Prévia do material em texto

Matemática 
Esta apostila foi elaborada seguindo rigorosamente o programa 
oficial das escolas e contém exercícios e testes com respostas, 
inclusive de provas já realizadas. 
Direitos reservados - Academiapremilitar.com.br 
Cdora. Profª Vera Lucia dos Santos. 
ÍNDICE
Capítulo 1 - Conjuntos ....................................................................................................................................03
Noções Básicas da Teoria dos Conjuntos ........................................................................................................03
Elementos, Pertinência ......................................................................................................................................03
Representação de conjuntos .............................................................................................................................03
Conjuntos Iguais ..............................................................................................................................................03
Subconjuntos ....................................................................................................................................................03
Conjunto das partes de um conjunto .............................................................................................................. 04
Operações com conjuntos ................................................................................................................................04
Exercícios ......................................................................................................................................................... 06
Conjuntos Numéricos .....................................................................................................................................07
Conjuntos dos Números Naturais ...................................................................................................................07
Conjuntos dos Números Inteiros ......................................................................................................................07
Conjuntos dos Números Racionais .................................................................................................................07
Conjunto dos Números Irracionais .................................................................................................................... 08
Conjuntos dos Números Reais ........................................................................................................................08
Intervalos.............................................................................................................................................................08
Operações com Intervalos .................................................................................................................................09
Exercícios ..........................................................................................................................................................10 
MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
16.1
1.
2.
2.1
2.2
2.3
3.
4.
5.
6.
6.1
Capítulo 2 - Função do 1º grau....................................................................................................................................12
Função do 1º grau ..........................................................................................................................................12
Função constante.............................................................................................................................................12
Função linear....................................................................................................................................................12
Função afim......................................................................................................................................................12
Zero ou raiz da função afim..............................................................................................................................13
Pontos de intersecção com eixos do plano.....................................................................................................13
Funções crescente e decrescente...................................................................................................................13
Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Exercícios.........................................................................................................................................................14
Capítulo 3 - Função Quadrática .............................................................................................................................17
Equações do 2º grau ...................................................................................................................................................17
Exercícios ....................................................................................................................................................................17
Funções quadráticas ..................................................................................................................................................19
Definição ....................................................................................................................................................................19
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola ................................................................................................19
Concavidade ..............................................................................................................................................................19
Zeros ou raízes das funções ......................................................................................................................................19
Exercícios ..................................................................................................................................................................20
Soma e Produtos das Raízes ....................................................................................................................................21
Exercícios ..................................................................................................................................................................21
Inequações do 2º grau ..............................................................................................................................................22
Exercícios ..................................................................................................................................................................22
Função Módulo de x f(x) = |x| ....................................................................................................................................24
Propriedades ............................................................................................................................................................ 24
Exercícios ..................................................................................................................................................................25
Gabaritos....................................................................................................................................................26
CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS
1. NOÇÕES BÁSICAS DA TEORIA DOS CONJUNTOS
Vamos expor aqui uma rápida revisão das principais noções da Teoria dos Conjuntos, naquilo que importa ao nosso
 objetivo: ConjuntosNuméricos.
CONJUNTO é qualquer coleção de objetos, qualquer amontoado de coisas, tipos, fatos, letras, números, etc.
Estabelecer uma conexão com as idéias aqui apresentadas, com o assunto posterior é muito importante para o real 
entendimento da Matemática das Funções.
1.1 - ELEMENTO, PERTINÊNCIA
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição:
 conjunto
 elemento
 pertinência entre elemento e conjunto
Se x pertence ao conjunto A, escrevemos => x  A,
caso contrário, escrevemos => x  A
- 03 -
Relação de Pertinência
Seja A um conjunto e x um elemento.
1.2 - REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS
Um conjunto pode ser representado de várias maneiras, por exemplo:
a) escrevendo os seus elementos entre chaves:
 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
b) indicando uma propriedade que caracteriza seus elementos:
 B = { x | x é número natural par} ou
 B = { x  lN | x é par}
Também podemos representar um conjunto por diagrama (figuras). Exemplo:
a) 1. .2
.3 .4
b)
.a .b
 .c
 
.d
c)
A B U
A B
A representação do item c chama-se diagrama de “Uenn”
1.3 - CONJUNTOS IGUAIS
Definição: Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e vice-versa.
Em símbolos :
A = B  { x, x  A x
1.4 - SUBCONJUNTOS
Definição: Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a 
B. Usamos a notação A  B (lê-se A “está contido” em B).
Para indicarmos que A é subconjunto de B. Também podemos utilizar a notação de B  A para expressar a mesma
idéia (B  A lê-se B “contém” A).
Os símbolos  e  são denominados sinais de inclusão. Em símbolos, a definição fica assim:
A  B  { V x, x x B} 
 
1.4.1 - Propriedades da Inclusão
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades: 
a 1 )   A
a 2 ) A  A (reflexiva)
a 3 ) (A  B e B  C)  A = B (anti-simétrica)
a 4 ) (A  B e B  C) A  C (transitiva)
- 04 -
1.5 - CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
Dado um conjunto qualquer, podemos formar outros “conjuntos” com o(s) elemento(s) dete. Veja o exemplo:
A = {x,y} podemos escrever os seguintes subconjuntos: 
 
 P (A) = {, {x}, {y}, {x , y}, donde
 
 P (A) => conjunto das partes de A (lê-se: P de A)
Genericamente, calculamos o número total de subconjuntos de um conjunto usando:
n P (A) = 2 => (n é o número de elementos do conjunto)
 
1.6 - OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
1.6.1 - Reunião (ou União) de Conjuntos
Definição: dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A ou B.
PROPRIEDADES DE REUNIÃO
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1) A  B = B U A
2) A A = A
3) A   = A
4) (A  B)  C = A  (B  C)
(comutativa)
(idempotente)
(elemento neutro)
(associativa)
1.6.2 - Intersecção de Conjuntos
Definição: dados dois conjuntos A e B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B é o que se chama
 “intersecção de A e B”.
 A  B = {x|x  A e x  B}
A  B = { x|x  A ou x  B}Em símbolos =>
Em diagrama=> a)
A
A
AB
B
B
Em símbolos =>
Em diagrama=> a)
A B
PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a
1 ) A  B = B A
a
2 ) A  A = A
a3 ) A  U = A
a4 ) A  B (B  C) = (A  B )  C
a
5 ) A  B =   A  B
(comutativa)
(idempotente)
(elemento neutro) onde U: conjunto Universo
(conjuntos dijuntos)
(associativa)
- 05 -
1.6.3 - Diferença de conjuntos
DEFINIÇÃO: Dados dois conjuntos A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B, chama-
 se diferença entre A e B.
 Em símbolos => A - B = { x | x  A e x  B}
 Em diagrama =>
.1 .3
.2 .4
.5
 .6 .7
A B
1.6.4 - Complemento de Conjunto
DEFINIÇÃO: Dados dois conjuntos A e B, sendo B subconjunto de A, a diferença A - B chama-se conjunto comple-
 mentar de B em relação a A.
Em símbolos => 
B
A
C = A - B; B  A
Em diagrama =>
A
B
ANOTAÇÕES
- 06 -
Exercícios de fixação - 1
1) No diagrama Venn, como no modelo abaixo, sombreie os seguintes conjuntos:
a) A  (B  C)
b) A  (B U C)
c) (A  B) U ( A  C)
d) A U (B  C)
e) (A U B)  (A U C)
A B
C
U
2) Trace o diagrama Venn para os três conjuntos não-vazios A, B e C, de tal maneira que A, B e C, tenham as 
seguintes propriedades:
a) A  B; C  B; A  C = 
b) A  B; C  B; A  C  
c) A  C; A  C; B  C = 
d) A  (B  C); B  C; C  B; A  C
3) Sejam A e B dois conjuntos finitos. Provar que: n = n + n - nA B A B A B
O símbolo n representa o número de elementos do conjunto X.x 
4) Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês. 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas.
a) Quantos alunos estudam inglês ou francês? 
b)Quantos alunos não estudam em nenhuma das duas?
marca
número de
consumidores
A
109 203 162 25 41 28 5 115
B C A e B B e C C e A A, B e C nenhuma das três
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas foram consultadas?
b) Quantas pessoas não bebem os refrigerantes A ou C?
c) Quantas pessoas bebem somente o refrigerante B?
d) Quantas pessoas bebem pelo menos dois tipos de refrigerantes?
5) Numa cidade três empresas de refrigerantes disputam o mercado.
Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os seguintes resultados tabelados abaixo.
2 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
2.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
É o conjunto formado pelos números inteiros positivos, incluindo o 0 (zero) - símbolo IN. 
- 07 -
IN = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Neste conjunto definimos todas as operações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. A
adição e a multiplicação gozam das seguintes propriedades:
(M.3) Elemento neutro da multiplicação
a.1 = a,a  IN.
Distributiva da multiplicação relativamente à adição
a (b + c) = ab + ac,a, b, c  IN.
(MA.4)
Associativa da adição
(a + b) + c = a + (b + c),  a, b, c  IN
Comutativa da adição
a + b = b + a, a, b  IN
Elemento neutro da adição
a+ 0 = a,  a  IN
(A.2)
(A.3)
(M.1)
(M.2)
Associativa da multiplicação
(ab) c = a (bc),  a, b, c  IN
Comutativa da multiplicação
ab = ba,  a, b  IN 
(A.1)
A subtração e a divisão possuem a propriedade fundamental.
2.2 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo - o seguinte conjunto:z
 = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3}z
No conjunto são definidas também todas as operações. A adição e a multiplicação apresentam as mesmas proprie-
dades vistas no conjunto IN, porém acrescenta-se mais uma propriedade relativa à adição:
z
(A.4) Simétrico ou oposto
 a  ,  -a  | a+ (-a) = 0z z
E é devido a esta propriedade, que podemos definir em a operação de subtração, estabelecendo que: z
a - b = a + (-b),  a, b  z
2.3 - CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo Q - o seguinte conjunto:
 
( I )
( II )
igualdade : a
b
= _c
d
 ad = bc
_c
d
a_
b
adição: + =
ad + bc 
bd
multiplicação: _c
d
a_
b
. = ac
bd
Q = { ..., -1, ..., -1 , ..., 0, ... + 1 , ..., +1, ...}
 2 3
O conjunto dos números da forma a, onde a  e b  * , para os quais adotam-se as seguintes definições:
 b
z z
( III )
(IV) divisão: a : c = a . d .
 b d b c
Pode-se verificar que a adição e a multiplicação de racionais apresentam as seguintes propriedades:
(A.1) 
(A.2)
(A.3)
(A.4)
a + c = c + a 
b d d b 
a + c + e = a + c + e
b d f b d f( ) ( )
( )a + - a = 0b ba + 0 = a
b b
( )
( )
( )a . c . e = a c . eb d f b d f
a . c = c . a
b d d b
a . 1 = a
b b
a . c + e = a . c + a . e
b d f b d b f
 a  Q e a  0,  b  Q a . b = 1
 b b a b a 
(M.1)
(M.2)
(M.3)
(M.A.4)
(M.4)
a_
bNotemos finalmente que todo número racional pode ser representado por número decimal.
Ex: = 0,25 ; = 0,5 
o
1 ) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, isto é, é uma decimal exata.
2º) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, é uma
dízima periódica. Ex: = 0,333333... ; = 0,285714285714...
Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos: 
1
4
1
3
2
7
1
2
- 08 -
2.4 - CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Chama-se conjunto de números irracionais - símbolo II - o conjunto de todos os números decimais não exatos e não-
periódicos, bem como toda raiz não exata.
3
 = { 0, 15161718...; 3 ; - 5 ; 4 ;  ; e; ...} II
2.5 - CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Chama-se o conjunto dos números reais - IR - aquele formado por todos os números naturais, inteiros e racionais com 
 representação decimal, isto é, as decimais exatas, as não exatas e periódicas (que são números racionais) e as 
decimais não exatas e não periódicas (chamadas números irracionais). Assim, todo racional é número real.
Em símbolo => lR = lN   Q  z II
Em diagrama => 
Q
 z
lN II
lR
E além dos racionais, estão em IR números como:
 2 = 1, 4142136...
 

  = 3, 14159265... chamados números irracionais.
As operações de adição e multiplicação em IR gozam das mesmas propriedades vistas para o conjunto Q.
 
Com a introdução dos números irracionais, a radiciação é uma operação em IR , isto é, + a IR para todo a  IR .+
Os números reais serão representados em uma reta denominada “reta real”, ou seja, “reta numérica”.
2.6 INTERVALOS
Intervalos na reta real
 Intervalo fechado
Dados os números reais a e b, com a < b, indicamos por [a,b] o intervalo fechado nos extremos a e b, isto é:
[a,b] = {x  R| a  x  b}
b
N
a
 Intervalo aberto
Dados os reais a e b , com a<b, indicamos por ]a, b[ o intervalo aberto nos extremos a e b, isto é,
a b
]a,b[ = {x  R| a < x < b}
 Intervalo semi-aberto ou semi-fechado
Dados os reais a e b, com a < b, indicamos por ]a,b] o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, isto é, 
a b
]a, b] = {x  R| a < x  b}
Do mesmo modo, indicamos por [a,b[ o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, isto é,
o intervalo ]a,b] também pode ser indicado por ]a,b]. 
- 09 -
a b
[a,b[ = {x  R | a  x < b}
intervalo que também pode ser indicado por [a,b[.
Nota: O intervalo aberto ]a,b[ é às vezes indicado também por (a,b), quando não houver possibilidade de confusão
 com a notação consagrada para um par ordenado de números.
2.7 - OPERAÇÕES COM INTERVALOS
2.7.1 - Reunião de Intervalos
DEFINIÇÃO: Dados dois intervalos, chama-se reunião de intervalos a combinação de seus extremos.
Exemplo:
] -1 ; 3]  [ 2; 4[ [ -1 ; 3]
 [ 2 ; 4 ]
 ] -1 ; 3 ]  [2 ; 4] 
 ] -1 ; 3]  [ 2 ; 4 ] = ] -1 ; 4] ou
] -1 ; 3 ]  [ 2 ; 4 ] = { x  lR | -1 < x  4}
-1 3
-2 4
-1 4
 2 4
2 4
2 6,5
Resposta: 
2.7.2 - Intersecção de Intervalos
DEFINIÇÃO: Dados dois intervalos, chama-se intersecção de intervalos a combinação de seus extremos comuns.
Exemplo:
A = { x  lR | -2 < x  4 } e
B = { x  iR | 2  x  6,5}
Resposta: A  B = [ 2 ; 4 ] ou
 A  B = { x  lR | 2  x  4 } 
A
B
A  B
ANOTAÇÕES
- 10 -
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
6. Relacione usando os símbolos  , ,  ,  e :
a) -3 ______ z
 z
 z
b) - 3 ______ 
 2
c) -7 ______ lN
d) + 5 ______ lN
 7
e) + 9 ______ Q
f) - 9 ______ Q
 5
g) 0,25 ______ Q
h) lN ______
i) Q ______ 
j)  ______ 
l) 3 ______ lR
m) - 4 _____ lN
z
II
7. Determine a reunião e a intersecção dos seguintes intervalos:
a) [ -2 ; 4 ] e [ 1 ; 5]
b) [ - ; 2 ] e { x  lR | 0  x < 5}
c) { x  lR | -1 < x  3 } e [ -2 ; 3 ]
d) [ -5 ;  [ e ] -  ; 5 ]
- 11 -
�

� 
  
� 


�
�
�
�
U
K
Z
M
M
 Y
03 (EPCAR-2000) Assinale a alternativa FALSA. 
a) – IN = conjunto dos números inteiros negativos
b) Q – = conjunto dos números racionais não-inteiros 
c) +  = 
d) * = conjunto dos números inteiros não nulos
04 – (EEAR-2002) Dados os conjuntos  4,3,2,1A  ,  5,4,3B  e  5,2,1C  . Ao determinar
o conjunto M, tal que:  4,3,2,1MA � ,  5,4,3MB � , BAMC �  , podemos concluir
que M é um conjunto
a) vazio. c) que possui dois elementos.
b) unitário. d) que possui três elementos.
GABARITO
1. E
2. B
3. C
4. C
1. FUNÇÕES DO 1º GRAU
1.1 - Função constante
Dado um número real k, a função definida por f(x) = k, para todo x real, é chamada função constante. Ex: f (x) = 2
y = 2
x
O gráfico de uma função constante
é sempre uma reta paralela ao
eixo dos x. 
x
0
1
3
-1
1/3
y
2
2
2
2
2
1.2 Função linear
o
Uma função f de IR em IR denomina-se linear quando é definida pela equação do 1 grau com duas variáveis y = ax,
com a  IR e a  0.
Ex: A função f é definida pela equação y = 3x.
Gráfico: No plano cartesiano, podemos construir o gráfico de uma função linear para isso, atribuímos valores arbitrá-
rios para x (esses valores devem pertencer ao domínio da função);
Obtemos valores correspondentes para y (são as imagens dos valores de x pela função dada);
Para cada par ordenado (x,y) associamos um ponto do plano cartesiano.
Ex: No plano cartesiano, construir o gráfico
da função linear definida pela equação y = 2x.
x
0
1
-2
3
y = 2 (0) = 0
y = 2 (1) = 2
y = 2 (-2) = -4
y = 2 (3) = 6
y = 2x
(0, 0)
(1, 2)
(-2, -4)
(3, 6)
(x, y)
  A
  B
  C
  D
valores arbitrários
para x
 
pares ordenados
obtidos
O conjunto dos infinitos pontos A, B, C, D, E,... denomina-se gráfico da função linear definida pela equação y = 2x.
y
x
B
D
y = 2x
-2
1 3
2
6
-4
c
A
0
CAPÍTULO 2 - FUNÇÃO DO 1º GRAU
- 12 -
Observando o exemplo, podemos concluir que:
No plano cartesiano, o gráfico de uma função linear é uma reta que passa pelo ponto de origem 0.
Observação: Como uma reta é sempre determinada por dois pontos, basta representarmos dois pontos A e B para
obter o gráfico da função linear no plano cartesiano.
1.3 Função afim
oUma função f de IR em IR denomina-se afim quando é definida pela equação do 1 grau com duas variáveis y = ax +b,
com a e b IR e a  0.
Ex: a função f definida pela equação y = x + 2
A Função Linear é caso particular da função afim, quando b = 0.
A construção do gráfico de uma função afim, no plano cartesiano, é feita da mesma maneira que procedemos para a
função linear.
Ex: construir, no plano cartesiano, o gráfico da função afim, definida pela equação y = x +2.
C
A
B
D
- 1 1
-3
3
0
y
x
O conjunto dos infinitos pontos A, B, C, D, … denomina-se gráfico da função afim definida por y = x + 2.
Pelo exemplo dado, podemos concluir que:
No plano cartesiano, o gráfico de uma função afim é uma reta que não passa pelo ponto origem 0 quando b  0.
1.4 Zero ou raiz da função afim
Definimos com zero (ou raiz) de uma função a todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(X) = 0.
De forma mais exata, temos:
x é zero de y = f(x)  f(x) = 0
oLogo, no caso da função afim, basta resolvermos a equação do 1 grau.
f(x) = 0 e f(x) = ax + b  ax + b = 0
Ex: O zero (ou raiz) da função f(x) = 2x - 3 é 2x - 3 = 0, logo x = 3_
2
Podemos interpretar o zero dafunção afim, com sendo a abcissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x.
Ex: Construindo o gráfico da função f(x) = 2x - 3, podemos
notar que a reta intercepta o
eixo dos x em x = 
3
2
_
ou seja, no ponto ( 3
2
_, 0). (figura a)
1.5 Pontos de intersecção com os eixos do plano
Assim como a raiz (ou zero) da função afim é o ponto onde a reta intercepta o eixo x , vemos também, que o
coeficiente linear, ou seja, o número b, é o ponto onde temos abcissa nula, isto é, quando x = 0 temos f(0) = b, logo é
o ponto (0,b). (veja a fig. a ( 0 , -3 ) )
1.6 Funções crescente e decrescente
Vamos utilizar uma linguagem prática (não matemática) para transmitirmos a idéia de função crescente e decrescente.
Seja a função f: A  B definida por y = f(x) e A ,  A.1
  A função é crescente no conjunto A, se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de y também aumenta.
y
x3




3
2
_
(o,b)
-3
0
(fig. a)
A


x1 x2
f (x )2
f (x )1
{
y
x
x
0
 1
-1
-3
y = x + 2
y = 0 + 2 = 2 
y = 1 + 2 = 3
y = (-1) + 2 = 1
y = (-3) + 2 = -1
(x,y)
(0,2)
(1,3)
(-1,1)
(-3,-1)
A
B
C
D
- 13 -
2
3
Em linguagem simbólica, temos: f é crescente quando:
( x , x ) (x < x  f(x ) < f(x )).1 2 1 2 1 2
  A função é decrescente no conjunto A , se, aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de y diminui.1

f(x )1
f(x )2
A1
x1 x2{
y
x
1.6.1 Teorema
A função afim é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente angular for positivo (negativo).
O coeficiente angular á a letra “a”.
Ex: Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR:
a) y = -4x + 5 b) y = 7x - 1
Solução:
a) É decrescente, pois o coeficiente angular é negativo (a = -4 < 0)
b) É crescente, pois o coeficiente angular é positivo (a = 7 > 0)
Exercícios
o1) Obtenha os zeros das funções de 1 grau:
a) f(x) = -5x + 10
b) f(x) = x
2
_ - 9
c) f(x) = 2x - 6
d) f(x) = _____2 - 3x
5
2) Determine os pontos de intersecção das retas dadas 
com eixo dos x:
a) y = 3x - 2
b) y = 3x - 2
c) y = 0,1x
d) y = 2 - 
3
_x
o3) Quais das seguintes funções de 1 grau são crescen-
tes?
a) y = 3x
b) y = 3x - 2
c) y = x - 
1_
2
d) y = 3x + 1
e) y = 2 - 3x
f) y = x_4
- 1
5) Estudar segundo os valores do parâmetro m, a varia-
ção (crescente, decrescente ou constante) das funções 
abaixo:
a) y = (m - 1) x + 2
Solução:
Se m - 1 > 0, isto é, m > 1, então a função é crescente
em IR;
Se m - 1 < 0, isto é, m < 1, então a função é decrescente
em IR;
Se m - 1 = 0, isto é, m = 1, então a função é constante.
b) y = (m + 2) x - 3
c) y = (4 - m ) x + 2
d) y = 4 - (m +3) x
e) y = x (m - 1) + 3
4) Quais das seguintes funções são decrescentes?
a) y = 1 - x
2b) y = x + 1 + x(1 -x)
2 c) y = (x - 2) - (x + 1)(x - 1)
___1 - x
3
d) y = (x- 2) (x + 3) - x (x + 1)
e) y = x - 0,9x
f) y = 
- 14 -
- 15 -
1
1
2
y
x
07 – (CPCAR-1999) Sobre a função f, de  b,a em IR, cujo gráfico se vê abaixo, é verdade que 
a
a c d e b
5
b
y
x
a) f(x)  0 para todo x no intervalo  e,d . 
b) f é crescente no intervalo  b,0 . 
c) f(e)  f(d). 
d) f tem apenas duas raízes reais. 
 
 
 
805020
10
30
.ml
0 Kgf
a) 20 c) 2 
b) 40 d) 4 
 
 
a) f(x) < 0 se 
2
1
  x  0 
b) y cresce a medida que x decresce 
c) f(x) = 0 quando x = 1 
d) a reta passa pelo ponto P(1,3) 
09-(AFA-2000) Se f e g são funções de IR em IR definidas por f(3x+2) =
5
23 x
 e g(x–3) = 5x – 2, então 
f(g(x)) é 
 
 
a) 
5
4x 
 
 
b) 
5
95x 
 
 
c) 5x + 13 
 
d) 
5
115x 
 
 
- 16 -
O1. EQUAÇÕES DO 2 GRAU
o
Denomina-se equação do 2 grau com uma variável toda equação da forma:
onde x é a variável e a, b, c  IR, com a  0.
2
ax + bx = c = 0
o
a) Equações incompletas do 2 grau.
A equação se diz incompleta quando b = 0 ou c= 0 ou b = c = 0.
Resolução das equações incompletas.
o 2
1 caso: A equação é da forma ax + bx = 0, onde c = 0
Ex.: 2x - 5x = 0
x (x - 5) = 0  colocando o fator x em evidência
x (x - 5)  x = 0
ou
x - 5 = 0  x = 5
S = {0,5}
{
o 22 caso: A equação é de forma ax + c = 0, onde b = 0.
Ex.: 25x - 45 = 0
25x = 45
2x = 45_
5
2
 x = 9  x =  x = +_ 9 +_ 3
S = {-3, 3}
ob) Equações completas do 2 grau:
Quando nenhum termo da equação for igual a zero.
Resolução de equações completas.
discriminante da equação. ()
2 = b - 4ac
 fórmula resolutiva (x)
x =
________-b +_ 
2a
Ex:
2
x - 5x + 6 = 0 {
a = 1
b = -5
c = 6

2 = b - 4ac
2 = (-5) - 4(1)(6) = 1
x = 
________-b +_ 
2a
 x = 
__________+_-(-5) 1
2 . 1
 x = 
_______+_5 1
2 {
x’ = 3
x” = 2
CAPÍTULO 3 - FUNÇÃO QUADRÁTICA
s = {2,3}
- 17 -
3º caso: A equação é da forma ax² = 0, onde a = b = 0.
Ex.: 3x² = 0
x² = 0  3
x = 0 => x = 0
S = { 0 }

Exercícios
o
1) Resolver no conjunto IR as seguintes equações do 2 grau.
2a) x + x(2x - 15) = 0
b) (x - 4) (x + 3) + x = 52
2 2
c) (x + 3) + (x - 3) - 116 = 0
2
d) (4 + 2x) - 16 = 0
- 18 -
2) Resolva:
a) x (x + 1) + x = 8
b) x (3x - 2) + 2 (3x -2) = 0
c) y (2y + 1) - 6 = 0
d) (x + 5) (x - 5) + 41 = 8x
e) 3t (t + 1) = 2 (5t - 1)
f) (x + 4) (x - 3) - 14 = (1 - x) (x - 2)
2 2g) (2 - x) + 2 = (2x +1) + 10
2h) (3y + 1) - 8 = (y +1) (8y -1)
2i) x + x_
2
- 
1
2
_ = 0
j) 
2x
3
_
+
3
4
_ = x
2l) x = ____5x + 12
2
2m) 7y - 
1
2
_
= 
3y
2
_
+ 5
n)
2x + 4
5
_____ = 2 - x
2o) (x - 1) = 
x_
2
p) (x - 2
3
_ ) (x - 
q) x (x + 1)
4
______
x + 5
x - 3
____ - 3 = 
23x 
2
__
2x
4
__ +
r)
s)
3
4
_ ) = 5
24
_
x - 5
12
____- =
5 (2x - 1)
6
_______
x - 7
x + 2
_____
= 3(x - 1) - 1
2
g) 3y (y + 1) + (y - 3) = y + 9
h) 2x (x + 1) = x (x + 5) + 3 (12 - x)
2
e) (t - 1) = 3t + 1
2 
f) (5 + x) - 10 (x + 5) = 0
2. FUNÇÕES QUADRÁTICAS
2.1 Definição 
2Quando associa a cada x  IR o elemento (ax + bc + c)  IR, onde a  0, isto é:
f : IR  IR
2x  ax + bx + c , a  0.
2.2 O gráfico da função quadrática é uma parábola.
2Ex: Construir o gráfico de y = x - 4x + 3 x
-1
0
1
2
3
4
5
2y = x - 4x + 3
8
3
0
-1
0
3
8
(0,2)
4, 3
(3,0) x
y
(2,-1)
(-1,8)
(1,0)
(5,8)
2.3 Concavidade
2A parábola representativa da função quadrática y = ax + bx + c pode ter a concavidade voltada “para cima” ou voltada
“para baixo”.
3. ZEROS OU RAÍZES DAS FUNÇÕES
2Os zeros (ou raízes) da função quadrática f(x) = ax + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as
soluções da equação do segundo grau
Observe que a existência de raízes reais para equação acima está condicionada ao fato de   IR.
logo, temos três casos a considerar:
o1 ) caso: 
> 0; temos duas raízes reais e distintas que são:
x = 1
________-b + 
2a
________x = 2
-b - 
2a;
o2 ) caso:  < 0; não existem raízes reais.

x = x =1 2
__-b
2a
o3 ) caso:
  = 0; temos duas raízes reais e iguais:
Geometricamente, dizemos que os zeros da função quadrática são os pontos onde as parábolas cortam o eixo dos x.
Veja as figuras abaixo:

y
x
y
x
y
x
X2X1
Se a > 0, a concavidade está voltada para cima.
y
x
a)
y
x
Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo.b) 
1º caso 2º caso 3º caso
x = x1 2
- 19 -
Exercícios
3) Determine o parâmetro K (K  IR), de modo que a fun-
2
 ção f(x) = x - 2x + K tenha:
a) dois zeros reais diferentes
b) um zero real duplo
c) nenhum zero real
4) Determine “m” para que a função 
2f(x) = (m + 1)x - 2mx + m + 5 possua raízes reais e 
desiguais.
25) Sendo a e b as raízes da função f(x) = 2x - 5x + m -3 
e sabendo que , determine a e b.1
a
_ +
1
b
_ =
4
3
_
6) Determine os valores de m para que a função 
2 2f(x) = x + (3m + 2) x + (m + m + 2) 
tenha duas raízes reais iguais.
2
7) Se a equação (m + 2) x + (3 - 2m) x + (m - 1) = 0 possui 
raízes reais, determine os valores de m para que isto 
aconteça.
- 20 -
2Ex: Determinar os valores de m para que a função quadrática f(x) = mx + (2m - 1)x + (m - 2) tenha duas raízes reais 
distintas:
Solução:
Na função,temos: a = m ; b = 2m - 1 ; c = m - 2
2
 = (2m - 1) - 4.(m). (m - 2) = 4m + 1, como
 > 0  4m + 1 > 0  m > 
-1
4
__ e m  0 (condição de existência)
S = { m  R / m > -1 e m  0}
 4
-1 - 1 0
 4
Graficamente:
4. SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
2Se x e x são raízes da equação ax + bx + c = 0, temos:1 2
A soma das raízes é dada por: x + x = -1 2
b
a
__
S = -
b
a
__
O produto das raízes é dado por: x . x =1 2
c
a
__
P = c
a
__
o Podemos efetuar a discussão de uma equação do 2 grau através da seguinte exposição:
 > 0
( 2 raízes
diferentes)
P > 0
(2 raízes do
mesmo sinal)
P = 0
(Uma raiz nula)
S > 0  2 raízes positivas diferentes
S < 0  2 raízes negativas diferentes
S > 0  1 raiz positiva e outra nula
S < 0  1 raiz negativa e outra nula
P < 0  uma raiz positiva e outra negativa
{
{ {
 = 0  raiz dupla, ou seja: x = x = -1 2
-b
2a
___
 < 0  não há raízes reais
Exercícios
28) Dada a função f(x) = (K - 2)x - 3Kx + 1, calcule o valor 
de K para que a soma das raízes seja igual ao seu pro-
duto.
9) Determine o valor de K, para o qual a função 
2f(x) = 3x - (K + 1)x + 3, tenha uma raiz igual ao dobro da 
outra.
10) Sabendo - se que x e x são raízes da função qua-1 2 
2drática f(x) = x - 8x + m, determine “m” para que se te-
nha 3x - 4x = 3.1 2
- 21 -
2 2
ax + bx + c > 0 ou ax + bx + c < 0 ou
2 2
ax + bx + c  0 ou ax + bx + c  0, com a  0
O conjunto universo da variável é o conjunto IR.
 - Resolução:
Resolver uma inequação do segundo grau com uma variável é determinar o seu conjunto solução, isto é, o conjunto
2
dos valores reais de x para os quais a função y = ax + bx + c é positiva ou negativa.
o
1 Exemplo:
2
Resolver a inequação x - 3x + 2 > 0
2
(significa determinar para que valores reais de x a função y = x - 3x + 2 é positiva).
2
x - 3x + 2 = 0
2
 = ( -3) - 4 (1) (2)=
= 9 - 8 = 1 > 0
4
2
__
x =
 3 +_1__________
2 (1)
3 +_______
2
1
=
x’ = = 2
2
2
__
x” = = 1
pelo esquema temos:
S = {x  IR / x < 1 ou x > 2}
O
5. INEQUAÇÕES DO 2 GRAU
o 
Chama-se inequação do 2 grau com uma variável toda inequação da forma:
_+ +
Esquema
a = 1 > 0
1 2
X
o2 Exemplo
2Resolver a inequação -4x + 4x - 1 < 0
2(significa determinar para que valores de x a função y = -4x + 4x - 1 é negativa).
2- 4x + 4x - 1= 0 . (-1)
24x - 4x + 1 = 0
2 = (-4) - 4 (4) (1) =
= 16 -16 = 0
4
2 (4)
___ 4
8
__ 1
2
__= =
1
2
__
pelo esquema, temos:
S = {x IR / x  }
1
2
__
x =
X
Esquema: 
a = -4 < 0
Exercícios
o12) Resolva as seguintes inequações do 2 grau com uma variável, sendo U = IR.
2e) -4x + 11x - 6  0
2f) x + x > 7x + 16
2g) x  2x + 3
2 2h) 3x - 30 > 2x + 51
2a) x + 2x - 3 > 0
2b) -x + 10x - 25 > 0
2c) x + 4x + 7 > 0
2d) x - 13x + 36  0
- 22 -
13) Resolver as seguintes inequações:
a) x - 2____
4
3 - x____
2
- <
5
3
_
b) 3x__
2
- 7x - 1_____
2
- 4x + 1
3
_ < 0
c) 3(x + 12) < 4 (2x + 8)
x - 3____
5
d) - <x - 1____
10
1_
2
e) - > x - 32x + 1
3
_____ x + 6
5
______
2 2f) (x - 1) - 7 > (x - 2)
g) 3x - 4 + <
x_
4
5x
2
__
h) - < -
5
6
_x - 1
2
____ 2(1 - 3x)
3
______1
4
_
i) 2x - >x - 4
5
____ 2(2x - 3)
3
______
j) - > 3 -2x - 1
3
____ x - 4
2
_____ x
4
_
- 23 -
2 2i) 8(x - 3) + 1 < 5(x - 1) - 6
2l) x <
9
1 _
2m) (x - 1)  3 - x
2 2n) (x + 2) + (x - 2) > x
1
4
_o) 4
3
_2x -
3
8
_ 7
6
_
> x +
j) (x - 1) (x -2) < 0
6. FUNÇÃO MÓDULO DE X f(x) = x
Esta função leva cada x real em y que é igual ao valor absoluto ou módulo de x.
x  y =| x|
Domínio D = IR
Imagem Im {y  IR | y  0}
x y
0
1
2
0,5
-1
-2
0
1
2
0,5
1
2
Note que a cada x > 0 esta função associa y = x, a cada x negativo ela associa y igual ao oposto de x, isto é, y = -x, e
se x = 0, então y = 0, isto pode ser resumido no seguinte:
 x, se x  0
- x, se x < 0
Graficamente:
y
x
2
1
0,5
-2 -1 0 0,5 1 2
{y = x =
6.1 Propriedades
Para a  0, temos:
1ª Propriedade: | x | = a  x = a ou x = - a
2ª Propriedade: | x | = | y | x = y ou x = - y 
3ª Propriedade: | x | < a  - a < x < a
4ª Propriedade: | x | > a  x < - a ou x > a
5ª Propriedade: | a + b |  | a | + | b |
6ª Propriedade: | a |² = a²
- 24 -
Exercícios
14) Resolva as equações:
a) 1 + 5 x = 11
b) x - 1 = 2
c) 32x - 3 = 15
d) | x |² - 2 | x | + 1 = 0
e) 2 | x |² - 7 | x | + 3 = 0
15) Dê os valores de x que satisfazem a cada uma das 
inequações:
a) | x | > 3 
 2
b) | x |³ > 3
c) | x | > 1,5
d) | 2x - 5 | > 3
- 25 -
16) (Colégio Naval-1998) Considerando o gráfico acima 
referente ao trinômio do 2º grau , pode-se afirmar que:
(A) 0;0;0  cba 
(B) 0;0;0  cba 
(C) 0;0;0  cba 
(D) 0;0;0  cba 
(E) 0;0;0  cba 
17) (CPCAR 99) A soma e o produto das raízes da função 
2real f dada por f(x) = x + bx + c são, respectivamente, 2 e 3. 
O vértice do gráfico desta função é o par ordenado
a) (1, –2) . c) (–1, 1). 
b) (1, –4). d) (–1, –4). 
 
- 26 -
CAPÍTULO 1
A
C
a) b) c)
d) e) 
página 6 
1) 
a) c)
 d)
U
U U
U
B
C
A B
C
A
A A
B B
C C
B
A B
2)
b) NÃO TEM RESPOSTA
U
A
C B
U
A B
C
3) Seja: A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 3, 4, 5, 6, 7 } temos NA = 4,
NB = 5, NAUB = 7 e NAB = 2 , 
logo N AUB = NA + NB - NAB
7 = 4 + 5 - 2
Graficamente:
1.
2.
.3
.4
.5
.6
.7
4)
a) 332
b) 83
169 52 111
I
F
83
A
F
115
B C
61
20
142 36
5
23
98
Página 10
6) 
a) 
b) 
c) 
j) 
l) 
m) 
7) 
a) [ -2 ; 5 ] e [ 1 ; 4 ]
b) ] -  ; 5 [ e { x  IR | 0  x  2 }
c) { x  IR | -2  x  3 } e ] -1 ; 3 ]
d) ] -  ; +  [ e { x  IR | -5  x  5 }

5)
a) 500
b) 257
c) 142
d) 84
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
CAPÍTULO 2
Página 14
2
3
4
3
2
3
6) d
7) a
8) b
9) b
 
- 27 -
CAPÍTULO 3
Pág. 17
1)
a) x’ = 0 e x” = 5
b) x’ = 8 e x “ = 8
c) x’ = 7 e x” = 7
d) x’ = 0 e x” = -4
e) t” = 0 e t” = 5
f) x’ = -5 e x” = 5
g) x’ = 0 e x” = 1
h) x’ = -6 e x” = 6
 Pág 18
02)
a) x’ = -4 e x” = 2
b) x’ = -2 e x” = 2/3
c) y’ = -2 e y” = 3/2
d) x’ = x” = 4
e) t’ = 1/3 e t” = 2
f) x’ = -3 e x” = 4
g) x’ = -5/3 e x” = -1
h) y’ = -2 e y” = 3
i) x’ = -1 e x” = 1/2
j) x’ = x” = 3/2
l) x’ = -3/2 e x” = 4
m) y = -11/14 e y =1
n) x’ = -6 e x” = 1
o) x1 = 1/2 e x” = 2
p) x’ = 1/4 e x” = 7/6
q) x’ = 1/2 e x” = 2
r) x’ = -1/3 e x” = 7
s) x’ = x” =  IR
Pág. 20
03)
a) K < 1
b) K = 1
c) K > 1
04) m < 5/5
05)
06) m < -2 ou m > 2/5
07) m < 17/16 c/ m  -2
Pág 21
08) K = 1/3
09) K = 2
10) m = 15
Pág. 22
12)
a) S = { x  lR / x < -3 ou x > 1 }
b) S = {x  lR / 5 - 5 2 < x < 5 + 5 2 }
c) S =  x’ ou x”  lR
d) S = { x  lR / x  4 ou x  9}
e) S = { x  lR / 3  x  2 }
 4
f) { x  lR / x < -2 ou x > 8 }
g) S = { x  lR / -1  x  3 }
h) { x  lR / x < -9 ou x > 9 }
i) S = { x  iR / -2 < x < 2 }
j) { x  lR / 1 < x < 2 }
l) S = { x  lR / -1 < x < 1 }
 3 3
m) { x  iR / -1 < x < 2}
n) S =  x’ ou x”  iR
o) { x  iR / x < 5 ou x > 4 }
 2
 

Pág. 23
Pág. 25
13) 
a) x < 44/9
b) x’ > 5/36
c) x > 4/5
d) x > 0
e) x < 4
f) x > 3/2
g) x < 16/3
h) x < 7/30
i) x > -42/47
j) x > 16/5
14)
a) x = -2 e x = 2
b) x = 3
c) x = -1 e x = 4
d) x = -1 e x = 1
e) x = -3; x = -1/2; s = 1/2 e x = 3
15) 
a) x < -3/2 ou x > 3/2
b) x <- 3 e x 3
c) x < -1,5 ou x > 1,5
d) x < -4 ou x > 4
16) E 
17) A

- 28 -MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
ÍNDICE
Capítulo 6 - Progressões ......................................................................................................................................44
Progressão Aritimética (PA)....................................................................................................................................44
Definição de Progressão aritimética.......................................................................................................................44
Termo Geral da PA.................................................................................................................................................44
Soma dos n primeiros termos da PA......................................................................................................................44
PAs de três termos..................................................................................................................................................44
Propriedades das PAs.............................................................................................................................................45
Exercícios...............................................................................................................................................................45
Progressão Geométrica .........................................................................................................................................46
Definição de Progressão Geométrica ....................................................................................................................46
Termo Geral da PG.................................................................................................................................................46
Soma dos primeiros termos da PG.........................................................................................................................46
PGs de três termos ................................................................................................................................................47
Média Geométrica .................................................................................................................................................47
Soma dos Termos da PG infinita ...........................................................................................................................47
Exercícios...............................................................................................................................................................48
Gabaritos...............................................................................................................................................................49
Capítulo 4 - Funções recíproca e exponencial ..................................................................................................29
Função recíproca F (x) = 1/x ....................................................................................................................................29
Exercícios ................................................................................................................................................................ 29
Função exponencial ................................................................................................................................................. 30
Propriedades ........................................................................................................................................................... 30
Imagem .................................................................................................................................................................... 30
Gráfico ...................................................................................................................................................................... 30
Equações exponenciais ........................................................................................................................................... 31
Exemplo 1 ................................................................................................................................................................ 31
Exercícios ..................................................................................................................................................................32
Exemplo 2 ................................................................................................................................................................. 32
Exercícios ................................................................................................................................................................. 33
Exemplo 3 ................................................................................................................................................................ 33
Exercícios ................................................................................................................................................................. 33
Exemplo 4 ................................................................................................................................................................ 34
Exercícios ................................................................................................................................................................... 35
Capítulo 5 - Função Logarítmica ....................................................................................................................36
Função Logarítmica ............................................................................................................................................ 36
Logaritmo ............................................................................................................................................................ 36
Propriedades ....................................................................................................................................................... 36
Exercícios ............................................................................................................................................................ 36
Condições de existência ......................................................................................................................................38
Propriedades Operatórias ...................................................................................................................................38 
Exercícios .............................................................................................................................................................38
Convenção .......................................................................................................................................................... 39
Mudança de base ................................................................................................................................................ 39
Exercícios ............................................................................................................................................................ 39
Função Logarítmica ............................................................................................................................................. 40
Exercícios ............................................................................................................................................................. 41
1.
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
- 29 -
CAPÍTULO 4 - FUNÇÕES RECÍPROCA E EXPONENCIAL
1. FUNÇÃO RECÍPROCA f(x) = 1 
 x
1 1
2 1/2
3 1
3_
x y
f: x  y = 1
x
Domínio D = IR* y = x = 2
Imagem Im = IR* y = 
1
3
x = 3
x y
1/2
-
1
3
_
-1
-
-1
-2
-3
O gráfico é uma curva chamada hipérbole. Esta curva não encontra os eixos coordenados, embora deles se aproxime
indefinidamente; dizemos que os eixos 0x e 0y são assíntonas desta hipérbole, dita uma hipérbole eqüilátera porque
suas assíntonas (os eixos 0x e 0y, no caso) são perpendiculares entre si.
Note que y = é a mesma relação expressa por xy = 1 e que a relação dada por xy = K (onde K é uma constante) é
a mesma que y = K_
x
1_
x
.
Exercícios
1) Os gráficos das funções f(x) = e g(x) = 3 intercep-
tam-se em qual ponto do plano cartesiano? 
1
x
_
2) Obtenha os pontos de intersecção dos gráficos de 
y = e de y = 2x - 1.1
x
_
3) Resolva em R* as equações:
a) = x
1
x
_
b) =
1
x
_ x
4
_
c) = 3 - x d) x + 1 =2
x
_ 1
3x
__
Estas funções são usadas para descrever o comportamento de duas grandezas que variam relacionadas, mantendo
constante o produto de seus valores, o que ocorre em muitos fenômenos.
1
2
Graficamente
y
x
4) É dada a função f(x) = para todo x em R*, pergun-
ta-se:
a) Existe valor de x para o qual f(x) = 0?
b) Para que valores de x tem-se f(x) > 0?
c) Para que valores de x tem-se f(x) < 0?
1
x
_
5) Seja a função f(x) = , definida para x em IR - {2}.
a) Para que valor de x tem-se f(x) = 0,1?
b) Para que valores de x tem-se f(x) > 0?
1___
x - 2
- 30 -
6) Obtenha os pontos de intersecção da curva x . y = 2 com y = .
x
2
_
2. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição: dado um número real a, tal que 0 < a  1; chamamos função exponencial de base a a função f de IR em
xlR que associa a cada x real o número a . Em símbolos:
f: IR  IR
xx  a
Ex:
xa) f(x) = 3 xc) f(x) = ( 2 )
2.1 Propriedades
a x1 ) Na função exponencial f(x) = a , temos
0x = 0  f(0) = a = 1
Isto é, o par ordenado (0,1) pertence a função para todo a  IR * - {1}. Geometricamente, isto significa que o gráfico+
cartesiano de toda função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
a x2 ) A função exponencial f(x) = a será crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Portanto, dados os reais x e x , temos:1 2
a) Se a > 1
dados, x < x  f(x ) < f(x ), a função é crescente.1 2 1 2
E, a título de um conhecimento técnico, temos também que:
a x 3 ) A função exponencial f(x) = a , com 0 < a  1, é injetora pois, dados x e x tais que x  x vem f(x )  f(x ), não1 2 1 2 1 2
importando se a função é crescente ou decrescente.
2.2 Imagem
xNo estudo de potências de expoente real, vimos que se a  IR *, então a > 0,  a  IR. Logo, podemos afirmar que, a+
ximagem da função exponencial é Im (a ) = IR *.+
xIm (a ) = IR *+
1
2
_( )
x
b) f(x) =
b) Se 0 < a <1
dados x < x  f(x ) > f(x ), a função é decrescente.1 2 1 2
*
*
+
+
2.3 . Gráfico
xCom base em todas as afirmações feitas até então, com relação ao gráfico cartesiano da função f(x) = a , podemos
dizer:
a x1 ) a curva representativa está toda acima do eixo dos x (abcissa), pois y = a > 0,  x  IR .+
a2 ) corta o eixo y no ponto de ordenada 1.
a3 ) se a > 1 é uma função crescente e se 0 < a < 1é uma função decrescente.
xLogo, um dos aspectos de f(x) = a é
(0,1)
y
x
xy = a
(a > 1)
xy = a
(0 < a < 1)
(0,1)
x
y
Exemplos:
o x1 ) Construir o gráfico da função exponencial de base 2, f(x) = 2 (a = 2 > 0)
x xy = 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
1/8
1/ 
1/
4
2
1
2
4
8
1
4
 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 x
y
xf(x) = 2
2
3
5
6
8
7
9
o x2 ) Construir o gráfico da função exponencial de base , f(x) = ( )1
2
_ 1
2
_
x xy =(1/2)
-3
-2
-1
0
1
2
3 1/8
1/ 4
1/2
1
2
4
8
2.4 Equações exponenciais
Definição: são equações com incógnitas no expoente.
EX:
x xa) 4 - 2 = 2  
3
27
Existem dois métodos fundamentais para resolução das equações exponenciais. A princípio vamos expor um 
deles, sendo que o segundo será apresentado à medida que aprofundarmos os nossos estudos na área dos 
l o g a r i t m o s .
o1 ) Método da redução a uma base comum
O próprio nome já nos diz o processo de resolução. Com efeito, o método será aplicado quando , ambos os membros 
da equação, com as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potência, forem redutíveis à 
b c
a = a  b = c (0 < a  1)
Atenção: É muito importante (e fundamental) que todas as propriedades operacionais das potências e da radicia-
ção estejam bem esclarecidas e prontas (conscientemente) a serem utilizadas.
Exemplo 1:
Resolver as seguintes equações exponenciais:
x 3 x 3 x -5a) 8 =  (2 ) =  (2 ) = 2
3x -5 2 = 2  3x = -5 
1
32
__ 1
52
__
x = - __
5
3
2x + 5 2x + 5 0
c) 11 = 1 11 = 11  2x + 5 = 0  2x = - 5  x = - 5
2
__
xb) ( 3 ) =
x = __
8
3
x 1/2 x 4b) ( 3 ) = 81  (3 ) = 3  3 = 3 => 
3

3 x
2
__ 4
3
__x2
4
3 = 
1
4
 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 x
y
2
3
5
6
8
7
9
- 31 -
Exercícios:
7) Resolver as seguintes equações exponenciais:
xa) 3 = 243
xb) ( 4 ) =
x
c) 125 = 0,04
3x -1
d) 2 = 32
x
e) (1/5) = 125
xf) 8 = 0,25
x
g) 100 = 0,010

5
 8
1__ 2x + 1i) 8 = 
3
x -1
4
2 - 3x
j) 8 = 32
x - x - 16
l) 2 = 16
3x - 1 2x - 1
m) 2 = 16  
3
Exemplo 2:
Resolver as equações exponenciais abaixo:
x-1 x - xx 2 2 2a) (2 ) = 42 = 2  x - x = 2  x - x - 2 = 0
logo x = 2 ou x = -1
2
s = { -1,2 }
3x + 4 2x - 3
h) 7 = 49

3 x - 1xo) ( 9) = 27
x - x 
n) 8
2 x + 1
= 4
( ) ( )
2 x + 3x - 18 = 0, logo x = 3 ou x = -6
x = -6 (não serve pois x >0)
 s = {3}
x-2 2x-5 3x-2
b) 5 . 25 - 5 = 0
x

2x
x-2 (2x - 5) 3x-22 5 . (5 ) - 5


x

2x
2 .5 . 5 = 5
x-2
2
__
__ __
x-2
2
__
x-2
2
__ 3x-2
2x
___
5 = 5  =+
_____4x-10
x
+
_____4x-10
x
3x-2
2x
___
2x - 5 3x - 2
x 2x
= 0
- 32 -
Exercícios:
8) Resolver as equações exponenciais abaixo:
a) =
x+2 x3 . 9
5x -1
243
________ 2x81
3-4x
27
_______
3x-1 2x+3
e) 2 . 4 =
3
8
x
8
__3x - 1 x-3 b) 2 - 8 = 0
x+1

3 3x+7
x+1 x-1 x + x + 4
d) (9 ) = 3
2
X-1 2X-3 5X+3
f) 8 . 4 = 2
6X+12x-7 x+1 3x-13 4c) (3 ) : 9 = (3 )
Exemplo 3:
Resolver a equação exponencial abaixo:
x-1 x+1 x+2 x+3x
2 + 2 + 2 - 2 + 2 = 120 (1)
Solução: observe que podemos colocar x - 1 em evidência:
x-1 2 3 42 (1 + 2 + 2 - 2 + 2 ) = 120
x-1 x-1 x-1 3
2 . 15 = 120  2 = 8  2 = 2  x - 1 = 3  x = 4
Ou então podemos resolver de outra maneira; vamos escrever a equação (1) da seguinte forma:
x x 2 x 3 x
 + 2 + 2 . 2 - 2 . 2 + 2 . 2 = 120
x2
2
_
x
empregando uma incógnita auxiliar, isto é, pondo 2 = y, temos:
15y = 240
x
y = 16, como y = 2 , temos:
x x 4
2 = 16  2 = 2  x = 4y + 2y + 4y - 8y + 16y = 240
y
2
_
2 3
 + y + 2y - 2 . y + 2 . y = 120
Exercícios:
9) Resolver as seguintes equações exponenciais:
3x 3x+1 3x+2 3x+3
a) 2 + 2 + 2 + 2 = 240
4x-1 4x 4x+1 4x+2
b) 5 - 5 - 5 + 5 = 480
x+2 x+1 2x+1 x
c) 2.4 - 5.4 - 3.2 - 4 = 20
x-1 x+1 x+2x
d) 3 - 3 + 3 + 3 = 306
x-2 x+1xe) 5 - 5 + 5 = 505
- 33 -
Resolver as equações em IR :+
x - 7x + 12
a) x = 1
2
Solução: devemos, a priori, examinar inicialmente se 0 e 1 são soluções da equação.
Se x = 0 na equação proposta, temos: 120 = 1 (falso), logo 0 não é solução
Se x = 1, temos: 61 = 1 (verdadeiro), logo 1 é solução
Vamos supor agora que 0 < x  1, então temos
x2 - 7x + 12 0 2x = x  x - 7x + 12 = 0  x = 4 ou x = 3
Os valores x = 4 e x = 3 são soluções pois satisfazem a condição 0 < a  1. A solução final é
S = {1,3,4}
12) Resolver a equação exponencial (Desafio)
3 =
81________
2(x + 1 )
2 x
3
(x + 1 )
 x
10) Utilize o processo da incógnita auxiliar e resolva as seguintes equaçõesexponenciais:
x x
a) 9 + 3 = 90
2x xb) 5 + 5 + 6 = 0
x+1 3-x
c) 4 + 4 = 257
x x
d) 4 + 4 = 5.2
2x-1 x-1
e) 10 - 11.10 + 1 = 0
2x - ½2xf) 5.2 - 4 - 8 = 0
 x  x
11) Resolver a equação 25 - 124 . 5 = 125
Exemplo 4:
- 34 -
14) Resolver os seguintes sistemas de equação:
a)
x
4 = 16 y
x+1
2 = 4y{ c)
x y
2 - 2 = 24
x + y = 8{
d)
2+( y - x )2+(x - y)
2 = 4 . 2
x + y = 5
2 2 
{
Exercícios:
13) Resolva as equações em IR :+
x - 5x + 6
a) x = 1
x - 3x - 4
b) x = 1
2
2
2 - 3x
c) x = 1
x - 2 
d) x = 1
2
b)
x ( y )3 - 2 = 77
3 - 2 = 7
2
2{ x2 y2
- 35 -
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 
29 168 xx 
( ) Se 42 x então 646 x 
( ) Se 646 x então 2x 
( )   3232 22  
( ) Se 2,010 x então 04,0102 x 
( ) 
nnn 2522 2 � 
(A) (F) (V) (V) (V) (F) 
(B) (V) (F) (V) (V) (V) 
(C) (V) (F) (V) (V) (F) 
(D) (V) (V) (F) (V) (V) 
(E) (V) (F) (V) (F) (V) 
 
1. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
1. 1 Logaritmo
xDado um número a positivo e diferente de 1, e um número b positivo, se a = b, dizemos que o expoente real x é o
logaritmo de b na Base a. Indicamos por log b e lemos logaritmo de b na base a.a
xlog b = x  a = ba
Exemplos:
2a) log 9 = 2 (pois 3 = 9)3
-3b) log 8 = -3 (pois (1/2) = 81/2 
1/2c) log 10 = ½ (pois 10 = 1010  
Se x = log a, dizemos que:b
b é a base do logaritmo (b > 0 e b  1)
a é o logaritmando ou antilogaritmo (a > 0)
x é o logaritmo (x  IR)
1.2 Propriedades
É conseqüência direta da definição de logaritmo as seguintes propriedades, úteis muitas vezes nos exercícios:
mlog a = m (a < 0 e a  1)a
log abb = a
Por exemplo:
3a) log 64 = log 4 = 34 4 
3b) log 1000 = log 10 = 310 10
c) log 0,001 = log 10 = -310 10
3 2/3 d) log 8 = log 2 = log 2 = 2 2 2 

Exercícios
1) Dê os valores dos logaritmos:
a) log 8 =2 
b) log 100 =10
c) log 0,01 =10
d) log 3 =3
a) log 81 b) log 82
-3
5
2) Calcular o valor de log 625.
3) Calcule: 
1
2 1
2
3
2
1
3
3
2
- 36 -
1ª P)
2ª P)
 D E F I N I Ç Õ E S:
1ª) log b = 1b
2ª) log 1 = 0b
O logaritmo de um número qualquer,
positivo, de base igual a este número é igual
a 1 (um). .
O logaritmo de 1 (um) em qualquer base,
positiva e diferente de 1 é igual a zero. .
Exemplos:
loga) 5 = 25 b) = 51
2( (
1
2
log 5
e) log 1 =5
CAPÍTULO 5 - FUNÇÃO LOGORÍTMICA
5
25
7) Calcule:
a) log 64 + log 0,1 - log 0,25 =2 10 0,5
b) log (log 16) - log (log 81) =2 2 2 3
c) log 625 . log 343 . log 128 =5 7 2
b) log = 02
2x - 3
x - 1
_____
4) Calcule o logaritmo da raiz quadrada de 1/3 na base 3 3.
5) Calcule:
9) Resolver a equação exponencial:
x x+1 x9 - 3 = 5 + 3
e) log 0,1 =10
a) log 1 =3
 27
b) log 1 =2
 8
8) Resolva as equações:
2a) log (x + 3x - 1) = -21
 3
c) log 8 =1
 2
6) Calcule o valor da expressão dada y, em cada caso:
a) y = log (x - 2) + log (x - 3), para x = 42 2
b) y = log (x +1) + log (3x - 2),para x = 12 1
 2
d) log =2
1
4
- 37 -

c) log 27 =3
2+log 53g) 3 =
d) log 32 =4
3-log 255h) 5 =
e) log 2 2 =2 
log 3. log 7b 3i) b =
f) log 25 5 = 1
5
log 5 . log 33 aj) a =
1.4 Propriedades Operatórias
Com as propriedades operatórias podemos resolver muitas equações e inequações logarítmicas.
1ª propriedade: log (b . c) = log b + log c.a a a
2ª propriedade: log b = log b - log c.a a a
 c
m3ª propriedade: log b = m . log b (m  IR)a a
Exemplos:
1. log (0,13 . 0,57) = log 0.13 + log 0,572 2 2
2. log 2 = log 2 - log 53 3 3
 5
33. log 7 = 3log 72 2
- 38 -
1.3 Condições de existência
 Para que exista em logaritmo, ou seja, que tenhamos resposta, é necessário observarmos as seguintes condi-
ções:
a) O logaritmando deve ser positivo. (log a) a > 0.b 
b) A base deve ser positiva e diferente de 1 (um). (log a) b > 0 e b  1.b
Exemplo 1: 
f (x) = log (x - 3)2
C.E. x - 3 > 0 => x > 3  D = { x  R / x > 3 }
Exemplo 2:
y = log 9x - 5
C.E. x - 5 > 0 => x > 5
 x - 5  1 => x  5 + 1 e x  6 }
Exercícios:
10) Determine o domínio ds seguintes funções:
a) y = log ( x - 9 )3
b) y = log ( x² - 4)5
c) f (x) = log ( x² - 9 )x + 1 
d) log 9 x² - 6x + 9) = f (x)x
- 39 -
log b =a
log bc
log ac
_______
Exemplos:
1) x5 = 13
x5 = 13  x = log 135
x x5 = 13  log 5 = log 13  = x.log 5 = log 1310 10 10 10
I
II
Obtemos:
x =
log 1310
log 510
______
I II
log 1310
log 510
______
Comparando e , concluímos que:
log 13 =5
2) log 5 =2
log 5
log 2
_____
3) log 40 = = = log 409 3 
log 403 
log 93
_______ log 403 
2
_______
Exercícios
11) Dado log2 = 0,3 calcule:
a) log 20 b) log 200
a) log 6 
b)log 60 
c) log 18 
d) log 72
14) Resolver as equações:
a) log (x -2) + log (x - 3) = 04 4
b) log x + log (x+2) = 32 2
c) log (x - 2) + log (x + 4) = 23 3
d) log x + log 3x + log 27 = 53 3 3
1
2
1.6 Mudança de Base:
Em Geral:
1.5 Convenção
Foi convencionado que ao escrevermos um logaritmo, omitindo sua base, adotaremos o valor da nossa base numérica,
ou seja, 10.
Ex.: log 2 é o mesmo que log 210
log 5 é o mesmo que log 510
Quando a base é 10, chamamos de: Logaritmos decimais ou vulgares ou Logaritmos de Briggs.
Ainda existe um logaritmo cuja base é irracional, chamamos de: Logaritmos neperianos ou logaritmos naturais e seu
valor aproximado é 2,71828... Indicamos:
ln x ou log xc
NOTA: Todas as propriedades, já estudadas, valem também para os logaritmos neperianos (em homenagem a JOHN
NAPIER).
12) Dados log2 = 0,3 e log3 = 0,5 calcule:
13) Resolver a equação logarítmica log (x - 2) + log (X - 3) = 1:2 2
18) Tomando log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcule:
log 209
1.7 Função Logarítmica
Dada uma base a (a > 0 e a  1), para cada número positivo x temos um único valor de log x; temos portanto uma a
função:
y = log x definida para x > 0a 
Domínio = {x  IR / x > 0}
Imagem = IR
Domínio = {x  IR / x > 0}
Imagem = IR
Esta função, y = log x, é crescente pois quaisquer que sejam x1 e x2 reais positivos, x2 > x1  log x2 > log x1.2 2 2
x y
1
2
4
8
½
¼
0
-1
-2
-3
1
2
Esta outra é uma função decrescente pois quaisquer que sejam x1 e x2 positivos, x2 > x1  log x2 < log x11 1 
Em geral, a função logarítmica y = log x, tem as seguintes características:a
Domínio D = {x  IR | x > 0}
Conjunto - Imagem Im = IR
O par ordenado (1,0) pertence à função
Se base a > 1, a função é crescente; se base 0 < a  1, a função é decrescente.
15) Resolver a equação 2 log (x + 9) = 3 + log (x + 7)2 2
16) Resolver a equação 2 log (x - 2 ) - log (x + 1) = 22 2
17) Se log2 = 0,30 obtenha:
a) log 21 
 10
19) Resolver a equação log (x - 2) - log (x + 1) = 1.2 4
20) Resolva as equações:
a) log x + log x = 63 9
b) log (x - 3) - log (x - 3) = 14 16
2c) log (2x - 1) - log (3x - 4x + 2) = 03 9
b) log 1100
 2
2 2
- 40 -
y = log x2
x y
1
2
4
8
½
¼
0
1
2
3
-1
-2
o1 ) 
 Gráfico
Vamos inicialmente fazer os gráficos 
de y = log x e y = log x2 1 
 
 2
x
y
1
2
2-1
-2
43
3
1
2º) y = log x1
2
x
y
1 2 4
-1
-2
-3
-4
3
1
2
a) f(x) = log x2,5
c) g(x) = log x2
b) h(x) = log x0,8
25) Resolva as inequações:
a) log (2x - 5) > 02
c) log x < 42
d) log x < ½3
f) log x < -10,5
 Exercícios
21) Faça um esboço do gráfico da função:
a) log x3
c) log x10
23) Obter os valores de x que satisfazem à inequação:
a) log x > 32
 
b) log X < 1 5c)log 3x < 00,5
24) Obter os valores de x que verifiquem a inequação,
em cada caso:
a) log x > 210
b) log x1
3
d) t(x) = log x5
3
e) log x <11 
3
b) log x > 22 
3
c) log (x - 1) < -11 
3
b) log (x - 3 ) < 21 
 4
2
d) log (x - 3) < 14
- 41 -
22) Quais das funções logarítmicas seguintes são crescentes?
26) Assinale as proposições verdadeiras:
a) log x > log 7  x > 72 2
b) log x < log 5  0 < x < 53 3
d) log x  log   x  1,5 1,5
c) log x  log 4,1  0 < x  4,11 1 
3 3
o27) Resolva as seguintes inequações do 2 grau com uma
variável, sendo U = IR:
2a) x + 2x - 3 > 0
2c) x + 4x + 7 > 0
2e) -4x + 11x - 6  0
2b) -x + 10x - 25 > 0
2d) x - 13x + 36  0
2
f) x + x > 7x + 16
2 2
h) 3x - 30 > 2x + 51
j) (x-1) (x - 2) < 0
2m) (x - 1)  3 - x
28) Resolver as seguintes inequações:
a) - <
x -2
4
___ 3 - x
2
____ 5
3
__
c) 3 (x + 12) < 4 (2x + 8)
e) - > x - 32x + 1
3
_____ X + 6_____
5
g) 3X - 4 + X < 5X
2
______
i) 2x - >x - 4
5
_____ 2 (2x - 3)
3
_________
d) - < 1
 2
x - 1
10
____ x - 3
5
____
2 2f) (x - 1) - 7 > ( x- 2)
h) - 1 < -x - 1
2 4
____ ____ 2( 1 - 3x)
3
_______ 5
6
__
j) - > 3 -2x - 1
3
_____ x - 4
2
_____ x__
4
4
2o) 1 x - 4 > 3 x + 7
4 3 8 6
2l) x < 1
 9
2 2n) (x + 2) + (x - 2) > x
- 42 -
2
g) x  2x + 3
2 2
i) 8 ( x - 3) + 1 < 5 (x - 1) - 6
b) - - 4x + < 03x
2
__ 7x - 1
2
_____ 1
3
- 43 -




2loglog
22
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
c
b
a) 6,3 c) 2,52 
b) 12,8 d) 12,4 
- 44 -
CAPÍTULO 6 - PROGRESSÕES
1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
1.1 Definição de Progressão Aritmética
Uma seqüência de números a ; a ; … ; a ; a 1; … é uma progressão aritmética quando cada um dos seus termos, a 1 2 n-1 n
partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r (chamada razão da PA).
PA: a : a + rn n-1 , n  2
Se r >0, a PA é crescente; se r<0, a PA é decrescente e se r = 0, a PA é constante.
Assim, se conhecemos o primeiro termo (a ) da PA e sua razão (r), é fácil determinarmos a seqüência de números1
desta PA.
Exemplo: Dado a = 7 e r = 2, temos:1
PA: 7; 9; 11; 13; 15
+ 2 + 2+ 2+ 2
a = a + (n-1)rn 1
Essa igualdade é conhecida como fórmula do termo geral da PA, e é bastante útil na resolução de uma série de 
problemas.
oExemplo: Calcule o 10 termo da PA: 2;7;
Resolução: a = 2 (primeiro termo da PA)1
fazendo n = 10 na fórmula do termo geral, vem:
a = 4710
1.2 Termo Geral da PA
S = n
a + a1 n . n
2
Exemplos de aplicação:
Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA onde 
a = 5 e a = 65.1 20
S20 = 
a + a1 20
2
. 20 = (5 + 65). 10 = 700
Resposta: 700
1.3 Soma dos n primeiros termos da PA.
a = a + (10 - 1)r10 1
a = a + 9r10 1
a = 2 + 9.5 10
oPortanto, o 10 termo desta PA é 47.
1.4 PAs de três termos
PA: x - r ; x ; x + r
São muito comuns problemas envolvendo apenas três termos consecutivos de uma PA.
Exemplo de aplicação:
A soma de três números dé 180 e estão em PA. Quanto é 
necessariamente um número? Então: x - r + x + x + r = 180
3x = 180
x = 60
Resposta: 60
Resolução: Sejam os números x-r; x; x+r
1.5 Propriedades das PAs
Observando a PA de 9 termos
1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33
17 = 
1 + 33
2
- 45 -
Verificamos que:
o1 ) O termo médio (17) é a média aritmética dos extremos (1 e 33):
o2 ) A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos, é igual à soma dos extremos:
1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33
5 + 29 = 34
9 + 25 = 34
13 + 21 = 34
1 + 33 = 34
Então, para a PA: a ; a ; a ; … a ; a , temos:1 2 3 n-1 n 
a = médio
a + a1 n
2
(n ímpar)
a + a = a + a = a + a2 n-1 3 n-2 1 n
1. Calcule r e classifique a PA em cada um dos casos abaixo:
a) PA: 2; 5;...
b) PA: 3_
4
2
5
_; ;... d) PA: -4; -12; -20;...
2. Escreva os cinco primeiros termos da PA onda a = 4 1
 e r = 7.
6. Interpole 5 meios aritméticos entre 1 e 67.
7. Numa PA tem-se a = 44 e a = 64. Determine o pri-10 15
 meiro termo e a razão.
8. Calcule a soma dos 40 primeiros termos da PA onde 
 a = -6 e a = 261 40
9. Calcule a soma dos 15 primeiros termos da 
 PA: -10; 0;...
10. Três pedaços de madeira têm suas medidas em PA, 
 sendo que a soma dessas três medidas vale 300 cm. 
 Quanto mede necessariamente um pedaço.
5. Calcule o centésimo número ímpar positivo.
4. Calcule a razão da PA onde a = 3 e a = -511 25
o3. Calcule o 10 termo da PA: 3; 7;...
c) PA: -1, 1;...
EXERCÍCIOS
2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
21. Definição de Progressão Geométrica
Uma seqüência de números a a ; a a ; a ;... é uma progressão geométrica quando cada um dos seus termos, a1; 2 3; ...; n-1 n
partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante q (chamada razão da PG).
PG: a : a . qn n-1 , n 2
Se q>1, a PG é crescente; se r 0<q<1, a PG é decrescente; se q = 1, a PG é constante; se q<0, a PG é alternanda ou
 oscilante.
Assim, se conhecemos o primeiro termo (a ) da PG e a sua razão (q), é fácil determinarmos a seqüência de números1
desta PG.
Exemplo: Dado a = 3 e q = 2, temos:1
PG: 3; ;6; 12; 24; 48; …
x2 x2x2x2
2.2 Termo Geral da PG
n-1
a = a . qn 1 
Essa igualdade é conhecida com fórmula do termo geral da PG.
oExemplo: Calcule o 8 termo da PG: 3; 6;... q = 6
3
_= 2Resolução: a = 3 (primeiro termo da PG)1
fazendo n = 8 na fórmula do termo geral, vem: 8-1a = a . q8 1
7a = a . q8 1
7a = 3 . 28
a = 3 . 1288
a = 3848
- 46 -
2.3 Soma dos n primeiros termos da PG
S = n
na (q -1)1
q - 1 ou S = n 
a . q - an 1
q - 1
Exemplo de aplicação: 
Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG, onde 
a = 3 e q = 21
S5 = 
1 5a (q - 1)
 q - 1
=
53(2 - 1)
2 - 1
= 
3(32 - 1)
1
= 93
Resposta: 93
Resolução:
fazendo as substituições a = 3, q = 2 e n = 5 na fórmula 1
da soma:
oPortanto, o 8 termo desta PG é 384.
2.5 Média Geométrica
Dizemos que o termo médio é média geométrica entre os outros dois.
Se a, b e c são termos consecutivos de uma PG, então b é média geométrica entre a e c.
2PG: ...; a; b; c;...  b = a . c
Exemplo de aplicação:
Determine x sabendo que x - 2, 2x + 3 e 4x - 1 estão, 
nesta ordem, em PG.
2.6 Soma dos termos da PG infinita
S = 
a1
1 - q
Exemplo de aplicação:
Calcule a soma dos termos da PG infinita onde a = 3 e q = 1
1
3
_
Resolução: S =
a1
1 - q
= 3
1
3
_1 -
= 
3
2_
3
9
2
_=
Resolução: sejam os números 
temos:
x
q
_ 3. x . xq = 8  x = 8  x = 2
x + x . q = 8
{
aSubstituindo x = 2 na 2 equação, vem:
2 + 2 . q = 8  q = 3
2.4 PGs de três termos
x
q
_PG: ; x; xq
Exemplos de aplicação:
O produto de 3 números em PG é 8. Determine-os, 
sabendo que a soma dos dois últimos é 8.
x
q
_ ; x e x.q (q 0)
Resposta: Os números são: , 2 e 6.2_
3
- 47 -
1
3
_
Resolução:
Utilizando a propriedade da média geométrica, temos:
2(2x + 3) = (x - 2) (4x - 1)
2 2
4x + 12x + 9 = 4x - x - 8x + 2
21x = - 7
x = - 
11. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da PG onde a = 1 e q = -2.1
12. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da PG: 3, 3
2
_ ;...
o
13. Calcule o 10 termo PG onde a = 1
1
81
_ e q = -3.
14. Calcule a razão da PG onde a = 1 e a = 5.1 4
15. Calcule a soma dos termos da PG infinita onde a = 6 e q = 1
1
10
_
2 3
16. Determine x na equação x + x + x + … = 5.
17. Calcule a razão da PG onde a = 3 e a = 12.1 6
18. Suponha que os números 2, x, y e 1458 estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Desse modo o valor de x + y é:
a) 90 b) 100 c) 180 d) 360
19. O primeiro termo de uma progressão geométrica em que a = 1 e a = 9 é:3 5
a) b) 1
27
_ 1_
9
c) 1
3
_ d) 1 e) 0
e) 1460
1_
8
1_
2
1_
4
20. A soma dos termos da progressão geométrica: 1; ; ; é:
a) 2 b) 0 c) 3 d)1,75 e) n.d.a.
Exercícios
- 48 -
a) 11. 
b) 12. 
c) 13. 
d) 14. 
a) 24 b) 20 c) 18 d) 8 
- 49 -
Gabarito:
1) P ( ; 3)
2) P (1;1) e P ( - ; -2)
3)
a) x’ = -1 ou x’’ = 1
b) x’ = -2 ou x’’ = 2
c) x’ = 2 ou x = 4
d) 
1
3
1
2
4)
a) não (x  0)
b) {x  IR / x > 0}
c) {x  IR / x < 0}
5)
a) x = 12
b) {x  IR / x > 2}
6) S = {(-2;-1), (2;1)}
2
3
1
2
3
2
11) x = 9 12) x = 1
13)
a) S = {1, 2, 3}
b) S = {-1, 4}
c) S = { }
d) = { - 2 , 2 }
14)
a) S = {(3 ; 4)}
b) S = {(4, 2)}
c) S = {(5 ; 3)}
d) S = {(2 ; 3), (-3 ; 8)}
15) C
16) B
17) D
CAPÍTULO 4
Pág. 29
Pág. 32
9)
a) x’ = 
b) x =
4
3
1
2
c) x = 1
d) x = 3
e) x = 2
Pág. 33
Pág. 34
Pág. 35
Pág. 36
1)
a) 3
b) 2
c) -2
d) 1
e) 0
2) 8
3)
a) - 4
b)
c) 6
d)
e)
f) -
g) 45
h) 5
i) 7
j) 5
3
2
3
2
3
2
5
2
5
2
1
3
1
2
4) -
5)
a) -3
b) -
c) - 3
d) - 2
e) -
6)
a) 1
b) 1
7)
a) 3
b) 0
c) 84
8)
a) -5 ou 2
b) -1 ou 2
5
9) x = log3
CAPÍTULO 5
Página 38 
10)
a) D = { x  IR / x > 9}
b) D = { x  IR / x < -2 ou x > 2}
c) D = { x  IR / x > 3}
d) D = { x  IR / x > 0 e x  1}
Página 39 
11)
a) 1,3
b) 2,3
12)
a) 0,8
b) 1,8
c) 1,3
d) 1,9
13) 4
14)
a)
b) 2
c) - 1 + 17
d) 3
5 + 5
2
Página 40 
15) -5
16) 8
17)
a) -0,3
b) -0,15
18) 1,35
19) 8
20)
a) 81
b) 19
c) 1
Página 41 
21)
a)
b)
c)
y
2
1
0 1 x
y
2
1
0
-1
-2
x
y
1
0
-1
1 x
22)
a) crescente
b) decrescente
c) crescente
d) crescente
23)
a) S = {x  IR / x > 8}
b) S = {x  IR / 0 < x < 5}
c) S = {x  IR / x > }
1
3
4
9
1
3
24)
a) S = {x  IR / x > 100}
b) S = {x  IR / 0 < x < }
c) S = {x  IR / 0 < x < 4}
d) S = {x  IR / 0 < x < 3 }
e) S = {x  IR / x > }
f) S = {x  IR / x > 2}
- 50 -
3
4
1
3
1
3
5
2
44
9
1
36
4
5
16
3
7
30
16
5
25)
a) S = { x  IR / x > 3}
b) S = { x  IR / x > 1}
c) S = { x  IR / x > 4}
d) S = { x  IR / 3 < x < 7}
26) a ;b e c
27)
a) S = { x  IR / x < -3 ou x > 1}
b) S = { }
c) S = IR
d) S = { x  IR / x  4 ou x  9}
e) S = { x  IR /  x  2}
f) S = { x  IR / x < -2 ou x > 8}
g) S = { x  IR / -1  x  3}
h) S = { x  IR / x < -9 ou x > 9}
i) S = { x  IR / x < -2 ou x > 2}
j) S = { x  IR / 1 < x < 2}
l) S = { x  IR / - < x < }
m) S = { x  IR / -1  x  2}
n) S = IR
o) S = { x  IR / x < - ou x > 4}
28)
a) S = { x  IR / x < }
b) S = { x  IR / x > - }
c) S = { x  IR / x > }
d) S = { x  IR / x > 0}
e) S = { x  IR / x < 4}
f) S = { x  IR / x > 5}
g) S = { x  IR / x < }
h) S = { x  IR / x < }
i) S = { x  IR / x > -6}
j) S = { x  IR / x > }
- 51 -
 Capítulo 6
 Página 45
1) a)
 
 b) 
 
r = 3
PA crescente
r = 2
PA crescente
r = - 8
PA decrescente
r = -
PA decrescente
9
4
7
20
2) PA: 4, 11, 18, 25, 32
3) a = 3910
4) r = -
5) a = 199100
6) PA: 1, 12, 23, 34, 45, 56, 67
7) a =8 r = 41
8) S = 40040
9) S = 90015
10) 100 cm
 Página 48
11) S = 216
12) S =7
13) a = -24310
314) q = 5
15) S = 
16) x =
5
17) q = 4
18) C
19) B
20) S =
21) B
22) A
381
64
20
3
15
8
5
6
c)
d)
29) C
30) C
31) D
- 52 -
MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
Í N D I C E
Capítulo 7 - Matrizes........................................................................................................................................55
Matriz................................................................................................................................................................55
Igualdade da Matriz............................................................................................................................................ 55
Exercícios ...........................................................................................................................................................56
Adição de Matrizes.............................................................................................................................................56
Matriz - soma.....................................................................................................................................................56
Propriedades......................................................................................................................................................56
Produto de um número por matriz.....................................................................................................................56
Matriz Oposta.....................................................................................................................................................56
Diferença de Matrizes........................................................................................................................................56
Exercícios .......................................................................................................................................................... 57
Matrizes Importantes ...................................................................................................................................... 57
Multiplicação de Matrizes...................................................................................................................................58
Produto de Matrizes............................................................................................................................................58
Exercícios .......................................................................................................................................................... 58
Matriz Transposta..............................................................................................................................................59
Propriedades da Transposta..............................................................................................................................59
Exercícios .......................................................................................................................................................... 59
Matriz Inversível..................................................................................................................................................60
Unicidade da Inversa...........................................................................................................................................60
Propriedades da Matriz Inversa..........................................................................................................................60
Exercícios ...........................................................................................................................................................60
Capítulo 8 - Determinantes..................................................................................................................................62
Determinante de 1ª ordem ................................................................................................................................62
Determinante de 2ª ordem ................................................................................................................................62
Determinante de 3ª ordem ................................................................................................................................64
Determinantes de uma matriz ................................................................................................................................64
Menor complementar .............................................................................................................................................64
Propriedades Determinantes .................................................................................................................................65Matriz de Vandermonde .........................................................................................................................................66
Determinante de Matriz de Vandermonde ............................................................................................................. 66
Teorema de Laplace...............................................................................................................................................66
Regra de Chió ........................................................................................................................................................67
Exercícios ...............................................................................................................................................................67
Sistemas Lineares ...................................................................................................................................................68
Exercícios ...............................................................................................................................................................68
Sistema Escalonado ..............................................................................................................................................69
Exercícios ..............................................................................................................................................................69
Sistema Homogêneo .............................................................................................................................................70
Discussão de um sistema homogêneo ..................................................................................................................70
Exercícios ..............................................................................................................................................................70
Teorema de Rouché Capelli....................................................................................................................................71
Discussão de Sistema Lineares por Rouché Capelli ..............................................................................................71
Exercícios...............................................................................................................................................................71
Capítulo 9 - Geometria Espacial..................................................................................................72
Definições e Postulados...................................................................................................................................72
Definições.........................................................................................................................................................72
Postulados........................................................................................................................................................72
Exercícios........................................................................................................................................................73
Posições relativas.............................................................................................................................................74
Posições relativas de duas retas......................................................................................................................74
Exercícios........................................................................................................................................................75
Posições relativas de reta e plano...................................................................................................................76
Posições relativas de 2 planos.........................................................................................................................76
Condições de perpendicularismo ....................................................................................................................76
Exercícios.........................................................................................................................................................77
Prismas.............................................................................................................................................................78
Paralelepípedo................................................................................................................................................7 8
Cubo.................................................................................................................................................................79
Volume de um prisma......................................................................................................................................79
Exercícios.........................................................................................................................................................80
Gabaritos ...........................................................................................................................................................81
1
2
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4
4.1
5
5.1
6
6.1
6.2
1
2
3
4
4.1
4.2
4.3
4.4
5
6
7
8
9
9.1
10
10.1
1
1.1
1.2
2
2.1
2.2
2.3
2.4
3
3.1
3.2
3.3
- 55 -
CAPÍTULO 7 - M A T R I Z E S
1. Matriz:- Chamamos de matriz uma tabela formada de m . n números, colocados em m linhas e n colunas, como nos 
exemplos a seguir:
A =
A =
B = C =
2
0
-2
1
2
2
0
3
-1
 3
2
0
0,5
-1
2
0
0
-1
5
1
2
As filas horizontais são as linhas e as filas verticais são as colunas da matriz.
Em geral, representamos uma matriz A por:
a11
a21
__
__
am1
a12
a22
__
__
am2
a10
a20
__
__
am0
Um elemento genérico aij da matriz está localizado na linha i e na coluna j (o índice i pode variar de 1 a m e o índice j
pode variar de 1 a n.
Se uma matriz tem m linhas e n colunas, dizemos que é matriz do tipo m x n (lemos m por n). Pode ser usada também
a notação:
A = [a ] m x nij
Para uma matriz m x n.
2. IGUALDADE DA MATRIZ
Duas matrizes A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se os elementos aij e bij que têm o mesmo par ordenado de ín-
dices, são sempre iguais.
Assim, com a igualdade A = B, entendemos que A é a mesma matriz que B.
Exercícios:
01) Representar na forma usual de tabela a matriz 
A = [a ], tipo 2 x 3, onde cada elemento a é igual a dife-ij ij 
rença i - j.
02. Represente na forma de tabela a matriz A = [a ], tipoij
2 x 3, com a = i + j.ij
03. Construa, pelos seus elementos, a matriz:
a) A = [a ] 1 x 4, tal que a = i + 2jij ij
b) B = [b ] 3 x 1, tal que a = 2iij ij
05. Se a b = 3 1 qual é o valor de a + b + c + d?
 c d 0 -2
06. Obtenha o valor de x para o qual se verifica a igual-
dade:
x + 1
0
4
2x
0
4
=
a =ij
0, se i = j
i² + j², se i  j 
{
Obtenha os elementos a13, a 22 e a32 de A
04. Seja A = [a ] uma matriz quadrada de ordem 3, talij
que:
- 56 -
=
07. Determine os valores de a, b, x e y para que se 
tenha:
a - 3b 2x + 3y
2a - b x - y
5 2
6 1 
08. Existem valores de a, b e c para os quais as matri-
zes
são iguais?
x = a² b² c²
 a b c
y = 9 0,25 -1
 -3 0,5 -1
-1 . 
12 -10 
= 
-6 +5
 2 
0 1 0 - 1 
 2
3.4 MATRIZ OPOSTA
Dada uma matriz A, chama-se matriz oposta de A a matriz:
- 1 . A = -A
3.5 DIFERENÇA DE MATRIZES
Dadas as matrizes A e B, a diferença A - B é a soma da matriz A com a oposta de B. Exemplo:
3.1 MATRIZ - SOMA
Dadas as matrizes A = [a ] e B =[b ], do mesmo tipom x n, chama-se matriz - soma A + B a matriz C = [c ], também doij ij ij
tipo m x n, tal que:
 C = a + bij ij ij
 Para todo par ordenado de índices i e j.
3.2 PROPRIEDADES:
Se A, B e C são matrizes do mesmo tipo m x n, temos sempre:
1º) (A + B) + C = A + (B + C), isto é, adição de matrizes é uma operação associativa.
2º) A + B = B + A, isto é, a adição de matrizes é comutativa.
3º) Indicando por 0 uma matriz m x n, que tem todos os seus elementos iguais a 0 (chamada matriz - nula), temos:
A + 0 = A (e o + A = A)
isto é, a operação tem elemento neutro (que é a matriz - nula)
3.3 PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ
Produto de um número k por uma matriz A, que indicamos por k . A, é uma matriz que se obtém multiplicando cada
elemento de A pelo número k. Exemplo:
5 4 2 3 5 4 -2 -3 3 1
3 2 - -1 2 = 3 2 + 1 -2 = 4 0
1 1 3 0 1 1 -3 0 -2 1
3. Adição de Matrizes
- 57 -
Exercícios:
09. Dadas as matrizes A = 2 8 0 e B = 1 -1 4
 3 0 -1 3 0 0
obtenha a matriz A + B.
10. Para que valores de x e y tem-se:
 2x -2 + 3x 1 + y = 10 4
 3 -y -1 0 2 -5
11. Dada a matriz A = 2 1 0 , obtenha:
 -1 3 1/3
a) A + A b) A + A + A
13. Dada a matriz A = 30 40 35 , obtenha as ma-
 -1 0 1
trizes:
a) 2A b) 1 A c) 0,1 . A
 2
14. Se A = 1 1 e B = 1 0 , obtenha a matriz
 1 1 0 1
3A + 2B
15. Dadas as matrizes A = 2 -1 e B = 1 0
 3 2 0 1
obtenha 2B - 1 A
 2
16. Obtenha a matriz X, tal que X - 2 1 2 = 1 0
 0 0 -2 0
17. Encontre a matriz X, tipo 2 x 2, que satisfaz a equa-
ção matricial:
 1 X - 5 1 2 = - 3 -1
 3 2 1 0 3
12. As matrizes A = [a ] e B = [b ] são quadradas, de or-ij ij
dem 2, e tais que a = 2 e b = -j. Obtenha a soma deij i ij
A + B.
 3.6 MATRIZES IMPORTANTES
a) Matriz Diagonal
Possui valores diferentes de zero apenas na diagonal
principal. Exemplos:
A = 
0
0
-1
2
0
0
0
5
0 m x n
m x n
B = 
1
0
0
1
m x n, tal que m = n
b) Matriz Identidade
Possui na diagonal principal apenas valores 1.
Exemplos:
I = 2
I = 3
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
m x n
m x n
0
0
1
m x n, tal que m = n
- 58 -
4. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Multiplicação de uma matriz-linha por uma matriz-coluna, nesta ordem, e com o mesmo número de elementos.
A = [a b c ] e B = x Portanto: A,B = [ax + by + cz]
 y
 z
Essa matriz é formada por um único elemento (matriz do tipo 1 x 1). Em geral, sendo:
 A = [ a a … a ] e B = b 11 12 1n 11
 b 21
 . 
 . 
 . 
 bn1
Temos a matriz-produto: A,B = [ a b + b ...+ a b ]11 11 21 1n n1
4.1 PRODUTO DE MATRIZES
Dadas as matrizes A = [a ] m x p e B = [b ] p x n, matriz produto A . B é a matriz C = [c ] m x n, onde cada elementoij ij ik
c é obtido multiplicando-se a linha i da matriz A pela coluna k da matriz B (como se fosse cada linha i de A uma ma-ik
triz-linha e cada coluna k de B uma matriz-coluna). Exemplos:
a) 1 3 1 . 2 + 3 . 1 5
 2 0 2 = 2 . 2 + 0 . 1 = 4
 0 1 1 0 . 2 + 1 . 1 13x2 2x1 3x1
b) 2 0 1 3 2 6 + 0 + 2 4 + 0 + 5 8 9
 1 0 = 
 1 2 -1 2 5 3 + 2 - 2 2 + 0 - 5 3 -32x3 3x2 2x2
Exercícios:
18. Efetue a multiplicação:
a) [3 - 1] . 0 b) [ 2 1 -3] . 3
 4 2
 0
19. Para que o valor de x tem-se:
 [ 3 x 1 ] . 2
 2 = [ 6 ]
 x
20. Obtenha, quando existir, o produto A, B nos seguin-
tes casos:
a) A = [ 0 -1 2] e B = -3
 -2
 ½
b) B = [ 3 2 1 0] e B = 0 
 1 
 2 
 3
22. Efetue as multiplicações indicadas:
a) a 
 b . [ 1 2 ] 
 c 
21. Dadas as matrizes: A = [ 1 2 3 ] e B = a
 b
 c
obter:
a) A . B b) B . A
b) 4
 5 . [ 9 6 2 ] 
 0
d) 2 0 a b
 0 2 c d
c) 1 2 1 1 2
 3 1 2 . 2 1 
 3 1 
e) 1 0 0 0 2 4
 0 1 0 . 1 3 5
 0 0 1 1 23 45
- 59 -
5.1 Propriedades da Transposta
1. Sejam A = (a ) e B = (b ) duas matrizes de ordens respectivamente m x p e p x n, temos então:ik kj
2. Seja A - (a ) uma matriz de ordem m x n , então:ij
3. Sejam A = (a ) e B = (b ) matrizes da mesma ordem, então:ij ij
4. Seja A = (a ) uma matriz de ordem m x n e k  C, então:ij
5. Seja a = (a ) uma matriz quadrada de ordem n inversível, então: ij
 
t t t
(AB) = B . A
t t
(A ) = A
t t t
( A + B) = A + B
t t
(K . A) = K . A
t t -1 t(A ) = (A )
Exercícios:
23. Seja A = (a ) tal que:ij 3 x 2
a = 0 para i < j, a = i + j para i = jij ij
t a = i - j para i > j, portanto quanto vale a matriz A ?ij
24. Achar as transpostas de:
a) A = [ 1 2 5 ]
b) B = 1 -1
 2 -3
c) C = 1 1 1
 2 2 2
 4 4 4
25. Dadas as matrizes
A = 1 -1 3 e B= 2 6 -3
 4 5 -7 8 -5 0 pede-se
t ta) Determinar A e B
tb) Determinar (A + B)
t t tc) Verificar que (A + B) = A+ B
26. Dadas as matrizes A = 1 2 3 e B= 4 -2
 4 1 2 5 3
 1 6
pede-se:
t ta) Determinar A e B
tb) Determinar (AB)
t t tc) Verificar que (AB) = B . A
5. Matriz Transposta
Seja A uma matriz de ordem m x n. Se construirmos uma matriz B de ordem n x m de tal forma que as linhas da ma-
triz A serão as colunas de B e as colunas de A serão as linhas de B, então B é chamada transposta de A. Indica-se
t
 B = A . Exemplo:
A = 1 4 B = 1 -2 3
 -2 -5 4 -5 -6 2x3
 3 -6
t
B = A
b= aij ij
1  j  m
1  i  m
6. Matriz Inversível
-1 -1 -1Seja A = (a ) e M (C; m x n). A matriz A , inversa de A é tal que: A . A = A . A = Inij
Exemplo:
Calcular a inversa da matriz A = 1 1
 0 1
-1 A . A = In 1 1 x1 x2 = 1 0
 0 1 x3 . x4 0 1
x1 + x3 x2 x4 = 1 0
 x3 x4 0 1
( )
( )
( )( )
( ) ( )
=> x1 + x3 = 1 => x1 + 0 = 1 => x1 = 1
 x2 + x4 = 0 => x2 + 1 = 0 => x2 = -1
 x3 = 0
 x4 =1
{
( ) 1 -1 0 1
- 60 -
6.1 Unicidade da Inversa
Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n. A inversa de A se existir é únicaij
6.2 Propriedades da Matriz Inversa
-1 -1 -11. Sejam A= (a ) e B= (b ) matrizes quadradas de mesma ordem n, e que sejam inversíveis, então: (A . B) = B . Ajk ik
-1 -12. Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n, inversível, então: (A ) = Aij
Exercícios:
27. Se A = 1 1 mostre que B = 3 -1 
 2 3 -2 1 é matriz 
inversa de A
31. Obtenha, quando existir, a inversa da matriz dada
em cada caso:
a) A = -3 1 b) B= 3 1 c) D= 2 0
 2 -1 6 2 0 5
32. Obtenha a matriz inversa de: A= 1 0 0
 0 -1 0
 0 0 2
33. Dentre as matrizes:
A = 3 -1 B = 1 -1 e C= 0,2 0,1
 4 2 -1 1 -0,4 0,3
Existem duas inversas uma da outra. Quais são elas?
34. Dadas as matrizes A = 3 2 e B = 1 1
 7 5 -1 1
-1Calcule AB + A
29. Obter, se existir, a matriz inversa de A = 3 4
 1 2
30. Obtenha a inversa de A = 2 1
 5 3
28. Mostre que as matrizes A = 1 0 0
 -1 1 -1 e
 1 2 -1
B = 1 0 0
 0 -1 1
 -1 -2 1 são inversas uma da outra.
Exercícios:
-1A =
WCA
- 61 -
35. Se 











010
011
201
A , 











10
11
12
B e 








012
110
C o determinante da transposta da 
matriz BCA2 vale: 
(A) 4 (B) 2 (C) 0 
(D) 2 (E) 4 






















80
162
410
86
42
11
3 X2,3X
a) 0 b) – 2 c)3 d) 1 
 
- 62 -
CAPÍTULO 8 - DETERMINANTES
� M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 � M = [-5] det M = -5 ou I -5 I = -5 
 
Determinante de 2ª ordem 
 
 Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, 
determinante de 2ª ordem, é dado por: 
 
 
 
 
.a11
21
12
22
.a
a a
A =
.a
.a .a
11
11 12
21
12
22 22
22
.a
.a .a
a a
.det A = = -
 
Sendo A =
A A
M
M
M
M= 
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao 
elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1: 
a) Dada a matriz
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
a
a
13
23
33
b) Sendo:
a
22
a
32
a
a
23
33
MC - 
11 - a - a a a22 1333 32
a
21
a
31
a
a
23
33
MC - 
12 - a - a a a21 2333 31
- 63 -
Dada , o cofator relativo ao elemento a12 da matriz M é: 
 
 
Sendo , vamos calcular o cofator A22: 
 
 
Acompanhe como aplicamos essa regra para . 
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 
 
 
.paralelas (diagonais)
Dada
Sendo
- 64 -
 
 
OBS: Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como: 
 
 
P12) 
Exemplo: 
 
 
.paralelas diagonais
- 65 -
4. Determinantes de uma matriz
Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n. Podemos associar a essa matriz um único número complexo denomi-ij
nado determinante de uma matriz A. Indicaremos o determinante tomando-se os elementos da matriz e colocando-os 
entre duas barras verticais ou pelo símbolo de TA. Exemplo:
 
 A = 1 4 => de TA = 1 3
 2 5 2 5( )
4.1 Propriedades Determinantes
t
a. Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n, e A a sua transposta; temos que os determinantes das duas matri-ij
t
zes são iguais. det. A = det. A
b. Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n e B = (b ) uma matriz quadrada de ordem n obtida através da permu-ij ij
tação de duas linhas ou colunas da matriz A, temos então que os determinantes das matrizes A e B tem sinais contrá-
rios. det. B = -det. A
c. Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos de uma linha ou coluna sejam iguais a zero, temosij
então que os determinantes de A é nulo. det. A = 0
d. Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n e B = (b ) uma matriz quadrada de ordem n que obtém-se multipli-ij ij
cando-se uma das linhas ou colunas de A por um número  , temos então que o determinante de B é o determinante
de A multiplicando por det. B det A
e. Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n, e B = (b ) uma matriz quadrada de ordem n que se obtém multipli-ij ij
cando todos os elementos de A por um número , temos então que o determinante de B é o determinante de A mul-
n ntiplicando por  . B = A => det. B =  . det A
f. Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n de modo que uma de suas linhas ou colunas tenha todos os elemen-ij
tos dados por uma adição de duas parcelas. det. A = det. A´ + det. A”.
g. Seja A = (a ) uma matriz quadrada de ordem n de modo que os elementos de duas filas paralelas sejam iguais, en-ij
tão o determinante é nulo. det. A = 0
- 66 -
4.2 Matriz de Vandermonde
Dados n números ( n  2 ) a1, a2, a3, .... an chamamos de Matriz de Vandermonde à matriz:
a a a … a
a a a … a
a a a … a
a a a … a
0
1
1
1
2
1
n-1
1
0
2
1
2
2
2
n-1
2
0
3
1
3
2
3
n-1
3
0
n
1
n
2
n
n-1
n
(
(
(
(
A = 
Os números a , a ..., an são denominados elementos característicos. Observamos que os elementos de uma mesma1 2,
coluna formam uma P.G. de razão ai que possui n termos. Exemplo:
1 1 1 1
2 3 4 7
4 9 16 49
8 27 64 343
V =
4.3 Determinante de Matriz de Vandermonde
O determinante da Matriz de Vandermonde é dado por todas as diferenças possíveis entre os elementos característi-
cos de modo que o índice do subtraendo seja sempre menor que o índice do minuendo.
a
a
a
a
a
a
 ...
 …
 …
a
a
a
0
1
0
2
0
n
1
1
1
2
1
n
n-1
1
n-1
2
n-1
n
=
(a - a ) . (a - a ) . (a - a )2 1 3 2 3 1
(a - a ) .... (a - a )...4 3 4 1
...(a - a ) … (a - a )n n-1 n 1
5. TEOREMA DE LAPLACE
O determinante de uma matriz A = (a ) de ordem n (n  2) é a soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou co-ij
luna) pelos seus respectivos co-fatores.
O Teorema de Laplace retira a obrigatoriedade de desenvolvermos o determinante através da primeira coluna, agora
podemos fazê-los através de qualquer linha ou coluna conveniente. Exemplo:
1
2
3
7
0
0
2
0
 1
 2
-4
 3
 5
 7
10
 24 5
det. A = = 0. (-1)³ . + 0. (-1) + 2. (-1) +2
3
7
1
3
7
1
2
7
1
2
3
1
2
7
 2
-4
 3
 1
-4
 3
 1
 2
 3
 1
 2
 -4
 1
 2
 3
 7
10
 2
 5
10
 2
 5
 7
 2
 5
 7
 10
 5
 7
 2
6
+ 0. (-1) = -2. = -2. (-12) = 24
6. REGRA DE CHIÓ
Destina-se ao abaixamento da ordem de um determinante e, para tal, devemos realizar os seguintes passos:
1º) Escolher um elemento que valha um; se não tiver, obtenha-o usando as seguintes propriedades.
 2
 3
-1
 4
 2
 3
-1
 4
3
1
3
2
3
1
3
2
4
2
5
3
4
2
5
3
 -2
 3
 2
 4
 -2
 3
 2
 4
2º) Elimine a linha e a coluna do 1 obtido.
3º) De cada elemento a que não foi jogado fora devemos substituir o produto do elemento que foi eliminado da linha iij
i + jpelo elemento que foi eliminado da coluna j. Multiplicamos o novo determinante por (-1) .
4º) Agora temos o mesmo determinante como a ordem abaixada; calculamos o seu valor ou repetimos o processo a-
baixando novamente a sua ordem.
=
 2 - 3 x 3 4 - 3 x 2 -2 - 3 x 3
-1 - 3 x 3 5 - 3 x 2 2 - 3 x 3
 4 - 2 x 3 3 - 2 x 2 4 - 2 x 3
2 + 2 . (-1) =
 -7
-10
 -2
-2
-1
-1
-11
 -7 = -41
 -2
1) Calcule os seguintes determinantes usando a Regra
de Chió.
 
A. 7
2
1
6
2
1
5
1
1
1
1
1
 2
 0
-2
 4
 6
 0
 2
 3
 1
 2
 2
 2
-6
 3
 9
12
3
2
1
5
1
2
3
3
10
-4
 5
 8
4
7
4
2
1
2
3
4
B.
2. Calcule o determinante:
3. Qual o valor do determinante?
2
5
B
log 55
log 1255
log 273
log 55
log 255
log 2433
4. Sejam os determinantes:
A =
1 1 1 1
3 3 4 1
4 -2 2 1
4 2 1 1
1 2 1 4
1 3 4 3
1 -2 2 4
1 1 1 1
e B=
então:
a) A = B 
b) A = -B 
c) A > B 
d) A < B
e) nenhuma das respostas anteriores
- 67 -
Exercícios:















2n
6n
 
2
84
n 
2
6 44
n 
2
4 .1 .(-1 2 )-1 64
n
01 24 n
2
n 1 2nn )
2
n2 n(
1 24 n )03 n(0 )1 )n (n2 n( 1 2 
0
1
1
 
n
4
2
 
n0n
1n14
312
 
:se g u n d a d a p ro d u to s d o s so m a p e la d ia g o n a l,
p rim e ira d a p ro d u to s d o s so m a a su b tra ir e m a triz , d a d ire ita à co lu n a s p rim e ira s d u a s a s re p e tir
e m co n s is te q u e S a rru s , d e re g ra a u tiliza r p o d e m o s 3 x3 m a triz u m a d e ted e te rm in a n o a ch a r P a ra
1 2 .
n0n
1n14
312
 e q u a çã o d a so lu çã o a E n co n tre 5 .
- 68 -
7. SISTEMAS LINEARES
Teorema de Cramer
A solução do sistema ax + by = c
 a’x + b’y = c’ {
É o par ( x , y) tal que: x = cb’ - c’b e y = ac’ - a’c se ab’ - a’b  0
 ab’ - a’b ab’ - a’b
Essas duas frações tem o mesmo denominador, que é precisamente o determinante D = a b da matriz dos coefici-
tes das incógnitas. a’b’
Os numeradores são, respectivamente, os determinantes: Dx = c b e Dy = a c
 c’ b’ a’ c’
Note que: Dx e Dy são os determinantes da matriz que se obtém substituindo, respectivamente, a 1ª coluna e a 2ª co-
luna da matriz dos coeficientes (coluna dos coeficientes de x) pela coluna dos termos conhecidos ( c e c’).
 x = Dx e y = Dy se D  0
 D D
Esses resultados também valem para um sistema de n x n se o determinante da matriz é D  0.
x = D1, x = D2, .... x = Dn1 2 n
 D D D
 Exercícios:
5. Resolva, usando a regra de Cramer, o sistema:
 -2x + 6y = -1
 5x - 4y = 8
6. Resolva, pela regra de Cramer,. os sistemas:
a) 2x + 3y = 3 b) 3x + 4y = -6
 3x + 4y = 5 2x + 5y = -4
7) Resolva, por Cramer, o sistema:
 2x + y + z = 1
 x + y - z = 2
 x + y + 2z = -1
{
{
{
{
{ {
{
{ {
8. Resolva, pela regra de Cramer:
a) 3x + y - z = 4 2x - 3y = 1
 2x + y + z = 1 x + z = 3
 x + y + 2z = 0 y + z = 2
9. Resolva, pela regra de Cramer, o sistema:
 2x - y + z = 0
 3x + y - z = 0
 x + y + 2z = 0
10. Pela regra de Cramer, calcular:
a) x + y = 2 2x - 3y + z = -2
 x - y = 0 x + y + z = 12
 -x + 2y + 2z = 18
- 69 -
{{
{
{
{
{
{
{
{
8. SISTEMA ESCALONADO
Basicamente, o método consiste em transformar o sistema em sistemas equivalentes (no sentido de que tem a mes-
ma solução geral), até chegar ao sistema “em escadas” ou escalonado, como está o sistema abaixo:
 x + 3y + 4z = 6 que é x + 3y + 4z = 6
 2y + 2z = 5 0x + 2y + 2z = 5
 -z = 1,5 0x + 0y - z = 1,5
Para transformar qualquer sistema em um sistema escalonado equivalente podemos usar três operações:
1º) Permutar entre si duas equações do sistema
2º) Multiplicar qualquer equação de um sistema por um número não nulo.
3º) Multiplicar uma equação do sistema por um número não nulo e adicionar o resultado a uma outra equação.
Exemplo: Escalonar o sistema
 x = y + z = 2 1 1 1 2
2x - y - z = 1 Mc = 2 -1 -1 1
 3x + 2z = 5 3 0 2 5
1 1 1 2
0 -3 -3 -3
0 -3 -1 -1
1 1 1 2
0 -3 -3 -3
0 0 2 2
M’c = M”c=
Temos então o sistema escalonado:
x + y + z = 2
 -3y - 3z = -3
 2z = 2
x + y + z = 2 x = 1
 -3y - 3z = -3 y = 0 
 2z = 2 z = 1
Resolvê-lo é simples: basta calcularmos 
cada incógnita “de baixo para cima” 
por substituição.
 Exercícios:
11) Resolva, por escalonamento, os sistemas:
a) 5x + 2y = 7 
 2x + 3y = -6
b) 
c) 2x - 3y = 5
 3x + y = 5
12. Resolva o sistema:
 
{
a) x + y - z = 4
 x - y - z = 0
 x + y + z = 6
{
b) -x + 2y - z = -4
 2x + y + z = 11
 3x - y + z = 13
{
c) 2x + 2y + 4z = 6
 2x - y - z = 3
 x + y + z = 2
14) Resolva os sistemas:
 S = { 1; 0; 1}
 x - y + 3z = 6
 x + 2y + z = 1
 2x + y - 2z = 1
13) Escalonando, resolva os sistemas:
{
a) x - y + z = -2
 x - 2y - 2z = -1
 2x + y + 3z = 1
{
b) 2x + 3y + z = 7
 x + y - 2z = 3
 x + 2y + z = 4
Sugestão: inicialmente, troque as posições da 1ª com a
 3ª equação; em seguida, escalonamento.
-x + 3y = 4
3x - 5y = -12
- 70 -
9. Sistema Homogêneo
Um sistema de equações lineares é chamado sistema homogêneo se em todas as suas equações os termos conheci-
dos são iguais a zero. Exemplos:
 
 2x -y = 0
-3x + 5y = 0
x + y + z = 0
x - y + z = 0{ {
Um sistema homogêneo sempre admite pelo menos a solução nula (0, 0 ..., 0), por isso mesmo chamada Solução tri-
vial do sistema Homogêneo. Assim, um sistema homogêneo é sempre compatível. Mas um sistema homogêneo pode
ter outras soluções, além da solução nula, isto é, o sistema pode ser indeterminado.
9.1 Discussão de um sistema homogêneo n x n
Para um sistema homogêneo de n equações a n incógnitas, sendo D o determinante da matriz dos coeficientes, te-
mos, de acordo com a regra de Cramer:
 Se D  0, o sistema é compatível e determinado (tem apenas a solução nula).
 Se D = 0, o sistema é compatível e indeterminado (admite também soluções não nulas).
Exemplo:
k ( y + z) + x = 0
k ( x + y) + z = 0
k ( x = z) + y = 0
1 k k 0
k k 1 0
k 1 k 0
1 k k 0
0 k-k² 1-k² 0
0 0 2k² - k - 1 0
 k
{
{
Mc = M”c =M’c =
1 k k 0
0 k-k² 1-k² 0
0 1-k² k-k² 0
2 k² - k - 1 = 0 k = 1 SPI
 k = -1 SPI
 2
 k  1 e k  -1 SPD
 2
(Solução Trivial)
Exercícios:
15. Quais dos sistemas lineares dados abaixo são homo-
gêneos?
a) 3x - y - 6 = 0 b) x + x - x = 01 2 3
 4x + 2y + 3 = 0 2x - x - x = 01 2 3
c) 2x + z = y
 3x + y = z
 y + z = -x
16. Classificar os seguintes sistemas homogêneos em
determinado ou indeterminado:
a) 3x - 1,5y = 0 b) x - y + z = 0
 -2x + y = 0 x - 2y - 2z = 0
 2x + y + 3z = 0 
c) 3x + 4y - z = 0
 2x - y + 3z = 0
 x + y = 0
17. Para que valores de m o sistema homogêneo:
 2mx + 3z = 0
 x - 2z = 0
 mx + 2y + z = 0 é determinado?
{ {
{
{ {
{
{
{
{
18. Determine os valores de t, de modo que o sistema
( 1 - t )x + 2y + z = 0
( 1 - t)y + z = 0
x + y + ( 1 - t )z = 0
admita soluções (x, y, z) distintas de (0, 0, 0).
19) Para que o valor de  o sistema
 x + y - z = 0
 x + y - z = 0
 x + (1 +  )y + z = 0
admita soluções (x, y, z) distintas de (0, 0, 0)?
10.1 Discussão de Sistema Lineares por Rouché-Capelli
Sistema de n equações e n incógnitas sem parâmetros. Podemos calcular o determinante da matriz incompleta já que
esta será quadrada. Logo,
a) Se D  0 => Sistema Normal (SPD), utilizamos Cramer
b) Se D = 0 => Calculamos p e q e utilizamos Rouché - Capelli.
Sistema de m equações a n incógnitas sem parâmetro.
Não há sentido em calcular D, pois a matriz incompleta não será quadrada. Aplicamos então Roché-Capelli direto. 
 Exercícios:
20) Resolva o sistema:
a) {
{
21. Aplicando o teorema de Rouché-Capelli, classificar:
a) 
10. Teorema de Rouché Capelli
Seja um sistema linear de n incógnitas. Se a característica da matriz incompleta (p) for igual à característica da matriz
completa (q) e igual à n, o sistema é possível e determinado.
Consequência:
· p = q = n Sistema Possível e Determinado (SPD)
· p = q < n Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
· p  q Sistema Impossível (SI)
- 71 -
x + y - 2z = 4
-x + 4y - 3z = 1
2x + 2y + z = 2
- x + 3y - z = 2
3x - y + 2z = 1
2x + 2y + z = 3
22) (AFA-98) O determinante 
x 0 1
0 1 x
1 0 x
 é 
a) positivo para x� R. 
b) negativo para  x R x�   0 1 . 
c) positivo para  x R�    x ou x1 1 . 
d) negativo para  x R�   x 1 . 








22
13
1
Kzx
zy
yx
a) – 3 b) – 6 c) 6 d) 3 








b3z5y2x
2z2yx
1azyx
a) a � 6 e b = 5 
b) a = 6 e b = 5 
c) a = 6 e b � 5 
d) a � 6 e b � 5 
CAPÍTULO 9 - GEOMETRIA ESPACIAL
1. DEFINIÇÕES E POSTULADOS
1.1 Definições
Espaço: é o conjunto de todos os pontos.
Figura: é qualquer conjunto de pontos do espaço.
Assim, reta é uma figura. O próprio espaço também é uma figura.
A seguir, colocamos os postulados, que são determinadas proposições aceitas como verdadeiras. A partir daí, as
proposições demonstráveis são os teoremas.
- 72 -
1.2 Postulados
a. Numa reta, como também fora dela, existem infinitos 
pontos.
b. Num plano, assim como fora dele, existem infinitos 
pontos.
r
A
B
r = AB (A  B)

A 
B 
C 
G 
H
.E
.F
.D
c. Dois pontos distintos determinam uma reta.
Obs.: Os pontos A, B, C, G e H são colineares.

A B
C
D
Obs.: Os pontos A, B, C e D são coplanares.
d. Um ponto qualquer de uma reta, divide esta em duas
partes.
r
A
B
C
BA: semi-reta de origem B passando por A.
BC: semi-reta de origem B passando por C.


e. Três pontos não-colineares determinam um plano.
podemos indicar
 = pl(A.B.C.)




A
B
C
f. Uma reta que tem dois pontos distintos num mesmo 
plano, está contida neste plano.



r
A
B
g. Uma reta qualquer de um plano, divide este em duas
partes.
r
1
2


r : semi-plano de origem r1
r : semi-plano de origem r2
h. Um plano qualquer divide o espaço em duas partes.
1 2
1: semi-espaço de origem .
2: semi-espaço de origem .
i. Postulado de Euclides ou postulado das peralelas
por um ponto passa uma única reta, paralela a uma reta 
dada
r
r’
r’ // r, P  r’
j. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, en-
tão a intersecção destes dois planos é uma reta.
Nestas condições, dizemos que os dois planos são 
secantes
Planos    (  )
P  , P       = r
i é uma reta (P  r).
r
P


- 73 -
Outras afirmações que determinam um plano
 uma reta e um ponto fora dela.  duas retas concorrentes.
 duas retas paralelas distintas.
A
B
B
C
P
P
A
r
r
s
s
r
EXERCÍCIOS
1. Três pontos não colineares (não alinhados) determinam
quantas retas?
2. Quantos planos passam por uma reta?
3. Dados os pontos A e B (A  B), quantos planos passam
por ambos?
4. Dado um conjunto de 4 pontos do espaço, sabendo que
três deles nunca estão numa mesma reta, quantos planos
ficam determinados?
5. Por que uma mesa de 4 pés, de pontas bem finas, pode
balançar quando apoiada em um piso plano e horizontal?
6. Demonstrar que uma reta e um ponto fora dela determinam
um plano.
7. Duas retas que têm um único ponto em comum, chama-se
retas concorrentes. Demonstre que duas retas concorrentes
determinam um plano.
8. Uma condição necessária e suficiente para que dois planos
sejam secantes é:
a) que sejam distintos;
b) que tenham um ponto em comum;
c) que tenham uma reta comum
d) que sejam coincidentes;
e) que sejam distintos, com um ponto em comum.
- 74 -
2. POSIÇÕES RELATIVAS
2.1 Posições relativas de duas retas
Dadas duas retas r e s, ou elas são coplanares (isto é, contidas num mesmo plano), ou não existe um único plano que
contenha ambas, caso em que as retas são ditas não coplanares ou reversas.
 Retas reversas
s
P
r

r e s reversas
Duas retas r e s, coplanares, podem ser:
a. Concorrentes: se tiverem um e um só ponto comum. Já vimos, que duas retas concorrentes determinam um plano.
r
P
s

r  s = {P}

c. Paralelas: se não tem nenhum ponto em comum (e são coplanares).
r
s

r  
s
d. Coincidentes: se uma mesma reta está sendo designada por r e s (isto é, se s e r são a mesma reta)
a
b
a e b são reversas
 r e s concorrentes oblíquas

 r e s concorrentes perpendiculares
b. 
r
s
P
Resumo
retas coplanares
concorrentes
perpendiculares
oblíquas
paralelas
distintas
coincidentes
- 75 -
EXERCÍCIOS
9. Se r, s, e t são três retas no espaço, quais das afirmações seguintes são verdadeiras?
a) Se s e r são retas paralelas, então existe um plano que contém ambas.
b) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, então ré a paralela a s.
c) Se r, s e t, são duas a duas paralelas, então existe um plano que as contém.
d) Se r  s =  e r não é paralela a s , então s e r são reversas.
10. O desenho representa o interior de uma sala de aula. Responda às seguintes perguntas:
a) As retas r e s são coplanares?
b) As retas v e d são reversas?
c) v e d são coplanares?
d) u e d são concorrentes?
e) r e t são reversas?
11. Abaixo está representado um cubo ABCDEFGH. Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
a) AB e CD são retas coplanares. ( )
b) AB e HG são retas reversas. ( )
c) AB e CG são reversas. ( )
d) AC e AG são coplanares. ( )
e) EC e AC não são coplanares. ( )










D
H G
F
C
BA
E
b
t
dcvs
r
u
ANOTAÇÕES

2.2 . Posições relativas de reta e plano
Dados um plano  e uma reta r, pode ocorrer que:
1°) r e  tenham um único ponto em comum.
Neste caso, dizemos que a reta intercepta o plano em um ponto, ou que a reta “fura” o plano, ou, ainda, que a reta e o
plano são concorretes.
r   = {P}
2°) r e  não tenham nenhum ponto em comum. Neste caso, dizemos que r e  são paralelos.


r
r   = 
3°) r esteja contida em . Basta que r tenha dois pontos distintos em  para que seja contida em  (postulados).
r
- 76 -
p 
 
r
r  
A
B
2.3 Posições relativas de dois planos
Dois planos  e  podem ser:
a) Secantes: Se a intersecção de  e  é uma reta.
Nota: Para isto, basta que os planos  e  distintos, te-
nham um ponto comum (postulado 7).
i


b) Paralelos: Se  e  não têm nenhum ponto em co-
mum, isto é, se    = 


c) Coincidentes: se  = , isto é, se  e  são o mesmo 
plano.
 = 
b) Entre dois planos: Dois planos são perpendiculares
se uma de suas retas for perpendicular a do outro.
2.4 Condições de Perpendicularismo
a) Entre reta e plano: Uma reta é perpendicular a um
plano se for concorrente a esse plano e perpendicular
( ) a todas as retas do plano que passam pelo ponto
de concorrência.
a
b

P
r
r b
r a
a  
b   r  
r 
 r 
 
}
}
r


s
EXERCÍCIOS
12. A respeito do cubo ABCDEFGH, quais das afirmações seguintes são verdadeiras?
a) AE é paralela ao plano determinado por B, C e G. ( )
b) AE é paralela ao plano de H, D e C. ( )
c) AE é paralela ao plano de C, G e H. ( ) 



d) O plano de A, B e E é paralelo ao de C, D e H. ( )
e) O plano de E, A e C é paralelo ao plano de H, D e B. ( )
F
G
CD
BA
E
H
13. A intersecção dos planos de  e  é a reta r. Os pontos A e B, distintos, pertencem a r. Tomamos os pontos C e D,
C   e D  , C e D fora de r. Classifique as afirmações seguintes em verdadeiras ou falsas.
a) pl (A, C, D) é secante com pl (C, B, D). ( )
b) A intersecção do pl (A, C, D) com pl (C, B, D) é a reta CD. ( )
c) A intersecção do pl (A, C, D) com  é a reta AC. ( )
d) A intersecção do pl (A, C, D) com  é o segmento AD. ( )
e) Existe um único ponto comum aos três planos ,  e pl (C, B, D). ( )



14) Das quatro proposições seguintes, quantas são verdadeiras?
I. Se um plano  é paralelo a uma reta r, qualquer reta de  é paralela a r. ( )
II. Se uma reta dada é paralela a um plano dado, toda a reta do plano é reversa com a reta dada. ( )
III. Se dois planos são secantes, qualquer reta de um deles encontra o outro. ( )
IV. Se duas retas do espaço não têm ponto comum, então elas são paralelas. ( )
15) Coloque V (Verdadeira) ou F (Falsa):
a) Existindo uma reta perpendicular a um plano, as retas do plano são reversas a esta. ( )
b) Se dois planos são perpendiculares, logo são secantes. ( )
c) Sempre dois planos secantes são perpendiculares. ( )
d) Tendo uma reta perpendicular a um plano, esta é perpendicular a qualquer reta desse plano. ( )
- 77 -
A
B
C
D


r
3. PRISMAS
Prisma
Seja uma região poligonal contida em um plano . Considere ainda um segmento PP’ contido numa reta r concorrente
com o plano .
Prisma é a reunião de todos os segmentos contidos em retas paralelas a r, congruentes a PP’, com uma extremidade
na região poligonal considerada e contidos num mesmo semi-espaço em relação ao plano .

P
P’
r
A’
B’
D’
C’
D
C
B
A
a) Bases
O polígono de vértices A, B, C, etc, no plano  e o polígono A’, B’, C’, são as bases do prisma (são polígonos
congruentes e contidos em planos paralelos).
b) Arestas das Bases
Os lados dos polígonos das bases chamam-se arestas das bases do prisma (AB, BC, CD, ..., A’B’, B’C’, ...).
c) Arestas Laterais
Os segmentos AA’, BB’, etc, chamam-se arestas laterais do prisma.
d) Faces
Os quadriláteros ABB’A, BCC’B’, etc., são as faces do prisma.
e) Altura do Prisma
É a distância entre os planos das bases.
f) Prisma Reto
Dizemos que um prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Num prisma
reto, as faces (laterais) são retângulos.
g) Prisma Regular
Um prisma reto em que as bases são polígonos regulares, é chamado prisma regular.
3.1 Paralelepípedo
Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos.
I II III
- 78 -
Face
Quando a base é um retângulo, dizemos paralelepípedo retângulo (figura III). Se as arestas das bases de um
paralelepípedo reto retângulo têm medidas a e b e a altura do paralelepípedo tem a medida c, dizemos paralelepípedo
de dimensões a, b e c.
a
b
c
3.2 Cubo
Um paralelepípedo reto-retâgulo em que são iguais as dimensões a, b e c é um cubo. Num cubo, as bases são
quadrados e as faces (laterais) também são quadrados (todos de lado a). Num cubo, chamamos de faces também as
bases (são 6 faces).
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
3.3 Volume de um Prisma
O volume de um cubo cuja aresta mede 1cm é 1cm³.
Para obtermos o volume de um paralelepípedo reto-retângulo que tem base de 4cm por 3cm e altura 1cm, podemos
imaginar o paralelepípedo subdividido em 4,3 cubos de arestas 1cm; assim, o volume será de 12cm³.
Um paralelepípedo de dimensões 4cm, 3cm e 2cm “equivale”, em volume, a 4.3.2 cubos de aresta 1 cm cada e tem 
volume 24cm³.
Notando que o produto 4.3 dá a área da base, temos que o volume V do paralelepípedo pode ser obtido por:
V = área da base x altura
Isto vale em geral, quaisquer que sejam as dimensões do paralelepípedo e também para qualquer prisma. O volume
de um prisma é obtido multiplicando a área da base pela altura.
Indicando por A a área da base do prisma e por h a sua altura, obtemos o volume:b
V = A . hb
Observação: Em particular, o volume de um cubo de medida a da aresta é:
V = a².a, isto é: V = a³
- 79 -
d
D
3.1.1 Cálculo da Diagonal
na base: d² = a² + b²  d = a² + b² (teorema de Pitágoras)
no prisma: D² = d² + c²  D = d² + c²
3.3.1 Cálculo do Volume
Como exemplo, vamos usar um prisma triangular regular, conforme figura.
A B
C
D
E
F
6 h
h
60º
h = a . sen60º
h = a .  A = b
e V = A . h  V = . 6  V = 24 3 u³b
16 3
4
a² 3
4
3
2
4
- 80 -
EXERCÍCIOS
16) Quais das figuras abaixo representam prismas?
a) b) 
17) Num prisma hexagonal (isto é, em que as bases são
 hexágonos), dê os seguintes números:
a) Número de faces (laterais);
b) Número de arestas (total);
c) Número de vértices.
c) d)
19) Para o paralelepípedo (reto-retângulo) da figura, de 
dimensões 7, 4 e 3, calcular:
a) A diagonal DB da base:
b) A diagonal D’B.
A’
A
D
D’
C’
C
3
4
B7
B’
20) Na figura anterior calcule:
a) A diagonal A’B, da face ABB’A’;
b) A diagonal BC’, da face BCC’B’.
22) Num cubo em que a medida da aresta é a, qual é a 
medida:
a) De uma diagonal de face?
b) De uma diagonal do cubo?
5
3
2
23) Calcule o volume de paralelepípedo reto-retângulo de 
dimensões 2,5cm, 4cm e 15cm.
24) Calcule o volume de um paralelepípedo reto de base 
quadradade aresta 5 2 e altura 11,1.
25) Calcule o volume de um cubo de aresta 7dm.
26) Qual é o volume de um prisma regular de altura 
10cm e base hexagonal com 8m de aresta?
27) Qual é o volume de um prisma de altura 5cm e cuja 
base é um triângulo eqüilátero de lado 4 3 cm?
28) Um cubo tem 96m² de área total. De quanto deve ser 
aumentada a sua aresta para que seu volume se torne 
igual a 216m³?
29) Uma caixa d’água tem forma cúbica com 1 metro 
de aresta. De quanto baixa o nível d'água ao retirarmos 
1 litro de água da caixa?
21) Seja o paralelepípedo da figura abaixo, de dimensões 
5, 3 e 2. Calcule:
a) A diagonal da base:
b) A diagonal do paralelepípedo.
18) Quantas são as arestas de um paralelepípedo?
- 81 -
CAPÍTULO 7
GABARITO
1) A =
2) A =
 A =
0
1
2
3
3 5 7 9
-1
 0
3
4
-2
-1
4
5
3)
a) b)
2
4
6
B =
Página 54
3
6
 6
-3
1
3
 4
-2
7
0
3
9
0
2
2
6
-4
-1
0
1
0
2
3
4)
a13 = 10 ; a22 = 0 ; a32 = 13
5) 2
6) x = 1
7) a = 13 ; b = 1 ; x = 1 e y = 0
 4 2
8) não
9)
10) x = 2 e y = 5
11)
a) b) 
12)
Página 56
18) a) | -4 |
19) x = 0
20) a) | 3 |
21) a) | a + 2b + 3c | a
b
c
2a
2b
2c
3a
3b
3c
b)
22) a) b) c) 5
9
a
b
c
2a
2b
2c
36
45
0
24
30
0
8
10
0
8
11
d) e) 4
5
45
2a
2c
2b
2d
0
1
1
2
3
23
2
1
2
0
1
4
23)
24) a) b) c) 4
4
4
1
2
5
t
A =
tB =
1
-1
2
-3
1
1
1
2
2
2
b) | 8 |
b) | 4 |
15
-1
 2
 3
-0,1
 60
 -2
20
 0
4
0
80
 0
35
 2
 1
 2
3,5
0,1
70
 2
13)
a) b) c)
14) 5
3
3
5
15) 1
-3
 2
1
2
1
16) 17)
x = x = 3
-2
 6
30
4
0
33
 6
Página 57
t
A =
t
A =
t
B =
t
B =
25) a) b) 12
0
-7
1
-1
3
4
5
-7
2
6
-3
8
-5
0
3
5
0
e
e
c) verificação
26) a) 
23
7
1
2
3
4
1
2
4
-2
5
3
1
6
17
22
27) demonstração 
28) demonstração
b) c) verificação
- 82 -
29) -2
3
2
1
-1
2
-1A =
-1A =30)
-1
2
3
-5
b) não existe matriz inversa
31)
a)
1
5
-3
5
-1
5
-2
5
c)
1
2
0
0
1
5
32)
35) B
36) A
0
0
1
2
1
0
0
0
-1
0
-1 A =
33) são inversíveis A e C
34) 3
15
6
-5 3
4
 Página 66
1) a) D = 3456 b) D = -581
2) D = 1
3) D = 1
4) A 
5) S = {(2, )}
6) a) S = {(3, -1)} b) S = {(-2, 0)}
7) x = 1, y = 0, z = -1
8) a) x = -1, y = 5, z = -2
 b) x = 2, y = 1, z = 1
9) x = 0, y = 0, z = 0
10) a) S = {(1,1)}
 b) x = 2, y = 4, z = 6
11) a) S = {(3, -4)} b) S = {(-4,0)}
 c) S = {( , )}
12) x = 2, y = -1, z = -1
13) a) x = 5, y = 2, z = 3
 b) x = , y = - , z = -36
 c) x = , y = , z = 1
14) a) x = 1, y = 2, z = -1 b) x = 2, y = 1, z = 0
15) são homogêneos b e c
16) a) S.P.I. b) S.P.D.
 c) S.P.D.
17) m  -
18)
19)  = 1
Página 67
Página 68
1
2
20
11
134
5
5
3
- 5
11
33
5
- 2
3
Página 69
CAPÍTULO 8
Página 70
9
5
1
5
6
5
- 83 -
CAPÍTULO 9
Pág. 72
A B
P
r
A
B
P r
 s
P  r e P  s => r  s
logo r e s  
Pág. 76
- 84 -
MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
Í N D I C E
Capítulo 10 - Outros casos de volumes .................................................................................................................85
Pirâmide ...................................................................................................................................................................85
Pirâmide regular .......................................................................................................................................................85
Classificação ........................................................................................................................................................... 85
Volume .....................................................................................................................................................................85
Exercícios ................................................................................................................................................................86
Cilindro ....................................................................................................................................................................86
Bases do Cilindro ....................................................................................................................................................86
Altura do cilindro ......................................................................................................................................................86
Cilindro reto .............................................................................................................................................................87
Geratriz ....................................................................................................................................................................87
Classificação ........................................................................................................................................................... 87
Áreas num cilindro ...................................................................................................................................................87
Volume no cilindro ...................................................................................................................................................88
Exercícios ................................................................................................................................................................88
Cone .......................................................................................................................................................................89
Cone reto .................................................................................................................................................................89
Área lateral de um cone reto ...................................................................................................................................89
Volume ...................................................................................................................................................................90
Classificação ........................................................................................................................................................... 90
Exercícios ................................................................................................................................................................90
Esfera ......................................................................................................................................................................91
Superfície Esférica ..................................................................................................................................................91
Área da superfície esférica ......................................................................................................................................91
Volume da Esfera ....................................................................................................................................................91
Exercícios ................................................................................................................................................................91
Poliedros .................................................................................................................................................................92Poliedro Convexo ....................................................................................................................................................92
Exercícios ................................................................................................................................................................92
Relação de Euler ....................................................................................................................................................93
Poliedros Regulares ................................................................................................................................................93
Exercícios ................................................................................................................................................................94
1.
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
4.3
5
5.1
5.2
5.3
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
3
3.1
3.2
Capítulo 11 - Trigonometria ............................................................................................................................... 95
Razões trigonométricas ................................................................................................................................... 95
Equações trigonométricas ................................................................................................................................. 95
Resolução da 1ª Equação Fundamental............................................................................................................... 95
Resolução da 3ª Equação Fundamental.............................................................................................................. 96
Exercícios ........................................................................................................................................................... 97
Transformações trigonométricas ....................................................................................................................... 98
Valores notáveis...................................................................................................................................................98
Exercícios ..........................................................................................................................................................98
Círculo trigonométrico ........................................................................................................................................ 99
Medida de ângulos e arcos..................................................................................................................................99
Conversão de graus para radianos e vice-versa.................................................................................................99
Exercícios............................................................................................................................................................99
Capítulo 12 - Trigonometria .....................................................................................................................................100
Funções Circulares .................................................................................................................................................100
Seno.........................................................................................................................................................................100
Função seno............................................................................................................................................................100
Exercícios ...............................................................................................................................................................101
Cosseno ..................................................................................................................................................................101
Função cosseno ......................................................................................................................................................102
Exercícios ...............................................................................................................................................................102
Tangente .................................................................................................................................................................103
Função Tangente ....................................................................................................................................................103
Exercícios ...............................................................................................................................................................104
Cotangente .............................................................................................................................................................105
Interpretação Geométrica .......................................................................................................................................105
Exercícios ..............................................................................................................................................................105
Secante ...................................................................................................................................................................106
Cossecante .............................................................................................................................................................106
Exercícios ................................................................................................................................................................106
Funções Trigonométricas inversas ..........................................................................................................................106
Função Arco-Seno....................................................................................................................................................106
Função Arco-Cosseno .............................................................................................................................................106
Função Arco Tangente ............................................................................................................................................106
Lei dos Senos ..........................................................................................................................................................107
Lei dos Cossenos ...................................................................................................................................................107
Exercícios ...............................................................................................................................................................107
Gabaritos ................................................................................................................................................................ 109
1
1.1
1.2
2
2.1
3
3.1
4
4.1
5
6
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
CAPÍTULO 10 - OUTROS CASOS DE VOLUMES
1. PIRÂMIDE
Pirâmide é um sólido geométrico limitado por uma base poligonal e por faces que são triângulos com um vértice comum
V, cada face tendo como lado oposto ao vértice V um lado do polígono da base.
D C
BA
V
V V
C
B
AC
BA
E
D
Se a base de uma pirâmide é triângulo, esta pirâmide chama-se TETRAEDRO.
Podemos conceituar a pirâmide do seguinte modo:
Considere uma região poligonal contida em um plano  e um ponto V que não pertence a .
Pirâmide é a reunião de todos os segmentos com uma extremidade V e a outra extremidade na região poligonal
considerada.
A região poligonal chama-se baseda pirâmide e o ponto V é o vértice da pirâmide.
Para as pirâmides em geral, fazemos distinção entre arestas da base e arestas laterais, que são arestas das faces que
têm uma extremidade em V.
1.1 Pirâmide Regular
Uma pirâmide em que a base é polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base coincide com
o centro da base, chama-se pirâmide regular. Neste caso, as faces da pirâmide são triângulos isósceles (e
congruentes entre si).
1.2 Classificação:
Classificação de uma pirâmide conforme o número de lados da base. Exemplos:
a) base triângulo => pirâmide triangular
b) base quadrada => pirâmide quadrangular
c) base hexagonal => pirâmide hexagonal
V = A .hb
1
3
A B
C

V
.g h
.l
.a
m
ELEMENTOS:
V ==> vértice da pirâmide
h => altura da pirâmide
g => apótema da pirâmide
m => apótema da base
a => aresta da base
l => aresta lateral
1.3 Volume
O volume de uma pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela medida da altura desta pirâmide.
- 85 -
Exercícios
1) A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular 
tem medida 3 e a aresta lateral tem medida 5. Obter:
a) A altura da pirâmide;
b) A altura do triângulo de uma face, altura relativa ao 
lado da base da pirâmide.
2) Numa pirâmide quadrangular regular, a aresta da 
base mede 16 e a altura é 15. Calcule a área lateral 
desta pirâmide.
3) Calcule a área total de uma pirâmide triangular regular 
(tetraedo regular), sendo l a medida de sua aresta.
4) Calcule o volume de uma pirâmide triangular em que 
a área da base é 18cm² e a altura é 8cm.
5) A base de uma pirâmide é um retângulo cujos la-
dos têm medidas 7dm e 4dm e a altura é 6dm. Qual é 
o seu volume?
6) Qual é o volume de uma pirâmide hexagonal regular 
cuja altura tem medida 10 2 e cuja aresta da base tem 
medida 8 3?
7) A aresta lateral de uma pirâmide hexagonal regu-
lar tem medida 10 e a aresta da base tem medida 6. 
Qual é o volume desta pirâmide?
 
8) Calcule o volume de uma pirâmide de 12 cm de altura 
e cuja base é um quadrado de 5cm de lado.
2. CILINDRO
Considere um círculo num plano , e um segmento PP’ contido numa reta r concorrente com .
Cilindro é a reunião de todos os segmentos paralelos a PP’ e congruentes com ele, tendo uma extremidade no círculo
considerado e contidos num mesmo semi-espaço em relação a .
2.1 Bases do cilindro
São os dois círculos que limitam o sólido, círculos congruentes e contidos em planos paralelos.
2.2 Altura do cilindro
É a distância entre os planos das bases. (h)
O
O’

P’
P
h
- 86 -
Um cilindro reto também é chamado cilindro de revolução porque ele é “gerado” pela rotação de uma região retangular
em torno de um de seus lados.
2.4 Geratriz 
Um segmento paralelo AB ao eixo e com uma extremidade em cada circunferência da base chama-se geratriz do 
cilindro.
- 87 -
2.3 Cilindro Reto 
Dizemos cilindro reto quando o segmento PP’ está numa reta perpendicular ao plano x. O eixo de um círculo reto é 
perpendicular aos planos das bases.

P’
P O
O’
Área da Base: Como as bases de um cilindro são círculos de raio r, a área de cada base é r².
A = r²b
Representando por d a medida do diâmetro da base, temos que r = , então, a área da base em função do diâmetro
é A =  , ou seja: A =b b
d
2
d
2
( )2 d²4
Área lateral de um cilindro reto - como o comprimento de um circunferência de base é 2r, a área lateral de um cilindro
reto de altura h é igual à área de um retângulo de dimensões 2r e h. Então, esta área é 2r.h.
A = 2r . ht
2.6 Áreas num cilindro
 2 r
h
h
r
ELEMENTOS:
V => vértice do cilindro
h => altura da cilindro
r => raio da base
O O’ => eixo do cilindro
O
O’ B
A
eixo do cilindro O O’
2.5 Classificação
a) reto => quando a altura for igual a geratriz perpendicular às bases.
b) oblíquo => quando a geratriz não é perpendicular às bases.
2.7 Volume no cilindro
Do mesmo modo que para um prisma, o volume do cilindro é obtido pelo produto área da base x altura.
V = A . hb
Substituindo a área da base por r², obtemos V = r²h
A = A + 2 . At b
A área total de um cilindro reto é a soma da área lateral com as áreas das duas bases. Podemos indicar:
=> base
=> lateral
=> base
ou
A = 2rh + 2r²t
V =  . r² . h=>
Exercícios
9) Um cilindro reto tem o raio da base r = cm e a altu-
ra h = 19cm. Calcule sua área lateral.
10) O diâmetro da base de um cilindro reto é 12cm e a 
altura é 5cm. Calcule a sua área total.
11) Qual é o volume de um cilindro de revolução de raio 
da base r = 4,0dm e altura 7,5dm?
12) Se a área da secção meridiana de um cilindro eqüilá-
tero é 100cm², qual é o volume, em cm³, deste sólido?
1
 
C (2, 5)
 2
B (2, 1)A (0, 1)
D (0, 5)
 2
13) Um reservatório para álcool tem a forma de um cilin-
dro reto com 16m de altura e 8m de diâmetro da base. 
Qual é a capacidade, em litros, do reservatório?
14) Qual a capacidade, em mililitros, de uma lata em 
forma de cilindro reto, com 10cm de diâmetro da base e 
20cm de altura? (tome o valor de  = 3,14)
15) Qual é o volume do sólido gerado pela rotação do re-
tângulo ABCD em torno do lado AD?
0 2
- 88 -
3. CONE
Considere um círculo contido num plano  e um ponto V que não pertence a .
Cone é a reunião de todos os segmentos com uma extremidade no círculo considerado e outro no vértice.
O círculo é a base do cone e o ponto V é o seu vértice.
Altura do cone é a distância entre o ponto V e o plano da base.

V
3.1 Cone reto
É um cone em que a reta perpendicular ao plano da base, conduzida pelo vértice, passa pelo centro da base.
Um cone reto também é chamado cone de revolução, porque ele é gerado pela rotação de um triângulo retângulo
(região triangular) em torno de um de seus catetos.
Geratriz de um cone é qualquer segmento com uma extremidade no vértice e a outra na circunferência da base.
3.2 Área Lateral de um Cone Reto
A planificação de uma superfície cônica é um setor de círculo. Se o cone tem geratriz g, o setor é de um círculo de raio
g. O comprimento do arco que limita este setor é igual ao comprimento da circunferência da base do cone e, portanto,
é 2r.
2r
g
ro
V
Calculemos a área do setor:
Como a área do círculo de raio g é g² e o comprimento de sua circunferência é 2g, indicando por x a área do setor,
temos:
g²
x
g
2r
 x = g² . 2r = rg
 2g
e, portanto, a área lateral do cone é:
A =  rg
V
g
g
2r
g² = h² + r²
V
h
g
0 Ar
ELEMENTOS
V => vértice do cone
g => segmento (geratriz)
h => altura (eixo)
OA => raio (r)
A
- 89 -
3.3 Volume
Assim como o volume de uma pirâmide, o volume de um cone é um terço do produto da área da base x altura:
V = A . hb
1
3
Exercícios
16) Se o raio da base de um cone reto é 6cm e a altura 
do cone é 8cm, qual é a medida de sua geratriz?
17) Um cone de revolução tem altura 9dm e a medida 
da geratriz é 10dm. Calcule a área da base.
18) Se um cone de sorvete tiver 6cm de diâmetro da ba-
se e 10cm de altura, qual é o seu volume? 
(use o valor  = 3,14)
y
A (0, )
B (3/, 0)
O x
- 90 -
20) A área total de um cone é a soma da área lateral 
com a área da base deste cone. Calcule a área total de 
um cone eqüilátero cuja altura é 3cm.
21) Qual é o volume do sólido gerado pela rotação do 
triângulo retângulo AOB em torno do cateto OA?
V =  r² . h
 3
ou
3.4 Classificação
a) reto: seu eixo é perpendicular à base
b) oblíquo: seu eixo não é perpendicular à base
c) eqüilátero: a geratriz é igual ao diâmetro da base
19) Calcule a área lateral de um cone eqüilátero que tem 
14cm de diâmetro.
g
3

22) Calcule o volume de um cone reto inscrito num cu-
bo de 3 m de aresta.
3 m
3 m
- 91 -
Seja uma distância r e seja dado um ponto O no espaço.
Chama-se esfera o conjunto de todos os pontos P do espaço, tais que a distância entreP e O é menor que r ou igual a r.
O ponto O é o centro da esfera e r é o seu raio.
4.1 Superfície esférica
 É o conjunto dos pontos P, tais que a distância OP é igual a r.
4.2 Área da Superfície Esférica 
A área de um superfície de raio r é 4r².
S = 4r²
O volume de uma esfera de raio r é 4 r³
3
4 r³
3
V =
4. ESFERA
4.3 Volume da Esfera
Exercícios
23) Se uma reta r passa pelo centro de uma esfera, a in-
tersecção da reta r com a esfera constitui qual figura geo-
métrica?
a) um ponto
b) uma reta
24) Se uma reta s encontra uma superfície esférica, a 
intersecção de s com a superfície esférica é um conjunto 
de quantos pontos?
25) Se uma esfera tem raio 2,5cm, qual é, no máximo, o
valor da área de um círculo contido na esfera?
26) Qual é o volume de uma esfera de 30cm de raio?
c) um segmento de reta
d) um círculo
500m³
 3
27) Calcule o volume de uma esfera que tem 12mm de 
diâmetro?
28) Sabendo que o volume de uma esfera é , 
obtenha o seu raio.
29) Calcule a área de uma superfície esférica de 10cm de 
raio (use  = 3,14).
30) Tomando o raio da terra 6400Km, calcule a área do 
“globo” terrestre, em km². (use  = 3,14)
p
r
r
0
d , p = ro 
5. POLIEDROS
Sólidos como os que estão representados abaixo, limitados por faces (pelo menos 4 faces) que são regiões poligonais,
constituem o que vamos definir como poliedros.
a)
e)
a)
d)
b)
f)
b)
e)
c)
g)
c)
f)
d)
Eventualmente, o políedro pode ser pirâmide (figuras a e d), prisma (figuras b e c) ou tronco de pirâmide (figura e). Uma
pirâmide como a da figura a, triangular, é o que se chama tetraedro (poliedro de quatro faces). Vamos definir poliedro
convexo)
5.1 Poliedro Convexo
Sejam n polígonos (regiões poligonais) convexos tais que:
1º) Dois destes polígonos não estão num mesmo plano;
2º) Cada lado de algum destes polígonos é comum a exatamente dois deles;
3º) O plano de cada polígono destes deixa todos os outros num mesmo semi-espaço.
Deste modo, ficam determinados n semi-espaços, cada um com origem no plano de algum dos polígonos e contendo
outros.
A intersecção destes n semi-espaços é um poliedro convexo.
Os polígonos são as faces do poliedro. Os lados dos polígonos são as arestas do poliedro e os vértices dos polígonos
são os vértices do poliedro.
Exercícios
31) Quais das figuras abaixo você reconhece como poliedro?
- 92 -
32) Na figura a) da questão anterior, indicando por V o 
número de vértices, por F o número de faces e por A o 
número de arestas, verifique a igualdade V + F = A + 2.
5.2 Relação de Euler
Sendo V o número de vértice, F o número de faces e A o número de arestas de um poliedro convexo, pode-se
demonstrar que vale sempre a relação:
V + F = A + 2
Conhecido como Relação de Euler (Leonhard Euler, 1707 - 1783, célebre matemático suíço).
A Relação de Euler também costuma ser expressa pela igualdade:
V - A + F = 2
5.3 Poliedros Regulares
Dizemos que um poliedro convexo é regular se as faces deste poliedro são polígonos regulares congruentes entre si
e se os ângulos poliédricos que ficam determinados também são congruentes entre si.
Existem somente cinco tipos de poliedros regulares, que são: tetraedro (4 faces), hexaedro (6 faces), octaedro (8
faces), dodecaedro (12 faces) e icosaedro (20 faces regulares).
TETRAEDRO
REGULAR
HEXAEDRO REGULAR
(CUBO)
OCTAEDRO
REGULAR
DODAEDRO
REGULAR
ICOSAEDRO
REGULAR
As faces de um poliedro regular, ou são triângulos eqüiláteros (no tetraedro, no octaedro e no icosaedro), ou são
quadrados (no hexaedro), ou são pentágonos regulares (no dodecaedro).
- 93 -
33) Indicando por V, F e A, respectivamente, os números 
de vértices, faces e arestas do poliedro da figura b) 
(questão 1), vale a relação V + F = A + 2?
Exercícios
34) Para o prisma abaixo, que é um poliedro convexo, 
sendo V o número de vértices, A o de arestas e F o 
de faces, qual o valor da expressão V - A + F?
35) Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. 
Quantas faces tem este poliedro?
36) Qual é o número de arestas de um heptaedro (polie-
dro de 7 faces) convexo que tem o total de 10 vértices?
37) Qual o número de arestas de um tetraedro?
38) Quais são os números de arestas (A) e de vértices 
(V) de um octaedro regular?
39) Qual é o número de arestas de um icosaedro regu-
lar?
43) Abaixo está a planificação de um poliedro regular:
a) Qual é este sólido?
b) Se a medida das arestas é 12cm, qual a área de sua 
superfície?
- 94 -
40) Quantos vértices tem um icosaedro regular?
41) Cada vértice de um icosaedro regular pertence a 
quantas faces deste poliedro?
42) A figura (em linha cheia) é a planificação de um po-
liedro regular. Qual é o poliedro?
 
- 95 -
CAPÍTULO 11 - TRIGONOMETRIA
1. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Consideremos um triângulo ABC, e
adotemos as seguintes definições.
sen B = = 
cos B = =
tg B = =
cossec B = = 
sec B = =
cot g B = =
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
cateto oposto
cateto adjacente
hipotenusa
hipotenusa
cateto adjacente
cateto oposto
cateto adjacente
hipotenusa
cateto oposto
b
a
c
b
c
a
a
c
c
b
a
b
______________
______________
______________
______________
A partir das definições anteriores, é imediato que:
sen C = = cos B
cos C = = sen B
Tg C = = coTg B
coTg C = = Tg B
sec C = = cossec B
cossec C = = sec B
c
a
b
a
c
b
b
c
a
b
a
c
Sendo B + C = 90º (ângulos complementares) e as funções associadas em cada relação chamadas de co-funções,
conclui-se:
Co-funções de ângulos complementares são iguais.
1.1 - Equações trigonométricas
Equações que envolvem seno, cosseno ou tangente de uma função f (x) como: sen 2x, cos (x-), Tg , etc.x
2
^
^
^
^
^
^
^^
^
^^
^
^ ^
^ ^
^ ^
c
a
BBA
C
Cb
^
^
sen x = cos (90 - x)
2
4
3
2
3
2
3
 
2
3
2
7
2


sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg a 
 
Logo, podemos escrever que: 
 
sen x = sen a � 









kax
ou
kax
2
2
 Zk � 
- 96 -
 
Logo, podemos escrever que: 
cos x = cos a � x = )(2 Zkka �  
 
O conjunto solução dessa equação será, portanto: 
 
 Logo, podemos escrever que: 
 
 
O conjunto solução dessa equação será, portanto: 
 
- 97 -
Exercícios de fixação:
1. Dar a solução geral da equação sen 2x = 
2. Resolva as equações (solução geral):
1
2
a) sen 2x = 3
2
1
2
1
2
 2
2
1
2
1
2
x
2
x
2

2

2

4

6
2
2

3

2
b) sen 3x = -
c) sen 2x = 1
d) sen 3x = 0
e) sen =
3. Resolva as equações (em R):
a) sen (x - ) =
c) sen ( + 2x) = -
b) sen (2x + ) =


4. Resolva as equações:
a) 2 sen² 3x - 5 sen 3x - 3 = 0 
b) 2 sen² 4x + sen 4x = 0
5 . Resolver a equação cos - =
6. Resolva a equação 2 cos² x - = 1
7. Resolver a equação Tg 2x + = - 3
( )
( )
( )
- 98 -
2. TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Seja x um ângulo agudo. De acordo com as definições das funções, podemos verificar que:
1. sen² x + cos ² x = 1
2. tg x = sen x
cos x
3. cotg x = 1 = cos x
tg x sen x
4. sec x = 1 ____
cos x
5. cossec x = 1
sen x
_____
Auxiliares
sec² x = 1 + tg² x
cossec² x = 1 + cotg² x
cos² x = 1
 1 + tg² x
_______
_______sen² x = tg² x
 1 + tg² x
Observações: Estas relações são válidas não somente para ângulos agudos, mas
para qualquer ângulo x para os quais as funções sejam definidas.
2.1 - Valores Notáveis
Tomando-se um triângulo retângulo conveniente, as de-
finições das funções permitem obter-se o seguinte qua-
drado de valores notáveis (Decore-os).
x 
Exercícios de fixação
8. Sabendo-se que sen x = 1. Quais são os possíveis
valores de cos x? 2
 
9. Dado sen x = 0,6, obtenhacos x.
10. Se cos = - 5 , obtenha sen x.
 13
11. Sabendo que x determina no ciclo trigonométrico um
ponto M situado no 2º quadrante e que sen x = 1, qual o
valor de cos x? 3
12. Se cos x = -0,3 e  < x < , obtenha sen x.
13. Quais são os valores possíveis do quociente
sabendo que sen x = 0,5? 
14. Se cos x = e < x < , obtenha o valor de .

2
sen x
cos x

2
sen x
cos x
-2
2
3
2
15. Sabendo que 4 sen² x + 8 cos² x = 5, obter os valores
de sen x e cos x.
16. Obtenha os valores de sen x e cos x, sabendo que 
25 cos² x + 25 = 25 sen x.
17. Resolva, para x no intervalo < x < , a equação 
sen x + 2 cos² x = 2.
18. Resolva, em 0 < x < , a equação cos² x + sen x = 1
19. Sendo que tg x = - 3 e  < x <  , calcule:
 2
a) sec x 
b) cos x
20. Resolva a equação sen³ x + cos* x= 1
Sugestão: cos* x = (cos² x)² e cos² x = 1 - sen² x
0º 30º 45º 60º 90º
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1 3
sen x
cos x
tg x
0
1
0

 



1
0

- 99 -

2

6
11
6
7
4
5
3
3
2

4

3
1
2
1
2
1
2
1
2



 



3. Círculo trigonométrico
cos 2
2
 2
2
 2
2
 2
2
 3
2
 3
2
 3
2
 3
2
0° = 360° = 2 rad rad = 180°
__ __ __
__
__
__
sen
30° = rad
330° = rad
315° = rad
300° = rad
270° = rad
45° = rad
60° = rad
90° = rad
2
3
3
4
5
6
7
6
5
4
4
3
rad = 120°
rad = 135°
rad = 150°
rad = 210°
rad = 225°
rad = 240°
OBS: raio do Círculo Trigonométrico é igual a 1  D = 2.
3.1 - Medida de ângulos e arcos
 Sistema Graus (°)
É a medida de um ângulo qualquer, dotado de duas retas que se cruzam em um ponto.
1 grau (°) = 60 minutos
1 minuto (’) = 60 segundos (”)
1 grau (°) = 3.600 segundos (”)
 Sistema radianos (rad)
É a razão entre o arco e o raio
r
O A
P
= medida de radianosAP
r
3.2 - Conversão de graus para radianos e vice-versa.
180°   rad 90°  rad
2
Exercícios
21. Exprimir 120° em radianos
22. Exprimir 60°15’ para radianos.
23. Converter 30°15’ para radianos.
24. Transformar 12° em radianos
25. Calcular, em graus, o ângulo formado pelos ponteiros
de um relógio, que marca 3h 42min.
b
3
4
5
6
8
7
9
a
Resolução:
Da figura, tem-se: a = 162° - b
30° 60 min
b 42 min
b = 21°
a = 162° - 21°
a = 141°
1
1-1
-1
26. Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um 
relógio que marca 12 e 20 min.
27. Convertendo-se 90º15’ para radianos, obtém-se:
28. Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um
relógio, nos seguintes casos:
a) 2h 15 min
b) 12h 15 min
c) 9h e 10 min
29. Transforme 3 rad em graus.
 4
30. Transforme 19 rad em graus.
 720
31) (EEAR-2002) O 
9
122
sen

 é igual ao 
a) 
9
5
sen

 c)
9
5
cos

 
b) 
9
4
sen

 d)
9
4
sen

 
- 100 -
1. FUNÇÕES CIRCULARES
1.1 SENO
Dado um número x real, x determina M (a,b) no ciclo. A ordenada b de M é o que chamamos de seno de x e indicamos
sen x.
a
M1
b
O
O
M (a,b)
M
u
u
sen x = b (ordenada de M)
Note que, se M está no quadrante e não pertence a nenhum
dos eixos, então existe o triângulo retângulo OM  M, sendo
M = (a,o) e:1
Então, sen x = = = b, isto é, sen x = ordenada de Mb
r
b
1
a
V
Definindo, como fizemos, o seno de número real x como a ordenada do ponto M do ciclo, determinado por x, estamos,
portanto, generalizando a noção interior de seno como razão trigonométrica.
Lembrando alguns valores de seno:
/3
/4
/6
-/6
-/4
-/3
3 /2
2 /2
1/2








sen 30° =
1
2
1
2
1
2
 2
2
 3
2
 2
2
 3
2
 2
2
 2
2
sen =
sen =
sen =

6

6

4

3

4

3
v
u
sen 45° =
sen 60° = , temos
sen - = -
sen - = -
sen - = -
(
(
(
(
(
(
CAPÍTULO 12 - TRIGONOMETRIA
Sen x = M M = cateto oposto1
 xM hipotenusa
Como sen 0 = 0 sen = 1, podemos construir a seguinte tabela:

2
x 0 /6 /4 /3 /2
sen x 0 1/2 2/2 3/3 1 




1.2 FUNÇÃO SENO
Sabemos que para cada número real existe em correspondência um e um só ponto M do ciclo trigonométrico. Cada
ponto M do ciclo A sua ordenada, um número único para cada ponto, que já definimos como sen x.
Temos, portanto, uma função em R: y = sen x
Para um 1° estudo do comportamento da função seno, vejamos o seu gráfico no plano cartesiano x o y.
 No 1° quadrante:
 No 2° quadrante:
 No 3° e 4° quadrante
x
y
x
y
0
0
/2
1
/6
1/2
2/3
3/2
/4
2/2
3/4
2/2
/3
3/2
5/6
1/2
/2
1

0
No 3° e 4° quadrantes, os valores de sen x são os pontos opostos dos valores do 2° e do 1° quadrantes, respectivamente.
Para x > , os valores de y = sen x serão uma repetição dos valores obtidos para 0  x  2. Dá-se o mesmo para x < 0.
Acontece que  x temos: sen x = K  sen (x + 2) = K
E o menor valor positivo de P, tal que:
sen x = sen (x + p) (x) é p = 2.
- 101 -
Por isto, dizemos que a função f(x) = sen x, em R, é uma função periódica, de período 2. A curva que representa esta
função no plano cartesiano é chamada senóide.
-1
2 2 3 4
0
1
y = sen xDomínio = R
Imagem = {y  R  - 1  y  1 }
Período: p = 2
 Exercícios
1. Dar o valor de sen .
2. Dê o valor de:
5
3
a) sen  + b) sen  +
b) sen  + d) sen  +
3
4
3
2

6

3

3

3
2
3

4

2

2
3. Dê o valor de:
a) sen  + c) sen  +
4. Qual é o valor do seno indicado?
a) sen (2 - /6)
b) sen (2 - /4)
c) sen (2 - /3)
d) sen (2 - /2)
5. Qual é o valor da soma:
sen 0 + sen + sen  + sen + sen 2
6. Dar o valor de sen 870°.
7. Dar o valor de:
a) sen 3 
b) sen 4 
c) sen 5 
d) sen 12 
8. Idem:
a) sen ( + 2k), com K  Z
b) sen ( - + 2k), com K  Z
2. COSSENO
Dado um número x real, chamamos cosseno de x a abcissa do ponto M que o número x determina no ciclo trigonométrico.
Indicamos por cos x e, então:
cos x = a (abcissa de M)
Note que, se M está no 1° quadrante e não pertence à um dos eixos Ou ou Ov, então, do triângulo retângulo OM, M sendo
M = (a, o). Temos:1
M1O
M
u
V

cos  =
E então: cos  = = a, isto é, cos  = abcissa de M
OM1
OM
cateto adjacente
hipotenusa
a
r
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
- 102 -
O cosseno de um número real, definido como a abcissa do ponto M determinado por x no ciclo, corresponde à uma
generalização da noção de cosseno como razão trigonométrica.
Lembrando alguns valores notáveis de cosseno:
cos 30° =
cos 45° =
cos 60° =
 3
2
 2
2
 1
2






/3
/4
/6
 3
2
 3
2
 2
2 2
2
0
1
2

2
V
u
Temos: cos = , cos = , cos =
6

4

3

2
Notando ainda que: cos 0 = 1 e cos = 0
x 0 /6 /4 /3 /2
cos x 1 3/2 2/2 1/2 0
cos x = sen - x (x) (x  IR)
2.1 FUNÇÃO COSSENO
Para cada número real x, existe um e um só valor de cos x. Temos, portanto, uma função em R: y = cos x.
 No 1° quadrante:
 No 2° quadrante:
 Nos 3° e 4° quadrantes:

 

x
y
x
y
0
1
/2
0
/6
 3/2
2/3
-1/2
/4
2/2
3/4
2/2
/3
1/2
5/6
3/2
/2
0

-1- -
No 3° quadrante, cos x repete ordenadamente os valores do 2° quadrante e no 4° quadrante repete os valores de 1°
quadrante.
como cos x = cos (x + 2) é o menor valor positivo de P, tal que:
cos x = cos (x + p) (x)
É p = 2, a funçãoem R f(x) = cos x é função periódica, de período 2. A curva que a representa no plano cartesiano
é a cossenóide.
-1
- 
-2 2
3
4
0
1
x
y = cos x
Domínio = IR
Imagem = {y  R / -1  y  1}
Período  P = 2
 Exercícios
9. Dê os valores de:
a) cos - b) cos - c) cos - d) cos -
a) cos b) cos c) cos d) cos  

3

3

3
5
6

4

4
3
4
3
2

6

6

6
2
3

2
10. Dê os valores de:
11. Qual é o valor de:
cos + cos 2 + cos 4?
12. Qual é o valor de:
cos 300° + cos 390°?
13. Dê os valores dos cossenos indicados:
a) cos 420° 
b) cos 450° 
c)cos 495° 
d) cos 870°
e) cos ( + 2) 
f) cos ( + 6) 
g) cos ( + 4)
h) cos ( + 2k), (K  Z)
i) cos ( - + 2k), (K  Z)
j) cos 3 
k) cos 4 
l) cos 5 m) cos 6 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
- 103 -
uA
T
O
M
V
M1
t
Tg x = M,M ou Tg x = sen x
 OM cos x1
Considerando a reta t, que tangencia a circunferência trigonométrica em A (1,0), e sendo T o ponto onde a reta om
encontra a reta t, vemos que:
M,M
OM1
M,M
OM1
=
= AT, isto é: = AT, ou seja: tgx = AT
AT
OA
sen x
cos x
(da semelhança de OM,M e OAT)
Como OA é um segmento unitário (é raio do ciclo trigonométrico), então:
Em seguida, definimos em geral a tangente de x.
Dado o número real x, chamamos tangente de x a razão sen x, se cos x  0.
cos x
Indicamos tg x e temos: tgx = sen x.
cos x
Se cos x  0, isto é, para x   + k (com K  Z)
2
A reta orientada t, que tangencia o ciclo em A (1,0), tendo como positivo o sentido das ordenadas crescentes, é
chamada eixo das tangentes.
x 0 /6 /4 /3 /2
Tg x 0 3/3 1 3
   
3.1 Função Tangente
Para cada número real, tal que cos x  0, isto é, x  /2 + K, com K  Z, existe um e um só valor de tgx. Assim, temos
uma função: y = tgx.
Definida para x real e x  /2 + k (K  Z) e com valores em R.
Na tabela abaixo estão alguns pares (x, y) em que y = tgx e - < x < 
2
 
2
 
2
 
2
 
2
 
2
 
2
3 
2
x -/3 -/4 -/6 0 /6 /4 /3
tgx - 3 3/3 -1 0 3/3 1 3
Marcando esses pontos no plano cartesiano e completando, obtivemos a 
tangentóide, que é como chamamos a curva
da função y = tgx no intervalo
- < x <
Para x variando entre e ,tg x repete sistematicamente
os valores de quando x varia entre - e
0

6

4

3

2

2
-
y
x
Em geral, tgx = tg (x + ) (x, x  /2 + K) (K  Z) e o menor valor positivo de p para qual tgx = tg (x + p) qualquer que
seja x (desde que exista tgx) é p = . Então, a função y = tgx é periódica, com período p = . O gráfico é a família das
tangentóides.
3. TANGENTE
Sabemos que:
Um número real x sempre determina um ponto M no ciclo 
trigonométrico, que é M (cosx, sen x), que o eixo das
abcissas Ou é eixo dos cossenos e que o eixo das ordena-
das Ov é eixo dos senos.
Se M é do 1° quadrante e não pertence a um dos eixos Ou 
ou Ov e se M é a projeção ortogonal de M sobre o eixo Ou,1
no triângulo retângulo OM M, temos:1
- 104 -
0-
2
3
2

2
y
x 2-
Domínio = {x  IR/ x  /2+ K} (K  Z) Imagem = R período: p = 
 Exercícios
14. Para que o valor de x no intervalo - < x < ,
verifica-se a equação tgx = 1?

2

2

2

2
16. Obtenha os valores de x, no intervalo 0  x  2, que
verificam a equação 3tgx - 3 = 0




 
17. Dê a solução da equação tgx = 3, para x em 0  x  4
18. Dar a solução geral da equação 1 + tgx = 0
19. Dê a solução geral de cada uma das equações:
a) tgx =
c) tgx = 3
b) tgx = -
d) tgx = 0
 3
3
 3
3
tgx
2
20. Resolva a equação tg (x - /2) = 1 (Dê a solução geral)
22. Dê a solução geral das equações:
a) 5 tg²x = 0 b) tg²x - tgx = 0
15. Dê o valor de x, no intervalo - < x < , que satisfaz
a cada equação seguinte: 
21. Resolva a equação 
a) tgx = 3
b) tgx = - 3
c) tgx = -1
d) tgx = 0
tgx+ = 4 - tgx 5
2
(Solução geral)

Exemplos:
cotg = = = 3
6
cos /6
sen /6
 3 /2
1/2
Um número real x, x  K, determina um ponto M no ciclo.
Seja T’ o ponto onde OM encontra a reta t’. A abcissa de T’ é a cotangente de x. .



 
4. COTANGENTE
Dado um número real x, chama-se cotangente de x a razão , se sen x  0 (isto é para x  K, com K  Z).
Indica-se por cotg x. Assim, cotg x = para x  K (K  Z)
cos x
sen x
cos x
sen x
4.1 Interpretação Geométrica
A reta r’, que tangência o ciclo em B (0,1), orientada no mesmo sentido do eixo O dos cossenos (que é paralelo a t’),u
é o eixo das cotangentes.
M
r’
t’B
V
A uO T’ = (cotg x, 1)
O

6
-
u

6
/3

2
7
6
-



2
/4
3
3 1-1 3- 3
3/4
t’
V
cotg = = = =
cotg = = 1
cotg = = = 0

3

4

2
cos /3
sen /3
cos /4
sen /4
cos /2
sen /2
0
1
 3 
3
 1/2 
 3 /2
1
 3
cotg = 3
cotg (-/6) = - 3
cotg (-/2) = 0
7
6
- 105 -
23. Dê os valores de:
a) cotg d) cotg 240°
b) cotg e) cotg ( - )
c) cotg 150° f) cotg
2
3
5
6

4
3
2
5
13
24. Dado sen = 3/5 e sabendo que 0 < x < /2, obtenha o
valor de:
a) cos x b) tg x c) cotg x
25. Se cos x = - , quais são os possíveis valores de cotgx?
26. Se  = 930°, qual o valor de cotg?
27. Das quatro alternativas abaixo, sendo K  Z, qual é a
solução da equação cotg x = 0?
Exercícios
a) x = 2k b) x = k c) x = k + /2 d)x = k /2
28. Resolver a equação tg x + 3 cotg x = 3
29. Resolva a equação tg x + cotg x = 2 (solução geral)
30. Mostre que (1 + cotg x)² + (1 - cotg x)² = , x,
x  K (K  Z)
2
sen²x
Sugestão: Partindo do 1° elemento, fazendo simplificação,
procure chegar à expressão que está no 2° membro.
- 106 -
5. SECANTE
Dado um número real x, chama-se secante de x, e indica-se sec x, o inverso de cos x, se cos x  0.
sec x = (x  + K, K  )

2
1
cos x
1
sen x
6. COSSECANTE
Dado um número real x, cossecante de x, é o inverso de sen x, sendo sen x  0; indica-se por cossec x.
cos sec x = (x  K, K  )
Exercícios
31. Se  = , dê os valores de:
a) sec  b) cossec 
3
4

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2
32. Se  = 570°, dê os valores de:
a) sen  
b) cos  
c) sec  
d) cossec 
33. Se x = - + 4, dê os valores de:
a) sec x b) cossec x
34. Dê os valores de x, em 0 < x < , tais que cossec 
 x =1
35. Resolva a equação cossec x = 0
7. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
7.1 FUNÇÃO ARCO-SENO
Considere a função , que é y = sen x, restrita ao intervalo - < x < e com valores em -1  y  1. Para esta função,
é verdade também que para cada valor de y existe sempre um único valor de x, de modo que sen x = y. A função y =
sen x, com x e y nos intervalos dados acima, inversível. Sua inversa é chamada função Arco-Seno. Podemos escrever
x = arc seny(x é o arco cujo seno é y).
Assim, temos a função: y = arc sen x
Com -1  x  1 e -/2  y  /2, que é a inversa da função f dada.
7.2 FUNÇÃO ARCO-COSSENO
Considerando que a função , dada por y = cos x de [0,], em [-1,1] é inversível, escrevemos que:
x = arc cosy (x é o arco cujo cosseno é y)
Assim, temos a função: y = arco cos x de [-1,1] em[0,], chama-se Função Arco-Cosseno, que é a inversa da função .
7.3 FUNÇÃO ARCO-TANGENTE
Considere a função f, dada por y = Tgx, restrita no intervalo - < x < , isto é, de - , em R, que é inversível.
Podemos escrever que:
]
]
]
]
y = Tgx e - < x <  x = Arc tgy (x é o arco cuja tangente é y)
Assim, temos a Função Arco-Tangente: y = arc tgx de R em - , , que é a inversa da função  dada.
7.4 LEI DOS SENOS
Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são proporcionais ao seno dos ângulos opostos.
Conforme a figura, indicando por A, B e C as medidas dos ângulos Â, B e C, temos:
^
^
^
^ ^
^
^
^
^
a
sen A
b
sen B
c
sen C
= =
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
B
B
B
B
BB
A
A
A
A
A
A
C
C
C
C
C
C
7.5 LEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, o quadrado da medida de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos
outros dois lados menos e duplo produto das medidas deste dois lados pelo cosseno do ângulo interno formado por
eles.
a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = a² + c² - 2ac cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C
 Exercícios
36. Num triângulo ABC, tem-se: med (B) = 45°, med (C) =
30° e med (BA) = 5 2. Obtenha a medida do lado AC.


 

5 2
45° 30°
38. No triângulo ABC tem-se: med (B) = 45°, med (C) = 60°
e b = 2. Obtenha a e c. É dado sen 75° = 2 + 6
4
37. No mesmo triângulo, obtenha a medida de BC. É dado
sen 105° = 0,97° e 2 = 1,40.
39. Num triângulo ABC, temos med (AC) = 7, med (BC) =
8 e med (ABC) = 60°. Se  = med (BAC), otenha o valor
de sen .
40. Obtenha a medida a do lado BC do triângulo, sendo
dados b = 5, c = 8 e med (CAB) = 60°
41. Com os dados da figura abaixo, obtenha a medida de
BC, sabendo que cos = 0,40
4
5
42. Determine a medida .
5 5
5 3

43. Dois lados de uma paralelograma medem 8 e 12 e formam
um ângulo de 60°. Calcule as medidas d e d das diagonais.1 2
d1
d2
60°
A
B
D
C
- 107 -
- 108 -
a) 
6 2
4

. 
 
b) 
6 2
4

. 
 
c) 
6 2
2

. 
 
d) 
6 2
2

. 
I. O arco 
4
11
 tem imagem no 2
o
 quadrante. 
II. O arco de 1500
o
 tem imagem no 3
o
 quadrante. 
 III. O arco  
3
13
 tem imagem no 4
o
 quadrante 
Assinale a opção correta. 
 
a) V, F, V. c) F, V, F. 
b) V, F, F. d) V, V, V. 
- 109 -
CAPÍTULO 10
GABARITO
Pág. 86
01) a) h = 34
b) h = 91 .
 2
02) Ae = 544 u²
03) S = l² 3t 
04) V = 48 cm³
05) V = 56 dm³
06) V = 960 6 u³
07) V = 144 3 u³
08) V = 100 cm³
 Pág. 88
09) Al = 38 cm²
10) A = 132  cm²t 
11) V = 120  dm³
12) V = 2000  cm³
 
13) c = 803.840 l
14) c = 1.570 ml
15) v = 6  u³
 Pág. 90
16) g = 10 cm
17) A = 4,4 dm²b
18) v = 94,2 cm³
19) Al = 307,72 cm²
20) A = 28,26 cm²t 
21) 3 u³
22) V = 9  m³
 4
 Pág. 91
23) c
24) 1
25) A = 6,25 cm²
26) v = 36.000 cm³
27) v = 288  mm³
28) r = 5m
29) A = 1.256 cm²
30) A = 514.457.600 km²
 Pág. 92
31) a, b, c, d, f
32) 4 + 4 = 2 + 6 => 8 = 8 (v) 
 Pág. 94
33) 6 + 5 = 2 + 9 => 11 = 11 (v) sim
34) 2
35) F = 8
36) A = 15
37) A = 7
38) A = 12 e V = 6
39) A = 24
40) V = 14
41) 5 faces
42) cubo (dado)
43) 
a) tetraedro
b) 24 cm²






- 110 -
CAPÍTULO 11
1) x =  + K c/ K  Z ou x = 5 + K c/ K  Z
 12 12 
2) 
a) x =  + K c/ K  Z ou x =  + k c/ K  Z
 6 3
b) x = 7 + 2K c/ K  Z ou x = 11 + 2K c/ K  Z
 18 3 18 3
c) x =  + k c/ K  Z
 4
d) x = 2K c/ K  Z ou x = 2 + 2K c/ K  Z 
 3 3 3 
e) x =  + 4K c/ K  Z ou x = 5 + 4K c/ K  Z
 3 3
3)
a) x = 3 + 2K c/ K  Z ou x = 5 + 2K c/ K  Z
 4 4
b) x = - + K c/ K  Z ou x = 3 + k c/ K  Z
 12 12 
c) x = 3 + K c/ K  Z ou x = 5 + K c/ K  Z
 8 8
4)
a) sen 3x = -1 ; x = 7 + 2 K c/ K  Z 
 2 18 3 
 e x = 11 + 2K c/ K  Z
 18 3
b) p/ sen 4x = 0 => x = K c/ K  Z
 2 
 ou x =  + K c/ K  Z
 2 2
p/ sen 4x = -1 => x = 7 + k c/ K  Z
 2 24 2
ou x = 11 + K c/ K  Z
 24 2 
5) x =  + 4K c/ K  Z ou x = 11 + 4K c/ K  Z
 3
6) x = 3 + 2K c/ K  Z ou x = 9 + 2K c/ K  Z
 4 4
7) x = 17 + K c/ K  Z ou x = 5 + K c/ K  Z
 24 24
8) cos x =  3
 2

9) cos x = 0,8
10) sen x = 12
 13
11) cos x = -2 2
 3
12) sen x = 0,91
13) cos x = 3 e tg x = 3
 2 3
14) sen x = 2 e tg x = -1
 2
15) cos x = 1 e sen x = 3
 2 2
16) sen x = 1 e cos x = 0
17) sen x = + 1 e cos x = - 3
 2 2
18) sen x = 1 e cos x = 0
19)
a) sen x = -2
b) cos x = -1
 2
20) sen x = 0; cos* x = 1 
 e sen x = 1; cos* x = 0
21) x = 2 rad
 3
22) x = 241 rad
 720
23) x = 121 rad
 720
24) x =  rad
 15







25) demonstração
Página 97
Página 98
Página 99
26) a = 110º
27) x = 361 rad
 720
28) a) 22º 30’
 b) 82º 30’
 c) 145º
 29) 135º 30) 4º 45’
- 111 -
CAPÍTULO 12 
- 3
2
- 3
2
- 2
2
- 3
2
- 2
2
- 1
2
- 3
2
- 2
2
- 1
2
Página 101
Página 102
- 3
2
 3
2
1
2
 m) 1
- 3
2
- 3
2
- 2
2
- 2
2
 2
2
 2
2
 3
2
 3
2
1+ 3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Página 104
2
3
3
4
7
6
5
6
4
3
5
3
7
4
7
6

6

4

6

6

3
3
 4
5
4
5
4
7
4
3
4

4

4
- 3
3
 3
3
 3
3
4
5
12
13
3
4
4
3

4
Página 105
2 3
3
2 3
3
 3
3
1
2

2
Página 106
Página 107
Página 108
- 112 -
MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
ÍNDICE
Capítulo 13 - Análise Combinatória ........................................................................................................................115
Princípio Fundamental da Contagem ou princípio multiplicativo ................................................................................115
Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Arranjos e Combinações ............................................................................................................................................116
Definições ..................................................................................................................................................................116
Permutações .............................................................................................................................................................119
Permutações Simples ................................................................................................................................................119
Permutaçõescom repetição ......................................................................................................................................119
Exercícios ..................................................................................................................................................................120
Capítulo 14 - Binômio de Newton....................................................................................................................121
Binômio de Newton...........................................................................................................................................121
Números binomiais...........................................................................................................................................121
Propriedades dos números binomiais..............................................................................................................121
Triângulo de Pascal..........................................................................................................................................122
Relações..........................................................................................................................................................123
Expressão do termo geral.................................................................................................................................123
Exercícios.........................................................................................................................................................124
Capítulo 15 - Números Complexos ...................................................................................................................... 125
Forma Algébrica ....................................................................................................................................................... 125
Definição .................................................................................................................................................................. 125
Forma Algébrica ....................................................................................................................................................... 125
Potências da unidade imaginária i ........................................................................................................................... 126
Regra Prática ........................................................................................................................................................... 126
Operações com números complexos ....................................................................................................................... 126
Propriedades de números complexos ...................................................................................................................... 127
Raiz Quadrada de Complexo ................................................................................................................................... 127
Exercícios ................................................................................................................................................................. 128
Modelo de um número Complexo ............................................................................................................................ 129
Argumento de um número complexo ....................................................................................................................... 129
Forma Trigonométrica .............................................................................................................................................. 129
Exercícios ................................................................................................................................................................. 130
Gabaritos ................................................................................................................................................................. 131
1
2
3
3.1
4.
4.1
4.2
1.
1.1
1.2
2
3
4
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
2.1
2.2
2.3
- 115 -
CAPÍTULO 13 - ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM OU PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
Determina o número de maneira distintas, que pode ocorrer um evento composto de duas etapas independentes.
 Saias
 4 . 6 = 24 modos
Blusas
 
Árvore de Possibilidades
Blusa 1
Blusa 2
Blusa 3
Blusa 4
Saia 1
Saia 2
Saia 3
Saia 4
Saia 5
Saia 6
Saia 1
Saia 2
Saia 3
Saia 4
Saia 5
Saia 6
Saia 1
Saia 2
Saia 3
Saia 4
Saia 5
Saia 6
Saia 1
Saia 2
Saia 3
Saia 4
Saia 5
Saia 6
Observação: Para cada blusa ela tem 6 saias, portanto, 24 modos.
b) Quantas placas de automóvel podem ser confeccinadas usando-se 3 algarismos e 4 letras?
Resolução:
10. 10. 10. 26. 26. 26. 26 = 175.760.000 placas.
algarismos letras
} }
Algarismos => (0, 1, 2, 3 ..... 9) => 10
Letras => (a, b, c, d, .....z) => 26
Exemplos:
a) Uma moça dispõe de 4 blusas e 6 saias. De quantos modos distintos ela pode se vestir?
Resolução: 
n modos1
n modos1 
O Evento:
1ª Etapa: escolhe a blusa
2ª Etapa: escolhe a saia
123...)2()1(! � nnnn
 Para n  e n > 1 
O símbolo n! lê-se fatorial de n ou n fatorial 
Exemplos: 
2! = 2x1 = 2 
5! = 5x4x3x2x1=32 
 
Por definição: 
0!=1 1!=1 
 
Simplificar as expressões: 
a) 
!6
!7
 b) 
!68
!8
�
 c) 
!
)!2(
n
n 
 
- 116
3. ARRANJOS E COMBINAÇÕES
3.1 Definições
 Quando dispomos de um certo número de elementos, e queremos saber quantos agrupamentos com alguns des-
ses elementos podemos formar, devemos, primeiro, definir que tipo de agrupamentos queremos.
 Existem, basicamente, dois tipos: os agrupamentos em que a ordem dos elementos é importante, e aqueles em 
que a ordem dos elementos utilizados não é importante.
 Se, por exemplo, com os elementos E = (6, 7, 8, 9), formarmos conjuntos de 3 elementos, teremos agrupamentos 
dos 4 elementos de E, tomados 3 a 3, onde a ordem não importa, isto é, se mudarmos a ordem dos elementos, o con-
junto não se modifica.
 {6, 7, 8} = { 7, 6, 8} = {8, 7, 6} => combinações
 Porém, se em vez de conjuntos, formarmos números de 3 algarismos distintos, teremos agrupamentos dos 4 ele-
mentos de E, tomados 3 a 3, em que a ordem é importante, isto é, se mudarmos a ordem dos algarismos, o número
se modifica:
 678  768  876 => Arranjo
Resumindo em uma tabela, temos do exemplo:
{6, 7, 8}
{6, 7, 9}
{6, 8, 9}
{7, 8, 9}
combinações = 4 Arranjos = 24
678
679
689
789
687
697
698
798
768
769
869
879
786
796
896
897
867
967
968
978
876
976
986
987
Através de fórmulas, podemos achar o número de combinações e de arranjos.
Fórmula do número de arranjos: Fórmula do numero de combinações: 
 A = n!n, p
 (n - p)!
C = n!n, p
 (n - p)! p!
Onde n é o número de elementos e p é o número de classe.
Observação: C = A n, p n, p
 p!
Do exemplo E = {6, 7, 8, 9} e classe 3 temos:
A = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (ver tabela acima) C = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 4 (ver tabela acima)4, 3 4, 3
 (4 - 3)! 1 (4 - 3)! 3! 1 x 3 x 2 x 1
- 117
comissões. 52535.15
2
30
.
3!
210
4!.2!
6.5.4!
.
3!.4!
7.6.5.4!
4)!(64!
6!
.
3)!(73!
7!
..CC produto o é resultado O
C - MOÇAS
C - RAPAZES
moças? 4 e rapazes
3 comformar podemos comissões quantas moças, 6 e rapazes 7 com reunião Numa 3)
saladas. de tipos210
24
5040
!4
5040
!4!.6
!6.7.8.9.10
)!610!.(6
!10
feitas?ser podem
diferentes espécies 6 contendo salada, de tiposquantosfrutas, de espécies 10 Com 2)
.Chaver pode não porque resposta a é não 1 :obs
.5 :Resposta
1''
5'
 
2
166
 056
056 0
6
3323
0
26
22
0
!2
)1.(
!3
)2).(1.(
0
)!2(!2
)!2).(1.(
)!3(!3
)!3).(2).(1.(
0
)!2(!2
!
)!3(!3
!
.0 equação aResolver 1)
6,47,3
6,4
7,3
6,10
1,3
2
23
223
2223
2,3,




































C
m
m
m
m
mmm
mmm
mmmmm
mmmmmm
mmmmm
m
mmm
m
mmmm
m
m
m
m
CC mm
 
Exercícios: 
 
Considere a palavra LOGICA: 
 
A) Quantos anagramas podemos formar? R.720 anagramas 
B) Quantos anagramas começam com L? R.120 anagramas 
C) Quantos começam com LO? R.24 anagramas 
D) Quantos começam e terminam com vogal? R.144 anagramas 
E) Quantos começam com consoante e terminam com vogal? R.216 anagramas 
F) Em quantos as letras L, O, G estão juntas, nessa ordem? R.24 anagramas 
G) Em quantos as letras L, O, G estão juntas? R.144 anagramas 
 
 
 
 
 
- 118
4. PERMUTAÇÕES
4.1 Permutações Simples: 
Se você tiver que formar com os elementos de E = {7, 8, 9} todos os números de 3 algarismos distintos, é claro que 
você vai estar fazendo arranjos dos 3 elementos, tomados 3 a 3.
 789 798 879 897 978 987
 
A = 3 . 2 . 1 = 63, 3
{
Perceba que, para formar esses arranjos, tomamos todos os elementos dados e fomos trocando, (permutando) a sua
ordem.
Portanto, o número de permutações simples é dado por: P = n!n
Observação: P = A quando n = p, ou seja: P = A = n! = n! = n! = n! = n!n n , p n n´p
 (n - p)! (n - n)! O! 1
 
(, ,  ...)
, ,  ...  n)= n!
 ! ! ! 
Pn (com 
Do exemplo citado temos: P = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2x 1 = 606
 3! 2!1! 3 x 2 x 1 x 2 x 1
Outro exemplo: 
O número de anagramas da palavra PATA e da palavra ARARA é respectivamente:
P = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12 4
 2! 2 x 1
P = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 10 5
 3!2! 3 x 2 x 1 x 2 x 1
Observação: Anagrama é qualquer palavra, com ou sem significado, que pode ser formado trocando a ordem das le-
tras da palavra dada.
(3, 2)
(2)
(3, 2)
4.2 Permutação com Repetição
Considere o seguinte exemplo: o grupo AAABBC.
Quantas permutações podemos realizar? (Note a presença de elementos repetidos).
De modo geral, se temos ao todo n elementos, dos quais  são iguais a A,  são iguais e B e  são iguais a C, etc., o
número de permutações de seus elementos é dado por:
 
Exemplo: Calcule o número de anagramas da palavra BOLA.
P = 4! (há 4 letras distintas na palavra)4
P = 4 . 3 . 2 . 1 => P4 = 24 anagramas distintos.4 
- 119 -
Exercícios:
1. Um labirinto tem 5 entradas A, B, C, D, E. Descreva,
por uma árvore de possibilidades, todas as maneiras de
um ratinho entrar e sair, por portas diferentes, não im-
portando os percursos feitos dentro do labirinto. Verifi-
que, em seguida, que o total das possibilidades pode 
ser obtido pelo PFC (Princípio Fundamental da Conta-
gem).
2) No lançamento de um dado e de uma moeda, quan-
tos resultados (número; face) são possíveis?
3) Ao Pico do Jaraguá conduzem 6 estradas; Por quan-
tos percursos é possível subir e descer?
4. Simplifique: An, p
 An, p - 1
5. Calcule, utilizando a fórmula do número de arranjos:
a) A10,1
b) A8,0
c) C8,1
6. Simplifique: a) A10,6
 A11, 5
7. O número de anagramas da palavra TABACARIA é:
________________
8. Quantos anagramas da palavra PIRADO:
a) começam por vogal? ______________
B) Começam e terminam por vogal? ___________
d) C12,0
e) C5, 5
f) C7,7
b) Cn,4
 Cn, 2
- 120 -
a) 196 
b) 286 
c) 336 
d) 446 
a) 7. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 10. 
a) uma raiz nula. 
b) uma raiz positiva. 
c) duas raízes positivas. 
d) uma raiz positiva e outra negativa. 
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 
( )
1.2 Propriedades dos Números Binomiais
P1: Números Binomiais Complementares.
Dois números binomiais de mesmo numerador n e n são complementares se p + q = n. Exemplos:
 p q
1) 5 e 5 são complementares pois 3 + 2 = 5
 3 2
2) n e n são complementares pois p + (n-p) = n
 p n - p
Dados os números binomiais n e n com p  n e q  n, n e n são iguais se, e somente se, ou eles tem 
 p q p q
a mesma classe , ou são complementares.
( ) ( )
n n p + q = n
 = <=> ou
p n - q p + q
P2: Números Binomiais Consecutivos
Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados consecutivos se as duas classes são números consecu-
tivos.
CAPÍTULO 14 - BINÔMIO DE NEWTON
- 121 -
1.1 Números Binomiais
Definimos Número Binomial de classe p de número
n ou binominal de n sobre p (indicamos por n ), como
segue: p( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n n!
 = <=> n  p, com n  N, p  N
p p! (n - p)!
n
 = 0  n < p , com n  N, p  N
p
 6 6! 6!
1) = = = 15
 4 4! (6 - 4)! 4!2!
 10 10! 10! 
2) = = = 120
 7 7! (10 - 7)! 7!3!
Exemplos:
 2 2!
3) = = 1
 0 0!2!
 0 0!
4) = = 1
 0 0!0!
OBS:
0! = 1
1! = 1
1. BINÔMIO DE NEWTON
1) Relação de Fermat: 2) Relação de Stiffel:
 n n n - p
 = .
p + 1 p p + 1
 n n n + 1
 + =
 p p + 1 p + 1( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2. TRIÂNGULO DE PASCAL
Os números binomiais podem ser dispostos ordenadamente numa tabela denominada triângulo de Pascal.
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
4
0
4
1
5
0
5
1
5
2
6
0
6
1
6
2
7
0
7
1
7
2
8
0
8
1
8
2
9
0
9
1
9
2
10
0
10
1
10
2
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
3
3
4
2
4
3
4
4
5
3
5
4
5
5
6
3
6
4
6
5
6
6
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
8
3
8
4
8
5
8
6
8
7
8
8
9
3
9
4
9
5
9
6
9
7
9
8
9
9
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.
.
n / p
Nesta tabela, os números binomiais são dispostos de maneira que os números com o mesmo numerador encontram-se na mesma linha e os de mesma classe são dispostos na mesma coluna. Substituindo os valores dos números bi-
nomiais, teremos:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
6
10
15
21
28
1
4
10
20
35
56
1
5
15
35
70
1
6
21
56
1
7
28
1
8 1
As seguintes propriedades podem ser verificadas no triângulo de Pascal:
P1: Numa linha do triângulo de Pascal, os elementos equidistantes dos extremos são iguais.
nP2: A soma dos elementos da linha que corresponde ao numerador é igual a 2 , isto é, n 
  n 
 p = 0 p
 
 
- 122 -
n= 2
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
P4: Teorema das colunas
A soma dos números binomiais de uma mesma coluna, desde o primeiro elemento até um qualquer, é igual ao número 
binomial que fica imediatamente abaixo, na coluna situada à direita da considerada.
n
n
n + 1
n
n + 2
n
.
.
.
 n + p n + p + 1
 n n + 1 
p
 n + 1 = n + p + 1
i = 0 n n + 1
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )P3: Relação de Stiffel: n n n + 1 + =
 p p + 1 p + 2 
n
p
n
p + 1
n + 1
p + 1
P5: Teorema das diagonais
A soma dos números binomiais situados na mesma diagonal, desde a primeira coluna até uma qualquer, é igual ao
número binomial imediatamente abaixo, na mesma coluna.
n
o
 n + 1
 1 
 n + 2
 2 .
 .
 .
n + p
p
n + p + 1
p
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )p

i = o
n + i = n + p + 1
 i p
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3. RELAÇÕES
n n 0 n - 1 1 n-2 2 0 n n n-p p
( x + y ) = n x y + n x y + n x y + ... + n x y =  n x y
 
0 1 2 n p = 0 p
4. EXPRESSÃO DO TERMO GERAL
n n n - p pOs termos de ordem p + 1 para o desenvolvimento de ( x + y) e ( x - y ) são dados por: Tp + 1= n x y e
 p
p n-p pTp + 1 = (-1) n x y
 p 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
n n 0 n-1 1 n-2 2 n 0 n n p n - p p( x - y ) = n x y - n x y + n x y - ... + (-1) n x y =  (-1) n x y 
 0 1 2 n p = 0 p
- 123 -
n-p p p n-p pT = . x . y e T = (-1) . . x . y(p+1) (p+1)
n
p
n
p
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
EXERCÍCIOS:
1. Calcular: 0! + 5 + 5
 0 5
2. São dados os valores da linha 8 do triângulo de Pas-
cal 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1.
Quais são os valores da linha 9?
3. Há dois valores de P que satisfazem a igualdade 
 10 = 10
 3 p Quais são eles?
4. Resolver a equação: 12 = 12
 3x -1 x + 1
5. Resolver as equações:
a) 20 = 20 b) 16 - 16 = 0
 x + 2 2x 3x - 2 x + 2
6. Desenvolver:
4a) ( x + a) 
4b) (x + 2)
7. Se x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 8, com x e y reais, qual o 
valor de x + y?
8. Obter os valores dos números inteiros x e y de modo
que 
x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 1000 e x³ - 3x²y + 3xy² - y³ = 64.
9. Obter o 3º e o 5º termos do desenvolvimento de 
10( x + 2 ) , ordenado segundo as potências decrescentes 
de x.
6
10. Obter o termo x² no desenvolvimento de (3x - 1) .
11. Obter o termo independente de x no desenvolvimen-
to de:
8 6 12
a) 2x + 1 b) 3x + 1 c) x - 2 
 x 2x 2 x 
5c) ( x - a) 
5d) ( x - 1)
- 124 -































32
4
5
3
5
2
5
1
5
4
54322345 nmnnmnmnmm
nm
 , 
sendo 





1
5
; 





2
5
; 





3
5
 e 





4
5
 números binomiais, então o valor de 
“m” é 
a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 
13. (AFA-2000) O termo independente de x no desenvolvimen- 
to de 
7
3
14









x
x é 
a) 4 
b) 10 
c) 21 
d) 35 
1. Forma Algébrica
Para a equação x² = -1 fizeram x = -1 e passaram, depois a usar o símbolo i, chamado unidade imaginária, indican-
do x =  i, em lugar de x = -1.
Para outras raízes quadradas de números negativos, como -9, colocavam: 
 -9 = 9 . (-1) = 9. -1 = 3 -1 = 3( i) = 3i.
1.1 Definição:
Chama-se número complexo todo par ordenado (x, y), onde x  IR e y  IR, com as seguintes propriedades formais:
1. Igualdade: (a, b) = (c, d)  a = c e b = d
2. Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
3. Multiplicação: (a, b) . (c . d) = (a . c - bd, ( ad + bc ) i )
Note: a analogia desta multiplicação com:
(a, b) . (c, d) = (a + bi) . (c + di) =
 = ac + adi + bci + bdi² =
 = ac + adi + bci + bd (-1) =
 = (ac - bd) + (ad + bc)i
1.2 Forma Algébrica
O número complexo z = (a, b) sempre pode ser representado na forma algébrica: 
 z = a + bi
Onde i, chamado unidade imaginária, é o número complexo (0, 1) 
Exemplos:
z = 2 + 3i; z = 5 - 2i; z = - 1 + 3i; z = 0 + 5i = 5i; z = 3 + 0i = 3
 2
Observações:
· Todo número real é também um número complexo, como: 3 = 3 + 0i = (3, 0)
· Com a unidade imaginária i = (0, 1), pela definição dada: (a, b) . (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Temos:
i² = i . i = (0, 1) . (0,1) = ( 0 . 0 - 1 . 1, 0 . 1 + 1 . 0) = ( -1, 0)
Como (-1, 0) é o número real -1, então i² = -1.
CAPÍTULO 15 - NÚMEROS COMPLEXOS
a => parte real
bi => parte imaginária
Z = 5i é imaginário puro
=> base
- 125 -
1.3 Potências da unidade imaginária i
ni , n  lN
0n = 0 => i = 1
1n = 1 => i = i
2n = 2 => i = -1
3 2n = 3 => i = i . i = -1 . i = - i
4 2 2n = 4 => i = i . i = ( -1 ) . (-1 ) = 1
5 2 2n = 5 => i = i . i . i = ( -1 ) . (-1 ) . i = i
6 5 2n = 6 => i = i . i = i . i = i = -1
7 6n = 7 => i = i . i = -1 . i = - i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.4 Regra Prática
Exemplo 1:
10i = ? 10 4
 2 2
10 2 10  i = i = -1 => i = -1
Exemplo 2
27i = ? 27 4
27 i = 
1.5 Operações com números complexos
1.5.1 Adição / Subtração
Exemplos:
Z = 3 + 2 i e Z = 4 + 5i
a) Z + Z = ( 3 + 2i ) + ( 4 + 5 i ) = 3 + 4 + 2i + 5i = 7 + 7 i
 Z + Z = 7 + 7 i
b) Z - Z = ( 3 + 2 i ) - ( 4 + 5 i) = 3 - 4 + 2 i - 5 i = -1 - 3i
 Z - Z = -1 - 3 i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2 2
3
3
3
3
1.5.2 Multiplicação
Exemplos: Dados: Z = 3 - 4 i ; Z = 4 + 2i e Z = 5 - 3i
a) Z . Z = ( 3 - 4 i ) . ( 5 - 3 i ) = 15 - 9 i - 20 i + 12 i² =
 = 15 - 29 i + 12 . ( -1 ) = 15 - 12 - 29 i = 3 - 29 i
  Z . Z = 3 - 29 i
b) Z . Z . Z = ( 3 -4 i ) . ( 4 + 2 i ) . ( 5 - 3 i ) =
- 126 -
1.5.3 Divisão
Exemplos: Dados Z = 5 + 2 i ; Z = 2 - 3 i e Z = 3 + 7i
a) Z 5 + 2 i 5 + 2 i ( 2 + 3 i ) ( 5 + 2 i ) . ( 2 + 3 i ) 
 Z 2 - 3 i 2 - 3 i ( 2 + 3 i ) ( 2 - 3 i ) . ( 2 + 3 i )
 10 + 15 i + 4 i + 6 i² 10 + 19 i + 6 . ( -1 ) 10 - 6 + 19 i 
4 + 6 i - 6 i - 9 i² 4 - 9 . ( -1) 4 + 9
1 2 3
1
1
1
2
3
2
 4 + 19 i  Z 4 19 i
13 Z 13 13
b) Z 
 
Z
1.5.4 Potenciação
Exemplos: Z = 5 - 3 i ; Z² = ?
a) Z² = ( 5 - 3 i) ² = ( 5 - 3 i ) . ( 5 - 3 i ) = 25 - 15 i - 15 i + 9 i² =
 = 25 - 9 - 30 i = 16 - 30 i
Nota: No Exemplo a, ( 2 + 3 i ) é o conjungado de 2 - 3 i. 
Generalizando: Z = a + b i , tem como conjungado Z = a - b i
(Símbolo: Z ) 
b) Z³ =
1.6 Propriedades de números complexos
Propriedade 1) 
 Z + Z = Z + Z
Propriedade 2) 
 Z . Z = Z . Z
n nPropriedade 3) ( Z ) = ( Z ) 
Propriedade 4) Se Z = a => Z = a
1 2
1 2
1 2
1 2
1.7 Raiz Quadrada de Complexo
Exemplo: Z = 16 + 30 i ; Z = ?

Indicaremos a raiz por x + y i , com x , y  R , assim:
( x + y i )² = 16 + 30 i => x² + 2 x . y i + y² i² = 16 + 30 i => x² - y² + 2 x . y i = 16 + 30 i =>
x² - y² = 16 1
2x . y = 30 2{
2 2 x y = 30 => x = 30
 2y
4x = 15 em 1 15 ² - y² = 16 => 225 - y² = 16 => 225 - y - 16 y² = 0
 y y y² y²( )
4=> - y - 16 y² + 225 = 0 =>  = 1 . 156 fazendo t = y² =>
 - t² - 16 t + 225 = 0  t' = -25 e t'' = 9
 
 como t = y² => y = -25 ( valor  R ) e y = 9 => y =  3
=
= = = =
= = = =
= = +
- 127 -
para y = 3 => 2 x . 3 = 30 => 30 => x = 5
 6
para y = -3 => 2 . x . ( -3) = 30 => x = 30 => x = -5
 -6
 16 + 30 i = 5 + 3 i ou -5 - 3 i
Exercícios:
1. Dados os números complexos z = 3 + 2i e z = 2 + i,1 2
calcule:
a) A soma z + z b) O produto z . z1 2 1 2
2. Efetue:
a) (2 - 3i) (1 + 2i) =
b) (3 - 4i) (2 + i) =
c) (3 + 2i) (2 - 3i) =
3) Se z = 2 + 3i, calcule z² e z³
4) Calcule:
a) (4 - 3i)² c) 1 + i 3 ²
b) (1 - i)² 
5) Dados z = 1 - i, z = 2 - i e z = 3 - i , calcule:1 2 3
(z .z ) . z = z . (z . z )1 2 3 1 2 3
( )
4
6) Dado o número complexo z = 1 - i, calcular z³ e z
7) Obtenha na forma algébrica o número complexo
(1 + i)³.
8) Calcule as potências da unidade imaginária:
a) i³ 
4
b) i 
15
c) i 
9) Calcule o valor de x³ + 5x² + 2x + 10 para x = i 2.
10) Determinar os valores de x e y reais, de modo que:
i ( x + yi) + 2(x - yi) = -1 + i
11) Determine x e y reais, tais que:
a) (x + 3i) - (2 + yi) = 1 - 8i
b) 3i + y (2 - 3i) + 3 (x - 2i) = 1
c) 1 + 3 (x + yi) + 2 (x - yi) - i = 0
12) Mostre que o número complexo z = 1 - 2i é uma raiz
da equação z² - 2z + 5 = 0.
2 2 
16d) i 
27e) i
- 128 -
( )
2. FORMA TRIGONOMÉTRICA
2.1 Módulo de um número complexo
Dado o número complexo z = x + yi, o módulo de z, que apresentamos por | z |, é a distância entre o afixo de z e a ori-
gem.
| z | = r = x² + y²
im
im
0
0
real
real
z = ( x, y)
z = ( a, b)
r
r
2.2 Argumento de um número complexo
O argumento de um número complexo não nulo z = x + yi é o número  , do intervalo 0    2  , tal que:
cos = e sen  = , onde r = | z | r
O argumento  de z também pode ser indicado por arg (z).
2.3 Forma Trigonométrica
Se z = a + bi é um número complexo não nulo de argumento  e módulo r, temos:
cos  = a <=> a = r cos 
 r 
 
Substituindo em z = a + bi, obtemos: 
z = r cos  + (r sen )i
E então:
 z = r (cos i . sen 
Exemplos:
z = 2 cos  + i sen  r = 2 e  =  .
 3 3 3
z = 5 ( cos 0 + i sen 0) r = 5 e  = 0
z = cos 2 + i sen 2 r = 1 e  = 2 .
 3 3 3

sen  = b <=> b = r sen 
r
Exemplo de cálculo do módulo e o argumento de um número complexo:
Dado : Z = 1 + 8 i
| Z | = r = x² + y² => | Z | = | 1 + 8 i | = 1 + 8 = 9 = r
=> r = 3
como cos  = x => e sen  = y => sen  8
 r r 3
=> sen  = 2 2
 3
y
x
x
r
y
r
cos  =
1
3
- 129 -
Exercícios:
13. Representar na forma trigonométrica o número com-
plexo z = - 3 - i
14. Represente na forma trigonométria o complexo
z = 1 - i 3
15. Coloque na forma trigonométrica os complexos 
 abaixo:
a) 1 + i 
b) 1 - i 
 2 2
16. Qual é a forma trigonométrica do número complexo
de i - 3 ?
17. Obtenha o número complexo z, tal que:
| z |² + 2z = 2z + 3 (3 - 4i)
18) Obter o módulo e o argumento do complexo 
z = 2 + i 2 e colocá-lo na forma trigonométrica.
19) Escrever na forma trigonométrica o número
z = 1 + i 3.
20) Dar os valores das partes real e imaginária dos nú-
meros complexos:
a) z = 3 (cos  + i sen  )
 6 6
b) z = 2 (cos 7 + isen 7 )
 6 6
c) z = cos 7 + i sen 7 .
 4 4
21) Escrever na forma trigonométrica os números:
a) z = 3i 
 b) z = - 3i 
 c) z = 1 i
 2
 c) -1 - i 
d) - 2 + i 2 .
- 130 -
a) não tem raízes reais. 
b) tem duas raízes racionais. 
c) possui duas raízes irracionais. 
d) possui uma raiz de multiplicidade 2. 
a) . 
b)  0 . 
c)  11, . 
d)   2 2, 
ix
ix

 2
- 131 -
Gabaritos
CAPÍTULO 13
Pág 120
01) 20
02) 12
03) 36
04) ( n - p + 1) ! .
 ( n - p ) ! 
05)
a) 10
b) 1
c) 8
d) 1
e) 120
f) 5040
06) 
a) 30/11
b) ( n - 2 ) ! .
 ( n - 4 ) !
07) 15.120
08)
a) 360
b) 144
09) C
10) C
11) D
CAPÍTULO 14
Página 123
135
2
1
2
1
5
Pág. 129
1)
a) 5 + 3i b) 4 + 7i
2)
a) 8 + i b) 10 - 5i c) 12 - 5i
3) -5 + 12i ; -46 + 9i
4)
a) 7 - 24i
b) -2i
c) - +
5) -10i = -10i
46) Z³ = -2 - 2i ; Z = -4
7) Z = -2 + 2i
8)
a) -i b) 1 c) -i d) 1 e) -i
9) 0
10) x = -1 ; y = -1
11)
a) (3 ; 11)
b) (1 ; -1)
c) ( - ; 1)
i 3
2
CAPÍTULO 15
12) (1 - 2i)² - 2 (1 - 2i) + 5 = 0 - desenvolva!
 Página 130
13) Z = 2 (cos + i sen )
14) Z = 2 (cos + i sen )
15)
a) Z = 2 (cos + i sen )
b) Z = 2 (cos + i sen )
c) Z = 2 (cos + i sen )
d) Z = cos + i sen
16) Z = 2 (cos + i sen )
7
6
5
3

4
7
4
5
4
5
6
3
4
7
6
5
3

4
7
4
5
4
5
6
3
4
17) Z = - 3i
18) |Z| = 2 ; arg (Z) = ; Z = 2 (cos + i sen )19) Z = 2 (cos + i sen )
20)
a) Z = +
b) Z = - -
c) Z = -

4

2

2
1
2
3
2

4

3

4

3

2

2
3
2
3 3
2
 6
2
 2
2
3i
2
 2 i
2
 2 i
2
21)
a) Z = 3 (cos + i sen )
b) Z = 3 (cos + i sen )
c) Z = (cos + i sen )
22) B
23) D
- 132 -
MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO
ÍNDICE
1.
1.1
1.2
2.1
1
2
3
3.1
4
5
6
6.1
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.8.1
7.8.2
7.9
Capítulo 17 - Geometria Analítica ........................................................................................................................ 139
Introdução ................................................................................................................................................................. 139
Condição de alinhamento de 3 pontos ..................................................................................................................... 139
Ponto Médio ............................................................................................................................................................. 139
Divisão de um segmento em partes ......................................................................................................................... 140
Distância entre dois pontos ...................................................................................................................................... 140
Baricentro ............................................................................................................................................................... 141
Área do Triângulo ................................................................................................................................................... 141
Área de um triângulo conhecendo os seus pontos ................................................................................................ 142
Exercícios .............................................................................................................................................................. 143
Capítulo 16 - Potenciação e radiciação de números complexos .................................................................. 135
Potenciação........................................................................................................................................................... 135
Potência de um número complexo ...................................................................................................................... 135
Exercícios ........................................................................................................................................................... 136
Radiciação ............................................................................................................................................................ 137
Raiz enésima de um complexo ............................................................................................................................. 137
Exercícios ............................................................................................................................................................. 138
Capítulo 18 - Geometria Analítica (continuação) .............................................................................................145
Estudo da reta .......................................................................................................................................................145
Equação geral da reta ..........................................................................................................................................145
Casos Especiais de equação geral ..................................................................................................................... 146
Intersecção de retas ............................................................................................................................................. 147
Coeficiente angular de reta .................................................................................................................................. 147
Cálculo de m ....................................................................................................................................................... 148
Posição relativa de duas retas ............................................................................................................................. 149
Discussão de um sistema linear (2 x 2) .............................................................................................................. 150
Paralelismo e perpendicularismo ........................................................................................................................151
Paralelismo ......................................................................................................................................................... 151
Perpendicularismo .............................................................................................................................................. 151
Distância de um ponto a uma reta ...................................................................................................................... 152
Exercícios ........................................................................................................................................................... 153
Gabarito ................................................................................................................................................................. 154
Gabarito ................................................................................................................................................................. 155
1. POTENCIAÇÃO
1.1 Potência de um número complexo
Dado um número complexo na forma trigonométrica z = r (cos + sen vamos calcular a potência:
n z = z . z . z ...... z (n fatores)
Para isto, em:
z , z , … z = r , r , … r [cos ( +  + … +  ) + i sen ( + … +  )]1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 n
Fazemos z = z = … = z todos iguais a z = r (cos  + i sen )1 2 n
Obtemos: 
n n z = r (cos n  + i sen n.  )
Chamada Fórmula de Moivre (Abraham de Moivre, 1667 - 1754).
Exemplo:
10Sendo z = 1 + i 3, calcular z
1º) Obtemos a fórmula trigonométrica => z = 2 (cos  + i sen  )
 3 3
10 102º) Pela fórumula de Moivre, obtém-se => z = 2 ( cos 10  + i sen 10  )
 3 3
Notando que 10 .  = 2 + 4, obtemos:
 3 3 
10 10 10z = 2 (cos 4 + i sen 4 ) = 2 [ -1 + i ( - 3 )] =
 3 3 2 2
10= 2 ( -1 -i 3 ) = 1024. ( -1 -i 3 ) = - 512 - 512 3 i
 2 2 2 2
- 135 -
CAPÍTULO 16 - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
11. Dados os números complexos
u = 4( cos  + i sen  ) e v = 1 (cos  + i sen  ), 
 3 3 2 4 4
obter na forma trigonométrica o número z = u + v.
10. Obter na forma trigonométrica o produto z . z , da-1 2
dos z = 1 + i e z = 3 + i1 2
1. Sendo z = 2 (cos 11 + i sen 11 ), calcular z³.
 6 6
2. Dado o complexo z = 2 (cos  + i sen  ), calcule:
 6 6
5 
a) z
6
b) z 
7
c) z
9
3. Dado z = cos  + i sen  , calcule z24 24
4. Sendo z = cos  + i sen  , obtenha o complexo z¹² na
 16 16
forma algébrica. 
5. Achar o conjugado do número complexo z², onde z =
a (cos  + i sen  ), com a = 2,  =  .
 8
6. Dado o número complexo u = 1 + i 3 , calcule:
 2 2
6
a) u³ b) u
- 136 -
97) Calcule: (-1 -i)
8) Mostre que o número complexo 
z = cos 2 + i sen 2 , é uma raiz da equação
 5 5
5z - 1 = 0
9) Determinar a parte real e a parte imaginária do núme-
6ro complexo z = ( 1 + i ) 
4
 ( 1 - i) 
- 137 -
2. RADICIAÇÃO
2.1 Raiz Enésima de um complexo
nRaiz Enésima de um complexo z é todo número complexo U, tal que U =  ( n IN*).
Chegaremos a uma fórmula conhecida como 2ª fórmula de Moivre, com a qual obtemos as raízes enésimas de um nú-
mero complexo não nulo dado. 
Seja z = |z| (cos  + i sen ) a forma trigonométrica de um complexo (z  0). Existem n raízes enésimas de z, em C, 
dadas por:
U = |z| (cos  + 2k + sen  + 2k )k
 n n
n
n
n
n
n
onde |z| é a raiz enésima aritimética de |z| e k = 0, 1, 2 ......., n - 1.
De fato, se u = |u| (cos a + i sen a ) é a forma trigonométrica de uma raiz enésima de z, temos que:
n u = z
ne daí: |u| (cos n . a + i sen n . a ) = |z| ( cos  + i sen )
então temos:
n1º) |u| = |z|, o que acarreta |u| = |z|
2º) cos n . a = cos  e sen n . a = sen , o que acarreta:
 na =  + 2k ( k inteiro) e daí a =  + 2k 
 n
Como u = |u| (cos a + i sen a), substituindo |u| = |z| e a =  + 2k , obtemos:
 n
u = |z| (cos  + 2k + i sen  + 2k )
 n n
Fórmula com a qual, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1, obtemos as n raízes enésimas de um complexo não nulo z.
Exemplo:
Determine a raiz quadrada de z = 8i
z = 8i  z = 0 + 8i
|z| = r = 0² + 8²  |z| = 8²  |z| = 8
cos  =  cos  =  cos  = 0
sen  =  sen  =  sen  = 1
  = 
2

2

4
 2
2
 2
2

2

4
0
8
x
r
8
8
y
r
U = |z| . (cos + isen )
U = + 8 . (cos : 2 + isen :2)
U =  2 2 . (cos + isen )
U =  2 2 . ( + i )
U =  2 . 2 + 2 . 2 .i
U = 2 + 2i e U = - 2 - 2i

2

2
Exercícios:
12) Obter as raízes cúbicas de z = 9i
13) Obtenha as raízes quarta de z = 2 + 2 i
14) Obtenha as raízes cúbicas do complexo z = i
15) Quais são os números complexos cujos cubos
valem 1?
16) Determine em C as raizes quartas da unidade z = 1.
17) Quais são as duas raízes quadradas de z = 2i?
18) Quais são, em C, as raízes quadradas de z = -1?
19) Mostre que 1 + 3i é uma raiz sexta da unidade
 2 2
z = 1.
20) Calcule a área do quadrilátero que tem vértices nos
afixos dos complexos que são as raízes quartas de 16.
21) Resolva a equação em C:
a) z³ = -1
b) z³ - 1 = 0
4
c) z - 1 = 0
d) 4x² + 1 = 0
4
22) Resolve em C a equação 3x + 8x² - 3 = 0
Resolução:
Fazendo x² = y, temos a equação 3y² + 8y - 3 = 0 e
 resolvendo, obtemos:
y = 1 ou y = -3
 3
p/ y = 1 => x² = 1 => x =  1 =  3 .
 3 3 3 3
p/ y = -3 => x² = -3 => x =  -3 => x =  3i
A solução é:
S = { 3 , - 3 , 3i - 3i }
 3 3
- 138 -
CAPÍTULO 17 - GEOMETRIA ANALÍTICA
1 - INTRODUÇÃO
São usados na geometria analítica elementos algébricos, ou seja, o ponto representado por um par ordenado (Ex: (3,5))
e a reta por uma equação (Ex: 2x + y - 4 = 0). Tais elementos (o ponto e a reta) são estudados num sistema de par
ordenado.
Na geometria analítica todo ponto de plano Oxy corresponde a um par ordenado (x;y) e reciprocamente.
P (xp ; yp)
P
x
y
yp
xp0
2. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
 Dados três pontos distintos num plano, para sabermos se são alinhados, verificamos o determinante. Obtendo ze-
ro, os pontos são alinhados.
Exemplo:
Verificar se os pontos A ( 1 ; 2 ) , B ( 3 ; 4 ) e C ( 4 ; 5 ) são alinhados
D =
x
x
x
y
y
y
1
1
1
1
1
1
1
3
4
2
4
5
A A
B B
C C
= = 4 + 8 + 15 - 16 - 5 - 6 = 0
Como D = 0, os pontos estão alinhados, ou seja, por eles passam uma reta.
xD
yM
yD
yC
xM0
3. PONTO MÉDIO
Num sistema de coordenadas cartesianas, observa-se dois pontos C e D com as respectivas coordenadas (xc ; yx) e
(xd ; yd). Deseja-se determinar o ponto médio (M) destes pontos:
M é o ponto médio de CD, assim sendo, obtemos CM = MD
D
M
C
xC
C’ M’ D’
x
y
C’M’ = M’D’
X - XC = XD - XMM
XM + XM = XD + XC
2XM = XD + XC
XM = e YM =XD + XC
2
YD + YC
2
- 139 -
XD + XC
2
YD + YC
2
M ( ; )
Ex.: Calcular o ponto médio de A (3;6) e B (5;8)
XM = =
XM = 4
YM = =
YM = 7
3 + 5
2
6 + 8
2
8
2
14
2
 M (4;7)
3.1 Divisão de um segmento em partes iguais
Ex.: Dividir o segmento AB em quatro partes iguais
A (3;7) e B (15; -9)
3
7
+3 6
-4 3
+3 9
-4 -1
+3 12
-4 -5
+3
-4
15
-9
A P M Q B
rx = = = 3
ry = = = -4
15 - 3
4
-9 - 7
4
12
4
-16
4
G (3, 9)
abscissas
ordenadas
4. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Para calcular a distância entre dois pontos A (XA;YA) e B (XB;YB), temos:
dAB
B
A
C
yB
yA
 0 xA xB
y
x
AC = XB - XA e AD = YB - YA
Por Pitágoras, temos:
dAB =  (XB - XA)² + (YB - YA)²
dAB =  (X)² + (Y)²
Ex.: Calcular a distância entre C (2;7) e D (5;11):
dCD =  (5-2)² + (11-7)²
dCD =  3² + 4² =  9 + 16 =  25
dCD = 5 u
D
O ponto médio será 
 os pontos são: P(6,3), M(9,-1) e Q(12,-4).
- 140 -
- 141 -
Sendo XG = 3; XA = -3, XB = 2 e XC = 10, temos:
abscissas
ordenadas
rx = = = 3
ry = = = 1
6 - (- 3)
3
10 - 7
3
2 + 10
2
1 + 19
2
6 + 3
3
3
3
5. BARICENTRO
Baricentro é o ponto de encontro das medianas, onde a mediana é o segmento de extremos num vértice e no ponto
médio do lado oposto. O baricentro divide cada mediana em dois segmentos proporcionais a 2 e 1.
Seja o triângulo ABC: A (-3;7), B (2;1) e C (10;19)
XM1 = = 6
YM = = 101
M (6; 10)1
O baricentro divide AM em dois
segmentos AG e GM tais que
AG = 2GM
G
0 CB
A
-3
7
0
8
+3
+1
3
9
+3
+1
6
10
A G M


O baricentro de um triângulo é:
G ( ; )XA + XB + XC
3
XA + XB + XC
3
YA + YB + YC
3YA + YB + YC
3
XG =
YG =
\\
\\
||| |||
/
/
M1
G
M3 M2
x
y
B B
A A
C C
yB yB
yC yC
yA yA
 0 0
x x xA C B x x xA C B
y y
x x
6. ÁREA DO TRIÂNGULO 
Considerando os triângulos de vértices A (XA ; YA), B (XB ; YB) e C (XC ; YC). Se cercarmos ABC com o retângulo
AMNP conforme as figuras abaixo, poderemos calcular a sua área fazendo a diferença entre a área de retângulo e as
áreas dos três triângulos retângulos que circundam ABC.
N
M
P
SABC = SAMNP - SAMB - SBNC - SCPA
Contudo, esse processo de obtenção de área não é prático. Neste caso, o melhor é a construção de um determinante
de ordem 3, onde a primeira coluna é constituída das abcissas dos pontos A, B e C a segunda coluna das respectivas
ordenadas e a terceira colunaé unitária, a metade do valor absoluto da determinante (D) dará a área do triângulo.
D = xA
xB
xC
yA
yB
yC
1
1
1
SABC = |D|
1
2
1
2
1
2
1
2
D = 0  A, B e C estão alinhados ( não formam triângulo)
D  0  A, B e C são vértices do triângulo cuja área é S = D
Ex.: Verifique se os pontos A, B e C dados estão alinhados. Em caso negativo, calcule a área do triângulo ABC.
A (2; 5), B (-3; 2), C (1; 7)
D = = 4 + 5 - 21 - 2 - 14 + 15 = -13
2
-3
1
2
-3
1
5
2
7
5
2
7
1
1
1
D  0  A, B e C não estão alinhados (formam triângulo)
Então: S = D = |-13| = 6,5 u²ABC
Se S = onde: b  base , então SABC
h  altura
b.h
2
SABC = (xB - xA) . (yC - YA) - (xB - xA) . (yB - yA) _ (xB - xC) . (yC - yB) _ (xC - xA) . (yC - yA)
2 2 2
6.1 Área do triângulo conhecendo os seus pontos
RESUMO:
- 142 -
Exercícios
1) Determine os pontos P, M e Q que dividem o segmen-
to AB, onde A (3;7) e B (15;9) em quatro partes iguais:
2) Os pontos A (-7,2), B (-2,-8) e C (2,-4) são vértices de 
um paralelogramo ABCD. Determine o ponto D.
3) Sendo M o ponto médio do segmento AB, determine:
a) M, dados A (3;11) e B (5;1)
b) M, dados A (-3;4) e B (9;-2)
c) B, dados A (2;2) e M (3;7)
4) Determine os vértices A e C do quadrado OABC da
figura:
A
B
4
C
O
y
5) Até que ponto o segmento AB, A (2;4) e B (5;2) 
deve ser prolongado, no sentido de A para B, para que 
seu comprimento quadrupliqe?
6) Divida o segmento de extremos A (2;2) e B (8;-4) em 
três partes iguais.
- 143 -
7) Determine o baricentro dos triângulos de vértices:
a) (2;2), (0;-5), (-8;0)
b) (-3;7), (3;7), (0;0)
c) (5;-3), (-2;-8), (-6;12)
d) (2;), (; -), (-2; 6),   0
G
N M
B
A
P
10) Calcule o perímetro do triângulo ABC nos seguintes 
casos:
a) A (0;0); B (12;5) e C (0;-4)
b) A (-2;2); B (3;-10) e C (2;-1)
11) O segmento AB, onde A (3;5) e B (7;1), é diâ-
metro de uma circunferência. Determine o centro e o 
raio da circunferência.
A
B
C
r
12) Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo 
A (2;5), B (-4;7) e C (-2;11).
A
CB
13) Calcule a área do triângulo ABC da figura.
x
y
- 144 -
M
B
A
C
14) Verifique se os pontos A, B e C dados estão alinha-
dos. Em caso negativo, calcule a área do triângulo ABC.
a) A (1;3), B (2;5), C (4;9)
b) A (2;0), B (-1;3), C (3;3)
c) A (-4;1), B (0;2), C (-1;-1)
d) A (-1;2); B (-8;-5), C (1;4)
15) Calcule a área dos quadriláteros ABCD nos seguintes 
casos:
a) A (0;0), B (2;0), C (3;4) e D (1;3)
b) A (2;1), B (3;5), C (-1;6) e D (-3;3)
x
xA
xB
y
yA
yB
1
1
1
7. ESTUDO DA RETA
7.1 - Equação Geral da reta
Dados, por exemplo, os pontos A (Xa; Ya) e B (Xb; Yb), já sabemos como obter a relação entre X e Y para que o ponto
P (X; Y) esteja alinhado com A e B (o determinante formado pelas coordenadas de P, A e b deve ser zero).
D = = 0
P
A
B
yB
yp
yA
xB xA
x
y
Sendo assim qualquer ponto cujas coordenadas obedeçam a relação obtida, está alinhado com A e B, isto é, está na
reta determinada por A e B. Essa relação entre X e Y é chamada equação geral da reta AB.
Generalização a equação da reta AB é uma equação da forma.
ax + by + c = 0
onde: 
 x e y  coordenadas de um ponto qualquer da reta
 a, b e c  são coeficientes conhecidos
- 145 -
CAPÍTULO 18 - GEOMETRIA ANALÍTICA (Continuação)
yp
OBS.:
A) Os coeficientes a e b não podem ser nulos ao mesmo tempo, a equação nesse caso não poderia representar uma
reta.
B) Para verificar se um ponto P pertence ou não a uma reta r, basta substituir as coordenadas de P na equação geral
 de r: Verificada a igualdade, P pertence a r.
C) Conhecida uma equação geral de uma reta r, para obtermos pontos que pertencem a r podemos atribuir valores
arbitrários a x (ou a y) e, da equação, tirar os valores correspondentes de y (ou de x).
Ex. 1: Calcular a equação geral da reta para os pontos:
A (5; 1) e B (1; 3)
x
5
1
y
1
3
1
1
1
D =
= 0
x + y + 15 - 1 - 3x - 5y = 0
-2x - 4y + 14 = 0  (-2)
x + 2y - 7 = 0
Ex. 2: Verifique se o ponto P pertence ou não à reta r:
P (2; 5)
reta (r) 3x - 4y + 14 = 0
3 . (2) - 4 . (5) + 14 = 6 - 20 + 14 = 0 (v)
Resposta: 0 P(2;5)  a reta 3x - 4y + 14 = 0
=> EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Resposta: A equação geral da reta é x + 2y - 7 = 0
Ex. 3: Dada a reta de equação 2x + y - 6 = 0. Calcule o valor de y para x = 2:
x = 2  2 . 2 + y - 6 = 0  y = 2
7. 2 - Casos especiais da equação geral
O que representa a equação ax + by + c = 0 quando:
Se a = 0, a equação ax + by + c = 0 fica:
by + c = 0 y = -
c
b
y = k
x
0
y
- 146 -
Ex.:
Ex.:
Ex.:
x y
x y
x y
Se b = 0, a equação ax + by + c = 0 fica:
ax + c = 0
ax + by = 0
x = -
c
a
x = k
0
x
y
Se c = 0, a equação ax + by + c = 0 fica:
0
x
y
Resposta: y = 2, o ponto tem coordenadas ( 2 ; 2 )
a) a = 0 ; b  0 e c  0 ?
b) b = 0 ; a  0 e b  0 ?
c) c = 0 ; a  0 e b  0 ?
Ex.: Achar o ponto de intersecção das retas (r) 3x + y - 6 = 0 e (s) 2x - y - 4 = 0:
3x + y - 6 = 0 (I)
2x - y - 4 = 0
3x + y - 6 = 0 
2x - y - 4 = 0
5x - 10 = 0 
Substituindo x = 2 em (I) 3x + y - 6 = 0 temos:
3 . 2 + y - 6 = 0  y = 0
Resposta: O ponto de intersecção é P (2;0).
- 147 -
7.3 - Intersecção de retas
Considere duas retas r e s concorrentes, no plano cartesiano, essas retas são dadas por suas equações. Se I é o ponto
de intersecção de r e s (P pertence a ambas as retas), suas coordenadas devem satisfazer simultaneamente as duas
equações.
P
r s
P  r
P  s
7.4 - Coeficiente angular de reta
A inclinação de uma reta r do plano cartesiano é a medida  do ângulo tomado a partir do eixo Ox, no sentido
anti-horário, até a reta.
Se r é paralela a Ox, convencionamos que a inclinação de r é  = 0
 = 0º  =
 agudo
(0º <  < 90º)
y y
y
xxx
O número real m = tg é chamado coeficiente angular (ou declive) de r.
m = tg : coeficiente angular de r
inclinação é a medida do ângulo, declive é o valor da tangente desse ângulo.
Ex.: Se  = 45º, o coeficiente angular é m = tg 45º, m = 1
Se  = 120º, o coeficiente angular é m = tg 120º = - tg 60º, m = -  3

2
Generalizando: y = mx + n , donde m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear.
 x = 2
.
m > 0
7.5 - Cálculo de m
Se ax + bx + c = 0 é a equação de r (r não perpendicular ao eixo Ox), e A (xA ; yA) e B (xB ; yB) são pontos distintos de
r, temos:
No triângulo retângulo ABC,
tg  = cateto oposto
cateto adjacente
m =
m =
yB - yA
xB - xA
y
x
A
B
yB
yA
xBxA x
y
xB-xA
yB - yA
 
 
0
C
Observe, agora, que se A e B são pontos de r, suas coordenadas satisfazem a equação ax + by + c = 0
A  r  axA + byA + c = 0 ( I)
B  r  axB + byB + c = 0 ( II)
Subtraindo membro a membro (I) e (II), vem:
- 148 -
axA - axB + byA - byB + c - c = 0
a (xA - xB) + b (yA - yB) = 0
a (xA - xB) = - b (yA - yB) = 0
= -yA - yB
xA - xB
a
b
a
b
- a
 b
a
b
m = = -
y
x
y
x
sendo assim, temos:
a inclinação  
dois pontos
a equação geral
 m = tg  
 m =
 m =
Ex.: Calcular o coeficiente angular da reta determinada por:
a) A (2;5) e B (-3;1)
m = = = =
1 - 5
- 3 - 2
-4
-5
4
5
- 2
 3
b) 2x + 3y + 6 = 0
m = = 
lembre que
m = tg 
y - yA B
x - xA B
7.6 - Posição relativa de duas retas
Dadas, no plano cartesiano, as retas r e s, são três as posições relativas:
 concorrentes (r x s)
 paralelas (r // s)
 coincidentes ( r  s)
 Se r x s, os ângulos de ambas com o eixo Ox são diferentes.
r x s  mr  ms
r // s  mr = ms e nr  ns
r  s  mr = ms e nr = ns
 Se r // s ou r  s, os ângulos com Ox são iguais.
Para diferenciar estes dois casos, usa-se coeficientes lineares diferentes (paralelas cortam Oy em pontos diferentes) e
coeficientes linearesiguais (coincidentes cortam Oy no mesmo ponto).
Dadas as equações gerais para (r) e (s)
(r) a1x + b1y + c1 = 0
(s) a2x + b2y + c2 = 0
- 149 -
Observe que:
 para r x s: mr  ms   
 para r // s:
 para r  s:
a1
a2
a1
a2
a1
a2
c1
b1
b1
b2
b1
b2
b1
b2
3
6
2
4
-3
-2
1
2
1
2
3
2
c2
b2
b1
b2
b1
b2
c1
c2
c1
c2
mr = ms  =
nr  ns x = 0 -    (c2  0)

mr = ms  =
nr = ns  = (c2  0)
Ex.:
a)
(r) 3x + 2y - 3 = 0
(s) 6x + 4y - 2 = 0
a1
a2
a1
a2
1
2
b1
b2
b1
b2
1
2
c1
c2
c1
c2
3
2
= =
=  = 
= = = =
conclui-se que: r // s (paralelas)
y
p
r
x
s
0 0x x
y y
r
s
r  s
{
3
3
3
9
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
-1
1
2
6
(r) 3x - y + 1 = 0
(s) 3x + y + 1 = 0
(t) 3x + 2y + 5 = 0
(u) 9x + 6y + 15 = 0
a1
a2
a1
a2
a1
a2
b1
b2
b1
b2
b1
b2
c1
c2
a1
a2
3
3
b1
b2
-1
1
= = 1
= =
= =
= = -1
= =
= =
 
conclui-se que: r x s (concorrentes)
conclui-se que: t  u (coincidentes)
b)
c)
- 150 -
7.7 Discussão de um sistema linear (2x2)
Sistema linear (2x2) é um sistema nas variáveis x e y do tipo:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
2x + 3y = 5
x + 2y = 1
2x - 3y = 6
4x - 6y = 4
Resolve-se esse sistema encontrando os pares ordenados (x, y) que satisfaçam as duas equações:
Há três casos de sistemas:
 Como solução, apenas um único par:
SPD: sistema possível e determinado (uma só solução) - rxs em um único ponto (x; y) comum a r e s.
 Como solução uma infinidade de pares:
SPIn: Sistema possível e indeterminado (infinitas soluções) - r  s: infinitos pontos (x; y) comuns a r e s.
 Caso que não existe par que satisfaça o sistema:
SIm: Sistema impossível (não tem solução) - r // s: não existe ponto comum a r e s.
Ex.: Classifique, sem resolver, os sistemas:
a) b)
a) = = 2
 =
b) = = e = = , como = calcula-se
 = = =   r // s  SIm
  rxs  SPD
2
1
2
4
1
2
a1
a2
a1
a2
a1
a2
b1
b2
c1
c2
b1
b2
a1
a2
-3
-6
b1
b2
1
2
c1
c2
c1
c2
a1
a2
b1
b2
3
2
6
4
3
2
b1
b2
c 1 1
c 12
= = 1
c 5 1
c 152
= = 
1  -1
1
3
c) 3x + 2y = -5
9x + 6y = -15
7.8 Paralelismo e Perpendicularismo
7.8.1 - Paralelismo: duas retas são paralelas quando estas tem o mesmo coeficiente angular.
0 x
y
 mr = ms => r // s
Ex.: Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P (3;4) e é paralela à reta (s) determinada por A (2;-1) e B
(5;5):
Forma reduzida da equação da reta, supõe-se
que a equação de r é:
y = mx + n
Para determinar m e n, temos:
s
P
B
A
- 151 -
r s
r
s // r
 r // s mr = ms = m  mr =  mr =  mr = 2AB
y
x
5 - (-1)
5 - 2
Equação r: y = 2x + n
Como r passa por P, as coordenadas desse ponto satisfazem a equação de r:
P  r  4 = 2.3 + n  n = - 2
y = 2x - 2
Forma geral: 2x - y - 2 = 0
7.8.2 Perpendicularidade
Considerando duas retas perpendiculares r e s (nenhuma delas vertical) vamos determinar a relação entre seus
coeficientes angulares.
C 0
B x
 r s
r s
A
y
r = 90º + s
c) a 3 1 b 2 1 c -5 11 1 1
a 9 3 b 6 3 c -15 32 2 2
= = = = = =
a b c => r  s => SPI1 1 1
a b c2 2 2
 (r) 
(s)
Para chegar aos coeficientes angulares, vamos tomar as tangentes:
r = 90º + s  tg r = tg (90º + s) 
Se tg (90º + s) = - cotgs, temos:
tg r = tg (90º + s)  tg r = - cotg s  tg r = 
-1
tg s
Se tg r = mr e tg s = ms, então:
mr = - rs  mr = -
1
ms
- 1
ms
1
ms
Ex.: Verificar se (r) 3x + 2y - 5 = 0 e (s) 4x - 6y + 1 = 0 são perpendiculares
a
b
-a
 b
-4
-6
3
2
2
3
 - = -
ms = = =
mr = - 
- 152 -
portanto
m =r
ou r  r  m . m = -1r s
-3 -1 -3 -3
 2 2 2 2
 3
=> = => =
 r e s são perpendiculares
7.9 Distância de um ponto a uma reta
Uma aplicação de perpendicularidade é a distância de um ponto P ( P  r ) a uma reta r. 
Dados P (xo ; yo) e (r) ax + by + c = 0, para obter a distância de P a r (d ), procedemos assim:pr
a) Traça-se, por P, a reta sr;
b) Determina-se M, pé da perpendicular s (M é intersecção entre r e s);
c) Calcula-se a distância entre os pontos P e M.
Assim obteremos uma fórmula bastante prática:
d =pr
|ax + by +c |O O
 a² + b²
Ex.: P (-1;-3) e (r)x + 3y - 10 = 0, a distância de P a r é:
d = = . = 2  10pr
|(-1) + 3.(-3) -10|
 1² + 3²
|-20|
 10
 10
 10
 d = 2 10pr 
- 153 -
B C
A
M
01) Da reta n, determinada pelos pontos A (3;2) e B (-1;-6),
pede-se:
a) a equação geral
b) o ponto de abscissa 5
 
 
c) o ponto de ordenada -2
d) os pontos onde r intercepta os eixos Ox e Oy
e) o gráfico
02) Determine a equação geral da reta que contém a
mediana AM do triângulo ABC, onde A (3;0), B (-5;1) e
C (-1;-3).
-5 -1
03. (EEAR-2002) O gráfico da função  xfy  , definida por 
 0
y21
143
x11


, 
a) determina, com os eixos coordenados, uma região triangular 
de área 
28
9
. 
b) intercepta o eixo “x” no ponto de abscissa 
7
3
 . 
c) intercepta o eixo “y” no ponto de ordenada 
2
3
 . 
d) passa pela origem do sistema cartesiano. 
CAPÍTULO 16
Página 136 
1) Z³ = -8i
2)
5a) Z = -16 3 + 16i
6b) Z = -64
7c) Z = -64 3 -64i
93) Z = cos + i sen
124) Z = - +
5) Z² = 2 2 - 2 2 i
 2
2
 2 i
2
3
8
3
8
6)
a) u³ = -1
6b) u = 1
97) Z = -16 - 16i
58) Z = 1  1 - 1 = 0 (V)
9) p. real: 0 ; parte imaginária: 2i
10) Z . Z = 2 2 (cos 75º + isen 75º)1 2
11) 8 + 2 + 2 + 8 3 i
 4 4
Página 138
Página 138
12) U = 9 . 3 + 9 . i
 2 2
³ ³
13) U = 2 (cos /16 + i8 sen /16
14) U = 3 /2 + 1/2 i
15) Z = -1/2 + i 3 /2
16) U = 1 ou U = -1 ; U = i ou U = -i1 1
17) U = 1 + i ou U = -1 -i
18) U = - 2 + i 2 ou U = 2 - i 2
 2 2 2 2
4
6
19) Z = 1 e U = 1/2 + i 3 / 2  U = 1
20) A = 8 i1
21) 
a)Z = -1
b) Z = 1
c) Z = -1 ou Z = 11 2
d) x = -i / 2 ou x = i / 2
- 154 -
14
3
1
3
1
3
3
2
1
2
1
3

3
6)
1ª Parte AP ; A (2 ; 2) e P (4 ; 0)
2ª Parte PQ ; P (4 ; 0) e Q (6 ; -2) e
3ª Parte QB ; Q (6 ; -2) e B (8 ; -4)
7)
a) G (-2 ; -1)
b) G (0 ; )
c) G (-1 ; )
d) G ( ; 2)
8) M (0 ; 7) , M ( - ; 5) , M ( ; 6) ,AB BC CA
G ( - ; 6) , G ( - ; 6)ABC M
9) G (8 , -6) e M (6 ; -5)MN
10)
a) 30u
b) (18 + 82) u
11) C (5 ; 3) e r = 2 2
12) AM = 41
13) A = 7u²
14)
a) D = 0 estão alinhados
b) D  0 não estão alinhados ; A = 6u²
c) D  0 não estão alinhados ; A = 5,5u²
d) D = 0 estão alinhados
15)
a) A = 6,5u²
b) A = 18u²
15
2
17
2
Página 143
1) P (6 ; ) , M (9 ; 8) e Q (12 ; )
2) D (-2 ; 4)
3)
a) M (4 ; 6)
b) M (3 ; 1)
c) B (4 ; 12)
4) A (2 ; -2) e C (2 ; 2)
5) P (14 ; -4)
CAPÍTULO 17
CAPÍTULO 18
Pág. 153
01) 
a) 2x - y - 4 = 0
b) y = 6
c) x = 1
d) P (2 ; 0 ) e P (0 ; -4 )
e)
-4
2
y
x
02) x - 6y - 3 = 0
03) A
- 155 -
- 156 -
	wp-content-uploads-sites-766-2015-08-Apostila-Matemática-I (1)
	MATEMÁTICA - PARTE 3
	MATEMATICA - PARTE 4
	MATEMATICA - PARTE 5
	MATEMATICA - parte6