Aula 35 Geometria Espacial (teoria e questões)

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Aula 35 – Geometria 
Espacial (teoria e 
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Sumário 
SUMÁRIO ...........................................................................................................................................................2 
GEOMETRIA ESPACIAL ....................................................................................................................................... 3 
POLIEDROS ........................................................................................................................................................ 3 
Paralelepípedo ................................................................................................................................................ 3 
Cubo ............................................................................................................................................................... 7 
Cilindro ........................................................................................................................................................... 9 
Cone ............................................................................................................................................................. 13 
Pirâmide........................................................................................................................................................ 16 
Prisma........................................................................................................................................................... 19 
Esfera............................................................................................................................................................ 21 
QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ................................................................................................. 24 
LISTA DE QUESTÕES DA AULA ........................................................................................................................ 61 
GABARITO ....................................................................................................................................................... 77 
RESUMO DIRECIONADO .................................................................................................................................. 78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Geometria Espacial 
 
Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima. 
É com muita alegria que inicio mais essa aula. 
Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro: 
 
Geometria Espacial 
 
Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo: 
 
POLIEDROS 
A geometria espacial estuda as figuras geométricas em três dimensões (altura, largura e profundidade). 
Em especial, você deve conhecer os poliedros, que são aquelas figuras espaciais formadas por várias faces, cada 
uma delas sendo um polígono como os que estudamos acima. Vamos passar rapidamente pelas principais 
figuras espaciais, destacando seus principais elementos constitutivos, além de áreas e volumes que podem ser 
pedidos em sua prova. 
 
Paralelepípedo 
No desenho abaixo temos um paralelepípedo de altura H, largura L e comprimento C: 
 
Repare que o paralelepípedo é uma figura espacial que possui todos os ângulos entre os segmentos de 
retas que o formam iguais a 90º. Estes segmentos de retas são denominados arestas. Aqui temos 12 arestas ao 
todo. Essas arestas se unem em “cantos” que denominamos de vértices. Esta figura acima possui exatamente 
8 vértices. 
H 
L 
C 
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Chamamos de faces deste paralelepípedo a região compreendida entre quatro arestas, formando um 
plano. Repare que este paralelepípedo possui, ao todo, 6 faces. Existe uma relação, chamada relação de Euler, 
que diz que, para qualquer poliedro convexo: 
Vértices + Faces = Arestas + 2 
Neste paralelepípedo, temos: 
8 + 6 = 12 + 2 
Pratique esta expressão comigo na próxima questão: 
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) A alternativa que apresenta o número total de faces, vértices e arestas de 
um tetraedro é: 
a) 4 faces triangulares, 5 vértices e 6 arestas 
b) 5 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas 
c) 4 faces triangulares, 4 vértices e 7 arestas 
d) 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas 
e) 4 faces triangulares, 4 vértices e 5 arestas 
 RESOLUÇÃO: 
A figura abaixo é um tetraedro (figura formada por 4 faces apenas): 
 
Temos 4 vértices A, B, C e V. Também sabemos que temos 4 faces. O número de arestas pode ser contado ou, 
então, obtido pela relação de Euler: 
V + F = A + 2 
4 + 4 = A + 2 
A = 6 arestas 
Resposta: D 
 
Chamamos de volume a quantidade de espaço ocupada por uma figura tridimensional como esta. O 
volume de um paralelepípedo, e de várias outras figuras que analisaremos, é dado pela multiplicação entre a 
área da base (Ab) e a altura (H): 
Volume = Ab x H 
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A base deste paralelepípedo é aquela face perpendicular à altura. Neste caso, tanto a face superior quanto 
a face inferior poderiam ser consideradas “bases”. Repare que esta base é um retângulo com dimensões C e L. 
Portanto, a área da base é simplesmente a área do retângulo: Ab = C x L 
Assim, o volume do paralelepípedo é simplesmente a multiplicação das suas três dimensões: 
V = C x L x H 
No cálculo do volume, lembre-se sempre que todas as dimensões devem estar na mesma unidade de 
comprimento. Isto é, se temos C = 1m, L = 10cm e H = 0,2m, devemos converter a largura para L = 0,1m para 
depois efetuar a multiplicação. O resultado terá a unidade m3 (metro cúbico). 
Veja ainda que podemos calcular facilmente a área da superfície deste paralelepípedo. Ela nada mais é 
que a soma das áreas das faces. Todas as faces são retangulares, entretanto as duas faces das extremidades 
possuem área igual a L x H, outras duas faces possuem área igual a C x H, e outras duas possuem área igual a C 
x L. Se um exercício pedisse “qual a área de papel de presente que precisamos para embrulhar uma caixa de 
sapatos com dimensões C, H e L”, bastaria calcular esta área superficial. 
Vamos praticar um pouco? 
VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) Em um reservatório com a forma de paralelepípedo reto 
retângulo, com 2,5 m de comprimento e 2 m de largura, inicialmente vazio, foram despejados 4 m³ de água, e 
o nível da água nesse reservatório atingiu uma altura de x metros, conforme mostra a figura. 
 
Sabe-se que para enchê-lo completamente, sem transbordar, é necessário adicionar mais 3,5 m³ de água. 
Nessas condições, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, indicada por h na figura, é, em 
metros, igual a 
(A) 1,25. 
(B) 1,5. 
(C) 1,75. 
(D) 2,0. 
(E) 2,5. 
RESOLUÇÃO: 
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 Veja que o volume total do reservatório é de 4 + 3,5 = 7,5m3. Este volume corresponde à multiplicação das 
dimensões, ou seja, 
Volume = comprimento x largura x altura 
7,5 = 2,5 x 2 x h 
3 = 2 x hh = 1,5m 
Resposta: B 
 
CESPE - CAGE/RS - 2018) O preço do litro de determinado produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um 
recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam × 125 cm × 0,08 
hm, então o preço que se pagará para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a 
A R$ 3,84. 
B R$ 38,40. 
C R$ 384,00. 
D R$ 3.840,00. 
E R$ 38.400,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos colocar todas as medidas na mesma unidade. Veja que: 
1,2 dam = 12m = 120dm = 1200 cm 
 
0,08hm = 0,8dam = 8m = 80dm = 800cm 
 
 Assim, o volume total é de: 
V = 1200 x 125 x 800 
V = 120.000.000 cm3 
V = 120.000 dm3 
V = 120.000 litros 
 
 Se cada litro custa 0,32 reais, o preço total será de: 
Preço = 0,32 x 120.000 
Preço = 38.400 reais 
Resposta: E 
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Cubo 
O cubo nada mais é que um paralelepípedo onde todas as arestas têm a mesma medida. Isto é, C = L = H. 
Veja o cubo abaixo, cujas arestas medem A: 
 
Repare que este cubo possui 12 arestas, 8 vértices e 6 faces, assim como o paralelepípedo. O seu volume 
também é dado pela multiplicação da área da base pela altura, de modo que teremos: 
Volume = Ab x H = (A x A) x A = A3 
Vamos para mais umas questões? 
VUNESP – Pref. Cotia/SP – 2017) Um recipiente R, na forma de prisma reto, tem uma base quadrada interna 
de lado medindo 4 cm e estava cheio de água, e um recipiente Q, na forma de cubo, de aresta interna 7 cm, 
estava vazio. Foi despejada uma quantidade de água do recipiente R para o recipiente Q até que ambos 
tivessem a mesma altura de coluna de água, conforme mostra a figura 
 
Se o recipiente Q ficou com 99 cm3 a mais de água que o recipiente R, a diferença de capacidade, em cm3, entre 
os recipientes Q e R, vale 
(A) 100. 
(B) 112. 
A 
A 
A 
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(C) 124. 
(D) 136. 
(E) 148. 
RESOLUÇÃO: 
 A área da base de R é 4.4 = 16cm2. A área da base de Q é 7.7 = 49cm2. Sendo H a altura da água após 
igualarmos as alturas nos dois recipientes, os volumes de água em cada recipiente são: 
Volume em R = 16.H 
Volume em Q = 49.H 
 
 Como o volume em Q é 99cm3 maior do que em R: 
49H = 16H + 99 
49H – 16H = 99 
33H = 99 
H = 99/33 
H = 3cm 
 
 O volume total de água é 16H + 49H = 65H = 65.3 = 195cm3. Este era o volume de R quando estava cheio. 
 Já o volume do cubo Q, com arestas medindo 7cm, é igual a 73, ou seja, 343cm3. 
 A diferença entre os volumes dos sólidos é 343 – 195 = 148cm3. 
Resposta: E 
 
VUNESP – TJ/SP – 2017) As figuras seguintes mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato 
cúbico e C com formato de paralelepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são 
representados por VA, VB e VC. 
 
Se VA + VB = 1/2.VC, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em centímetros, igual a 
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(A) 11. 
(B) 12,5. 
(C) 16. 
(D) 15,5. 
(E) 14.. 
RESOLUÇÃO: 
Os volumes dos cubos A e B são: 
VA = 53 = 125 
VB = 103= 1000 
 Utilizando a relação fornecida no enunciado: 
VA + VB = VC/2 
125 + 1000 = VC/2 
1125 = VC/2 
VC = 2250 
 O volume de C é dado pela multiplicação das dimensões, ou seja, 
VC = 18.10.h 
2250 = 18.10.h 
225 = 18h 
h = 225 / 18 
h = 12,5 
Resposta: B 
 
Cilindro 
Veja na figura abaixo um cilindro: 
 
R 
H 
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Repare que o cilindro possui uma base circular de raio R, e uma altura H. Portanto, a área da base do 
cilindro é: 
2Ab R 
O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base pela altura: 
V Ab H  
A área total do cilindro é formado pela soma da área da base (que deve ser contada duas vezes, afinal 
temos esta área em cima e em baixo do cilindro) e a área lateral. 
Repare que se “desenrolarmos” a área lateral e “abrimos” todo o cilindro, temos o seguinte: 
 
O comprimento C do retângulo formado nada mais é que o comprimento da circunferência da base, isto 
é, 2C R . 
Assim, a área lateral do cilindro é: 
2lateralA HxC Hx R  
A área total do cilindro será simplesmente: 
Área total = 2 x Abase + Alateral 
 
Veja comigo estes exercícios: 
FCC – SABESP – 2017) Um reservatório cilíndrico de altura h e raio R foi substituído por um novo reservatório 
também cilíndrico de altura h/2 e raio 2R. 
Sendo desprezíveis as espessuras das paredes dos dois reservatórios, é correto afirmar que a capacidade do 
novo reservatório é 
a) quatro vezes maior que a capacidade do reservatório antigo. 
b) igual à capacidade do reservatório antigo. 
c) o dobro da capacidade do reservatório antigo. 
d) oito vezes maior que a capacidade do reservatório antigo. 
e) metade da capacidade do reservatório antigo. 
R 
H H 
C 
R 
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RESOLUÇÃO: 
O volume de um cilindro é dado por: 
V Ab H  
O cilindro inicial possui raio R. Seu volume será: 
V1 = π x R² x h 
O cilindro que irá substituí-lo possui raio R e altura h/2. Logo: 
V2 = π x (2R)² x h/2 
V2 = π x 4R² x h/2 
V2 = π x 2R² x h = 2 x π x R² x h 
V2 = 2 x V1 
Portanto, o cilindro substituto terá o dobro da capacidade do antigo. 
Resposta: C 
 
CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) Sobre os cilindros, sólidos geométricos classificados como corpos 
redondos, pois, se colocados sobre uma superfície plana levemente inclinada, rolam, analise as afirmativas a 
seguir. 
I. Os elementos de um cilindro são: base, altura, eixo, secção transversal e geratrizes. 
II. Os cilindros são classificados como: retos e oblíquos. 
III. A planificação do cilindro é 
IV. A área do cilindro é dada pela seguinte expressão: A = 2πr(h + r). 
V. O volume do cilindro é obtido pelo produto da área da base por sua altura, ou seja, V = 2πr²h. 
Estão INCORRETAS apenas as afirmativas: 
A) I e III 
B) I e V 
C) II e V 
D) III e V 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar as afirmativas: 
 
I. Os elementos de um cilindro são: base, altura, eixo, secção transversal e geratrizes. 
Correto. Veja a indicação de cada elemento: 
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II. Os cilindros são classificados como: retos e oblíquos. 
Correto. São estas duas formas, respectivamente: 
 
III. A planificação do cilindro é 
Errado. Faltou a planificação das bases, que são dois círculos. 
 
IV. A área do cilindro é dada pela seguinte expressão: A = 2πr(h + r). 
A área do cilindro é dada pela soma das duas bases circulares com a área lateral retangular (cuja largura é a 
altura desse cilindro e o comprimento, o perímetro da circunferência da base). Fica: 
A = 2 x π x r² + 2 π x r x h 
Colocando 2 π x r em evidência, temos: 
A = 2πr(r + h) 
Afirmação correta. 
 
V. O volume do cilindro é obtido pelo produto da área da base por sua altura, ou seja, V = 2πr²h. 
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Volume de um cilindro é dado pela área da base multiplicada pela altura. Fica: 
V = π x r² x h = πr²h 
Alternativa errada. 
Resposta: D 
 
Cone 
O cone é uma figura com uma base circular, assim como o cilindro, porém com uma ponta na outra 
extremidade. Veja um exemplo: 
 
Neste cone, a área da base é simplesmente a área do círculo de raio R: 
2Ab R 
Dado que a altura do cilindro é H,então o seu volume é: 
3
Ab H
V

 
Repare para esse detalhe: aqui o volume não foi obtido pela simples multiplicação da área da base pela 
altura – foi preciso dividir esse produto por 3. Isso ocorre nas duas figuras geométricas com “pontas”: o cone e 
o prisma (que veremos a seguir). 
No cone, chamamos de geratriz o segmento de reta que liga a ponta até a extremidade da base. Veja-a 
marcada pela letra “G” na figura acima. 
Perceba que o raio da base R, a altura H e a geratriz G formam um triângulo retângulo. Portanto, fica fácil 
calcular a geratriz com auxílio do teorema de Pitágoras: 
G2 = R2 + H2 
Quando “abrimos” um cone, temos a figura a seguir: 
R 
 H G 
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Veja que a área lateral do cone é um setor circular de raio igual à geratriz G. O comprimento deste setor 
circular (marcado em vermelho na figura acima) é igual ao comprimento da circunferência da base, isto é, 
2C R . Assim, podemos calcular a área deste setor circular a partir da seguinte proporção: 
 
Área do círculo de raio G --------------------------- Comprimento do círculo de raio G 
Área do setor circular --------------------------------- Comprimento do setor circular 
Isto é, 
  G2 ---------------------------- 2 G 
Área lateral do cone --------------------------2 R 
 
Portanto, podemos dizer que: 
Área lateral do cone =  xGxR 
Trabalhe um pouco mais esta figura geométrica. 
FAURGS – TJ/RS – 2017) Um cilindro reto de altura h tem volume V. para que um cone reto com base igual a 
desse cilindro tenha volume V, a sua altura deve ser igual a 
(A) 1h/3 
(B) 1h/2 
(C) 2h/3 
(D) 2h 
(E) 3h 
RESOLUÇÃO: 
Sendo Ab a área da base do cone e do cilindro, o volume V do cilindro é: 
V = área da base x altura 
V = Ab x h 
 
R 
G 
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No caso do cone, se sua altura for H, sabemos que seu volume é: 
Volume = área da base x altura / 3 
V = Ab x H / 3 
 
Para este volume ser igual ao anterior, então: 
Ab x H/3 = Ab x h 
H/3 = h 
H = 3h 
Resposta: E 
 
CESPE – PREVIC – 2011) 
 
O artista plástico estadunidense Richard Serra é notável por suas enormes esculturas em aço inspiradas em 
figuras geométricas. A figura acima mostra uma das salas do museu Guggenheim, em Bilbao, Espanha, com 
algumas de suas obras em exposição permanente. A escultura apontada pela seta, nessa figura, corresponde à 
superfície lateral de um tronco de cone circular reto, cuja área é dada pela diferença entre as áreas das 
superfícies laterais dos cones que o determinam. Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
( ) Se o diâmetro da base maior medisse 5 m, o diâmetro da base menor medisse 3 m e a altura do tronco de 
cone fosse igual 3 m, teriam sido necessários mais de 36 m2 da lâmina de aço para construir essa escultura com 
a superfície lateral completamente fechada. 
RESOLUÇÃO: 
Veja abaixo uma figura que representa este tronco de cone: 
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Se abrirmos esta área lateral como uma folha de papel, teremos um trapézio como este: 
 
Veja que as dimensões deste trapézio são: 
Base menor = 2.  .1,5 = 3  = 3 x 3,14 = 9,42 
Base maior = 2.  .2,5 = 5  = 5 x 3,14 = 15,7 
Altura = 3m 
Portanto, fica fácil calcular a sua área, lembrando a fórmula da área do trapézio: 
Área do trapézio = (base menor + base maior) x altura / 2 
Área do trapézio = (9,42 + 15,7) x 3 / 2 
Área do trapézio = 37,68 m2 
Veja que a área lateral do tronco de cone já é maior que 36m2, o que permite marcar CORRETO neste item. 
Resposta: C 
 
 
 
Pirâmide 
Veja abaixo uma pirâmide de base triangular e outra de base retangular: 
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Em ambos os casos, o volume da pirâmide é dado por: 
3
Ab H
V

 
Como você já sabe calcular a área dessas duas bases, não entrarei em detalhes aqui. 
Saiba ainda que chamamos de apótema a altura de cada uma das faces laterais, que são triângulos. 
Por fim, a área superficial é obtida pela soma da área da base e das áreas das faces laterais. 
Vamos exercitar um pouco? 
FUMARC - SEE/MG – 2018) Quando se coloca base a base duas pirâmides quadrangulares regulares, obtém-
se um octaedro regular que é um poliedro com 8 faces na forma de triângulo equilátero. Assim, todas as 12 
arestas do octaedro são congruentes. 
 
Uma peça de metal com formato de um octaedro de aresta 5 cm tem volume aproximadamente igual a 
(A) 29 cm³ 
(B) 59 cm³ 
(C) 70 cm³ 
(D) 35 cm³ 
(E) 63 cm³ 
RESOLUÇÃO: 
L 
H 
L L 
C 
H 
L 
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 Vamos visualizar o triângulo formado por metade da altura desse octaedro, metade da diagonal da base 
e uma aresta: 
 
 Por Pitágoras, achamos h: 
5² = h² +( 
5√2
2
 )² 
25 = h² + 
25 x 2
4
 
h² = 25 - 
25 
2
 
h² = 
25 
2
 
h = 
5 
√2
 = 
5√2
2
 
 Como a altura do octaedro é o dobro de h, temos H = 5√2. 
 O volume desse octaedro será dado por: 
V = 
Área da base x H
3
 
V = 
5² x 5√2
3
 
V ≅ 
125 x 1,41
3
 
V ≅ 59 cm³ 
Resposta: B 
 
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Prisma 
Veja abaixo dois exemplos de prisma: um com base triangular e outro com base retangular: 
 
Observe que as faces laterais de ambos são retângulos, cuja área é facilmente calculada. Além disso, você 
já sabe calcular a área da base de cada um deles. Assim, você consegue calcular facilmente a área total de um 
prisma – mas não se esqueça de somar a área da base duas vezes, afinal temos essa área na extremidade inferior 
e superior das figuras. 
O volume do prisma é dado pela multiplicação da área da base pela altura: 
V = Ab x H 
Vejamos duas questões sobre Prisma: 
VUNESP – PM/SP – 2018) Um bloco maciço de argila tem a forma de um prisma reto de base retangular e 
altura igual a 24 cm, conforme mostra a figura. 
 
Sabendo que o volume desse bloco é 900 cm3, o perímetro da base indicada na figura mede 
(A) 20 cm. 
(B) 22 cm. 
(C) 15 cm. 
(D) 25 cm. 
(E) 18 cm. 
RESOLUÇÃO: 
C 
H 
L 
L 
H 
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O volume desse prisma é dado pelo produto de suas três dimensões. Portanto: 
V = x . 5 . 24 
900 = 120x 
x = 7,5 cm 
O perímetro da base será: 
P = 2x + 2.5 = 2.7,5 + 10 
P = 15 + 10 
P = 25 cm 
Resposta: D 
 
IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) ) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base com medida A e 
aresta lateral com medida H, assinale a alternativa que apresenta a equação que identifica a área total desse 
prisma: 
a) Área total=3*A* (2*H+A √3) 
b) Área total=4*A* (2*H+A √3) 
c) Área total=5*A* (4*H+A √5) 
d) Área total=6*A* (3*H+A √3) 
e) Área total=3*A* (3*H+A √3) 
RESOLUÇÃO: 
O prisma citado pela questão assume a seguinte ilustração: 
 
Além disso, nota-se que as duas bases são hexágonos regulares, onde temos: 
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Repare que para calcular a área total desse prisma, devemos calcular a área lateral e a área da base, uma vez 
que a área total corresponde à soma da área lateral com as duas áreas da base, ou seja: Atotal = ALateral + 2xAbase 
A área lateral é composta por seis retângulosde base A e altura L, portanto essa área corresponde a 6x(AxH). 
A área da base corresponde à área de um hexágono, o qual é composto por seis triângulos eqüiláteros de lado 
A, onde a área de cada triângulo eqüilátero equivale à expressão
 
 . Assim, a área da base resulta em 
2x(6x
 
) = 3x . 
Deste modo, a área total equivale a 
Atotal = ALateral + 2xAbase 
Atotal = 6x(AxH) + 3x 
Atotal = 3xA x (2H + ) 
Resposta: A 
 
Esfera 
A esfera é uma figura espacial formada por todos os pontos que se encontram à distância R de um ponto 
central C: 
 
O volume de uma esfera de raio igual a R é: 
V = 4 R3/3 
C 
R 
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A área da superfície da esfera é: 
A = 4 R2 
 
Veja uma questão interessante, que mistura o cone e a esfera: 
FUMARC - SEE/MG – 2018) Uma fábrica de sorvetes decidiu lançar o Kornetone: uma casquinha de sorvete de 
forma cônica com 6 cm de diâmetro e 10 cm de altura, totalmente preenchida com sorvete de chocolate, sem 
transbordar, e sobre o sorvete de chocolate, meia bola de sorvete de morango, formando uma semiesfera que 
se encaixa perfeitamente sobre a casquinha. 
 
Considerando π = 3,14, o volume de sorvete necessário para fabricar um Kornetone é de, aproximadamente, 
(A) 151 ml 
(B) 188 ml 
(C) 207 ml 
(D) 433 ml 
(E) 829 ml 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular o volume do sorvete de morango, que equivale à metade do volume de uma esfera de raio 
= 3 cm (já que o diâmetro vale 6 cm): 
V = 
1 
2 
 x 
4 x π x r3 
3 
 
V = 
2 x π x 33 
3 
 
V = 2 x π x 3² 
V = 18 π 
 O volume do sorvete que preenche a parte cônica, será dado por: 
V = 
 π x r2x h 
3 
 
V = 
 π x 32x 10 
3 
 
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V = π x 3 x 10 
V = 30 π 
 O total de sorvete será a soma dos dois volumes: 
V total = 18 π + 30 π 
V total = 48 π = 48 x 3,14 
V total = 150,72 cm³ ≅ 151 ml 
Resposta: A 
 
Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões comentadas pelo professor 
1. VUNESP – Pref. de São José dos Campos – 2018) 
O formato interno de um vidro de perfume é de um prisma triangular reto, cuja base é um triângulo retângulo 
com o maior e o menor lados medindo 2,5 e 1,5 centímetros, respectivamente. Se esse vidro tem capacidade 
máxima para 15 mililitros de perfume, então é verdade que sua altura interna mede, em centímetros, 
(A) 10. 
(B) 9,5. 
(C) 9. 
(D) 8,5. 
(E) 8. 
RESOLUÇÃO: 
Lembrando que 1dm3 corresponde a 1 litro, podemos dizer que 1cm3 corresponde a 1 ml. Assim, o volume é de 
15cm3. O volume do prisma é dado pela multiplicação: 
 
Volume do prisma = Área da base x altura 
15 = 
15.2 = 2,5 . 1,5 . altura 
10 . 2 = 2,5 . altura 
4 . 2 = altura 
8cm = altura 
Resposta: E 
 
2. VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) 
A bolinha que é utilizada no jogo de sinuca, ou de bilhar, é um objeto que pode ser dado como exemplo de 
representante de 
(A) circunferência. 
(B) cilindro. 
(C) círculo. 
(D) cone. 
(E) esfera. 
RESOLUÇÃO: 
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A bola de bilhar é uma esfera. Lembre que círculo e circunferência são figuras planas, enquanto a esfera é uma 
figura espacial. 
Resposta: E 
 
3. VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) 
A professora Márcia queria ensinar para seus alunos a relação existente entre litros e centímetros cúbicos. Para 
tanto, ela despejou o correspondente a um litro de água em um vasilhame, com formato interno de 
paralelepípedo reto retangular, cuja capacidade era também de um litro, e as dimensões da base eram 10 e 20 
centímetros. A altura interna, em centímetros, desse vasilhame era 
(A) 12,5. 
(B) 10. 
(C) 7,5. 
(D) 5. 
(E) 2,5. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que 1 litro corresponde a 1dm3 = 1000cm3. Portanto, o volume do paralelepípedo deve ser este. Ou 
seja, 
Volume = Base x comprimento x altura 
1000 = 10 x 20 x altura 
5 cm = altura 
Resposta: D 
 
4. VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) 
Um peso de papel tem a forma de um prisma reto de base retangular, cujas medidas estão indicadas, em 
centímetros, na figura. 
 
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Sabendo-se que o volume dessa peça é 48 cm3, o valor de sua altura, representada na figura por 4x, é 
(A) 2 cm. 
(B) 4 cm. 
(C) 6 cm. 
(D) 8 cm. 
(E) 10 cm. 
RESOLUÇÃO: 
O volume da peça é dado pela multiplicação de suas dimensões, ou seja, 
Volume = comprimento x largura x altura 
48 = 3 . x . 4x 
12 = 3x2 
4 = x2 
x = 2 
 
Logo, 4x = 4.2 = 8 cm. 
Resposta: D 
 
5. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) 
Em um prisma triangular regular reto inscreve-se um cilindro reto de modo que a base do cilindro seja um 
círculo inscrito na base do prisma. Se a área lateral do prisma é X, e a área lateral do cilindro é Y, a razão Y/X é 
igual a 
(A) 
3
6

 
(B) 
3
3

 
(C) 
3
9

 
(D) 
3

 
(E) 
9
3

 
RESOLUÇÃO: 
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Vamos visualizar esse cilindro inscrito no prisma triangular regular: 
 
A área lateral do prisma é a área de um retângulo de base L e comprimento H. Portanto: X = 3 x L x H 
A área lateral do cilindro é dada por 2πr x H. O raio corresponde ao apótema do triângulo equilátero de lado L. 
Logo: 
apótema = lado x 
√3
6
 
r = 
L√3
6
 
Área lateral = Y = 2π
L√3
6
 x H 
Y = 
π×L×H√3
3
 
A razão será: 
Y/X = 
𝜋×𝐿×𝐻√3
3
3×𝐿×𝐻
 
Y/X = 
π√3
9
 
Alternativa C. 
Resposta: C 
 
 
 
 
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6. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) 
A Figura a seguir representa um sólido obtido quando se cortam dois tetraedros de um prisma trapezoidal reto 
de bases PQAD e NRBC. As faces ABCD e PNCD são quadrados de lado 2 m, perpendiculares entre si, e o ponto 
M é tal que PM e MN têm mesmo comprimento e são perpendiculares entre si. 
 
Qual o volume desse sólido, em m3? 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 16/3 
(E) 22/3 
RESOLUÇÃO: 
Observe que o triângulo PMN é retângulo, com ângulo de 90 graus em M, e com hipotenusa PN = 2. Os dois 
catetos são iguais, como disse o enunciado, pois PM = MN. Assim, vemos que PM = MN = √2 (basta aplicar o 
teorema de Pitágoras). 
Agora veja o triângulo MNR. Nele, a hipotenusa é MN = √2, e o cateto MR mede 1 (pois ele é a metade de QR, 
cuja medida é igual a PN, ou seja, 2). Assim, o cateto RN tem que medir 1 também (basta aplicar Pitágoras). 
Logo, olhando o tetraedro NMRB, vemos que a sua base é o triângulo MNR, e sua altura é igual a 2 (mesma 
medida de NC). Seu volume é, portanto: 
Volume do tetraedro = Área da Base x altura / 3 
Volume do tetraedro = 
[
1 𝑥 1
2
 𝑥 2]
3
=
1
3
 
 
Analogamente, o tetraedro PMQA também tem volume igual a 1/3. 
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O prisma trapezoidal tem a base NCBR, na forma de trapézio, e altura PN = 2. Para calcular a área de sua base 
trapezoidal, veja que NR é a base menor, medindo 1, e BC é a base maior, medindo 2, e a altura é NC, que 
também mede 2. Assim, 
Área do trapézio NCBR = (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)𝑥
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 
Área do trapézio NCBR = 
(2+1)𝑥22
= 3 
O volume do prisma original é: 
Volume do prisma = Área da base x altura 
Volume do prisma = 3 x 2 = 6 
Logo, o volume da figura resultante é obtido pegando-se o volume do prisma e retirando-se o volume de 2 
tetraedros: 
Volume da figura = 6 − 2 𝑥
1
3
=
18
3
−
2
3
=
16
3
 
Resposta: D 
 
7. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) 
Um tronco de prisma triangular reto tem como base um triângulo equilátero de lado 6√3
4
 cm. Suas arestas 
laterais, perpendiculares à base, medem 1 cm, 4 cm e 6 cm. Qual o volume, em cm³, desse tronco de prisma? 
(A) 100 
(B) 99 
(C) 98 
(D) 96 
 (E) 90 
RESOLUÇÃO: 
Esse tronco pode ser representado da seguinte forma: 
 
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Vamos calcular primeiro o volume até a altura da aresta = 1, correspondente à região em vermelho: 
 
O volume será a área da base triangular, multiplicada pela altura 1 cm (aresta). A área de um triângulo 
equilátero é dada por: 
Área da base = 
lado2x √3
4
 = 
(6 √3
4
)
2
x √3
4
 = 
36 √3 x √3
4
 
Área da base = 9 x 3 = 27 cm² 
Então: V1= 27 x 1 = 27 cm³. 
Resta calcular o volume da seguinte figura: 
 
Note que é uma pirâmide de base quadrangular. O volume, então, será dado por: 
V = 
Área da base x Altura
3
 
A área da base é a área de um trapézio retângulo cuja base maior será 5, a base menor 3, e a altura o lado do 
triângulo equilátero: 6∜3. Portanto: 
Área da base = 
(5+3) x 6∜3 
2
 
Área da base = 8 x 3∜3 = 24∜3 cm² 
A altura dessa pirâmide será a altura do triângulo equilátero: 
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Altura triângulo equilátero = 
lado x √3
2
 = 
6∜3 x ∜3²
2
 
Altura triângulo equilátero = 3∜3³ 
Portanto, o volume dessa pirâmide será: 
V2 = 
24∜3 x 3∜3³
3
 = 24 x ∜34 
V2 = 24 x 3 = 72 cm³ 
Logo, o volume total desse tronco será: 
V = V1 + V2 
V = 27 + 72 
V = 99 cm³ 
Resposta: B 
 
8. CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) 
Os poliedros de Platão são aqueles que possuem algumas propriedades; analise-as. 
Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas. 
Todos os vértices possuem o mesmo número de arestas, isto é, se um vértice é a extremidade de três arestas, 
por exemplo, então todos serão também. 
É convexo 
Vale a seguinte relação, chamada de relação de Euler: V – A + F = 2. 
São poliedros de Platão: cubo (hexaedro regular), tetraedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, 
icosaedro regular. 
Estão corretas as afirmativas: 
(A) I, II, III, IV, e V 
(B) I, II, III e V, apenas. 
(C) I, II, IV e V, apenas. 
(D) I, III, IV e V, apenas. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar as afirmações: 
Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas. 
Correto. 
Todos os vértices possuem o mesmo número de arestas, isto é, se um vértice é a extremidade de três arestas, por 
exemplo, então todos serão também. 
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Correto. Veja o exemplo do tetraedro: 
 
É convexo. 
Correto. Um poliedro é dito convexo quando qualquer segmento com extremidades dentro do poliedro estiver 
totalmente contido no poliedro. Todo poliedro de Platão é convexo. Veja um exemplo de poliedro convexo e 
um não-convexo: 
 
 
Vale a seguinte relação, chamada de relação de Euler: V – A + F = 2. 
Correto. 
 
São poliedros de Platão: cubo (hexaedro regular), tetraedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, 
icosaedro regular. 
Correto. São eles, respectivamente: 
 
Resposta: A 
 
9. CESPE – PREF SÃO LUÍS – 2017) 
Os biscoitos de sal de determinada marca têm a forma de um paralelepípedo retângulo: a base é um quadrado 
de lados medindo 6 cm; a altura mede 0,25 cm. Os biscoitos são acondicionados em caixas com capacidade 
para 5.184 cm³. 
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Nesse caso, a quantidade de biscoitos que podem ser acondicionados em uma dessas caixas é 
a) superior a 1.500. 
b) inferior a 100. 
c) superior a 100 e inferior a 500. 
d) superior a 500 e inferior a 1.000. 
e) superior a 1.000 e inferior a 1.500. 
RESOLUÇÃO: 
Sabendo que cada biscoito tem formato de prisma (área lateral retangular) e possui a base quadrada de lado 6 
cm e altura 0,25 cm, o volume é calculado por: 
V = Ab x H 
V = 6² x 0,25 
V = 9 cm³ 
As caixas possuem 5.184 cm³, logo o número de biscoitos por caixa será: 
Nº = 5.184 ÷ 9 = 576 biscoitos 
Resposta: D 
 
10.CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) 
A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera que tangencia a base do cilindro e as 
geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base um círculo de raio 7 cm e a mesma altura 
que mede 24 cm. 
 
Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone? 
(A) 800 π 
(B) 784 π 
(C) 748 π 
(D) 684 π 
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(E) 648 π 
RESOLUÇÃO: 
Veja a figura abaixo, na qual marquei alguns pontos: 
 
Veja que: 
- F é o centro da esfera. 
- A é o ponto de contato da esfera com a geratriz do cone (BG). O ângulo formado é de 90 graus, uma vez que 
a esfera tangencia o cone. 
- E é o ponto de contato da esfera com a lateral do cilindro (DG). O ângulo formado é também de 90 graus, uma 
vez que a esfera tangencia o cilindro. 
- C é o ponto de contato da esfera com a base do cilindro, também formando ângulo de 90 graus. 
 
Sendo R o raio da esfera, podemos dizer que todos os segmentos abaixo medem R: 
AF, CF, EF, DE, CD 
 
Como o raio da base do cilindro é 7, o segmento BD mede 7. Veja que: 
BD = BC + CD 
7 = BC + R 
BC = 7 – R 
 
Como os segmentos BC e AB tangenciam a circunferência e partem do mesmo ponto (B), eles tem o mesmo 
tamanho. Isto é, AB = 7 – R. 
 
Veja que temos um triângulo retângulo BDG, no qual um cateto é BD = 7, e o outro é DG = 24 (altura do cilindro). 
Podemos obter a hipotenusa BG pelo teorema de Pitágoras: 
BG2 = 72 + 242 
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BG2 = 49 + 576 
BG2 = 625 
BG = 25 
 
Note ainda que: 
BG = AB + AG 
25 = 7 – R + AG 
AG = 18 + R 
 
Perceba que AG e EG são segmentos que tangenciam a circunferência e partem do mesmo ponto (G). Eles tem 
o mesmo tamanho, ou seja, EG = 18 + R. 
Para fechar, note que: 
DG = DE + EG 
24 = R + (18 + R) 
6 = 2R 
R = 3 
 
Portanto, o raio da esfera é 3cm. Temos o seguinte: 
 
Volume da esfera = 
4
3
. 𝜋. 𝑅3 =
4
3
. 𝜋. 33 = 4. 𝜋. 32 = 36𝜋 
 
Volume do cilindro = (𝜋. 72). 24 = 1176𝜋 
 
Volume do cone = (𝜋. 72).
24
3
= 392𝜋 
 
Assim, o volume região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone é: 
Volume do cilindro – volume do cone – volume da esfera = 
1176 π - 392 π - 36 π = 748 π 
Resposta: C 
 
 
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11.VUNESP – PM/SP – 2017) 
Uma peça de madeira tem o formato de um prisma reto com 15 cm de altura e uma base retangular com 6 cm 
de comprimento, conforme mostra a figura. 
 
Sabendo que o volume dessa peça é 720 cm3, a área da base é 
(A) 40 cm2. 
(B) 48 cm2. 
(C) 44 cm2. 
(D) 36 cm2. 
(E) 52 cm2. 
RESOLUÇÃO: 
O volume é dado pela multiplicação das dimensões, ou seja, 
720 = 15 . 6 . x 
120 = 15 . x 
40 = 5 . x 
8 = x 
 
A área da base é: 
Área = 6.x = 6.8 = 48 centímetros quadrados 
Resposta: B 
 
 
 
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12.VUNESP – TJ/SP – 2017) 
As figuras seguintes mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato cúbico e C com formato 
de paralelepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são representados por VA, VB e VC. 
 
Se VA + VB = 1/2.VC, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em centímetros, igual a 
(A) 11. 
(B) 12,5. 
(C) 16. 
(D) 15,5. 
(E) 14.. 
RESOLUÇÃO: 
Os volumes dos cubos A e B são: 
VA = 53 = 125 
VB = 103= 1000 
 
Utilizando a relação fornecida no enunciado: 
VA + VB = VC/2 
125 + 1000 = VC/2 
1125 = VC/2 
VC = 2250 
 
O volume de C é dado pela multiplicação das dimensões, ou seja, 
VC = 18.10.h 
2250 = 18.10.h 
225 = 18h 
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h = 225 / 18 
h = 12,5 
Resposta: B 
 
13. VUNESP – CRBio – 2017) 
De um reservatório com formato de paralelepípedo reto retângulo, totalmente cheio, foram retirados 3 m³ de 
água. Após a retirada, o nível da água restante no reservatório ficou com altura igual a 1 m, conforme mostra a 
figura. 
 
Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura total do reservatório, indicada por h na figura, é, em 
metros, igual a 
(A) 1,8. 
(B) 1,75. 
(C) 1,7. 
(D) 1,65. 
(E) 1,6. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos chamar de A a altura da parte que ficou vazia. Esta parte tem volume de 3m3, que foi a água retirada. A 
sua base tem 2,5m x 2m, com área de 5m2. Portanto, 
Volume da parte vazia = A x 5 
3 = A x 5 
A = 3/5 
A = 0,6m 
 
Portanto, a altura total do tanque é dada por 1m(que tem água) + 0,6m (que está vazio), ou seja, h = 1,6m. 
Resposta: E 
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14.VUNESP – OFICIAL PM/SP – 2017) 
Certo combustível preenchia totalmente um reservatório A, na forma de um cilindro circular reto, de raio da 
base igual a 5/√π m e altura igual a 5 m. Sabe-se que 4/5 do combustível contido em A foi transferido, sem 
desperdício, para 10 reservatórios menores B, todos iguais e também cilíndricos, de 1,25 m de altura, 
preenchendo-os totalmente. 
 
Nessas condições, é correto afirmar que a medida do raio do reservatório B é, em metros, igual 
 a) 
10 2

 
 b) 
4 2

 
 c) 
4 

 
 d) 
2 10

 
 e) 
2 2

 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que 4/5 do volume do reservatório A corresponde ao volume de 10 reservatórios B. Assim: 
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2
2
2
2
4
10
5
4 5
5 10 1,25
5
4 5
5 12,5
5
A BV V
r
r
 



 
   
 
 
  
 
 
2
2
2
25
4 12,5
4 25
12,5
2
4
r
r
r



 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
2
2
4
2
2
2
2
2
2
r
r
r
r






 
  
 
 
  
 
 
  
 

 
Resposta: E 
 
15. IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) 
Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões: 5 m de comprimento, 6 m de largura e 8 m de altura. 
Nessas condições, a medida da área total e o volume deste paralelepípedo são, respectivamente: 
a) 60m2 e 138m3 
b) 236m2 e 240m3 
c) 236m2e 260m3 
d) 240m2e 260m3 
e) 280m2 e 240m3 
RESOLUÇÃO: 
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Por meio da ilustração acima, podemos calcular a área total, bem como o volume de um paralelepípedo. Ou 
seja: 
Repare que temos três pares de retângulos idênticos cujas áreas valem 
“Largura x Comprimento”, “Largura x altura” e “Comprimento x altura”. Assim, 
Atotal = 2x(Largura x Comprimento + Largura x altura + Comprimento x altura) 
Isto é, 
Atotal = 2x(6x5 + 6x8 + 5x8) 
Atotal = 2x (30 + 48 + 40) 
Atotal = 2x118 
Atotal = 236m2 
Já o volume do paralelepípedo corresponde ao produto da área da base pela altura. Considerando a base 
formada pelo comprimento e largura, teremos uma área equivalente a 
Abase = 6x5 
Abase = 30m2 
Volume = Abase x altura 
Volume = 30m2 x 8m 
Volume = 240m3 
Assim, a área total equivale a 236m2 e o volume corresponde a 240m3 
Resposta: B 
 
 
 
 
 
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16.IDECAN – Bombeiros/RN – 2017) 
A figura a seguir refere-se a três sólidos com raio = 1/6 de 36 cm; a altura do cilindro é 1/2 do raio mais 1 cm e a 
altura do cone é o dobro da altura do cilindro. 
 
O volume do sólido gerado pela rotação completa em torno do seu eixo é: 
A) 240π cm2. 
B) 240π cm3. 
C) 384π cm2. 
D) 384π cm3. 
RESOLUÇÃO: 
 O volume total será dado pela soma do volume do cone, do cilindro e da meia circunferência. Vamos 
calcular cada um separadamente e depois somá-los. 
Cilindro 
raio = r = 1/6 de 36 cm = 6 cm 
área da base = Ab = π r² = π 6² = 36π 
a altura do cilindro é 1/2 do raio mais 1 cm = h = 1/2 x 6 + 1 = 3 + 1 = 4 
volume cilindro = Ab x h = 36π x 4 = 144π 
 
Cone 
raio = r = 1/6 de 36 cm = 6 cm 
área da base = Ab = π r² = π 6² = 36π 
a altura do cone é o dobro da altura do cilindro: 2 x 4 = 8 
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volume cone = (Ab x h)/3 = (36π x 8)/3 = (144π/3) = 96π 
 
Meia esfera 
raio = r = 6 cm 
volume esfera = (4 π r³)/3 = (4 π 6³)/3 = 288π 
volume meia esfera = 144π 
 
Somando os três volumes calculados, temos: 
144π + 96π + 144π = 384π cm³ 
Resposta: D 
 
17. FAURGS – TJ/RS – 2017) 
No cubo de aresta 10, da figura abaixo, encontra-se representado um plano passando pelos vértices B e C e 
pelos pontos P e W, pontos médios, respectivamente, das arestas EF e HG, gerando o quadrilátero BCPQ. 
 
A área do quadrilátero BCPQ, da figura acima, é 
(A) 25√2 
(B) 50√2 
(C) 50√5 
(D) 100√2 
(E) 100√5 
RESOLUÇÃO: 
No quadrilátero BCQP, os lados BC e PQ medem 10, mesma medida das arestas do cubo. 
Veja o triângulo CQG. Este é triângulo retângulo com catetos CG = 10 e GQ = 5 (metade da aresta GH). Sua 
hipotenusa é CQ, que pode ser obtida pelo teorema de pitágoras: 
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CQ2 = 102 + 52 = 100 + 25 = 125 
CQ = 5.raiz(5) 
 
Esta também é a medida do lado PB. Portanto, a área do quadrilátero, que na verdade é um retângulo, é: 
Área BCQP = 10 x 5.raiz(5) = 50.raiz(5) 
Resposta: C 
 
18.FAURGS – TJ/RS – 2017) 
Um cilindro reto de altura h tem volume V. para que um cone reto com base igual a desse cilindro trnha volume 
V, a sua altura deve ser igual a 
(A) 1h/3 
(B) 1h/2 
(C) 2h/3 
(D) 2h 
(E) 3h 
RESOLUÇÃO: 
Sendo Ab a área da base do cone e do cilindro, o volume V do cilindro é: 
V = área da base x altura 
V = Ab x h 
 
No caso do cone, se sua altura for H, sabemos que seu volume é: 
Volume = área da base x altura / 3 
V = Ab x H / 3 
 
Para este volume ser igual ao anterior, então: 
Ab x H/3 = Ab x h 
H/3 = h 
H = 3h 
Resposta: E 
 
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19.FCC – SEDU/ES – 2016) 
A diagonal de um cubo corresponde, aproximadamente, a: 
(A) 111% da aresta do cubo. 
(B) 144% da aresta do cubo. 
(C) 122% da diagonal da base do cubo. 
(D) 144% da diagonal da base do cubo. 
(E) 173% da diagonal da base do cubo. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos visualizar um cubo em 3D e uma diagonal: 
 
Sendo a aresta desse cubo “a” (lembrando que todas são iguais entre si), a diagonal dabase será a√2 (diagonal 
de um quadrado). Agora, vamos observar o triângulo retângulo formado pelos pontos A, B e C: 
 
Basta aplicar o Teorema de Pitágoras para achar o valor da diagonal: 
D² = a² + (a√2)² 
D²= a² + a².2 
D² = 3.a² 
D= √(3.a²) 
D= a. √3 
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D= a. 1,732 (aproximadamente) 
A diagonal mede cerca de 173% da aresta do cubo. Vamos ver em relação à diagonal da base: 
D/ a√2= a√3/a√2= √3/√2= 1,73/1,41 = 1,22 (aproximadamente) 
Portanto, a diagonal mede cerca de 122% da diagonal da base. 
Resposta: C 
 
20.FCC – SEDU/ES – 2016) 
Um frasco tem a forma de pirâmide quadrangular regular. As faces laterais dessa pirâmide são triângulos 
equiláteros de altura 6 cm, e espessura desprezível. Sendo assim, a capacidade desse frasco, em ml, é um valor 
entre 
(A) 70 e 75. 
(B) 60 e 65. 
(C) 55 e 60. 
(D) 65 e 70. 
(E) 75 e 80. 
RESOLUÇÃO: 
Pela fórmula da altura de um triângulo equilátero, conseguimos descobrir o lado desse triângulo (que é também 
aresta da pirâmide): 
Altura de um triângulo equilátero = 
𝑙𝑎𝑑𝑜.√3
2
 
6.2 = lado.√3 
lado = 
12
√3
 = 4√3 
A pirâmide pode ser representada assim: 
 
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O triângulo retângulo ABC possui hipotenusa=AC=4√3 e seu cateto BC é a metade da diagonal da base 
quadrada (lembrando que diagonal= lado.√2). Portanto: 
BC = 
4√3 .√2
2
 = 2√6 
Agora, basta fazer Pitágoras e achar a altura AB dessa pirâmide: 
(4√3)² = AB² + (2√6)² 
16.3 = AB² + 4.6 
AB² = 48 – 24 
AB² = 24 
AB = 2√6 
O volume de uma pirâmide quadrada é dado por: 
V = 
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
3
 
V = 
(4√3)
2
× 2√6
3
 
V = 
16 ×3 ×2√6
3
 
V=32√6 
V= 78,4 cm³ (aproximadamente) 
V= 78,4 ml 
Resposta: E 
 
21.FCC – SEDU/ES – 2016) 
Um professor utilizou sólidos geométricos (ocos) de acrílico para que os alunos pudessem preenchê-los com 
água e comparar seus volumes, por meio da comparação entre capacidades. Os sólidos comparados eram um 
cilindro circular reto de raio interno da base 3 cm e altura ℎ1, um cone circular reto de raio interno da base 3 cm 
e altura ℎ2,e uma esfera de raio interno 3 cm. Se a experiência permitiu concluir que as capacidades dos três 
sólidos comparados eram iguais, então é correto afirmar que ℎ1 + ℎ2, em cm, é igual a 
(A) 16. 
(B) 3. 
(C) 15. 
(D) 9. 
(E) 12. 
RESOLUÇÃO: 
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O volume da esfera de raio=3 cm é dado por: 
𝑉 = 
4𝜋. 𝑟³
3
 
𝑉 = 
4𝜋. 3³
3
 
𝑉 = 4𝜋. 3² 
𝑉 = 32𝜋 cm³ 
Já o volume de um cilindro de altura ℎ1 é dado por: 
𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑉 = 𝜋𝑟² × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 
𝑉 = 𝜋. 3² × ℎ1 
𝑉 = 9. 𝜋. ℎ1 
Como os volumes do cilindro e da esfera são iguais, temos: 
9. 𝜋. ℎ1 = 32𝜋 
ℎ1 = 
32
9
 
ℎ1 = 4 𝑐𝑚 
Agora, vamos analisar o cone de altura ℎ2. Seu volume é dado por: 
𝑉 =
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
3
 
𝑉 =
𝜋. 3² × ℎ2
3
 
𝑉 = 3. 𝜋. ℎ2 
O volume desse cone também é igual ao dos outros sólidos: 
9. 𝜋. ℎ1 = 3. 𝜋. ℎ2 
9 × 4 = 3 × ℎ2 
ℎ2 = 12 𝑐𝑚 
Portanto: 
ℎ1 + ℎ2 = 4 + 12 = 16 𝑐𝑚. 
Resposta: A 
 
 
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22.FGV – CODEBA – 2016) 
Um contêiner possui, aproximadamente, 6,0 m de comprimento, 2,4 m de largura e 2,3 m de altura. A 
capacidade cúbica desse contêiner é de, aproximadamente, 
(A) 31 m3 
(B) 33 m3 
(C) 35 m3 
(D) 37 m3 
(E) 39 m3 
RESOLUÇÃO: 
O volume de um paralelepípedo é dado por: 
V = largura x altura x comprimento 
V = 2,4 x 2,3 x 6,0 
V = 33,12m3 
Resposta: C 
 
23. FGV – PREF PAULÍNIA – 2016) 
Um cubo de ouro maciço com 2 cm de aresta hoje vale R$ 19.000,00. O valor de um cubo de ouro maciço com 
3 cm de aresta hoje vale, aproximadamente, 
a) R$ 28.000,00. 
b) R$ 36.000,00. 
c) R$ 43.000,00. 
d) R$ 52.000,00. 
e) R$ 64.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
O volume do cubo é dado por: 
V = aresta³ = 2³ = 8 cm³ 
O volume de um cubo de aresta = 3 cm será: 
V = 3³ = 27 cm³ 
Aplicando uma regra de três, temos: 
8 cm³ --- 19 mil 
27 cm³ --- P 
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P x 8 = 19 x 27 
P = 64125 reais 
A alternativa mais próxima é a letra E. 
Resposta: E 
 
24.FGV – PREF PAULÍNIA – 2016) 
O reservatório de um caminhão tanque que transporta água e está completamente cheio, como o da figura a 
seguir, é um cilindro horizontal com 8m de comprimento e 2 m de diâmetro, 
 
O conteúdo do tanque foi transferido para uma caixa d’água retangular (cisterna) com 4m de comprimento e 3 
m de largura. Após a transferência da água do caminhão para o tanque, o nível da água na caixa atingiu a altura 
de, aproximadamente, 
a) 2,1 m. 
b) 2,3 m. 
c) 2,5 m. 
d) 2,7 m. 
e) 2,9 m. 
RESOLUÇÃO: 
O tanque cilíndrico tem raio = 2/2 = 1 m e altura = 8m (comprimento). O volume será dado por: 
V = π × 1² × 8 
V = 8 π m³ 
Esse volume foi transferido para uma caixa d’água retangular de dimensões 4 m x 3 m. A altura que a água 
atingiu foi de: 
4 x 3 x H = 8 π 
H = 8 π/12 
H = 2,1 m (aprox.) 
Resposta: A 
 
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25. FGV – IBGE – 2016) 
Uma pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado e quatro triângulos iguais ao da figura 
abaixo. 
 
 O volume dessa pirâmide em m³ é aproximadamente: 
a) 84; 
b) 90; 
c) 96; 
d) 108; 
e) 144. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos encontrar a altura desse lado triangular aplicando Pitágoras: 
 
3² + h² = 10² 
h² = 100 – 9 
h² = 91 
Seja “H” a altura da A pirâmide triangular, vamos aplicar Pitágoras novamente: 
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H² + 3² = h² 
H² = 91 – 9 
H² = 82 
H = 9 m (aprox.) 
O volume da pirâmide é dado por: 
V = Abase x H/3 
V = 6² x 9/3 
V = 36 x 3 
V = 108 m³ 
Resposta: D 
 
26.CESPE – FUB – 2016 - Adaptada) 
Em um almoxarifado há, em estoque, 100 caixas na forma de paralelepípedos retângulos. Considerando essas 
informações, julgue o item. 
( ) Se a área interna da base do paralelepípedo de uma caixa de 60 L for igual a 2.000 cm2, então a altura interna 
dessa caixa medirá menos de 35 cm. 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente, vamos lembrar que 1L = 1dm³. De acordo com a transformação das unidades de medida, 
teremos: 
 
Área da base = 2.000 cm² ÷ 100 = 20 dm² 
A fórmula para achar o volume de um paralelepípedo é dada por: 
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Volume = Área da base x Altura 
60 = 20 x Altura 
Altura = 3dm 
Altura = 30 cm 
Portanto, será menor do que 35 cm. Alternativa CORRETA. 
Resposta: C 
 
27. VUNESP – MP/SP – 2016) 
Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo reto cuja base interna é um retângulo em que um lado é duas 
vezes maior do que o outro. A cada litro de água despejado nesse recipiente, seu nível aumenta em 5 cm. A 
área, em cm2, da base interna desse recipiente, vale 
(A) 150. 
(B) 200. 
(C) 175. 
(D) 225. 
(E) 250. 
RESOLUÇÃO: 
Sendo L um lado da base do retângulo, o outro lado mede 2L. A sua área da base é L x 2L = 2L2. Para acomodar 
1 litro de água, ou seja, 1dm3 de água (que é o mesmo que 1000cm3), é preciso de uma altura de 5cm. Ou seja, 
Volume= Área da base x altura 
1000 = 2L2 x 5 
1000 / 10 = L2 
100 = L2 
L = 10cm 
 
A área da base é 2L2 = 2x102 = 200cm2. 
Resposta: B 
 
28.VUNESP – PREF. GUARULHOS – 2016) 
O baú de um caminhão, cujas dimensões internas estão mostradas na figura, está carregado com 120 caixas 
cúbicas iguais, de 0,5 m de aresta cada, sendo que o volume total dessa carga corresponde a 3/4 do volume 
total do baú. Nessas condições, é correto afirmar que a dimensão indicada por x na figura é, em metros, igual a 
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 a) 4. 
 b) 4,5. 
 c) 5. 
 d) 5,5. 
 e) 6. 
RESOLUÇÃO: 
Cada caixa tem 0,5m de aresta. O volume de cada caixa é, portanto: 
V = 0,53 = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125m3 
 
As 120 caixas tem um volume total de 120 x 0,125 = 15 m3. Este volume corresponde a ¾ do baú, ou seja, 
 
 
 
Portanto, o baú do caminhão tem 20 metros cúbicos. Este volume é dado pela multiplicação das três dimensões 
do baú, ou seja, 
20 = 2.2.x 
20 / 4 = x 
x = 5 metros 
Resposta: C 
 
29.VUNESP – MP/SP – 2016) 
Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo reto cuja base interna é um retângulo em que um lado é duas 
vezes maior do que o outro. A cada litro de água despejado nesse recipiente, seu nível aumenta em 5 cm. A 
área, em cm2, da base interna desse recipiente, vale 
(A) 150. 
(B) 200. 
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(C) 175. 
(D) 225. 
(E) 250. 
RESOLUÇÃO: 
Sendo L um lado da base do retângulo, o outro lado mede 2L. A sua área da base é L x 2L = 2L2. Para acomodar 
1 litro de água, ou seja, 1dm3 de água (que é o mesmo que 1000cm3), é preciso de uma altura de 5cm. Ou seja, 
Volume = Área da base x altura 
1000 = 2L2 x 5 
1000 / 10 = L2 
100 = L2 
L = 10cm 
 
A área da base é 2L2 = 2x102 = 200cm2. 
Resposta: B 
 
30.CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2012) 
De um cubo de 6 cm de aresta, retiram-se dois tetraedros, cada um formado por um vértice do cubo e pelos 
pontos médios das arestas que incidem sobre eles, conforme a figura a seguir. 
 
O volume, em cm3, do poliedro assim gerado é 
(A) 200 
(B) 205 
(C) 206 
(D) 207 
(E) 216 
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RESOLUÇÃO: 
Observe que os tetraedros retirados possuem 3 lados medindo 3cm (metade da aresta do cubo) e outros três 
lados. Mais ainda, podemos ver que o volume de cada tetraedro é dado pela multiplicação entre a área de sua 
base (que é um triângulo cujos dois catetos medem 3cm) pela sua altura (que também é uma das arestas de 
3cm), totalizando: 
Volume do tetraedro =
1
3
 x Área da base x altura 
Volume do tetraedro = 
1
3
 𝑥 
3𝑥3
2
 𝑥 3 = 4,5𝑐𝑚3 
 
O cubo original tinha volume de 63 = 216cm3. Com a retirada dos dois tetraedros, o volume restante é: 
V = 216 – 2x4,5 = 207cm3 
Resposta: D 
 
31. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) 
A Figura mostra um reservatório que tem a forma de um cone reto, cujo eixo é perpendicular ao solo e cuja 
altura e raio da base medem 10 metros. O reservatório estava vazio e passou a receber resíduos líquidos 
segundo uma taxa constante de 0,25 m3 por segundo. A altura do nível do líquido presente no reservatório 
aumenta em função do tempo. Essa altura, em metros, é representada por h(t), sendo t o tempo dado em 
segundos e contado a partir do momento em que os resíduos passaram a ser despejados no reservatório. 
 
A velocidade de variação da altura h em relação ao tempo, em m/s, no instante em que h for igual a 5 metros, 
será de 
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RESOLUÇÃO: 
Por semelhança de triângulos, note que quando a altura preenchida for de 5m, o raio da base da parte 
preenchida será também de 5m. Ou seja, a área da base da parte preenchida será, neste momento: 
Área da base preenchida =𝜋. 𝑅2= 𝜋. 52= 25𝜋 m2 
 
Para calcularmos a velocidade instantânea de elevação do líquido, podemos considerar que, neste instante, a 
área da base não varia, permanecendo em 25𝜋 m2. Como o líquido é recebido à taxa de 0,25 m3/s, podemos 
considerar que, em 1 segundo, recebe-se 0,25m3. Este volume corresponde à multiplicação entre a área da base 
(25𝜋 m2) e a variação de altura neste segundo (dh), isto é, 
0,25 = 25𝜋 . dh 
dh = 
0.25
25𝜋
=
1
100𝜋
 
 
Isto é, o líquido sobe à razão de 
1
100𝜋
 metros por segundo no instante considerado. 
Resposta: A 
 
32. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) 
A densidade volumétrica de um objeto é definida pela razão entre a sua massa e o seu volume. Sabe-se que 
dois cubos sólidos possuem a mesma densidade volumétrica, sendo que um deles tem as arestas medindo 10 
cm, o outro tem as arestas medindo 20 cm, e a massa do cubo menor é igual a 750 gramas. 
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A massa do cubo maior, em quilogramas, é igual a 
(A) 8,0 
(B) 7,5 
(C) 6,0 
(D) 3,0 
(E) 1,5 
RESOLUÇÃO: 
Pela definição do enunciado, temos: 
Densidade volumétrica = 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 
 
Ocorre que o volume de um cubo é dado por (𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎)3. Podemos dizer que os volumes dos cubos menor e 
maior corresponde a [10cm]3= 1000cm3 e [20cm]3=8000cm3, respectivamente. 
As densidades dos cubos menor em maior valem 
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
 e 
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
. 
Sabe-se que dois cubos sólidos possuem a mesma densidade volumétrica, ou seja, 
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
 = 
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
 
750
1000
 = 
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
8000
 
750
1
 = 
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
8
 
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 8 x 750 
𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 6000 gramas que equivale a 6,0 Kg 
Resposta: C 
 
 
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33. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) 
A Figura ao lado mostra a planificação de um cubo, sobre a qual foram numerados 6 vértices de suas faces. 
Quando o cubo for montado, vértices identificados com números diferentes poderão sobrepor-se em um 
mesmo vértice do cubo. 
 
Por exemplo, serão sobrepostos em um mesmo vértice do cubo o vértice numerado com 1 e aquele numerado 
com 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
RESOLUÇÃO: 
A ilustração abaixo mostra o deslocamento que as faces produzem a um ângulo de 90º para cada movimento. 
Assim: 
 
Repare que ao analisar sob uma visão superior, os vértices de numeração 1, 3 e 6 se encontram após a formação 
do cubo. 
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Note ainda que o número 6 está fixado no vértice da face oposta à do 3. Isso significa que o encontro realmente 
ocorre com os números 1 e 6. 
Resposta: B 
 
 
Fim de aula. Até o próximo encontro! 
Saudações, 
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Lista de questões da aula 
1. VUNESP – Pref. de São José dos Campos – 2018) 
O formato interno de um vidro de perfume é de um prisma triangular reto, cuja base é um triângulo retângulo 
com o maior e o menor lados medindo 2,5 e 1,5 centímetros, respectivamente. Se esse vidro tem capacidade 
máxima para 15 mililitros de perfume, então é verdade que sua altura interna mede, em centímetros, 
(A) 10. 
(B) 9,5. 
(C) 9. 
(D) 8,5. 
(E) 8.2. VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) 
A bolinha que é utilizada no jogo de sinuca, ou de bilhar, é um objeto que pode ser dado como exemplo de 
representante de 
(A) circunferência. 
(B) cilindro. 
(C) círculo. 
(D) cone. 
(E) esfera. 
 
3. VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) 
A professora Márcia queria ensinar para seus alunos a relação existente entre litros e centímetros cúbicos. Para 
tanto, ela despejou o correspondente a um litro de água em um vasilhame, com formato interno de 
paralelepípedo reto retangular, cuja capacidade era também de um litro, e as dimensões da base eram 10 e 20 
centímetros. A altura interna, em centímetros, desse vasilhame era 
(A) 12,5. 
(B) 10. 
(C) 7,5. 
(D) 5. 
(E) 2,5. 
 
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4. VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) 
Um peso de papel tem a forma de um prisma reto de base retangular, cujas medidas estão indicadas, em 
centímetros, na figura. 
 
Sabendo-se que o volume dessa peça é 48 cm3, o valor de sua altura, representada na figura por 4x, é 
(A) 2 cm. 
(B) 4 cm. 
(C) 6 cm. 
(D) 8 cm. 
(E) 10 cm. 
 
5. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2018) 
Em um prisma triangular regular reto inscreve-se um cilindro reto de modo que a base do cilindro seja um 
círculo inscrito na base do prisma. Se a área lateral do prisma é X, e a área lateral do cilindro é Y, a razão Y/X é 
igual a 
(A) 
3
6

 
(B) 
3
3

 
(C) 
3
9

 
(D) 
3

 
(E) 
9
3

 
 
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6. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) 
A Figura a seguir representa um sólido obtido quando se cortam dois tetraedros de um prisma trapezoidal reto 
de bases PQAD e NRBC. As faces ABCD e PNCD são quadrados de lado 2 m, perpendiculares entre si, e o ponto 
M é tal que PM e MN têm mesmo comprimento e são perpendiculares entre si. 
 
Qual o volume desse sólido, em m3? 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 16/3 
(E) 22/3 
 
7. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2018) 
Um tronco de prisma triangular reto tem como base um triângulo equilátero de lado 6√3
4
 cm. Suas arestas 
laterais, perpendiculares à base, medem 1 cm, 4 cm e 6 cm. Qual o volume, em cm³, desse tronco de prisma? 
(A) 100 
(B) 99 
(C) 98 
(D) 96 
 (E) 90 
 
 
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8. CONSULPLAN – SEDUC/PA – 2018) 
Os poliedros de Platão são aqueles que possuem algumas propriedades; analise-as. 
Todas as faces apresentam o mesmo número de arestas. 
Todos os vértices possuem o mesmo número de arestas, isto é, se um vértice é a extremidade de três arestas, 
por exemplo, então todos serão também. 
É convexo 
Vale a seguinte relação, chamada de relação de Euler: V – A + F = 2. 
São poliedros de Platão: cubo (hexaedro regular), tetraedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, 
icosaedro regular. 
Estão corretas as afirmativas: 
(A) I, II, III, IV, e V 
(B) I, II, III e V, apenas. 
(C) I, II, IV e V, apenas. 
(D) I, III, IV e V, apenas. 
 
9. CESPE – PREF SÃO LUÍS – 2017) 
Os biscoitos de sal de determinada marca têm a forma de um paralelepípedo retângulo: a base é um quadrado 
de lados medindo 6 cm; a altura mede 0,25 cm. Os biscoitos são acondicionados em caixas com capacidade 
para 5.184 cm³. 
Nesse caso, a quantidade de biscoitos que podem ser acondicionados em uma dessas caixas é 
a) superior a 1.500. 
b) inferior a 100. 
c) superior a 100 e inferior a 500. 
d) superior a 500 e inferior a 1.000. 
e) superior a 1.000 e inferior a 1.500. 
 
10.CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) 
A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera que tangencia a base do cilindro e as 
geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base um círculo de raio 7 cm e a mesma altura 
que mede 24 cm. 
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Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone? 
(A) 800 π 
(B) 784 π 
(C) 748 π 
(D) 684 π 
(E) 648 π 
 
11.VUNESP – PM/SP – 2017) 
Uma peça de madeira tem o formato de um prisma reto com 15 cm de altura e uma base retangular com 6 cm 
de comprimento, conforme mostra a figura. 
 
Sabendo que o volume dessa peça é 720 cm3, a área da base é 
(A) 40 cm2. 
(B) 48 cm2. 
(C) 44 cm2. 
(D) 36 cm2. 
(E) 52 cm2. 
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12.VUNESP – TJ/SP – 2017) 
As figuras seguintes mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato cúbico e C com formato 
de paralelepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são representados por VA, VB e VC. 
 
Se VA + VB = 1/2.VC, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em centímetros, igual a 
(A) 11. 
(B) 12,5. 
(C) 16. 
(D) 15,5. 
(E) 14.. 
 
13. VUNESP – CRBio – 2017) 
De um reservatório com formato de paralelepípedo reto retângulo, totalmente cheio, foram retirados 3 m³ de 
água. Após a retirada, o nível da água restante no reservatório ficou com altura igual a 1 m, conforme mostra a 
figura. 
 
Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura total do reservatório, indicada por h na figura, é, em 
metros, igual a 
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(A) 1,8. 
(B) 1,75. 
(C) 1,7. 
(D) 1,65. 
(E) 1,6. 
 
14.VUNESP – OFICIAL PM/SP – 2017) 
Certo combustível preenchia totalmente um reservatório A, na forma de um cilindro circular reto, de raio da 
base igual a 5/√π m e altura igual a 5 m. Sabe-se que 4/5 do combustível contido em A foi transferido, sem 
desperdício, para 10 reservatórios menores B, todos iguais e também cilíndricos, de 1,25 m de altura, 
preenchendo-os totalmente. 
 
Nessas condições, é correto afirmar que a medida do raio do reservatório B é, em metros, igual 
 a) 
10 2

 
 b) 
4 2

 
 c) 
4 

 
 d) 
2 10

 
 e) 
2 2

 
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15. IBFC – Polícia Científica/PR – 2017) 
Um paralelepípedo retângulo tem as seguintes dimensões: 5 m de comprimento, 6 m de largura e 8 m de altura. 
Nessas condições, a medida da área total e o volume deste paralelepípedo são, respectivamente: 
a) 60m2 e 138m3 
b) 236m2 e 240m3 
c) 236m2e 260m3 
d) 240m2e 260m3 
e) 280m2 e 240m3 
 
16.IDECAN – Bombeiros/RN – 2017) 
A figura a seguir refere-se a três sólidos com raio = 1/6 de 36 cm; a altura do cilindro é 1/2 do raio mais 1 cm e a 
altura do cone é o dobro da altura do cilindro. 
 
O volume do sólido gerado pela rotação completa em torno do seu eixo é: 
A) 240π cm2. 
B) 240π cm3. 
C) 384π cm2. 
D) 384π cm3. 
 
 
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17. FAURGS – TJ/RS – 2017) 
No cubo de aresta 10, da figura abaixo, encontra-se representado um plano passando pelos vértices B e C e 
pelos pontos P e W, pontos médios, respectivamente, das arestas EF e HG, gerando o quadrilátero BCPQ. 
 
A área do quadrilátero BCPQ, da figura acima, é 
(A) 25√2 
(B) 50√2 
(C) 50√5 
(D) 100√2 
(E) 100√5 
 
18.FAURGS – TJ/RS – 2017) 
Um cilindro reto de altura h tem volume V. para que um cone reto com base igual a desse cilindro trnha volume 
V, a sua altura deve ser igual a 
(A) 1h/3 
(B) 1h/2 
(C) 2h/3 
(D) 2h 
(E) 3h 
 
19.FCC– SEDU/ES – 2016) 
A diagonal de um cubo corresponde, aproximadamente, a: 
(A) 111% da aresta do cubo. 
(B) 144% da aresta do cubo. 
(C) 122% da diagonal da base do cubo. 
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(D) 144% da diagonal da base do cubo. 
(E) 173% da diagonal da base do cubo. 
 
20.FCC – SEDU/ES – 2016) 
Um frasco tem a forma de pirâmide quadrangular regular. As faces laterais dessa pirâmide são triângulos 
equiláteros de altura 6 cm, e espessura desprezível. Sendo assim, a capacidade desse frasco, em ml, é um valor 
entre 
(A) 70 e 75. 
(B) 60 e 65. 
(C) 55 e 60. 
(D) 65 e 70. 
(E) 75 e 80. 
 
21.FCC – SEDU/ES – 2016) 
Um professor utilizou sólidos geométricos (ocos) de acrílico para que os alunos pudessem preenchê-los com 
água e comparar seus volumes, por meio da comparação entre capacidades. Os sólidos comparados eram um 
cilindro circular reto de raio interno da base 3 cm e altura ℎ1, um cone circular reto de raio interno da base 3 cm 
e altura ℎ2,e uma esfera de raio interno 3 cm. Se a experiência permitiu concluir que as capacidades dos três 
sólidos comparados eram iguais, então é correto afirmar que ℎ1 + ℎ2, em cm, é igual a 
(A) 16. 
(B) 3. 
(C) 15. 
(D) 9. 
(E) 12. 
 
22.FGV – CODEBA – 2016) 
Um contêiner possui, aproximadamente, 6,0 m de comprimento, 2,4 m de largura e 2,3 m de altura. A 
capacidade cúbica desse contêiner é de, aproximadamente, 
(A) 31 m3 
(B) 33 m3 
(C) 35 m3 
(D) 37 m3 
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(E) 39 m3 
 
23. FGV – PREF PAULÍNIA – 2016) 
Um cubo de ouro maciço com 2 cm de aresta hoje vale R$ 19.000,00. O valor de um cubo de ouro maciço com 
3 cm de aresta hoje vale, aproximadamente, 
a) R$ 28.000,00. 
b) R$ 36.000,00. 
c) R$ 43.000,00. 
d) R$ 52.000,00. 
e) R$ 64.000,00. 
 
24.FGV – PREF PAULÍNIA – 2016) 
O reservatório de um caminhão tanque que transporta água e está completamente cheio, como o da figura a 
seguir, é um cilindro horizontal com 8m de comprimento e 2 m de diâmetro, 
 
O conteúdo do tanque foi transferido para uma caixa d’água retangular (cisterna) com 4m de comprimento e 3 
m de largura. Após a transferência da água do caminhão para o tanque, o nível da água na caixa atingiu a altura 
de, aproximadamente, 
a) 2,1 m. 
b) 2,3 m. 
c) 2,5 m. 
d) 2,7 m. 
e) 2,9 m. 
 
 
 
 
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25. FGV – IBGE – 2016) 
Uma pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado e quatro triângulos iguais ao da figura 
abaixo. 
 
 O volume dessa pirâmide em m³ é aproximadamente: 
a) 84; 
b) 90; 
c) 96; 
d) 108; 
e) 144. 
 
26.CESPE – FUB – 2016 - Adaptada) 
Em um almoxarifado há, em estoque, 100 caixas na forma de paralelepípedos retângulos. Considerando essas 
informações, julgue o item. 
( ) Se a área interna da base do paralelepípedo de uma caixa de 60 L for igual a 2.000 cm2, então a altura interna 
dessa caixa medirá menos de 35 cm. 
 
27. VUNESP – MP/SP – 2016) 
Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo reto cuja base interna é um retângulo em que um lado é duas 
vezes maior do que o outro. A cada litro de água despejado nesse recipiente, seu nível aumenta em 5 cm. A 
área, em cm2, da base interna desse recipiente, vale 
(A) 150. 
(B) 200. 
(C) 175. 
(D) 225. 
(E) 250. 
 
 
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28.VUNESP – PREF. GUARULHOS – 2016) 
O baú de um caminhão, cujas dimensões internas estão mostradas na figura, está carregado com 120 caixas 
cúbicas iguais, de 0,5 m de aresta cada, sendo que o volume total dessa carga corresponde a 3/4 do volume 
total do baú. Nessas condições, é correto afirmar que a dimensão indicada por x na figura é, em metros, igual a 
 
 a) 4. 
 b) 4,5. 
 c) 5. 
 d) 5,5. 
 e) 6. 
 
29.VUNESP – MP/SP – 2016) 
Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo reto cuja base interna é um retângulo em que um lado é duas 
vezes maior do que o outro. A cada litro de água despejado nesse recipiente, seu nível aumenta em 5 cm. A 
área, em cm2, da base interna desse recipiente, vale 
(A) 150. 
(B) 200. 
(C) 175. 
(D) 225. 
(E) 250. 
 
30.CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2012) 
De um cubo de 6 cm de aresta, retiram-se dois tetraedros, cada um formado por um vértice do cubo e pelos 
pontos médios das arestas que incidem sobre eles, conforme a figura a seguir. 
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O volume, em cm3, do poliedro assim gerado é 
(A) 200 
(B) 205 
(C) 206 
(D) 207 
(E) 216 
 
31. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2014) 
A Figura mostra um reservatório que tem a forma de um cone reto, cujo eixo é perpendicular ao solo e cuja 
altura e raio da base medem 10 metros. O reservatório estava vazio e passou a receber resíduos líquidos 
segundo uma taxa constante de 0,25 m3 por segundo. A altura do nível do líquido presente no reservatório 
aumenta em função do tempo. Essa altura, em metros, é representada por h(t), sendo t o tempo dado em 
segundos e contado a partir do momento em que os resíduos passaram a ser despejados no reservatório. 
 
A velocidade de variação da altura h em relação ao tempo, em m/s, no instante em que h for igual a 5 metros, 
será de 
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32. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) 
A densidade volumétrica de um objeto é definida pela razão entre a sua massa e o seu volume. Sabe-se que 
dois cubos sólidos possuem a mesma densidade volumétrica, sendo que um deles tem as arestas medindo 10 
cm, o outro tem as arestas medindo 20 cm, e a massa do cubo menor é igual a 750 gramas. 
 
A massa do cubo maior, em quilogramas, é igual a 
(A) 8,0 
(B) 7,5 
(C) 6,0 
(D) 3,0 
(E) 1,5 
 
 
 
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33. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) 
A Figura ao lado mostra a planificação de um cubo, sobre a qual foram numerados 6 vértices de suas faces. 
Quando o cubo for montado, vértices identificados com números diferentes poderão sobrepor-se em um 
mesmo vértice do cubo. 
 
Por exemplo, serão sobrepostos em um mesmo vértice do cubo o vértice numerado com 1 e aquele numerado 
com 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gabarito 
1. E 
2. E 
3. D 
4. D 
5. C 
6. D 
7. B 
8. A 
9. D 
10. C 
11. B 
12. B 
13. E 
14. E 
15. B 
16. D 
17. C 
18. E 
19. C 
20. E 
21. A 
22. C 
23. E 
24. A 
25. D 
26. C 
27. B 
28. C 
29. B 
30. D 
31. A 
32. C 
33. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Raciocínio Lógico e Matemática COMPLETÃO – do ZERO à APROVAÇÃO 
Resumo direcionado 
 
- Relação de Euler: V + F = A + 2 
 
- Principais figuras espaciais: 
 
Figura Área Figura Área 
Paralelepípedo 
 
V = Ab x h 
Volume = área da 
base x altura 
V = C x L x H 
Volume = 
comprimento x 
largura x altura 
Cubo 
 
 3V A 
Volume = aresta ao 
cubo 
Cilindro 
 
V = Ab x h 
Volume = área da 
base x altura 
 2V R H 
Volume = pi x raio 
ao quadrado x 
altura 
Cone 
 
3
Ab H
V

 
Volume = área da 
base x altura / 3 
Pirâmide 
 
3
Ab H
V


 
Volume = área da 
base x altura / 3 
Prisma 
 
V = Ab x h 
Volume = área da 
base x altura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Raciocínio Lógico e Matemática COMPLETÃO – do ZERO à APROVAÇÃO 
Esfera 
 
V = 4 R3/3 
Volume = 4 x pi x 
raio ao cubo / 3