ListaExercicios3_Espacos Vetoriais e bases

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
CAMPUS CARAÚBAS 
 
 
 
Lista de Exercícios 3: Álgebra Linear- Remota 19-04-2021 
Professor: Oscar 
 
 
1. Determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. 
Se não for, identifique pelo menos um dos axiomas de espaço vetorial que não é válido. 
 
a) O conjunto de todos os polinômios de quinto grau 
b) O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau 𝑎𝑥, 𝑎 ≠ 0, cujos 
gráficos passam pela origem. 
c) O conjunto de todas as funções polinomiais de primeiro grau 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎, 𝑏 ≠ 0, 
cujos gráficos não passam pela origem. 
d) O conjunto de todas as funções quadráticas cujos gráficos passam pela origem. 
e) O conjunto 
 {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} 
f) O conjunto 
 𝑥, 𝑥 : 𝑥 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 
g) O conjunto de todas as matrizes 2x2 da forma 
 𝑎 𝑏
𝑐 1
 
h) O conjunto de todas as matrizes 3x3 da forma 
 
1 𝑎 𝑏
𝑐 1 𝑑
𝑒 𝑓 1
 
i) O conjunto de todas as matrizes 4x4 da forma 
 
0 𝑎 
𝑎 0 
𝑏 𝑐
𝑏 𝑐
𝑎 𝑏 
𝑎 𝑏 
0 𝑐
𝑐 0
 
j) O conjunto de todas as matrizes 3x3 triangulares superiores 
 
4. Determine se o conjunto 𝑅 com as operações 
 (𝑥, 𝑦) + (𝑧, 𝑤) = (𝑥𝑧, 𝑦𝑤) 
 e 
 𝑐(𝑥, 𝑦) = (𝑐𝑥, 𝑐𝑦) 
é um espaço vetorial. Se for, verifique cada axioma de espaço vetorial; se não for, 
indique todos os axiomas de espaço vetorial que não são válidos. 
 
5. Prove que os seguintes espaços são subespaços vetoriais de V 
 
a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 0); 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 são numeros reais} 𝑉 = 𝑅 
b) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 4𝑥 − 5𝑦): 𝑥 𝑒 𝑦 são numeros reais} 𝑉 = 𝑅 
 
6. W é o conjunto de todas as matrizes 3x2 da forma 
 
 𝑎 𝑏
𝑎 − 2𝑏 0
 0 𝑐
 𝑉 = 𝑀 
 Prove que é um subespaço vetorial 
7. Porque os seguintes conjuntos não são subespaços vetoriais? 
a) W é o conjunto de todos os vetores em 𝑅 cuja primeira componente é 2. 
b) W é o conjunto de todos os vetores em 𝑅 cujas componente são inteiros. 
c) W é o conjunto de todas as matrizes em 𝑀 , tais que 𝐴 = 𝐴 
d) W é o conjunto de todos os vetores em 𝑅 cuja segunda componente é o quadrado da 
primeira 
 
8. Explique por que S não é uma base de 𝑅 
a) 𝑆 = {(−4,5), (0,0)} 
b) 𝑆 = {(2,3), (6,9)} 
c) 𝑆 = {(4, −3), (8, −6)} 
 
9. Explique porque S não é uma base de 𝑃 
a) 𝑆 = {2, 𝑥, 3 + 𝑥, 3𝑥 } 
b) 𝑆 = {−1,11𝑥} 
c) 𝑆 = {1 − 2𝑥 + 𝑥 , 3 − 6𝑥 + 3𝑥 , −2 + 4𝑥 − 2𝑥 } 
d) 𝑆 = {−3 + 6𝑥, 3𝑥 , 1 − 2𝑥 − 𝑥 } 
 
10. Explique por que S não é uma base de 𝑀 
a) 𝑆 = 1 1
0 0
,
0 1
1 0
 ,
−1 0
1 0
,
0 0
0 1
 
 
b) 𝑆 = 1 0
0 0
,
0 1
1 0
 ,
1 0
0 1
,
8 −4
−4 3
 
 
11. Determine se S é uma base de 𝑃 
a) 𝑆 = {4𝑡 − 𝑡 , 5 + 𝑡 , 5 + 3𝑡, −3𝑡 + 2𝑡 } 
b) 𝑆 = {−1 + 𝑡 , 2𝑡 , 3 + 𝑡, 5 + 2𝑡 + 2𝑡 + 𝑡 } 
12. Encontre todos os subconjuntos do conjunto 
𝑆 = {(1,3, −2), (−4,1,1), (−2,7, −3), (2,1,1)} 
que formem uma base de 𝑅 
13. Encontre uma base de 𝑅 que incluía os vetores (1,0,2) e (0,1,1)