Prévia do material em texto

Prof. Me. Adilson Simões
UNIDADE II
Tópicos de Matemática
 Uma relação é a correspondência entre os elementos de um conjunto “de partida” dos dados 
(domínio) e o conjunto “de chegada” dos resultados (contradomínio) a partir de uma “lei de 
formação”.
 Uma função é a relação em que para todo elemento do domínio, corresponde a apenas um 
elemento no contradomínio. Pode ser representado no diagrama de flechas.
Função afim ou função de 1º grau
 No caso do domínio e do contradomínio serem conjuntos infinitos, a representação da função 
deve se realizar na forma de um gráfico sobre o plano cartesiano.
Função afim ou função de 1º grau
A função afim também denominada função de 1º grau é a função f: ℝ→ℝ, em que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
com 𝑎, 𝑏 ∈ℝ.
Exemplos:
Função afim ou função de 1º grau
 O gráfico de uma função de 1º grau resulta numa reta sobre plano cartesiano.
 No plano cartesiano, a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 tem seus pares ordenados (𝑥, 𝑦) obtidos pela 
relação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
 Como uma função de 1º grau tem como gráfico uma reta, basta definir dois pontos para se 
obter o gráfico da função.
 Observação: sempre que não ficar explícito o domínio e o 
contradomínio de uma função, assume-se que ℝ→ℝ.
Função afim ou função de 1º grau
Exemplo: Esboce o gráfico da função f: ℝ→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1.
𝑓(1) = 2 ∙ 1 − 1 = 1⟹(1, 1)
𝑓(3) = 2 ∙ 3 − 1 = 5 ⟹(3, 5)
Função afim ou função de 1º grau
1 3
5
1
Coeficiente angular
Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o coeficiente 𝑎 é denominado coeficiente angular da função e 
esse determina o seu comportamento. Assim, temos:
 𝑎 > 0⟹𝑓(𝑥) é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 𝑎=0⟹𝑓(𝑥) é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
 𝑎<0⟹𝑓(𝑥) é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Função afim ou função de 1º grau
Observe os gráficos das funções.
𝑓(𝑥) = 2𝑥 −1
(𝑎 = 2)
g(𝑥) = −𝑥 +2
(𝑎=−1)
Função afim ou função de 1º grau
De forma geral para uma função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com ângulo 𝛼 entre a função e o eixo das 
abcissas, é correto afirmar que 𝑎 = tg 𝛼.
Função afim ou função de 1º grau
Coeficiente linear
Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o coeficiente 𝑏 é denominado coeficiente linear da função e 
determina o ponto de intersecção da função com o eixo das ordenadas.
Exemplo: Observe o gráfico.
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
(𝑏 = 2)
Função afim ou função de 1º grau
Raiz de uma função
Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, a raiz de uma função é o valor de que a variável 𝑥 deve assumir 
para que a função tenha valor nulo. Assim:
 De forma prática, a raiz de uma função é o ponto de 
intersecção da função com o eixo das abcissas.
Função afim ou função de 1º grau
Exemplo: Esboce o gráfico da função: f: ℝ→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4.
𝑓(1) = −2 ∙ 1 + 4 = 2
𝑓(3) = −2 ∙ 3 + 4 = −2
Função afim ou função de 1º grau
1 3
2
- 2
Dada a função f:ℝ→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = −2𝑥−6 é correto afirmar que a raiz dessa função é:
a) 𝑥 = 3
b) 𝑥 = 2
c) 𝑥 = −3 
d) 𝑥 = −2 
e) 𝑥 = −6
Interatividade
Dada a função f:ℝ→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = −2𝑥−6 é correto afirmar que a raiz dessa função é:
a) 𝑥 = 3
b) 𝑥 = 2
c) 𝑥 = −3 
d) 𝑥 = −2 
e) 𝑥 = −6
Resposta
Exemplos de aplicação de funções de 1º grau:
1) Esboce o gráfico da função f:ℝ→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4.
𝑓(1) = 3 ∙ 1 − 4 = −1
𝑓(2) = 3 ∙ 2 − 4 = 2
Função afim ou função de 1º grau
2
- 1
1 2
2) Sejam as funções de 1º grau f: ℝ→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 6 e g:ℝ→ℝ, tal que g(𝑥) = 𝑥 +2, 
determine, se existir, o ponto de intersecção entre as retas das funções.
Sendo as funções 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 6 e 𝑔(𝑥) = −2𝑥 − 6, o ponto de intersecção é dado em 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), logo:
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
5𝑥 − 6 = 𝑥 +2
4𝑥 = 8
𝑥 = 2
Função afim ou função de 1º grau
Substituindo em qualquer das funções, temos:
𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 6
𝑓(2) = 5 ∙ 2 − 6
𝑓(2) = 4
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2
𝑔(2) = 2 + 2
𝑔(2) = 4
Logo, o ponto de intersecção entre as funções é (2,4).
Função afim ou função de 1º grau
3) Esboce o gráfico da função
Função afim ou função de 1º grau
2 4
3
2
4) Obtenha a lei da função afim que tem o seguinte gráfico.
Função afim ou função de 1º grau
4
2
Temos os pontos definidos em (2,0) e (0,4)
Temos que 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e substituindo os valores dos pontos, temos:
4 = 𝑎 . 0 + 𝑏⟹𝑏 = 4
e
0 = 𝑎 . 2 + 4⟹𝑎 = −2
Logo: 𝑦 = −2𝑥 + 4⟹𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4
Função afim ou função de 1º grau
5) Obtenha a lei da função afim que contém a região do gráfico:
Função afim ou função de 1º grau
3
2
2 4
Temos os pontos definidos em (2,2) e (4,3)
Temos que 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e substituindo os valores dos pontos, temos:
Substituindo na 1ª equação
Logo:
Função afim ou função de 1º grau
6) A cobrança pelo serviço de táxi numa determinada cidade é composta por uma tarifa 
fixa, a bandeirada no valor de R$ 4,50 mais R$ 2,50 por quilômetro rodado. Com base 
nesses dados:
a) A função que fornece o valor a ser cobrado pela corrida em função do número 𝑥 de 
quilômetros rodados é?
b) Qual o valor pago por uma corrida de 15 km?
c) Caso o passageiro pague R$ 47,00; qual foi a distância percorrida em quilômetros?
Função afim ou função de 1º grau
a) 𝑉(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥→𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑖𝑙ô𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑉(𝑥)→𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑔𝑜 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑉(𝑥) = 2,50𝑥 + 4,50
b) 𝑉(15) = 2,50 ∙ 15 + 4,50 = 𝑅$ 42,00
c) 𝑉(𝑥) = 47,00
2,50𝑥 + 4,50 = 47,00
2,50𝑥 = 42,50⟹𝑥 = 17 𝑘𝑚
Função afim ou função de 1º grau
A função que define corretamente o gráfico abaixo é:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2
c) 𝑓(𝑥) = 4𝑥
d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
e) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 4
Interatividade
A função que define corretamente o gráfico abaixo é:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2
c) 𝑓(𝑥) = 4𝑥
d) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
e) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 4
Resposta
A função quadrática, também denominada função de 2º grau, é a função f:ℝ→ℝ, em que 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 com 𝑎, 𝑏,𝑐 ∈ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0.
Exemplos:
Função quadrática
 O gráfico de uma função de 2º grau resulta numa curva denominada parábola no 
plano cartesiano.
Função quadrática
raizraiz
vértice
No plano cartesiano, a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tem seus pares ordenados (𝑥, 𝑦) obtidos pela 
relação 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Para se esboçar o gráfico de uma função quadrática, devemos obter:
 As raízes da função: 𝑓 𝑥 = 0 ⟹ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⟹ 𝑥 =
−𝑏± ∆
2𝑎
Função quadrática
 As coordenadas do vértice. 
Observação: o coeficiente 𝑎 determina a concavidade da função. Assim:
Função quadrática
Com 𝑎 > 0, a parábola tem concavidade para cima:
Função quadrática
Δ > 0 (2 raízes) Δ = 0 (1 raiz) Δ < 0 (nenhuma raiz)
Discriminante (número de raízes)
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-1
-2
-3
-4
20 3 4 5 6
y
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
20 3 4 5 61 7
-1
y
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
20-4 -2-6
-2
Com 𝑎 < 0, a parábola tem concavidade para baixo:
Função quadrática
Δ > 0 (2 raízes) Δ = 0 (1 raiz) Δ < 0 (nenhuma raiz)
Discriminante (número de raízes)
-4
-6
-2
20
2
yy
2
0
-2
-2
-4
-6
-8
-2-4
6
4
-2 0
2
-4-6
8
10 y
x
x
2
Exemplo 1: Esboce o gráfico da função 𝑓:ℝ→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 e determine o 
conjunto imagem da função.
Determinação das raízes:
∆ = 𝑏2 − 4.𝑎.𝑐 ⟹∆ = (−6)2 − 4.1.5 ⟹∆ = 16
Função quadrática
Cálculo das coordenadas do vértice:
Função quadrática
1 3 5
-4
Conjunto imagem da função:
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ℝ / 𝑦 ≥ 4}
Função quadrática
1 3 5
-4
Exemplo 2: Esboce o gráfico da função 𝑓:ℝ→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2 e determine o 
conjunto imagem da função.
Determinação das raízes:
∆=𝑏2 − 4.𝑎.𝑐 ⟹∆ = (−2)2 − 4.1.2⟹∆ = −4
A função não possui raízes reais. 
Função quadrática
Cálculo das coordenadas do vértice:
Função quadrática
1
1
Conjunto imagem da função:
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ℝ / 𝑦 ≥ 1}
Função quadrática
1
1
Dada a função quadrática 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 −4𝑥 + 1 é correto afirmar que as coordenadas do vértice 
dessa função são:
a) (1,2)
b) (1,1)
c) (-1,1)
d) (1, -1)
e) (-1, -1)
Interatividade
Dada a função quadrática 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 é correto afirmar que as coordenadas do vértice 
dessa função são:
a) (1,2)
b) (1,1)
c) (-1,1)
d) (1, -1)
e) (-1, -1)
Resposta
Exemplos de aplicação de funções quadráticas
1) Esboce o gráfico da função: 𝑓:ℝ→ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 .
∆ = 𝑏2 − 4.𝑎.𝑐 ⟹∆ = (−4)2 − 4.1.0 ⟹∆ = 16
Função quadrática
Cálculo das coordenadas do vértice:
Função quadrática
0 4
Função quadrática
2) Esboce o gráfico da função 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 4𝑥 − 3 .
𝑥2 − 4𝑥 − 3 = 0ቐ
𝑎 = −1
𝑏 = 4
𝑐 = −3
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 ⟹ ∆= 4 2 − 4. (−1). (−3) ⟹ ∆= 4
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
⟹ 𝑥 =
− 4 ± 4
2. (−1)
⟹ 𝑥 =
−4 ± 2
−2
ቄ
𝑥′ = 1
𝑥′′ = 3
⟹ raízes em 1, 0 𝑒 (3, 0)
Cálculo das coordenadas do vértice:
Função quadrática
1 3
3) Determine a “lei de formação” da função quadrática que apresenta o gráfico abaixo:
Função quadrática
-1 3
-3 
Para determinação da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, devem ser determinados os coeficientes 
𝑎, 𝑏 e 𝑐 a partir dos pontos (−1, 0), (3, 0) e (0, −3). Assim, temos:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑦
𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 = −3 ⟹ 𝑐 = −3
Substituindo as raízes, temos:
Função quadrática
1 − 𝑏 = 3 ⟹𝑏 = −2
Logo, a função é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3.
Função quadrática
4) Com 64 m de tela deseja-se cercar uma área retangular conforme a figura. Determine a 
área máxima que pode ser cercada com essa quantidade de tela.
Função quadrática
𝑧
𝑥 𝑥
𝑧
Temos que:
𝑧 =
64 − 2𝑥
2
⟹ 𝑧 = 32 − 𝑥
A função que representa a área é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥∙(32 − 𝑥) ⟹𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 32𝑥.
O valor máximo da função é dado no vértice, assim:
Dimensões: 𝑥 = 16
𝑧=16
Função quadrática
16
Um míssil é lançado de forma oblíqua descrevendo uma trajetória parabólica, em que a altura 
(ℎ) em função do tempo (𝑡), de acordo com a função ℎ(𝑡) = −𝑡2 + 20𝑡. A altura máxima atingida 
pelo míssil é:
a) 80 𝑚
b) 100 𝑚
c) 150 𝑚
d) 200 𝑚
e) 240 𝑚
Interatividade
Um míssil é lançado de forma oblíqua descrevendo uma trajetória parabólica, em que a altura 
(ℎ) em função do tempo (𝑡), de acordo com a função ℎ(𝑡) = −𝑡2 + 20𝑡. A altura máxima atingida 
pelo míssil é:
a) 80 𝑚
b) 100 𝑚
c) 150 𝑚
d) 200 𝑚
e) 240 𝑚
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!