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Lista 7
Integrais Triplas
Versão do 18-10-2017
Integrais triplas
1) Calcule a seguinte integral iterada:
∫0
3
∫0
1
∫0
√1−z2
z e ydx dz dy (H=
1
3
(e ³−1) m )⁴
2) Resolva a integral tripla ∫∫D∫ dz dy dx , onde D é a região limitada por y = x², z = 0, z = 1, y
=1. (V=4/3 m³, Luiz Claudio Gomes)
3) Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z=x²+3y² e z=8-x²-y².
(V= 8π√2 m³, Linda Gabriel Marcondes) 
4) Determine o centro de massa de um sólido homogêneo que é limitado pelo cilindro parabólico x = y²
e pelos planos x=z, z=0, e x=1.
( x⃗CM=(
5
7,
0,
5
14
) m)
5) Calcule a integral ∫∫S ∫6xy dV , onde S é a região abaixo do plano z=1+x+y e acima do plano
xy, limitada pelas curvas y=√ x , y=0, x=1.
 (I = 
65
28
m , Alessandra dos Santos Oliveira) ⁴
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas
6) Determine o volume do sólido limitado por z=x²+y² e z=36-3x²-3y².
(V= 226.8 π m³)
7) Um sólido está contido no cilindro x²+y² =2, abaixo do plano z=5 e acima do paraboloide z=2-x²-y².
A densidade em qualquer ponto é proporcional à distancia do ponto ao eixo z. Determine a massa do
sólido. ( V=
28√2π k
5
m³, Rafaela Ferreira)
8) Calcule a integral ∫−1
1
∫0
√1− y ²
∫0
x
(x ²+ y ²)dzdxdy .
(H=
2
5
m , Maria Eduarda Barros)⁴
9) Determine a massa e o centro de massa do sólido S limitado pelo paraboloide z = 4x²+4y² e pelo
plano z = a (a > 0) se S for homogêneo. 
(M = 
1
8
a² π k kg, xCM = (0,0 ,
2
3
a ) m, Luiz 
Henrique T. Ferreira)
10) Encontre o volume da região limitada pelo cilindro x²+y²=4 e pelos planos z=0 e y+z=4.
(V = 16π u.v.)
Integrais triplas em coordenadas esféricas
11) Calcular as seguintes integrais triplas em coordenadas esféricas se a região D for uma esfera de
raio 1.
a) ∫∫D∫√ x²+ y²+ z² dz dy dx (H = π m )⁴
b) ∫∫D∫ e
( x²+ y ²+z ²)3/2 dz dy dx (H = 
4π
3
(e−1) m )⁴
12) Calcular a seguinte integral tripla em coordenadas esféricas:
∫−3
3
∫−√9−x ²
√9−x2
∫0
√9−x ²− y²
z√ x ²+ y ²+z ²dz dydx (H =
243 π
5
m , Claudio E. C. De Oliveira)⁴
13) Calcular ∫∫D∫( x²+ y²+ z² ) ²dz dy dx onde D é a parte comum do paraboloide 2az≥ x²+ y²
e da esfera x²+ y²+ z²≤3a² (H = πa
5
5
(18√3−
97
6
) m , Claudio E. C. De ⁴
Oliveira)
14) Determine o volume e o centro de massa do solido homogêneo que está acima do cone
z=√ x²+ y² e abaixo da esfera de raio 1. ( V=
2π
3
(1−√2
2
)m3 ,(0,0
3
8
(2−√2))m )
15) Calcule ∫∫D∫√ x²+ y²+z² dz dy dx , onde D é a região abaixo do cone z=r e acima da
esfera ρ=R (H= 16π[2−√2] m , Luiz Henrique T. Ferreira)⁴
Mudança de variáveis em integrais duplas e triplas
16) Calcule o Jacobiano da transformação:
x = u²-v²
y = u²+v² (J = 8uv)
17) Calcule ∫∫D
x− y
x+ y
dA , onde D é a região limitada pelas retas x-y = 0, x-y =1, x+y = 1, x+y = 3.
(V = 
1
4
ln (3) m³)
18) Calcule a integral ∫∫D e
x+ y
x− y dA , onde D é a região do plano trapezoidal com vértices (1,0),
(2,0), (0,-2), e (0,-1). (V = 
3
4
(e−e−1) m³)
19) Utilize a mudança de variáveis x= u²-v², y =2uv para calcular a integral ∫D ∫ y dA , onde D é a
região limitada pelo eixo x e pelas parábolas y² = 4-4x, y² = 4+4x.
(V=2 m³)
20) Calcule a integral ∫∫S∫
z−x3
1+x²
dx dy dz onde S: 0<x<1,x²−1< y<x² , x3<z<x³+2, mediante
a transformação: u =x, v=y-x², w =z-x³. (H =
π
2 m )⁴
21) Use a transformação u=x-y e v=2x+y para calcular a integral ∫D∫(2x²−xy− y² )dxdy para a
região D no primeiro quadrante limitada pelas retas y=-2x+4, y=-2x+7, y=x-2, e y =x+1.
(H =
33
4
m )⁴
22) Calcule a integral ∫D∫ x²dxdy , onde D é a elipse de equação 9x²+4y²=36.
(H= 4 π m )⁴
23) Encontre o volume do elipsoide 
x²
a²
+
y²
b²
+
z²
c²
=1 .
(V= abc
4π
3
m³)
Campos Vetoriais, integrais de linha
1) Calcule a integral ∫C (x+2y )ds , se C for a semicircunferência de raio 3.
(I = 36 m²)
2) Calcule a integral ∫C xy
4 ds , onde C é o círculo x²+ y²=16 com x > 0.
(I = 0 m²)
3) Calcule a integral ∫C y
2 dx+ x2dy , onde C é a metade superior da elipse 
x2
a2
+
y2
b2
=1 , a > 0, b>
0. (I = −
4
3
ab2 m²)
4) Calcule a integral ∫C y sin z ds , onde C é a hélice circular dada pelas equações x=cos t, y= sin t,
z=t, 0≤t≤2π .
( I = π√2 m²)
5) A força em um ponto (x,y,z) em três dimensões é dada por F(x,y,z) = (y-x²) i+(z-y²)j+(x-z²)k. Ache
o trabalho realizado por F(x,y,z) ao longo da cúbica x=t, y=t², z=t³ de (0,0,0) a (1,1,1).
(W = 
29
60
J)
6) Seja F o campo quadrado inverso. Encontre o trabalho realizado por F para deslocar uma partícula
ao longo de um reta que une os pontos (1,2,0) e (2,4,0). 
(W = −
C√5
10
J )
7) Determine o trabalho feito pelo campo de força F(x,y)=x²i-xyj ao se mover uma partícula ao longo
de um quarto de círculo r(t) = cos(t)i+sin(t)j, 0≤t≤
π
2 .
(W = -
2
3
J)
8) Ache a massa da elipse 
x²
9
+
y²
4
=1 , situada no primeiro quadrante, se a densidade em cada ponto
for igual ao produto das coordenadas do ponto. (M = 
38
5
kg)