Capacitores

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Pawel Klimas
5. Capacitores e Dielétricos 
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Capacitor
q �q
Va Vb
Capacitor é um componente que 
armazena  cargas elétricas  num  campo 
elétrico, acumulando um desequilíbrio 
interno de carga elétrica.
Do ponto de vista técnico qualquer dois 
condutores formam um capacitor. É 
conveniente assumir que inicialmente os 
condutores são neutros. Deste modo a 
transmissão de carga de um condutor 
para outro ressalta em cargas iguais e 
opostas nas condutores.
Os condutores que formam um capacitor 
chamamos placas do capacitor.
O potencial elétrico em todos os pontos da 
mesma placa toma o mesmo valor. 
Simbolo:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctrico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9trica
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Num estado arbitrário as placas do capacitor tem potenciais e e as cargas 
nas placas tem valores e . 
Va Vb
q �q
Capacitância do capacitor é calculada pela relação entre a diferencia do potencial (ou 
tensão elétrica) existente entre as placas do capacitor e a carga elétrica nele armazenada.
C :=
q
�V
�V = Va � Vb
Capacitância do capacitor medi capacidade de armazenamento de energia (ou carga). Este 
parâmetro depende da geometria e a composição (materiais dielétricos) do capacitor. 
Como a capacitância é uma constante, então a 
variação infinitesimal da tensão “dV” deve ser 
relacionada co variação infinitesimal da carga 
“dq’’ de modo que 
C =
dq
dV
Unidade de capacitância é FARAD 
F =
C
V
=
C
J/C
=
C2
J
=
=
A2 s2
J
=
A2 s2
Nm
=
A2 s4
kgm2
mF = 10�3F
µF = 10�6F
nF = 10�9F
pF = 10�12F
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Capacitor plano
Campo não é uniforme na borda. Este efeito pode ser 
desprezado se as placas do capacitor ficaram muito 
perto. 
0
d
z
A
Campo uniforme dentro do capacitor
Campo nulo fora do capacitor
~E = Eẑ
~E = ~0
Deslocamento infinitésimo no caminho “C”
d~l = x̂ dx+ ŷ dy + ẑ dz
Q
�Q
Va
Vb
C
�V =
Z
C
~E · d~l =
Z d
0
Edz = Ed
E =
�0
"0
= const
=
�0
"0
Q = �0 A
Tensão elétrica 
Carga elétrica na placa (+) 
Capacitância do capacitor 
Observação: o caminho que conecta as placas 
pode ser arbitrário.
C =
q
�V
= "0
A
d
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Capacitor esférico 
Campo esférico dentro do capacitor
Campo nulo fora do capacitor
~E = ~0
Deslocamento infinitésimo no caminho “C”
d~l = r̂ dr + ✓̂ rd✓ + '̂ r sin ✓ d'
~E = r̂
kQ
r2
Tensão elétrica 
Carga elétrica na placa (+) 
Capacitância do capacitor 
Observação: o caminho que conecta as placas 
pode ser arbitrário.
Q = 4⇡r2a�0
C =
Q
�V
= 4⇡"0

1
ra
� 1
rb
��1
C
ra
rb
Q
�Q
Va
Vb
�V =
Z
C
~E · d~l =
Z rb
ra
kQ
r2
dr =
Q
4⇡"0

1
ra
� 1
rb
�
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Capacitor cilíndrico 
Campo dentro do capacitor pode ser aproxima -
do por campo cilíndrico para e 
Campo nulo fora do capacitor
~E = ~0
Deslocamento infinitésimo no caminho “C”
Tensão elétrica 
Carga elétrica na placa (+) 
Capacitância do capacitor 
Observação: o caminho que conecta as placas 
pode ser arbitrário.
C
Q
�Q
Va
Vb
⇢b
L
~E = ⇢̂
2kQ
L
1
⇢
L � ⇢a L � ⇢b
d~l = ⇢̂ d⇢+ '̂ ⇢d'+ ẑ dz
�V =
Z
C
~E · d~l =
Z ⇢b
⇢a
2kQ
L ⇢
d⇢ =
Q
2⇡"0L
ln
rb
ra
Q = 2⇡⇢aL�0
C =
Q
�V
= 2⇡"0L

ln
⇢b
⇢a
��1
⇢a
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Associação de capacitores
Associação em serie Associação em paralelo
+_
C1 C2 CN
VaVb
�V1 �V2 �VN
�q �q�qq q q
+
_
C1 C2 CN Va
Vb
q1
�q1 �q2
q2 qN
�qN
�V �V �V
Cargas nas placas (+) de todos os capacitores 
são as mesmas q1 = q2 = . . . = qN ⌘ q
Tensão elétrica nas terminais “a” e “b” é igual 
a soma das tensões nos capacitores
�V =
NX
k=1
�Vk
1
C
=
�V
q
=
NX
k=1
�Vk
q
=
NX
k=1
1
Ck
Capacitância equivalente 
Tensões entre as placas (+) e (-) de todos os 
capacitores são as mesmas
Soma das cargas acumuladas nas placas (+) e 
(-) é igual a carga do capacitor equivalente
Capacitância equivalente 
�V1 = . . . = �VN ⌘ �V
q =
NX
k=1
qk
C =
q
�V
=
NX
k=1
qk
�V
=
NX
k=1
Ck
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 Exemplo 1: Redução a associações em serie e em paralelo
Consideramos uma associação de capacitores: 
em serie em paralelo em serie
C1 C2
C3C4
C5 C23 C235
C1
C5
C1
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C4
+
1
C235
C123 = C23 + C5
C4 C4
1
C23
=
1
C2
+
1
C3
A capacitância equivalente deste circuito pode ser derivada pela redução 
para associações em serie e em paralelo. Esta situação não é genérica. 
Mostramos isto no próximo exemplo.
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 Exemplo 2: Sistema irredutível
Consideramos uma associação de 
capacitores: 
C1 C2
C3C4
C5Va Vb
A
B
C
X
Y
C
C1 = C3 = C5 = 2C
C2 = C4 = C
Para simplificar calculo consideramos: 
unidade de capacitância
Esta associação não pode ser reduzida 
Para calcular capacitância equivalente 
precisamos encontrar tensões elétricas nas 5 
capacitores (sistema com 5 variáveis) 
Precisamos 5 equações independentes 
3 equações associadas com quedas de 
potencial
A
B
C
X
Y
2 equações associadas com conservação 
de carga em nós X e Y
�V1 +�V2 = �V
Va � Vb ⌘ �V
�V3 +�V4 = �V
�V1 +�V3 +�V5 = �V
�q1 + q2 + q5 = 0
+
+
+
+
+_
_ _
_
_
q3 � q4 � q5 = 0
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X
Y
Substituindo capacitâncias:
�C1�V1 + C2�V2 + C5�V5 = 0
C3�V3 � C4�V4 � C5�V5 = 0
X
Y
Dividindo por “C”:
�2�V1 +�V2 + 2�V5 = 0
2�V3 ��V4 � 2�V5 = 0
Forma final das equações:
2�V3 ��V4 � 2�V5 = 0 [5]
�2�V1 +�V2 + 2�V5 = 0 [4]
�V1 +�V3 +�V5 = V [3]
�V3 +�V4 = V [2]
�V1 +�V2 = V [1]
[1]� [4] : 3�V1 � 2�V5 = V
[2] + [5] : 3�V3 � 2�V5 = V
�V1 = �V3
[3] : 2�V1 +�V5 = V
[1]� [4] : 3�V1 � 2�V5 = V
�V1 = �V3 =
3
7
V
�V5 =
1
7
V
�V4 =
4
7
V
�V2 =
4
7
V[1] : �V2 = V ��V1
[2] : �V2 = V ��V3
Capacitância equivalente: 
Ceq =
q
V
=
q1 + q4
V
=
C1�V1 + C4�V4
V
=
(2C)( 37V ) + C(
4
7V )
V
=
10
7
C
A solução:
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Energia do campo eletrostático
Consideramos um capacitor de capacitância “C” e uma bateria. Ao ligar a bateria a 
capacitor a carga começa se acumular nas placas dele ate a diferença de potenciais entre 
as placas atingir o valor da tensão nos terminais da bateria.
A dinâmica deste processo será estudado mais adiante. Agora estamos interessados 
encontrar a quantidade de energia necessária para carregar um capacitor. 
Va Vb Va Vb Va Vb
Va � Vb = 0 Va � Vb = �V (q) =
q
C
Va � Vb = �V (Q) =
Q
C
0 0 q �q Q �Q
INICIAL INTERMEDIÁRIO FINAL
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Trabalho infinitesimal realizado pala força externa (bateria) para transferir a carga 
“dq” entre as placas na presença da tensão elétrica “∆V” é convertido em energia 
armazenada no capacitor 
dWext(b ! a) =
Z a
b
~Fext · d~l =
Z a
b
(�dq ~E) · d~l = dq
Z b
a
(� ~E · d~l) =
= dq
Z b
a
dV = (Va � Vb)dq = �V (q)dq =
q
C
dq = dU
Trabalho total de para carregar o capacitor de q = 0 ate q = Q
U =
Z U
0
dU 0 =
Z Q
0
q
C
dq =
Q2
2C
U =
Q2
2C
=
C�V 2
2
=
Q�V
2
Energia armazenada no capacitor
Observação: Num processo real existem perdas de energia (resistência de fios 
etc.) portanto a energia fornecida pela bateria é maior do que energia armazenada 
no capacitor.
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Relação entre energia do capacitor e intensidade do campo eletrostático
Consideramos um capacitor plano. Campo no interior entre as placas pode ser 
aproximado por campo uniforme E=const enquanto o campo fora do capacitor 
seja desconsiderado.0
d
z
A
Q
�Q
Va
Vb
C
U = 12C(�V )
2 = 12 ("0
A
d )(Ed)
2
= "02 E
2 Ad
E =
�0
"0
=
�V
d
C = "0
A
d
const volume
=
Z
vol
u d3x
u :=
"0
2
~E2
região entre as placas
Densidade de energia do
 campo eletrostático
Energia armazenada no capacitor é a energia do próprio campo elétrico
Aqui a passagem entre o produto e a integral de uma densidade foi imediata porque a 
densidade era constante. Precisamos mostrar que esta abordagem leva ao resultado 
correcto no caso de campo não uniforme.
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Testando a ideia de densidade de energia: capacitor esférico
Calculamos a energia armazenada num capacitor esférico como trabalho realizado pela força 
externa. Utilizando a formula para energia armazenada no capacitor temos que
C =
Q
�V
= 4⇡"0

1
ra
� 1
rb
��1
U =
1
2
Q2
C
=
Q2
8⇡"0

1
ra
� 1
rb
�
Testamos a ideia de que a energia pode ser calculada integrando a densidade 
de energia 
~E = kQ
r̂
r2
u =
"0
2
~E2 =
"0
2
k2
Q2
r4
=
1
32⇡2"0
Q2
r4
Integramos sobre volume entre as cascas esteáricas (onde campo não é nulo). 
U =
Z
vol
u d3x =
Z 2⇡
0
d'
Z ⇡
0
sin ✓d✓
Z rb
ra
drr2u(r) = 4⇡
Z rb
ra
drr2
1
32⇡2"0
Q2
r4
=
Q2
8⇡"0
Z rb
ra
dr
r2
=
Q2
8⇡"0

1
ra
� 1
rb
�
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Energia do campo de casca esférica
rb
ra
�a
�b
rb
~E = 0
~E = 0
Consideramos uma casca esférica com carga “Q” distribuída 
uniformemente na superfície dela. sabemos que campo 
elétrico dentro da casca é nulo e o campo fora dela é igual a 
campo de carga puntiforme “Q” localizada no cento da 
esfera.
Consideramos que uma força externa (pressão) diminui raio
de esfera aproximando cargas. 
Energia armazenada no campo da esfera maior/menor é a 
integral de volume da densidade de energia
u(r) =
Q2
32⇡2"0
1
r4
Ua/b = 4⇡
Z 1
ra/b
drr2u(r) =
Q2
8⇡"0
1
r
���
1
ra/b
=
Q2
8⇡"0
1
ra/b
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A diferença da energia dos campos depois e antes é igual a
�U = Ua � Ub =
Q2
8⇡"0

1
ra
� 1
ra
�
Esta energia é exatamente a energia do campo criado no processo de compressão da esfera.
O campo no região aparece como resultado desta compressão.ra < r < rb
Pode-se mostrar pelo calculo explicito que o trabalho realizado pela força externa sobre as 
cargas (contra a força da repulsão delas) é igual a energia do campo elétrico dentro da casca
ra < r < rb
Campo elétrico (em geral eletromagnético) É UMA FORMA DE 
MATÉRIA. Como tal, ele tem a energia. A energia é apenas uma 
das quantidades associadas com o campo eletromagnético. 
Outras são: momento linear e momento angular. 
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Cargas elétricas em meios materiais 
Meios materiais são compostos de átomos que formam redes cristalinas, moléculas complexas 
etc. Cada átomo possui sua estrutura eletrônica. Maioria de elétrons esta ligada com núcleo 
atômico. Dependendo do tipo de material os elétrons da ultima camada podem, ou não, 
deslocar-se livremente no interior do meio material. A forma da mobilidade dos elétrons (ou 
íons) determina se eles são classificados como cargas livres ou ligadas.
CARGAS ELÉTRICAS
LIVRES LIGADAS
Podem deslocar-se livremente 
nas distancias macroscópicas no 
interior de material.
Possuem a mobilidade restringida 
a interior de molécula com qual 
estão ligadas.
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Dielétricos
Dielétricos são materiais isolantes (para campos que não ultrapassam valores críticos) com 
moléculas neutras. Moléculas dielétricas podem ter (ou adquirir) momento do dipolo elétrico. 
MOLÉCULAS DIELÉTRICAS
NAO-POLARES POLARES
Não possuem momento do dipolo elétrico 
permanente. Na presença do campo elétrico 
externo aparece momento induzido. 
Possuem o momento do dipolo elétrico permanente. 
Na presença do campo elétrico externo ocorre 
alinhamento de moléculas com campo externo e 
aparece o momento do dipolo macroscópico.
~E = 0 ~E 6= 0 ~E = 0 ~E 6= 0
+
-
-
-
-
+
-
-
-
-
nuvem eletrônica
nucleo
~p 6= 0~p = 0
~pmacro = 0 ~pmacro 6= 0~pmacro = 0 ~pmacro 6= 0
~p ~p
~p
~p
~p ~p
~p
~p
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Constante dielétrica
Constante dielétrica pode ser introduzida através da comparação de capacitâncias 
do capacitor sem e com preenchimento com material dielétrico. 
Va
Vb
Q
�Q
C0 :=
Q
�V
C > C0
fato experimental
Definição da constante dielétrica: 
C = C0 =
Q
�V
=
Q
�V

 :=
C
C0
> 0
Para a mesma voltagem nos 
dois capacitores, o capacitor 
com dielétrico acumula maior 
quantidade de carga.
Dois capacitores tem a mesma 
carga. A voltagem entre as 
placas é menor no capacitor 
com dielétrico.
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A voltagem entre es placas esta relacionada com intensidade de campo elétrico:
�V =
Z b
a
~E0 · d~l = E0d
�V

=
Z b
a
~E · d~l = Ed
Isto significa que dois capacitores idênticos carregados coma mesma carga tem camps elétricos 
diferentes. A intensidade do campo dentro de capacitor com material dielétrico é menor.
E =
E0

< E0
Campo elétrico resultante dentro de um material dielétrico é uma superposição de 
campo externo e o campo induzido (produzido por dipolos elétricos). O campo 
resultante de dipolos depende de orientação deles. Esta orientação, por outro lado, 
depende do campo medio em qual cada dos dipols se encontra. 
~E = ~Eext + ~Eind
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Carga polarizada
O conceito de carga polarizada pode ser introduzido através da aplicação de lei de 
Gauss á superfície de um dielétrico.
~E
�a ẑ
��a ẑ
~E0
~E0
S1
S2
+ + + + + +
- - - ---
Campo elétrico não é continuo nas 
superfícies da interface “1” e “2”. 
I
S
~E · d~a = Qenc
"0
h
Consideramos uma caixa Gaussiana com 
bases paralelas a superfície de interface a 
altura “h” infinitesimal h ⌧
p
�a
Fluxo do campo pela superfície lateral é 
desprezável (caso o campo não ser 
perpendicular a superficial de interface )
1
2
( ~E0 � ~E) · ẑ = 1"0
Qenc
�a
( ~E0 � ~E) · ẑ = � 1"0
Qenc
�a
O lado esquerdo é diferente de zero. Isto implica 
que deve existir uma carga elétrica associada 
com esta discontinuidade. esta carga é chamada 
carga polarizada
�(1)p := lim�a!0
Qenc
�a = "0(
~E0 � ~E)|S1 · ẑ
�(2)p := lim�a!0
Qenc
�a = �"0( ~E0 � ~E)|S2 · ẑ
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Densidade da carga polarizada é dada pela discontinuidade da componente normal do campo 
elétrico na superfície de interface. Isto significa que valores dos campos são tomados nos limites 
aproximando se a superfície de lados opostos dela. 
Carga polarizada total (soma das cargas polarizadas nas todas as superfícies de interface) deve ser 
nula porque o dielétrico é neutro. Campo elétrico externo apenas desloca cargas.
I
S
�pda = 0
No exemplo mostrado no desenho:
I
S
�pda = �
(1)
p A+ �
(2)
p A = �
(1)
p A� �(1)p A = 0
onde “A” representa área da superfície de dielétrico perpendicular ao campo.
A relação com a constante dielétrica
E0 = E �p = "0(� 1)E
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Vetor de polarização 
Os momentos de dipolo elétrico orientam-se no sentido do campo elétrico.
Ao girar dielétrico no campo externo muda a carga carga polarizada na superfície dele. 
Introduzimos angulo entre o vetor normal de superfície e o vetor elétrico do campo externo. 
~E0~E0~E0
n̂
n̂
n̂
�p(0)
��p(0)
�p(✓)
�p(
⇡
2 � ✓)
��p(⇡2 � ✓)
��p(✓)
✓
�qp = �p(✓)�aCarga polarizada comporta-se como uma especie de fluxo. 
Definimos vetor de polarização : ~P �qp = ~P · n̂�a Componente normal de polarização 
tem significado de 
densidade de cargapolarizada
Pn
Pn = �p
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Relação com momento do dipolo elétrico
�p
��p
�qp
��qp
�qp
��qp
h �~p = (�qph)ẑ
ẑ Momento do dipolo elétrico 
associado com dois discos 
nas superfícies opostos de
uma placa dielétrica 
Utilizando conceito de densidade de carga polarizada
�~p = (�p�a)h ẑ = (Pnẑ) (�a h) = ~P �v
volume
~P = lim
�v!0
�~p
�v
Vetor de polarização represente densidade
volumétrica do momento do dipolo elétrico. 
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FSC 5193
Definição formal do vetor de polarização 
Abordagem fenomenológica: campos elétricos e densidades de cargas tem interpretação de 
campos e densidades médios. Ou seja, nesta abordagem não utilizamos quantidades microscópicas 
como valores microscópicos de campo, cargas e momentos dipolares de moléculas individuais. 
Para obter quantidades macroscópicas deve ser levar volumes que contem numero de átomos 
(moléculas) adequados, isto é, não muito pequenas e não muito grandes.
 
Por exemplo, no nível microscópico não existe conceito de cargas em repouso - sempre ha movimento 
de cargas: processos quânticos e termodinâmicos. Numa situação que corresponde 
macroscopicamente com campo eletrostático a quantidade de moléculas utilizadas para obter 
valores médios de campo deve ser suficientemente grande. Uma célula que permite obter campos 
médios contem aproximadamente 10^6 moléculas. 
~E :=
D
~Emicro
E
⇢ := h⇢microi
campo medio 
macroscópico
campo 
microscópico
densidade de carga 
macroscópica
densidade de carga 
microscópica
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FSC 5193
Neutralidade de material dielétrico:
⇢(~r)
⇢ ⌘ 0
Densidade de carga dentro do material: ⇢(~r)
Densidade de carga fora do material: ⇢ ⌘ 0
V
V 0
Z
V
⇢(~r)d3x = 0
Esta é a única condição que caracteriza 
material dielétrico.
Consideramos uma região V’ tal que o material dielétrico ocupando V encontra-se integralmente 
dentro de V’. As bordas ∂V:=S e ∂V’:=S’ não tem pontos em comum. A integral de volume da 
densidade de carga sobre a região V’\V é nula porque a densidade é nula nesta região.
Z
V 0
⇢(~r)d3x = 0
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FSC 5193
Esta integral é igual a zero para qualquer superfície fechada que encerra região V. 
Matematicamente, isto significa que a função que representa densidade de carga pode ser escrita 
na forma de divergente de uma função vetorial 
Duas observações:
1. Ainda não temos interpretação física de “P”
2. Sinal menos foi escolhido para futuramente não precisar redefinir “P”
⇢(~r) = �div ~P (~r)
Verificamos nossa hipótese:
Considerando que “P” carateriza propriedades dielétricas do material assumimos que “P=0” 
fora do material dielétrico.
Z
V
⇢(~r)d3x =
Z
V 0
⇢(~r)d3x = �
Z
V 0
div ~P (~r)d3x = �
I
S0
~P · d~a = 0
~P |S0 ⌘ 0
Teorema de Gauss
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FSC 5193
Interpretação física de “P”
Calculamos momento do dipolo elétrico do pedaço 
~p :=
Z
V
d3x ⇢(~r)~r =
Z
V 0
d3x ⇢(~r)~r = �
Z
V 0
d3x div ~P ~r
Em coordenadas cartesianas
div ~P =
3X
j=1
@P j
@xj
~r =
3X
i=1
xiêi
= �
3X
i=1
3X
j=1
êi
Z
V 0
d3x
@P j
@xj
xi = �
3X
i=1
3X
j=1
êi
Z
V 0
d3x
@
@xj
(P jxi) +
3X
i=1
3X
j=1
êi
Z
V 0
d3xP j�ij
= �
3X
i=1
3X
j=1
êi
I
S0
daj(P jxi) +
3X
i=1
êi
Z
V 0
d3xP i
~P |S0 ⌘ 0
=
Z
V 0
d3x ~P =
Z
V
d3x ~P
Concluímos que “P” deve ser interpretado como densidade volumétrica 
de momento do dipolo elétrico.
= . . .
. . .
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Susceptibilidade elétrica
Campo eléctrico externo atua sobre moléculas do material dielétrico resultando em aparência de
polarização (densidade de momento do dipolo elétrico) 
Componente normal de vetor de polarização na superfície de dielétrico tem interpretação de 
densidade superficial da carga polarizada
�p = Pn = "0(� 1)( ~E · n̂)|S
onde campo elétrico é um campo resultante. 
Numa situação geral a relação entre vetor de polarização “P” e o campo elétrico pode ser bastante
complexa (relação não-linear). Neste circo vamos considerar dielétricos lineares onde polarização 
dielétrica é proporcional ao campo elétrico 
~P = �e"0 ~E
�ePara dielétricos homogêneos e isotrópicos é uma constante (no caso mais geral é uma função 
de posição). 
�e susceptibilidade elétrica
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
n̂ · ~P = �e"0( ~E · n̂)|S = "0(� 1)( ~E · n̂)|S
 = 1 + �e
Comparando as duas formulas:
Descreve ração de capacitâncias dos 
capacitares com e sem dielétrico. 
Parâmetro experimental.
Descreve resposta local de dielétrico 
a um campo elétrico aplicado. Em 
alguns casos este parâmetro pode ser 
calculado em modelos modelos 
microscópicos.
Permissividade:
" := "0 = "0(1 + �e)
Constante dielétrica com a mesma dimensão física que constante "0
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Lei de Gauss em dielétricos
A lei de Gauss na forma diferencial relaciona divergente do campo elétrico e densidade de cargas 
elétricas. Numa substancia como dielétrico prevalecem cargas ligadas. Ocasionalmente podem 
também se encontrar cargas livres (cargas imersas etc.). 
div ~E =
1
"0
(⇢liv + ⇢lig)
Densidade de cargas ligadas pode ser eliminada utilizando a relação com divergente de 
polarização 
⇢lig = �div ~P
div("0 ~E + ~P ) = ⇢lig
A lei de Gauss toma a forma
Definimos novo campo vetorial 
chamado DESLOCAMENTO ELÉTRICO
~D := "0 ~E + ~P
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Para dielétricos lineares, homogêneos e isotrópicos o vetor de deslocamento é proporcional a 
campo elétrico
~D = "0 ~E + "0�e ~E = "0(1 + �e) ~E = " ~E
Integramos relação diferencial sobre uma região VZ
V
div ~D d3x =
Z
V
⇢liv d
3x
I
S
~D · d~a = qliv
V
S
Forma integral da lei 
de Gauss em 
dielétricos
Lei de Gauss implica que discontinuidade da componente normal do deslocamento elétrico é 
igual a densidade superficial da carga livre nesta superfície (prova: slides em seguida FSC 5193)
D2n �D1n = �
S
"1
"2
n̂
~D1
~D2
D2n|S
D1n|S
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FSC 5193
Condições de contorno na superfície de dielétrico
Lei de Gauss para dielétricos permite obter a relação entre vetores de deslocamento 
elétrico na vizinhança da superfície de interface.
Consideramos uma superfície ’’S’’ que separa dois dielétricos com permissividades diferentes. 
Escolhemos uma caixa Gaussiana (superfície fechada) com bases muito pequenas e paralelas a 
superfície. As bases da caixa encontram-se nos lados opostos da superfície “S”. Consideramos que 
altura da caixa tende para zero. Isto permite: 
1. Desprezar fluxo pela superfície lateral ca caixa,
2. Relacionar deslocamentos elétricos em pontos opostos da superfície infinitamente pertos. 
S "1
"2
n̂
~D1
~D2
~D1
~D2 n̂
�n̂
�a
�a
h
h ! 0
h ⌧
p
�a
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
FSC 5193
Se a carga livre existir ela deve ser localizada na superfície “S”. No caso contrario (densidade 
volumétrica em vez de superficial ) o valor da carga dentro de cilindro tenderia para zero no 
limite h ! 0
Como base da caixa Gaussiana é pequena a carga superficial pode ser aproximada por 
produto da densidade pela área da base
qlig =
Z
�a
�da ⇡ ��a
Desprezando fluxo pela superfície lateral da caixa e aproximando fluxo pela base como 
produto
( ~D2 � ~D1) · n̂�a = ��a
I
S
~D · d~a = qliv
D2n �D1n = �
Lei de Gauss implica que valor da discontinuidade da componente normal do deslocamento elétrico 
na superfície de interface é igual a densidade superficial da carga livre nesta superfície. 
Na ausência de carga livre a componente normal de deslocamento elétrico é continua na superfície da 
interface.
D2n|S = D1n|S
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Preenchimento em camadas
1. Capacitor plano
0
d
2
d
z
�Q
"1
"2
Q = �A
S0S1
Preenchimento em camadas; dois dielétricos 
com permissividades e "1 "2
Area da placa “A”; espessuras das camadas d
2
Campos elétricos uniformas em cada região 
~E1 = ↵1ẑ ~E2 = ↵2ẑ
↵1 = const
↵2 = const
Valor das constantes depende de quantidade da carga no capacitor. Estas constantes 
podem ser eliminadas - não precisamos conhecer o valor da carga no capacitor. 
a
b
�V =
Z b
a
~E(z) · d~l =
Z d
0
E(z)dz =
Z d/2
0
↵1dz +
Z d
d/2
↵2dz = (↵1 + ↵2)
d
2
A voltagem entra es placas é uma integral de linha no caminho arbitrário que conecta as placas
d~l = x̂ dx+ ŷ dy + ẑ dz
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Condições de contorno: 
Placa do capacitor: 
1. Campo fora do capacitor é nulo (portanto deslocamento também),
2. Existe carga LIVRE na placa,
3. Deslocamento no dielétrico que esta em contato com a placa é proporcional ao 
campo elétrico.
"1↵1 = �
Superfície da interface:
1. Ausência de cargas livres
2. Campo de deslocamento é continuo na superfície 
"1↵1 = "2↵2 ↵2 =
"1
"2
↵1
↵1 =
�
"1
Capacitância: 
1
C
=
�V
Q
=
(↵1 + ↵2)
d
2
�A
=
↵1(1 +
"1
"2
)
↵1"1
d
2A
1
C
=
✓
1
"1
+
1
"2
◆
d
2A
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
2. Capacitor esférico
a
b
R1R2
"1
"2
Preenchimento em camadas esféricas; dois 
dielétricos com permissividades e "1 "2
 raio da placa interna
 raio da esfera de contato entre dielétricos
 raio da placa externa
R1
R2
R3
R3
Campo elétrico é radial e não é nulo entre as 
placas 
~E1 = ↵1
r̂
r2
~E2 = ↵2
r̂
r2
↵1 = const
↵2 = const
A voltagem entra es placas é uma integral de linha no caminho arbitrário que conecta as placas
d~l = r̂ dr + ✓̂ rd✓ + '̂ r sin ✓ d'
�V =
Z b
a
~E · d~l =
Z rR
R1
E(r)dr = ↵1
Z R2
R1
dr
r2
+ ↵2
Z R2
R2
dr
r2
= ↵1
✓
1
R1
� 1
R2
◆
+ ↵2
✓
1
R2
� 1
R3
◆
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Condições de contorno: 
Placa do capacitor: 
1. Campo fora do capacitor é nulo (portanto deslocamento também),
2. Existe carga LIVRE na placa,
3. Deslocamento no dielétrico que esta em contato com a placa é proporcional ao campo elétrico.
Superfície da interface:
1. Ausência de cargas livres
2. Campo de deslocamento é continuo na superfície 
"1E1(R1) = �
"1E1(R2) = "2E2(R2) ↵2 =
"1
"2
↵1
Capacitância: 
1
C
=
�V
Q
=
↵1(R
�1
1 �R
�1
2 ) + ↵2(R
�1
2 �R
�1
3 )
4⇡R21�
↵1 =
1
"1
�R21
=
↵1(R
�1
1 �R
�1
2 ) +
"1
"2
↵1(R
�1
2 �R
�1
2 )
4⇡↵1"1
1
C
=
1
4⇡

1
"1
✓
1
R1
� 1
R2
◆
+
1
"2
✓
1
R2
� 1
R3
◆�
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Preenchimento paralelo
1. Capacitor plano
0
d
z
�Q
"1 "2
a
b
QA1 A2
�1 �2
Preenchimento paralelo; dois dielétricos com 
permissividades e "1 "2
As placas do capacitor formam superfícies equipotenciais.
Campo elétrico é uniforme e tem a mesma intensidade 
em dois dielétricos. 
Prova: 
Escolhemos a0
b0
~E1 = ↵1ẑ ~E2 = ↵2ẑ
�V =
Z b
a
~E1 · d~l =
Z b0
a0
~E2 · d~l ↵1d = ↵2d
~E = ↵ẑAssim vamos considerar
Deslocamentos elétricos devem ser diferentes
~D1 = ("1↵)ẑ ~D2 = ("2↵)ẑ
�V = ↵d
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Aplicando Lei de Gauss encontramos densidades da carga nas placas. Esta densidade 
deve ser igual a componente normal do deslocamento elétrico na vizinhança da placa.
�1 = D1n = "1↵ �2 = D2n = "2↵
Carga na placa
Q = �1A1 + �2A2 = ("1A1 + "2A2)↵
Capacitância
C =
Q
�V
=
("1A1 + "2A2)↵
↵d
C =
"1A1 + "2A2
d
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2. Capacitor esférico �
"1
"2
R1
R2
Preenchimento paraleleo; dois dielétricos com 
permissividades e "1 "2
As placas do capacitor formam superfícies equipotenciais.
Campo elétrico é uniforme e tem a mesma intensidade 
em dois dielétricos. A prova é idêntica com a prova para 
capacitor plano. 
~E = ↵
r̂
r2
Voltagem entre as placas
a
b
�V =
Z b
a
~E · d~l = ↵
Z R2
R1
dr
r2
= ↵
✓
1
R1
� 1
R2
◆
Deslocamento elétrico na vizinhança da placa interna
~D1 = "1
↵
R21
r̂ ~D2 = "2
↵
R21
r̂
Densidade de carga LIVRE na placa interna
�1 = D1n(R1) = "1
↵
R21
�2 = D1n(R1) = "2
↵
R21
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Áreas de contato dos dielétricos com a placa interna
O angulo esta tomado a partir do eixo “z” conforme o desenho. A superfície 
de contato do dielétrico “2” com a placa interna tem área
A2 = R
2
1
Z 2⇡
0
d'
Z �
0
sin ✓ d✓ = 2⇡(1� cos �)R21
�
enquanto área da superfície do contado do dielétrico “1” é
A1 = 4⇡R
2
1 �A2 = 2⇡(1 + cos �)R21
Carga elétrica na placa interna 
C = 2⇡
"1(1 + cos �) + "2(1� cos �)
1
R1
� 1R2
Q = �1A1 + �2A2 = 2⇡
⇣
"1(1 + cos �) + "2(1� cos �)
⌘
↵
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3. Capacitor cilíndrico
"1
"2
R1
R2
Preenchimento paraleleo; dois dielétricos com 
permissividades e "1 "2
As placas do capacitor formam superfícies equipotenciais.
Campo elétrico é uniforme e tem a mesma intensidade 
em dois dielétricos. A prova é idêntica com a prova para 
capacitor plano. 
Voltagem entre as placas
a
b
Deslocamento elétrico na vizinhança da placa interna
Densidade de carga LIVRE na placa interna
~E = ↵
⇢̂
⇢
�V =
Z b
a
~E · d~l = ↵
Z R2
R1
d⇢
⇢
= ↵ ln
R2
R1
~D1 = "1
↵
R1
⇢̂ ~D2 = "2
↵
R1
⇢̂
�1 = D1n(R1) = "1
↵
R1
�2 = D2n(R1) = "2
↵
R1
L
Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina
Áreas de contato dos dielétricos com a placa interna
Carga elétrica na placa interna 
A1 = A2 = ⇡R1L
Q = �1A1 + �2A2 = ("1A1 + "2A2)
↵
R1
= ⇡L("1 + "2)↵
Capacitância 
C =
⇡L
ln R2R1
("1 + "2)