(EM13MAT507) Progressões Aritméticas e Funções Afins - Apostila 1 Ano 3

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(EM13MAT507): Progressões Aritméticas e Funções Afins - Apostila 1º Ano 3º Este documento aborda a identificação e associação de progressões aritméticas (PA) a funções afins em domínios discretos, incluindo a análise de propriedades, dedução de fórmulas e resolução de problemas. Exemplos práticos e exercícios são apresentados para facilitar a compreensão do tema. Conceitos-chave Progressão Aritmética (PA): Sequência onde cada termo é a soma do anterior com uma constante, chamada razão. Função Afim: Função linear que pode ser expressa na forma f(x) = mx + b, onde m é a inclinação e b é o intercepto. Termo Geral de uma PA: Fórmula que permite calcular qualquer termo da sequência, geralmente expressa como an = a1 + (n-1)r. Sequências Crescentes e Decrescentes: Classificações de sequências numéricas baseadas no comportamento dos termos. Interpolação Aritmética: Método para encontrar termos intermediários em uma PA. Aplicações Práticas: Exemplos de problemas do cotidiano que podem ser resolvidos utilizando PA e funções afins. (EM13MA T507): Identificar e associar progressões aritméticas (PA)a funções afins de dom ínios discretos, pa ra análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. 1 SEQUENC IA NUMÉRICA As sequências numéricas podem se r finitas ou infinitas , por exemplo: 𝑆 𝐹 = (2, 4, 6, ..., 8 ) 𝑆 𝐼 = (2,4,6,8. ..) Note que quando as sequências são infinitas, elas são indicadas pelas reticências no f inal. Além disso, vale lembrar que os elementos da sequência são indicados pela letra a. Por exemplo: 1° elemento: 𝒂 𝟏 = 2 4° elemento: 𝒂 𝟒 = 8 O último termo da sequên cia é chamado de enés imo, sendo representado por 𝑎 𝑛 . Nesse caso, o 𝑎 𝑛 da sequência f inita acima seria o elemento 8. Assim, podemos representá-la da seguinte maneira: 𝑆 𝐹 = ( 𝑎 1 , 𝑎 2 , ...,an) 𝑆 𝐼 = ( 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 𝑛 ...) CLA S SIFICAÇÃO DA SEQUÊNCIA NUMÉRICA DE A CORD O COM O COMPORTA MENTO DA SEQUÊNC IA • Sequência numérica crescente - A sequência é crescente se um t ermo for sempre m aior que o seu antecessor. Exemplos: (1, 5, 9, 13, 17 , ...) (10, 11, 12 , 13, 14, 15, ...) • Sequência numérica constante - A sequênci a é constante quando todos os termos possuem o mesmo valor. Exemplos: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) (-1, -1, -1, -1, - 1, ...) • Sequência numérica decresce nte - A sequência é decrescente se os term os da sequência sempre são menores que os seus antecessores. Exemplos: (-1, -2, -3, -4, -5, ...) (19, 16, 13, 10 , 8, ...) • Sequência numérica oscilante - A sequência é oscilante se houver termos maiores q ue os seus antecessores e ter mos menores que seus antecessores de for ma alternada. Exemplos: (1, -3, 9, -27, 81, ...) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...) 1- Determine o próximo núm ero da sequência: 19, 22, 25, 28, … 2 - Determine o 5º número da sequência: 4 2, 38, 34, 30, … 3 - Qual o número que continua a sequência? 12, 24, 48, 96, … 4 - Qual o próximo número? 240, 120, 60, 30, … 5 - Determine o v alor de x na sequência: 6, 7, 9, 12, 16, 21, x 6 - Qual o valor de x na sequência? 3, 6, 8, 16, 18, 36, x 7 - Determine o v alor de x na sequência: 5, 8, 7, 10, 9, 12, 11, x 8 - Encontre o valor de x: 2, 7, 17, 32 , 52, x 9 - Determine o próximo número da sequência: 4, 9, 15, 23 , 34, … 10 - Determine o temo g eral da sequência: 4, 9, 16, 25 , 36, … 11 - Determine o t ermo geral da seq uência: -4, 9, - 16, 25, - 36, … 12 - Qual o t ermo geral da sequência? 5, 10, 17, 26, 37, … (EM13MA T507): Identificar e associar progressões aritméticas (PA)a funções afins de dom ínios discretos, pa ra análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. 2 RETOMA NDO O QUE VIMOS FUNÇÃ O A FIM PROGRESSÃ O A RITMÉ TICA (PA ) Uma progressão ari tmét ica (PA) é uma sequênci a em que cada termo, a partir do segundo, é o termo anterior mais uma constante , chamada razão da pro gressão aritmética. Exemplo: ❑ Os termos dessa sequênci a são obtidos somando a constante 4 ao termo anterior . Em outras palavras, essa é uma sequência de termos que estão sendo obtidos a partir de somas de 4 em 4. ❑ Esse 4 q ue aumenta recebe o nome de razão da progressão aritmé tica e cada termo será represen tado pela letra a, sendo 𝑎 1 o 1º te rmo, 𝑎 2 o 2º t ermo, e assim sucessivame nte. ❑ A razão de uma progres são aritmé tica é a constante que será somada ao termo para formar o termo seguinte. ❑ Representamos a razão pela letra minúscula r. Exemplo: (- 7, -4, -1, 2, 5) Vamos util izar o 1º e 2º termos para determinar a razão dessa progressão aritmética. r = 𝒂 𝟐 - 𝒂 𝟏 r = -4 -(-7) r = 3 A razão dessa progressão é 3. RA Z Ã O DA PROGRESSÃO A RITMÉTICA CLA SS IFICAÇÃ O DE UMA PROGRESSÃ O A RITMÉTIC A TERMO GERA L DE UMA PA SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA Exemplo: Cal cule a soma dos termos dos 50 primeiros t ermos da PA (2, 6, … ). ❑ 1º passo: descobrir a razão: r = 6 – 2 = 4 ❑ 2° passo: descobrir quanto vale o 𝑎 50 : 𝒂 𝟓𝟎 = 𝒂 𝟏 + 49.r 𝒂 𝟓𝟎 = 𝟐 + 49.4 𝒂 𝟓𝟎 = 2 + 196 𝒂 𝟓𝟎 = 198 (EM13MA T507): Identificar e associar progressões aritméticas (PA)a funções afins de dom ínios discretos, pa ra análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. 3 ❑ 3° passo: calcular agora a soma dos ter mos desta PA : PROGRESSÃ O A RITMÉT ICA NA RESOLUÇÃ O DE PROBLEMA S Exemplo 1 - O cometa Halley orbita e m torno do Sol. Ele pode ser vi sto da Terra a olho nu quando está na parte de sua órbita que f ica mais próxi ma do Sol. Isso ocorre, em média, de 76 em 76 anos. Sabendo que após o descobrimento do Brasil, a terceira vez que ele foi visto da Terra a olho nu foi em 1683 e a sé tima vez foi em 1986, quando foi a quinta vez, após o descobrimento do Brasil, que ele f oi visível da T erra a olho nu? Resoluçã o: 𝒂 𝟑 = 1683 𝒂 𝟕 = 1986 r = 76 𝒂 𝟓 = 𝒂 𝟑 + 2r 𝒂 𝟓 = 1683 + 2 . 76 𝒂 𝟓 = 1683 + 152 𝒂 𝟓 = 1835 Portanto, o q uinto ano após o descobrimen to do Brasil que ele foi visto da Terra a olho nu f oi em 1835. Exemplo 2 - Descrev er a sequência (8 , 15, 22, 29, 36 , ...) por meio da expressã o de seu termo g eral. Resolução: Observe que nessa sequência, cada um dos termos a partir do segundo , é a soma do ter mo anterior com 7. Então, essa sequência é uma PA de razão r = 7 e primeiro termo 𝒂 𝟏 = 8. O termo geral dessa PA pode ser dado por: INTER POLA ÇÃO A RITMÉTICA Exemplo: Qual é a razão da PA q ue se obtém inserindo 5 termos entre 2 e 38? Resolução: (2, __ _,___,___,___,___,38) Temos 𝑎 1 = 2 e 𝑎 7 = 38. 𝑎 7 = 𝑎 1 + 6r 38 = 2 + 6r 6r = 36 r = 6 Logo, a razão d a PA é 6. Questão 1 - Como passate mpo, Felipe empilha copos formando tor res. Ele pretende montar uma torre com 31 camadas, de maneira q ue a quantidade de copos em cada u ma das camadas dessa torre siga o padrão representado no desenho abaix o. A q uantidade de copos q ue Feli pe util izará para montar essa torre com 31 camadas de copos é A) 10. B) 31. C) 481. D) 496. E) 992. Questão 2 - Matheus f ez um experimento que necessitou de observação a cada 4 minutos. Ele fez a primeira observação às 08:11h da manhã e a última observação à s 08:59h da manhã d o mesmo dia. Ao preencher o relatório, ele precisou indicar quantas observações foram feitas ao todo durante esse experimento . Quantas observaçõe s foram feitas por M atheus durante esse experimento? A) 2. B) 4 C) 12. D) 13. E) 48. Questão 3 - João mora na vigésima casa de um a rua e que f ora m construí das casas somente em uma das calçadas. A identificação numérica (EM13MA T507): Identificar e associar progressões aritméticas (PA)a funções afins de dom ínios discretos, pa ra análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. 4 dessas casas forma uma progressão aritmética , sendo 257 o número da primeira. Observe no desenho abaixo, as três primeiras casas dessa rua. Qual é o número da casa onde João m ora? A) 157. B) 162. C) 237. D) 281. E) 352. Questão 4 - Laura comprou um livro de 840 páginas e precisa realizar sua leitura antes de uma prova. Para alcançar seu objetivo, ela elaborouum cronograma de leitura no qual as quantidades de páginas a serem lidas por dia seguem uma progressão aritmé t ica. De acordo com esse cron ograma , no primeiro dia de leitura ela deverá ler 13 páginas desse livro e no último dia, 71 páginas. Seguindo esse cronograma, Laura precisará de q uantos dias para ler esse livro? A) 10. B) 20. C) 24. D) 29. E) 58. Questão 5 - Uma indústria de peças metálicas onde sua produção da primei ra hora do dia a té a oitava hora aumenta de modo a obedecer a uma progressã o aritmética. Des ta forma , a primeira hora prod uz 20 peças metálicas e no f inal da oitava hora produz 76 peças e produzindo nessas oito hora s um total de 384 peças. De quanto é a razão r q ue representa o aumento de produção de peças neste caso? A) 12 B) 18 C) 8 D) 23 E) 10 Questão 6 - Simone deseja comprar um de term inado produto. Pesquisando a s opções de pagament o em algumas lojas, ela se deparou co m uma loja que lhe ofereceu uma opção de f inanciamento que consiste no pagamento de 24 parcel as mensais, sendo a primeira de R$ 98,00, a segunda de R$ 115,00, a tercei ra de R$ 132,00, e as demais seguindo esse mesmo padrão de aumento até o final do f inanciamen to. O valor total, em reais, que Simone pagará por esse produto caso escolha, nessa loja, essa opção de pagamento será A) R$ 345,00. D) R$ 2 352,00. B) R$ 489,00. E) R$ 7 044,00. C) R$ 7 248,00. Questão 7 - Paula criou uma conta poupança par a seu filho, em que todo ano ela deposita uma quantia. No primeiro ano Paul a depositou 100 reais e, a cada ano Seguinte ela deposita o valor depositado no ano anterior mais 80 reais. O valor depositado nessa conta poupança por Paula no 22º ano, contado da criação dessa conta, é A) R$ 1 780,00 D) R$ 3 960,00 B) R$ 1 860,00 E) R$ 9 680,00 C) R$ 2 180,00 Questão 8 - Um paisagista criou um projeto de um jardim, que consiste em plantar mudas de flores sobre 15 circunferênci as de mesmo centro e raios distintos. Sob re a primeira circun ferênci a, planta-se 3 mudas; sobre a segunda, planta-se 5 mudas; e assim por diante, de forma que a quantidade de mudas representam os termos de uma progressão aritmé tica. O número de mudas de f lores que devem ser plantadas nesse jardim, de acordo com esse projeto, é: A) 31 B) 34 C) 255 D) 465 E) 510 Questão 9 - Existem dois telefones instalados ao logo do estacionamento de uma rodovia: um no km 7 e outro no km 167. Entre eles serão instalados novos telefones ao longo dessa rodovia de modo que, a cada 8 km, se tenha um telefone disponível. Quantos novos telefones serão instalados? A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 24 FUNÇÃ O A FIM E PROGRESSÕES A RITMÉTICAS (PA ) Exemplo: Con sidere a função afim f(x) = 3x + 5 e a PA (-1, 3, 7, 11, 15, ...) de razão 4. Determinando (f(- 1) , f(3), f( 7), f( 11), f( 15), . ..) verificamos també m se tratar de uma PA. Qual é a razão dessa P A? Resolução: Substituindo, temos: f(-1) = 3. (-1) + 5 = -3 + 5 = 2 f(3) = 3. (3) + 5 = 9 + 5 = 14 f(7) = 3. (7) + 5 = 21 + 5 = 26 f(11) = 3. (11) + 5 = 33 + 5 = 38 Assim, temos 2, 14, 26 , 38, ou seja, uma PA de razão 12. ❖ Observe que poderíam os determinar a razão dessa nova PA mul tiplicando a razão d a primeira PA pelo coef iciente angular. Razão da primeira PA = 4 Coeficiente angular = 3 4 x 3 = 12 A razão da nova PA é, de fato, 12. (EM13MA T507): Identificar e associar progressões aritméticas (PA)a funções afins de dom ínios discretos, pa ra análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. 5 Questão 1 - Considere a função afim f(x) = 3x + 4 , cuj o conjunto domí nio corresponde aos elemen tos da sequência (5, 10, 15, 20, ... ). As imagens da função f forma m uma progressão aritmé tica. Os 4 primeiros termos dessa progressão são: A) 5, 10, 15 e 20. D) 7, 10, 13 e 16. B) 15, 30, 45 e 60. E) 19, 34, 49, e 64. C) 19, 24, 29 e 34. Questão 2 - A lei da função afim que determina a PA (-1, 5, 11, 17, 23) a partir da PA (-2, 0, 2, 4, 6, ,,,) é: A) f( x) = 3x + 5 D) f(x) = 5x + 3 B) f(x) = 3x E) f(x) = 5x C) f(x) = 3x + 3 Questão 3 - Uma funçã o polinomial do 1º grau cuja lei de formação é f( x) = 2x + 3, possui como domínio os elementos da progressão aritmética (PA): (2, 4, 6, 8...). O conjunto imagem dessa função também representa uma P.A: A) 3, 6, 9, 12 e 15. D) 5, 7, 9, 11 e 13 B) ) 4, 5, 6, 7 e 8. E) 4, 8, 12, 16 e 20 C) 7, 11, 15, 19 e 23. Questão 4 - Seja f(x) = 5x - 6 uma função afim e (2, 6, 10, 14, 18, ...) uma PA de razão 4. Determinando (f(2), f(6), f( 10) , f(14) , f(18), . ..) v erificamos também se tratar de uma PA. Qual a r azão dessa nova P A? A) 4 B) 8 C) 16 D) 20 E) 24 Questão 5 - Considere a função afim g: IR I R definida por g(x) = 3x + 1, o valor de g(1) + g(2) + g(3) + ... + g(20) é: A) 26 B) 50 C) 300 D) 500 E) 650 Questão 6 - A f unção f(x) = 2x + 4 determina os termos de uma PA a partir da PA (-1, 2, 5, 8, 11). Quanto a essa nova PA, a razão é: A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 (EM13MA T302B): Construir model os empre g ando as funções polinomiais de 2º, para resolver problemas em contextos div ersos, com ou sem apoio de tecnologias digitais. EQUA ÇÃO COMPLETA E EQUA ÇÃO INCOMPLETA Pela definição, devemos ter sempre a 0. Entretanto, podemos ter b = 0, c = 0 ou b e c = 0. Assim: ❑ Quando b ≠ 0 e c 0, a equação do 2º grau se diz completa. ❑ Quando b ≠ 0 e c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta em c. ❑ Quando b = 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz incompleta em b. ❑ Quando b = 0 e c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta em b e c. Exemplos: 2x² - 2x - 40 = 0 (e quação completa, pois a = 2, b = -2 e c = -40). 2x² - 2x = 0 (equação incompleta em c, pois a = 2, b = -2 e c = 0) . 2x² - 40 = 0 ( equação incompleta em b, pois a = 2, b = 0 e c = -40). 2x² = 0 (equação incompleta em b e c, pois a = 2, b = 0 e c = 0). 1 - (INQC) Das alternativ as abaixo, q ual apresenta uma equação do segundo g rau? A) 9x + 2 = 4 D) 5x² - 9x + 1 = - 1 B) – x³ + 2x + 12 = - 7 E) - 13x - 13x + 7 = 5 C) sen x + 3 = - 9 2 - Analise as equações a seguir: I) 2x² + 3x – 0 = 0 II) X² + 3 = 2x III) x² + x – 1 = 0 São consideradas equações do 2o grau incompletas: A) Somente I D) Somente II B) Somente III E) Somente I e II C) Somente II e III EQUA ÇÃO DO 2° GRA U X FUNÇÃ O QUA DRÁTICA (EM13M A T402) 6 Exemplo a) Exemplo b) Exemplo c) Questão 1 - As raíz es da equação - 4x² + 12x = 0 é: A) S = {0,1} C) S = {3,4} E) S = {0,2} B) S = {3,2} D) S = {0,3} Questão 2 - A soma das raíz es da equação 2x² - 10x = 0 é: A) 0 B) 2 C) 5 D) 7 E) 12 Questão 3 - As raíz es da equação – x² + 3x + 10 = 0 são : A) 2 e 5 C) 2 e – 5 E) -2 e 5 B) -2 e -5 D) 3 e 4 Questão 4 - A soma das raíz es da equação 5x² + 6 = 31 x é: A) 5 C) 29/5 E ) 25/4 B) 6 D) 31/5 Chamamos de função quadrática, qualquer função de R em R definida por f(x) = 𝒂𝒙 𝟐 +bx+c , onde a ∈ R*, b ∈ R e c ∈ R. Exemplos: 1. f (x) = 5x² + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = – 2 2. f (x) = x² + 2x – 3 a = 1 b = 2 c = – 3 3. f (x) = – x² + 7x a = – 1 b = 7 c = 0 4. f (x) = x² – 9 a = 1 b = 0 c = – 9 FUNÇÃ O DO 2° GRA U: (EM 13MA T402), (EM13MA T502) E (EM13MA T503) 7 Questão 1 - Um atleta de salto com vara, ao sair do solo, descreve no ar uma curva com for mato de um arco de pa rábola, descrit o pela função do 2° grau f(x) = 8x² – 4x + 1. S obre os coe ficientes desta função podemos af irmar que A) a = 8, b = 1 e c = - 4. C) a = 1, b = - 4 e c = 8. B) a = - 4, b = 8 e c = 1. D) a = 8, b = - 4 e c = 1. Questão 2 – Sem esboçar o gráf ico , escreva se a parábola que representa a função tem a concavi dade voltada para cima ou para baixo: A) y = x² – 2x – 7 C) y = x² – 3x + 2 B) y = 8x² + 4x – 3 D) y = – x² Questão 3 - Quais os pontos de encontro do gráfico da função f(x) = x ² + 6x + 8, definida nos números reais, com o eixo x do plano cart esiano? A) (- 2, 0) e (- 4, 0) C) ( – 2, 0) e ( 4, 0) B) (2, 0) e ( – 4, 0) D) (2, 0) e (4, 0) Questão 4 - Analise a seguinte equação do segundo grau: x² + 14x + 49 = 0. Pode-se af irmar que ela possui: A) Nenhuma raiz real. B) Duas raí zes reais iguais. C) Duas raí zes reais diferentes. D) Não é possív el concluir. Questão5 - Dete rmine as raíz es, se houver, esboce os gráficos levando em conta o sinal de a e assinalando apenas as raízes das seguintes f unções: A) y = x² + 5x + 4 C) y = – x² + x – 8 B) y = 6x² + 6x D) y = x² – 10x + 25 Questão 6 - (SAEPE). O vol ume (V) em um reservatório de água varia em f unção do tempo (t), em horas, conforme re presentado no gráfico da função q uadrática abaixo. De acordo com esse gr áfico, em quantas ho ras esse reservatório atinge seu volume máximo? A) 6 B) 12 C) 24 D) 144 E) 288 Questão 7 - (SAEPE). Uma pedra é atirada para cima e sua altura (h), em m etros, é descrita pelo gráfico abaixo, que está em f unção do tempo t, dado em segundos. Qual foi o instan te em que essa pedra atingiu a altura máxima? A) 25 s B) 20 s C) 10 s D) 5 s E) 4 s FUNÇÃ O DO 2° GRA U: (EM13MA T40 2), (EM13MAT502) E (EM13MA T503) 8 Questão 8 - Observe o gr áfico abaixo. A f unção apresenta ponto de: A) mínimo em (1,2). B) mínimo em (2,1). C) máximo em (-1,-8). D) máximo em (2,1). E) máximo em (1,2). Questão 9 – Calcule as coordenadas do vértice das parábolas q ue representam as seg uintes funções: a) y = x² – 6x + 5 d) y = – 3x² b) y = – x² + 2x – 2 e) y = 4x² – 16x + 7 c) y = x² – 4x Questão 10 - (Projeto radix). Das figuras abaixo, qual é a que melhor representa a função abaix o: Questão 11 - Escreva se a função ad mite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo: a) y = x² – 3x + 4. c) y = – 5x² + 2x – 3. b) y = x² – 4x + 4. d) y = – x² + 2x – 3. Questão 12 - Determine o conjunto imagem das seguintes funções: a) y = – 3x² – 3x – 1. b) y = x² – 2x + 1. c) )y = – x² + 2x – 2. Questão 13 - Determi ne para cad a uma das funções abaixo: ➢ As raíz es; ➢ As coordenadas do vértice: ➢ O conjunto imagem. a) y = – x² + 12x – 20 c) y = 3x² + 4x b) y = x² – 25 d) y = x² – 8x + 7 POTENC IA ÇÃO (EM13MA T403 A ): An alisar, com ou se m apoio de tecnologi as digitais, as represen tações de funções expon encial e log arítmica expressas e m tabelas e em plan o cartesian o, para identi ficar as características fund amentais (domínio, imagem, crescimento ) de cada f unção. 9 EQUA ÇÕES EXPONENCIA IS Chamamos de equação expo nencial toda equação na qual a incógnita aparece no(s) expoente(s). Exemplos de equações exponenciais: Para resolver algum as equações exponenci ais, podemos realiz ar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) apli cação da propriedade Exemplos: A ) Realiz ar a fatoração da base maior: B) Se repararmos, por ex emplo, nos nú meros 25 e 125, veremos que ambos são potências de 5. Isso si gnifica que podemos r eduzi-los a base 5, já que 25 = 5², e 125 = 5³. Substituindo esses val ores na ex pressão, ficamos com: C) D) Questão 1 - Determine o valor de x nas equações a seguir. a) 2 𝑥 = 32 b) 5 𝑥 = 125 c) 9 𝑥 = 27 d) 2 𝑥 = 1 16 Questão 2 - O valor de x q ue satisfaz a equação 3 𝑥 +1 = 81 é: Questão 3 - O valor de x q ue faz a equação 2 𝑥 +1 =32 é: (EM13MA T403 A ): An alisar, com ou se m apoio de tecnologi as digitais, as represen tações de funções expon encial e log arítmica expressas e m tabelas e em plan o cartesian o, para identi ficar as características fund amentais (domínio, imagem, crescimento ) de cada f unção. 10 FUNÇÃ O EXPONENC IA L Seja um número real a (a > 0 e a ≠ 1 ), denomina-se função exponencial de base a, a função definida por f(x)= 𝑎 𝑥 . ❑ Chamamos de f unções exponenciais aquelas nas quais temos a variável in dependente aparecendo no expoente . TIPOS DE FUN ÇÃ O EXPONEN CIA L ❑ Crescente: quando a base é u m núme ro maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x, maior será o valor de y correspondente. ❑ Decrescente: quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando 0 < a < 1 . Caso ela seja decrescente , quanto maior o valor de x, menor será o valor de y correspondente Exemplo: Classificar as funções em crescestes ou decrescentes : Questão 1 - Classificar as funções em crescentes ou decrescentes: Questão 2 - Resolva as seguintes equaçõ es expone nciais: O GRÁ FICO DA FUNÇÃ O EXPONENCIA L (EM13MA T403B) Vamos an alisar os gráficos de duas funções exponenci ais, a primeira com a > 1 e a segunda com 0 < a < 1. a) f (x) = 2 𝑥 (EM13MA T403 A ): An alisar, com ou se m apoio de tecnologi as digitais, as represen tações de funções expon encial e log arítmica expressas e m tabelas e em plan o cartesian o, para identi ficar as características fund amentais (domínio, imagem, crescimento ) de cada f unção. 11 Exemplo1: Seja a função expo nencial , definida por , determine: a) f(-3) b) f( 1 2 ) Exemplo 2: Seja a função exponencial definida por , determ ine o val or x, para cada imagem a seguir: Questão 1 - Seja a função exponencial definida por determine: ❑ Note que o valor da base a é quem determina se a função é crescente ou decrescente . É importante ainda perceber que funções desse tipo nunca serão iguais a zero e, dessa forma, os gráficos jamais encostarão no eixo x. CONJUNTO IMAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL (EM13MA T403 A ): An alisar, com ou se m apoio de tecnologi as digitais, as represen tações de funções expon encial e log arítmica expressas e m tabelas e em plan o cartesian o, para identi ficar as características fund amentais (domínio, imagem, crescimento ) de cada f unção. 12 Questão 2 - Classifique as funções representadas pelos gráficos a seguir como crescente ou decrescente. a) b) Questão 3 - (SAEPE - a daptada) . Observe o gráf ico a seguir de uma função exponencial. Qual é a expressão algébrica que representa essa f unção? Questão 4 - (SAEPE). Luciana representou no plano cartesiano a função: A r epresentação gráfica dessa função é: RESOLVEN DO PROBLEMA S ENVOLVEN DO FUNÇÕES EXPONE NCIA IS Exemplo 1: Numa cult ura de bacté rias existem , inicialmente, 20.000 bactérias presentes e a quantidade N, após t minutos, é dada pela f unção: Qual é a quantidade de bactérias nessa cultura após 10 minutos? Resolução: Para encontra r a q uantidade de bactérias após 10 minutos, podemos substituir t = 10 na função N(t): Exemplo 2: E m uma pesquisa, obteve-se o seguinte gráfico: que indica o crescime nto de uma cultura de bactérias no decorrer de 6 m eses. Com q uantas bactérias se iniciou a pesquisa? Resolução: O iníci o da pesquisa é t = 0. Para t = 0, o número de bactéria é 5 000. Portanto, no iní cio da pesquisa haviam 5 000 bactéria Portanto, após 10 minutos, a quantidade de bactérias na cultura é de 14 580 000 bactérias. (EM13MA T403 A ): An alisar, com ou se m apoio de tecnologi as digitais, as represen tações de funções expon encial e log arítmica expressas e m tabelas e em plan o cartesian o, para identi ficar as características fund amentais (domínio, imagem, crescimento ) de cada f unção. 13 Questão 1 - (SAEPE) Estudos indicam que o número N de camarões criados em cativeiro, decorridos x meses, é dado pela fórmula N(x)= 500 ⋅ 2 0,5𝑡 . Qual é a quantidade de camarões criados em cativeiro após 10 meses? A) 1 000. B) 2 000. C) 3 200. D) 5 000. E) 16 000. Questão 2 - (PAEBES) A evol ução prevista para u ma certa cultura de bac térias é dada por N( t)= 2 𝑡 ⋅ 3 , em que N é o número de bactérias, e t é o tempo em anos. Qual será o t empo necessário para que o número de bactérias seja de 486? A) 1 ano. C) 2 anos. E) 3 anos. B) 4 anos. D ) 5 anos. Questão 3 - (SEAP E) Em uma ex periência em um laboratório, uma população de ratazanas apresentou um crescimen to exponencial por um de termina do período. Durante esse tempo, o número de r ataz anas podia ser calculado por m eio da f unção: onde t é o tempo dado e m dias. Ao final desse período, a população de ratazanas era de 27 indivíduos. Por quanto tempo essa população de ratazanas apresentou esse crescimento exponencial? A) 10 dias. C) 27 dias. E) 75 dias. B) 150 dias. D) 375 dias. Questão 4 - (FMJ-SP) O nú mero de ba ctérias de uma cultura, t horas após o início de certo experime nto, é dado pela expressão N(t ) = 1 200 ∙ 2 0 ,4𝑡 Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a culturaterá 38 400 bactérias? Questão 5 - (UFPA-2004) Uma das práticas mais prazerosas da relação humana — o bei jo — pode ser ,paradox almente, um dos maiores meios de transmissão de bactérias. Supondo que o número de bactérias (N) por beijo (b ) é determinado pela expressã o N(b) = 500 ∙ 2 𝑏 , para que o número de bactérias seja de 32 000 você terá de dar: a) 6 beijos c) 8 beijos e) 4 beijos b) 5 beijos d) 7 beijos PROGRESSÃ O GEOMÉTRICA Uma PG é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo , é o produto do anterior p or uma constante q , a razão da prog ressão. Exemplo: 6 é o p roduto de 3 por 2. 12 é produto de 6 por 2 . 24 é o produto de 12 por 2 e daí por diante. Portanto, a se quência (3, 6 , 12, 24, 48 , … .) é um a progressão geométr ica de razão q igual a 2. COMO CALCULAR A RA Z ÃO DA PG? CLA SSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃ O GEOMÉTRICA (EM13MA T508) Identificar e associar progressões ge ométricas (PG) a funções exponenci ais de domínios discretos, para anális e de propried ades, dedução de alg umas fórmulas e resolução de problemas. 14 FÓRMU LA PARA CALCULA R A SOMA D E UM A PG INFINITA FÓRMU LA PARA CALCULA R A SOM A DE UM A PG FINITA SOMA DOS TERMOS DE UMA PG Exemplo 1 – A sequência seguinte é uma progressão geométri ca, observe: (2, 6, 18, 54 ...) .Deter mine o 8º termo dessa progressão . 1° passo: encontrar a razão 2° passo: apli car a fórmula do t ermo geral da pg Exemplo 2 - Calcule a soma dos 10 primeiro s termos da PG (1,2,4,8,...) Questão 1 - Uma sequên cia é considerada uma Progressão Geomét rica (PG) se a r azão entre cada termo (ex ceto o primeiro ) e o seu antecess or é constante. Em ou tras palav r as, podemos verificar se u ma sequên cia é uma PG v erificando se as divisões entre cada termo e seu antecessor têm o mesmo resultado. Marque a única alternativa que mostra uma PG. a) (3, 6, 9, 12, ...) b) (5, 15, 75, 375, ...) c) (2, -2, -2, -2, .. .) d) (1, 1, 2, 3, ...) e) (-6, -18, -54, - 162, ...) Questão 2 - Qual é o 6º termo da P.G. (1 , 4, 16, 64, ...)? a) 6 b) 164 c) 256 d) 1024 e) 2056 Questão 3 - Uma estudante desenhou uma sequência de pontos conforme a imagem a seguir: a) Determine a quantida de de pon tos da 5ª figura da sequência; b) Quantos pontos a estudante terá desenhado ao concluir a 5ª figura da sequência? Questão 4 - Em uma progressão geométrica, Dessa forma, é correto af irmar q ue: (EM13MA T508) Identificar e associar progressões ge ométricas (PG) a funções exponenci ais de domínios discretos, para anális e de propried ades, dedução de alg umas fórmulas e resolução de problemas. 15 Questão 5 - Em uma PG, sabe-se que a r azão é positiva, o 3º te rmo val e -80 e o 7º ter mo vale -5. Determine o valor do 1º ter mo. Você sabia q ue para achar qualquer termo de uma progressão geométrica (PG), basta achar a função exponencial que determina os termos da seq uência? Exemplo 1 - O gráfico a seguir representa uma progressão geométrica. O eixo horizontal apresenta os valores de n, sendo n natural não nulo e o eixo vertical apresenta valores para 𝑎 𝑛 . PROGRESSÃ O GEOMÉTRICA E FUNÇÃ O EXPONE NCIA L a) Qual é o v alor do termo 𝑎 5 ? Questão 6 - O gráf ico a seguir represen ta uma progressão geomé trica (PG) com n sendo um número natural não nulo. a) Escreva os termos dessa pro gressão geométrica apresentados no gr áfico. b) Determine a razão q dessa pro gressão geométrica. c) Determine o valor do sexto termo dessa PG. b) Determine a soma dos cinco primeiros termos da PG apresentada no g ráfico. Fim do documento Avalie para ter melhores recomendações Texto de pré-visualização (EM 13 MAT 507 ): Identificar e associar progressões aritméticas (PA)a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. SEQUENCIA NUMÉRICA As sequências numéricas podem ser finitas ou infinitas,
por exemplo:
𝑆𝐹 = ( 2 , 4 , 6 , ..., 8 ) 𝑆𝐼 = ( 2 , 4 , 6 , 8 ...)
Note que quando as sequências são infinitas, elas são
indicadas pelas reticências no final. Além disso, vale
lembrar que os elementos da sequência são indicados
pela letra a. Por exemplo:
1 ° elemento: 𝒂𝟏= 2 4 ° elemento: 𝒂𝟒 = 8
O último termo da sequência é chamado de enésimo,
sendo representado por 𝑎𝑛. Nesse caso, o 𝑎𝑛 da
sequência finita acima seria o elemento 8.
Assim, podemos representá-la da seguinte maneira:
𝑆𝐹 = (𝑎 1 , 𝑎 2 ,...,an) 𝑆𝐼= (𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎𝑛...)
CLASSIFICAÇÃO DA SEQUÊNCIA NUMÉRICA DE
ACORDO COM O COMPORTAMENTO DA
SEQUÊNCIA Sequência numérica crescente - A sequência é
crescente se um termo for sempre maior que o seu
antecessor.
Exemplos:
( 1 , 5 , 9 , 13 , 17 , ...) ( 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , ...) Sequência numérica constante - A sequência é
constante quando todos os termos possuem o
mesmo valor.
Exemplos:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...) (-1, - 1, - 1, - 1, - 1, ...) Sequência numérica decrescente - A sequência é
decrescente se os termos da sequência sempre são
menores que os seus antecessores.
Exemplos:
(- 1 , - 2 , - 3 , - 4 , - 5 , ...) ( 19 , 16 , 13 , 10 , 8 , ...)
- Sequência numérica oscilante - A sequência
é oscilante se houver termos maiores que os
seus antecessores e termos menores que
seus antecessores de forma alternada.
Exemplos:
(1, - 3, 9, - 27, 81, ...) (1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, ...)
1 - Determine o próximo número da sequência:
19, 22, 25, 28, ...
2 - Determine o 5 º número da sequência:
4 2, 38, 34, 30, ...
3 - Qual o número que continua a sequência?
12, 24, 48, 96, ...
4 - Qual o próximo número?
240, 120, 60, 30, ...
5 - Determine o valor de x na sequência:
6, 7, 9, 12, 16, 21, x
6 - Qual o valor de x na sequência?
3, 6, 8, 16, 18, 36, x
7 - Determine o valor de x na sequência:
5, 8, 7, 10, 9, 12, 11, x
8 - Encontre o valor de x:
2, 7, 17, 32, 52, x
9 - Determine o próximo número da sequência:
4, 9, 15, 23, 34, ...
10 - Determine o temo geral da sequência:
4, 9, 16, 25, 36, ...
11 - Determine o termo geral da sequência:
- 4, 9, - 16, 25, - 36, ...
12 - Qual o termo geral da sequência?
5, 10, 17, 26, 37, ... (EM 13 MAT 507 ): Identificar e associar progressões aritméticas (PA)a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. ❑ 3 ° passo: calcular agora a soma dos termos
desta PA :
PROGRESSÃO ARITMÉTICA NA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Exemplo 1 - O cometa Halley orbita em torno do Sol.
Ele pode ser visto da Terra a olho nu quando está na
parte de sua órbita que fica mais próxima do Sol. Isso
ocorre, em média, de 76 em 76 anos. Sabendo que
após o descobrimento do Brasil, a terceira vez que ele
foi visto da Terra a olho nu foi em 1683 e a sétima vez
foi em 1986 , quando foi a quinta vez, após o
descobrimento do Brasil, que ele foi visível da Terra a
olho nu?
Resolução: 𝒂𝟑= 1683 𝒂𝟕= 1986 r = 76 𝒂𝟓 = 𝒂𝟑 + 2r 𝒂𝟓= 1683 + 2. 76 𝒂𝟓 = 1683 + 152 𝒂𝟓= 1835 Portanto, o quinto ano após o descobrimento do Brasil
que ele foi visto da Terra a olho nu foi em 1835.
Exemplo 2 - Descrever a sequência ( 8 , 15 , 22 , 29 , 36 ,
...) por meio da expressão de seu termo geral.
Resolução:
Observe que nessa sequência, cada um dos termos a
partir do segundo, é a soma do termo anterior com 7.
Então, essa sequência é uma PA de razão r = 7 e
primeiro termo 𝒂𝟏 = 8.
O termo geral dessa PA pode ser dado por: INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Exemplo: Qual é a razão da PA que se obtém
inserindo 5 termos entre 2 e 38?
Resolução:
(2, , , , ,___,38)
Temos 𝑎 1 = 2 e 𝑎 7 = 38.
𝑎 7 =𝑎 1 + 6 r
38 = 2 + 6 r
6 r = 36
r = 6
Logo, a razão da PA é 6.
Questão 1 - Como passatempo, Felipe empilha
copos formando torres. Ele pretende montar uma
torre com 31 camadas, de maneira que a
quantidade de copos em cada uma das camadas
dessa torre siga o padrão representado no
desenho abaixo.
A quantidade de copos que Felipe utilizará para
montar essa torre com 31 camadas de
copos é
A) 10. B) 31. C) 481. D) 496. E) 992.
Questão 2 - Matheus fez um experimento que
necessitou de observação a cada 4 minutos. Ele
fez a primeira observação às 08 : 11 h da manhã e
a última observação às 08 :59 h da manhã do
mesmo dia. Ao preencher o relatório, ele precisou
indicar quantas observações foram feitas ao todo
durante esse experimento. Quantas observações
foram feitas por Matheus durante esse
experimento?
A) 2. B) 4 C) 12. D) 13. E) 48.
Questão 3 - João mora na vigésima casa de uma
rua e que foram construídas casas somente em
uma das calçadas. A identificação numérica (EM 13 MAT 507 ): Identificar e associar progressões aritméticas (PA)a funções afins de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. dessas casas forma uma progressão aritmética, sendo
257 o número da primeira. Observe no desenho
abaixo, as três primeiras casas dessa rua.
Qual é o número da casa onde João mora?
A) 157. B) 162. C) 237. D) 281. E) 352.
Questão 4 - Laura comprou um livro de 840 páginas e
precisa realizar sua leitura antes de uma prova. Para
alcançar seu objetivo, ela elaborou um cronograma de
leitura no qual as quantidades de páginas a serem
lidas por dia seguem uma progressão aritmética. De
acordo com esse cronograma, no primeiro dia de
leitura ela deverá ler 13 páginas desse livro e no último
dia, 71 páginas. Seguindo esse cronograma, Laura
precisará de quantos dias para ler esse livro?
A) 10. B) 20. C) 24. D) 29. E) 58.
Questão 5 - Uma indústria de peças metálicas onde
sua produção da primeira hora do dia até a oitava hora
aumenta de modo a obedecer a uma progressão
aritmética. Desta forma, a primeira hora produz 20
peças metálicas e no final da oitava hora produz 76
peças e produzindo nessas oito horas um total de 384
peças. De quanto é a razão r que representa o
aumento de produção de peças neste caso?
A) 12 B) 18 C) 8 D) 23 E) 10
Questão 6 - Simone deseja comprar um determinado
produto. Pesquisando as opções de pagamento em
algumas lojas, ela se deparou com uma loja que lhe
ofereceu uma opção de financiamento que consiste no
pagamento de 24 parcelas mensais, sendo a primeira
de R$ 98 , 00 , a segunda de R$ 115 , 00 , a terceira de
R$ 132 , 00 , e as demais seguindo esse mesmo padrão
de aumento até o final do financiamento. O valor total,
em reais, que Simone pagará por esse produto caso
escolha, nessa loja, essa opção de pagamento será
A) R$ 345 , 00. D) R$ 2 352 , 00.
B) R$ 489 , 00. E) R$ 7 044 , 00.
C) R$ 7 248 , 00.
Questão 7 - Paula criou uma conta poupança para seu
filho, em que todo ano ela deposita uma quantia. No
primeiro ano Paula depositou 100 reais e, a cada ano
Seguinte ela deposita o valor depositado no ano
anterior mais 80 reais. O valor depositado nessa
conta poupança por Paula no 22 º ano, contado da
criação dessa conta, é
A) R$ 1 780 , 00 D) R$ 3 960 , 00
B) R$ 1 860 , 00 E) R$ 9 680 , 00
C) R$ 2 180 , 00
Questão 8 - Um paisagista criou um projeto de
um jardim, que consiste em plantar mudas de
flores sobre 15 circunferências de mesmo centro e
raios distintos. Sobre a primeira circunferência,
planta-se 3 mudas; sobre a segunda, planta-se 5
mudas; e assim por diante, de forma que a
quantidade de mudas representam os termos de
uma progressão aritmética. O número de mudas
de flores que devem ser plantadas nesse jardim,
de acordo com esse projeto, é:
A) 31 B) 34 C) 255 D) 465 E) 510
Questão 9 - Existem dois telefones instalados ao
logo do estacionamento de uma rodovia: um no
km 7 e outro no km 167. Entre eles serão
instalados novos telefones ao longo dessa rodovia
de modo que, a cada 8 km, se tenha um telefone
disponível. Quantos novos telefones serão
instalados?
A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 24
FUNÇÃO AFIM E PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS (PA)
Exemplo: Considere a função afim f(x) = 3 x + 5 e
a PA (- 1 , 3 , 7 , 11 , 15 , ...) de razão 4.
Determinando (f(- 1 ), f( 3 ), f( 7 ), f( 11 ), f( 15 ), ...)
verificamos também se tratar de uma PA. Qual é a
razão dessa PA?
Resolução:
Substituindo, temos:
f(- 1 ) = 3. (- 1 ) + 5 = - 3 + 5 = 2
f( 3 ) = 3. ( 3 ) + 5 = 9 + 5 = 14
f( 7 ) = 3. ( 7 ) + 5 = 21 + 5 = 26
f( 11 ) = 3. ( 11 ) + 5 = 33 + 5 = 38
Assim, temos 2 , 14 , 26 , 38 , ou seja, uma PA de
razão 12.
❖ Observe que poderíamos determinar a razão
dessa nova PA multiplicando a razão da
primeira PA pelo coeficiente angular.
Razão da primeira PA = 4 Coeficiente angular = 3
4 x 3 = 12 A razão da nova PA é, de fato, 12. EQUAÇÃO DO 2° GRAU X FUNÇÃO QUADRÁTICA(EM13MAT402) Exemplo a) Exemplo b) Exemplo c) Questão 1 - As raízes da equação - 4x² + 12x = 0
é:
A) S = {0,1} C) S = {3,4} E) S = {0,2}
B) S = {3,2} D) S = {0,3}
Questão 2 - A soma das raízes da equação 2x² -
10x = 0 é:
A) 0 B) 2 C) 5 D) 7 E) 12
Questão 3 - As raízes da equação – x² + 3x + 10
= 0 são:
A) 2 e 5 C) 2 e – 5 E) - 2 e 5
B) - 2 e - 5 D) 3 e 4
Questão 4 - A soma das raízes da equação 5x² +
6 = 31x é:
A) 5 C) 29/5 E) 25/
B) 6 D) 31/
Chamamos de função quadrática, qualquer
função de R em R definida por f(x) = 𝒂𝒙𝟐+bx+c,
onde a ∈ R*, b ∈ R e c ∈ R.
Exemplos: f(x) = 5 x² + 3 x – 2 a = 5 b = 3 c = – 2 f(x) = x² + 2 x – 3 a = 1 b = 2 c = – 3 f(x) = – x² + 7 x a = – 1 b = 7 c = 0 f(x) = x² – 9 a = 1 b = 0 c = – 9 FUNÇÃO DO 2° GRAU: (EM13MAT402), (EM13MAT502) E (EM13MAT503) 7 Questão 1 - Um atleta de salto com vara, ao sair do
solo, descreve no ar uma curva com formato de um
arco de parábola, descrito pela função do 2 ° grau f(x) =
8 x² – 4 x + 1. Sobre os coeficientes desta função
podemos afirmar que
A) a = 8 , b = 1 e c = - 4. C) a = 1 , b = - 4 e c = 8.
B) a = - 4 , b = 8 e c = 1. D) a = 8 , b = - 4 e c = 1.
Questão 2 – Sem esboçar o gráfico, escreva se a
parábola que representa a função tem a concavidade
voltada para cima ou para baixo:
A) y = x² – 2 x – 7 C) y = x² – 3 x + 2
B) y = 8 x² + 4 x – 3 D) y = – x²
Questão 3 - Quais os pontos de encontro do gráfico da
função f(x) = x² + 6 x + 8 , definida nos números reais,
com o eixo x do plano cartesiano?
A) (- 2 , 0 ) e (- 4 , 0 ) C) (– 2 , 0 ) e ( 4 , 0 )
B) ( 2 , 0 ) e (– 4 , 0 ) D) ( 2 , 0 ) e ( 4 , 0 )
Questão 4 - Analise a seguinte equação do segundo
grau: x² + 14 x + 49 = 0.
Pode-se afirmar que ela possui:
A) Nenhuma raiz real.
B) Duas raízes reais iguais.
C) Duas raízes reais diferentes.
D) Não é possível concluir.
Questão 5 - Determine as raízes, se houver, esboce os
gráficos levando em conta o sinal de a e assinalando
apenas as raízes das seguintes funções:
A) y = x² + 5 x + 4 C) y = – x² + x – 8
B) y = 6 x² + 6 x D) y = x² – 10 x + 25
Questão 6 - (SAEPE). O volume (V) em um
reservatório de água varia em função do tempo (t),
em horas, conforme representado no gráfico da
função quadrática abaixo.
De acordo com esse gráfico, em quantas horas
esse reservatório atinge seu volume máximo?
A) 6 B) 12 C) 24 D) 144 E) 288
Questão 7 - (SAEPE). Uma pedra
é atirada para cima e sua altura
(h), em metros, é
descrita pelo gráfico
abaixo, que está
em função do tempo t,
dado em segundos.
Qual foi o instante em que essa pedra atingiu a
altura máxima?
A) 25 s B) 20 s C) 10 s D) 5 s E) 4 s (EM 13 MAT 403 A): Analisar, com ou sem apoio de tecnologias digitais, as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chamamos de equação exponencial toda equação na
qual a incógnita aparece no(s) expoente(s).
Exemplos de equações exponenciais:
Para resolver algumas equações exponenciais,
podemos realizar dois passos importantes:
1 º) redução dos dois membros da equação a
potências de mesma base;
2 º) aplicação da propriedade
Exemplos:
A)
Realizar a fatoração da base maior:
B)
Se repararmos, por exemplo, nos números 25 e 125,
veremos que ambos são potências de 5. Isso significa
que podemos reduzi-los a base 5, já que 25 = 5², e 125
= 5³. Substituindo esses valores na expressão, ficamos
com: C) D) Questão 1 - Determine o valor de x nas equações a
seguir. a) 2 𝑥 = 32 b) 5 𝑥 = 125 c) 9 𝑥 = 27 d) 2 𝑥 = 1
16
Questão 2 - O valor de x que satisfaz a equação
3 𝑥+ 1 = 81 é:
Questão 3 - O valor de x que faz a equação
2 𝑥+ 1 = 32 é: (EM 13 MAT 403 A): Analisar, com ou sem apoio de tecnologias digitais, asrepresentações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função. FUNÇÃO EXPONENCIAL Seja um número real a (a > 0 e a ≠ 1 ), denomina-se
função exponencial de base a, a função definida por
f(x)=𝑎𝑥.
❑ Chamamos de funções exponenciais aquelas nas
quais temos a variável independente aparecendo no expoente. TIPOS DE FUNÇÃO EXPONENCIAL ❑ Crescente: quando a base é um número maior do
que 1 , ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto
maior o valor de x, maior será o valor de y
correspondente.
❑ Decrescente: quando a base é um número maior
que 0 e menor que 1 , ou seja, quando 0 < a < 1.
Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de
x, menor será o valor de y correspondente
Exemplo: Classificar as funções em crescestes
ou decrescentes:
Questão 1 - Classificar as funções em crescentes
ou decrescentes:
Questão 2 - Resolva as seguintes equações
exponenciais:
O GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
(EM13MAT403B)
Vamos analisar os gráficos de duas funções
exponenciais, a primeira com a > 1 e a segunda
com 0 < a < 1.
a) f(x) = 2 𝑥 (EM 13 MAT 403 A): Analisar, com ou sem apoio de tecnologias digitais, as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função. Questão 2 - Classifique as funções representadas
pelos gráficos a seguir como crescente ou
decrescente.
a) b)
Questão 3 - (SAEPE - adaptada). Observe o gráfico a
seguir de uma função exponencial. Qual é a expressão
algébrica que representa essa função?
Questão 4 - (SAEPE). Luciana representou no plano
cartesiano a função:
A representação gráfica dessa função é: RESOLVENDO PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES EXPONENCIAIS Exemplo 1 : Numa cultura de bactérias existem,
inicialmente, 20. 000 bactérias presentes e a
quantidade N, após t minutos, é dada pela função:
Qual é a quantidade de bactérias nessa cultura
após 10 minutos?
Resolução:
Para encontrar a quantidade de bactérias após 10
minutos, podemos substituir t = 10 na função N(t):
Exemplo 2 : Em uma pesquisa, obteve-se o
seguinte gráfico:
que indica o crescimento de uma cultura de
bactérias no decorrer de 6 meses.
Com quantas bactérias se iniciou a pesquisa?
Resolução:
O início da pesquisa é t = 0.
Para t = 0 , o número de bactéria é 5 000.
Portanto, no início da pesquisa haviam 5 000
bactéria
Portanto, após 10
minutos, a quantidade
de bactérias na cultura
é de 14 580 000
bactérias. (EM 13 MAT 403 A): Analisar, com ou sem apoio de tecnologias digitais, as representações de funções exponencial e logarítmica expressas em tabelas e em plano cartesiano, para identificar as características fundamentais (domínio, imagem, crescimento) de cada função. Questão 1 - (SAEPE) Estudos indicam que o número
N de camarões criados em cativeiro, decorridos x
meses, é dado pela fórmula N(x)= 500 ⋅ 20 , 5 𝑡 .
Qual é a quantidade de camarões criados em cativeiro
após 10 meses?
A) 1 000. B) 2 000. C) 3 200. D) 5 000. E) 16 000.
Questão 2 - (PAEBES) A evolução prevista para uma
certa cultura de bactérias é dada por N(t)= 2 𝑡⋅ 3 , em
que N é o número de bactérias, e t é o tempo em anos.
Qual será o tempo necessário para que o número de
bactérias seja de 486?
A) 1 ano. C) 2 anos. E) 3 anos.
B) 4 anos. D) 5 anos.
Questão 3 - (SEAPE) Em uma experiência em um
laboratório, uma população de ratazanas apresentou
um crescimento exponencial por um determinado
período. Durante esse tempo, o número de ratazanas
podia ser calculado por meio da função:
onde t é o tempo dado em dias. Ao final desse
período, a população de ratazanas era de 27
indivíduos. Por quanto tempo essa população de
ratazanas apresentou esse crescimento exponencial?
A) 10 dias. C) 27 dias. E) 75 dias.
B) 150 dias. D) 375 dias.
Questão 4 - (FMJ-SP) O número de bactérias de uma
cultura, t horas após o início de certo experimento, é
dado pela expressão N(t) = 1 200 ∙ 20 , 4 𝑡
Nessas condições, quanto tempo após o início do
experimento a cultura terá 38 400 bactérias?
Questão 5 - (UFPA- 2004 ) Uma das práticas mais
prazerosas da relação humana — o beijo — pode ser
,paradoxalmente, um dos maiores meios de
transmissão de bactérias. Supondo que o número de
bactérias (N) por beijo (b) é determinado pela
expressão N(b) = 500 ∙ 2 𝑏 , para que o número de
bactérias seja de 32 000 você terá de dar:
a) 6 beijos c) 8 beijos e) 4 beijos
b) 5 beijos d) 7 beijos PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Uma PG é uma sequência em que cada termo, a
partir do segundo, é o produto do anterior por
uma constante q, a razão da progressão.
Exemplo:
6 é o produto de 3 por 2. 12 é produto de 6 por 2.
24 é o produto de 12 por 2 e daí por diante.
Portanto, a sequência ( 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ....) é uma
progressão geométrica de razão q igual a 2.
COMO CALCULAR A RAZÃO DA PG?
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA (EM 13 MAT 508 ) Identificar e associar progressões geométricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos, para análise de propriedades, dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. Questão 5 - Em uma PG, sabe-se que a razão é
positiva, o 3 º termo vale - 80 e o 7 º termo vale - 5.
Determine o valor do 1 º termo.
Você sabia que para achar qualquer termo de uma
progressão geométrica (PG), basta achar a função
exponencial que determina os termos da sequência?
Exemplo 1 - O gráfico a seguir representa uma
progressão geométrica. O eixo horizontal apresenta os
valores de n, sendo n natural não nulo e o eixo vertical
apresenta valores para 𝑎𝑛. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E FUNÇÃO EXPONENCIAL a) Qual é o valor do termo 𝑎 5? Questão 6 - O gráfico a seguir representa uma
progressão geométrica (PG) com n sendo um
número natural não nulo.
a) Escreva os termos dessa progressão
geométrica apresentados no gráfico.
b) Determine a razão q dessa progressão
geométrica.
c) Determine o valor do sexto termo dessa PG.
b) Determine a soma dos cinco primeiros termos
da PG apresentada no gráfico.