Aula 3 - Eletrônica Digital

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GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD 
CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA 
DISCIPLINA: ELETRÔNICA DIGITAL 
 
 
 
3. ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓ-
GICOS 
Como vimos na aula anterior, os circuitos lógicos para executar uma determi-
nada função podem se tornar grandes e complexos, no entanto, geralmente esses 
circuitos obtidos podem ser simplificados e reduzidos, mantendo-se a mesma função 
lógica. Para entrar no estudo da simplificação dos circuitos lógicos, é preciso fazer um 
breve estudo da álgebra de Boole. 
3.1. VARIÁVEIS E EXPRESSÕES NA ÁLGEBRA DE BOOLE 
As variáveis booleanas são representadas por letras, podendo assumir apenas 
dois valores distintos: 0 ou 1. 
 
3.2. POSTULADOS DA COMPLEMENTAÇÃO 
Este postulado mostra como são as regras da complementação na álgebra de 
Boole. De acordo com este postulado 𝑨 é o complemento de 𝑨. 
Por meio do postulado da complementação, podemos estabelecer a seguinte 
identidade: 𝑨 = 𝑨. 
AULA 3 
Observação: 
A álgebra de Boole, por meio de seus postulados, fornece proprieda-
des, teoremas fundamentais e identidades, sobre as quais efetuamos as 
mencionadas simplificações lógicas. 
 
Na álgebra de Boole estão todos os fundamentos da eletrônica digital. 
Expressão booleana é a sentença matemática composta de termos cujas variá-
veis são booleanas, podendo assumir como resultado final 0 ou 1. 
1. Se: 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1 
2. Se: 𝐴 = 1 → 𝐴 = 0 
 
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3.3. POSTULADO DA ADIÇÃO 
Este postulado mostra como são as regras da adição na álgebra de Boole. De 
acordo com este postulado: 
Por meio do postulado da adição, podemos estabelecer as seguintes identida-
des: 
 
Se: 𝐴 = 1, temos: 𝐴 = 0 e se: 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1. 
Se: 𝐴 = 0, temos: 𝐴 = 1 e se: 𝐴 = 1 → 𝐴 = 0. 
Observação: 
O bloco lógico que executa o postulado da complementação é o inversor 
(porta lógica NOT). 
 
1. 0 + 0 = 0 
2. 0 + 1 = 1 
3. 1 + 0 = 1 
4. 1 + 1 = 1 
𝑨 + 𝟎 = 𝑨 
A pode ser 0 ou 1. Logo temos as possibilidades: 
𝐴 = 0 → 0 + 0 = 0 
𝐴 = 1 → 1 + 0 = 1 
Observe que o resultado será sempre igual à variável A. 
Observação: 
O bloco lógico que executa o postulado da complementação é o inversor 
(porta lógica NOT). 
 
𝑨 + 𝟏 = 𝟏 
A pode ser 0 ou 1. Logo temos as possibilidades: 
𝐴 = 0 → 0 + 1 = 1 
𝐴 = 1 → 1 + 1 = 1 
Observe que se somarmos 1 a uma variável, o resultado sempre será 1. 
𝑨 + 𝑨 = 𝟏 
A pode ser 0 ou 1. Logo temos as possibilidades: 
𝐴 = 0 → 𝐴 = 1 → 0 + 1 = 1 
𝐴 = 1 → 𝐴 = 0 → 1 + 0 = 1 
Observe que se somarmos uma variável ao seu complemento, teremos sempre o 
resultado 1. 
 
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3.4. POSTULADO DA MULTIPLICAÇÃO 
Este postulado mostra como são as regras da multiplicação na álgebra de 
Boole. De acordo com este postulado: 
Por meio do postulado da multiplicação, podemos estabelecer as seguintes 
identidades: 
 
𝑨 + 𝑨 = 𝑨 
A pode ser 0 ou 1. Logo temos as possibilidades: 
𝐴 = 0 → 0 + 0 = 0 
𝐴 = 1 → 1 + 1 = 1 
Observe que se somarmos a mesma variável, o resultado será ela mesma. 
Observação: 
O bloco lógico que executa o postulado da adição é a porta lógica OU 
(OR). 
 
1. 0 . 0 = 0 
2. 0 . 1 = 0 
3. 1 . 0 = 0 
4. 1 . 1 = 1 
𝑨 . 𝟎 = 𝟎 
A pode ser 0 ou 1. Logo temos as possibilidades: 
𝐴 = 0 → 0 . 0 = 0 
𝐴 = 1 → 1 . 0 = 0 
Observe que todo número multiplicado por 0 tem o resultado 0. 
𝑨 . 𝟏 = 𝑨 
A pode ser 0 ou 1. Logo temos as possibilidades: 
𝐴 = 0 → 0 . 1 = 0 
𝐴 = 1 → 1 . 1 = 1 
Observe que se multiplicarmos por 1, o resultado sempre será A. 
𝑨 . 𝑨 = 𝑨 
A pode ser 0 ou 1. Logo temos as possibilidades: 
𝐴 = 0 → 0 . 0 = 0 
𝐴 = 1 → 1 . 1 = 1 
Observe que se multiplicarmos uma variável por ela mesmo, os resultados sem-
pre serão iguais a A. 
 
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3.5. PROPRIEDADE COMUTATIVA 
Esta propriedade é válida tanto na adição como na multiplicação e determina 
que a ordem das variáveis na expressão não altera o resultado. 
 
3.6. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA 
Esta propriedade é válida tanto na adição como na multiplicação e determina 
que a ordem em que as variáveis estão agrupadas não altera o resultado da soma ou 
do produto. 
 
3.7. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA 
Esta propriedade determina que a multiplicação de uma variável por uma 
soma é igual à soma dos resultados das multiplicações dessa variável por cada uma 
das variáveis, dentro dos parênteses, separadamente. 
 
𝑨 . 𝑨 = 𝟎 
A pode ser 0 ou 1. Logo temos as possibilidades: 
𝐴 = 0 → 𝐴 = 1 → 0 . 1 = 0 
𝐴 = 1 → 𝐴 = 0 → 1 . 0 = 0 
Observe que se multiplicarmos uma variável pelo seu complemento, o resultado 
da expressão sempre será 0. 
Observação: 
O bloco lógico que executa o postulado da multiplicação é a porta lógica 
E (AND). 
 
Adição: 
𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 
Multiplicação: 
𝐴 . 𝐵 = 𝐵 . 𝐴 
 
Adição: 
𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 
Multiplicação: 
𝐴 . (𝐵 . 𝐶) = (𝐴 . 𝐵) . 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶 
Exemplo: 
𝐴 . (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶 
 
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3.8. 1º Teorema de De Morgan 
Os teoremas de De Morgan são muito úteis na simplificação de circuitos lógi-
cos. O primeiro teorema de De Morgan determina que o complemento do produto é 
igual à soma dos complementos: 
(𝑨 . 𝑩) = 𝑨 + 𝑩 
Para comprovar este teorema, montaremos a tabela-verdade de cada membro 
e compararemos os resultados: 
 
 
 
 
 
Podemos notar a igualdade entre ambas colunas. 
3.9. 2º Teorema de De Morgan 
Este teorema é uma extensão do primeiro, onde podemos reescrevê-lo da se-
guinte maneira: 
(𝐴 . 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) → 1º 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 
Se substituirmos 𝐴 por 𝑋 e 𝐵 por 𝑌, temos: 
𝑋 . 𝑌 = (𝑋 + 𝑌) 
Reescrevendo, em termos de A e B, temos: 
𝑨 . 𝑩 = (𝑨 + 𝑩) → 𝟐º 𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 
O segundo teorema de De Morgan determina que o complemento da soma é 
igual ao produto dos complementos: 
Para comprovar este teorema, montaremos a tabela-verdade de cada membro 
e compararemos os resultados: 
 
 
 
 
𝑨 . 𝑩 
1 
1 
1 
0 
A B 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
𝑨 + 𝑩 
1 
1 
1 
0 
A B 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
𝑨 . 𝑩 
1 
0 
0 
0 
(𝑨 + 𝑩) 
1 
0 
0 
0 
Tabela 17: Tabela-verdade do 1º Teorema de De Morgan 
O 1º Teorema de De Morgan pode ser estendido para “N” variáveis: 
(𝐴 . 𝐵 . 𝐶 . … 𝑁) = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + ⋯ + 𝑁 
Tabela 18: Tabela-verdade do 2º Teorema de De Morgan 
 
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Podemos notar a igualdade entre ambas colunas. 
3.10. IDENTIDADES AUXILIARES 
Deduziremos a seguir três identidades muito úteis na simplificação de expres-
sões booleanas e circuitos lógicos. 
 
Para provar a validade desta identidade,devemos utilizar a propriedade distri-
butiva, colocando em evidência no 1º termo a variável A: 
𝐴 . (1 + 𝐵) = 𝐴 
A partir do postulado da adição, sabemos que: 1 + 𝐵 = 1; logo: 
𝐴 . (1) = 𝐴 
Confirmando, portanto, que: 𝑨 + 𝑨 . 𝑩 = 𝑨. 
 
Para provar a validade desta identidade, devemos utilizar a propriedade distri-
butiva, dessa forma temos: 
(𝐴 + 𝐵) . (𝐴 + 𝐶) = 𝐴 . 𝐴 + 𝐴 . 𝐶 + 𝐴 . 𝐵 + 𝐵 . 𝐶 
A partir do postulado da multiplicação, sabemos que: 𝐴 . 𝐴 = 𝐴; logo: 
= 𝐴 + 𝐴 . 𝐶 + 𝐴 . 𝐵 + 𝐵 . 𝐶 
Utilizando novamente a propriedade distributiva: 
= 𝐴 . (1 + 𝐶 + 𝐵) + 𝐵 . 𝐶 
Sabendo que pelo postulado da soma 1 + 𝑋 = 1 e que pelo postulado da mul-
tiplicação 𝐴 . 1 = 𝐴, temos que: 
= 𝐴 . (1) + 𝐵 . 𝐶 → = 𝐴 + 𝐵 . 𝐶 
Logo confirmamos que: (𝑨 + 𝑩) . (𝑨 + 𝑪) = 𝑨 + 𝑩 . 𝑪. 
Sabendo que: 𝑋 = 𝑋; temos: 
O 2º Teorema de De Morgan pode ser estendido para “N” variáveis: 
(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + ⋯ + 𝑁) = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶. … . 𝑁 
1ª Identidade: 
𝑨 + 𝑨 . 𝑩 = 𝑨 
2ª Identidade: 
(𝑨 + 𝑩) . (𝑨 + 𝑪) = 𝑨 + 𝑩 . 𝑪 
3ª Identidade: 
𝑨 + 𝑨 . 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 
 
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𝐴 + 𝐴 . 𝐵 = (𝐴 + 𝐴 . 𝐵) 
Utilizando o 2º teorema de De Morgan: (𝑿 + 𝒀) = 𝑿 . 𝒀, temos: 
= [𝐴 . (𝐴 . 𝐵)] 
Utilizando o 1º teorema de De Morgan: (𝑿 . 𝒀) = 𝑿 + 𝒀, temos: 
= [𝐴 . (𝐴 + 𝐵)] 
Aplicando a propriedade distributiva e sabendo que: 𝐴 . 𝐴 = 0, temos: 
= [𝐴 . 𝐴 + 𝐴 . 𝐵] → = (𝐴 . 𝐵) 
Utilizando novamente o 1º teorema de De Morgan: (𝑿 . 𝒀) = 𝑿 + 𝒀, temos: 
= (𝐴 . 𝐵) = (𝐴 + 𝐵) 
Logo confirmamos que: 𝑨 + 𝑨 . 𝑩 = 𝑨 + 𝑩. 
A seguir temos o quadro resumo das principais funções lógicas: 
POSTULADOS 
COMPLEMENTAÇÃO ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO 
𝑨 = 𝟎 → 𝑨 = 𝟏 
𝑨 = 𝟏 → 𝑨 = 𝟎 
0 + 0 = 0 
0 + 1 = 1 
1 + 0 = 1 
1 + 1 = 1 
0 . 0 = 0 
0 . 1 = 0 
1 . 0 = 0 
1 . 1 = 1 
IDENTIDADES 
COMPLEMENTAÇÃO ADIÇÃO MULTIPLICAÇÃO 
𝑨 = 𝑨 
𝐴 + 0 = 𝐴 
𝐴 + 1 = 1 
𝐴 + 𝐴 = 𝐴 
𝐴 + 𝐴 = 1 
𝐴 . 0 = 0 
𝐴 . 1 = 𝐴 
𝐴 . 𝐴 = 𝐴 
𝐴 . 𝐴 = 0 
PROPRIEDADES 
COMUTATIVA ASSOCIATIVA DISTRIBUTIVA 
𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨 
𝑨 . 𝑩 = 𝑩 . 𝑨 
𝐴 + (𝑩 + 𝐶) = (𝐴 + 𝑩) + 𝐶 = 𝐴 + 𝑩 + 𝐶 
𝐴 . (𝑩 . 𝐶) = (𝐴 . 𝑩) . 𝐶 = 𝐴 . 𝑩 . 𝐶 
𝐴 . (𝑩 + 𝐶) = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶 
TEOREMA de DE MORGAN 
(𝑨 . 𝑩) = 𝑨 + 𝑩 
(𝑨 + 𝑩) = 𝑨 . 𝑩 
IDENTIDADES AUXILIARES 
𝑨 + 𝑨 . 𝑩 = 𝑨 
𝑨 + 𝑨 . 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 
(𝑨 + 𝑩) . (𝑨 + 𝑪) = 𝑨 + 𝑩 . 𝑪 
 
Tabela 19: Quadro resumo dos postulados, propriedades, teoremas de De Morgan e identidades auxiliares 
 
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3.11. SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANAS 
Utilizando todos os conceitos aprendidos anteriormente sobre a álgebra de de 
Boole, podemos simplificar expressões e, consequentemente, circuitos lógicos. 
Como exemplo, simplificaremos a expressão a seguir, utilizando os conceitos 
da álgebra de Boole: 
𝑆 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 
Primeiramente, devemos evidenciar o termo A, dessa forma temos: 
𝑆 = 𝐴(𝐵𝐶 + 𝐶 + 𝐵) 
Podemos, agora, aplicar a propriedade associativa, dessa forma temos: 
𝑆 = 𝐴 [𝐵𝐶 + (𝐶 + 𝐵)] 
Sabendo que: 𝑋 = 𝑋; temos: 
𝑆 = 𝐴 [𝐵𝐶 + (𝐶 + 𝐵)] 
Aplicando o segundo teorema de De Morgan no termo dentro de parênteses, 
temos: 
𝑆 = 𝐴 [𝐵𝐶 + (𝐵𝐶)] 
Pelo postulado da adição, sabemos que 𝑌 + 𝑌 = 1, portanto, aplicando esse 
conceito ao termo “BC”, temos: 
𝑆 = 𝐴 . (1) → 𝑺 = 𝑨 
Observe que anteriormente, para executar a função lógica determinada, preci-
saríamos desenvolver um circuito que utilizaria: duas portas lógicas E com duas en-
tradas; uma porta lógica E com três entradas; duas portas lógicas NOT; uma porta 
lógica OU com três entradas. Após a simplificação percebemos que, neste caso, a 
saída “S” depende exclusivamente da variável “A”, ou seja, ao invés de construirmos 
o circuito citado anteriormente, conseguimos minimizar o circuito de forma que basta 
ligar a saída “S” diretamente à variável “A”, sem utilizar nenhuma porta lógica. 
A seguir, como outro exemplo, simplificaremos a expressão: 
𝑆 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 
Para efetuarmos simplificações, existem basicamente dois processos. O pri-
meiro deles é a simplificação pela álgebra de Boole; o segundo método é a sim-
plificação através da utilização dos mapas de Karnaugh. 
 
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Colocando 𝐴. 𝐶 em evidência nos dois primeiros termos, temos: 
𝑆 = 𝐴 . 𝐶 . (𝐵 + 𝐵) + 𝐴𝐵𝐶 
Sabendo que pelo postulado da adição: 𝐵 + 𝐵 = 1, temos: 
𝑆 = 𝐴 . 𝐶 . (𝐵 + 𝐵) + 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 . 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 → 𝑺 = 𝑨 . 𝑪 + 𝑨𝑩𝑪 
Novamente é possível observar a importância da simplificação das expressões 
booleanas, uma vez que, anteriormente precisaríamos de: três portas lógicas E com 
três entradas; seis portas lógicas NOT; uma porta lógica OU com três entradas; e após 
a simplificação, conseguimos minimizar o circuito, de forma que, necessitaríamos de 
apenas: uma porta lógica E com duas entradas; uma porta lógica E com três entradas; 
três portas lógicas NOT; uma porta lógica OU com duas entradas. 
3.12. MAPAS DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS 
Vimos anteriormente o método de simplificação de expressões booleanas atra-
vés da utilização de postulados, propriedades e identidades da álgebra de Boole. No 
entanto, também percebemos que essa simplificação pode se tornar complexa em 
alguns casos. Para simplificar e facilitar esse processo, estudaremos a simplificação 
de expressões booleanas por meio dos mapas de Karnaugh. 
A seguir, veremos o mapa de Karnaugh para duas variáveis: 
 
 B B 
A 
A 
 
No para encontramos todas as possibilidades assumidas entre as possibilida-
des A e B. 
Curiosidade: 
Mapa de Karnaugh é um método de simplificação criado por Edward 
Veitch no ano de 1952 e aperfeiçoado pelo engenheiro de telecomunicações 
Maurice Karnaugh. 
 
Tabela 20: Exemplo do mapa de Karnaugh para duas variáveis. 
 
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(a) (b) (c) (d) 
Com duas variáveis temos quatro possibilidades: 
 
 
 
 
 
 
Podemos distribuir as quatro possibilidades no mapa de Karnaugh da seguinte 
forma: 
 
 B B 
A 
Caso 0 
A B 
0 0 
Caso 1 
A B 
0 1 
A 
Caso 2 
A B 
1 0 
Caso 3 
A B 
1 1 
 
Logo, podemos perceber que cada linha da tabela-verdade conta com a região 
própria no mapa. 
 B B 
A 
A 
 B B 
A 
A 
 B B 
A 
A 
 B B 
A 
A 
A B 
0 0 → Caso 0 → 𝐴 𝐵 
0 1 → Caso 1 → 𝐴 𝐵 
1 0 → Caso 2 → 𝐴 𝐵 
1 1 → Caso 3 → 𝐴 𝐵 
Tabela 21: Possibilidades do Mapa de Karnaugh 
Observação: 
Regiões do mapa de Karnaugh: 
a) Região em que: 𝑨 = 𝟏. 
b) Região em que: 𝑨 = 𝟎 → (𝑨 = 𝟏). 
c) Região em que: 𝑩 = 𝟏. 
d) Região em que: 𝑩 = 𝟎 → (𝑩 = 𝟏). 
 
Tabela 22: Possibilidades tabela-verdade com duas variáveis 
Tabela 23: Distribuição das possibilidades no mapa de Karnaugh 
 
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Para compreendermos melhor o significado dos conceitos aprendidos, analisa-
remos o exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Utilizando o método desenvolvido na aula anterior, conseguimos obter a ex-
pressão característica da função lógica a partir da sua tabela-verdade. Basta realizar 
a soma booleana dos casos em que a saída (S) é igual a 1, logo temos: 
𝑆 = 𝐴 𝐵 + 𝐴 𝐵 + 𝐴 𝐵 
Passando os casos da tabela verdade para o mapa de Karnaugh, obtemos: 
 
 B B 
A 0 1 
A 1 1 
 
Após a colocação dos valores assumidos pela expressão em cada caso no 
mapa de Karnaugh, efetuaremos as simplificações utilizando o seguinte método: 
 
As regiões em que S é 1, que não puderem ser agrupadas, serão consideradas 
isoladamente. Para um mapa de duas variáveis, os agrupamentos possíveis são os 
seguintes: 
a) Quadra 
A B S 
0 0 0 → Caso 0 → 𝐴 𝐵 
0 1 1 → Caso 1 → 𝐴 𝐵 
1 0 1 → Caso 2 → 𝐴 𝐵 
1 1 1 → Caso 3 → 𝐴 𝐵 
As regiões do mapa de Karnaugh são, portanto, os locais onde devem ser colo-
cados os valores que a expressão assume nas diferentes possibilidades. 
Tabela 24: Tabela-verdade do exemplo 
Tabela 25: Mapa de Karnaugh do exemplo 
Tentaremos agrupar as regiões onde S é igual a 1, no menor número possível 
de agrupamentos e com os agrupamentos com maior número de elementos 
possível. 
 
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Par 2 
Par 1 
Conjunto de quatro regiões, onde S é igual a 1. No mapa de duas variáveis 
é o agrupamento máximo proveniente de uma tabela em que todos os casos 
valem 1. 
 
 B B 
A 1 1 
A 1 1 
 
b) Pares 
Conjunto de duas regiões onde S é 1, as quais têm um lado em comum, ou 
seja, são vizinhas. 
 
 B B 
A 0 0 
A 1 1 
 
 B B 
A 1 0 
A 1 0 
c) Termos isolados 
Regiões em que S é 1, sem vizinhança para agrupamentos. São os prórpios 
casos de entrada sem simplificação. 
 
 B B 
A 0 1 
A 1 0 
 
Para o exemplo que estamos efetuando a simplificação, conseguimos realizar 
os seguintes agrupamentos: 
 
 B B 
A 0 1 
A 1 1 
Tabela 26: Mapa de Karnaugh com quadra 
Tabela 27: Mapa de Karnaugh com pares 
Tabela 28: Mapa de Karnaugh com termos isolados 
Tabela 29: Agrupamentos para o exemplo 
 
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Feito isso, basta escrevermos a expressão de cada par, ou seja, a região que 
o par ocupa no mapa. 
 
O par 1 ocupa a região em que A é igual a 1, então, sua expressão será: 
𝑷𝒂𝒓𝟏 = 𝑨 
O par 2 ocupa a região em que B é igual a 1, então, sua expressão será: 
𝑷𝒂𝒓𝟐 = 𝑩 
Dessa forma, somando os temos obtidos, temos: 
𝑺 = 𝑨 𝑩 + 𝑨 𝑩 + 𝑨 𝑩 → 𝑆 = 𝑃𝑎𝑟1 + 𝑃𝑎𝑟2 → 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 
Como podemos notar, essa expressão simplificada é representada simples-
mente por uma porta OU, isso ocorre porque a tabela-verdade usada como exemplo 
é a mesma da porta OU. 
Outro fato a ser notado é que a expressão obtida é visivelmente menor do 
que a extraída diretamente da tabela-verdade, permitindo a criação de um circuito 
mais simples e diminuindo, consequentemente, a dificuldade de montagem e o 
custo do sistema. 
 
3.13. MAPAS DE KARNAUGH PARA TRÊS VARIÁVEIS 
O mapa de Karnaugh para três variáveis é desenhado da seguinte forma: 
 B B 
A 
A 
 C C C 
Para obtermos a expressão simplificada, basta somarmos os termos obtidos 
nos agrupamentos. 
Observação: 
Devemos notar que nenhum “1” ficou fora dos agrupamentos e, ainda, 
que o mesmo “1” pode pertencer a mais de um agrupamento, com o intuito 
de realizar agrupamentos com maior número de elementos. 
 
Tabela 30: Exemplo do Mapa de Karnaugh para três variáveis 
 
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(a) (b) (c) 
(d) (e) (f) 
 B B 
A 
A 
 C C C 
 
 B B 
A 
A 
 C C C 
 
 
 
 
Podemos distribuir as quatro possibilidades no mapa de Karnaugh da seguinte 
forma: 
 
 B B 
A 
Caso 0 
0 0 0 
A B C 
Caso 1 
0 0 1 
A B C 
Caso 3 
0 1 1 
A B C 
Caso 2 
0 1 0 
A B C 
A 
Caso 4 
1 0 0 
A B C 
Caso 5 
1 0 1 
A B C 
Caso 7 
1 1 1 
A B C 
Caso 6 
1 1 0 
A B C 
 C C C 
 B B 
A 
A 
 C C C 
 B B 
A 
A 
 C C C 
 B B 
A 
A 
 C C C 
 B B 
A 
A 
 C C C 
Tabela 31: Possibilidades do Mapa de Karnaugh com três variáveis 
Observação: 
Regiões do mapa de Karnaugh: 
a) Região em que: 𝑨 = 𝟏. 
b) Região em que: 𝑨 = 𝟎 → (𝑨 = 𝟏). 
c) Região em que: 𝑩 = 𝟏. 
d) Região em que: 𝑩 = 𝟎 → (𝑩 = 𝟏). 
e) Região em que: 𝑪 = 𝟏. 
f) Região em que: 𝑪 = 𝟎 → (𝑪 = 𝟏). 
Tabela 32: Distribuição das possibilidades no mapa de Karnaugh com três variáveis 
 
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Logo, podemos perceber que cada linha da tabela-verdade conta com a região 
própria no mapa. 
Para efetuarmos a simplificação, seguiremos o mesmo processo visto para o 
caso de duas variáveis, porém neste caso surge ainda uma nova possibilidade: 
a) Oitava 
Agrupamento máximo, em que todas as localidades valem 1. Agrupamento de 
oito elementos. 
 B B 
A 1 1 1 1 
A 1 1 1 1 
 C C C 
Devemos observar que no caso de pares e quadras, apesar da variável C estar 
tanto do lado esquerdo, quanto do lado direito, devemos considera-la como uma única 
região, ou seja, é como se o agrupamento pudesse “dar a volta” e pegar elementos 
do outro lado (semelhante a um mapa mundi). Conforme exemplo a seguir, consegui-
mos formar uma quadra: 
 B B 
A 1 0 0 1 
A 1 0 0 1 
 C C C 
 
Para obtermos a expressão simplificada, basta somarmos os termos obtidos 
nos agrupamentos, exatamente da mesma forma do que foi realizado no caso de ape-
nas duas variáveis. 
 
3.14. MAPAS DE KARNAUGH PARA QUATRO VARIÁVEIS 
A mesma lógica que já vimos para duas ou três variáveis se aplica também aos 
mapas de Karnaugh com quatro variáveis. O mapa de Karnaugh para quatro variáveis 
é desenhado da seguinte forma: 
 
 
Tabela 33: Exemplo de agrupamento de oito elementos - oitava 
Tabela 34: Exemplo de agrupamento de quatro elementos - quadra 
 
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 C 𝐶 
A 
 B 
 
B 
A 
 
 B 
 D D D 
 
Podemos distribuir as quatro possibilidades no mapa de Karnaugh da seguinte 
forma: 
 
 C C 
A 
Caso 0 
0 0 0 0 
A B C D 
Caso 1 
0 0 0 1 
A B C D 
Caso 3 
0 0 1 1 
A B C D 
Caso 2 
0 0 1 0 
A B C D 
B 
Caso 4 
0 1 0 0 
A B C D 
Caso 5 
0 1 0 1 
A B C D 
Caso 7 
0 1 1 1 
A B C D 
Caso 6 
0 1 1 0 
A B C D 
B 
A 
Caso 12 
1 1 0 0 
A B C D 
Caso 13 
1 1 0 1 
A B C D 
Caso 15 
1 1 1 1 
A B C D 
Caso 14 
1 1 1 0 
A B C D 
Caso 8 
1 0 0 0 
A B C D 
Caso 9 
1 0 0 1 
A B C D 
Caso 11 
1 0 1 1 
A B C DCaso 10 
1 0 1 0 
A B C D 
B 
 D D D 
 
Para efetuar a simplificação, seguimos o mesmo processo para os mapas de 
três variáveis, que neste caso, o principal agrupamento será a oitava. 
Devemos ressaltar que, no mapa, os lados extremos opostos se comunicam, 
neste caso tanto na horizontal quanto na vertical, ou seja, é possível formar oitavas, 
quadras e pares com os termos localizados nos lados extremos opostos. 
Para obtermos a expressão simplificada, basta somarmos os termos obtidos 
nos agrupamentos, exatamente da mesma forma do que foi realizado no caso de duas 
e três variáveis. 
 
3.15. MAPAS COM CONDIÇÕES IRRELEVANTES 
Em algumas situações práticas, veremos que as saídas em determinadas fun-
ções lógicas terão condições irrelevantes (X), podendo assumir 0 ou 1, indiferente-
mente para determinadas combinações de entrada. 
Tabela 35: Exemplo do Mapa de Karnaugh para quatro variáveis 
Tabela 36: Distribuição das possibilidades no mapa de Karnaugh com quatro variáveis 
 
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Essa condição ocorre, principalmente, pela impossibilidade prática da combi-
nação de entrada acontecer, o que veremos em algumas situações nas aulas poste-
riores. 
 
Consideraremos como exemplo a tabela verdade a seguir: 
A B C D S 
0 0 0 0 X 
0 0 0 1 0 
0 0 1 0 1 
0 0 1 1 X 
0 1 0 0 1 
0 1 0 1 0 
0 1 1 0 1 
0 1 1 1 1 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 1 
1 0 1 0 X 
1 0 1 1 0 
1 1 0 0 0 
1 1 0 1 X 
1 1 1 0 0 
1 1 1 1 X 
Passando a tabela verdade para o mapa de Karnaugh com variáveis, temos: 
 C 𝐶 
A 
X 0 X 1 B 
1 0 1 1 
B 
A 
0 X X 0 
0 1 0 X B 
 D D D 
Agruparemos, agora, as regiões que valem “1”, utilizando a condição irrelevante 
“X” para completar o agrupamento de forma que os grupos formados tenham o maior 
número de elementos possível. As condições irrelevantes que não puderem agregar 
para formar um agrupamento maior, devem ser consideradas como “0”, uma vez que, 
Tabela 37: Tabela-verdade da expressão booleana com condições irrelevantes - exemplo 
Para a utilização de “X” em mapas de Karnaugh, devemos, para cada condição 
irrelevante, adotar 0 ou 1, escolhendo sempre aquele que possibilitar melhor 
agrupamento e, consequentemente, maior simplificação. 
Tabela 38: Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes - exemplo 
 
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Quadra 
𝐴 𝐷 
 
 1 
Par 
𝐴 𝐶 𝐷 
 
 1 
Quadra 
𝐴 𝐶 
 
 1 
(a) (b) 
para uma maior simplificação devemos ter o um número mínimo possível de agrupa-
mentos. 
 C 𝐶 
A 
X 0 X 1 B 
1 0 1 1 
B 
A 
0 X X 0 
0 1 0 X B 
 D D D 
 
 
Podemos perceber que as condições irrelevantes pertencentes aos agrupa-
mentos receberam valor “1”, e as deixadas de fora, receberam valor “0”. 
A expressão simplificada, para a tabela-verdade fornecida como exemplo, é 
formada por duas quadras e um par, tendo como resultado a expressão: 
𝑺 = 𝑨 𝑪 + 𝑨 𝑫 + 𝑨 𝑪 𝑫 
 
3.16. CASOS QUE NÃO ADMITEM SIMPLIFICAÇÃO 
Se transferirmos as tabelas-verdade de funções OU Exclusivo (XOR) e Coinci-
dência (XNOR) para mapas de Karnaugh teremos: 
 B B 
A 0 1 
A 1 0 
 
 B B 
A 1 0 
A 0 1 
(a) 𝑺 = 𝑨 𝑩 + 𝑨 𝑩 = 𝑨 ⊕ 𝑩 
(b) 𝑺 = 𝑨 𝑩 + 𝑨 𝑩 = 𝑨 ⊙ 𝑩 
 
 
Tabela 39: Agrupamentos no Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes - exemplo 
As expressões se encontram na forma de máxima simplificação, não havendo 
outra possibilidade, pois em cada mapa há dois termos isolados, que são as pró-
prias expressões de entrada. 
Tabela 40: Agrupamentos no Mapa de Karnaugh com termos isolados 
 
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Termo isolado 
𝐴𝐵𝐶 
 
 1 Par 
𝐴 𝐶 
 
 1 
3.17. PROBLEMAS RESOLVIDOS 
1) Simplifique a expressão booleana: 𝑺 = [(𝑨𝑪) + 𝑩 + 𝑫] + 𝑪(𝑨𝑪𝑫) 
R: 
 Aplicando o teorema de De Morgan ao 1º e 2º termos, obtemos: 
𝑆 = (𝐴 + 𝐶 + 𝐵 + 𝐷) + 𝐶(𝐴 + 𝐶 + 𝐷) 
Agora, aplicando o teorema de De Morgan ao 1º termo e a propriedade distri-
butiva ao 2º termo, temos: 
𝑆 = A C D B + 𝐴 𝐶 + 𝐶 𝐶 + 𝐶 𝐷 
Aplicando a identidade: X . X = 0, ao terceiro termo, temos: 
𝑆 = A C D B + 𝐴 𝐶 + 𝐶 𝐷 
Evidenciando o termo 𝐶𝐷, teremos: 
𝑆 = 𝐶 𝐷(𝐴 𝐵 + 1) + 𝐴 𝐶 
Aplicando a identidade: X + 1 = 1, ao primeiro termo, temos: 
𝑆 = 𝐶 𝐷(1) + 𝐴 𝐶 → 𝑺 = 𝑪 𝑫 + 𝑨 𝑪 
 
2) Simplifique a expressão obtida da tabela-verdade a seguir, utilizando o mapa 
de Karnaugh: 
A B C S 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
R: 
Transpondo para o mapa de Karnaugh e agrupando, temos: 
 B B 
A 0 0 1 0 
A 1 0 0 1 
 C C C 
Logo temos: 
𝑺 = 𝑨 𝑪 + 𝑨 𝑩 𝑪 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
IDOETA, IVAN VALEIJE; CAPUANO, FRANCISCO GABRIEL. Elementos de Eletrô-
nica Digital, 42. Ed. São Paulo: Érica, 2019. 
FLOYD, THOMAS L. Sistemas Digitais Fundamentos e Aplicações, 9. Ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2007. 
BIGNELL, JAMES W.; DONOVAN, ROBERT. Eletrônica Digital, 1. Ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2009. 
TOCCI, RONALD J.; WIDMER, NEAL S.; MOSS, GREGORY L. Sistemas Digitais 
princípios e aplicações, 12. Ed. São Paulo: Pearson, 2019. 
TOKHEIM, ROGER. Fundamentos de Eletrônica Digital, 7. Ed. Porto Alegre: Book-
man, 2013. 
HAUPT, ALEXANDRE GASPARY; DACHI, ÉDISON PEREIRA. Eletrônica Digital, 1. 
Ed. São Paulo: Blucher, 2018.