(b) 
( ) ( ) ( ) ( )
( )2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
.
R R L L x i y x i y x i y x i y
x x i x y i y x i y y x x i x y i y x i y y
x x y y I
+ = + − + − + =
= − + − + + − − =
= + =
 
 
131 
 
QUESTÃO 6.26 
x yR c x c y= + , 
onde ( )
1 1
2 2
xc x R x x i y= = + = e a respectiva probabilidade é 
1
2
x x xP c c
== , 
enquanto ( )
1
2 2
y
i
c y R y x i y= = + = e a respectiva probabilidade é 
1
2
y y yP c c
= = . 
 
QUESTÃO 6.27 
R Lx c R c L= + , 
onde ( )
1 1
2 2
Rc R x x i y x= = − = e a respectiva probabilidade é 
1
2
R R RP c c
= = , 
enquanto ( )
1 1
2 2
Lc L x x i y x= = + = e a respectiva probabilidade é 
1
2
L L LP c c
= = . 
 
 
QUESTÃO 6.28 
(a) 
3 1 3 1 3 1
1
2 2 2 2 4 4
x y x y 
  
= + + = + =    
  
. 
(b) 
3 1 3
2 2 2
xc x x x y
 
= = + =  
 
 e a respectiva probabilidade é 
3
4
x x xP c c
= = . 
3 1
1
2 2
yc y y x y
 
= = + =  
 
 e a respectiva probabilidade é 
1
4
y y yP c c
= = . 
( )
1 3 1 3
2 22 2 2
R
i
c R x i y x y
  −
= = − + =  
 
 e a respectiva probabilidade é 
23 3 3 1
8 22 2 2 2
R R R
i i i
P c c
+ − −
= =  = = . 
132 
 
( )
1 3 1 3
2 22 2 2
L
i
c L x i y x y
  +
= = + + =  
 
 e a respectiva probabilidade é 
23 3 3 1
8 22 2 2 2
L L L
i i i
P c c
− + −
= =  = = . 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
 
QUESTÃO 7.1 
Determinação dos autovalores: 
11
22
0
0
0
a
a


−
=
−
, ou ( )( )11 22 0a a − − = , cujas raízes são 1 11a = e 2 22a = . 
Determinação dos autoestados: 
Para 2 22a = : 
11
22
22
0
0
a x x
a
a y y
     
=     
    
, que fornece 11 22a x a x= , que para 22 11a a só pode ser satisfeita se 
0x = . Logo, o autoestado correspondente é 2
0
y

 
=  
 
e a sua normalização 
  22 2
0
0 1y y
y
 
 
= = = 
 
 resulta em 2
0
1

 
=  
 
. 
 
QUESTÃO 7.2 
Se o momento magnético é antiparalelo ao campo, a energia potencial de interação com o 
campo é U B B = −  = . Logo, as partículas, procurando minimizar essa energia, vão 
procurar o campo magnético menos intenso, ou seja, vão descer. 
 
 
133 
 
QUESTÃO 7.3 
Determinação dos autovalores: 
0
0
0
U A
A U


− −
=
− −
, ou ( )
2 2
0 0U A− − = , cujas raízes são 0U A = + e 0U A = − . 
Determinação dos autoestados normalizados: 
Para o autovalor 
0U A = + : 
( )0 0
0
U A x x
U A
A U y y
−     
= +     
−     
, ou 
0 0U x Ay U x Ax− = + , implicando em y x= − . 
Assim, 
1
1
x
x
x

   
= =   
− −   
, cuja normalização  2 2
1
1 1 2 1
1
x x 
 
= − = = 
− 
 resulta 
em 
1
2
x = e, portanto, ( )
1 1 01 1 1
1 2
1 0 12 2 2

      
= = − = −      
−      
. 
Para o autovalor 0U A = − : 
( )0 0
0
U A x x
U A
A U y y
−     
= −     
−     
, ou 0 0U x Ay U x Ax− = − , implicando em y x= . 
Assim, 
1
1
x
x
x

   
= =   
   
, cuja normalização  2 2
1
1 1 2 1
1
x x 
 
= = = 
 
 resulta em 
1
2
x = e, portanto, ( )
1 1 01 1 1
1 2
1 0 12 2 2

      
= = + = +      
      
. 
 
QUESTÃO 7.4 
  ( )
11 1
1 1 1 1 0
12 2
 
 
= − = − = 
 
. 
 
 
134 
 
QUESTÃO 7.5 
   0 0 0
0 0
11 1 1
1 1 1 1
1 22 2
U A U A
H H U A
A U A U
  
− +    
= = − = − = +    
− − −−    
, 
   0 0
0 0
11 1 1
1 1 1 1 0
1 22 2
U A U A
H H
A U A U
  
− −    
= = − = − =    
− − +    
, 
   0 0
0 0
11 1 1
1 1 1 1 0
1 22 2
U A U A
H H
A U A U
  
− −    
= = = =    
− −−    
, 
   0 0 0
0 0
11 1 1
1 1 1 1
1 22 2
U A U A
H H U A
A U A U
  
− −    
= = = = −    
− − +    
. 
Logo, nessa base formada pelos estados  e  , a matriz assume a forma diagonal 
0
0
0
0
U A
U A
+ 
 
− 
, o que é esperado, já que vimos que quando se usa como base os 
autoestados, a matriz é diagonal, com a diagonal constituída pelos autovalores. 
 
QUESTÃO 7.6 
(0) 1 c c   = = + , onde 
( )
1 1
1 1 2 1
2 2
c = = − = e ( )
1 1
1 1 2 1
2 2
c = = + = . Logo, 
( )
1
(0)
2
  = + , e a evolução temporal do estado fica 
( )0 0( ) / ( ) /
1
( )
2
i U A t i U A t
t e e − + − − = + . 
Retornando à base dos estados 1 e 2 : 
1 2( ) ( ) 1 ( ) 2t c t c t = + , onde 
( )0 0( ) / ( ) /1
1
( ) 1 ( ) 1 1
2
i U A t i U A t
c t t e e − + − −=  = + e 
135 
 
 ( )0 0( ) / ( ) /2
1
( ) 2 ( ) 2 2
2
i U A t i U A t
c t t e e − + − −=  = + . 
Sendo ( )
1 1
1 1 1 2
2 2
 = − = , ( )
1 1
1 1 1 2
2 2
 = + = , 
( )
1 1
2 2 1 2
2 2
 = − = − , ( )
1 1
2 2 1 2
2 2
 = + = , temos 
( )0 0 0 0
/ /
( ) / ( ) / / /
1
1
( ) cos
2 2
iAt iAt
i U A t i U A t iU t iU te e At
c t e e e e
−
− + − − − − +  
= + = =   
  
 e 
( )0 0 0 0
/ /
( ) / ( ) / / /
2
1
( ) sen
2 2
iAt iAt
i U A t i U A t iU t iU te e At
c t e e e e i
−
− + − − − − − +  
= − + = =   
  
. 
Assim, a probabilidade do estado ser encontrado como 1 é 2
1 1 1( ) ( ) ( ) cos
At
P t c t c t
 
= =  
 
 
e a probabilidade do estado ser encontrado como 2 é 2
2 2 2( ) ( ) ( ) sen
At
P t c t c t
 
= =  
 
. 
Podemos observar que 1 2( ) ( ) 1P t P t+ = . 
 
QUESTÃO 7.7 
(a) 
0
0
0
0
U E
U E


+ 
 
− 
 
(b) 
0
0
U E A
A U E


+ − 
 
− − 
 
(c) 
0
0
0
U E A
A U E
 
 
+ − −
=
− − −
, ou ( ) ( ) 20 0 0U E U E A   + − − − − = , que pode 
ser escrita na forma 2 2 2 2 20 02 0U U E A  − + − − = , cujas raízes (os autovalores do 
hamiltoniano) são 
2 2 2
0IU U E A= + + e 
2 2 2
0IIU U E A= − + . 
 
 
136 
 
QUESTÃO 7.8 
( ) ( )
( )
( )11 12 21 22
1 1
1 2 1 2
2 2
1
1 1 1 2 2 1 2 2
2
1
2
H H H
H H H H
H H H H
  = = − − =
= − − + =
= − − +
 
Observando que 
11 0 12 21 22 0, ,H U E H H A H U E = + = = − = − , temos 
0H U A = + . 
De forma semelhante, 
( ) ( )
( )11 12 21 22
1 1
1 2 1 2
2 2
1
,
2
H H H
H H H H E
  

= = − + =
= + − − =
 
( ) ( )
( )11 12 21 22
1 1
1 2 1 2
2 2
1
,
2
H H H
H H H H E
  

= = + − =
= − + − =
 
( ) ( )
( )11 12 21 22 0
1 1
1 2 1 2
2 2
1
.
2
H H H
H H H H U A
  = = + + =
= + + + = −
 
Logo, usando-se a base constituída pelos elementos  e  , a matriz do hamiltoniano tem a 
forma 
0
0
( )
'
( )
U A E t
H
E t U A


+ 
=  
− 
. 
 
 
 
137 
 
CAPÍTULO 8 
 
QUESTÃO 8.1 
Para a partícula livre, V = 0 e a equação de Schrödinger independente do tempo tem a forma 
2
2
2
E EE
m
 −  = . 
Em coordenadas esféricas 
2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
sen
sen sen
r
r r r r r
  
 
    
       
 = + +   
       
. 
Como ( )r somente depende da coordenada radial r necessitamos usar apenas o primeiro 
termo da expressão do laplaciano: 
( )2 2 2 2 22 2 2
1 1
1
ikr ikr
ikre C er r C e rik k C k
r r r r r r r r r r

 
       
  = = = − = − = −             
 
e então 
2 2 2
2
2 2
k
m m
 −  = , onde o autovalor é 
2 2
2
k
E
m
= . 
 
 
 
QUESTÃO 8.2 
  ( ), 0x x xp y p y yp y y y y
i x i x i x i x
  
   
   
= − = − = − =
   
. 
 
QUESTÃO 8.3 
Usando as equações 8.5 e 8.6, 
( ) ( )    , , , , , ,x y z y x z z x z z y x y zL L yp zp zp xp yp zp yp xp zp zp zp xp      = − − = − − +       . 
No lado direito da última equação, as segunda e terceira comutações são nulas, ficando 
  ( )  ( ) ( ), , , , .x y z x y z x y z x y y x zL L yp zp zp xp yp xp p z yp xp i xp yp i L
i
   = + = − = − = − =    
Um procedimento semelhante deve ser usado para se obter ,y zL L   e  ,z xL L . 
138 
 
 
QUESTÃO 8.4 
2 2 2 2 2 2 2, , , , ,x x x y z x x x y x zL L L L L L L L L L L L         = + + = + +          
Mas 
2, 0x xL L  =  , 
2,
, , ( ),
x y x y y y y x x y y y x y y x y y y x
x y y y x y z y y z
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
L L L L L L i L L L L
  = − = − + − = 
   = + = +   
 
   2, , , ( ).x z x z z z x z y z z yL L L L L L L L i L L L L  = + = − +  
Somando esses três termos temos2, 0.xL L  =  
Um procedimento semelhante deve ser usado para se obter 2, 0yL L  =  e 
2, 0zL L  =  . 
 
 
139 
 
CAPÍTULO 9 
 
QUESTÃO 9.1 
( )
2 2 2
1 2 1 2 1 22x x x x x x− = + − . 
(a) Partículas distinguíveis: 
1 2 1 2( , ) ( ) ( )a bx x x x  = 
2 2
1 1 2 1 2 1 1 2
2
1 1 1 1 2 2 2
2 2
1 1 1 1
( , ) ( , )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
a a b b
a a a
x dx dx x x x x x
dx x x x dx x x
dx x x x x
   
 

 

=   =
= =
= 
 
 

 
2 2
2 1 1 1 2 2 2 2
2 2
2 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) .
a a b b
b b b
x dx x x dx x x x
dx x x x x
   
 
 

= =
= 
 

 
1 2 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) .a a b b a bx x dx x x x dx x x x x x   
 = =  
Logo, ( )
2 2 2
1 2 2 a ba bdistinguíveis
x x x x x x− = + − . 
(b) Bósons: 
 1 2 1 2 2 1
1
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a b a bx x x x x x    = + 
2 2
1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2
2
1
2 2
1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2
2
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) (
2
a a b b a b b a
b a a b b b a a
a a b
dx x x x dx x x dx x x x dx x x
x
dx x x x dx x x dx x x x dx x x
dx x x x dx x
       
       
  
   
   
 
 + +
 = =
 + +
 
= +
   
   
 
2 2 2
1 1 1
1
) ( ) .
2
b a b
x x x x    = +
   
Da mesma forma, 
2 2 2
2
1
2 a b
x x x = +
 
. 
2 2
1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2
2
1
2 2
1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2
2
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
( ) ( ) (
2
a a b b a b b a
b a a b b b a a
a a b
dx x x x dx x x dx x x x dx x x
x
dx x x x dx x x dx x x x dx x x
dx x x x dx x
       
       
  
   
   
 
 + +
 = =
 + +
 
= +
   
   
 
2 2 2
1 1 1
1
) ( ) .
2
b a b
x x x x    = +
   
 
140 
 
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a b b a b b a
b a a b b b a a
dx x x x dx x x x dx x x x dx x x x
x x
dx x x x dx x x x dx x x x dx x x x
       
       
   
   
 + +
 =
 + +
 
   
   
 
Definindo ( ) ( )a babx dx x x x 
  e ( ) ( )b aba abx dx x x x x 
 = , 
2
1 2 a b ab
x x x x x= + . 
Logo, ( )
22 2 2
1 2 2 2a b aba bbósons
x x x x x x x− = + − − . 
(c) Férmions: 
Um cálculo semelhante ao de (b) resulta em 
( )
22 2 2
1 2 2 2a b aba bférmions
x x x x x x x− = + − + . 
Comparando os três casos, vemos que 
( ) ( )
22 2
1 2 1 2 2 ab
bósons distinguíveis
x x x x x− = − − 
e 
( ) ( )
22 2
1 2 1 2 2 ab
férmions distinguíveis
x x x x x− = − + . 
 
 
QUESTÃO 9.2 
( )1
2 A B A B
 =    −    
(a) Estados nos espaços de Alice e Bob, tem a forma, respectivamente, 1 2A A
a a =  + 
e 1 2B B
b b =  +  . Assim, um estado que pode ser fatorado é do tipo 
1 1 1 2 2 1 2 2A B A B A B A B
a b a b a b a b  =    +    +    +    . 
Comparando os coeficientes com os do estado descrito pela equação 9.11, devemos ter 
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1
0, , , 0
2 2
a b a b a b a b= = = − = , o que é impossível de satisfazer. 
141 
 
(b) Vamos recordar da questão 6.19 do capítulo 6 que o valor médio do operador projetor de 
um estado é a probabilidade do sistema ser encontrado nesse estado. O projetor para o estado 
A
 é 
A A
  e então a probabilidade de Alice encontrar 
A
 é 
1
2
A A A
B A A A B B A A A B
B A A A B B A A A B
P

=     =
       −       +
 =
 −       +      
 
 
Devido à ortogonalidade dos estados 
A
 e 
A
 apenas o primeiro termo dentro dos 
parêntesis não se anula, sendo que esse termo tem o valor 1. Logo, 
1
.
2A
P

= Um cálculo 
semelhante mostra que a probabilidade de Alice encontrar 
A
 é 
1
.
2A
P

= 
(c) Se Alice encontrar 
A
 , o estado reduz-se a '
A B
 =    . A probabilidade de Bob 
encontrar 
B
 é nula, pois ' ' 0
B B B A B B B A
P

=     =       = , 
enquanto a probabilidade de Bob encontrar 
B
 é de 100%, pois 
' ' 1
B B B A B B B A
P

=     =       = . 
 
QUESTÃO 9.3 
(a) Sendo r o raio da órbita, o dipolo magnético é 2 2
q
i r r
T
  = = . 
Mas 
2 r
T
v

= , onde v é a velocidade da partícula em sua órbita, que possui um momento 
angular L mrv= . Eliminando a velocidade, 
22 mr
T
L

= e, portanto, 
2
q
L
m
 = , que leva à 
razão 
2
q
L m

= . 
(b) Para uma única partícula, rotulada com o índice i, 
2
i i
q
L
m
 = , enquanto para o corpo 
constituído por tais partículas temos 
1 12
N N
i i
i i
q
L
m

= =
=  . Sendo agora o dipolo magnético e o 
142 
 
momento angular do corpo, respectivamente, 
1
N
i
i
 
=
= e 
1
N
i
i
L L
=
= , mantém-se a razão 
2
q
L m

= . 
(c) Para o corpo, Q Nq= e M Nm= . Portanto, 
/
2 2 / 2
q Q N Q
L m M N M

= = = . 
(d) O resultado anterior mostra que, se S for o momento angular devido à rotação do elétron 
em torno de seu próprio eixo, o dipolo magnético deve ser, vetorialmente, 
2 e
e
S
m
 = − , onde 
o sinal “menos” deve-se à carga negativa do elétron. Comparando essa última equação com a 
equação 9.12, deveríamos ter uma razão giromagnética 1g = . 
 
QUESTÃO 9.4 
(a) 
0 1 0 0 0 1 0 1 0
, 2 2 2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
x y z
i i i
i i
i i i
  
− −         
  = − = = =           − −         
 
0 1 0 1 0 0 0 0 1
, 2 2 2
0 0 1 0 1 0 0 1 0
y z x
i i i
i i
i i i
  
− −         
  = − = = =           − −         
 
 
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
, 2 2 2
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0
z x z
i
i i
i
  
−         
= − = = =         
− − −         
 
(b) , ,
2 2 2
x x y y z zS S S  = = = 
2 2
, , 2
2 2 2 2 2 2
x y x y y x x y y x x y z zS S S S S S i i S      
   
   = − = − = = =      
   
 
2 2
, , 2
2 2
y z y z x xS S i i S  
   
   == = =      
   
 
   
2 2
, , 2
2 2
z x z x y yS S i i S  
   
== = =   
   
 
 
 
143 
 
(c) 
2 2 2 2 2 2 2, , , , ,x x x y z x x x y x zS S S S S S S S S S S S         = + + = + +          
Mas 
2, 0x xS S  =  , 
2,
, , ( ),
x y x y y y y x x y y y x y y x y y y x
x y y y x y z y y z
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S
S S S S S S i S S S S
  = − = − + − = 
   = + = +   
 
   2, , , ( ).x z x z z z x z y z z yS S S S S S S S i S S S S  = + = − +  
Somando esses três termos temos 2, 0.xS S  =  
Um procedimento semelhante deve ser usado para se obter 2, 0yS S  =  e 
2, 0zS S  =  . 
 
QUESTÃO 9.5 
( ) ( )
2 4
x x y y z z x x y y z z
e e
eg eg
U S B S B S B B B B
m m
  = + + = + + . 
Definindo 
4 e
eg
m
  , ( )x x y y z zU B B B   = + + . 
(a) ˆB Bk= : 
1 0 0
0 1 0
z
B
U B B
B

  

   
= = =   
− −   
 
Como essa matriz é diagonal, os seus autovalores são os elementos da diagonal principal, isto é, 
B e B− , e os seus autoestados são os elementos da base usada para expressar a matriz, 
isto é, 
1
0
 
 =  
 
e 
0
1
 
 =  
 
. 
(b) ˆB Bi= : 
0 1 0
1 0 0
x
B
U B B
B

  

   
= = =   
   
. 
 
144 
 
Determinação dos autovalores: 
0
0
0
B
B
 
 
−
=
−
, ou ( )
22 0B − = , que fornece os autovalores B = e B = − . 
Determinação dos autoestados: 
Para B = : 
0 1
1 0
x x
B B
y y
 
    
=    
    
, que implica em y x= . Portanto o autoestado normalizado é 
( )
11 1
12 2
x
+  = =  +  
 
. 
Para B = − : 
0 1
1 0
x x
B B
y y
 
    
= −    
    
, que implica em y x= − . Portanto o autoestado normalizado é 
( )
11 1
12 2
x
−  = =  −  
− 
. 
(c)ˆB Bj= : 
0 0
0 0
y
i i B
U B B
i i B

  

− −   
= = =   
   
. 
Determinação dos autovalores: 
0
0
0
i B
i B
 
 
− −
=
−
, ou ( )
22 0B − = , que fornece os autovalores B = e B = − . 
Determinação dos autoestados: 
Para B = : 
0
0
i x x
B B
i y y
 
−    
=    
    
, que implica em y ix= . Portanto o autoestado normalizado é 
( )
11 1
2 2
y i
i
 +
 
= =  +  
 
. 
 
145 
 
Para B = − : 
0
0
i x x
B B
i y y
 
−    
= −    
    
, que implica em y ix= − . Portanto o autoestado normalizado é 
( )
11 1
2 2
y i
i
 −
 
= =  −  
− 
. 
(d) ˆˆ ˆ
x y zB B i B j B k= + + : 
z x y
x x y y z z
x y z
B B i B
U B B B
B i B B
  
     
  
− 
= + + =  
+ − 
. 
Determinação dos autovalores: 
0
z x y
x y z
B B i B
B i B B
   
   
− −
=
+ − −
, ou 
( )( ) ( )( ) 0z z x y x yB B B i B B i B       − − + − − + = , ou 
( )2 2 2 2 2 2 2 2 0x y zB B B B   − + + = − = , 
que fornece os autovalores B = e B = − . 
 
QUESTÃO 9.6 
(a) 
( )
0 cos sen 0
cos sen
cos sen 02 2 2 0
i
n x y i
i e
S
i e


 
   
 
−−   
= + = =   
+   
. 
/ 2 / 2
/ 2 / 2
0 1 1
2 2 20 2 2
i i i
n i i i
e e e
S n n
e e e
  
  
− − −
+ +
     
= = =     
     
. 
/ 2 / 2
/ 2 / 2
0 1 1
2 2 20 2 2
i i i
n i i i
e e e
S n n
e e e
  
  
− − −
− +
     −
= = = −     
−     
. 
 
 
 
146 
 
(b) 
( )
( )
( )
( )
/ 2 / 2
/ 2 / 2
/ 2 / 2
/ 2 / 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1 1
2 2
1 1
2 2
( ) ( ) ( ) .
i i
i i
i i
i
i i
S a n b n
e e
a b
e e
e e
e a b
e e
a n b n S
   
   
 

 
     
  
+ −
− + − +
+ +
− −
+ −
+ = + + + =
   
= + =   
   −   
    
= + =    
−     
 = − + = −
 
 
 
QUESTÃO 9.7 
Após a operação da máquina, o estado dos dois elétrons fica 
( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2
1 1
'
2 2
  =    +   −  =  −   
 
 
e o estado do primeiro elétron, consequentemente, fica ( )1 1 1
1
'
2
 =  −  . 
 
 
 
 
CAPÍTULO 10 
 
QUESTÃO 10.1 
Considerando um comprimento de onda médio para a luz visível λ = 500 nm, D = 9.5 x 1015 m e 
L = 2 Rʘ = 1.4 x 109 m, tem-se 3,4d m . 
 
QUESTÃO 10.2 
(a) De acordo com a equação 10.1 a distância entre o orifício e as fendas deve ser 
Ld
D

= , 
onde L é o diâmetro do orifício e d é a separação entre as fendas, resultando em D = 0,4 m. 
(b) Sendo a distância da lâmpada ao orifício Do = 0,5 m, a distância da lâmpada às fendas é s = 
Do + D = 0,9 m. Sem o orifício, a intensidade da lâmpada, de luminosidade P = 100 W, incidente 
nas fendas, é 2
2
9,8 /
4
P
I W m
s
= = . 
147 
 
O orifício, de raio r = 1,0 mm, apresenta uma luminosidade 2 4
2
1,0 10
4
o
o
P
P r W
D


−=  =  . 
Com o orifício a intensidade luminosa que incide nas fendas passa a ser 
4 2
2
' 1,0 10 /
2
oPI W m
D
−= =  , que sofre uma redução por um fator de 5
'
10
I
I
−= devido ao 
orifício. Ao atingir a tela, onde se observa o padrão de interferência, a intensidade da luz sofre 
novamente uma grande redução. Portanto, a dificuldade em se observar o padrão de 
interferência nesse experimento está na detecção de uma baixíssima intensidade. 
 
QUESTAO 10.3 
(a) Máximos: 
sen
, 0,1, 2,...
2
kd
n n

= = , ou 
2 sen
2
d
n
 


= , que implica em send n = . 
Mínimos: 
sen
(2 1) , 0,1, 2,...
2 2
kd
n n
 
= + = , que implica em ( )sen 2 1
2
d n

 = + . 
(b) O valor médio da função cos2 é ½. Logo, 12t tI I
= , como deve ser, pois a energia 
luminosa na tela tem que ser igual à energia proveniente das duas fendas. 
 
QUESTÃO 10.4 
Da igualdade das equações 2.2 e 2.3: 
dD
L
2

 , fazendo que o padrão de interferência desapareça quando a distância entre as fontes 
for 
d
D
L
2

 , ou, equivalentemente, quando a separação entre as fendas for 
L
D
d
2

 , que é a 
equação 2.1 a menos do fator ½. 
 
QUESTÃO 10.5 
Porque a intensidade dos máximos de interferência, descrita pela equação 10.8, é modulada 
pela figura de difração, descrita pela equação 10.12. 
 
148 
 
QUESTÃO 10.6 
( )( )1 2 1 2
2
( )
ikr ikr ikr ikr
dP Y Y dA g e e e e dA 
 − −
=   = + + , ou 
( )  
2 2
( ) 2 ( ) 2 1 cos( )ik r ik rdP g e e dA g k r dA    − = + + = +  , 
onde 
2 1r r r = − . 
Usando a identidade trigonométrica ( ) 21 cos 2 2cos + = , 
2 2( ) 4cos
2
k r
dP g dA 
 
=  
 
. 
Finalmente, fazendo 
2
( ) ( )f g  e senr d  = , 
2 sen( ) ( )cos
2
kd
dP f dA

 
 
  
 
, que é a equação 10.17. 
QUESTÃO 10.7 
( )( )
2 2
' '
.
dP Y Y dA
x A Y A y B Y B A Y A x B Y B y
A Y A B Y B
=   =
=   +     +   =
=  + 
 
 
QUESTÃO 10.8 
(a) 'Y A Y A B Y B =    +    . 
(b) 
( )( )
2 2
' '
.
dP Y Y dA
A Y A B Y B A Y A B Y B
A Y A B Y B
=   =
=    +       +    =
=  + 