Fundamentos de Física Moderna e Contemporânea

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SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 2 
CAPÍTULO 1 – RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO ..................................................... 4 
1.1- RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO ............................................................................... 4 
1.2 - MODELO CLÁSSICO PARA A RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO ....................................... 6 
1.3 A TEORIA DA RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO DE PLANCK ............................................ 9 
1.4 O QUANTUM DE AÇÃO DE PLANCK ........................................................................ 14 
CAPÍTULO 2 - QUANTIZAÇÃO DA CARGA, ENERGIA ......................................... 16 
2.1 QUANTIZAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA ...................................................................... 16 
2.2 DESCOBERTA DO ELÉTRON .................................................................................. 16 
2.3 EXPERIMENTO DE MILIKAN .................................................................................. 17 
2.4 PROPRIEDADE CORPUSCULAR DA RADIAÇÃO......................................................... 19 
2.5 Efeito fotoelétrico ......................................................................................... 19 
2.6 EFEITO COMPTON .............................................................................................. 23 
2.7 RAIO X .............................................................................................................. 27 
CAPÍTULO 3: PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA ......................... 33 
3.1 POSTULADO DE DE BROGLIE ............................................................................... 33 
3.2 PRINCÍPIO DA COMPLEMENTARIDADE DE BOHR ..................................................... 37 
3.3 PRINCÍPIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG ............................................................ 40 
CAPÍTULO 4: O MODELO DO ÁTOMO ................................................................... 43 
4.1 ESPECTRO ATÔMICO ........................................................................................... 43 
4.2 O PUDIM DE THOMSON ........................................................................................ 45 
4.3 O MODELO DO ÁTOMO DE RUTHERFORD ............................................................... 46 
4.3.1 O tamanho do núcleo ................................................................................ 50 
4.4 O MODELO DO ÁTOMO DE BOHR ........................................................................... 51 
4.4.1 Princípio da correspondência .................................................................... 56 
4.5 CRÍTICA À “VELHA” MECÂNICA QUÂNTICA ............................................................... 56 
CAPÍTULO 5: INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA ....................................... 58 
5.1 EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER ............................................................................... 58 
5.2 CONDIÇÕES QUE A FUNÇÃO DE ONDA DEVE SATISFAZER ......................................... 61 
5.3 APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER ....................................................... 62 
5.4 A MUDANÇA DO PARADIGMA CLÁSSICO PARA O QUÂNTICO ..................................... 62 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 65 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
A física moderna representa o início da revolução ocorrida no séc. XX. Essa 
revolução se dá em dois grandes eixos, dando origem a mecânica quântica e a 
relatividade. Nesta apostila, vamos nos concentrar no primeiro eixo, a evolução do 
entendimento da matéria e seu comportamento. 
A física moderna nesse sentido, é uma história recheada de prêmios nôbeis, 
como Planck, Einstein, De Broglie, Bohr, Thomson, Heisenberg, Schrödinger, e 
muitos outros que deram uma contribuição significativa, seja experimental ou teórica, 
para a mudança de um entendimento clássico da física para o quântico. Essa 
transformação durou quase um século e podemos chamá-la de uma mudança no 
paradigma, uma vez que essa mudança não é só uma nova teoria que serve para 
descrever o comportamento de objetos microscópios, ela é uma mudança na 
maneira de pensar os objetos físicos, no conceito da massa, das forças e de 
simetrias fundamentais da natureza. 
A teoria da relatividade de Einstein complementa esse caráter de mudança 
total de paradigma, uma vez que a ideia da existência de meio, no qual os 
fenômenos aconteciam, o Éter, dá lugar ao vácuo e a comprovação de que em 
sistemas com velocidades próximas da luz, podemos observar a contração do 
espaço e a dilatação do tempo. Algo realmente surpreendente para o início do 
século XX. 
Desta maneira, esta apostila se foca na transição desses conceitos, 
aprendemos na escola a pensar de maneira clássica, como Newton, e agora 
precisamos desconstruir esses conceitos para entender como funciona o mundo do 
muito pequeno. Se fizermos as mesmas perguntas que Planck e Einstein fizeram no 
final do século XIX, talvez nossas respostas sejam conservadoras, mas ao final 
desta apostila, o estudante será capaz de compreender os problemas da física 
clássica e os respectivos conceitos e interpretações que compõem a teoria 
contemporânea da mecânica quântica. 
Este texto está organizado de forma a rever a transição da antiga para a nova 
física. Não está em ordem cronológica, pois este trabalho não se propõem a fazer 
uma descrição em linha histórica, assim, nesta apostila não há uma linearidade 
temporal entre os conceitos e desenvolvimentos dos capítulos, eles são 
 
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apresentados em uma ordem na qual o leitor possa compreender e relacionar os 
conceitos de maneira lógica. 
 
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CAPÍTULO 1 – RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO 
 
1.1- Radiação do corpo negro 
O processo histórico de estudo da radiação do corpo negro iniciou-se em 
análises empíricas da luz solar e o subsequente nascimento da espectroscopia, 
utilizando o prisma recém descoberto por Newton. O primeiro espectroscópio foi 
inventado por Joseph Von Fraunhofer e constituía uma luneta ocular acoplada com 
um prisma. Esse aparato foi aperfeiçoado por Gustav Robert Kirchhoff e Robert 
Bunsen, na segunda metade do século XIX, e a partir desse, em 1959, detectaram 
que cada elemento químico poderia ser caracterizado por um espectro próprio. Em 
um segundo trabalho, no mesmo ano, Kirchhoff propôs o que seria conhecido como 
a “lei de Kirchhoff”: Para raios espectrais de igual comprimento de onda, a uma 
mesma temperatura, a razão do poder de emissão para a capacidade de absorção 
é a mesma para todos os corpos, independente da sua natureza. 
λ
λ
λ
λ
a
P
=
a
P
2
2
1
1 , (1.1) 
sendo λP o poder emissivo (energia irradiada no comprimento de onda l por 
unidade de tempo) e λa o poder absorvente.Essa relação evidencia o surgimento 
do primeiro absoluto na natureza. 
Kirchhoff introduziu o conceito de corpo negro, como sendo o corpo ideal, cuja 
superfície absorve toda a radiação que incide sobre ele, visível ou não. Seu 
coeficiente de transmissão e reflexão é nulo e o coeficiente de absorção é um, 
1=aλ . Daí a analogia com objetos pretos, pois sendo toda a radiação incidente 
absorvida, não é possível identificar uma cor (a cor dos objetos é fruto da radiação 
refletida nele) e, portanto, o objeto será preto representando a ausência de cor. O 
conceito de corpo negro é ideal, segundo a lei de Kirchhoff (1.1), se ele absorve toda 
a radiação, ele será um emissor ideal. O único corpo que se aproxima de ser 
perfeitamente negro é o sol, mas, embora possamos considerar que ele absorve 
toda a radiação nele incidente, seu espectro de emissão não é contínuo, como se 
espera de um corpo negro. 
 
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O fato da radiação do corpo negro aparentar ser um absoluto da natureza 
instigou muito cientistas da época, entre eles Max Planck, que em sua autobiografia 
fala o seguinte a respeito do tema: 
 
 (...) a radiação, em todas suas propriedades, incluindo sua distribuição 
espectral de energia, não depende da natureza dos corpos, mas somente e 
exclusivamente da temperatura. Portanto, a assim chamada distribuição 
normal de energia espectral representa algo absoluto, e uma vez que eu 
sempre considerei a procura por absoluto como o principal objetivo de toda 
a atividade científica, eu ansiosamente me pus a trabalhar. 
 
Os estudos de Planck e de tantos outros passaram a ser mais efetivos após 
Kirchhoff mostrar que a emissão de radiação de um corpo negro é equivalente a 
radiação emitida por uma cavidade de paredes adiatérmicas (impermeável a 
radiação térmica) e temperatura T. E, portanto, o estudo do corpo negro podia se 
restringir a estudar a emissão de radiação de tal cavidade. 
A distribuição espectral da radiação de um corpo negro é quantificada pela 
função ( )νRT (radiância espectral), definida de tal forma que ( )dννRT seja a energia 
emitida por unidade de tempo e área (de uma superfície) em um intervalo de 
frequência dν para uma temperatura definida T. A primeira medida experimental de 
( )νRT foi feita em 1865, por John Tyndall. Mas, foi em 1879, que Josef Stefan 
deduziu, empiricamente, dos resultados dos experimentos de Tyndall que a 
emissão do fio de platina aquecido era proporcional a T
4
(em Kelvin). De outro 
ponto de vista, em 1884, Ludwig Boltzmann, usando considerações termodinâmicas 
e eletromagnética no estudo da radiação da cavidade, encontrou que a densidade 
de energia dessa cavidade, assim como o fluxo emitido, seria proporcional a T
4
e o 
fluxo de radiação dessa cavidade deveria ser igual à radiação total ( )νRT , 
consolidando a observação empírica de Stefan 
 ( ) 4σT=νRT . (1.2) 
Essa relação é conhecida hoje como a lei de Stefan-Boltzman, para σ a 
constante de Stefan que somente foi calculada quando o problema do corpo negro 
foi totalmente solucionado por Planck. 
Wilhelm Wien, em 1984, foi o primeiro físico a fornecer uma tentativa de 
análise teórica a partir da termodinâmica e das considerações de Boltzman. Ele 
 
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6
 
propôs uma função de distribuição espectral para a radiação do corpo negro, em 
que, conhecido o espectro de emissão do corpo, seria possível obter ( )νRT . Wien 
notou, em seus estudos, que a mudança da temperatura altera a distribuição dos 
comprimentos de onda de maneira constante em uma relação conhecida hoje como 
a lei de deslocamento de Wien 
const.=
T
ν
=Tλ maxmax . (1.3) 
Ambas as deduções, de Boltzman e Wien, provocaram um grande empenho 
de parte da comunidade científica para encontrar a descrição do fluxo de emissão de 
radiação do corpo negro, tido como um problema em aberto da física, no final do 
século XIX. 
 
1.2 - Modelo clássico para a radiação do corpo negro 
Antes de seguir com os avanços no estudo da radiação do corpo negro, 
façamos uma pausa para relembrar a formulação do teorema da equipartição da 
energia. Em 1845, J.J. Waterston escreveu um artigo para a Royal (que seria 
recusado pelo argumento de ser descabido) sobre: “A física dos meios que são 
compostos de muitas moléculas livres e elásticas num estado de movimento”. A 
conclusão principal foi que “num meio misto a velocidade quadrática média é 
inversamente proporcional ao peso específico das moléculas”. Em 1860, Maxwell 
formula a primeira versão do princípio de equipartição da energia, na qual dois 
conjuntos de partículas distribuem suas velocidades e suas energias cinéticas. 
Boltzmann generalizou o teorema, em 1868, para todos os tipos de partículas que 
tivessem números inteiros de graus de liberdade. Ao final do século XIX, a ideia da 
equipartição da energia pairava no ar e foi finalmente formulada como: a energia 
total contida num sistema composto por um grande número de partículas 
individuais, seria igualmente compartilhada, em média, por todas as partículas que 
se movimentam e colidem randomicamente trocando energias. Para um sistema de 
moléculas de um gás em equilíbrio térmico a uma temperatura T, o princípio da 
equipartição da energia, proposto por Boltzmann, afirma que a energia cinética 
média de uma molécula por grau de liberdade é kT
2
1
, sendo k = 1,38× 10
−23
a 
 
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7
 
constante de Boltzmann. Detalhes da conta podem ser encontrados em livros de 
mecânica estatística. 
Em 1900, Lord Rayleigh se propôs a resolver o problema da radiação do 
corpo negro usando a teoria da equipartição de energia. Rayleigh, que em seguida 
foi corrigido e aprimorado por J. Jeans, partiu da suposição que dentro da cavidade 
as ondas eletromagnéticas seriam ondas estacionárias com frequências fixas 
determinadas pelo tamanho da cavidade, ou seja, a radiação dentro da cavidade 
seria uma sobreposição de ondas estacionárias possíveis com nós sobre a 
superfície metálica (borda da cavidade), como mostra a figura 1.1. O campo elétrico 
para ondas estacionárias possuem uma estrutura de oscilação senoidal no 
comprimento e no tempo, ( )πνtsen
λ
x
πsenE=E
x
x 220 




 (para a componente x, que se 
repete nas demais) assim, o campo é sempre nulo nas superfícies da cavidade. 
Usando argumentos geométricos, é possível calcular o número dos diferentes 
modos de ondas estacionárias possíveis de existir na cavidade, no intervalo de 
frequência de νa dν+ν , por unidade de volume (devido às duas possíveis 
polarizações da radiação o número deve ser multiplicado por dois ao final da conta). 
( ) dνν
c
πa
=dννN 2
3
38
. (1.4) 
Sendo a o tamanho da aresta da cavidade e c a velocidade da luz. 
 
Figura 1.1: Ondas estacionárias no interior de uma cavidade metálica1 
 
1 Figura modificadade R. Eisberg “Fundamentals of Modern Physics”, John Wiley&Sons Inc., 1963. 
 
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8
 
Segundo a teoria clássica da equipartição de energia, cada modo de vibração 
tem a mesma energia cinética média quando está em equilíbrio térmico: kT
2
1
. No 
entanto, é preciso considerar que cada onda estacionária que oscila senoidalmente 
possui uma energia total que é o dobro da sua energia cinética média (propriedade 
dos movimentos harmônicos simples com um único grau de liberdade). Assim, a 
energia total média de cada modo vibrante é kT . O número de ondas estacionárias 
multiplicado pela sua energia média total no intervalo de frequência considerado, por 
unidade de volume, fornece a densidade de energia ( )νρT (energia média por 
unidade de volume no intervalo de νa dν+ν ). Usando as considerações clássicas 
acima, chegamos à fórmula de Rayleigh-Jeans para a radiação do corpo negro: 
( ) dν
c
kTπν
=dννρT 3
28
. (1.5) 
Ao comparar a curva teórica com os dados experimentais, como mostra a 
figura 1.2, podemos observar que para valores baixos de frequência, o 
comportamento da curva teórica é condizente com os dados experimentais, o que 
indica que neste limite a teoria consegue descrever o fenômeno. No entanto, para 
altas frequências, observa-se uma grande discrepância entre a curva teórica e os 
dados. Enquanto o experimento mostra que a densidade de energia é sempre finita 
e tende a zero para altas frequências, a equação (1.5) cresce com �
2
e tende ao 
infinito. Essa discrepância ficou conhecida como a “catástrofe do ultravioleta”, pois a 
teoria clássica não conseguia justificar o comportamento experimental nesta região 
de frequência. Estava em aberto um problema cuja solução significou uma mudança 
do paradigma da física clássica. 
 
 
 
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9
 
 
Figura 1.2: A comparação da previsão de Rayleigh e Jeans para a radiação de corpo 
negro com os dados experimentais em função do comprimento de onda. Evidência da 
catástrofe do ultravioleta. 
 
1.3 A teoria da radiação do corpo negro de Planck 
Max Planck estudou a fundo o problema da radiação do corpo negro usando 
as teorias da termodinâmica clássica, mas não o fez na perspectiva do princípio da 
equipartição da energia. Planck se fixou na entropia do sistema, ele reformulou a 
segunda lei da termodinâmica, na qual a entropia de um sistema tende sempre a 
aumentar e, no limite, pode permanecer constante para o caso de uma cavidade 
adiatérmica. A partir da sua formulação da segunda lei da termodinâmica, Planck 
encontrou um análogo a lei de Wien, que, no entanto, não valia para pequenos 
valores de frequências: 
∂
2
S
∂
2
U
=
const
U . (1.6) 
Para S a entropia do sistema e U a energia interna. 
O cenário do problema do corpo negro, no início do século XIX, indicava que 
a cada faixa de comprimento de onda em que se trabalhasse, o fenômeno era regido 
por equações diferentes. Foi então, em 19 de outubro, de 1900, que Planck 
apresentou um artigo à Sociedade Alemã de Física, no qual propunha uma solução 
matemática ao problema da radiação do corpo negro baseada na interpolação dos 
dados experimentais e as soluções válidas em determinadas regiões sem, a 
princípio, nenhuma justificativa teórica consistente. Em sua autobiografia, Planck 
revela: 
 
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10
 
Mas, Ainda que a formulação da radiação estivesse perfeita e 
irrefutavelmente correta, teria sido, afinal de contas, apenas uma fórmula de 
interpolação descoberta por um feliz acaso de raciocínio e isso nos teria 
deixado relativamente satisfeitos. Em consequência, a partir do dia da 
descoberta, dispus-me a dar-lhe interpretação física, o que me levou a 
examinar as relações entre entropia e probabilidade, segundo os conceitos 
de Boltzmann. Após algumas semanas do mais intenso trabalho que já 
realizei na vida, as coisas começaram a clarear e visões inesperadas 
revelaram-se a distância. 
 
Os cálculos desenvolvidos por Planck são de uma complexidade que não 
cabe neste texto, no entanto, podemos fazer uma leitura de sua ideia partindo da 
função de distribuição de Boltzmann que se aplica ao caso da radiação do corpo 
negro. 
( )
kT
e
=εP
kT
ε
, (1.7) 
sendo ( )εP a probabilidade de encontrar um dado ente (uma onda 
estacionária) com uma energia ε , quando o número de estados de energia para o 
ente independe de ε . O valor médio das energias na cavidade é dado em função da 
distribuição de Boltzmann (1.7 ) como sendo 
∫
∫
∞
∞
∞−=
0
)(
)(
εε
εεε
dP
dP
ε . (1.8) 
Se resolvermos essas integrais, sendo o denominador igual a um (dado que a 
probabilidade de encontrar um estado com qualquer energia é um), recaímos sobre 
o princípio de equipartição da energia: kTε = , como mostra a figura 1.3. 
 
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11
 
 
Figura 1.3: Em cima temos o gráfico da distribuição de Boltzmann ( )εP , e embaixo 
o gráfico de ( )εPε , cuja área sob a curva nos dá o valor de ε . 
 
O salto qualitativo de Planck foi descobrir que poderia deslocar a posição do 
valor médio de ε no gráfico da figura 1.3 se considerasse a energia como uma 
variável discreta e não contínua como até então. Assim, definiu que a energia 
assumiria valores discretos uniformemente distribuídos (espaçados) de tal forma que 
os valores possíveis de energia pudessem ser 
...32 0, ∆ε,∆ε,∆ε,=ε . (1.9) 
Analisando esse efeito no cálculo da área sobre a curva de (1.3) (o próprio 
ε ), quando o intervalo de energia ∆ε considerado for pequeno ( kT∆ε << ), a energia 
média encontrada será da ordem de kT ( kT≈ε ). Por outro lado, se o intervalo for 
da ordem de kT ( kT∆ε ≈ ), uma parte considerável de ( )εP não irá contribuir, uma 
vez que o primeiro intervalo é zero, e o valor médio será menor que kT ( kT<ε ). 
Indo ao extremo, no limite em que o intervalo é muito grande ( kT∆ε >> ), o valor 
médio se aproxima de zero ( 0≈ε ). Comparando esse comportamento com o que é 
observado experimentalmente (ver figura 1.2) para o espectro de energia do corpo 
negro, para baixas frequências temos que kT≈ε e para altas frequências 0≈ε , 
 
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12
 
Planck constatou então que precisava que ∆ε fosse uma função crescente com a 
frequência. Dessa forma, Planck supôs que esse intervalo fosse diretamente 
proporcional a frequência ν∆ε ∝ ou como ele mesmo definiu 
hν=∆ε . (1.10) 
Para 346,6310 −=h joules, constante que foi definida com o ajuste da função 
densidade de energia aos dados experimentais e é conhecida hoje como a 
constante de Planck. 
A fórmula de Planck para a energia média da radiação foi obtida substituindo 
as integrais em (1.8) por somatórias e nhν=ε , temos 
α
α
ν
ν
αν
ε
n
n
n
n
kT
nh
n
kT
nh
n
e
en
kT
e
kT
e
kT
nh
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
∑
∑
∑
∑
==
0
0
0
0
1
 , (1.11) 
sendo kT
nh
=α
. Para facilitar, a partir de agora vamos omitir os limites das 
somatórias que serão sempre de zero a infinito. Planck percebeu que a relação 
(1.11) também aparece no desenvolvimento de uma função logarítmica. 
( )
( )
∑
∑
∑
∑
∑ −
−
−
−
−
−
−
nα
nα
nα
nα
nα
e
nαα
=
e
e
dα
d
α
=e
dα
d
α ln . (1.12) 
Comparando as equações (1.12 ) e (1.11), podemos escrever a energia 
média como sendo: 
( ) ( )∑∑ −− −−= nαnα e
dα
d
h=e
dα
d
αkT ln)ln( νε . (1.13) 
Abrindo a somatória de (1.13) temos que 
...1 5432 +e+e+e+e+e+=e αααααnα −−−−−−∑ , na qual podemos identificar uma 
correspondência com a expansão do elemento ( )
1
1
−− x quando 1<<x 
( ) ...11 321 +x+x+x+=x −− para o caso de αe=x − . Assim, a equação (1.13) pode ser 
reescrita como: 
( )
1e
e-1
)e-(1
)e-(1
)e-ln(1
kT
h-
2--
1--
1--
−
==−=
−
−
ν
ννννε α
α
αα
α
α hehe
h
=
dα
d
h . (1.14) 
O que é finalmente a equação de Planck para a energia média, muito 
diferente da energia clássica kT. A densidade de energia da radiação do corpo 
negro, definida da mesma forma que a equação (1.5) passa a ser 
 
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13
 
( ) dν
kT
hν
e
hν
c
πν
=dννρT
1
8
3
2
−
 . (1.15) 
A figura 1.4 mostra a concordância entre a previsão dada pela equação (1.5) 
e os dados experimentais. Na figura, o gráfico é em função do comprimento de 
onda, mas, como a relação entre a frequência e o comprimento de onda é ν
c
=λ
a 
transição de uma descrição para outra é simplesmente ( ) ( )νρ
λ
c
=λρ TT 2 . 
 
Figura 1.4: Comparação entre as diferentes propostas para a densidade de energia 
do corpo negro em função do comprimento de onda. 
 
Assim, o “truque matemático” de Planck se consagrou por finalmente resolver 
o problema da descrição do espectro de radiação do corpo negro. Podemos voltar 
às primeiras discussões qualitativas a respeito do comportamento do espectro. O 
gráfico da figura 1.5 representa a radiação espectral de um corpo negro para três 
valores de temperatura. A partir dessa figura, podemos observar que os picos (o 
máximo da curva) de radiação emitida variam para as diferentes temperaturas de 
forma linear, e quanto maior a temperatura, maior a frequência. A potência desta 
radiação é dada pela área embaixo da curva, dessa forma, podemos observar em 
1.5 que a potência cresce com a frequência, para uma temperatura fixa, e a potência 
total irradiada pelo corpo negro cresce abruptamente com a temperatura. Esse foi o 
resultado observado empiricamente por Stefan e calculado explicitamente por 
 
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14
 
Boltzman, dando origem a lei de Stefan-Boltzman, equação (1.2). Com a equação de 
Planck foi possível calcular o valor da constante de Stefan: 
4028 /105,67 KmW=σ −× − . O deslocamento do espectro que observamos em 1.5 
é a visualização da lei do deslocamento de Wien equação (1.3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. 5: A 
radiação espectral de um 
corpo negro em função do 
comprimento de onda da radiação, para 3 valores de T. 
 
1.4 O quantum de ação de Planck 
Em artigos que sucederam a publicação de 19 de outubro, Planck buscou dar 
interpretação física ao que chamou de um simples “truque matemático”. No ano 
seguinte, então, Planck formulou sua teoria admitindo que a entropia do corpo negro 
estivesse sempre em equilíbrio, apresentando a constante h como um “quantum de 
ação”, pois h tem dimensão de ação, que é energia multiplicada pelo tempo, 
baseado na ideia do princípio da mínima ação (ação tem o significado que 
aprendemos na mecânica, princípio de Lagrange). 
A contribuição de Planck, a lei de distribuição de energia de um corpo negro, 
foi muito mais importante e transformadora do que o próprio Planck poderia supor. A 
sua interpretação do comportamento do “ente” que oscila em uma energia que é 
sempre múltiplo inteiro de hν pode ser estendida a todos os sistemas físicos com um 
grau de liberdade que oscilam de forma harmônica no tempo (função do tipo seno), 
como molas e pêndulos. Ao contrário da física clássica em que a distribuição de 
energia é contínua e o sistema pode adquirir qualquer energia entre zero e infinito, o 
novo postulado de Planck limitava esses sistemas a múltiplos inteiros de hν , criando 
o que chamamos de níveis de energia quantizados pelo número quântico n. É 
 
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15
 
importante ressaltar que Planck formulou que apenas a partícula oscilante era 
quantizada. 
Esse cenário abriu precedente para um novo campo de estudo, no qual De 
Broglie buscou compreender o significado e o comportamento do quantum de ação 
de Planck, Einstein passou a reformular a eletrodinâmica e a estatística segundo 
essa nova visão do comportamento da radiação, o que culminou na formulação de 
sua teoria corpuscular da luz, como veremos nos capítulos seguintes. Estava aberto 
o caminho para a mudança do paradigma da física clássica para a mecânica 
quântica. Avesso as interpretações que se desdobravam de sua teoria, Planck 
tentou a todo custo “encaixar” a constante h na física clássica. Sem sucesso, Planck 
ficou desolado com sua própria contribuição a ciência, ele não esperava que a sua 
teoria pudesse contradizer qualquer parte da teoria clássica, como ele mesmo 
escreveu em uma carta a R. W. Wood em 1931: 
 
Em poucas palavras posso caracterizar todo o procedimento como um ato 
de desespero, desde que, por natureza, eu sou sossegado e contrário a 
aventuras duvidosas. Contudo, eu já tinha lutado por seis anos (desde 
1894) com o problema do equilíbrio entre radiação e matéria sem ter 
alcançado nenhum resultado positivo. Eu estava ciente que este problema 
era de importância fundamental pra a física, e eu reconhecia a fórmula que 
descrevia a distribuição de energia no espectro normal (corpo negro); 
portanto, uma interpretação teórica tinha de ser fornecida a todo custo, 
qualquer que fosse o preço, por mais alo que ele fosse. 
 
O que, finalmente, convenceu Planck do significado mais profundo de sua 
hipótese quântica foi a reformulação da terceira lei da termodinâmica e a introdução 
do conceito estatístico da entropia. Planck foi agraciado com o prêmio Nobel, em 
1918, comoreconhecimento da sua contribuição para o desenvolvimento da 
mecânica quântica. 
 
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CAPÍTULO 2 - QUANTIZAÇÃO DA CARGA, ENERGIA 
 
Neste capítulo vamos abordar os primeiros elementos experimentais e 
teóricos que dialogando, primeiro a quantização da carga, em seguida da energia. 
Esse segundo é consagrado com dois prêmios Nôbeis a Einstein, em 1921, e a 
Milikam, em 1927. Nesses processos, é possível compreender os experimentos, 
suas hipóteses, análise e consequente refutação da teoria clássica. 
 
2.1 Quantização da carga elétrica 
A primeira ideia de discretização da matéria surgiu na Grécia com Demócrito, 
em 450 a.C.. Mas, foi a partir da hipótese de Avogadro, proposta em 1811, a de que 
todos os gases a uma mesma temperatura possuem os mesmos números de 
moléculas por unidade de volume, que possibilitou um avanço significativo na 
descrição dos fenômenos químicos e impulsionou, no final do século XIX, a teoria 
cinética dos gases. No início do século XX, portanto, já havia um consenso na 
comunidade científica que a matéria era quantizada, ou seja, composta por 
fragmentos menores como moléculas e átomos. Nesse sentido, não foi um grande 
espanto, para os físicos do início do século XX, que a carga elétrica também fosse 
quantizada, o que ocorreu após o experimento de Milikam, como veremos a seguir. 
 
2.2 Descoberta do elétron 
O primeiro a propor uma estimativa da ordem das cargas elétricas no interior 
dos átomos foi Michael Faraday, que estudando a condução de eletricidade em 
líquidos, em 1833, formulou a lei da eletrólise ou a lei de Faraday para a eletrólise. 
eN=F a (2.1) 
Faraday chegou a essa expressão após perceber que ao passar uma corrente 
contínua em soluções carregadas, elas se decompunham e depositavam-se nos 
eletrodos. A quantidade de material depositado obedecia a relação de 1 átomo-g 
para cada quantidade F de eletricidade (F = 96500 C), sendo 1 átomo-g a massa 
que contém um número de átomos equivalente ao número de Avogadro aN . 
Em 1874, Stoney fez a primeira estimativa do valor da carga elementar, a qual 
denominou elétron, usando uma estimativa para o número de Avogadro, a partir da 
 
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17
 
teoria cinética dos gases, obteve C=e 2010− . A primeira experiência de medida direta 
da carga do elétron foi realizada por Townsend, em 1897, e foi aprimorada por 
Milikam. 
Paralelamente a essa linha de experimentação, Pieter Zeeman estudava a luz 
emitida pelos átomos sobre o efeito de campos magnéticos usando um 
espectroscópio. Os espectroscópios decompõem a luz emitida pelo material em 
linha com frequência bem definida, as linhas espectrais (ver raio X seção 2.6), essa 
técnica, como descreveremos adiante com mais detalhe, foi fundamental para 
estudar as propriedades do átomo de hidrogênio e a subsequente teoria de Bohr 
para o átomo. 
A teoria clássica até então, atribuía à intensidade de radiação emitida pelo 
átomo o movimento de oscilação, pelo qual as cargas no seu interior eram 
submetidas. Portanto, segundo a teoria clássica, as linhas espectrais deveriam ser 
modificadas na presença do campo magnético, uma vez que ele provocaria uma 
mudança na oscilação inicial no átomo. Zeeman notou que a mesma linha se 
transformava em três linhas com uma frequência muito próxima uma da outra e 
espaçadas de um mesmo intervalo (esse fenômeno é explicado na teoria quântica e 
conhecido como efeito Zeeman). A distância entre essas linhas está associada à 
razão carga/massa (q/m) da partícula oscilante. Ao medir a distância entre as linhas 
espectrais do átomo com a aplicação de um campo magnético, Zeeman obteve 
111,610/ =mq C/Kg e estudando a polarização das linhas constatou que as partículas 
emissoras de radiação possuíam carga negativa. 
 
2.3 Experimento de Milikan 
Experimento famoso, pois a partir de um modelo simplificado, foi capaz de 
medir a carga do elétron. Usando um aparato experimental que podemos reproduzir 
em laboratório didático, como mostra a figura 2.1, Milikan borrifa gotas de óleo 
dentro de um capacitor de placas paralelas. O método empregado neste burrifador é 
tal que a gota de óleo ao sair dele adquiri carga elétrica. E, portanto, ao aplicarmos 
um campo elétrico E sobre o capacitor, a bolha sofrerá efeito da força elétrica 
( Eq=F ne ) no sentido contrário a ação da força gravitacional ( mg=Fp ), dado que a 
bolha tem carga negativa. Além dessas duas forças, age sobre o corpo da bolha a 
 
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18
 
força de empuxo ( lρgv=F ) que vamos desprezar e a força viscosa ( bv=Fv ), 
devido ao atrito da bolha com o ar. Sendo b o coeficiente de viscosidade definido 
pela lei de Stokes como sendo πηa=b 6 para a o raio da gota eη o coeficiente de 
viscosidade do fluido (ar). Dessa forma, ligando e desligando o campo elétrico no 
capacitor temos duas equações de movimento para a bolha, são elas 
respectivamente: 
dt
dv
m=bvmg d− , (2.2) 
 
 
dt
dv
m=bvmgEq sn −− , (2.3) 
 A partir dessas equações de movimento é possível calcular as respectivas 
velocidades terminais (quando 0=
dt
dv
) de subida e decida da bolha: 
 
b
mg
=vd , (2.4) 
( )
b
mgEq
=v ns
−
. (2.5) 
Combinando as equações (2.4) e (2.5) podemos eliminar b e obtemos uma 
expressão para a carga da bolha 
 ( )ds
d
n v+v
Ev
mg
=q (2.6) 
No experimento de Milikan, as velocidades terminais de subida e decida eram 
calculadas medindo o tempo que a bolha demorava a percorrer um mesmo espaço L 
conhecido. Dessa forma, 
s
s
T
L
=v e 
d
d
T
L
=v . Durante o processo de subida e decida, a gota “adquiri” mais carga 
elétrica, portanto, em medidas sucessivas das velocidades terminais, elas serão 
diferentes, pois, como mostra a relação (2.5) ela depende da carga. O aumento da 
carga da bolha pode ser calculado através da diferença entre os tempos de subida: 
( ) 





−−
ss
d
ss
d
nn
T
'
TE
T
mg=+vv'
Ev
mg
=qq'
11
 (2.7) 
 
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E, foi usando a relação (2.7) para várias medidas de um mesma bolha 
(Milikan chegou a ficar diversas horas calculando o tempo de decida e subida de 
uma mesma bolha), que Milikan constatou que a diferença entre as cargas era 
sempre um múltiplo inteiro do valor C=e
19101,591 −× . E, então, a carga era sempre 
ne=qn o demonstra novamente a quantização da carga elétrica. Com medidas 
mais precisas, o valor foi corrigido para C=e
19101,6021 −× , o que Milikam atribuiu a 
um erro no coeficiente de viscosidadeη . Depois de corrigido, com os mesmos 
dados do seu experimento de 20 anos antes, Milikan conseguiu reproduzir o mesmo 
valor C=e 19101,6021 −× para a carga do elétron. 
Figura 2.1: Aparato experimental similar ao utilizado por Milikan2 
 
2.4 Propriedade corpuscular da Radiação 
Nesta seção, vamos estudar processos nos quais ocorrem espalhamento, 
absorção ou produção de radiação pela matéria, são eles: efeito fotoelétrico, efeito 
Compton, produção e aniquilação de pares e bremsstralung. Nesses processos, 
veremos que diferente do comportamento ondulatório, conhecido na propagação da 
radiação, na interação com a matéria, ela se comporta como uma partícula. 
 
2.5 Efeito fotoelétrico 
O Efeito Fotoelétrico é a denominação usada para a emissão de elétrons 
provocada por ação de radiação (luz), especialmente, a radiação ultravioleta. A 
primeira observação desse fenômeno 
foi feita por Heinrich Hertz, em 1886 e 
1887, enquanto realizava as 
experiências que vieram a confirmar a 
existência de ondas eletromagnéticas 
e, a teoria de Maxwell sobre a 
propagação da luz. Durante as 
experiências, Hertz percebeu um 
 
2 figura modificada de WWW.deltate.com.br. 
 
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curioso fato de que a luz ultravioleta facilitava a descarga elétrica entre dois 
eletrodos; isto decorre do fato da luz ultravioleta provocar a emissão de elétrons da 
superfície do catodo. 
Em 1900, usando um aparo experimental descrito na figura 2.2, Lenard 
comprova que a radiação faz o metal emitir elétrons. Nesse experimento, a luz 
atinge o catodo C e provoca emissão de elétrons. O número de elétrons que atingem 
o ânodo A é medido pela corrente no amperímetro sendo que o ânodo pode ficar 
positivo ou negativo em relação ao catodo, a fim de atrair ou repelir elétrons. 
 
Figura .2.2 – Esquema do aparelho utilizado para investigar o efeito fotoelétrico. 
 
Estudos detalhados do efeito fotoelétrico levaram a teoria ondulatória da 
radiação eletromagnética a ser contestada, pois as características desse efeito não 
podiam ser, satisfatoriamente, explicados pela teoria clássica. 
O quadro abaixo mostra as características esperadas segundo a teoria 
clássica e as observadas experimentalmente do fotoelétrico. 
 
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Teoria Clássica (Ondulatório) 
 
♦ Não existe limite para a energia 
cinética máxima dos elétrons; 
♦ Energia cinética dos elétrons 
dependeria da intensidade da luz 
incidente; 
♦ Existiria um tempo de absorção de 
energia pelo elétron; 
♦ Ocorreria independente da 
frequência da luz. 
Efeito fotoelétrico 
 
♦ Existe energia cinética máxima igual 
a eV0; 
♦ Energia cinética independe da 
intensidade da luz; 
♦ Ocorre instantaneamente, não 
existe tempo mínimo para absorção 
de energia; 
♦ Depende da frequência de radiação 
incidente, pois existe frequência de 
corte, onde abaixo dela não ocorre 
o efeito fotoelétrico. 
 
 
Segundo a teoria clássica, o aumento da intensidade da luz estaria ligado a 
um consequente aumento da energia cinética do elétron emitido. No entanto, como 
mostra a figura 2.3, essa relação não foi observada no experimento de Lenard. A 
figura 2.3 mostra a corrente (portanto, o número de elétrons detectados) em função 
de V para dois valores da intensidade da luz incidente sobre o catodo. Quando V for 
negativo, os elétrons são repelidos pelo ânodo e somente os elétrons que tenham as 
energias cinéticas iniciais maiores que |eV| podem atingir o ânodo. Ainda, se V for 
menor que –V0, nenhum elétrons consegue chegar ao ânodo. O potencial V0 é 
chamado de potencial de corte. 
 
 
Figura. 2.3: Corrente fotoelétrica i pela voltagem V, para dois valores da intensidade da luz. 
 
Em 1905, Einstein usou o efeito fotoelétrico para generalizar a proposta de 
Planck para radiação do corpo negro e propôs a nova teoria corpuscular da luz, 
 
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segundo a qual a energia radiante é uma composição de minúsculos pacotes de 
energia, ou seja, é quantizada em pacotes concentrados chamados de fótons. O 
trabalho de Einstein sobre o efeito fotoelétrico lhe rendeu o Prêmio Nobel, em 1921. 
Segundo a teoria corpuscular da luz, o campo eletromagnético é composto de 
fótons de energia hν=E . Elétrons presos na superfície do metal possuem uma 
energia eφ , em que φ é a função trabalho do metal, associada a energia de ligação 
do elétron no material. Se a luz que incide sobre o metal possuir uma frequência ν 
tal que eφ>hν ,então, é possível arrancar fotoelétrons do metal. A energia 
excedente é convertida em energia cinética do elétron. Desse modo, a equação 
fotoelétrica é dada por: 
eφ+mv=hν 2
2
1
 . (2.8) 
Isolando-se a energia cinética do elétron na equação (2.8), nota-se que ela 
depende linearmente da frequência da radiação incidente. Portanto, se fizermos um 
gráfico da energia cinética do elétron em função da frequência, obteremos a sua 
energia de ligação ( eφ ) como coeficiente linear e a constante de Planck (h) como 
coeficiente angular. Quando o elétron é submetido, há um potencial de freiamento, 
como mostramos na figura 2.4, podemos escrever a energia cinética do elétron mais 
veloz como sendo 0eV=Ee , para 0V o potencial de corte, ou seja, aquele potencial 
a partir do qual a corrente fotoelétrica cai a zero. Assim, podemos escrever a 
equação energia da forma: 
 φν
e
h
=V −0 . (2.9) 
Em 1914, Millikan verificou, em uma experiência que lhe rendeu o Prêmio 
Nobel, de 1923, que o potencial de corte não depende da intensidade da luz 
incidente, e que ele está associado a uma frequência de corte, abaixo da qual o 
efeito fotoelétrico deixa de ocorrer, como mostra a figura 2.4, provando a equação 
(2.9). Milikam também calculou o valor da constante h a partir do mesmo 
experimento e chegou ao mesmo valor obtido por Planck. A frequência (ou 
comprimento de onde) de corte para que o efeito fotoelétrico seja observado, tν (ou 
tλ ), são obtidos fazendo o potencial de corte nulo ( 00 =v ) 
 
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23
 
t
t
λ
hc
=hν=φ . (2.10) 
 
 
 
 
 
 
Figura.2.4: Dados obtidos por 
Millikan para o potencial freador V0, em 
função da frequência, no efeito 
fotoelétrico, para νL=43,9.10
13Hz. 
 
A teoria corpuscular de Einstein introduz a comunidade científica a 
quantização da energia. Todo quantum de luz, o fóton, possui uma energia 
proporcional a frequência de oscilação: hν=E . É preciso tomar cuidadocom a 
distinção entre a energia de um fóton e de um conjunto de fótons, que teriam uma 
energia nhν=E sendo n o número de fótons. A teoria de Einstein deu um passo 
muito importante na mudança do paradigma da teoria clássica para a teoria 
quântica. No entanto, o reconhecimento da sua contribuição à mecânica quântica, 
veio muitos anos após sua publicação. Planck, em discurso de indicação de 
Einstein para membro da Academia Prussianas de Ciências diria o seguinte a 
respeito da teoria corpuscular de Einstein: 
 
(...) em resumo, podemos dizer que dificilmente haverá um grande 
problema, dos quais a física moderna é tão rica, ao qual Einstein não tenha 
dado uma importante contribuição. Que ele tenha algumas vezes errado o 
alvo em suas especulações, como por exemplo em sua hipótese sobre os 
quantum de luz (fótons), não pode ser realmente colocado contra ele, pois é 
impossível introduzir ideias fundamentalmente novas, mesmo nas ciências 
mais exatas, sem ocasionalmente correr um risco. 
 
2.6 Efeito Compton 
Em 1927, o Físico alemão Arthur H. Compton foi agraciado com o prêmio 
Nobel devido a seus experimentos com raio X e γ , em 1923. Nesses experimentos, 
ele observou o espalhamento elástico de fótons por elétrons livres, denominado 
 
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Efeito Compton, o qual constituía em mais uma evidência de que a luz interagia com 
a matéria como uma partícula e não como uma onda, confirmando de forma 
definitiva a teoria corpuscular de Einstein. 
 Em seu experimento, Compton fez incidir um feixe de raio X (será introduzido 
na seção seguinte) sobre um alvo material, e mediu a intensidade dos raios X 
espalhados em função do comprimento de onda para diferentes ângulos de 
espalhamento. Os resultados obtidos por Compton, para o grafite como alvo, estão 
dispostos na figura 2.5. A partir deles, Compton observou que, embora a radiação 
incidente tenha sempre o mesmo comprimento de onda, λ , os raios espalhados 
possuem uma distribuição em um intervalo de comprimentos de onda, com dois 
picos, o primeiro é de mesmo valor ao comprimento incidente e o segundo em λ' . 
Esse deslocamento é definido como deslocamento Compton λλ'=δλ − , e é diferente 
para cada ângulo de espalhamento. A teoria clássica não podia explicar esse 
comportamento, segundo ela os elétrons vibrariam na mesma frequência da 
radiação incidente e irradiaria na mesma frequência. Compton, por sua vez, 
apropriou-se da teoria corpuscular de Einstein para explicar o fenômeno observado. 
E, então, cada quantum de luz do feixe de radiação incidente irá colidir 
elasticamente com um elétron do material, como esquematizado na figura 2.5. A 
analogia de Compton foi com o tratamento clássico dado a dois corpúsculos que 
colidem, como duas bolas de bilhar 
 
 
 
 
 
Figura 
2.5: 
espalhamento elástico Compton de forma esquemática. 
 Dessa forma, supondo que o fóton incide no material com momento νp , se 
choca com o elétron, que se encontra inicialmente em repouso, e este adquire 
momento ep e energia eE , resultando em um fóton de momento final νp' . 
 
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Considerando uma colisão elástica, temos conservação de energia e momento 
linear, portanto, com base no esquema da figura 2.5, é possível obter as equações: 
hν=φEp+θp'=p eνν coscos (2.11) 
sinφp=sinθp' eν (2.12) 
ehνν'+=hν+cm
2
0 (2.13) 
sendo θ e φ os ângulos de espalhamento do fóton e do elétron, 
respectivamente, 0m é a massa de re Patrícia Camargo Magalhães pouso de 
elétron e eE é a energia relativística, uma vez que os fótons sempre se 
movimentam em velocidades relativísticas ( cv ≈ ), que pode ser obtida a partir da 
Equação 
 ( )42022 cm+cp=Ee . (2.14) 
A expressão para o momento linear do fóton é obtida igualando a equação da 
energia relativística (2.14) à energia do fóton hν=E . Dado que a massa de repouso 
do fóton é zero, seu momento linear é: 
 
λ
h
=pν . (2.15) 
Dessa forma, juntando as relações (2.11-2.15), podemos obter uma equação 
para a energia do fóton remanescente em função do ângulo de espalhamento (θ ): 
 
( )θ
cm
hν
+
hν
=hνν
cos11
2
0
−
 , (2.16) 
esta equação é equivalente à obtida por Compton : 
( )θ
cm
h
=λλ' cos1
0
−− . (2.17) 
Assim, segundo a equação (2.16), ao colocarmos o detector de elétrons 
fazendo um determinado ângulo θ com o eixo de incidência do fóton, obteríamos 
um pico de contagens numa determinada energia hνν . 
Um espectro típico do 137 Cs, obtido por um detector de cristal cintilador pode 
ser visto na figura 2.6. O pico com energia máxima, correspondente a energia dos 
fótons incidentes e é causado pelo efeito fotoelétrico que ocorre no detector, quando 
toda a energia do fóton é transmitida ao elétron (fotopico). 
 
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Figura 2.6: Gráfico do número de contagens por energia do fóton, obtido para uma fonte de 137 Cs. 
 
Na figura 2.6, o pico com energia máxima, corresponde à energia dos fótons 
incidentes (hν ), é causado pelo efeito fotoelétrico que ocorre no detector, quando 
toda a energia do fóton é transmitida ao elétron. A queda do número de contagens é 
a chamada borda Compton, correspondente à energia máxima na qual o elétron 
pode ser espalhado. Neste caso oθ 180≈ e oφ 0≈ . Para energias mais baixas temos 
um contínuo, pois, em função dos ângulos de espalhamento, podemos obter todas 
essas energias. O pico menor que se sobrepõe a este contínuo, é causado pelo 
efeito Compton que ocorre fora do detector (pico de retroespalhamento). Superposto 
ao espectro de espalhamento temos uma radiação de fundo, que é inevitável, mas 
pode ser medida e posteriormente subtraída do espectro. 
Até agora, vimos que a luz pode interagir com a matéria de duas formas 
distintas: fotoelétrico e Compton, dependendo da energia do fóton incidente e do 
material. Mas, existe também uma terceira forma: a produção de pares. A Produção 
de Pares são predominantes em raios γ de altíssimas energias com absorvedores de 
grandes números atômicos, ocorrem quando o fóton tem energia suficiente para se 
desintegrar em um par elétron-pósitron. 
 
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Figura 2.7: Regiões em que predominam as 3 formas possíveis de interação da radiação γ 
com a matéria. Em função da energia e do número atômico Z do material. 
 
A análise deCompton expõem um cenário no estudo da interação da 
radiação com a matéria, no qual é necessário supor que o fóton seja uma partícula 
pontual, quantizada. No entanto, a interpretação ondulatória da radiação ainda é 
necessária para explicar os fenômenos de interferência e difração. A constatação do 
comportamento dual partícula-onda da radiação, causou muito estranhamento na 
comunidade científica da época. Até ser formulada formalmente por De Broglie como 
uma característica de todas as partículas quânticas. 
 
2.7 Raio X 
Após a descoberta dos raios X, quase que acidentalmente por Wilhelm 
Konrad Röentgen, em 1985, despertou imediatamente o interesse de outros 
cientistas por essa radiação. As duas seções que antecederam esta foram 
consequência dessa descoberta. 
Esses raios, inicialmente considerados misteriosos3 por Röentgen e por isso a 
denominação do nome de Raios X, trouxe grandes aplicações em várias áreas. Os 
raios X são utilizados, na área médica, em radiografias de ossos e outros órgãos, 
devido ao seu alto poder penetrante. São utilizados também em tratamentos de 
câncer, por radioterapia. São usados na detecção de falhas estruturais em materiais 
 
3 Detalhes desta história podem ser consultada nas referências [2] e [3]. 
 
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28
 
como aço, concreto, entre outros. Atualmente, todas as propriedades do Raio X, que 
são muitas, são compreendidas. O Raio X é uma radiação eletromagnética de 
comprimento de onda entre ~10-1m e ~10-7m. É uma radiação muito penetrante, 
pouco ionizante e que pode atravessar, sem absorção apreciável, meios materiais 
com espessura bastante grande. Não difere essencialmente de um raio gama, 
distinguindo-se os dois tipos de radiação, na maioria dos casos, pela respectiva 
origem. 
Em seguida, vamos discutir algumas das características fundamentais dos 
Raios X. 
 i) Emissão de raios X 
Raios X podem ser produzidos quando elétrons são acelerados em direção a 
um alvo metálico. O choque do feixe elétrons (que sai do catodo com energia da 
ordem de 30 000 eV) com o ânodo (alvo) produz dois tipos de raios X. Um deles 
constitui o espectro contínuo, ou bremsstrahlung em alemão, e resulta da 
desaceleração do elétron durante a penetração no ânodo. O outro tipo é o raio X 
característico do material do ânodo. Assim, cada espectro de raios X é a 
superposição de um espectro contínuo e de uma série de linhas espectrais 
características do ânodo, conforme ilustrado na figura 2.8. 
 
Figura 2.8: espectro de emissão de raios X 
 
A radiação bremsstrahlung tem origem em uma partícula carregada em alta 
velocidade se aproximando do núcleo de um átomo, sendo desacelerada neste 
processo e tendo sua trajetória desviada. A diferença de energia entre o estado final 
e inicial da partícula é liberada na forma de raios X a uma taxa R dada por: 
 
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29
 
 
3
22
0 3
2
4
1
c
aq
R
πε
= (2.18) 
onde q é a carga da partícula, a é a aceleração da mesma e c é a velocidade 
da luz. A emissão de energia pela carga é máxima na direção perpendicular e nula 
na direção do vetor aceleração. A energia do raio X emitido é dada por: 
 
λ
hc
=EEE fiRX −= (2.19) 
onde Ei e Ef são, respectivamente, as energias cinéticas inicial e final da 
partícula e λ é o comprimento de onda do raio X emitido. Como se pode observar a 
partir da equação (2.18), a energia do raio X emitido por assumir uma série contínua 
de valores, desde zero (sem colisão nem emissão) até Ei (partícula totalmente 
freada). Assim, o espectro de emissão devido à radiação bremsstrahlung é contínuo, 
com um valor mínimo para o comprimento de onda emitido (hc/Ei). 
O raio X característico é produzido por um mecanismo quântico4 dado pela 
interação de elétrons incidentes com elétrons das camadas internas dos átomos que 
constituem o material do ânodo tubo. Se a energia cinética do elétron incidente for 
maior que a energia de ionização da camada na qual se encontra o outro elétron, o 
incidente transfere energia para o elétron do átomo e este é arremessado para fora, 
deixando um espaço vazio na camada em que se encontrava. Em seguida, um 
elétron pertencente a uma camada superior decai para ocupar o espaço deixado 
pelo elétron arremessado. Como as camadas interiores possuem menor energia, ao 
decair o elétron emite um fóton de raio X com energia equivalente à diferença de 
energia entre as camadas inicial e final desse elétron. Sendo os níveis de energia de 
um átomo quantizados5 as energias dos fótons emitidos também são, formando 
assim um espectro de linhas (discreto). As linhas são denominadas da forma ζY em 
que Y significa a camada onde ocorre a ionização e ξ corresponde ao número de 
camadas saltadas pelo elétron que decai (α=1, β=2, γ=3,..). Como os níveis de 
energia de cada linha dependem do número atômico Z do elemento e são tabeladas, 
 
4 Essa característica já preestabelece o modelo atómico de Bohr, para detalhes leia o 
capítulo 3. 
5 A quantização dos níveis de energia , condição fundamental para explicar o espectro 
característico dos átomos, será abordado do capítulo 3. 
 
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30
 
é possível identificar os elementos químicos presentes no objeto bombardeado 
através da análise do espectro de raios X. 
 
ii) Difração de Raio X 
A incidência de raios X em um material, com uma determinada estrutura 
cristalina, produz interferências coerentes que geram, nos raios transmitidos, picos 
de intensidade. A existência e localização desses picos dependem, em essência, da 
geometria do material que é atravessado pelo feixe. Picos são devidos a diferenças 
de caminho óptico iguais a números inteiros de comprimento de onda da radiação 
incidente. Numa estrutura que tem planos cristalinos bem definidos, essa condição 
é satisfeita para todo ângulo tal que: 
θ i = θ r = θ , (2.20) 
nλ=senθ⋅2d , (2.21) 
em que λ é o comprimento de onda da radiação incidente, iθ e rθ os 
ângulos de incidência e de reflexão respectivamente, n é a ordem de reflexão e d o 
espaçamento interplanar (figura 2.9). A equação (2.21) é conhecida como Lei de 
Bragg. O máximo de difração ocorre para n =1 e a energia do feixe incidente que 
satisfaz a Lei de Bragg é dada por: 
dsenθ
hc
=E
2
 . (2.22) 
 
 
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31
 
 
 
Figura 2.9: esq. estruturade cristais de NaCl, na qual d é a distância interplanar; dir. 
esquema do espalhamento em planos cristalográficos de espaçamento d. 
 
iii) Fluorescência 
A fluorescência é o fenômeno no qual um átomo emite um fóton após ter sido 
ionizado por um bombardeamento de raios-X. Outros fenômenos como a emissão 
de elétrons também podem ocorrer nesse processo, no entanto, não serão 
detalhados. 
Ao bombardear os átomos com fótons muito energéticos, os elétrons das 
camadas mais internas são arrancados, resultando em um íon positivo, uma 
vacância, esse é o efeito fotoelétrico, como já descrevemos anteriormente. A 
vacância ocorre, geralmente, na camada K (correspondente ao número quântico 
n=0), assim, os elétrons das camadas mais externas começam a decair para essas 
vacâncias e o excesso de energia é liberado pelo átomo em forma de fótons de raio 
X de segunda ordem. A energia desses fótons é necessariamente menor do que a 
dos fótons incidentes. A probabilidade do decaimento por emissão de raios X é 
determinada pelo rendimento da fluorescência, que está associado ao número 
atômico do elemento bombardeado e à camada onde ocorre à vacância. Nesta 
experiência foram bombardeados átomos cujo número atômico varia de Z = 23 até 
 
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30, portanto as linhas αK e βK dominam o espectro de fluorescência, como pode 
ser visto na figura 2.10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.10: Rendimento de fluorescência 
 
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33
 
CAPÍTULO 3: PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA 
MATÉRIA 
 
3.1 Postulado de De Broglie 
A partir da contribuição de Planck, foi constatado que a radiação, ondas 
eletromagnéticas eram quantizadas. Em seguida, com a teoria corpuscular, Einstein 
propôs que a radiação se comportava como uma partícula, como no efeito 
fotoelétrico em que um fóton colide elasticamente com o elétron como se fossem 
bolas de bilhar. Instigado pela na ideia da dualidade onda partícula constatada na 
energia eletromagnética, Louis De Broglie propôs, em 1924, na sua tese de 
doutorando, em Paris, que a dualidade onda partícula é um comportamento 
extensível a toda matéria presente na natureza e não só a energia eletromagnética. 
Assim, todos os corpúsculos ou partículas poderiam se comportar como onda e 
todas as ondas conhecidas, como o som, poderiam se comportar como partículas. 
Como o próprio De Broglie apresenta em seu livro: 
 
Depois da primeira guerra mundial, pensei muito a respeito da teoria dos 
quantum e do dualismo onda partícula (...) Foi então que tive uma súbita 
inspiração. O dualismo onda partícula de Einstein era um fenômeno 
absolutamente geral, que se estendia a toda a natureza. 
 
Foi Einstein o primeiro a reconhecer a genialidade da proposta de De Broglie 
e a chamar atenção de outros cientistas para ela, no entanto, a falta de evidências 
experimentais descreditaram a importância da sua proposta. Cinco anos mais tarde, 
De Broglie ganhou o Prêmio Nobel em física, pois suas previsões foram confirmadas 
com muita precisão por diversas experiências. 
A ideia apresentada por De Broglie foi de que a matéria, assim como a 
radiação, possui uma energia total E dada em função da frequência ν da onda que 
descreve seu movimento, 
hν=E . (3.1) 
O momento do sistema p é dado em função do comprimento de onda λ , da 
onda que descreve o movimento como: 
λ
h
=p . (3.2) 
 
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34
 
Com a equação (3.2), De Broglie conseguia calcular o comprimento de onda 
de um corpo material se movendo com um momento conhecido p , o que passou a 
ser chamado de comprimento de onda de De Broglie : ph=λ / . Assim, por exemplo, 
é possível calcular o comprimento de onda de De Broglie para um bola de tênis com 
uma velocidade de 30 m/s. Supondo a massa da bola 0,1Kg, temos: 
2434
34
2,2102,210
/300,1
106,6 −−
−
×
×
=m=
sKg.m
J.s
=
mv
h
=
p
h
=λ Å , 
 o que é um comprimento de onda muito pequeno. Essa característica explica 
a dificuldade de observar esse fenômeno por meio de experimentos óticos, pois 
segundo a ótica geométrica, os efeitos ondulatórios podem ser observados no limite 
em que 1/ ≈aλ , sendo a o tamanho da fenda ou lente ótica. Nessa situação, o 
ângulo de difração é dado por aλθsenθ /≈≈ e os efeitos ondulatórios da luz ou de 
qualquer objeto material se tornam evidentes. Dessa forma, no caso da bola de 
tênis, para que a razão aλ / atenda o requisito de ser mensurável do ponto de vista 
da ótica geométrica temos que 24102,2 −×≈a Å o que é impossível do pondo de vista 
operacional. Mas, para massas centenas de vezes menor, a relação se inverte e os 
comprimentos de onda aumentam. A ferramenta experimental de menor espessura 
utilizada por De Broglie para estudar o comportamento ondulatório da matéria foi a 
distância interplanar de átomos em um metal, nesse caso 1≈a Å. Usando um 
aparelho com dimensão característica de 1=a Å, foi possível observar aspectos 
ondulatórios do elétron, obtendo um comprimento de onda de De Broglie em 
1,2=λ Å. 
Em 1926, Elsasser mostrou que a natureza ondulatória da luz poderia ser 
observada de maneira análoga ao raio X, fazendo incidir um feixe de elétrons em 
sólidos cristalinos que difratam os elétrons e criando picos de espalhamento em 
ângulos bem definidos, da mesma maneira que vimos na difração de raio X no 
capítulo 2. Essa hipótese foi confirmada experimentalmente por Davisson e Germer 
e depois por G. P. Thomson6 usando um arranjo experimental totalmente diferente, 
no qual o elétron é acelerado por uma diferença de potencial V e emerge em um 
monocristal de níquel com uma energia eV. O detector mede a intensidade do 
 
6 O filho de J. J. Thomson que descobriu o elétron. 
 
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35
 
espalhamento para vários ângulos θ. Na análise experimental, foi identificado um 
máximo de corrente para o=θ 50 a uma tensão de 54 V, como mostra a figura 3.1. 
 
Figura 3.1: Corrente eletrônica em função do ângulo do detector para uma energia 
cinética fixa em 54 eV. 
 
A existência do pico mostrado na figura 3.1 mostra que o postulado de De 
Broglie estava correto, uma vez que essa estrutura de máximos só pode ser 
explicada como uma interferência construtiva de ondas eletrônicas espalhadas. O 
fenômeno descrito acima é exatamente análogo a reflexão de Bragg no 
espalhamento de raios X. Dessa forma, usando a lei de Bragg7 ( senφ=nλ 2d ), é 
possível calcular o comprimento da onda espalhada, o que foi feito para o 
experimento descrito acima, com d e φ definidos na figura 3.1. O cálculoexplícito do 
comprimento da onda do elétron pela lei de Bragg é exatamente idêntico ao valor 
encontrado, usando-se o postulado de De Broglie, o que confirma, agora de maneira 
quantitativa o postulado de De Broglie. 
Utilizando um arranjo experimental diferente, em 1927, Thomson mostrou 
detalhadamente o postulado de De Broglie fazendo um feixe de elétrons altamente 
energizados incidir sobre filmes finos e observando e analisando as figuras de 
difração dos elétrons. Em 1937, Thomson ganharia o Prêmio Nobel, conjuntamente 
com Davisson, por obterem experimentalmente a difração do elétron. 
O experimento, canônico que demonstra visualmente a dualidade onda 
partícula é o chamado experimento das duas fendas. Nesse experimento, como 
mostra a figura 3.2, se faz incidir um feixe de elétrons sob uma superfície com duas 
 
7 A lei de Bragg foi apresentada no estudo dos raios X na seção 2.6. 
 
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36
 
fendas. O que se observa é uma figura de interferência entre duas ondas, o que 
evidencia o caráter ondulatório do elétron. 
 
Figura 3.2: Imagem da interferência de elétrons na experiência das duas fendas8. 
 
A partir de então, estava estabelecida a dualidade partícula onda que se 
estende para toda a matéria e a radiação. É importante perceber, no entanto, que 
essa dualidade nunca se expressa simultaneamente, ou o ente é partícula ou é 
onda, tudo depende da forma como ele é observado. Do ponto de vista da ótica 
física, toda matéria é onda. A constante de Planck regula a relação de De Broglie, 
sendo ela muito pequena quando comparável a elementos macroscópicos, define 
que o comprimento de onda desses corpos deve ser muito pequeno (como vimos na 
caso da bola de tênis) e por isso não podem ser observados. No capítulo anterior, 
vimos que a interação da radiação com a matéria se dá de forma corpuscular e não 
ondulatória, e então, podemos perceber que mesmo para partículas microscópicas a 
interação se dá preferencialmente na forma de partículas. Assim, também podemos 
notar outra leitura do princípio da dualidade, quando está interagindo em uma 
localização espacial ele o faz como partícula, e quando ele está se movendo, age 
como onda, se propaga pelo espaço e, portanto, não é localizável em pontos 
definidos. 
 
8 Figura modificada de M. Le Bellac, “Quantum Physics”, Cambridge University Press, 
2006. 
 
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37
 
A física clássica não possuía explicação para esse comportamento dual, 
ainda pairava no ar alguma explicação teórica contundente que unificasse as duas 
descrições, ondulatória e corpuscular, que apresentava a matéria e a radiação. 
 
3.2 Princípio da Complementaridade de Bohr 
Neste contexto de transição de paradigmas (da física clássica para a física 
quântica), Niels Bohr apresentou o que ele mesmo definiu como sendo um princípio, 
no qual os modelos corpusculares e ondulatórios devem ser complementares. Para 
Bohr, a medida de um anularia a possibilidade da medida do outro, no entanto, 
segundo ele, isso não deveria ser entendido como se a radiação, ou a matéria, 
fossem apenas onda ou apenas partícula. Bohr clamava por um modelo mais geral 
que unificasse as duas descrições ondulatória e corpuscular. É uma interpretação 
probabilística da “função que descreve a trajetória” que unifica os modelos. Mas 
como poderia ser esse modelo? A resposta a essa questão viria muitos anos após 
as indagações e problematizações de Bohr, que teve um papel fundamental na 
concepção e definição da estrutura atômica, como veremos no próximo capítulo, na 
construção da velha e nova mecânica quântica. Suas discussões com Heisenberg 
ficaram famosas e estão em livros de literatura9 e peças de Teatro10. Muitos outros 
físicos importantes como Pauli, Dirac fizeram parte da chamada convenção de 
Copenhagen, que foi responsável por grandes avanços na definição do novo 
paradigma da mecânica quântica. 
 A resposta ao questionamento de Bohr viria após o estabelecimento 
da mecânica quântica de Schrödinger, em um modelo apresentado por Max Born. 
Born se espelhou na resposta que Einstein deu quando tentou responder a mesma 
questão no caso da radiação. 
Na teoria corpuscular de Einstein (capítulo 2) a intensidade da radiação é 
dada por Nhν=I , (3.4) 
em que N é o número médio de fótons por unidade de tempo que atravessam 
uma área perpendicular a direção de propagação dos fótons. O que introduz um 
 
9 W. Heisenberg, A parte e o todo, contraponto, 1996. 
10 Copenhagen, peça de Michael Frayn 
 
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caráter probabilístico, similar a teoria cinética dos gases de Maxwell. Na teoria 
clássica a intensidade da onda eletromagnética é dada em função do valor médio do 
vetor de Poynting: 2ε . Einstein propôs que 2ε poderia ser interpretado como uma 
medida do número médio de fótons por unidade de volume na descrição ondulatória, 
igualando a expressão ondulatória e corpuscular, tem-se: 
νε Nh
cµ
=I =2
0
1
 . (3.5) 
O que fica claro de (3.5) é que uma vez que 2ε é proporcional a N, representa 
uma medida probabilística da densidade de fótons. 
Baseado no que fez Einstein para a radiação, Max Born, por volta de 1930, 
propôs uma unificação para a dualidade partícula onda na matéria. Para tal, é 
importante introduzir um objeto crucial, a descrição dos fenômenos quânticos, uma 
função que representa a função de onda de De Broglie, é a função de onda ψ . Essa 
função é sempre uma função do espaço, do tempo e da frequência de oscilação da 
onda ν . Em analogia a onda eletromagnética ela pode possuir a mesma estrutura 
senoidal 
( ) 




 − νt
λ
x
πAsen=tx,ψ 2 . (3.6) 
O que é idêntico ao campo elétrico ( ε ) de uma onda eletromagnética 
unidimensional (como vimos no exemplo do capítulo 2). Nesse caso o 2ψ tem o 
mesmo papel que 2ε , será uma medida da probabilidade de encontrar uma partícula 
por unidade de volume em um dado ponto do espaço-tempo (x,t) . Born ganharia o 
Prêmio Nobel de física, em 1954, por essa interpretação probabilística da função de 
onda. Dessa forma, ψ obedece a todas as características de uma onda, então deve 
sempre satisfazer a equação geral de uma onda que é dada pela equação 
diferencial 
2
2
22
2 1
t
ψ
ν
=
x
ψ
∂
∂
∂
∂
, (3.7) 
e o princípio da sobreposição é sempre válido: ψ=ψ+ψ 21 , o que está de 
acordo com as experiências em que se observaram figuras de interferência 
 
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39
 
construtivas e destrutivas no espalhamento de elétrons (por exemplo), um fato 
impossível de ser compreendido pela física clássica. 
É muito importante ressaltar que a probabilidade, a ferramenta essencial 
utilizada por Einstein e Born, introduz uma não localidade da partícula, ela tem 
sempre uma probabilidade associada a sua posição no espaço-tempo, não é 
portanto, uma equação determinística. Até agora a probabilidade apareceu como 
uma consequência ou até mesmo um artifício para unificar as descrições 
corpuscular e ondulatória da radiação e da matéria, mas, em 1927, Bohr e 
Heisenberg demonstram a função essencial que a probabilidade possui nessa união. 
Antes disso, porém, vamos discutir de que maneira a dualidade partícula onda 
se manifesta na função de onda ( )tx,ψ . A ideia é que da mesma forma como o 
campo eletromagnético (ε ) representa a energia da radiação e é uma onda 
associada a um fóton, a função de onda ( )tx,ψ está associada a uma partícula 
material. Assim, se pensarmos na velocidade de ambas as parte, a velocidade de 
propagação da onda deve ser igual a velocidade (deslocamento cinético) da 
partícula. A velocidade de propagação de uma onda ( pv ), segundo a teoria canônica 
de ondulatória é dada por: 
λν=vp . (3.8) 
Usando as expressões de De Broglie (3.1) e (3.2), podemos escrever (3.8) 
como: 
p
E
=
h
E
p
h
=λν=v p , (3.9) 
na qual sabemos definir a energia E e o momento p do ponto de vista da 
partícula. Supondo que essa partícula só esteja sujeita a sua própria energia 
cinética, sem ação de outros campos e forças, temos que
2
2
mv
=E e p= m v e a 
equação (3.9) fica: 
( )
22
2
v
=mv
mv
=
p
E
=v p 





 . (3.10) 
Analisando o que diz a equação (3.10), a velocidade da onda seria metade da 
velocidade da partícula, o que vai de encontro ao que afirmamos acima. Mas, ao 
contrário do que possa parecer, isso não é uma contradição, apenas elucida a 
 
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estrutura que a função de onda deve ter. Na realidade, a função de onda ( )tx,ψ não 
é composta apenas por uma onda, mas sim por várias ondas com diferentes 
frequências, que se somam construtivamente em uma região finita do espaço, para 
um dado t, em torno da partícula e se somam destrutivamente no resto do espaço 
(essa configuração muda com o tempo, o que representa a propagação da partícula 
pelo espaço) como ilustra a figura 3.3. O pacote formado por todas essas ondas 
compõem ( )tx,ψ que, como um grupo, se move na mesma velocidade que a 
partícula. 
 
Figura 3.3: Pacotes de onda, (a) o pacote é finito para representar a partícula e (b) é 
localizado no espaço com diferentes compressões11. 
A velocidade de grupo de várias ondas juntas é dada, segundo a teoria 
ondulatória clássica, por 
dk
dν
=Vg , em que hdE=dν / , hp=λk //1≡ e hdp=dk / . O 
que define a velocidade de grupo como: 
v=
mdv
mvdv
=
dp
dE
=Vg . (3.11) 
E, portanto, provamos que a velocidade do pacote de ondas ( )tx,ψ é igual a 
velocidade da partícula cujo o movimento ela descreve. 
 
3.3 Princípio da Incerteza de Heisenberg 
Na mecânica clássica dada a condição inicial de um sistema, podemos evoluí-
lo no tempo e o movimento futuro fica determinado de forma exata, o que chamamos 
de determinismo da física clássica. Mas, o mesmo fenômeno não acontece na 
mecânica quântica. O princípio da incerteza de Heisenberg é enunciado de tal forma 
 
11 Figuras modificadas de (a) A.C. Phillips, “ Introduction to Quantum Mechanics”, John 
Wiley&Sons Inc., 2003 e (b) S. Ivanov, “Theoretical and Quantum Mechanics-Fundamentals for 
Chemists”, Springer, 2006. 
 
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41
 
a evidenciar esse fenômeno, segundo ele, quando fazemos uma medida sobre um 
objeto e você consegue determinar a componente x do momento ( xp ) com uma 
incerteza ∆p , você não pode, ao mesmo tempo, saber a posição x com mais 
precisão do que 
∆p
=∆x
2/h
, em que πh= 2/h . Como decorrência, o produto das 
incertezas tem que ser maior do que 2/h e portanto o princípio da incerteza é dado 
por: 
 
2
h≥∆x∆p . (3.12) 
O princípio da incerteza fala sobre o produto das incertezas em uma medida 
simultânea de x e p e não sobre cada uma delas. Portanto, segundo ele, se você 
medir um deles com uma precisão infinita, ou seja, determinar a posição (ou o 
momento) de um evento, a incerteza associada ao momento (ou a posição) tem que 
ser infinita ( ∞=∆p;=∆x 0 ) para satisfazer (3.12). Uma ideia mais geral por detrás 
desse princípio é que não é possível fazer uma experiência, o das duas fendas, por 
exemplo, em que consiga determinar qual das alternativas (no exemplo, as fendas) 
foi escolhida pela partícula sem que com isso destrua o experimento (no exemplo, a 
figura de interferência). Em uma experiência mental, Heisenberg estabelece que um 
gato seja posto vivo no interior de uma caixa que é posteriormente vedada. Supondo 
também que a alimentação ocorre de maneira em que não se abra a caixa, a única 
forma de descobrir se o gato esta vivo ou morto depois de um tempo é abrindo a 
caixa, mas, dessa maneira, o experimento seria destruído. Dessa forma, Heisenberg 
tomou como impossível definir com precisão infinita as duas variáveis e afirmou 
explicitamente que caso isso fosse em algum momento possível, a mecânica 
quântica iria colapsar. Diversos experimentalistas trabalharam para mostrar que 
Heisenberg estava errado, mas nunca lograram e a mecânica quântica continua 
válida até hoje. 
Existe uma segunda formulação do princípio da incerteza, que não foi 
formulada inicialmente por Heisenberg, mas é costumeiramente apresentada como 
tal. Ela diz respeito à medida da energia E de um sistema e o intervalo de tempo em 
que ocorre a emissão de tal energia, ou de outra maneira, o tempo em que ocorre a 
própria medida. E, então, 
 
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42
 
2
h≥∆E∆t , (3.13) 
em que ∆E é a incerteza na definição da energia e ∆t o intervalo de tempo no 
qual o sistema muda. 
O princípio da incerteza não define a mecânica quântica, podemos descrever 
sistemas e calcular observáveis sem usá-lo. Mas, ele é interessante, pois evidencia 
uma qualidade fundamental na mecânica quântica, a de que os fenômenos não 
podem ser descritos de forma determinista e sim por meio de grandezas 
probabilísticas. 
Se por um lado a interpretação probabilística foi o grande salto da mecânica 
quântica moderna, em oposição a velha mecânica quântica que veremos no capítulo 
seguinte, ela não foi bem aceita logo de início. Einstein, por exemplo, foi um crítico 
ferrenho a ideia de que a posição da partícula poderia ser apenas definida de 
maneira probabilística. Em uma frase famosa, em ocasião de uma carta que enviou 
a Max Born, Einstein disse: “Deus não joga dados com o universo”, ele acreditava 
que a natureza era única e, isso, segundoele, ia de encontro a uma descrição 
probabilística. No entanto, anos mais tarde, Einstein acabou por se convencer após 
o comprovado sucesso e imenso potencial que a teoria quântica demonstrou ao 
prever e explicar diversos fenômenos físicos. 
 
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43
 
CAPÍTULO 4: O MODELO DO ÁTOMO 
 
Voltando um pouco para o final do século XIX, o espectro de emissão atômico 
era observado experimentalmente, mas não havia um modelo de átomo que 
pudesse justificar tal comportamento. Assim, como vimos no desenvolvimento do 
raio X, no capítulo 2, o final do século XIX foi muito frutífero do ponto de visa de 
experiências para entender o comportamento da matéria, das estruturas físicas para 
além do que os olhos podiam enxergar, novas teorias estavam surgindo e ao final, 
no início do século XX foi consolidado o que chamamos de antiga mecânica 
quântica composta pelas teorias de Einstein e Planck. A nova mecânica quântica 
viria só depois com a contribuição de Bohr e Heisenberg. Neste capítulo vamos 
analisar essa transição e entender o modelo de Bohr para o átomo da forma como o 
concebemos hoje. 
 
4.1 Espectro atômico 
A espectroscopia é, até hoje, uma técnica muito importante na física para 
estudar a composição de elementos químicos de substâncias e compostos. O 
espectro de emissão dos elementos e compostos químicos é dividido em três 
categorias: contínuo, em bandas e em linhas. O primeiro ocorre na emissão de 
radiação de sólidos incandescente, já o segundo, é formado por vários grupos de 
linhas muito próximas que se assemelham a bandas contínuas, quando vistas em 
espectroscópio de baixa resolução, a ocorrência desse tipo de espectro é observada 
quando pequenos sólidos são submetidos a chamas ou descargas elétricas. E, por 
fim, o espectro de linhas são características da radiação emitida por átomos 
isolados. Tanto o espectro de bandas, como o de linhas, não possuiam explicação 
na física clássica, até o início do século XX, foi a partir das teorias de Planck e 
Einstein, na qual a energia da radiação era quantizada, que o espectro de linhas na 
emissão de radiação passou a fazer algum sentido, embora a justificativa da razão 
de cada uma delas só tenha sido entendida após o modelo atômico de Bohr . 
Ao final do século XIX, com o desenvolvimento de espectroscópios eficientes, 
era possível medir com bastante precisão os comprimentos de onda de cada linha 
do espectro. Buscando uma justificativa teórica, os cientistas passaram a buscar e 
interpretar regularidades no espectro. Foi então que, em 1885, Balmer propôs uma 
 
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44
 
fórmula empírica capaz de prever as nove primeiras linhas do espectro do 
hidrogênio, que ficou conhecida como a série de Balmer 
 
4
3646
2
2
−n
n
=λ Å . (4.1) 
Em que n é um número inteiro associado a cada linha do espectro e n=3 para 
H
α e assim por diante, como mostra a figura 4.1. Balmer foi seguido por muitos 
outros cientistas que identificaram diferentes séries, também para o hidrogênio, em 
diferentes regiões de comprimento de onda, como mostra a tabela 4.1. 
 
Figura 4.1: Linhas espectrais do hidrogênio12. 
 
Rydberg, em 1890, estudou a fundo as séries do Hidrogênio e propôs que os 
comprimentos de onda de cada série fossem escritos em função do comprimento de 
onda recíproco k =
1
λ
 e a série de Balmer, segundo Rydberg passaria a ser: 





 −
22
1
2
1
n
R=k H Å
1− n = 3,4,... (4.2) 
Para 17101,096776 −× m=RH , a constante de Rydberg para o hidrogênio. 
Buscando uma fórmula geral que unificasse todas as séries, Rydberg e, 
independentemente, Ritz, propuseram a expressão geral que vale para todos os 
elementos, conhecida como a fórmula de Rydberg-Ritz: 





 −
22
11
nm
R=k , n > m . (4.3) 
 
12 Figura modificada de S. Ivanov, “Theoretical and Quantum Mechanics-Fundamentals for 
Chemists”, Springer, 2006. 
 
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45
 
Sendo a constante de Rydberg ligeiramente diferente para cada elemento 
(variação máxima é 0,05%). 
Nomes Faixas de λ Fórmula da 
série 
 
Lyman Ultravioleta 


 −
22
1
1
1
n
R=k H
 
n=2,3,4... 
 
Balmer Ultravioleta e 
visível 


 −
22
1
2
1
n
R=k H
 
n=3,4,5,... 
Paschen Infravermelh
o 


 −
22
1
3
1
n
R=k H
 
n=4,5,6,... 
Brackett Infravermelh
o 


 −
22
1
4
1
n
R=k H
 
n=5,6,7,... 
Pfund Infravermelh
o 


 −
22
1
5
1
n
R=k H
 
n=6,7,8,... 
Tabela 4.1: As várias séries obtidas a partir da análise das linhas espectrais 
do hidrogênio. 
 
4.2 O pudim de Thomson 
O avanço da espectroscopia não era correspondido, em contra partida, a um 
modelo de estrutura do átomo que pudesse descrever os fenômenos observados 
experimentalmente. O modelo vigente, a partir de 1910, era o pudim de Thomson, 
figura 4.2, em que elétrons eram uniformemente distribuídos em uma esfera 
carregada positivamente de forma a manter o átomo neutro. Thomson buscava, a 
partir do seu modelo, configurações estáveis cujos modos normais de vibração 
correspondessem às frequências observadas na emissão. Um grande problema que 
esse modelo apresentava, além de não encontrar nenhuma configuração que 
descrevesse as linhas espectrais observadas, é que a força eletrostática não é 
suficiente para manter um sistema em equilíbrio e, portanto, as cargas deveriam 
 
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46
 
estar em movimento. No entanto, como sabemos, toda carga em movimento emite 
radiação, o que não era observado no átomo. 
O modelo de Thomson foi definitivamente abandonado, em 1911, quando 
Rutherford mostrou que a carga positiva do átomo estava toda concentrada no 
centro, formando um núcleo, analisando o espalhamento de partículas α por 
diferentes átomos. 
 
4.3 O modelo do átomo de Rutherford 
Rutherford, um antigo aluno de Thomson, investigava a radioatividade natural 
dos elementos quando descobriu que o urânio emitia dois tipos diferentes de 
partículas, denominadas α e β. Buscando analisar o comportamento dessas 
partículas, em um experimento célebre, Rutherford deixou uma amostra radioativa 
se desintegrar emitindo partículas α em uma câmera de vácuo e, em seguida, 
submeteu o conteúdo da câmera a uma descarga elétrica. As linhas observadas 
correspondiam ao hélio. Então, Rutherford percebeu que essa partícula α, uma 
partícula carregada positivamente e com metade da massa do próton, poderia 
funcionar como uma sonda no interior de outros átomos, e iniciou uma série de 
experimentos nessa direção.(a) 
 
 
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47
 
 (b) 
 
Figura 4.2: (a) O modelo do Pudim de Thomson13 e (b) O espalhamento de uma partícula α 
por um átomo de Thomson14. 
 
O experimento consistia em colimar um feixe de partículas α emitidas de uma 
fonte radioativa e fazê-la incidir sobre um alvo metálico. Ao atravessar o átomo, a 
partícula α sente a força colombiana das cargas positivas e negativas, o que provoca 
uma mudança na sua trajetória. Uma forma de medir essa divergência é contar o 
número de partículas α que emerge do átomo com um ângulo de deflexão θ (N(θ)). 
No modelo de Thomson, como a carga positiva está espalhada por todo o volume do 
átomo de raio 1010−r m, a força colombiana de repulsão não é tão intensa e a força 
de atração do elétron é ainda menor, uma vez que a partícula α é da ordem da 
massa do próton. Portanto, como mostra a figura 4.2, no modelo de Thomson é 
esperado que o ângulo de espalhamento θ seja pequeno. De fato, podemos 
calcular, usando o modelo de Thomson, a deflexão máxima que a partícula sofre ao 
passar pelo átomo, ela será 410−≤θ rad. 
Na experiência realizada por Rutherford em seu laboratório, com ajuda de 
Geiger e Marsden, foi medido que 99% das partículas α foram espalhadas em 
ângulos menores do que 3°. No entanto, surpreendentemente, uma fração da ordem 
de 410 − das partículas α foram espalhadas com ângulo maior que 90°, sendo 
algumas delas espalhadas com um ângulo de 180°. Mesmo sendo pequena essa 
fração, ela é absolutamente incompatível com o modelo de Thomson. Como o 
próprio Rutherford declarou: “Foi a coisa mais incrível que aconteceu em toda a 
minha vida. Era tão incrível quanto se você disparasse um projétil de 15 polegadas 
 
13 Figura modificada de M. Le Bellac, “Quantum Physics”, Cambridge University Press, 2006. 
14 Figura modificada de R. Eisberg, “Fundamentals of Modern Physics”, John Wiley&Sons Inc, 1963. 
 
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48
 
contra um pedaço de papel e o projétil ricocheteasse de volta.” Esse foi mesmo o fim 
do modelo de Thomson. 
O modelo proposto por Rutherford considerava que deveria existir um núcleo 
no átomo que concentrasse toda a carga positiva do átomo em uma região pequena 
do átomo, isso justificaria uma interação de repulsão mais forte com a partícula α. Ao 
supor que o núcleo se comportava como uma partícula pontual no centro da esfera, 
e que a quantidade de carga no núcleo era tão maior que α, então, não haveria 
recuo do núcleo ao interagir com α, Rutherford calculou a distribuição angular 
esperada para a partícula α após a colisão. Ainda, foi considerado que a partícula α 
não iria penetrar dentro do núcleo e dado que 20/1/ ≈cv o cálculo pode ser não 
relativístico. As previsões foram comprovadas por experiências feitas por Geiger e 
Marsden, mas mostraram que as hipóteses assumidas não são exatamente verdade 
quando a partícula α é espalhada por átomos muito leves. 
 
Figura 4.3: O esquema da trajetória hiperbólica de α , segundo o espalhamento de 
Rutherford, com todas as variáveis que a definem15. 
 
 
15 Figura modificada de R. Eisberg, “Física Quântica- Átomos, sólidos, Núcleos e Partículas” , John 
Wiley&Sons Inc, 1974. 
 
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49
 
Dessa forma, o espalhamento da partícula α por átomos pode ser reduzido ao 
espalhamento elástico de α e o núcleo, como mostra a figura 4.3, ao ilustrar o 
espalhamento Rutherford. A figura 4.3 mostra uma partícula de massa m e carga ze 
espalhada por um núcleo fixo na origem do centro de coordenadas com carga Ze 
(Z>>z). A interação coulombiana no início e muito depois é desprezível devido a 
distância entre as partículas, o que justifica a trajetória retilínea e uniforme (v 
constante) antes da interação e depois da interação (ver figura 4.3) e, ainda, por 
conservação de energia, a energia cinética inicial é igual a final e as velocidades 
também v=v’. No início, a partícula α está a uma distância b da linha paralela a sua 
trajetória que passa na origem. B é definido como o parâmetro de impacto e é uma 
variável importante no problema, pois quando b=0 teremos o choque frontal. A 
posição durante a interação é descrita pelas coordenadas polares r e o ângulo de 
espalhamento θ mede a mudança da trajetória inicial à final e por geometria temos 
ϕπθ −= . 
Aplicando a segunda lei de Newton na força coulombiana repulsiva (não 
faremos em detalhes aqui, pois envolve equações diferenciais) chegamos a equação 
da hipérbole para a trajetória de α 
)(
D
+sen
b
=
r
1cos
2b
11
2
−ϕϕ . (4.4) 
Sendo D a distância de máxima aproximação de α ao núcleo, que pode ser 
calculada considerando a situação em que b=0. Nessa situação, toda energia 
cinética da partícula é freada pelo potencial coulombiano e a partícula pára a uma 
distância D do núcleo e volta pelo mesmo caminho que incidiu, e o ângulo de 
espalhamento é θ= 180 ° 
2
4
1
2
2
0 mv
zZe
πε
=D . (4.5) 
Voltando a (4.4), o ângulo de espalhamento pode ser definido em função do 
parâmetro de impacto (usando ϕπθ −= ) como: 
D
=
θ
g
2b
2
cot 




 . (4.6) 
 A partir da teoria estatística, é possível calcular o número de partículas 
α que são espalhadas em uma região angular entre Θ e Θ + dΘ , sendo Θ o ângulo 
 
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50
 
de espalhamento total (a soma de todos as deflexões de cada átomo) que a 
partícula α sofre ao atravessar toda a folha 
( )2/
2π
24
1
22
Θsen
senΘenIρρ
mv
zZe
πε
=N(Θ(Θ)
42
2
0












 . (4.7) 
Em que I é o número de partículas α que incidem do alvo de espessura τ cm, 
contendo ρ núcleos por cm 3 . A equação 4.7 foi de grande importância, pois além 
de ser confirmada por experiências feitas por Geiger e Marsden, o número Z não era 
conhecido para a maioria dos átomos e, então, a equação 4.7 passou a ser usada 
também para determiná–lo. Só assim, descobriu-se que Z era igual ao número 
atômico químico dos átomos. 
A fórmula de Rutherford é, geralmente, expressa em termos da seção de 
choque diferencial 
dΩ
dσ
, definida de tal forma que o número de partículas α 
espalhadas em Θ dentro de um ângulo sólido dσ é dada por 
IndΩ
dΩ
dσ
=dN(ΘN , (4.8) 
Então, a seção de choque diferencial é dada usando (4.7) e (4.8) como: 
( )2/
1
24
1
22
Θsenmv
zZe
πε
=
dΩ
dσ
42
2
0












. (4.9) 
 
4.3.1 O tamanho do núcleo 
O fato de as confirmações previstas por Rutherford terem se concretizado nas 
experiênciasde Geiger e Marsden, não significavam que a hipótese de que o núcleo 
era uma partícula pontual estava correta, muito pelo contrário, Rutherford sabia que 
isso era uma aproximação grosseira. Da eletrostática sabemos que a força 
coulombiana de uma distribuição esférica de cargas é a mesma que uma carga 
pontual para um ponto externo a esfera e dentro de uma esfera carregada a força 
cresce linearmente com o raio. A partir da equação (4.5), tendo o conhecimento de Z 
para o alvo, ele poderia determinar a distância de maior aproximação D, que seria, a 
princípio, um limite superior para o raio do núcleo. Foi então que Rutherford 
percebeu que se pudesse fazer α incidir com mais energia, a distância D diminuiria e 
poderia entrar no núcleo. No entanto, não era possível aumentar a energia de α, o 
 
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51
 
que ele fez, então, foi diminuir a distância D usando alvos mais leves, como o 
alumínio. Nesse caso, Rutherford comparou, para um ângulo fixo, a razão do 
número de partículas espalhadas detectadas experimentalmente e a previsão teórica 
em função de 
Dr , a distância de máxima aproximação dada pela equação 4.5, como 
mostra a figura 4.4. 
 
 
Figura 4.4: Resultado obtido por Rutherford usando o alvo de alumínio (para um ângulo 
fixo)16 . 
 
O valor de 
Dr , a partir do qual a previsão teórica pára de concordar com as 
observações experimentais, pode ser considerado o tamanho do núcleo (a distância 
do centro da esfera até as sua superfície). Assim, para o caso do alumínio, 
Rutherford estimou o raio do seu núcleo em 14101 −× m. 
 
4.4 O modelo do átomo de Bohr 
Niels Bohr, um físico dinamarquês, em 1913, publicou, no formato de 
postulados, uma teoria para o átomo de Hidrogênio que uniria as teorias de Planck, 
Einstein e modelo de Rutherford para o átomo. Bohr trabalhou no laboratório de 
Rutherford na época que Geiger e Marsden analisavam os resultados do 
experimento que comprovavam o modelo de Rutherford. O modelo de Rutherford, no 
entanto, não dizia nada a respeito do elétron, apenas que a carga positiva estava 
contida no núcleo. Bohr formulou a hipótese de que o elétron no átomo de 
 
16 Figura modificada de R. Eisberg, “Física Quântica- Átomos, sólidos, Núcleos e Partículas” , John 
Wiley&Sons Inc, 1974. 
 
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52
 
hidrogênio girava em torno desse núcleo, em um movimento resultante da força de 
atração coulumbiana. Em analogia ao sistema solar, a trajetória do elétron seria 
circular ou elíptica, a qual Bohr supôs circular por facilidade e, então, a força 
coulumbiana deve ser igual a força centrípeta que o elétron “sente” para uma 
trajetória de raio r e velocidade v 
r
mv
=
r
kZe
=F
2
2
2
 . (4.10) 
Como descrevemos anteriormente, classicamente, o movimento de cargas é 
associado a emissão de uma radiação (pois carga em movimento significa campo 
elétrico e assim por diante) com uma frequência dada por 
πr
v
=ν
2
. Mas, da equação 
(4.10), temos que a velocidade do elétron é dada por 
mr
kZe
=v
2
2 e, portanto, a 
frequência é definida como: 
2/3
2/1
2
2
2/1
2 1
42
1
rmπ
kZe
=
πrmr
kZe
=ν 











 . (4.11) 
A partir de (4.11), podemos ver que quanto mais o elétron perde energia por 
radiação, o raio da sua órbita diminuiria e a frequência da radiação emitida passa a 
ser cada vez maior, até o limite em que o elétron colapsaria no núcleo. O tempo de 
vida do elétron, estimado pela física clássica, é de microssegundos. Mas, essa 
emissão contínua de radiação nunca foi observada. Bohr, em seus dois primeiros 
postulados, contornou esse problema propondo de forma revolucionária que o 
elétron se move em uma trajetória circular SEM irradiar energia, o que ele chamou 
de um estado estacionário. 
 
 
 
Figura 4.5: figura esquemática do modelo 
de Bohr para o átomo17. 
 
17 Figura modificada de M. Le Bellac, “Quantum Physics”, Cambridge University Press, 2006. 
 
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53
 
O segundo postulado foi de que os átomos apenas irradiariam energia 
quando o elétron sofresse uma transição de um estado estacionário para outro e a 
energia associada a essa transição seria dada pela energia Planck dos estados 
iniciais e finais de cada estado estacionário 
fi EE=hν − . (4.12) 
A esse segundo postulado está associada a ideia, representada 
esquematicamente na figura 4.6, que a transição de dois estados significa emissão 
de um fóton de energia hν . 
Se a órbita do elétron é estável, significa que o momento angular orbital do 
elétron ( mvr=L ) é uma constante. Bohr descreveu então a quantização do 
momento angular do elétron como uma consequência de seus dois primeiros 
postulados 
hn=mvr=L , para n=1,2,3.... . (4.13) 
Dessa forma, podemos definir o raio orbital, sendo v dado pela equação 
(4.10) temos 
2/1






kze²
rm
m
n
=
mv
n
=r
hh
, em que temos que elevar ao quadrado para 
recuperar a dependência em r dentro da raiz: 





kze²
rm
m
n
=r
2
22
2 h e, por fim, o raio 
orbital de Bohr é 
Z
an
=
mkze²
n
=rn
0
222
h
. (4.14) 
Sendo 0a o raio de Bohr definido como 0,5492
2
0 =
mke
=a
h
Å, 0a é também 
o raio do átomo de hidrogênio em que Z=1 e n=1. O que podemos ver em (4.14) é 
que as órbitas dos estados estacionários dos elétrons também são quantizadas pelo 
número quântico n e decrescem com o número atômico Z. 
A energia total do elétron é definida pela soma da energia cinética ( 2/2mv ) e 
potencial ( rkze² /− ) , no entanto, pela equação (4.10) podemos reescrever a energia 
cinética como 
2r2
22
kZe
=
mv
 e a energia total do estado é dada por: 
 
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54
 
hh
22
422
22
22222
222r2r n
eZmk
=
n
mkZekZe
=
kZe
=
r
kZekZe
=E
nnn
n
−





−−− , 
2
2
0
n
Z
E=En − para n= 1, 2, 3, .... (4.15) 
onde 13,6
2 2
42
0 =
emk
=E
h
 e V é a energia do estado fundamental do átomo de 
hidrogênio. E, então, a energia desses estados estacionários também é quantizada 
pelo mesmo número quântico n. Se voltarmos ao segundo postulado de Bohr, 
equação (4.12), temos 







−−−
22
2
0
11
fi
nfni
nn
ZE=EE=hν , e a energia irradiada em 
uma transição de estados é definida pela frequência 








−
22
2
0 11
if nnh
ZE
=ν . (4.16) 
O número quântico n define a ordem dos estados estacionários, assim, n=1 é 
estado fundamental, n=2 o primeiro estado excitando, n=3 o segundo estadoexcitado e assim por diante até infinito. 
 
 
 
 
 
Figura 4.6: Modelo da 
transição de estados do 
elétron dentro do átomo18. 
 
Segundo o modelo de Bohr, a transição entre linhas ou estados significa uma 
emissão ou absorção de fótons, como mostra a figura 4.6. Quando a primeira 
situação ocorre, isso significa que o elétron ganha energia o suficiente para “pular” 
para o próximo nível, já o segundo, ocorre qunado o elétron decai para seu estado 
inicial. 
 
18 Figura modificada de M. Le Bellac, “Quantum Physics”, Cambridge University Press, 2006. 
 
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55
 
A partir da equação (4.16), fazendo λc=ν / , obtemos uma expressão análoga 
à obtida por Rydberg (4.2) para as séries das linhas do espectro de emissão dos 
átomos. Comparando as duas expressões (4.2 e 4.16), podemos identificar que a 
constante empírica obtida por Rydberg é dada teoricamente por Bohr como 
3
42
0
4 hπc
emk
=
hc
E
=R . Usando os valores das constantes conhecidas na época, Bohr 
chegou a um valor muito próximo ao obtido por Rydberg e sugeriu que a igualdade 
entre elas fosse usada para aprimorar o valor das próprias constantes, o que foi feito 
anos mais tarde. 
De acordo com o modelo de Bohr, ilustrado na figura 4.5, a energia 
quantizadas permitidas para o átomo de hidrogênio são definidas pela equação 
(4.15) com Z=1 
2
0
n
E
=En
−
 , (4.17), 
com a qual podemos graficar os diferentes níveis de energia, do fundamental, 
quando n=0 até a energia zero quando n é infinito, como mostra a figura 4.7. Esse 
diagrama é chamado de diagrama de níveis de energia. 
 
Figura 4.7: Um diagrama de níveis com as transições de cada série representada 
para o átomo de hidrogênio19. 
 
19 Figura modificada de S. Ivamov, “Theoretical and Quantum Mechanics-Fundamentals for 
Chemists”, Springer, 2006. 
 
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56
 
Na figura 4.7, mostramos a relação entre as linhas das séries obtidas pela 
análise espectroscópica e os níveis de energia de Bohr. A energia para arrancar um 
elétron do átomo de hidrogênio é 13,6 eV, o que chamamos de energia de ionização 
ou energia de ligação do elétron. 
 
4.4.1 Princípio da correspondência 
Em 1923, Bohr enunciou seu último postulado, o princípio da 
correspondência, no qual definia que as previsões da física quântica, para qualquer 
sistema físico, devem corresponder as previsões da física clássica no limite em que 
os números quânticos se tornam muito grandes. A motivação desse princípio está 
no limite clássico da energia de radiação, como mostramos no capítulo 1, o espectro 
de radiação do corpo negro tende a KT no limite de baixas frequências. 
 
4.5 Crítica à “velha” mecânica quântica 
O modelo de Bohr foi recebido, em um primeiro momento, com muito espanto 
pela comunidade científica internacional. A ideia parecia muito ousada para contas 
tão simples. De fato, o modelo de Bohr era simplificado, de tal forma, que ele apenas 
de adequava perfeitamente aos resultados experimentais do hidrogênio. Por outro 
lado, ele foi fundamental ao introduzir a ideia da quantização da energia em todos os 
níveis e explicar a espectroscopia atômica. A sua suposição de que não há recuo do 
núcleo do átomo com a interação com o elétron, foi em seguida corrigida pela 
utilização da massa reduzida 
M+m
mM
=µ , para M a massa do núcleo. Uma segunda 
aproximação do modelo de Bohr foi ainda proposta por Sommerfeld, usando órbitas 
elípticas e grandezas relativísticas buscou descrever a estrutura fina do espectro de 
hidrogênio. 
O modelo de Bohr foi confirmado posteriormente por experimentos de raio-X e 
por um experimento célebre, que provou a quantização da energia de Bohr, o 
experimento de Franck-Hertz. A consagração da teoria de Bohr era então inegável, 
no entanto, ela ainda não possuía uma justificativa lógica causal, dessa maneira, 
“Por que nas teorias de Bohr ainda eram válidas teorias clássicas da mecânica, mas 
não as da eletrodinâmica clássica?”, essa era uma pergunta ainda sem resposta. 
 
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57
 
A todo esse conjunto de fenômenos e teorias que começa com Planck, passa 
por Einstein e termina com Bohr, chamamos de antiga mecânica quântica. Só com 
ela, já foi possível descrever diversos fenômenos inexplicáveis até então, como o 
calor específico dos sólidos, a definição de novos elementos e compostos, entre 
outros. No entanto, essa teoria quântica apresenta limitações, entre elas vale 
destacar que ela se limita a descrever sistemas periódicos, o que representa um 
número muito pequeno de problemas de interesse científico. Ela é apenas aplicável 
a hidogenóides (sistemas que se assimilam ao hidrogênio) e, portanto, de todos os 
elementos conhecidos na época, apenas os elementos alcalinos poderiam ser 
tratados usando o modelo de Bohr. E, o que para o próprio Bohr foi motivo de 
intensa dedicação e discussão, era a falta de uma base filosófica coerente. Bohr , 
em suas discussões com Heisenberg, Dirac, Pauli e tantos outros, sempre 
enfatizava que a leitura da natureza estava presente em seu modelo, mas faltava um 
coerência fundamental. 
Em 1925, de maneiras diferentes e independente, Schrödinger e Heisenberg, 
desenvolveram um modelo quântico que sustentava uma base filosófica e física para 
a física quântica, sendo em contra partida a teoria de Bohr, um desenvolvimento 
matemático complexo e mais avançado. Em seguida, Heisenberg constatou a 
equivalência entre as duas propostas. A “disputa” entre o mentor intelectual, da 
então proposta mecânica quântica, foi motivo de estudo para diversos 
epistemólogos. Schrödinger acabou levando a melhor na história e, hoje, 
aprendemos e aplicamos a equação de Schrödinger para resolver problemas 
quânticos, como veremos no próximo capítulo. 
 
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58
 
CAPÍTULO 5: INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA 
 
Mostramos de maneira qualitativa, no capítulo 3, que a função de onda ψ(x,t) 
é responsável por unificar a descrição ondulatória e corpuscular. Introduzida por De 
Broglie, essa ideia foi formalizada por Schrödinger, em 1926, através da sua célebre 
equação de onda. Meses antes da formulação de Schrödinger, Heisenberg tinha 
proposto uma teoria para explicar os fenômenos atômicos, usando apenas 
grandezas mensuráveis. Essa teoria não parecia se assimilar muito à equação de 
Schrödinger, uma vez que todas as variáveis dinâmicas eram representadas por 
matrizes. No entanto, o próprio Schrödinger mostrou que existia uma equivalência 
entreas duas teorias, partindo de uma era possível chegar à outra e vice-versa. 
Ambas as teorias deram início ao que chamamos de Mecânica Quântica. 
A mecânica quântica de Schrödinger não é aplicável a muitos problemas 
concretos na física, pois é preciso que o sistema seja “ideal”. Podemos pensar em 
uma analogia à mecânica clássica quando consideramos sistemas sem atrito, 
viscosidade e a energia do sistema é conservada. No entanto, em sistemas que 
fogem desse grupo, podemos fazer previsões qualitativas importantes usando 
apenas o princípio da incerteza. A matemática envolvida no desenvolvimento de 
Heisenberg é mais complicada do que a proposta por Schrödinger, embora a 
segunda também envolva cálculos demasiadamente avançados para o escopo desta 
apostila, de forma que vamos apenas apresentar a equação de Schrödinger e 
discutir seu significado. 
 
5.1 Equação de Schrödinger 
A equação de onda que rege o movimento de partículas massivas como o 
elétron, foi proposta então por Schrödinger, em 1925. Em analogia a equação da 
onda clássica, a equação de Schrödinger relaciona derivadas temporais e espaciais 
da função de onda. A equação proposta é não relativística e, portanto, só pode ser 
aplicado a sistemas não relativísticos. Uma equação relativística só foi introduzida 
três anos depois por Dirac, em 1928. 
 Para construir sua equação, Schrödinger partiu da solução conhecida, 
a onda eletromagnética que representava a propagação de fótons. Assim, o campo 
eletromagnético ε satisfaz a equação da onda clássica 
 
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59
 
2
2
22
2 1
t
ε
c
=
x
ε
∂
∂
∂
∂ . (5.1) 
Como vimos anteriormente, a onda eletromagnética é dada como um função 
do tipo seno ou cosseno, supondo ( )ωtkxε=ε −cos0 , em que λ=k /1 e πν=ω 2 e as 
respectivas derivadas segundas são dada por: 
( ) εω=ωtkxεω=
t
ε 2
0
2
2
2
cos −−−
∂
∂ , (5.2) 
 
( ) εk=ωtkxεk=
x
ε 2
0
2
2
2
cos −−−
∂
∂ . (5.3) 
A solução da equação (5.1) implica que 
2
2
2
c
ω
=k e kc=ω , (5.4) 
 se substituirmos nas equações de De Broglie para o momento e a energia, 
encontraremos que pc=E , que é exatamente a energia de um fóton. Schrödinger se 
fixou nessa proporção entre a frequência e o número de onda, e buscou determiná-
la no caso de uma onda de matéria. Nesse caso, partindo de traz pra frente, a 
energia de uma partícula é dada pela energia cinética da partícula e o potencial ao 
qual ela está sujeita: V+
m
p
=E
2
2
,
 
aplicando o postulado de De Broglie temos: 
V+
m
k²
=ω=hν
2
2
h
h . (5.5) 
Comparando as equações (5.4) e (5.5), vemos que enquanto na primeira ω 
depende linearmente de k, na segunda não, além do potencial que varia 
dependendo do sistema observado. Dessa forma, sabendo que o ω está associado 
à derivada temporal, como mostra a equação (5.2) e k está associado à derivada na 
posição, Schrödinger notou que sua função de onda precisaria ter uma primeira 
derivada no tempo e uma segunda derivada na posição. Ainda, a equação da onda 
deveria ser necessariamente linear na função de onda ( )tx,ψ para que o princípio da 
sobreposição fosse preservado. E, então, Schrödinger propôs a seguinte equação: 
( ) ( ) ( )
t
tx,ψ
i=tx,Vψ+
x
tx,ψ
∂
∂
∂
∂−
h
h
2
22
2m
. (5.6) 
 
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eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
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60
 
A equação de Schrödinger, dessa forma, depende do potencial V(x,t) que age 
sobre o corpo, e portanto, dependo do sistema de forças que atuam a equação (5.6) 
pode ser muito complicada de ser resolvida. Resolver a equação de Schrödinger 
significa encontrar a função de onda ψ(x,t), que para uma dada configuração do 
potencial V satisfaz a relação imposta pela equação (5.6). Podemos perceber que 
uma função de onda senoidal ou cossenoidal, como uma onda eletromagnética, não 
é solução da equação (5.6), pois, ao diferenciar em uma ordem no tempo, a função 
seno passa a ser cosseno e vice-versa (com sinal trocado) e do outro lado da 
equação, ao diferenciar em duas ordens na posição a função seno se mantém seno 
e o cosseno se mantém cosseno, impedindo que exista igualdade entre ambos os 
lados. A função mais simples da equação de Schrödinger, no caso em que o 
potencial é uma constante, é a exponencial complexa )( tkxie ω− , que nada mais é do 
que a forma exponencial da função de onda harmônica, sendo: 
)()cos()( tkxisentkxe tkxi ωωω −+−=− . (5.7) 
 Vamos mostrar que a função de onda )(),( tkxiAetx ωψ −= , sendo A uma 
constante chamada de constante de normalização, é solução de (5.6), para isso 
temos: 
),(
),( )(
txiAei
t
tx tkxi ωψωψ ω −=−=
∂
∂ − , (5.8) 
( ) ),(),( 2)(2
2
2
txkAeik
x
tx tkxi ψψ ω −==
∂
∂ − . (5.9) 
Substituindo em (5.6), para o caso em que o potencial é constante 0),( VtxV = , 
obtemos: 
)()(
0
)(2
2
)()(
2
tkxitkxitkxi
AeiiAeVAek
m
ωωω ω −−− −−=+−− hh , (5.10) 
em que podemos cortar a constante A e as exponenciais, tal que 
ωhh =+ 0
22
2
V
m
k
, (5.11) 
é uma equação para a energia da partícula exatamente igual a (5.5) obtida a 
partir do postulado de De Broglie. Dessa forma, provamos que a solução 
exponencial complexa é solução da equação de Schrödinger. É fundamental notar 
que com essa característica a função de onda pode assumir valores complexos, isso 
 
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61
 
significa que ela não pode ser mensurável diretamente, já que apenas grandezas 
reais são mensuráveis diretamente. Essa qualidade da função de onda foge da 
convenção clássica em que podemos desenhar e visualizar as trajetórias de objetos. 
Agora, podemos desenhar as possíveis trajetórias, se soubermos a função de onda, 
mas não podemos medir o valor dessa função em cada posição do espaço-tempo. 
Isso está de acordo com o que discutimos no capítulo 3, na ocasião em discutimos o 
princípio da incerteza de Heisenberg. 
Como vimos no capítulo 3, embora não seja possível medir a posição, 
podemos calcular a probabilidade de a partícula estar em um dado estado (posição 
espaço-tempo) com uma dada energia 
dxtxdxtxtxdxtxP
2
),(),(),(*),( ψψψ == , (5.12) 
sendo ψ*(x,t) o complexo conjugado de ψ(x,t). P(x,t) é chamada de função 
densidade de probabilidade, por definição de probabilidade a soma sobre todos os 
estado possíveis deve ser um 
1),(),(* =∫
∞
∞−
dxtxtx ψψ . (5.13) 
A equação (5.13) é chamada de condição de normalização, que definia a 
constante de normalização A, tal que a condição de probabilidade seja satisfeita. 
 
5.2 Condições que a função de onda deve satisfazer 
A forma da função, como vimos, irá depender do potencial V(x,t) que pode 
assumir diferentes valores, inclusive ter valores descontínuos, que são resolvidos de 
forma separada por região e depois se faz o limite, no qual a função nas 
intersecções devem ser idênticas. Dado que a probabilidade de encontrar a partícula 
em um dado estado, não pode ser descontínua, afinal é a probabilidade, a função de 
onda ψ(x,t), não pode serdescontínua. Mas, segundo a equação de Schrödinger, 
temos uma segunda derivada em (5.6), isso significa que a primeira derivada 
também deve ser contínua e, portanto, não é possível que existam variações 
bruscas no gráfico da função de onda. A última condição imposta à função de onda 
é que ela tenda a zero, quando ±∞→x , de maneira rápida, o suficiente para 
preservar a normalização. 
 
 
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62
 
5.3 Aplicações da equação de Schrödinger 
A equação de Schrödinger se aplica a sistemas simples, como o caso de uma 
partícula confinada em um poço quadrado ou infinito, o átomo de hidrogênio, o 
oscilados harmônico, uma partícula sujeita a uma fora, do tipo mola. No entanto, 
para mais de uma partícula e estados de energia mais altos, a não consideração de 
efeitos relativísticos começa a descolar a observação do fenômeno a sua descrição 
teórica. 
Para desenvolver contas usando a equação de Schrödinger, é necessário um 
domínio matemático de solução de equações diferencias de segunda ordem, o que 
não cabe desenvolver neste trabalho. 
 
5.4 A mudança do paradigma Clássico para o Quântico 
Recapitulando um pouco a discussão que se iniciou na introdução desta 
apostila, as propostas de Schrödinger e Heisenberg estabeleceram um marco 
importante na mudança do paradigma clássico para o quântico. Essa transição não 
foi suave, como ficou evidente em todo o processo, ela buscou diferentes caminhos 
e, até por isso, teve duas formulações distintas. Os conceitos de massa da partícula 
são diferentes, na mecânica clássica temos a massa inercial, na quântica temos a 
massa de repouso, que seria a massa considerada quando a partícula estivesse 
parada. O conceito de trajetória também é radicalmente modificado e o 
determinismo da lugar a um mundo de possibilidade pesadas com probabilidades. 
Uma lei fundamental da mecânica quântica define: tudo o que não é proibido, é 
obrigatório. O que significa que todas as possibilidades de estados e energias que 
não são proibidos por lei de conservação ou analiticidade da função, devem ser 
considerados como estados possíveis. 
A mecânica Quântica avançou muito nos últimos anos e novas teorias foram 
sendo desenvolvidas acompanhando o estudo sobre a matéria, na década de 60, 
descobriu-se que o núcleo era constituído por partículas ainda menores que os 
prótons e nêutrons, os quarks. A figura 5.1 é uma imagem interessante, que 
funciona como uma analogia ao desenvolvimento do entendimento da matéria. À 
medida em que desenvolvemos a teoria, os experimentos passam a ser mais 
sofisticados, e por sua fez conseguimos colidir partículas com energias mais altas e, 
 
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63
 
então, novas evidências teóricas surgem. A charge representada na figura 5.1, faz 
uma alusão ao desenvolvimento da física de partículas, teoria que teve início em 
1964, com a descoberta de que os prótons e nêutrons eram formados por elementos 
ainda menores, os quarks. Mas, eles, até hoje, os quarks, nunca foram observados 
diretamente nos grandes laboratórios, apenas foram observadas outras partículas 
que são compostas por eles. A charge é provocativa ao sugerir que com os novos 
laboratórios que temos hoje, quase em funcionamento, iríamos jogar uma energia 
tão grande sobre as partículas (na figura o canhão) que, então, quem sabe, 
poderíamos observar os quarks. Mas, isso é só para mostrar que muita coisa foi 
desenvolvida a partir da mecânica quântica. A mecânica quântica que descrevemos 
neste trabalho é apenas a pontinha de uma sucessão de várias teorias quânticas 
que descrevem os diferentes estados da matéria na escala abaixo de um Fermi. 
 
 
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64
 
 
 
 
Figura 5.1 : Uma charge sobre a evolução dos aceleradores na física de 
partículas20. 
 
20 Charge retirada de D. Griffiths, “Introduction to elementary Particles”, John Wiley&Sons Inc., 
1987. 
 
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