Matematica - Basica Completa

Prévia do material em texto

Qual é o critério de divisibilidade por 1? 
Que raio de pergunta?! Todos os números naturais são divisíveis por 1. (incluindo o próprio 1) 
Qual é o critério de divisibilidade por 2? 
Se um número tiver como algarismo das unidades 0, 2, 4, 6 ou 8 então é divisível por 2 (quer dizer 
que é par). Por exemplo: 
• 456 (termina em 6) pode ser dividido por 2; 
• 357 (termina em 7) não pode ser dividido por 2; 
• 280 (termina em 0) pode ser dividido por 2; 
• 91 (termina em 1) não pode ser dividido por 2. 
Qual é o critério de divisibilidade por 3? 
Se a soma dos algarismos do número for divisível por 3 então o número também é divisível por 3. Por 
exemplo: 
• 624 (6 + 2 + 4 = 12) (12 dá para dividir por 3) é divisível por 3; 
• 431 (4 + 3 + 1 = 8) (8 não dá para dividir por 3) não é divisível por 3; 
• 91 (9 + 1 = 10) (10 não dá para dividir por 3) não é divisível por 3; 
• 4671 (4 + 6 + 7 + 1 = 18) (18 dá para dividir por 3) é divisível por 3. 
Qual é o critério de divisibilidade por 4? 
Se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4, (ou se terminar em 00) então o número também 
é divisível por 4. Por exemplo: 
• 1020 (20 dá para dividir por 4) é divisível por 4; 
• 721 (21 não dá para dividir por 4) não é divisível por 4; 
• 639 (39 não dá para dividir por 4) não é divisível por 4; 
• 300 (termina em 00) é divisível por 4. 
Qual é o critério de divisibilidade por 5? 
Este é dos mais fáceis. Se um número tiver como algarismo das unidades 0 ou 5 então é divisível por 
5. Por exemplo: 
• 380 (termina em 0) é divisível por 5; 
• 264 (termina em 4) não é divisível por 5; 
• 2175 (termina em 5) é divisível por 5; 
• 403 (termina em 3) não é divisível por 5. 
Qual é o critério de divisibilidade por 6? 
Se um número for divisível por 2 e por 3, então é divisível por 6. Por exemplo: 
• 620 (termina em 0 dá para dividir por 2) (6 + 2 + 0 = 8 não dá para dividir por 3) não é divisível por 6; 
• 1224 (termina em 4 dá para dividir por 2) (1 + 2 + 2 + 4 = 9 dá para dividir por 3) é divisível por 6; 
• 295 (termina em 5 não dá para dividir por 2) não é divisível por 6; 
• 78 (termina em 8 dá para dividir por 2) (7 + 8 = 15 dá para dividir por 3) é divisível por 6; 
Qual é o critério de divisibilidade por 7? 
Este é dos mais complicados. Separar o número do seu último algarismo. Se o 1° grupo de algarismos 
separados menos o dobro do último algarismo for múltiplo de 7, então o número original é divisível por 
7. Por exemplo 
• 624 (62 - 4 x 2 = 54) (54 não dá para dividir por 7) não é divisível por 7; 
• 525 (52 - 5 x 2 = 42) (42 dá para dividir por 7) é divisível por 7; 
• 429 (42 - 9 x 2 = 24) (24 não dá para dividir por 7) não é divisível por 7; 
• 707 (70 - 7 x 2 = 56) (56 dá para dividir por 7) é divisível por 7; 
Qual é o critério de divisibilidade por 8? 
Se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8, (ou se terminar em 000) então o número também 
é divisível por 8. Por exemplo: 
• 1022 (22 não dá para dividir por 8) não é divisível por 8; 
• 2048 (48 dá para dividir por 8) é divisível por 8; 
• 1236 (236 não dá para dividir por 8) não é divisível por 8; 
• 7000 (termina em 000) é divisível por 8. 
Qual é o critério de divisibilidade por 9? 
Se a soma dos algarismos do número for divisível por 9 então o número também é divisível por 9. Por 
exemplo: 
• 2079 (2 + 0 + 7 + 9 = 18) (18 dá para dividir por 9) é divisível por 9; 
• 275 (2 + 7 + 5 = 14) (14 não dá para dividir por 9) não é divisível por 9; 
• 9945 (9 + 9 + 4 + 5 = 27) (27 dá para dividir por 9) é divisível por 9; 
• 7824 (7 + 8 + 2 + 4 = 21) (21 não dá para dividir por 9) não é divisível por 9. 
Qual é o critério de divisibilidade por 10? 
Outro muito fácil. Se um número tiver como algarismo das unidades 0 então é divisível por 10. Por 
exemplo: 
• 350 (termina em 0) é divisível por 10; 
• 724 (termina em 4) não é divisível por 10; 
• 900 (termina em 0) é divisível por 10; 
• 43 (termina em 3) não é divisível por 10. 
Qual é o critério de divisibilidade por 11? 
Quando a diferença entre a soma dos numeradores ímpares e pares for divisivel por 11. 
Exemplo: 
● 10832041 (1+8+2+4 = 15) | (0+3+0+1 = 4) —> 15 – 4 = 11 (11 é divisível por 11 ☑) 
● 2357014982 (2+5+0+4+8 = 19) | (3+7+1+9+2 = 22) —> 19 – 22 = –3 (–3 não é divisível por 11) 
Qual é o critério de divisibilidade por 12, 15, 16...? 
● Será divisível por 12 se for divisível por 3 e 4 simultaneamente, já que 3×4 = 12 
● Será divisível por 15 se for divisível por 3 e 5 simultaneamente, já que 3×5 = 15 
Multiplicação de números com vírgula 
Considere a seguinte multiplicação: 
2,684 × 10 
 
Transformando em frações decimais, temos: 
a quantidade de zeros será a quantidade casas mandadas para a esquerda. 
 
3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos: 
0,05 = = 5% 
1,17 = = 117% 
 
Método tradicional: 
3,49 · 2,5 
 
 
1,842 · 0,013 
 
Observação: 
1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático da 
multiplicação. Nesse caso, o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do 
fator decimal. Exemplo: 
5 · 0,423 = 2,115 
 
DÍZIMA PERIÓDICA 
Método Prático 
Quando a dízima for simples, o numerador será igual a parte inteira com o período menos a 
parte inteira, e no denominador, a quantidades de "noves" igual ao número de algarismo do 
período. 
Exemplos 
1) Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,222... 
Solução 
 
2) Qual a fração geratriz da dízima periódica 34,131313...? 
Solução 
 
Quando a dízima for composta, o numerador será igual a parte que não se repete com o período, 
menos a parte que não se repete. 
Exemplo 
Encontre a fração geratriz da dízima periódica 6,3777... 
Solução 
 
 
DIVISÃO DE NÚMEROS REAIS 
Vamos dividir o número 35 por 2. 
 
Passo 1 – Precisamos agora imaginar um número que, multiplicado por 2, seja igual a 35 ou chegue o mais 
próximo possível. 
 
Note que o resto deu um número diferente de zero, então devemos continuar a divisão. 
Passo 2 – Agora devemos dividir o resto da divisão pelo divisor, ou seja, dividir o número 1 por 2. Mas como o 
número 1 não é divisível por 2, devemos acrescentar uma vírgula no quociente e acrescentar um zero no 
resto. 
 
Passo 3 – Agora continuamos a divisão normalmente. Temos que imaginar um número que, multiplicado por 
2, seja igual a 10, logo: 
 
Como chegamos a zero como resto do cálculo, finalizamos a divisão. 
Exemplo 3 – Vamos dividir o número 1440 por 3. 
 
Passo 1 – Precisamos agora imaginar um número que, multiplicado por 3, seja igual a 1440 ou chegue o mais 
próximo possível. Mas perceba que não é fácil encontrar um número que satisfaça a condição, então vamos 
contar da esquerda para direita, algarismo por algarismo do dividendo, até que seja possível dividir por 3. 
Passo 2 – Como o número 1 não é divisível por 3, devemos “descer” o próximo número, que está na casa das 
dezenas, ou seja, o número 4, visto que não é possível dividir o número 2 por 3, e realizar a divisão do número 
24 por 3. 
 
Passo 4 - O último passo consiste em “descer ” o último número (no caso, é o zero) e realizar a divisão. 
 
Assim, podemos concluir que o resultado da divisão de 1440 por 3 é 480. 
 
Divisão com vírgula 
Para dividir dois números com vírgula, basta multiplicar o dividendo e o divisor por potências de base 10 até 
que a vírgula “desapareça ”da divisão. 
- Dividir 0,0006 por 0,05. 
 
Vamos primeiramente multiplicar o dividendo e o divisor por 10000. A quantidade de casas decimais que 
“andamos” é a quantidade de zeros que devemos colocar no número que vamos multiplicar. 
0,0006 · 10000 = 6 
 0,05 · 10000 = 500 
Assim, 
 
Seguindo o passo a passo anterior, chegamos à conclusão de que o quociente é 0,012. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRA PRÁTICA PARA OBTENÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO 
Vamos aprender fazendo um exemplo. 
Vamos achar todosos divisores do número 36. 
Sigamos o algoritmo (passo-a-passo) abaixo: 
1 – Fatoramos o número dado. 
 
2 – Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos e do lado direito desse traço colocamos 
o número 1 na linha de cima, pois o 1 é divisor de qualquer número. 
 
3 – Na linha do primeiro fator primo colocamos o produto dele pelo número da diagonal, que nesse 
caso é o número 1 já colocado à direita do traço vertical. 
 
4 – Por último, eliminamos os números que estão se repetindo, formando assim, o conjunto dos 
números que são divisores de 36. 
 
 
● x : É um número qualquer, seja ele positivo ou negativo decimal ou inteiro, que multiplica a base 10 elevado 
ao expoente y necessário. 
● y : É a quantidade de ZEROS acrescentado e retirados após ou anteriormente ao numero x. 
Veja na prática. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
Equação Irracional é uma equação em que há incógnita em um ou mais radicais. São equações irracionais: 
 
Não existe fórmula para resolver estas equações, mas temos um processo de resolução prático que nos conduz a formar 
equações cuja resolução já conhecemos. 
Vamos acompanhar o método por meio de um exemplo. 
 
1° passo: Isolamos o radical num dos membros da equação. Se existir mais de um radical, escolher um deles e isolar. 
 
2° passo: Elevamos ao quadrado os dois membros da equação para que possa eliminar o radical. Caso não elimine i 
radical, elevamos ao quadrado até que elimine-o. 
 
3° passo: Chegamos em uma equação conhecida (a equação do 2° grau). Resolvendo-a, ficamos com: 
 
4° passo: Como a equação nos deu 2 soluções, teremos que descobrir qual o valor será a solução. Para isso, devemos 
substituir os valores no lugar da incógnita x da equação. 
EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
Assim como as equações irracionais, para resolver as equações biquadradas não existe fórmula, mas temos um 
processo de resolução prático que nos conduz a formar equações cuja resolução já conhecemos. 
● Este método consiste em substituir já variável com o expoente maior por uma incógnita qulquer e ao final da equação, 
quando estiver mais simples de resolver, substituimos de volta o expoente de maior valor. Há semelhança com função 
exponencial. Veja: 
 
OBSERVAÇÃO: 
Várias das vezes, este método é também aplicado nas EQUAÇÕES IRRACIONAIS. Veja um exemplo abaixo: 
	Qual é o critério de divisibilidade por 1?
	Qual é o critério de divisibilidade por 2?
	Qual é o critério de divisibilidade por 3?
	Qual é o critério de divisibilidade por 4?
	Qual é o critério de divisibilidade por 5?
	Qual é o critério de divisibilidade por 6?
	Qual é o critério de divisibilidade por 7?
	Qual é o critério de divisibilidade por 8?
	Qual é o critério de divisibilidade por 9?
	Qual é o critério de divisibilidade por 10?
	Qual é o critério de divisibilidade por 11?
	Qual é o critério de divisibilidade por 12, 15, 16...?
	Multiplicação de números com vírgula
	Método Prático
	Exemplos
	Solução
	Solução
	Exemplo
	Solução
	Exemplo 3 – Vamos dividir o número 1440 por 3.
	Divisão com vírgula
	REGRA PRÁTICA PARA OBTENÇÃO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO