matemática2-Troncos-11-06-2021-

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Matemática 
Troncos 
Objetivos 
Aprender a calcular o volume e a reconhecer as características do tronco da pirâmide e do cone. Além disso, 
estabelecer relações entre as áreas, lados, alturas e volumes. 
Se liga 
Para essa aula, é importante ter um conhecimento sobre áreas, pirâmides – até principais relações – e cones 
– até a parte de cone equilátero – (caso não seja direcionado, pesquise por "Áreas", “Pirâmides” e “Cones”, 
respectivamente, na biblioteca). 
Curiosidade 
Você sabia que, em geometria, chamamos de tronco a uma "fatia" seccionada de um sólido geométrico por 
um plano que não intersecta as bases. O tronco não é apenas relacionado ao cone e à pirâmide; o que 
acontece no cilindro ou no prisma é que o plano que os corta num tronco não pode ser paralelo à base, caso 
contrário, ficamos com outros dois prismas ou outros dois cilindros. O mesmo não acontece com o cone e a 
pirâmide. 
 
Teoria 
 
Tronco de pirâmide 
Considere uma pirâmide e uma secção transversal paralela à base. Denominamos tronco de pirâmide a parte 
da pirâmide limitada pela base e pela secção transversal. 
 
Elementos: 
 
 
 
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2019/aulas/areas-geometria-plana/videos/area-do-retangulo-e-do-paralelogramo/
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2019/aulas/piramidess/videos/principais-relacoes./?discipline=matematica&subject=geometria&topic=geometria-espacial
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2019/aulas/cones-/videos/definicao-e-elementos-0/?discipline=matematica&subject=geometria&topic=geometria-espacial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Base_(geometria)&action=edit&redlink=1
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
H1: altura total da pirâmide 
H2: altura da pirâmide menor 
A1: área da base maior do tronco 
A2: área da base menor do tronco 
L1: aresta da base 
L2: aresta da secção transversal 
 
Observando a figura, podemos estabelecer as seguintes relações (essa relação também vale para cone): 
A1
A2
= (
H1
H2
)
2
= (
L1
L2
)
2
 e 
V1
V2
= (
H1
H2
)
3
= (
L1
L2
)
3
 
 
Apótema do tronco de uma pirâmide: 
 
 
 
• As faces laterais do tronco de pirâmide são trapézios isósceles congruentes. 
• O apótema do tronco é a altura do trapézio. 
 
Volume do tronco de pirâmide 
O volume de tronco de pirâmide é a diferença entre o volume original e o volume da pirâmide determinada 
pela secção transversal. Pode ser calculado pela expressão: 
V =
H1
3
(A1 + A2 + √A1 ∙ A2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Tronco de cone circular reto 
Considere um cone circular e uma secção transversal qualquer. Denominamos tronco de cone a parte do cone 
limitada pela base e por essa secção transversal. 
 
 
 
g: geratriz 
h: altura 
R: Raio maior 
r: raio menor 
Volume do tronco de cone 
Sendo um tronco de cone de raios R e r e altura h, o volume desse tronco pode ser calculado pela expressão: 
V =
πh
3
(R2 + r2 + Rr) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de fixação 
 
1. Calcule o volume do tronco de pirâmide, de bases quadradas, cuja altura mede 9 m e os lados medem 
6 m e 5 m. 
a) 200 m³. 
b) 300 m³. 
c) 273 m³. 
d) 260 m³. 
 
 
2. Qual o valor da área lateral do tronco de uma pirâmide regular, de base quadrangular, cujas arestas das 
bases medem 6 m e 16 m e o apótema mede 13 m? 
a) 864 m². 
b) 572 m². 
c) 346 m². 
d) 583 m². 
 
 
3. Uma pirâmide de 6 cm de altura tem base de 144 cm² de área. A área da secção plana paralela à base 
e distante 5 cm do vértice é: 
a) 100/3; 
b) 100; 
c) 120; 
d) 24. 
 
 
4. Calcule o volume de um tronco de cone de 9 cm de altura, sabendo que o raio da base menor mede 7 
cm e o raio da base maior mede 12 cm. (Dados: adote π = 3.) 
a) 3424 cm³. 
b) 5240 cm3. 
c) 4500 cm³. 
d) 2493 cm³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
5. Considere um cone de altura 4 cm e um tronco deste cone de altura 3 cm. Sabendo-se que este tronco 
tem volume 21 cm³, qual o volume do cone? 
a) 
53
3
. 
b) 
64
3
. 
c) 21. 
d) 
33
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de vestibulares 
 
 
 
 
1. Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén 
Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide 
de base quadrada. 
A quantidade de cada tipo de figura plana que forma esse tronco de pirâmide é: 
a) 2 quadrados e 4 retângulos; 
b) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles; 
c) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles; 
d) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos; 
e) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos. 
 
 
2. Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura: 
 
Nela, identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são 
a) um tronco de cone e um cilindro. 
b) um cone e um cilindro. 
c) um tronco de pirâmide e um cilindro. 
d) dois troncos de cone. 
e) dois cilindros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
3. Considerando um lustre de formato cônico com altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do chão 
(H) em que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma de círculo com área de 25π m², 
é de 
 
a) 12 m. 
b) 10 m. 
c) 8 m. 
d) 6 m. 
e) 5 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
 
4. No filme “Enrolados”, os estúdios Disney recriaram a torre onde vivia a famosa personagem dos contos 
de fadas Rapunzel (figura 1). Nesta recriação, podemos aproximar o sólido onde se apoiava a sua 
morada por um cilindro circular reto conectado a um tronco de cone, com as dimensões indicadas na 
figura 2, feita fora de escala. 
 
 
Para que o príncipe subisse até a torre, Rapunzel lançava suas longas tranças para baixo. Nesta 
operação, suponha que uma das extremidades da trança ficasse no ponto A e a outra no ponto C, onde 
se encontrava o rapaz. Considerando que a trança ficasse esticada e perfeitamente sobreposta à linha 
poligonal formada pelos segmentos ▁AB e ▁BC, destacada em linha grossa na figura 2, o comprimento 
da trança de Rapunzel, em metros, é igual a 
a) 35. 
b) 38. 
c) 40. 
d) 42. 
e) 45. 
 
 
5. Um salame tem a forma de um cilindro reto com 40 cm de altura e pesa 1 kg. Tentando servir um 
freguês que queria meio quilo de salame, João cortou um pedaço, obliquamente, de modo que a altura 
do pedaço varia entre 22 cm e 26 cm. O peso do pedaço é de: 
a) 600 g; 
b) 610 g; 
c) 620 g; 
d) 630 g; 
e) 640 g. 
 
 
 
 
 
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Matemática 
6. Considere um balde para colocação de gelo no formato de um tronco de cone circular reto, 
apresentando as medidas indicadas na figura a seguir. 
 
Considerando que esse balde esteja com 25% de sua capacidade ocupada com gelo derretido (água) 
e, consequentemente, com um volume de água igual a 0,097π litros, qual é o valor (em cm) do raio da 
base maior R? 
a) 8,5. 
b) 9. 
c) 8. 
d) 7,5. 
e) 6. 
 
 
7. Uma caixa de um perfume tem o formato de um tronco de pirâmide quadrangular regular fechado. Para 
embrulhá-la, Pedro tirou as seguintes medidas: aresta lateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e 2 cm. A 
quantidade total de papel para embrulhar esta caixa, supondo que não haja desperdício nem 
sobreposição de material, foi de: 
a) 88 cm²; 
b) 168 cm²; 
c) 8m cm ²; 
d) 68 cm²; 
e) 148 cm². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
8. Um reservatório de água tem formato de um cilindro circular reto de 3 m de altura e base com 1,2 m deraio, seguido de um tronco de cone reto, cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 1,2 m e 
0,6 m, respectivamente, e altura 1m, como representado na figura a seguir. 
 
Nesse reservatório, há um vazamento que desperdiça 
1
3
 do seu volume por semana. Considerando a 
aproximação π ≅ 3 e sabendo que 1 dm3 = 1L , esse vazamento é de: 
a) 4.320 litros; 
b) 15,48 litros; 
c) 15.480 litros; 
d) 12.960 litros; 
e) 5.160 litros. 
 
 
 
 
9. O volume do sólido gerado pela rotação completa da figura a seguir, em torno do eixo e é, em cm³: 
 
a) 38π; 
b) 54π; 
c) 92π; 
d) 112π; 
e) 128π. 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
10. Considere o tronco de uma pirâmide regular de bases quadradas representado na figura a seguir. 
 
Se as diagonais das bases medem 10√2cm e 4√2cm, a área total desse tronco, em centímetros 
quadrados, é 
a) 168. 
b) 186. 
c) 258. 
d) 266. 
e) 284. 
 
 
 
 
 
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https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-troncos
 
 
 
 
 
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Matemática 
Gabaritos 
 
 
Exercícios de fixação 
 
1. C 
A fórmula para calcular o volume da pirâmide é 
V =
h
3
(A1 + A2 + √A1 ∙ A2) 
 
Também temos as seguintes informações: h = 9, A1 = 62 = 36 (área da base maior) e A2 = 52 = 25 (área 
da base menor). Substituindo, temos 
V =
9
3
(36 + 25 + √36 ∙ 25) 
V = 3(61 + √36 ∙ √25) 
V = 3(61 + 6 ∙ 5) 
V = 3(61 + 30) 
V = 3(91) = 273 m³ 
 
2. B 
A área lateral de uma pirâmide de base quadrangular é formada por trapézios, logo 
AL = 4 ∙ Atrapézio 
AL = 4 ∙
(B + b)h
2
= 2 ∙ (16 + 6) ∙ 13 = 2 ∙ (22) ∙ 13 = 572 m² 
 
3. B 
As pirâmides grande e pequena são semelhantes. A grande possui altura h = 6 e área da base Sb = 144. 
Sabemos que a pirâmide pequena tem h = 5 e queremos calcular a área da base. Assim, por semelhança, 
temos: 
(
5
6
)
2
=
x
144
 
x = 100 
 
4. D 
Calculamos o volume do tronco através da fórmula 
V =
πh
3
(R2 + r2 + Rr) 
 
Substituindo os valores dados, temos: 
V =
π ∙ 9
3
(122 + 72 + 12 ∙ 7) 
V = 3π(144 + 49 + 84) 
V = 3π(277) 
V = 831π cm³ 
 
Tomando π = 3, temos 
V = 831 ∙ 3 cm³ 
V = 2493 cm³ 
 
 
 
 
 
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Matemática 
5. B 
Tomemos como H = 4 cm a altura do cone e H2 = 3 cm como altura do tronco do cone. Sabemos que 
H − H1 = H1 → 4 − 3 = H1 → H1 = 1, onde H1 é a altura do cone menor. Sabendo que V1 =
volume do cone menor, V2 = volume do tronco e Vt = volume total = V1 + V2, temos a seguinte relação: 
V1
Vt
= (
H1
H
)
3
→
V1
21 + V1
= (
1
4
)
3
→ V1 =
21 + V1
64
→ 64V1 = 21 + V1 → 63V1 = 21 → V1 =
21
63
=
1
3
 
 
Como 
Vt = V1 + V2 → Vt =
1
3
+ 21 → Vt =
1 + 63
3
=
64
3
 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. C 
No tronco de uma pirâmide de base quadrangular, teremos 2 faces quadradas (base superior e base 
inferior) e 4 faces trapezoidais (as faces laterais). 
 
2. D 
Podemos ver que o sólido da figura é constituído por dois troncos de cone. 
 
3. E 
Área da base do maior cone será πR2 = 25π → R2 = 25 → R = 5 
Isso conclui-se que o raio do chão é 5 
 
Portanto: 
r
R
=
h
H
→
0,25
5
=
0,25
H
→ H = 5 m 
 
4. A 
Considerando que a medida da trança será dada por: AB + BC = x + 30, temos: 
 
x2 = 32 + 42 → x = 5 m 
 
Logo o tamanho da trança de Rapunzel será dado por: 
5 + 30 = 35 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
5. A 
Como a altura varia entre 22 cm e 26 cm, usaremos a altura média entre esses dois valores, logo: 
22+26
2
= 24. 
 
Como a área da base será a mesma, temos que um cilindro com 40 cm de altura pesa 1 kg, queremos 
saber quando pesará um com 24 cm. 
40 cm ------- 1 kg 
24 cm ------- x 
x = 0,6 kg = 600 g 
 
6. C 
Como 0,097π litros correspondem a 25% =
25
100
=
1
4
 da capacidade do balde, temos que a capacidade do 
balde é igual a 4 ∙ 0,097π L = 0,388π L. 
 
Passando de litros para cm³, temos que 
0,388L = 0,388 dm3 = 388 cm³ 
 
Portanto, sabendo que a altura do balde mede 12 cm e o raio da base menor mede 3 cm, vem: 
388π =
12π
3
(R2 + 3R + 32) 
388 = 4(R2 + 3R + 9) 
388
4
= R2 + 3R + 9 
97 = R2 + 3R + 9 
R2 + 3R + 9 − 97 = 0 
R2 + 3R − 88 = 0 
(R + 11)(R − 8) = 0 
R + 11 = 0 → R = −11 (não podemos usar) 
 
Ou 
R − 8 = 0 → R = 8 
 
Resolvendo essa equação do 2º grau, achamos que R = 8 cm. 
 
7. E 
Considere a figura. 
 
Sendo M o ponto médio de AD, e M’ o ponto médio de BC, segue que A′B = 4 − 1 = 3 cm 
 
Logo, como AB = 5 cm, vem AA′̅̅ ̅̅ ̅ = 4 cm. Portanto a quantidade total de papel utilizada para embrulhar a 
caixa, supondo que não haja desperdício e nem sobreposição de material, é igual a: 
Qt = AD̅̅ ̅̅
2 + BC̅̅̅̅ 2 + 4 ∙
(AD̅̅ ̅̅ + BC̅̅̅̅ ) ∙ AA′̅̅ ̅̅ ̅
2
= 22 + 82 + 4 ∙
(2 + 8) ∙ 4
2
= 4 + 64 + 8 ∙ 10 = 148 cm² 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
8. E 
O volume do reservatório, em decímetros cúbicos, é dado por: 
π ⋅ 122 ⋅ 30 +
π⋅10
3
(122 + 12 ⋅ 6 + 62) ≅ 12960 + 2520 ≅ 15480 
 
Assim, tem-se que a resposta é 
1
3
⋅ 15480 = 5.160 L 
 
9. E 
Esse é o volume do tronco com um volume cilíndrico "oco" no meio. 
A fórmula do volume do tronco é: 
V =
πh
3
(R2 + r2 + Rr) 
 
Neste caso: 
h = 6 cm (altura do trapézio) 
R = 3 + 3 = 6 cm (distância entre o eixo e o polígono + base maior) 
r = 3 + 2 = 5 cm (distância entre o eixo e o polígono + base menor) 
 
Vt = 
π6
3
(62 + 52 + 6 ∙ 5) = 2π(36 + 25 + 30) = 2π ∙ 91 = 182π 
 
O volume "oco" é o de um cilindro: 
Vc = π ∙ s
2 ∙ h 
 
h = 6 cm (altura do trapézio) 
s = 3 cm (distância do eixo ao polígono) 
Vc = π ∙ 3
2 ∙ 6 = 54π 
 
O volume pedido é o volume do tronco menos a parte "oca": 
V = 182π − 54π = 128π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
10. E 
Sejam: 
L: lado da base maior 
l: lado da base menor 
a: apótema do tronco 
Como as bases são quadradas, e sabemos que quadrados tem diagonal L√2, podemos calcular L e l: 
L√2 = 10√2 
L = 10 cm 
 
 E 
l√2 = 4√2 
l = 4 cm 
 
Sejam O e O' os centros das bases menor e maior 
 
Seja OP a base menor do trapézio → OP =
l
2
=
4
2
 → OP = 2 
 
Seja O'Q a base maior do trapézio → O'Q = 
10
2
 → O'Q = 5 
 
Seja H o pé da perpendicular de P sobre O'H = OP → O'H = 2 
 
Trace PH formando o triângulo retângulo PHQ 
 
HQ = O′Q − O′H → HQ = 5 − 2 → HQ = 3 é o cateto menor do triângulo retângulo a é a hipotenusa 
do triângulo: cos 60° =
3
a
 →
1
2
 =
3
a
 → a = 6 
 
área total → área da base maior + área da base menor + 4 × área do trapézio 
St = 100 + 16 + 4 [
(10 + 4)6
2
] = 116 + 168 = 284 cm²