Física moderna aula 4a 2020

Prévia do material em texto

<p>Física moderna</p><p>Aula 4a</p><p>4. Elementos de Mecânica Quântica</p><p>4.1. Hipótese de Louis de-Broglie e as propriedades ondulares das partículas;</p><p>4.2. Princípio de incerteza de Heisenberg;</p><p>4.3. Equação de Schrödinger. Função ψ;</p><p>4.4. Quantização da energia e do momento de impulso;</p><p>4.5. Exemplos unidimensionais: passagem de uma partícula por uma barreira de potencial e por um buraco de potencial.</p><p>4.6. Solução da eq. de Sch, para o oscilador harmónico.</p><p>2</p><p>4.1. Hipótese de Louis de-Broglie e as propriedades ondulares das partículas</p><p>A Teoria Eletromagnética de Maxwell também conhecida como Eletromagnetismo Clássico estabeleceu que a luz era uma onda eletromagnética. As ondas eletromagnéticas são ondas transversais que se propagam inclusive no vácuo (no vazio). Então, em 1905, Einstein “vê” a luz composta por grãos de luz (fotões) para explicar o Efeito Fotoeléctrico e, em 1923, Compton “visualiza” os fotões em um jogo de bilhar usando raios-X (ondas eletromagnéticas) e uma amostra de grafite.</p><p>4.1. Hipótese de Louis de-Broglie e as propriedades ondulares das partículas</p><p>Essa dualidade para a radiação eletromagnética, que ora se comportava como onda e ora como partícula, não foi prontamente ou facilmente aceita como pode nos parecer a princípio. A dualidade, no entanto, ficou definitivamente estabelecida depois da experiência de Compton.</p><p>4.1. Hipótese de Louis de-Broglie e as propriedades ondulares das partículas</p><p>Louis Victor de Broglie estendeu, em 1925, o carácter dual da luz para a matéria. Por representar um grande passo para a Física, de Broglie recebeu, em 1929, o Prémio Nobel de Física.</p><p>Uma pergunta que certamente lhe ocorreu foi que se a luz, até então tida como onda, se comportava como partícula em certas situações, por que não o electrão, tido como partícula, não poderia se comportar também como uma onda dependendo da experiência? Segundo de Broglie, a matéria também poderia apresentar tal comportamento dual.</p><p>Em resumo, De Broglie assume que se a luz (onda) em determinadas situações se comporta como partícula, então, o electrão (partícula), em determinadas situações pode igualmente se comportar como onda.</p><p>A proposta de de Broglie para a dualidade onda-partícula para a matéria se estende a toda matéria como protões, neutrões, átomos, moléculas e não somente aos electrões. Eis o problema: qual o comprimento de onda associado a uma partícula para que esta possa ser descrita como onda?</p><p>Respondendo a esta pergunta, de Broglie sugeriu a relação , sendo λ o chamado comprimento de onda de de Broglie. Aqui, h é a constante de Planck e p = mv é o produto da massa pela velocidade da partícula (o momento linear da partícula). Em resumo, o Princípio de de Broglie atribui um comprimento de onda de matéria para qualquer massa m com velocidade v.</p><p>ou</p><p>Generalizando a 2ª equação para uma partícula de velocidade v:</p><p>Exercitando...</p><p>Determine o comprimento de onda de De Broglie, para um corpo de 400g que se movimenta a uma velocidade de 10m/s.</p><p>Dessa forma, não há como verificar o comportamento ondulatório para um objeto com comprimento de onda dessa ordem de grandeza. Esse comprimento é tão pequeno que chega a ser vezes menor que o núcleo do átomo. Lembre-se que para observar um comportamento ondulatório podemos garantir situações que mostrem difracção e interferência (propriedades típicas de ondas). No entanto, os obstáculos e/ou as aberturas que precisamos colocar no caminho das ondas devem ter dimensão (tamanho) da mesma ordem que o comprimento de onda da onda que queremos ver difratar ou interferir.</p><p>Esta hipótese de De Broglie foi rapidamente corroborrada por Davisson e Germer em 1927, onde um feixe de electrões é reflectido um monocristal de Níquel. Nesse experimento, verificou-se um padrão de reflexão intrigante, onde se verificavam picos de radiação reflectida, assumindo o cristal como um conjunto de planos discretos, paralelos e separados por uma distância d (concordante com com os picos de Bragg), cujas reflexões interfeririam construtivamente.</p><p>Exemplo 2</p><p>Verifique qual seria o comprimento de onda de de Broglie associado a um electrão de 120 eV. Compare o valor encontrado com o resultado da situação acima. Será que seria possível pensar em experiências que mostrem o carácter ondulatório do electrão?</p><p>4.2. Princípio de incerteza de Heisenberg</p><p>Medições</p><p>Para efectuarmos qualquer tipo de medição precisamos interagir com aquilo que queremos medir. Durante a medida do tamanho de um tecido por exemplo, é necessário tocá-lo e compará-lo com uma fita métrica; para medir a velocidade de um carro, o radar emite ondas que atingem o carro e voltam permitindo calcular sua velocidade; para simplesmente descobrirmos a posição de qualquer objecto, geralmente precisamos olhá-lo e se o vemos significa que a luz iluminou este corpo e chegou aos nossos olhos.</p><p>Qual é a medida deste lápis em milímetros?</p><p>Daí a incerteza!!!</p><p>4.2. Princípio de incerteza de Heisenberg</p><p>Quando começamos a lidar com corpos muito pequenos, como por exemplo os electrões, determinar valores como posição e momento torna-se uma tarefa um pouco mais complicada. Como saber a posição de um electrão? Poderíamos lançar contra ele um feixe de luz com alguns fotões (partículas de luz) e ao recebê-los novamente calcular onde estava.</p><p>Se tentarmos porém determinar a quantidade de movimento da mesma forma, alteraremos a quantidade de movimento original com os fotões que lançamos. A Quantidade de Movimento da partícula necessária para esse cálculo muda a posição do electrão de modo que não conseguimos descobrir a posição com boa precisão. Resumindo, quanto maior a precisão com que medimos a posição menor a precisão com que mediremos o momento e vice-versa. A isso chamamos de Princípio da Incerteza de Heisenberg.</p><p>Essa incerteza não se deve aos aparelhos que usamos, mas a própria natureza das partículas. Segundo as leis da Mecânica Quântica, quanto mais fácil for para encontrar uma partícula maior o momento necessário para interagir com ela, o que torna mais difícil determinar a sua Quantidade de Movimento. Algo parecido ocorre se conseguirmos determinar o Momento com precisão e tentarmos descobrir a posição.</p><p>Analogamente, a energia e o tempo também não podem ser simultaneamente determinadas com precisão:</p><p>Como podemos perceber, muitos conceitos da Mecânica Quântica são bastante diferentes da Mecânica Clássica.</p><p>Porém a maior parte da Ciência desenvolvida antes do século XX encontra aplicações em nossa vida diária e nas situações com que estamos acostumados. Esta mesma Ciência Clássica começa a perder sua utilidade quando estudamos objetos em situações extremas:</p><p>Extremamente grandes</p><p>Extremamente rápidos</p><p>Extremamente pequenos</p><p>4.3. Equação de Schrödinger Função ψ</p><p>Com o desenvolvimento das ideias de De Broglie sobre as propriedades ondulatórias da matéria, Schrödinger obteve uma equação, que descreve o estado de uma micropartícula com a função completa com coordenadas e o tempo, a qual designou de função Psi (ψ).</p><p>A função Psi se determina resolvendo a Equação de Schrodinger que apresenta a seguinte forma:</p><p>Onde m é a massa da partícula, i é a unidade imaginária, é o operador de Laplace.</p><p>A Equação de Schrodinger é a equação fundamental da Mecânica Quântica.</p><p>Nesta equação, U representa as forças que actuam sobre a partícula.</p><p>Se o campo de forças onde se move a partícula for estacionário, então U não depende do tempo e assume o sentido de energia potencial.</p><p>Num campo estacionário, assumimos a Equação de Schrodinger com a forma diferencial:</p><p>A chamada Equação de Schrodinger para estados estacionários, ou, para este nível de tratamento, simplesmente Equação de Schrodinger.</p><p>Analisando uma partícula livre (que não sofre acção de nenhuma força), ou por outras, a energia potencial é constante em todo o espaço, o que pode ser comparada com uma onda plana do tipo:</p><p>Com base nas hipóteses de De Broglie e sendo:</p><p>e</p><p>Podemos usar:</p><p>Vamos derivar…</p><p>Derive a função psi :</p><p>Uma vez em</p><p>ordem ao tempo; e,</p><p>Duas vezes em ordem à posição x.</p><p>Sentido da função Psi</p><p>Max Born deu uma interpretação adequada à função psi, segundo a qual, o quadrado do módulo da função psi representa a probabilidade de localizar a partícula dentro dos limites de um volume dV.</p><p>Sendo uma probabilidade, esse quadrado só pode ser igualado à unidade. A é um coeficiente de proporcionalidade, e,</p><p>Esta é a chamada Condição de Normalização</p><p>Esta função Psi tem um sentido puramente estatístico, permitindo que se prognostique com que probabilidade uma partícula pode ser localizada em diferentes pontos do espaço.</p><p>image2.jpeg</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.jpeg</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image10.jpeg</p><p>image11.jpeg</p><p>image12.png</p><p>image14.png</p><p>image13.png</p><p>image130.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p><p>image18.png</p><p>image19.png</p><p>image20.png</p>