Relatorio-das-atividades-do-pibid---2-semestre-Luana-e-Kaline

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN 
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ – CERES 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS – DCEA 
PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO Á DOCÊNCIA 
(PIBID) 
 
 
 
 
KALINE ARAÚJO DA SILVA 
LUANA GONÇALVES DE LIMA 
 
 
 
 
 
SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014 
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAICÓ/RN 
2014 
2 
 
 
KALINE ARAÚJO DA SILVA 
LUANA GONÇALVES DE LIMA 
 
 
 
SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014 
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS 
 
 
 
Relatório apresentado à coordenadora 
Maroni Lopes do curso Matemática, 
referente às atividades desenvolvidas no 2º 
semestre pelo PIBID na turma do 8º ano do 
turno vespertino da Escola Estadual Zuza 
Januário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAICÓ/RN 
2014 
3 
 
 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO..........................................................................................4 
2. ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA.............................5 
ANEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
INTRODUÇÃO 
 Neste relatório anexaremos as atividades realizadas pelo Programa de 
Iniciação à Docência - PIBID de matemática durante o período de 15 de agosto 
de 2014 até 5 de dezembro de 2014 na turma do 8º ano vespertino da Escola 
Estadual Zuza Januário. O trabalho foi uma revisão de todo o assunto dado pela 
Professora Supervisora Marcilene, tendo como conteúdos apresentados: 
Produtos notáveis, fatoração, frações algébricas (simplificação, operações de 
adição, subtração, multiplicação e divisão) e sistemas de equações. Com o 
intuito de reforçar a aprendizagem e melhorar o rendimento escolar dos alunos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
A expressão algébrica (a+b)² apresenta uma soma de dois termos, a+b, elevada 
ao quadrado – por isso é denominada o quadrado da soma de dois termos. 
Mas podemos formar a resposta sem precisar ficar multiplicando termo a 
termo. Por isso, dizemos que é um produto notável. 
Quadrado da Soma de Dois Termos 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do 
segundo termo: 
 
Exemplos 
 
 
 
Quadrado da Diferença de Dois Termos 
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, 
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do 
segundo termo: 
 
Exemplos 
 
 
 
Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos 
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo menos o quadrado do segundo termo: 
 
Exemplos 
 
 
 
 
6 
 
 
EXERCICIOS 
1- Calcule: 
a) (2x + 1)² 
b) (a + 5)² 
c) (a + 10)² 
d) (2a + 5)² 
e) (a + 2b)² 
f) (5a + 3b)² 
g) (2a + 9)² 
h) (3x + 2y)² 
i) (2xy + 4)² 
j) (x + ½)² 
k) (2a + 10)² 
l) (5x -3y)² 
m) (5a – 3b)² 
n) (3a – 2b)² 
 
2- Calcule os produtos: 
a) (x +1)(x+1) 
b) (a + 5)(a - 5) 
c) (3b + 7)(3b – 7) 
d) (x² + 2)(x² - 2) 
e) (3 – ab)(3 + ab) 
f) (3x – 2y)(3x + 2y) 
j) (7x + 6)(7x – 6) 
k) (3x² - 4)(3x² + 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
3- Resolva as expressões algébricas: 
a) (x + y)2 – 2xy = 
b) (5 – 2z)2 – (25 +10z) = 
c) (3x+1)2 + (3x-1)2 – 2 = 
d) (2 – 2x)2 + (3 – 2x)2 – 2(x – 3) = 
e) (x – 3)(x + 3) – x(x – 3y) = 
f) (5a + 3)2 + (5a - 3)2 – 2(a + 5) = 
g) (2x – 3)2 + (x – 5)(x + 5) – (x + 4)2 = 
h) (a - 1)² + a(3a + 2) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
FATORAÇÃO 
Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números 
primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os 
números 2 * 2 * 3 * 3. 
Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto 
entre outros polinômios. As fatorações mais conhecidas são: fator comum em 
evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e 
trinômio soma e produto. 
Fator comum em evidência. 
Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos 
termos que formam o polinômio. Observe: 
 
 No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será 
o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original. 
 
 
Exemplos: 
x² + 2x → x * (x + 2) 
x² : x = x 
2x : x = 2 
 
4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1) 
4x³ : 2x² = 2x 
2x : 2x = 1 
 
16x² + 8 → 8 * (2x² + 1) 
16x² : 8 = 2x² 
8 : 8 = 1 
 
Fatoração por Agrupamento 
Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo 
em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. 
Exemplo: 
2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3. 
2yx – x → x * (2y – 1) 
–6y + 3 → –3 * (2y – 1) 
2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1) 
9 
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
A simplificação de frações é feita dividindo o numerador e o denominador pelo 
mesmo número, isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma 
fração mais simples e equivalente. Observe os exemplos: 
 
 
 
 
Com base nesse mesmo procedimento, simplificamos frações algébricas que apresentam 
fatores em comum. Veja exemplos: 
 
 
 
24𝑥4𝑦³𝑧
18𝑥²𝑦4
= 
2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧
2 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦 ∗ 𝑦
=
2 ∗ 2 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑧
3 ∗ 𝑦
=
4𝑥²𝑧
3𝑦
 
 
Para serem desenvolvidas, algumas simplificações requerem, primeiramente, o 
uso de técnicas de produtos notáveis e fatoração. 
 
Fator comum em evidência 
 
𝑥² + 𝑥
2𝑥 + 2
=
𝑥(𝑥 + 1)
2(𝑥 + 1)
=
𝑥
2
 
Diferença entre dois quadrados 
 
10 
 
 
 
Agrupamento e fator comum em evidência 
 
 
Trinômio quadrado perfeito 
 
 
Efetuando operações antes de simplifica 
 
 
Exercícios 
1 - Simplifique as frações algébricas: 
a) 12x/15 = 
b) 12m/6a = 
c) 8x/10x² = 
d) 4x³/10xy = 
e) 4x⁴a/6x³ = 
f) 6a⁵/7a³x = 
g) 8ay/2xy³ = 
h) 4x²y/10xy³ = 
i) 8am/-4am = 
j) -14x³c/2x = 
k) 64a³n²/4an² = 
2 – Simplifique as frações utilizando a técnica de fator comum em evidência: 
a) (3a – 3b)/12 = 
b) (2x + 4y)/2a = 
c) (3x – 3)/(4x – 4) = 
d) (3x – 3)/( 3x + 6) = 
e) (5x + 10)/5x = 
f) (8x – 8y)/(10x – 10y) = 
g) (3a + 3b)/(6a + 6b) = 
h) (15x² + 5x)/5x = 
i) (6x – 6y)/(3x – 3y) = 
j) (18x – 18)/(15x – 15) = 
k) (x² - x)/(x – 1) = 
l) (2x + 2y)/6 = 
11 
 
 
 
FRAÇÕES ALGÉBRICAS são aquelas em que aparecem incógnitas no denominador. 
Só podemos adicionar ou subtrair frações algébricas de mesmo denominador, caso 
elas possuam denominadores diferentes, precisaremos igualá-los. 
Denominadores iguais 
Para adicionarmos/subtrairmos frações de mesmo denominador, conservamos o 
denominador comum e adicionamos/subtrairmos os numeradores. 
Exemplos: 
 
 
Denominadores diferentes 
Se os denominadores forem diferentes, reduzimos ao menor denominador comum, 
determinando o m.m.c. e efetuamos as operações seguintes do mesmo modo quando 
somamos ou subtraímos frações com denominadores diferentes. 
Exemplo 1: 
 
M.m.c. (3, a, 4a²) = 12a² 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Exemplo3: 
3/(x-2) + 5/(x + 2) 
 
Temos m.m.c. = (x – 2) ( x + 2) 
3/(x-2)+5/(x + 2) = 
3(x +2) / (x – 2) ( x + 2) + 5(x - 2) / (x – 2) ( x + 2) = 
3x + 6 + 5x -10 /(x – 2) ( x + 2) = 
8x -4/ (x – 2) ( x + 2) 
Exemplo 2: 
 
Exercícios 
1 – Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores iguais: 
a) 
y
2x 
+ 
1
2x
= 
b) 
12c
a
+ 
3−5c
a
= 
c) 
3
x²y
 + 
2
x²y
 = 
d) 
3x
y
+
2x
y
= 
e) 
4x+1
2x
−
2x+2
2x
= 
f) 
5
x
+
7
x
= 
g) 
a+b
a²b
+
2a+b
a²b
= 
13 
 
 
h) 
m+1
x
−
4
x
= 
i) 
a−1
b
−
2a−1
b
= 
j) 
a+b²
x−y
−
b2−a
x−y
= 
k) 
4
m
−
1
m
= 
l) 
9ab²
+
a
b²
= 
m) 
y−1
a+3
−
y+5
a+3
= 
n) 
3x−1
a
+
3x+2
a
= 
o) 
2x+3
b
−
3x+1
b
= 
p) 
a−5
2a
+
4
2a
= 
q) 
x
x+y
−
3x
x+y
= 
2- Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores diferentes: 
a) 10/x – 25/3x = 
b) 5y/3x + 3y/2x = 
c) 3/2x² - 8/x = 
d) 5/yx – x/3y = 
e) (a + 3)/4m + 1/2m = 
f) (6x + 13)/2y + (x + 3) 3y = 
g) 4 / (x + 1) + 2 /(x – 1) = 
h) 4/x + 5/(x -2) = 
i) 1/(x -3) – 6/ (x² - 9)= 
j) (3x + 2) / (x² - 4) – 4 / (x + 2) = 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES NUMÉRICAS 
Multiplicação 
A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por 
numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe: 
14 
 
 
 
 
Divisão 
A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz: 
“repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda”. 
 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
Multiplicação 
Para multiplicar frações algébricas, multiplique os numeradores entre si e os 
denominadores também entre si. 
Exemplos: 
a/b . x/y = ax/by 
3a /x . 7/5y = 21a /5xy 
2x/5c . 4x² /3c = 8x³/15c² 
(x + y)/ 4b . (x – y)/ m = (x² - y²) / 4bm 
Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos cancelá-
los antes de efetuar a multiplicação. 
Exemplos: 
a/3x . 2x/5 = 2a /15 
(3x – 2) / 5 . 7a / (3x -2) = 7a / 5 
Divisão 
15 
 
 
Para dividir frações algébricas, conserve a primeira fração e divida-a pelo inverso da 
segunda. 
Exemplos: 
2x/a : 3m/5c = 2x/a . 5c/3m = 10cx/3am 
5x²/ 3a : 7b/2x = 5x²/3a . 2x/7b = 10x³/21ab 
a/(x + y) : m/(x + y) = a/(x + y) . (x +y)/m = a/m 
 
EXERCÍCIOS 
1) Efetue as multiplicações de frações algébricas: 
a) 3 a / x . y/2 = 
b) 2x/5 . 4a/x = 
c) 3/a .5y/y = 
d) 2 a/x . 5b / y = 
e) 7 a /m² . 2 a/5m = 
f) m/x² . 6a³/7x= 
g) 3x/2y . x²/4 = 
h) 3xy/5 a . 2x³ / a²y = 
i) 5x²/3y . 2x / y³ = 
j) 4 / (x + y) . ( x + y ) / 5 = 
k) 1 / (x – y) . 1 /(x + y) = 
l) ( x + 1) / ( x – 5) . ( x – 1) / ( x + 5) = 
m) 8m / ( m -1) . m / (m + 1) = 
n) ( x² - 9) / 5 . 10/(x – 3) = 
2) Calcule as divisões de frações algébricas: 
a) 2a/ b : x/y = 
b) 3x/4 : 5y/7 = 
c) 3x/2 : 6x²/4 = 
d) 2y/x : 10x/3y= 
f) 2a / 3x² : 5a² / 9xy = 
g) x/2 : 5x²/8 = 
h) 2x³/ y² : 4x / y⁵ = 
i) (x + 1) /5x : a / (x -1) = 
j) am/(x + y) : m/( x + y) = 
k) ( x² - 1) / (5x + 5) : ( 5x – 5)/ (x + 1) = 
16 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras 
com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. 
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 
1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo: 
 
 
 
Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois 
métodos para a sua solução. 
 
Esses dois métodos são: Substituição e Adição. 
 
 
Método da substituição 
 
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e 
substituir na outra equação, veja como: 
 
 
Dado o sistema , enumeramos as equações. 
 
 
 
Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: 
 
x + y = 20 
17 
 
 
 
x = 20 – y 
 
Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 
 
3x + 4 y = 72 
 
3 (20 – y) + 4y = 72 
 
 60-3y + 4y = 72 
 
 -3y + 4y = 72 – 60 
 
 y = 12 
 
Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação 
x = 20 – y. 
 
x = 20 – y 
 
x = 20 – 12 
 
x = 8 
 
Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) 
 
 
Método da adição 
 
Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das 
incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas 
vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de 
uma das incógnitas seja zero. 
18 
 
 
 
Dado o sistema: 
 
Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que 
multiplicar a primeira equação por – 3. 
 
 
Agora, o sistema fica assim: 
 
 
Adicionando as duas equações: 
 
 
 - 3x – 3y = - 60 
 
+ 3x + 4y = 72 
 
 y = 12 
 
Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor 
de y encontrado: 
 
x + y = 20 
 
x + 12 = 20 
 
x = 20 – 12 
19 
 
 
 
x = 8 
 
Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). 
 
Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será 
sempre o mesmo. 
 
Exercícios 
1- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da adição: 
a) 





2372
1352
yx
yx
 
b) 





642
94
yx
yx
 
c) 





1316
10216
sr
sr
 
d) 





625
627
nm
nm
 
e) 





ab
ba
35
313
 
2- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da 
substituição: 
a) 





1727
2154
yx
yx
 
b) 





3235
853
ba
ba
 
c) 





1054
1269
nm
nm
 
d) 





2437
5112
qp
qp
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXOS 
 
 
21 
 
 
 
 
 
Gincana realizada por todos os PIBIDs que atuam na EEZJ – 17/10/2014 
22 
 
 
 
Alunos do PIBID-Matemática resolvendo exercícios propostos em sala de aula – 
07/11/2014