Teste de Álgebra Linear - IMECC/UNICAMP

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IMECC/UNICAMP
Quarto teste MM/MA 719 - Álgebra Linear (29/10/2009)
Nome: RA:
1. Prove as verdadeiras e dê contra-exemplos para as falsas:
(a) (1 pto) Se T é um operador normal e nilpotente, então ele é o operador nulo.
(b) (1 pto) O produto de operadores positivos é positivo.
(c) (1 pto) Se A ∈ Cn×n tem um autovalor imaginário puro então exp(A) tem um auto-
valor de norma 1.
(d) (1 pto) Se A,B ∈ Cn×n e n ≥ 2, então exp(A+B) = exp(A) exp(B).
(e) (1 pto) O traço de uma matriz positiva é positivo.
2. (a) (1 pto) Seja A,B ∈ Cn×n matrizes semelhantes. Mostre que exp(A) e exp(B) são
semelhantes.
(b) (2 ptos) Seja T : R2 → R2 um operador anti-simétrico. Mostre que existe uma base
ortonormal B de R2 em relação à qual
[T ]B =
[
0 −θ
θ 0
]
,
para algum θ ∈ R e calcule exp ([T ]B).
Dica: Calcule [T ]j em separado para j das formas 4k, 4k + 1, 4k + 2 e 4k + 3.
3. (2 ptos) Dada uma matriz A ∈ Cn×n, mostre que existe uma matriz anti-simétrica
B ∈ Cn×n e α ∈ R de modo que αId+ A+B é positiva.