FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

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FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Fatoração é um processo utilizado na matemática que consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores.
Ao escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar a expressão.
Confira abaixo os tipos de fatoração de polinômios:
FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA:
Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio.
Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente dos parênteses.
Dentro dos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.
Na prática, vamos fazer os seguintes passos:
1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.
2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).
3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.
Exemplos
a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?
Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete.
Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado iremos colocar dentro dos parênteses:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) Fatore 2a2b + 3a3c - a4.
Como não existe número que divide ao mesmo tempo 2, 3 e 1, não iremos colocar nenhum número na frente dos parênteses.
A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a2, que é o menor expoente do a na expressão.
Dividimos cada termo do polinômio por a2:
Colocamos o a2 na frente dos parênteses e os resultados das divisões dentro dos parênteses:
2a2b + 3a3c - a4 = a2 (2b + 3ac - a2)
AGRUPAMENTO:
No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento.
Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.
Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.
Exemplo: Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny
Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.
Colocando esses fatores em evidência:
x (m + 3n) + y (m + 3n) = (x + y) . (m + 3n)
DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS:
Para fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma pela diferença.
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
a2 - b2 = (a + b) . (a - b)
Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos.
Depois, repetir com o sinal contrário.
Exemplo: Fatorar o binômio 9x2 – 25 = (3x – 5). (3x + 5)
 Fatorar o binômio y² - 144x² = (y – 12x). (y + 12x)
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO:
Trinômios são polinômios com 3 termos.
Os trinômios quadrados perfeitos a2 + 2ab + b2 e a2 - 2ab + b2 resultam do produto notável do tipo (a + b)2 e (a - b)2.
Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrado da soma de dois termos)
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (quadrado da diferença de dois termos)
Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:
1º) Acha-se a raiz do 1º termo.
2º) Utiliza-se o sinal do termo do meio.
3º) Acha-se a raiz do último termo.
4º) Eleva-se ao quadrado
Exemplos: a) Fatorar o polinômio x2 + 6x + 9 = (x + 3) ²
 b) Fatorar o polinômio x2 - 8xy + 9y2 = (x – 3x) ²
ATIVIDADES – TEMPO SALA
1) Fatore as expressões por fator comum:
 a) = i) a³ + a6=
= j) x² + 13x=
= k) 5m³ - m²=
 l) x50 + x51 =
= m) 8x6 – 12x³ =
f) = n) 15x³ - 21x²=
= o) 14x² + 42x =
= p) x²y + xy²=
2) Fatore as expressões por fator comum:
a) = e) =
 = f) =
 c) = g) =
 = h) =
3) Fatore as expressões por fator comum:
a) 15x7 + 3ax4 = e) 6x²y + 12xy – 9xyz =
b) 2mn² - 2mq = f) 8 a+ 16b=
c) X7 +x8 +x9 = g) 6n³ - 42n²=
d) 6x³ + 10x² - 4x4= h) 20x³ + 30x²=
4) Desenvolva as seguintes expressões algébricas abaixo:
1) 5x3+10x2+20x =
2)  12x4-14x3+70x2+18x=
3) 12x2+16x =
4) 8x2+5x+2x+10x4 =
5) 2ax+22a+4bx+6b =
6)  10x2-15xy-4x+6xy =
7) 21x2-42 x =
8) 12x2+16x =
9)  5x2+15x + 35x5 =
10) 10x2-15xy-4xy3+6 x7 y2 =
1) 15 + 5y + 2ay + 6a = 
2) 2xy -12x + 3by – 18b = 
3) 4ax + 8bx + 5ay + 10by =
4) 4x2 + 8x + 6xy + 12y = 
5) 12ax²z + 24axz² - 12a²xz = 
6) xyz + yz + z = 
7) ap + bp + cp =
8) 4x - 8 = 
9) 3ax - 7axy = 
10) 8a5 b + 12a³= 
ATIVIDADES – TEMPO CASA
1) Resolva as operações com polinômios abaixo (revisão):
	a) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2)=
b) (3x-6y+4) +(4x+2y-2)=
c) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) =
d) (4x+3y+1) +(6x-2y-9) =
	e) (6x²-6x+9) -(3x²+8x-2)=
f) (7x-4y+2) -(2x-2y+5) =
g) (x²-5x+3) -(4x²+6) =
h) (7ab+4c-3a) -(5c+4a-10)=
	i) 2x(x²-2x+5) =
j) (x+5). (X+2) =
k) 4x (a+b) =
l) (6x²-4). (6x²+4) =
	m) (3y³ + 6y²): (3y) =
n) (10x² + 6x): (-2x) =
o) (-18x² + 8x): (+2x) =
p) (30x² – 20xy): (-10x) =
2) Colocando o fator comum em evidência, fatore cada um dos seguintes polinômios:
	a) x6 - x5 =
	b) 6m² - 12m =
	c) 12x²y² + 16xy =
	d) 32x7 + 16x5 + 8x4 =
	e) 4x³ - 10x² + 16x =
	 f) 15a²b + 21a²b³ =
	 g) a³ + a² + a =
 h) 7ab2 + 2ax + a2 =
 i) a2x2y + a2x2 =
 j) 120ax3 – 100ax2 + 60ax =