Sistema de Coordenadas Tridimensionais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
Sistema de Coordenadas Tridimensionais 
 
Como localizarmos e representarmos um ponto qualquer no espaço em que vivemos? 
Uma das formas mais comuns que utilizamos é o Sistema de Coordenadas Tridimensionais, 
uma vez que nossa percepção de espaço nos permite distinguir largura, altura e profundidade. 
Fixemos um ponto qualquer do espaço. Chamaremos este ponto de origem e 
representaremos por 𝑂. Por ele faremos passar três retas orientadas e perpendiculares entre si 
que receberão o nome de eixos coordenados. Normalmente denotamos estes eixos por 𝑥, 𝑦 e 𝑧. 
Eles recebem, respectivamente, o nome de eixo das abscissas, eixo das ordenadas e eixo das 
cotas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O plano que contém os eixos 𝑥 e 𝑦 será conhecido por 𝑥𝑦, o que contém 𝑥 e 𝑧 por 𝑥𝑧, o 
que contém 𝑦 e 𝑧 por 𝑦𝑧 e serão chamados de planos coordenados. 
 
Plano 𝑥𝑦 Plano 𝑥𝑧 Plano 𝑦𝑧 
 
 Juntos, os planos coordenados dividem o espaço em oito regiões conhecidas como 
octantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja 𝑃 um ponto qualquer do espaço. Se |𝑎| é a distância de 𝑃 ao plano 𝑦𝑧, |𝑏| é a 
distância até o planos 𝑥𝑧 e |𝑐| é a distância até o plano 𝑥𝑦, representamos 𝑃 pela tripla ordenada 
(𝑎, 𝑏, 𝑐) de números reais. Os números 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são chamados de coordenadas de 𝑃 e são 
referentes, respectivamente, aos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: O ponto 𝐴(2, 3, 5) está representado abaixo. Uma caixa retangular nos ajuda a 
localizar o ponto. Ele se encontra no primeiro octante. 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto 𝐵(−1, 2, −4) está no sexto octante e pode ser visto na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Dado o ponto 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐), os pontos (𝑎, 𝑏, 0), (0, 𝑏, 𝑐) e (𝑎, 0, 𝑐) são denominados 
projeções de 𝑃 no plano 𝑥𝑦, 𝑦𝑧 e 𝑥𝑧, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O produto cartesiano ℝ × ℝ × ℝ = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ} é o conjunto das triplas 
ordenadas de números reais e é denotado por ℝ3. 
 Existe uma correspondência biunívoca entre pontos 𝑃 do espaço e as triplas ordenadas 
do ℝ3, a qual chamamos de sistema de coordenadas retangulares (ou cartesiano) tridimensional. 
 
Exemplo 2: A mesma equação pode representar diferentes figuras a depender de se ela 
representa algo na reta, no plano ou o espaço. Podemos ver o caso em que 𝑥 = 3. Na reta, esta 
equação representa um número. 
 
 
 
 No plano, uma vez que não faz nenhuma referência aos valores de 𝑦 entendemos que 
qualquer um pode ser assumido. Assim, 𝑥 = 3 no plano representa uma reta paralela ao eixo 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 No espaço, a mesma equação representa um plano perpendicular ao eixo 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Definição: A distância |𝑃1𝑃2| entre os pontos 𝑃1 (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑃2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) é 
|𝑃1𝑃2| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2. 
 
Exemplo 3: A distância entre os pontos 𝐴(2, −1, 7) e 𝐵(−3, 4, 2) é dada por 
|𝐴𝐵| = √(−3 − 2)2 + (4 − (−1))
2
+ (2 − 7)2 = √(−5)2 + 52 + (−5)2 
= √25 + 25 + 25 = √75 = 5√3. 
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Texto baseado em 
 STEWART, J., Cálculo, V.2. Ed. Thomson Pioneira, 2010.