Lista de Exercicios MAT138

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Lista de Exercícios 
MAT 138
Noções de Álgebra Linear
Universidade Federal de Viçosa
Departamento de Matemática
2019
1a Lista
1. Considere as matrizes A,B,C,D e E com respectivas ordens, 4× 3, 4× 5, 3× 5, 2× 5 e 3× 5.
Determine quais das seguintes expressões matriciais são posśıveis e determine a respectiva
ordem.
(a)AE +BT ; (b)C(DT +B); (c)AC +B; (d)ET (CB).
2. Determine a ordem das matrizes A,B,C,D e E, sabendo-se que ABT tem ordem 5 × 3,
(CT +D)B tem ordem 4× 6 e ETC tem ordem 5× 4.
3. Seja a matriz A =

1 −3 7 8 2
−4 0 11 3 6
2 −1 5 1 3
3 1 −4 0 7
 . Determine:
(a) A ordem de A;
(b) Os elementos a23, a35 e a43.
4. Sejam as matrizes A,B,C,D e E que verificam ABCDE = EDCBA. Sabendo que C é uma
matriz de ordem 3× 2, quais são as ordens das outras quatro matrizes?
5. Sejam as matrizes A =
 1 −1 3 20 1 4 −3
1 2 −1 5
 , B =

0 3 2
−2 1 4
−1 2 1
4 3 1
 , C = A.B e D = B.A.
Determine os elementos c32 e d43.
6. Determine a matriz quadrada A = (aij), de ordem 4 cujos elementos são dados por:
aij =

2i− 3j, se i < j
i2 + 2j, se i = j
−3i+ 4j, se i > j
.
7. Seja a matriz A =
[
2 −1
3 −2
]
. Determine:
(a)A2; (b)A3; (c)A31; (d)A42.
8. Determine números reais x e y tais que[
x3 y2
y2 x2
]
+
[
−x 3y
4y 2x
]
=
[
0 4
5 −1
]
.
1
9. Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z números reais tais que a matriz A seja
simétrica.
(a)A =
[
−2 x
4 1
]
, (b)B =
 8 x+ 3 −1015 −5 −8
y − 2 2z 9
 , C =
 8 x
2 + 3 −5
7 −9 4
y + x z + 3x 11
 .
10. Considere as matrizes:
A =
 3 0−1 2
1 1
 , B = [ 4 −1
0 2
]
, C =
[
1 4 2
3 1 5
]
, D =
 1 5 2−1 0 1
3 2 4
 , E =
 6 1 3−1 1 2
4 1 3
 .
Quando posśıvel, calcule o que se pede.
(a)4E − 2D; (b)2AT + C; (c)(2ET − 3DT )T ; (d)(BAT − 2C)T .
11. Diz-se que uma matriz B é uma ráız quadrada de uma matriz A se B2 = A.
(a) Encontre duas ráızes quadradas de A =
[
2 2
2 2
]
.
(b) Existem quantas ráızes quadradas distintas de A =
[
5 0
0 9
]
? Justifique.
(c) Na sua opinião qualquer matriz 2× 2 tem pelo menos uma ráız quadrada? Justifique.
12. Sejam A, B matrizes em Mn(IR). Se AB = BA, mostre que:
(a)(A±B)2 = A2 ± 2AB +B2; (b)(A−B)(A+B) = A2 −B2;
(c)(A−B)(A2 + AB +B2) = A3 −B3.
13. Seja A matriz em Mn(IR). Mostre que:
(a) As matrizes A.AT e
1
2
(A+ AT )2 são simétricas,
(b) A matriz
1
2
(A− AT ) é anti-simétrica,
(c) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica.
14. Dizemos que uma matriz A é ortogonal se, e somente se, A.AT = I. Determine:
(a) Os posśıveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente anti-simétricas e ortogonais.
15. Determine o número real m de modo que a matriz M =
[
−1 0
0 m
]
seja ortogonal.
16. Verifique quais das matrizes abaixo é ortogonal.
A =
[
0 1
1 0
]
, B =
[
1 −2
2 1
]
, C =
[
1
3
2
√
2
3
2
√
2
3
−1
3
]
, D =

√
3
3
√
3
3
√
3
3
−
√
6
3
√
6
6
√
6
6
0 −
√
2
2
√
2
2
 .
2
17. Dado um número real α, considere a matriz Tα =
[
cosα − sinα
sinα cosα
]
.
(a) Dados α e β em IR, mostre que Tα.Tβ = Tα+β.
(b) Calcule T−α.
(c) Mostre que para todo número α a matriz Tα é ortogonal.
18. Seja A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann
 , uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado
por tr(A), é definido como sendo o número real
tr(A) =
n∑
k=1
akk = a11 + a22 + ...+ ann,
ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas A e B matrizes
quadradas de ordem n, valem as seguintes propriedades:
(a)tr(A+B) = tr(A) + tr(B);
(b)tr(kA) = ktr(A), onde k ∈ IR;
(c)tr(AT ) = tr(A);
(d)tr(AB) = tr(BA).
Usando algumas destas propriedades verifique que não existem A e B matrizes quadradas de
ordem n tais que AB −BA = I.
19. Verifique que se A é uma matriz m× n, então os traços de AAT e ATA estão definidos. Em
seguida prove que tr(AAT ) = tr(ATA).
20. Mostre que se ATA = A, então A é simétrica e A = A2.
21. Suponha que A é uma matriz quadrada e que D é uma matriz diagonal tal que AD = I. O
que se pode afirmar sobre a matriz A? Justifique.
22. Considere a matriz A =

a11 0 · · · 0
0 a22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · ann
 , onde a11a22...ann 6= 0. Determine A−1, a
inversa de A, se existir.
23. Prove que se A é inverśıvel e AB = AC, então B = C.
24. É posśıvel ter AB = I e B não ser inversa de A? Justifique sua resposta.
25. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, mostre que:
(a) Se A satisfaz a igualdade A2 − 3A+ I = 0, então A−1 = 3I − A.
(b) Se A é tal que An+1 = 0, então (I − A)−1 = I + A+ A2 + ...+ An.
26. Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta
dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
3
(a) ( )Se a primeira coluna de A for constitúıda somente de zeros, o mesmo ocorre com a
primeira coluna de qualquer produto AB.
(b) ( )Se a primeira linha de A for constitúıda somente de zeros, o mesmo ocorre com a
primeira linha de qualquer produto AB.
(c) ( )Se a soma de matrizes AB + BA estiver definida, então A e B devem ser matrizes
quadradas.
(d) ( )Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então A2 tem duas linhas
idênticas.
(e) ( )Se A é uma matriz quadrada e A2 tem uma coluna constitúıda somente de zeros, então
necessariamente A tem uma coluna constitúıda somente de zeros.
(f) ( )Se AAT é uma matriz singular(não-inverśıvel), então A não é inverśıvel.
(g) ( )Se A é inverśıvel e AB = 0, então necessariamente B é a matriz nula.
(h) ( )A soma de duas matrizes inverśıveis é sempre uma matriz inverśıvel.
(i) ( )Se A é uma matriz quadrada tal que A4 = 0, então
(I − A)−1 = I + A+ A2 + A3.
27. Seja A uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a −3, pede-se:
(a) O determinante da matriz P dada por P = 4A−1AT .
(b) Decidir se P é ou não inverśıvel.
(c) O determinante da matriz B obtida de A após serem realizadas as seguintes operações:
L3 ←→ L2; L1 −→ L1 + 2L5; L4 −→ −3L4.
(d) Decidir se a matriz Q = AAT é ou não inverśıvel.
28. Calcule o determinante da matriz A =

4 −5 3 2
−1 0 3 0
1 2 −1 3
2 1 0 4
 ;
(a) Desenvolvendo-o pela segunda linha (usando cofatores).
(b) Pelo processo de triangularização (usando operações elementares sobre as linhas da ma-
triz).
29. Dadas as matrizes A =

1 −5 −1 2
0 2 −3 4
0 0 4 −2
0 0 0 3
 e B =

−3 0 0 0
3 −4 0 0
2 2 −1 0
2 1 1 −2
 , determine:
(a) det(AB); (b)A−1; (c)B−1; (d)(AB)−1; (e) det(C), onde CAT = 2BC2.
30. Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que detQ 6= 0 e Q3 + 2Q2 = 0. Determine o
valor de detQ.
4
31. Dada a matriz A =

1 5 −1 3
−1 2 −2 4
6 7 3 −1
5 3 0 4
 , determine:
(a) detA utilizando as operações elementares sobre as linhas de A;
(b) detAT ; (c) det(A2); (d)A−1; (e) det(−A); (f)3AAT .
32. Seja a matriz A =
 1 1 −11 0 1
0 1 1
 .
(a) Determine o polinômio p(x) = det(xI3 −A), onde I3 é a matriz identidade de ordem 3 e
x ∈ IR.
(b) Verifique que p(A) = 0, onde 0 é a matriz nula de ordem 3.
(c) Use o ı́tem anterior para calcular a inversa de A.
33. Calcule os seguintes determinantes:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 5
1 9 −4
3 0 0
∣∣∣∣∣∣∣ ; (b)
∣∣∣∣∣∣∣
1 + a b c
a 1 + b c
a b 1 + c
∣∣∣∣∣∣∣ ; (c)
∣∣∣∣∣∣∣
c −4 3
2 1 c2
4 c− 1 2
∣∣∣∣∣∣∣ ;
(d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 −5 3 2
−1 0 3 0
1 2 −1 3
2 1 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; (e)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 0 −3
0 0 0 −4 0
0 0 −1 0 0
0 2 0 0 0
5 0 0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
; (f)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
5 0 0 0 0
0 0 0 0 −4
0 0 3 0 0
0 0 0 1 0
0 −2 0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
34. Resolva as seguintes equações:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣
x 5 7
0 x+ 1 6
0 0 2x− 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0; (b)
∣∣∣∣∣∣∣
2 x− 2 3
2x+ 3 x− 1 4
5 1 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 16; (c)
∣∣∣∣∣ x −13 1− x
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 −3
2 x −6
1 3 x− 5
∣∣∣∣∣∣∣ .
35. Calcule o determinante da matriz
A =

0 00 a14
0 0 a23 a24
0 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
 .
Generalize o resultado para uma matriz A = (aij)n×n na qual aij = 0 sempre que i+ j ≤ n.
36. Diz-se que uma matriz A é semelhante à matriz B quando existe uma matriz inverśıvel P tal
que B = PAP−1.
(a) Mostre que se A é uma matriz semelhante a B, então B é semelhante a A.
(b) Mostre que se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C.
5
(c) Prove que matrizes semelhantes tem mesmo determinante.
37. Nos casos abaixo, pede-se: verificar se A é inverśıvel; cof(A), a matriz co-fatora de A, e A−1,
a matriz inversa de A, se esta existir.
(a)A =
 1 −2 36 7 −1
−3 1 4
 ; (b)A =
 cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
 ;
(c)A =

0 1 1 1
1 1 1 1
2 1 1 0
−1 2 0 0
 ; (d)A =

3 5 6 0
2 −1 0 0
4 0 0 0
5 2 −4 3
 .
38. Sem calcular diretamente, verifique que∣∣∣∣∣∣∣
b+ c a+ c a+ b
a b c
1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
39. Nos casos abaixo, determine A−1, utilizando operações elementares, se esta existir.
(a)A =
 2 1 34 2 2
2 5 3
 ; (b)A = [ 3 −1
2 4
]
;
(c)A =

1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
 ; (d)A =
 −3 −6 −120 3 −3
−6 −9 24
 .
40. Calcule o determinante da matriz abaixo e determine sua inversa, se esta existir;
B =

0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
−1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 −1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0

.
41. Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando
um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( )det(2A) = 2 det(A).
(b) ( )det(I + A) = 1 + det(A).
(c) ( )Não existe matriz real quadrada A tal que det(AAT ) = −1.
(d) ( )Se det(AAT ) = 4, então det(A) = 2.
6
(e) ( )det(A+B) = det(A) + det(B).
(f) ( )Se det(A) 6= 0 e AB = 0, então B é inverśıvel.
(g) ( )Se A ∈Mn(IR) e n é par, então det(A) = det(−A).
(h) ( )Se A100 é inverśıvel, então 3A também o é.
(i) ( )Se AB = 0 e B é inverśıvel, então A = 0.
42. A tiragem diária na cidade de Mimosa dos jornais: Dia a Dia, Nossa Hora, Acontece e
Urgente, durante o ano de 2002 está representada na seguinte tabela:
Dia a Dia Nossa Hora Acontece Urgente
Dias Úteis 400 600 450 650
Feriados 350 550 500 600
Sábados 350 600 500 650
Domingos 450 500 400 700
Determine:
(a) A tiragem de cada jornal em Mimosa em 2002, sabendo-se que 2002 tivemos 52 sábados,
52 domingos, 12 feriados e 249 dias úteis.
(b) A estimativa de tiragem total de cada jornal em Mimosa para o ano de 2005, sabendo-se
que a previsão é que até o final deste ano(2005) a tiragem tenha um aumento de 60% em
relação à 2002.
43. Uma construtora está fazendo o orçamento de 65 estabelecimentos rurais sendo estes dvididos
em: 20 de alvenaria, 30 mistos e 15 de madeira. A tabela abaixo descreve a quantidade de
material utilizado em cada tipo de construção.
Tipo de construção/ Tábuas Tijolos Telhas Tinta Mão-de-obra
Material (unidade) (mil) (mil) (litros) (dias)
Alvenaria 50 15 6 70 25
Madeira 500 1 5 20 30
Misto 200 8 7 50 40
Pede-se:
(a) Determinar, utilizando o produto de matrizes, a matriz A que descreve quantas unidades
de cada componente serão necessárias para cumprir o orçamento.
(b) Dar o significado do produto de matrizes AB, sendo A a matriz o btida no ı́tem (a) e B
á a matriz obtida pela tabela abaixo.
7
Valor da Compra Transporte
(a unidade em reais) (a unidade em reias)
Tábuas 12 0,08
Tijolos 100 20
Telhas 300 10
Tinta 3 0,50
Mão-de-obra 40 1,50
44. Considere os adubos I,II,III e IV com caracteŕısticas e preços descritos nas tabelas abaixo:
Substância Fósforo Nitrato Potássio
po kg
Adubo I 25g 15g 70g
Adubo II 30kg 25g 40g
Adubo III 60g 10g 55g
Adubo IV 15g 30g 60g
Adubos I II III IV
Preço por Kg R$7,50 R$5,00 R$4,50 R$6,50
Um agricultor necessita de uma mistura com a seguinte especificação: 6 kg do adubo I, 7 kg
do adubo II, 5 kg do adubo III e 8 kg do adubo IV. Usando o produto de matrizes, determine
a quantidade de cada substância na mistura descrita acima e o preço desta mistura.
45. Um fabricante de farinha produz três tipos de farinha: de mandioca, de milho e de trigo.
Para produzir cada um dos tipos de farinha o produto bruto passa por três processos: seleção,
processamento e embalagem. O tempo necessário (em horas), em cada processo, para produzir
uma saca de farinha, é dado na tabela abaixo:
Processos/ Seleção Processamento Embalagem
Tipos de Farinha
Mandioca 1 3 1
Milho 2 5 1
Trigo 1,5 4 1
O fabricante produz as farinhas em duas usinas uma em Cacha Pregos (BA) e outra em
Cacimba de Dentro (PB), as taxas por hora para cada um dos processos são dadas (em reais)
na tabela abaixo:
Cacha Pregos Cacimba de Dentro
Seleção 2 1,50
Processamento 1 1,80
Embalagem 0,50 0,60
8
Encontre A e B matrizes obtidas pelas primeira e segunda tabelas, respectivamente. Qual o
significado do produto AB?
46. A secretaria de meio ambiente do munićıpio de Mil Flores constatou que as empresas que
trabalham nos ramos de suinocultura, cunicultura e piscicultura são as grandes poluidoras de
três regiões do munićıpio. Diariamente despejam dejetos destas culturas segundo a descrição
da tabela abaixo:
Quantidade de desetos 1a Região 2a Região 3a Região
Por dia ( em Kg )
Cunicultura 80 90 70
Piscicultura 200 40 30
Suinocultura 150 120 100
A secretaria decidiu então aplicar multas diárias sobre estas empresas afim de angariar fundos
para despoluir tais regiões, as multas foram estabelecidas de acordo com a tabela abaixo:
Multa cobrada (em reais)
por kg de 1a Região 2a Região 3a Região
desetos depositados ( em Kg )
Cunicultura 400 200 300
Piscicultura 50 400 100
Suinocultura 600 300 500
Considerando A e B as matrizes obtidas através das primeira e segunda tabelas, respecti-
vamente, determine os elementos da matriz ABT que fornece a arrecadação da secretaria de
meio ambiente de Mil Flores ao aplicar as multas nas três regiões, por ramo de atividade.
47. Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
(a) ( )det(−A) = det(A).
(b) ( )det(A+B) = det(A) + det(B).
(c) ( )Sejam A, B e P matrizes reais de ordem n, tais que B = P T .A.P, sendo P inverśıvel.
Então det(A) = det(B).
(d) ( )Dada a equação matricial X2 + 2X = 0, onde X é uma matriz quadrada de ordem n,
não singular. Então esta equação tem única solução.
(e) ( )Se A,B ∈ Mn(IR) são tais que A.B = 0(matriz nula), então B.A também é a matriz
nula.
(f) ( )Se A,B ∈Mn(IR) são tais que A.B = 0(matriz nula), então A = 0 ou B = 0.
(g) ( )A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
(h) ( )O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é uma matriz simétrica.
Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações
indicadas.
9
(i) ( )Se A.C = B.C e C é inverśıvel, então A = B.
(j) ( )Se A.B = 0 e B é inverśıvel, então A = 0.
(k) ( )Se A.B = C e duas das matrizes são inverśıveis, então a terceira também é.
(l) ( )Se A.B = C e duas das matrizes são singulares(não-inverśıveis), então a terceira
também é.
10
2a Lista 
1. Escreva cada um dos sistemas abaixo na forma matricial:
(a)

2x + 8y = 18
2x + 2y − 3z = 3
x + 2y + 7z = 12
, (b)

2x1 + 3x2 + x4 = −2
4x1 + 5x2 +3x3 +3x4 = −2
−2x1 − 6x2 +7x3 +7x4 = −16
8x1 + 9x2 +5x3 +21x4 = −66
,
(c)

8x + 12y − 4z = −36
6x + 5y + 7z = 11
2x + y + 6z = 16
, (d)

4x1 +2x2 +x3 = 6
−4x1 −6x2 +x3 +3x4 = 13
8x1 +16x2 −3x3 −4x4 = −20
20x1 +10x2 +4x3 −3x4 = 15
2. Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa:
(a)

8x + 12y − 4z = −36
6x + 5y + 7z = 11
2x + y + 6z = 16
, (b)

2x − y − 3z = 5
3x − 2y + 2z = 5
5x − 3y − z = 16
3. Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss:
(a)
{
2x − 3y = 7
3x + 5y = 1
, (b)

2x + 3y − z = 1
3x + 5y + 2z = 8
x− 2y − 3z = −1
4. Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, tais que o sistema linear dado tenha:
(i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
(a)

x + y − z = 1
2x + 3y + kz = 3
x + ky + 3z = 2
, (b)

kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
,
(c)
{
x + 2y + kz = 1
2x + ky + 8z = 3
, (d)

x + y + kz = 2
3x + 4y + 2z = k
2x + 3y − z = 1
5. Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado admita solução
não-trivial:
(a)

x − y − z = 0
x − 2y − 2z = 0
2x + ky + z = 0
, (b)

2x − 5y + 2z = 0
x + y + z = 0
2x + kz = 0
6. Determine os valores reais de a e b para que o sistema linear

x + y − 2z = 0
2x + y + z = b
x + ay + z = 0
tenha:
(a) uma única solução; (b) infinitas soluções; (c) nenhuma solução:
11
7. Determine os valores reais de k, em cada um dos casos, para que o sistema linear dado admita solução.
(a)

−4x + 3y = 2
5x − 4y = 0
2x − y = k
, (b)

a1 + 2a2 = −1
−3a1 + 4a2 = k
2a1 − a2 = −7
8. Considere a matriz A =
 λ 0 11 λ− 1 0
0 0 λ+ 1
, encontre os valores reais de λ para os quais o sistema ho-
mogêneo AX = 0 admite apenas a solução trivial.
9. Sejam
A =
 1 2 31 1 2
0 1 2
 , X =
 x1x2
x3
 , B1 =
 12
3
 , B2 =
 0−2
−1
 , B3 =
 −22
0
 .
(a) Determine, se posśıvel, a inversa de A.
(b) Utilize o item (a) para resolver a equação matricial AX = Bk para k = 1, 2, 3.
10. Determine a condição que os números reais a, b e c devem satisfazer para que, em cada um dos casos abaixo,
o sistema dado tenha solução.
(a)

x + 2y − 3z = a
2x + 6y − 11z = b
x − 2y + 7z = c
, (b)

x + 2y − 3z = a
3x − y + 2z = b
x − 5y + 8z = c
,
(c)

x − 2y + 4z = a
2x + 3y − z = b
3x + y + 2z = b
, (d)

3x − 7y = a
x + y = b
5x + 3y = 5a+ 2b
x + 2y = a+ b− 1
,
(e)

x + 2y = a
−3x + 4y = b
2x − y = c
, (f)

−a + 3b = x
2a − b = y
−2a + b = z
3a + b = t
11. Considere o sistema linear
{
ax + by = e
cx + dy = f
Mostre que:
(a) se ad− bc 6= 0, então o sistema tem uma única solução, dada por
x =
de− bf
ad− bc
e y =
af − ce
ad− bc
;
(b) se ad− bc = 0 e ac =
b
d 6=
e
f , então o sistema não tem solução.
(c) se ad− bc = 0 e ac =
b
d =
e
f , então o sistema tem infinitas soluções.
12. Dado o sistema linear S :
{
2x + 3y − z = 0
x − 4y + 5z = 0
.
(a) Verifique que x1 = 1, y1 = −1 e z1 = −1 é uma solução de S;
(b) Verifique que x2 = −2, y1 = 2 e z1 = 2 também é uma solução de S;
12
(c) É verdade que x = x1 + x2, y = y1 + y2 e z = z1 + z2 é uma solução de S?
(d) É verdade que 3x, 3y e 3z, onde x, y e z são como no item (c), é uma solução de S?
(e) Se as respostas de (c) e (d) forem afirmativas, então responda: Por que isso ocorre?
13. Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss e, em seguida, classifique-os.
(a)

x + 2y + z = 0
2x + y − z = 0
3x − y − 2z = 0
, (b)

x + 2y − z = 2
2x − y + z = 5
x + 3y + 2z = 9
3x − y + 4z = 13
,
(c)

x + 3y + 2z = 2
3x + 5y + 4z = 4
5x + 3y + 4z = −10
, (d)
{
x + 6y − 8z = 1
2x + 6y − 4z = 0
,
(e)

x + 2y − z + w = 0
−x − y + 2z − 3t + w = 0
x + y − 2z − w = 0
z + t + w = 0
, (f)

x + y − 3z + t = 1
3x + 3y + z + 2t = 0
2x + y + z − 2t = 4
,
(g)

3x + 5y = 1
2x + z = 3
5x + y − z = 0
, (h)

x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
x + 7y − 7z = 5
,
(i)

x + 2y + 3z = 0
2x + y + 3z = 0
3x + 2y + z = 0
, (j)

2x − y + 3z = 11
4x − 3y + 2z = 6
x + y + z = 0
3x + y + z = 4
,
(k)

x + y + z + t = 0
x + 3y + z − t = 4
x + y − z + t = −4
x − 2y + z + t = 2
, (l)

3x + 2y − 4z = 1
x − y + z = 3
x − y − 3z = −3
3x + 3y − 5z = 0
−x + y + z = 1
,
(m)

x + 2y + 3z = −6
2x − 3y − 4z = 15
3x + 4y + 5z = −8
, (n)

3x + 2y + z = 2
4x + 2y + 2z = 8
x − y + z = 4
,
(o)

2x + 3y = 13
x − 2y = 3
5x + 2y = 27
, (p)
{
x + 4y − z = 12
3x + 8y − 2z = 4
,
(q)

x + 3y = −4
2x + 5y = −8
x + 3y = −5
, (r)

2x − y + z − t = 4
3x + 2y − z + 2t = 1
2x − y − z − t = 0
5x + 2t = 1
,
(s)

3x + 3y − 2z − t = 2
5x + 2y + z − 2t = 1
2x − y + 3z − t = −1
, (t)

x + 2y − 5z + 4t = 0
2x − 3y + 2z + 3t = 0
4x − 7y + z − 6t = 0
,
(u)

x + 5y + 4z − 13t = 3
3x − y + 2z + 5t = 2
2x + 2y + 3z − 4t = 1
, (v)

x + 2y − 3z + 2t = 2
2x + 5y − 8z + 6t = 5
3x + 4y − 5z + 2t = 4
,
13
(x)

x + 3y + 2z + 3t − 7w = 14
2x + 6y + z − 2t + 5w = −2
x + 3y − z + 2w = −1
.
14. Determine k, nos seguintes casos, de acordo com o que se pede.
(a) De modo que o sistema linear 
−4x1 + 3x2 = 2
5x1 − 4x2 = 0
2x1 − x2 = k
,
admita solução.
(b) De modo que o sistema linear homogêneo
2x1 − 5x2 + 3x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
2x1 + kx3 = 0
,
tenha uma solução distinta da solução trivial.
(c) Que torne o sistema linear 
3x1 + 5x2 + 12x3 − x4 = −3
x1 + x2 + 4x3 − x4 = −6
2x2 + 2x3 + x4 = 5
2x3 + kx4 = 9
,
um sistema imposśıvel.
15. Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um
argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se o sistema linear AX = 0 admite as soluções X1 e X2, então também admite k1X1 + k2X2 como
solução, quaisquer que sejam os números reais k1 e k2.
(b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear AX = 0 tenha somente a solução
trivial é que detA 6= 0.
(c) ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
(d) ( ) Se X1 e X2 são soluções do sistema linear AX = 0, então X1 −X2 é solução de AX = 0.
(e) ( ) Se C é uma matriz invert́ıvel tal que CA = CB, então os sistemas lineares AX = b e BX = b são
equivalentes.
(f) ( ) Se A é uma matriz tal que ATA = A, então os sistemas lineares AX = b e A2X = b são equivalentes.
16. Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de
enxofre. Cada tonelada de petróleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no
setor de refinaria; já o petróleo com alto teor são necessários 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no
setor de refinaria. Se o setor de mistura está dispońıvel por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas
toneladas de cada tipo de combust́ıvel devem ser processadas de modo que os dois setores não fiquem ociosos?
14
17. Um fabricante de plástico produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Para produzir uma tonelada
de plástico normal são necessárias duas horas na fábrica A e 5 horas na fábrica B; já na produção de uma
tonelada de plástico especial são necessárias 2 horas na fábrica A e 3 horas na fábrica B. Se a fábrica A
funciona 8 horas por dia e a fábrica B funciona 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico
devem ser produzidas diariamente para que as duas fábricas se mantenham totalmente ocupadas?
18. Um nutricionista está elaborando uma refeição que contenha os alimentos A, B e C. Cada grama do alimento
A contém 2 unidades de protéına, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidrato. Cada grama do alimento
B contém 3 unidades de protéına, 2 unidades de gordura e 1 unidade de carboidrato. Já o alimento no alimento
C encontramos 3 unidades de protéına, 3 unidades de gordura e 2 unidades de carboidrato. Se a refeição deve
fornecer exatamente 25 unidades de protéına, 24 unidades de gordura e 21 unidades de carboidrato, quantos
gramas de cada tipo de alimento devem ser utilizados?
19. Um cooperativa produz três tipos de ração: X, Y e Z, utilizando farelo de soja, gordura animal e milho.
Cada quilograma da ração A contém 100 g de farelo de soja e 200 g de milho e não contém gordura animal;
cada quilograma da ração B contém 300 g de farelo de soja, 100 g de gorduraanimal e 400 g de milho; cada
quilograma da ração C contém 200 g de farelo de soja, 200 g de gordura animal e 100 g de milho.
Sabendo que a disponibilidade destes produtos na cooperativa nos meses de abril, maio e junho foi dada como
na tabela abaixo. Pede-se para determinar qual a quantidade de cada tipo de ração foi produzido em cada
um destes meses.
Quant./ Mês Farelo de Soja Gordura Animal Milho
(em tonelada)
Abril 1 1,5 2
Maio 1,3 2 1,6
Junho 1 1,4 1,8
15
3a Lista 
1. Sejam u = (−4, 3), v = (2,−5) e w = (a, b). Encontre a e b tais que
(a)w = 2u+ 3v, (b)w = 2
5
v, (c)u+ w = 2u− v.
Represente os vetores acima no plano cartesiano.
2. Sejam u = (4,−1, 2), v = (3,−2,−4) e w = (a, b, c). Encontre a, b, c tais que:
(a)w − u = v, (b)w = 3v, (c)u+ w = 2u− v.
3. Sejam u = (−3, 1, 2), v = (4, 0,−8) e w = (6,−1,−4). Encontre escalares c1, c2 e c3 tais que
c1u+ c2v + c3w = (2, 0, 4).
4. Encontre todos os escalares c1, c2 e c3 tais que c1u+ c2v + c3w = (0, 0, 0).
5. Nos ı́tens a e b são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por
escalar nele definidas. Verifique se eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar
os axiomas que não se verificam.
(a) V = IR2; (a, b) + (c, d) = (a+ b, 0) e a multiplicação escalar usual.
(b) V = IR2; (a, b) + (c, d) = (a+ b, c+ d) e α(a, b) = (α2a, α2b).
6. Em cada item abaixo, verifique se W é subespaço vetorial de IR3:
(a) W = {(x, y, z) ∈ IR3;x+ y + z = 0} ;
(b) W = {(x, y, z) ∈ IR3;x+ y + z ≤ 1} ;
7. Considere W = {(x, y, z) ∈ IR3; ax+ by + cz = d, onde a, b, c, d ∈ IR} . Para que valores de
a, b, c e d, W é um subespaço vetorial de IR3?
8. Mostre que os seguintes subconjuntos são subespaços de IR4.
(a) W = {(x, y, z, t) ∈ IR4;x− y − 3z = 0} ;
(b) W = {(x, y, z, t) ∈ IR4;x− y + 2z = 0 e t = 0} .
9. Sejam os vetores u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) em IR3.
(a) Escreva w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.
(b) O vetor (2,−5, 4) pode ser escrito como combinação linear de u e v? Justifique.
(c) Para que valores de k o vetor w = (−8, 14, k) é combinação linear de u e v?
(d) Encontre condições sobre a, b e c de modo que o vetor w = (a, b, c) seja combinação linear
de u e v.
16
10. Sejam u = (−1, 2, 1), v = (1, 2, 0) e w = (−2,−1, 0). Expressar cada um dos vetores v1 =
(−8, 4, 1), v2 = (0, 2, 3) e v3 = (0, 0, 0) como combinação linear de u, v e w.
11. Mostre que (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 1,−1) geram o IR3. O que isto significa?
12. Determine condições sobre a, b e c de modo que (a, b, c) ∈ IR3 pertença ao espaço gerado pelos
vetores u = (2, 1, 0), v = (1,−1, 2) e w = (0, 3,−4).
13. Para qual valor de k o vetor u = (1,−2, k) em IR3 será uma combinação linear dos vetores
v = (3, 0,−2) e w = (2,−1,−5)?
14. Determine condições sobre a, b e c devem satisfazer para que o vetor v = (a, b, c) seja com-
binação linear dos vetores u = (1,−3, 2) e w = (2,−1, 1).
15. Mostre que o plano yz, isto é, W = {(0, b, c); b, c ∈ IR} em IR3 é gerado por:
(a) (0, 1, 1) e (0, 2,−1);
(b) (0, 1, 2), (0, 2, 3) e (0, 3, 1);
(c) Por que um plano pode ser gerado por dois ou três vetores? Este mesmo plano pode ser
gerado por um vetor? Exiba um conjunto de quatro vetores que geram W e um conjunto
de dois vetores que geram W.
16. Verifique se o vetor u = (1, 2, 3) pertence ao subespaço de IR3 gerado pelos vetores v = (0, 1, 2)
e w = (1, 0, 1).
17. Mostre que os conjuntos {(1,−1, 2), (3, 0, 1)} e {(−1,−2, 3), (3, 3,−4)} geram o mesmo su-
bespaço vetorial de IR3.
18. Determine um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços de IR3.
(a) U = {(x, y, z);x− 2y = 0};
(b) V = {(x, y, z);x+ z = 0 e x− 2y = 0};
(c) U ∩ V.
19. Encontre um vetor em IR3 que gere a interseção de V e W, onde V é o plano xy e W é o
espaço gerado pelos vetores (1, 2, 3) e (1,−1, 1).
20. Mostre que a interseção de subespaços é também um subespaço e verifique com um exemplo
que a união de subespaços nem sempre é um subespaço.
21. Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Mostre que W1∪W2 é subespaço
vetorial de V se, e somente se, W1 ⊂ W2 ou W2 ⊂ W1.
22. Seja S subespaço vetorial de IR4 dado por S = {(x, y, z, t) ∈ IR4;x + 2y − z = 0 e t = 0}.
Pergunta-se:
(a) (−1, 2, 3, 0) ∈ S?
(b) (3, 1, 4, 0) ∈ S?
17
(c) Determine dois vetores de geram S. Eles são únicos? Se não, apresente outros.
23. Determine [S], onde S = {(1,−2, 5, 4), (2, 3, 1,−4), (3, 8,−3,−5)}.
24. Verifique se o vetor p(t) = t3 − 2t pertence ao subespaço de P3 gerado por {t3 − 1, t2 + 1, t}.
25. Determine para que valores de k os vetores de IR3 abaixo são L.I. ou L.D.
(a) u = (1, 1, 2), v = (−1, 2, 3) e w = (k,−1, 1)
(b) u = (−1, 0, 7), v = (−4, 5,−3k), w = (0, 4,−2) e z = (2k, 3, 1)
26. Suponha que {u, v, w} é L.I. Então {u+ v, u− v, u− 2v + w} é L.I. ou L.D.? Justifique.
27. Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique
(Faça contas somente quando for realmente necessário!)
(a) {x3 − 3x, 2x2 + 4, 5x3 − 7x2 + 3, 4x3 − 8, 6x} ⊂ P3;
(b) {(−1, 0, 2, 0, 1), (0, 1, 0,−2, 1), (−2, 3, 4,−6, 5)} ⊂ IR5;
(c) {(2,−1, 3)} ⊂ IR3;
(d) {(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)} ⊂ IR3;
(e) {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)} ⊂ IR3.
28. Suponha que S = {v1, v2, ..., v3} seja L.I., mas {v1, v2, ..., vn, w} seja L.D. Mostre que w é
combinação linear dos vetores de S.
29. Sejam v1, v2, ..., vn vetores L.I. de um espaço vetorial V e suponha que u é uma combinação
linear desses vetores, digamos u = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn. Mostre que a representação de
u acima é única. Dê um exemplo em IR3 mostrando que se o conjunto de vetores for L.D.
Então a representação não será única.
30. Prove que o subconjunto S = {v1, v2, ..., vn} de vetores de um espaço vetorial V é L.D. se, e
somente se, existe k inteiro, 1 ≤ k ≤ n tal que vk é combinação linear dos demais vetores do
subconjunto S.
31. Mostre que:
(a) Se u, v, w são L.I. então u+ v, u+ w, v + w são L.I.
(b) Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é L.D.
(c) Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é L.D. então A é L.D.
(d) Se um conjunto A ⊂ V é L.I., qualquer subconjunto de A é L.I.
32. Consideremos no espaço vetorial IR2 os vetores u = (1 − a, 1 + a) e v = (1 + a, 1 − a), onde
a 6= 0. Mostre que {u, v} é L.I.
33. Mostre que {(1, 0, a), (1, 1, a), (1, 1, a2)} ⊂ IR3 é L.I. se a 6= 0 e a 6= 1.
34. Se u, v e w são vetores de um espaço vetorial V tais que u ∈ [w] e v ∈ [w], mostrar que {u, v}
é L.D.
18
35. Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
(a) W1 = {(a, b, c, c, b, a) ∈ IR6; a, b, c ∈ IR} .
(b) W2 = {(x, y) ∈ IR2; 2x− 2y = 0} ;
(c) W3 = [(1, 2, 3), (0, 0, 2), (−2,−4,−2)];
(d) W4 = {(x, y, z, t) ∈ IR4; 2x− 2y = 0 e t+ x = z} .
36. Sendo v1 = (1, 2) ∈ IR2, determinar v2 ∈ IR2 tal que {v1, v2} seja base de IR2.
37. Quais dos seguintes conjuntos formam uma base de IR3? Nos que formarem, escrever um
vetor genérico de IR3 como combinação linear dos elementos desse conjunto.
(a) {(1, 0, 1), (0,−1, 2), (−2, 1,−4)};
(b) {(2, 1,−1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1)};
(c) {(2, 3,−1), (−2, 1, 1), (2, 0, 1)}
38. Mostre que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e v4 = (2,−1, 1) geram o IR3
e encontrar uma base dentre esses vetores.
39. Determinar as coordenadas do vetor v = (6, 2) em relação às bases:
(a) {(3, 0), (0, 2)};
(b) {(1, 2), (2, 1)};
(c) {(1, 0), (0, 1)}
40. Considere B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1,−1, 1)} base de IR3. Determinar as coordenadas do vetor
v em relação a B se:
(a) v = (2,−3, 4);
(b) v = (3, 5, 6);
(c) v = (1,−2, 1).
41. Determine uma base de IR4 que contenha os seguintes vetores (1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1).
42. Seja W o subespaço de IR4 gerado pelos vetores (1,−2, 5,−3), (2, 3, 1,−4), (3, 8,−3,−5).
(i) Encontre uma base e a dimensão de W ;
(ii) Estenda a base de W a uma base do espaço IR4;
(iii) Faça agora o caminho inverso, encontre os vetoresda base canônica de IR4 que geram W.
43. Encontrar uma base e a dimensão do espaço solução do sistema linear homogêneo
4x + 3y − z + 5t = 0
2x − y + z − t = 0
6x + 2y + 4t = 0
.
19
44. Sejam U, V subespaços vetoriais de IR3. Determine uma base e a dimensão dos subespaços
U, V, U + V e U ∩ V.
(a) U = {(x, y, x);x = 0}, V = {(x, y, z); y − 2z = 0}.
(b) U = {(x, y, z);x+ y = 0 e 4x− z = 0}, V = [(1,−1, 2), (2, 1, 1)].
45. Sejam U eW subespaços vetoriais de IR4 gerados porR = {(1, 1, 0,−1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3,−1)}
e S = {(1, 2, 2,−2), (2, 3, 2,−3), (1, 3, 4,−3)} respectivamente.
(a) Determine uma base para os espaços U e W.
(b) Determine dimU, dimW, dim(U ∩W ) e dim(U +W ).
46. Quais as coordenadas do vetor v = (1, 0, 0) em relação à base β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}.
47. Determine as coordenadas do vetor u = (4, 5, 3) de IR3 em relação às seguintes bases:
(a) Canônica;
(b) {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)};
(c) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}.
48. Quais as coordenadas do vetor p(t) = t3 − 2t2 + 1 em relação à base β = {t3 + 1, t2 − 1, t, 2}.
49. Considere a base ordenada γ = {v1, v2, v3} do IR3 onde
v1 = (1, 0,−1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (1, 0, 0).
Encontre as coordenadas do vetor u = (a, b, c) ∈ IR3 com relação à base ordenada γ.
50. Considere o espaço vetorial real IR2.A matriz da mudança da base ordenada γ = {(1, 1), (−2, 2)},
para a base ordenada α = {v1, v2} é dada por[
1 0
4 −2
]
.
Detremine a base ordenada α. Determine o elemento u ∈ IR2 tal que [u]α =
[
1
2
]
.
51. Considere as bases β = {u1, u2, u3} e γ = {w1, w2, w3} de IR3, relacionadas da seguinte forma:
w1 = u1 − u2 − u3
w2 = 2u2 + 3u3
w3 = 3u1 + u3
.
Pede-se:
(a) Determine as matrizes de mudança de base [I]βγ e [I]
γ
β.
20
(b) Sabendo que
[u]β =
 12
3
 ,
determine o vetor u com relação à base γ.
52. Considere a seguinte matriz de mudança de base
[I]ββ′ =
 1 1 00 −1 1
1 0 −1
 .
Encontre:
(a) [v]β, onde [v]β′ =
 −12
3
 .
(b) [v]β′ , onde [v]β =
 −12
3
 .
21
4a Lista 
1. Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
(a) T : IR2 → IR2;T (x, y) = (x2, y).
(b) T : IR2 → IR2;T (x, y) = (x, x+ 1).
(c) T : IR2 → IR4;T (x, y) = (2y, 3x,−y, x+ y)
(d) T : IR4 → IR3;T (a, b, c, d) = (b, c, d)
2. Considere a aplicação T : IR2 → IR3 definida por T (x, y) = (x + ky, x + k, y). Verifique em que casos T é
linear: k = x, k = 0, k = 1, k = y.
3. Seja T : U → V transformação linear tal que T (u) = 3u e T (v) = u− v. Calcular em função de u e v :
(a) T (u+ v)
(b) T (3v)
(c) T (4u− 5v).
4. Seja T : U → V uma aplicação linear entre espaços vetoriais reais. Mostre que
(a) Se T é transformação linear, então T (0U ) = 0V .(Transformação linear leva vetor nulo em vetor nulo).
(b) T é transformação linear se, e somente se T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), para quaisquer u, v ∈ U e
α, β ∈ IR.
5. Seja T : IR3 → IR2 uma transformação linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e T (1, 0, 0) =
(3, 4).
(a) Determine T (x, y, z).
(b) Determine v ∈ IR3 tal que T (v) = (−3,−2).
(c) Determine v ∈ IR3 tal que T (v) = (0, 0).
6. Encontrar a transformação linear T : IR2 → IR2 que leva um ponto (x, y) em:
(a) Sua reflexão em torno da reta y = −x.
(b) Sua reflexão através da origem.
(c) Sua projeção ortogonal sobre o eixo x.
7. Achar a transformação linear T : IR3 → IR3 que leva o ponto (x, y, z) em sua reflexão através do plano xy.
8. Dadas as transformações lineares T : IRn → IRm
(a) T (x, y) = (x+ y, x, 2y)
(b) T (x, y, z) = (x+ y, y + z).
(c) T (x, y, z, w) = (x− 2y + 3z, x+ z, z, y − z)
22
para cada uma delas, resolva os itens abaixo:
(i) Determinar o núcleo, uma base para este subespaço e a sua dimensão. T é injetora? Justifique.
(ii) Determinar a imagem de T, uma base para este subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justifique.
(iii) Quais dos seguintes vetores (1,−1, 1), (0, 0, 0), (−3, 3, 3) pertencem ao núcleo de T na letra b.
9. Considere T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (x, y, 0). Qual é o núcleo e a imagem da transformação linear?
Neste caso, o que representam estes conjuntos geometricamente? Qual a relação entre a dimensão da imagem,
a dimensão do núcleo e a dimensão do domı́nio da transformação?
10. Se T : V → W é uma transformação linear, mostre que Im(T ) e N(T ) são subespaços vetoriais de W e V
respectivamente.
11. Seja L : IR4 → IR4 definida por L(a, b, c, d) = (a− b, 0, c− d, 0)
(a) O vetor (1, 1, 1,−1) pertence a Ker(L)?
(b) O vetor (3, 0, 1, 0) pertence a Im(L)?
(c) Determine uma base para Ker(L) e dimKer(L).
(d) Determine uma base para Im(L) e dimIm(L).
12. Determine uma transformação linear T : IR3 → IR2 cujo núcleo seja gerado pelos vetores e1 = (1, 0, 0) e
e2 = (0, 1, 0).
13. Determine uma transformação linear T : IR2 → IR3 cuja imagem seja gerada pelos vetores v1 = (1, 1, 1) e
v2 = (0, 1, 1).
14. Seja F : V → IR5 uma transformação linear.
(a) Se F é sobrejetora e dimKer(F ) = 2, qual é a dimV ?
(b) Se F é injetora e sobrejetora, qual é a dim(V )?
15. Sejam V e U espaços vetoriais e T : V → U uma transformação linear. Mostre que:
(a) Se os vetores v1, v2, ..., vn geram V, então os vetores T (v1), T (v2), ..., T (vn) ∈ U geram Im(T ).
(b) Se S = {v1, v2, ..., vn} é L.I., S ⊂ V e T é injetora, então {T (v1), T (v2), ...T (vn)} é L.I. Mostre com um
contra-exemplo que o fato de T ser injetora é essencial para que {T (v1), T (v2), ..., T (vn)} seja L.I.
16. Considere a aplicação T : IR4 → IR dada por T (x, y, z, t) = x+ t.
(a) Mostre que T é transformação linear.
(b) A vetor (2, 1, 2,−2) pertence ao núcleo de T?
(c) Encontre uma base e a dimensão do núcleo de T.
(d) Encontre uma base e a dimensão da imagem de T.
17. Considere os operadores lineares do IR3 definidos por T (x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z, z) e T (x, y, z) =
(x, x− y, 2x+ y − z).
Verifique quais dos operadores lineares acima são isomorfismos e os que forem, determinar o isomorfismo
inverso. Caso negativo ache uma base para N(T ) e Im(T ).
18. Se a matriz de uma transformação linear, T : IR2 → IR3, é [T ]BC =
 3 12 5
1 −1
 , onde B = {(−1, 1), (1, 0)}eC =
{(1, 1,−1), (2, 1, 0), (1, 1, 0)} são as bases de IR2 e IR3 respectivamente.
23
(a) Encontre a expressão de T (x, y) e a matriz da transformação com respeito às bases canônicas de cada
espaço.
(b) Qual a imagem do vetor (2,−3) pela T?
(c) Se T (v) = (2, 4,−2), calcule v.
19. Seja T : IR3 → IR3 um operador linear tal que T (1, 0, 1) = (1, 1, 0), T (0, 1, 0) = (1, 0,−1) e T (0, 1, 1) = (0, 0, 1).
(a) Determine T (x, y, z)
(b) Determine a matriz da transformação com respeito à base canônica de IR3
(c) T é isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.
20. Sejam S : IR2 → IR2 dada por S(x, y) = (y, x) e T : IR2 → IR2 dada por T (x, y) = (−x, y). Geometricamente,
S e T produzem reflexões em relação às retas y = x e x = 0 respectivamente. Determine:
(a) S−1(x, y)
(b) T−1(x, y)
(c) (S ◦ T )(x, y) e interprete geometricamente
(d) (T ◦ S)(x, y) e interprete geometricamente
21. Sejam u1 = (1, 2,−1), u2 = (a, 0, 1) e u3 = (1, b, c) e T um operador linear em IR3 tal que ImT = [u1, u2, u3].
(a) Para que valores de a, b e c o operador é um isomorfismo?
(b) Para que valores de a, b e c o núcleo de T terá dimensão 1?
(c) Para que valores de a, b e c o núcleo de T terá dimensão 2?
(d) A dimensão do núcleo de T pode ser 3?
22. Seja T : IR3 → IR3 um operador linear tal que T (x, y, z) = (x− y, x+ 2y − z, y − z).
(a) Encontre [T ]BC , sendo B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)} e C = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}.
(b) Se [T (v)]C =
 12
−1
, encontre v.
23. Sejam os vetores v1 = (1, 3), v2 = (−1, 4) e a matriz [T ]B =
[
1 3
−2 5
]
, onde B = {v1, v2}.
(a) Determine [T (v1)]B e [T (v2)]B .
(b) Encontre T (v1) e T (v2).
(c) Encontre T (x, y).
24. Determinea transformação linear T : IR2 → IR3 tal que [T ]BC =
 0 2−1 0
−1 3
 , onde B = {(1, 1), (0, 1)} e
C = {(0, 3, 0), (−1, 0, 0), (0, 1, 1)}.
25. Sejam T1 : IR
2 → IR2 e T2 : IR2 → IR3 dadas por T1(x, y) = (3x− y,−3x+ y) e T2(x, y) = (x+ y, x, 2y).
(a) Calcule T2 ◦ T1 : IR2 → IR3
(b) Mostre que T2 ◦ T1 é uma transformação linear.
(c) Calcule [T1]B , [T2]
B
C e [T2 ◦ T1]
B
C , onde B e C são as bases canônicas do IR
2 e IR3, respectivamente.
24
(d) Compare as matrizes [T2]
B
C . [T1]
B
B e [T2 ◦ T1]
B
C . O que você observa?
26. Seja T : IR2 → IR2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u = (2, 1) e triplica o
comprimento do vetor v = (1, 2) sem alterar as direções e nem inverter os sentidos.
(a) Determine T (x, y)
(b) Qual é a matriz do operador T na base {(2, 1), (1, 2)}.
27. Verifique se o vetor v dado é autovetor do correspondente operador linear.
(a) v = (−2, 1), [T ]C =
[
2 2
1 3
]
e C base canônica de IR2.
(b) v = (1, 1, 2), [T ]C =
 1 1 10 2 1
0 2 3
 e C é a base canônica de IR3.
28. Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:
(a) T : IR2 → IR2, T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y)
(b) T : IR2 → IR2, T (x, y) = (2x+ 2y, x+ 3y)
(c) T : IR3 → IR3, T (x, y, z) = (x+ y + z, 2y + z, 2y + 3z)
(d) T : IR3 → IR3, T (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z)
29. Determine o operador linear T : IR2 → IR2 cujos autovalores são λ1 = 3 e λ2 = −2 associados aos autovetores
v1 = (1, 2) e v2 = (−1, 0) respectivamente.
30. Suponha que o polinômio caracteŕıstico do operador linear T seja p(x) = x(x+ 2)2(x− 2)3(x− 3)4. Responda
justificando cada ı́tem
(a) Qual a dimensão do domı́nio de T.
(b) T é inverśıvel?
(c) Quantos auto-espaços tem T?
(d) O que podemos dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de T?
(e) O que podemos dizer sobre as dimensões dos auto-espaços de T, se souber que T é diagonalizável?
(f) Seja {v1, v2, v3} um conjunto L.I. de autovetores de T, todos associados ao mesmo autovalor. O que
podemos dizer sobre este autovalor?
31. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero.
(b) Se T : V →W é uma transformação linear e dim(V ) < dim(W ), então T não pode ser sobrejetora.
(c) Seja T : V → V uma transformação linear . Se dim(v) = n, então uma condição suficiente para que T
seja diagonalizável é que T tenha n autovalores distintos.
32. Sejam T : V → V e S : W →W operadores lineares, onde [T ]B =
 1 2 10 5 2
−1 3 2
 e [S]C =

1 2 3 4
0 −1 3 2
0 0 3 3
0 0 0 2
 ,
para determinadas bases B e C de V e W respectivamente. Procure observar neste exerćıcio as seguintes
propriedades:
(a) Se um operador admite λ = 0 como autovalor, então T não é inverśıvel.
25
(b) Se ao invés das matrizes acima, tivéssemos a sua transposta, os autovalores permaneceriam os mesmos.
(c) Os autovalores de uma transformação liner cuja matriz com respeito a uma base é triangular, os auto-
valores são os elementos da diagonal principal.
33. Seja [T ] um operador linear em IR3 e a matriz de T com respeito a base canônica é dada por [T ]C = 2 0 10 −3 1
0 0 −3
 .
(a) Encontre o polinômio caracteŕıstico de T, os autovalores e autovetores correspondentes.
(b) Ache [T ]B , onde B = {(0, 1, 1), (0,−1, 1), (1, 0, 1)}. O que você observou?
34. Verifique se a transformação linear T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (x, y, x − 3y + 2z) é diagonalizável.
Caso a resposta seja positiva, indique a matriz diagonal de T e a base em relação a qual T é diagonalizável.
35. Suponha que λ1 e λ2 sejam autovalores distintos e diferentes de zero de T : IR
2 → IR2. Mostre que:
(a) Os autovetores v1 e v2 correspondentes são L.I.
(b) T (v1) e T (v2) são L.I.
36. Seja T um operador linear em IR2. Sabendo que T duplica o vetor (1,−1) e triplica o vetor (0, 1) sem alterar
o sentido deles, determine T (x, y). A transformação linear T é diagonalizável? Justifique sua resposta. Se for,
dê a base do IR2 com relação à qual a matriz de T é diagonal e escreva a matriz de T com relação a esta base.
37. Dê exemplos de:
(a) Um operador linear em IR2 que não possui autovalores reais.
(b) Um operador linear em IR3 que satisfaça todas as condições abaixo:
i. T é diagonalizável;
ii. T não é injetora;
iii. T (v) 6= v, para qualquer vetor não nulo;
iv. λ = 2 é autovalor de T ;
v. v0 = (1, 0,−1) é autovetor de T ;
vi. T (v0) 6= v0;
vii. (0, 0, 2) ∈ Im(T ).
38. Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
(a) Se T (v) = λv para algum escalar não-nulo λ, então v é autovetor de T.
(b) Se λ é um autovalor de (λI − [T ]B)X = 0 só tem a solução trivial.
(c) Se v1, v2 e v3 são vetores de auto-espaços distintos, então é imposśıvel escrever v3 como combinação
linear de v1 e v2.
39. Seja T um operador linear sobre um espaço vetorial de dimensão n.
(a) Defina autovalor de T
(b) Se λ é autovalor de T, então 2λ é autovalor de 2T
(c) Se λ é autovalor de T, mostre que λ2 é autovalor de T 2 = T ◦ T.
26
Gabarito 1a Lista 
1. a)Não, b)Não, c)Sim, ordem 4x5, d)Não
2. a)A5×6, b)B3×6, c) C3×4, d) D4×3, e)E3×5
3. a)A4×5, b)a23 = 11, a35 = 3, a43 = −4.
4. A3×2, B2×3, C3×2, D2×3, E3×2
5. c32 = 18, d43 = 23.
6. A =

3 −4 −7 −10
−2 8 −5 −8
−5 −1 15 −6
−8 −4 0 24

7. a)A2 = I, b)A3 = A, c)A31 = A, d)A42 = I
8. x = −1, y = 1
9. a)x = 4, b)x = 12, y = −8, z = −4, c)
x = 2, y = −7, z = −2
x = −2, y = −3, z = 10
10. a)
 22 −6 8−2 4 6
10 0 4
 , b)[ 7 2 4
3 5 7
]
, c)A =
 9 −13 01 2 1
−1 −4 −6
 , d)
 10 −6−14 2
−6 −8

11. a)
[
1 1
1 1
]
,
[
−1 −1
−1 −1
]
b)4 matrizes:
[ √
5 0
0 3
]
,
[
−
√
5 0
0 3
]
,
[ √
5 0
0 −3
]
,
[
−
√
5 0
0 −3
]
c) Não, A =
[
−1 0
0 −1
]
12.
13.
14. a)±1, b)
[
0 1
−1 0
]
e
[
0 −1
1 0
]
15. m = ±1
16. Ortogonais: A, C e D.
Não ortogonais: B.
27
17.
18.
19.
20.
21. A matriz A também é diagonal.
22. A−1 =

a−111 0 · · · 0
0 a−112 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · a−1nn

23.
24. Sim
25.
26. a)F, b)V, c)V, d)V, e)F, f)V, g)V, h)F, i)V
27. a)45, b)P é inverśıvel, c)−9, d)Q é inverśıvel
28. -5
29. a)576,
b)A−1 =

1
5
2
17
8
−31
12
0
1
2
3
8
− 5
12
0 0
1
4
1
6
0 0 0
1
3

,
c)B−1 =

−1
3
0 0 0
−1
4
−1
4
0 0
−7
6
−1
2
−1 0
−25
24
−3
8
−1
2
−1
2

,
28
d)(AB)−1 =

−215
288
− 37
288
− 67
144
−25
72
−23
32
− 5
32
− 3
16
−1
8
−5
6
−1
6
−1
3
−1
6
31
24
5
24
− 1
12
−1
6

,
e)detC = 0 ou detC = 1
16
.
30. detQ = (−2)n
31. a)58, b)58, c)3364 d)A−1 =

25
29
−32
29
−13
29
10
29
7
29
− 2
29
1
29
− 3
29
−157
58
165
58
77
58
−14
29
−73
58
83
58
31
58
− 3
58

,
e)131, f)3.

36 23 35 32
23 25 −2 17
35 −2 95 47
32 17 47 50

32. p(x) = x3 − 2x2 − x+ 1 e A−1 = −1
3
(A2 − 2A− I).
33. a)-123, b)1 + a+ b+ c, c)−c4 + c3 − 16c2 + 8c− 2, d)-5 e)120, f)-120
34. a)x = 0,−1, 1/2, b)x = 40/11, c)x = 3
4
± 1
4
√
33.
35. det(A) = a41a32a23a14.
36.
37. a)A−1 =

29
152
11
152
−1
8
− 21
152
13
152
1
8
27
152
5
132
1
8

,
29
b)A−1 =

cos θ − sin θ 0
sin θ cos θ 0
0 0 1
 ,
c)A−1 =

−1 1 0 0
−1
2
1
2
0
1
2
5
2
−5
2
1 −1
2
−1 2 −1 0

,
d)A−1 =

0 0
1
4
0
0 −1 1
2
0
1
6
5
6
−13
24
0
2
9
16
9
−53
36
1
3

,
38.
39. a)A−1 =

−1
8
3
8
−1
8
−1
4
0
1
4
1
2
−1
4
0

,
b)A−1 =

2
7
1
14
−1
7
3
14
 ,
c)A−1 =

1 0 0 0
−2 1 0 0
1 −2 1 0
0 1 −2 1
 ,
d)A−1 =
1
51
 −5 −28 −6−2 16 1
−2 −1 1

30
40. det(B) = 1 e B−1 =

0 0 −1 0 0 0
0 0 0 0 −1 0
0 0 00 0 −1
1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0

41. a)F, b)F, c)V, d)F, e)F, f)F, g)V, h)V, i)V.
42. Para o item (a) faça o produto matricial AB, onde A =
[
249 12 52 52
]
e B =
400 600 450 650
350 550 500 600
350 600 500 650
450 500 400 700
 . No item (b) basta somar 60% em cada entrada da matriz resul-
tante.
43. a)A =
[
20 15 30
]
.
 50 15 6 70 25500 1 5 20 30
200 8 7 50 40

b) Os elementos de AB representam o valor total de compra e o preço total de transporte
de todos os materiais utilizados na construção de todos os estabelecimentos.
44. Faça os produtos AB e AC, onde A =
[
6 7 5 8
]
, B =

25 15 70
30 25 40
60 10 55
15 30 60
 e C =
[
7, 5 5 4, 5 6, 5
]
45. Cada linha representa o custo total de cada produto e as colunas representam esses custos
totais em cada cidade.
46. A.BT =
 71000 47000 11000097000 29000 147000
114000 655000 176000

47. a)F, b)F, c)F, d)V, e)F, f)F, g)V, h)F, i)V, j)V, k)V, l)F.
31
Gabarito 2a Lista 
1.
2. (a) S = {(0,−2, 3)}
(b) Como a matriz de coeficientes do sistema é não inverśıvel (tem determinante nulo), não
é posśıvel utilizar o método da matriz inversa para resolver o sistema.
3. (a) S = {(2, −1)}.
(b) S = {(3, −1, 2)}.
4. (a) (i) nunca o sistema terá uma única solução; (ii) k 6= 4; (iii) k = 4.
(b) (i) k 6= 1 e k 6= −2; (ii) k = 1; (iii) k = −2.
(c) (i) k 6= 2 e k 6= −3; (ii) k = −3; (iii) k = 2.
(d) (i) k 6= 3; (ii) k = 3; (iii) para nenhum k ∈ IR.
5. (a) k = 1 (b) k = 2.
6. (a) a 6= 2
5
e b ∈ IR; (b) a = 2
5
e b = 0; (c) a = 2
5
e b 6= 0.
7. (a) k = −6 (b) k = 13.
8. S = {λ ∈ IR; λ 6= 0, λ 6= −1, e λ 6= 1}.
9. (a) detA = −1 6= 0 logo, existe A−1 e A−1 =
 0 1 −12 −2 −1
−1 1 1
 .
(b) S1 = {(−1,−5, 4)}; S2 = {(−1,−5,−3)}; S3 = {(2,−8, 4)}.
10. (a) −5a+ 2b+ c = 0; (b) 2a− b+ c = 0; ; (c) para quaisquer a, b e c em IR;
(d) a ∈ IR\{1, −2}; (e) −a+ b+ 2c = 0; ; (f) y + z = 0 e x+ 2y − t = 0.
11. (a) Se ad − bc 6= 0, então a matriz dos coeficientes do sistema é inverśıvel, logo terá uma
única solução dada por
[
x
y
]
= A−1
[
e
f
]
= 1
ad−bc
[
d −b
−c a
] [
e
f
]
=

de−bf
ad−bc
af−ce
ad−bc
 .
12. (a)
{
2(1) + 3(−1) − (−1) = 0
1 − 4(−1) + 5(−1) = 0
(b)
{
2(−2) + 3(2) − (2) = 0
−2 − 4(2) + 5(2) = 0
(c) x = −1, y = 1 e z = 1, logo
{
2(−1) + 3(1) − (1) = 0
−1 − 4(1) + 5(1) = 0
32
(d) 3x = −3, 3y = 3 e 3z = 3, logo
{
2(−3) + 3(3) − (3) = 0
−3 − 4(3) + 5(3) = 0
(e) Porque em um sistema homogêneo se (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) são soluções então,
k1(x1, y1, z1) + k2(x2, y2, z2)
também é solução para todo k1, k2 ∈ IR.
13. (a) S = {(0, 0, 0)} o sistema é posśıvel e determinado;
(b) S = {(2, 1, 2)} o sistema é posśıvel e determinado;
(c) sistema imposśıvel, não tem solução;
(d) S = {(−1− 4z, 1
3
+ 2z, z); z ∈ IR} o sistema é posśıvel e indeterminado;
(e) S = {(0,−w,−w, 0, w); w ∈ IR} o sistema é posśıvel e indeterminado;
(f) S = {(12 + 26z, −14− 33z, z, 3 + 10z); z ∈ IR} o sistema é posśıvel e indeterminado;
(g) S = {( 7
16
,− 1
16
, 17
8
)} o sistema é posśıvel e determinado;
(h) sistema imposśıvel, não tem solução;
(i) S = {(0, 0, 0)} o sistema é posśıvel e determinado;
(j) sistema imposśıvel, não tem solução;
(k) S = {(4
3
,−2
2
, 2,−8
3
)} o sistema é posśıvel e determinado;
(l) sistema imposśıvel, não tem solução;
(m) S = {(2,−1,−2)} o sistema é posśıvel e determinado;
(n) S = {(−4, 2, 10)} o sistema é posśıvel e determinado;
(o) S = {(5, 1)} o sistema é posśıvel e determinado;
(p) S = {(−20, y, −32 + 4y); y ∈ IR} o sistema é posśıvel e indeterminado;
(q) sistema imposśıvel, não tem solução;
(r) S = {(1, 2, 2− 2)} o sistema é posśıvel e determinado;
(s) S = {(3− 4y + 5z, y, z, 7− 9y + 13z); y, z ∈ IR} o sistema é posśıvel e indeterminado;
(t) S = {(−209
33
t,−53
11
t,−79
33
t, t); t ∈ IR} o sistema é posśıvel e indeterminado;
(u) sistema imposśıvel, não tem solução;
(v) S = {(−z + 2t, 1 + 2z z, t); z, t ∈ IR} o sistema é posśıvel e indeterminado;
(x) S = {(1−3y−w, y, 2+w, 3+2w, w); y, w ∈ IR} o sistema é posśıvel e indeterminado.
14. (a) k = −6; (b) k = 2; (c) k = −1.
15. (a) (V ); (b) (F ); (c) (V ); (d) (V ); (e) (V ); (f) (F ).
16. Devem ser processadas 20T de cada tipo de combust́ıvel.
17. 1, 5T de plástico normal e 2, 5T de plástico especial.
18. Devem ser utilizadas 3, 2g de A, 4, 2g de B e 2g de C.
19.
33
Gabarito 3a Lista
1. (a)a = −2, b = −9, (b)a = 4/5, b = −2, (c)a = −6, b = 8.
2. (a)a = 7, b = −3, c = −2, (b)a = 9, b = −6, c = −12, (c)a = 1, b = 1, c = 6.
3. c1 = 2, c2 = −1, c3 = 2.
4. c1 = c2 = c3 = 0.
5. Nenhum dos dois ı́tens é espaço vetorial com estas operações.
6. (a) é subespaço vetorial, mas (b) não é subespaço vetorial.
7. d = 0 e a, b, c quaisquer números reais.
8.
9. (a) w = 3u− v
(b) Não
(c) k = 12
(d) c = 16a+ 10b
10. v1 = 1u+
11
3 v +
16
3 w; v2 = 3u−
11
3 v −
10
3 ; v3 = 0u+ 0v + 0w.
11. (x, y, z) = x(1, 1, 1) + −2x+y+z2 (0, 1, 1) +
y−z
2 (0, 1,−1).
12. c = 2a3 −
4b
3 .
13. k = −8.
14. −a+ 3b+ 5c = 0.
15.
16. Não.
17.
18. (a) {(2, 1, 0), (0, 0, 1)}
(b) {(2, 1,−1)}
(c) {(2, 1, 0), (0, 0, 1)}
A resposta não é única.
19. {(2, 5, 0)}.
20.
21.
1
34
22. (a) Sim;
(b) Não;
(c) {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 2, 0)}.
23. s = {(x, y, z, t) ∈ IR4;−17x+ 9y + 7z = 0}.
24.
25. (a) L.I. se k 6= 8 e L.D. se k = 8.
(b) Os vetores são sempre L.D.
26. L.I.
27. (a)
(b) L.D.
(c) L.I.
(d) L.D.
(e) L.D.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35. (a) dim(W1) = 3 e B = {(1, 0, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 1, 0, 0)}
(b) dim(W2) = 1 e B = {(1, 1)}
(c) dim(W3) = 2 e B = {(1, 2, 3), (0, 0, 2)}
(d) dim(W4) = 2 e B = {(1, 1, 1, 0), (−1,−1, 0, 1)}.
36. v2 = (0, 1). Basta tomar qualquer vetor que não seja múltiplo de v1.
37. (a) Não é base.
(b) É base. Podemos escrever (x, y, z) = −y(2, 1,−1) + (2y − x)(−1, 0, 1) + (x− y + z)(0, 0, 1).
(c) É base. Podemos escrever (x, y, z) = 116 (x + 4y − 2z)(2, 3,−1) +
1
16 (−3x + 4y + 6z)(−2, 1, 1) +
1
4 (x+ 2z)(2, 0, 1).
38.
39. (a)[(6, 2)]B =
[
2
1
]
, (b)[(6, 2)]B =
[
−2/3
10/3
]
, (c)[(6, 2)]B =
[
6
2
]
40. (a)[(2,−3, 4)]B =
 −21
4
 , (b)[(2,−3, 4)]B =
 −311
6
 , (c)[(2,−3, 4)]B =
 0−1
1

41. B = {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 3), (0, 0, 0, 1)}.
42. (i) B = {(1,−2, 5, 3), (2, 3, 1,−4)} (ii) {(1,−2, 5, 3), (2, 3, 1,−4), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
(iii) Nenhum subconjunto da base canônica irá gerar W.
2
35
43. B = {(−1, 3, 5, 0), (−2, 0, 7, 3)}.
44. (a) BU = {(0, 1, 0), (0, 0, 1)}, BV = {(1, 0, 0), (0, 2, 1)}, BU∩V = {(0, 2, 1)}.
(b) BU = {(1,−1, 4)}, BV = {(1, 0, 0), (1, 0, 1)}, BU∩V = ∅.
45. BU = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 2, 1)}, BW = {(1, 2, 3, 0), (0, 1, 3, 1)},
BU+W = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 2, 1), (0, 0,−1,−2), (0, 0, 0,−2)}
46. [(1, 0, 0)]β =
 1/3−1/3
1/3
 .
47. (a)[(4, 5, 3)]C =
 45
3
 , (b)[(4, 5, 3)]C =
 31
0
 , (c)[(4, 5, 3)]C =
 41/11−10/11
3/11
 .
48.
49. [u]γ =
 b− cb
c+ a− 2b
 .
50. α = {(−3, 5), (1,−1)} e u = (−1, 3).
51. [I]βγ =
 −2 −9 6−1 −4 3
1 3 −2
 , [I]γβ =
 1 0 3−1 2 0
−1 3 1
 , [u]γ =
 103
8
 .
52. (a)[v]β =
 2−3
−1
 , (b)[v]β′ =
 11
−4
 .
3
36
Gabarito 4a Lista 
1. Os ı́tens (a) e (b) não são transformações lineares e os ı́tens (c) e (d) são transformações lineares.
2. Somente para k = 0 temos que T é transformação linear.
3. (a) 4u− v
(b) 3u− 3v
(c) 7u+ 5v
4.
5. (a) T (x, y, z) = (3x− y − z, 4x− y − z)
(b) v é qualquer vetor pertencente ao conjunto {(1, 6− c, c); c ∈ IR}
(c) v é qualquer vetor pertencente ao subespaço [(0,−1, 1)]
6. (a) T (x, y) = (−y,−x)
(b) T (x, y) = (−x,−y)
(c) T (x, y) = (x, 0)
7. T (x, y, z) = (x, y,−z).
8. (a) N(T ) = {(0, 0)} e Im(T ) = [(1, 1, 0), (1, 0, 2)]
(b) N(T ) = {(−y, y,−y); y ∈ IR} e Im(T ) = {[(1, 0), (0, 1)]}. Temos (0, 0, 0), (1,−1, 1) ∈ N(T ).
9. N(T ) = [(0, 0, 1)]. Geometricamenterepresenta o eixo z. Im(T ) = {(x, y, z) ∈ IR3; z = 0}. Geometrica-
mente é o plano xy.
10.
11. (a) Não
(b) Sim
(c) BN(T ) = {t3 + t2, t+ 1}
(d) BIm(T ) = {t3, t}
12. T (x, y, z) = (0, z)
13. T (x, y) = (x, x+ y, x+ y)
14. (a) dimV = 7
(b) dimV = 5
15.
16. (a)
(b) Sim
(c) N(T ) =
{[
a11 a12
a21 −a11
]}
(d) BIm(T ) = {1}.
1
37
17. Ambos são isomorfismos. As inversas são T−1(x, y, z) = (x+ 3y + 14z, y + 4z, z) e T−1(x, y, z) = (x, x−
y, 3x− y − z)
18. (a) T (x, y) = (10x+ 18y, 5x+ 11y,−x− 4y) e [T ] =
 10 185 11
−1 −4

(b) (−34,−23, 10)
(c) (2, 4,−2) /∈ Im(T )
19. (a) T (x, y, z) = (2x+ y − z, x,−2x− y + 2z)
(b) [T ] =
 2 1 −11 0 0
−2 −1 2

(c) Sim. T−1(x, y, z) = (y, 2x− 2y + z, x+ y)
20. (a) S−1 = S
(b) T−1 = T
(c) (S ◦ T )(x, y) = (y,−x). Rotação de 90o no sentido horário.
(d) (T ◦ S)(x, y) = (−y, x). Rotação de 90o no sentido anti-horário.
21. (a) T é isomorfismo quando −2ac− ab− b+ 2 6= 0.
(b) Quando −2ac− ab− b+ 2 = 0.
(c) Não existem a, b, c ∈ IR.
(d) Não.
22. (a) [T ]BC =
 1 −1 11 1 0
−2 0 −2

(b) v =
(
1
2 ,−
1
2 ,−
5
2
)
23. (a) [T (v1)]B =
[
1
−2
]
; [T (v2)]B =
[
3
5
]
(b) T (v1) = (3,−1), T (v2) = (−2, 29)
(c) T (x, y) =
(
18x+y
7 ,−13x+ 4y
)
24. T (x, y) = (x,−10x+ 9y,−4x+ 3y)
25.
26. (a) T (x, y) =
(
5x+2y
3 ,
−2x+10y
3
)
(b) [T ]BB =
[
2 0
0 3
]
27. (a) Sim
(b) Sim
28. (a) λ1 = 2, v1 = (2, 1);λ2 = 3, v2 = (1, 1)
(b) λ1 = 4, v1 = (1, 1);λ2 = 1, v2 = (−2, 1)
(c) λ1 = 1, v1 = (1, 0, 0), v2 = (0,−1, 1);λ2 = 4, v3 = (1, 1, 2)
(d) λ1 = −1, v1 = (0,−3, 1);λ2 = 1, v2 = (−1, 1, 1);λ3 = 2, v3 = (0, 0, 1)
29. T (x, y) =
(−4x+5y
2 , 3y
)
30. (a) 10
2
38
(b) Não
(c) 4
(d) Cada autoespaço associado ao autovalor λ1 tem dimensão no máximo o grau do monômio (x− λ1)
(e) Cada autoespaço associado ao autovalor λ1 tem dimensão igual ao grau do monômio (x− λ1)
(f) Esse autovalor tem multiplicidade geométrica maior ou igual a 3
31. (a) F (b) V (c) V
32.
33. pT (x) = (x− 2)(x+ 3)2;
λ1 = −3, v1 = (0, 1, 0);
λ2 = 2, v3 = (1, 0, 0);
34. T é diagonalizável. Uma base que diagonaliza T é B = {(0, 1, 3), (1, 0, 0), (0, 0, 1)}
35.
36. T (x, y) = (2x, x+ 3y) é diagonalizável e uma base é formada pelos vetores citados no exerćıcio.
37. (a)T (x, y) = (−2y, 2x) (b)T (x, y, z) = (3x, 0,−x+ 2z)
38. (a)F, (b)F, (c)V
3
39
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