658628291-Aprendendo-Matematica-Do-Zero-II-Matematica-do-Zero

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Mat. do
− 
0
×÷
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero 1
Apresentação
 1. Critérios de Divisibilidade 
 1.1. Divisibilidade por 2.....................................................
 1.2. Divisibilidade por 3.....................................................
 1.3. Divisibilidade por 4.....................................................
 1.4. Divisibilidade por 5.....................................................
 1.5. Divisibilidade por 6.....................................................
 1.6. Divisibilidade por 7.....................................................
 1.7. Divisibilidade por 8.....................................................
 1.8. Divisibilidade por 9.....................................................
 1.9. Divisibilidade por 10...................................................
 1.10. Divisibilidade por 11.................................................
 1.11. Divisibilidade por 12.................................................
 1.12. Divisibilidade por 13.................................................
 1.13. Divisibilidade por 14.................................................
 1.14. Divisibilidade por 15.................................................
 1.15. Mapa Mental
 2. Números Primos................................................................
 3. Números Primos VS Números Compostos......................
 4. Decomposição em Fatores Primos....................................
 5. Divisores de um Número....................................................
 6. Mínimo Múltiplo Comum - MMC ........................................
 6.1. Propriedades do MMC...............................................
 7. Máximo Divisor Comum - MDC..........................................
 7.1. Propriedades do MDC................................................
 8. MMC VS MDC..................................................................
 9. Frações..............................................................................
 10. Nomenclatura das Frações..............................................
 10.1. Denominadores entre o 2 e o 9................................
 10.2. Frações Decimais....................................................
 
 3
 5
 5
 6
 6
 7
 7
 8
 9
 9
10
10
11
12
12
13
13
15
16
21
23
25
27
29
31
32
34
35
35
35
...................................................
..............................................................................
.............................................................
@matematica.do.zero 2
 10.3. Demais Denominadores...........................................
 11. Tipos de Frações..............................................................
 11.1. Frações próprias......................................................
 11.2. Frações Impróprias .................................................
 11.3. Frações Aparentes...................................................
 11.4. Frações Equivalentes ..............................................
 11.5. Frações Irredutíveis..................................................
 11.6. Frações Particulares................................................
 12. Simplificação de Frações.................................................
 13. Operações com Frações..................................................
 13.1. Soma de Frações..................................................... 
 13.2. Subtração de Frações..............................................
 13.3. Multiplicação de Frações..........................................
 13.4. Divisão de Frações...................................................
 14. Números Mistos...............................................................
 14.1. Números Mistos p/ Frações Impróprias...................
 14.2. Frações Impróprias p/ Números Mistos...................
 15. Frações Números Decimais........................................
 15.1. Decimal Exato p/ Frações........................................
 15.2. Dízima periódica p/ Frações.................................... 
 16. Lista de Questões............................................................
 17. Gabarito...........................................................................
 18. Questões Comentadas....................................................
 19. Conteúdo Extra................................................................
 20. Considerações Finais....................................................... 
36
37
37
37
37
38
38
39
40
42
42
46
48
51
53
53
54
55
56
57
61
68
69
84
85
@matematica.do.zero
Conjuntos Numéricos
Adição
Multiplicação
Operações com números inteiros 
Operações com números decimais 
Regra de Sinais
Expressões numéricas
Lista de questões
Símbolos Matemáticos
Passo a passo de todas 
as operações.
Divisão
3
 Apresentação
Olá, queridos alunos! Tudo bem?
É com enorme alegria que damos início ao nosso curso de
matemática Aprendendo Matemática do Zero II. 
No E-Book anterior (Aprendendo Matemática do Zero), demos
inicio a nossa jornada rumo ao conhecimento introdutório de uma
das mais importantes ciências: a matemática.
Este E-Book é uma continuidade, por isso é de fundamental
importância que você já tenha lido o primeiro. Citarei aqui os
assuntos que foram abordados.
Subtração Resolução bem detalhada 
Se você ainda não adquiriu o anterior, basta clicar na imagem e
será direcionado a nossa página de venda. Professor, não
adquirir o material, mas já sei todos os conteúdos que foram
abordados. Óootimo! Então, você não precisa adquirir o primeiro.
O importante, querido aluno, é não pular as etapas. 
https://aprendendomatematicadozero.kpages.online/ebook
@matematica.do.zero 4
Para que seu estudo seja ainda mais eficiente, recomendo que
faça o estudo das aulas em PDF realizando grifos e anotações
próprias no material. Isso será fundamental para as revisões
futuras do conteúdo. Mantenha também a resolução de questões
como um dos pilares de seus estudos. Elas são essenciais para a
fixação do conteúdo teórico.
Neste material trabalharemos, novamente, as quatro operações
básicas, só que dessa vez voltadas para os números
fracionários. Esse assunto é um pouco delicado e muitos alunos
sentem dificuldades, porque para entendê-lo é necessário
aprender alguns conteúdos anteriormente. 
Por exemplo, você precisa entender os critérios de divisibilidade,
saber exatamente qual a diferença entre número primo e
composto, diferença entre MMC e MDC, quando eles são usados.
Entender porque, quando temos frações, os professores
começam a "cortar" e as contas que eram enormes passam a ser
pequenas, fora outros detalhes que são importantíssimos.
Enfim, são coisas importantes e ,por isso, fiz questão de colocar
todos os assuntos que você precisa aprender antes de
chegarmos nas frações. Tenho certeza que se você seguir as
orientações aqui colocadas, acertará todas as questões que
envolvam esse assunto.
Exemplos:
 150 é divisível por 2, pois termina em 0.
 592 é divisível por 2, pois termina em 2.
 @matematica.do.zero
Para saber se um número natural é divisível por outro, basta
efetuar a divisão entre eles e verificar se ela é exata, ou seja, se o
resto é igual a zero. Essa é a regra geral, por exemplo, 456 é
divisível por 3? Para sabermos isso, teríamos que dividir e
verificar.
4 5 6
 0 
5
Critérios de Divisibilidade1.
3
1 5 23−
1 5
 1 5−
 0 6
 6−
De fato, 456 é divisível por 3, já que encontramos o resto igual a
zero, 456 ÷ 3 = 152. Veja que é bem trabalhoso verificar se um
número é divisível por outro, a parte boa é que, em alguns casos, 
podemos descobrir se um númerosendo esse número o maior possível, sem deixar
nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois
setores. Dessa forma, foram formados
a) 5 grupos b) 8 grupos c) 10 grupos 
d) 12 grupos e) 13 grupos
Quando falamos da diferença entre MMC e MDC, citamos que, geralmente,
utilizamos o MDC quando temos na questão ideia de divisão ou partes
iguais. 
Resolução:
Gabarito: letra a
Para que os grupos tenham o mesmo número de integrantes, devemos
encontrar um número que seja divisor de 240 e seja divisor de 160 (para
que não haja resto). Além disso, este divisor deve ser o maior possível.
Devemos, portanto, calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números
240 e 160.
2
2
2
2
240, 160
80MDC( 240, 160 ) = 
2
120, 80
×
1, 1
60, 40
30, 20
15, 10
15, 5 3
5, 5 5
Portanto, MDC(240,160) = 80. Isto significa que cada grupo terá 80 detentos.
Dividindo os 400 detentos em grupos de 80, teremos 5 grupos. 80400
0
5400−
12) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132
comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico.
Deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a
maior quantidade possível de um único tipo de medicamento.
@matematica.do.zero 77
Se a distribuição (divisão) deverá ser feita em recipientes iguais contendo,
cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento,
então, determinaremos o máximo divisor comum entre essas quantidades:
Resolução:
Gabarito: letra a
Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma
quantidade de medicamento, o número de recipientes
necessários para essa distribuição é: 
a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 
2
3
2
11
132, 156
12MDC( 132, 156 ) = 
13
×
33, 39
11, 13
1, 13
1, 1
66, 78
Logo, o número de recipientes necessários para essa distribuição será
determinado pela divisão do total de medicamentos entre analgésicos e
antibióticos pela quantidade de medicamentos que serão acomodados em
cada recipiente.
132 + 156
12
= 288
12
24 recipientes=
13) Determine o valor de
2
5
+ 3
7
1
10
− . 
5
7
51
70
11
14
17
20
13
14a) b) c) d) e)
Estamos com uma soma e subtração entre frações. Como temos mais de
duas frações, vamos resolver pelo método tradicional.
Resolução:
MMC(5,7,10) = 
2
5
7
5, 7, 10
70
×
×
70
5, 7, 5
1, 7, 1
1, 1, 1
@matematica.do.zero 78
Gabarito: letra b
Primeiramente, precisamos resolver a soma que está dentro dos parênteses.
Resolução:
Agora que temos o MMC, vamos substituir nos denominadores e operar.
28 + 30 − 71
10
2
5
3
70
+
7
− =
÷ ÷
÷
× × × = 51
70
14) O número racional equivalente ao resultado da expressão 
3
5
+ 3 (
7
14
5÷(numérica
7
5
18
7
2
7
18
49
3
28a) b) c) d) e)
Como é apenas duas frações, vamos utilizar o método da borboleta.
3
5
+ 3
7
35
21 15
=
35
21 + 15 = 36
35
Resolvemos a soma, sendo assim.
3
5
+ 3 (
7
14
5÷( 36
35
14
5÷=
é:
Agora falta a divisão, como já sabemos há 3 formas de fazer: 
Basta escolher uma das três, vamos fazer pelo método 1.
36
35
14
5÷
36 ÷ 36 ×35
14
5
=
35
5
14 = 18
49
18 ×
7
1
7 =
Gabarito: letra d
÷5÷2
15) Analise as sentenças matemáticas abaixo: 
I. 2
3
5
7a R$ 6.600,00.
Gabarito: letra e
a) 56 b) 61 c) 62 d) 63 e) 65 
1
3
de 42 = 1
3 × 42 =1
3
42
3
= 14 novos funcionários
Após este aumento, a empresa agora possui 42 + 14 = 56 funcionários.
Com o crescimento de seus negócios nos últimos tempos, admitiu mais 
do que passou a ter para seu quadro de colaboradores. Ou seja de 56.
1
8
1
8
de 56 = 1
8 × 56 =1
8
56
8
= 7 novos funcionários
A empresa terá 56 + 7 = 63 funcionários.
99c) 716
90d) 716
90e) 651
@matematica.do.zero
99a) 723
90b) 723
Parte inteira
Período
6517,23
Portanto, 7,23 = 651
7,233... = 7,23 =
83
Vimos que a fração de uma dízima periódica composta pode ser
determinada da seguinte maneira: 
Gabarito: letra e
20) Indique qual o número racional geratriz da dízima periódica
7,233.... 
Resolução:
Identifique o período, a parte
inteira e a parte não
periódica.
Passo 1:
Diminua todo o nº, sem a
vírgula, da parte inteira com a
parte não periódica (será o
numerador).
Passo 2:
3
7
723 − 72 = 651
Parte não periódica 2
Para cada nº no período,
adicione um 9 e para cada
número na parte não periódica
adicione um 0 no denominador.
Passo 3:
=
90um
número
um
número
90
@matematica.do.zero
Conteúdo Extra
84
19.
Conhecemos como número primo o número natural que possui
exatamente dois divisores, 1 e ele mesmo. 
653641 647643631619617613607
577
487
5 11 17
4741 67 73
103 137
157 191
233227 257
307 347
367 401
439 449
523
32 7 13 19 23 29
53 61 71 795943
97 127107 113 131 139109101
167 197173 181 193 199179163
269239 251 263 271241229
283 331311 317 337 349313293
379 419383 397 409 421389373
467457 463 479 491461443
509 569541 563 571 587547521
659
593
499
83
149
353
31 37
89
151
211 223
277 281
359
431 433
503
599
661
983967 977971953947941937929
883
811
673 719
751 761
853
683 733691 709 727 739701677
797769 787 809 821773757
829 877857 863 881 887859839
991
907
823
743
827
911
997
557
601
919
Vimos que encontrar números primos não é uma tarefa fácil, pois
não existe nenhum método visual de identificar de forma direta se
esse número é primo ou não.
Além disso, quanto maior o número, geralmente, maior será a
dificuldade para saber se ele é primo ou composto. 
Sendo assim, como conteúdo extra trago uma lista com todos
os números primos que existem entre 1 e 1000.
https://www.preparaenem.com/matematica/conjunto-dos-numeros-naturais.htm
@matematica.do.zero
Considerações Finais
85
20.
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado
do material.
Esse foi o nosso segundo e-book e muitos ainda virão,
começamos do básico e iremos até os conteúdos mais
avançados.
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembrem-se que vocês
podem fazer perguntas e sugestões no direct da página
@matematica.do.zero. 
Estou sempre à disposição. 
Um forte abraço e até a próxima!
 
 
Pirataria é Crime
Essa lei todo mundo conhece, mas é sempre bom
revisar o porquê e como você pode ser prejudicado com
essa prática.
Professor investe seu tempo para elaborar o curso
Pirata revende as aulas protegidas por direitos autorais,
praticando concorrência desleal e em flagrante desrespeito à Lei 
de Direitos Autorais (Lei 9.610/98)
Paga o crime organizado. O dinheiro da pirataria é usado para a
prática de outros crimes.
Pirata fere os Termos de Uso, adultera as aulas e retira a
identificação dos arquivos PDF
O professor que elaborou o curso não ganha nada e a pessoa
que praticou todos os ilícitos anteriores (pirata) fica com o lucro.
Deixando de lado esse mar de sujeira, aproveitamos para
agradecer a todos que adquiriram este e-book de maneira
honesta e permitem que a página continue existindo. 
@matematica.do.zeroé divisível por outro sem ter de
efetuar a divisão. Vamos ver como isso é possível estudando os
critérios de divisibilidade. 
 resto
Divisibilidade por 2 
Um número natural é divisível por 2 quando ele for par, isto é,
quando termina em 0, 2, 4, 6 e 8.
1.1.
@matematica.do.zero 6
 1114 é divisível por 2, pois termina em 4.
 7566 é divisível por 2, pois termina em 6.
 9438 é divisível por 2, pois termina em 8.
Um número natural é divisível por 3 quando a soma de todos os
seus algarismos forma um número divisível por 3,
Note que se pegarmos qualquer número que não seja par, não
teremos uma divisão exata quando dividirmos por 2.
27
1
36−
 resto
Divisibilidade por 3 1.2. 
Exemplos:
18 é divisível por 3, pois 1 + 8 = 9, e 9 é um número divisível
por 3.
765 é divisível por 3, pois 7 + 6 + 5 = 18, e 18 é um número
divisível por 3.
5322 é divisível por 3, pois 5 + 3 + 2 + 2 = 12, e 12 é um
número divisível por 3.
943 não é divisível por 3, pois 9 + 4 + 3 = 16, e 16 não é um
número divisível por 3.
Divisibilidade por 41.3. 
Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos
algarismos são 00 ou formam outro número que é divisível por
4.
@matematica.do.zero 7
Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Divisibilidade por 5 1.4. 
Exemplos:
240 é divisível por 5, pois o número termina em 0.
6945 é divisível por 5, pois o número termina em 5.
571 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 61.5. 
Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2
(número par) e por 3, simultaneamente.
Exemplos:
7500 é divisível por 4, pois termina em 00
9316 é divisível por 4, pois termina em 16, que é um número
divisível por 4 (já que 16 ÷ 4 = 4).
4314 não é divisível por 4, pois 14 não é divisível por 4.
Exemplos:
342 é divisível por 6, pois é um número par (divisível por 2)
e 3 + 4 + 2 = 9 (divisível por 3).
7512 é divisível por 6, pois é um número par (divisível por 2)
e 7 + 5 + 1 + 2 = 15 (divisível por 3).
458 não é divisível por 6, pois é um número par (divisível
por 2), mas 4 + 5 + 8 = 17 (não é divisível por 3).
75 não é divisível por 6, pois 7 + 5 = 12 (divisível por 3),
mas não é par (não é divisível por 2).
@matematica.do.zero
553 3
3 × 2 = 6
55 − 6 = 49
49 é divisível por 7
Logo, 553 também é
Note que a divisibilidade por 7 não é tão simples quanto as dos
anteriores, por isso colocarei o passo a passo, para que você
entenda perfeitamente. Por exemplo, 553 é divisível por 7
8
Um número natural é divisível por 7 se multiplicarmos o último
número por 2 e subtrairmos o resultado pelos números que
restaram. Se o resultado for divisível por 7, então o número é
divisível por 7.
Divisibilidade por 7 1.6. 
Passo 1:
Separe o algarismo da unidade
do número.
Passo 2:
Multiplique esse algarismo por 2.
Passo 3:
Subtraia o valor encontrado do
restante do número.
Passo 4:
Verifique se o resultado é
divisível por 7.
Caso não saiba se o número encontrado é divisível por 7, repita todo o
procedimento com o último número encontrado.
Vejamos outro exemplo: 5404 é divisível por 7
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
5404 4
4 × 2 = 8
540 − 8 = 532
@matematica.do.zero 9
Contudo, não sabemos se 532 é divisível por 7, então faremos
novamente o processo.
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
532 2
2 × 2 = 4
53 − 4 = 49
Passo 4: 49 é divisível por 7
Logo, 5404 também é
Divisibilidade por 81.7. 
Um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos
algarismos forem 000 ou esses três últimos algarismos
formarem um número também divisível por 8.
Exemplos:
73000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos
são 000.
49016 é divisível por 8, porque seus três últimos algarismos
formam o número 016, que é divisível por 8 (pois 16 ÷ 8 = 2).
8125 não é divisível por 8, porque seus três últimos
algarismos formam o número 125, que não é divisível por 8.
Divisibilidade por 91.8. 
Um número natural é divisível por 9 quando a soma de todos os
seus algarismos formam um número que é divisível por 9.
Exemplos:
387 é divisível por 9, pois 3 + 8 + 7 = 18, e 18 é um número
divisível por 9. 
@matematica.do.zero
Assim como a do 7, a divisibilidade por 11 é mais complicada,
então vamos ver bem detalhada.
Ex. : 54637 é divisível por 11
10
Divisibilidade por 101.9. 
Um número natural é divisível por 10 quando termina em 0.
Exemplos:
2142 é divisível por 9, pois 2 + 1 + 4 + 2 = 9, e 9 é um
número divisível por 9.
451 não é divisível por 9, pois 4 + 5 + 1 = 10, e 10 não é um
número divisível por 9.
Um número natural é divisível por 11 quando o valor absoluto
entre a diferença da soma dos algarismos de ordem ímpar para
a soma dos algarismos de ordem par for 0 ou um número
divisível por 11.
Divisibilidade por 111.10. 
530 é divisível por 10, pois termina em 0.
3210 é divisível por 10, pois termina em 0.
1002 não é divisível por 10, porque não termina em 0.
5 4 6 3 7
1ª Ordem
3ª Ordem5ª Ordem
2ª Ordem4ª Ordem
Soma dos algarismos de ordem ímpar: 7 + 6 + 5 = 18.
Passo 1:
Soma dos algarismos de ordem par: 3 + 4 = 7.
Passo 2:
@matematica.do.zero
18 – 7 = 11
11
diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e
a soma dos algarismos de ordem par:
Passo 3:
Como 11 é um número divisível por 11, então o número
54637 também é divisível por 11.
Vejamos outro exemplo: 5533 é divisível por 7
5 5 3 3
1ª Ordem3ª Ordem
2ª Ordem4ª Ordem
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
3 + 5 = 8
3 + 5 = 8
8 – 8 = 0
Como o resultado foi 0, então o número 5533 é divisível
por 11.
Divisibilidade por 121.11. 
Um número natural é divisível por 12 quando for divisível por 3 e
4, simultaneamente.
Exemplos:
816 é divisível por 12, pois 8 + 1 + 6 = 15 (divisível por 3) e
816 termina em 16 (divisível por 4).
79200 é divisível por 12, pois 7 + 9 + 2 + 0 + 0 = 18 (divisível
por 3) e 79200 termina em 00 (divisível por 4).
915 não é divisível por 12, pois 9 + 1 + 5 = 15 (divisível por
3), mas 915 termina em 15 (não é divisível por 4).
@matematica.do.zero 12
Divisibilidade por 131.12. 
Um número natural é divisível por 13 quando multiplicamos o
último algarismo por 4, somando-se os números restantes –
sem o último número – pelo produto anterior, for um número
divisível por 13.
Exemplos:
221 é divisível por 13, pois 1 × 4 = 4 e 22 + 4 = 26 (26 é 
 divisível por 13).
2847 é divisível por 13, pois 7 × 4 = 28 e 284 + 28 = 312.
312 temos 2 × 4 = 8 e 31 + 8 = 39 (39 é divisível por 13).
113 não é divisível por 13, pois 3 × 4 =12 e 11 + 12 = 33 (33
não divisível por 13.
Caso não saiba se o número encontrado é divisível por 13, repita todo o
procedimento com o último número encontrado.
Divisibilidade por 141.13. 
Um número natural é divisível por 14 quando for divisível por 2
(número par) e por 7, simultaneamente.
Exemplos:
224 é divisível por 14, pois é um número par (divisível por 2)
e 22 − (4 × 2) = 22 − 8 = 14 (divisível por 7).
938 é divisível por 14, pois é um número par (divisível por 2)
e 93 − (8 × 2) = 93 − 16 = 77 (divisível por 7).
48 não é divisível por 14, pois é um número par (divisível por
2), mas não é divisível por 7.
@matematica.do.zero 13
Divisibilidade por 151.14. 
Um número natural é divisível por 15 quando for divisível por 3 e
por 5, simultaneamente.
Exemplos:
1335 é divisível por 15, pois 1 + 3 + 3 + 5 = 12 (divisível por
3) e termina em 5 (divisível por 5).
4680 é divisível por 15, pois 4 + 6 + 8 + 0 = 18 (divisível por
3) e termina em 0 (divisível por 5).
8350 não é divisível por 15, pois apesar de terminar em 0
(divisível por 5), 8 + 3 + 5 + 0 = 16 (não é divisível por 3).
Mapa Mental - Divisibilidade1.15. 
Chega por aqui, né?! Existe também as regras de divisibilidade
para os outros números (16, 17, 18,...), entretanto aprender todas
elas é um processo muito cansativo e desnecessário. Veja bem,
coloquei aqui vários exemplos, mas você não precisa aprender
todos. Fiz questão de trazê-los, porque, caso um dia você
precise, terá onde recorrer. 
Citarei quais são os principais, sabendoeles você conseguirá
responder quase todas as questões, e o melhor, são tão simples
que dá para fazer um Mapa Mental.
77 não é divisível por 14, pois é divisível por 7, mas não é
divisível por 2.
@matematica.do.zero 14
É fundamental que você entenda, pelo menos, esses que estão
no mapa mental. Releia e pratique, escolha alguns números
aleatório e veja quais são os seus divisores. 
Entender bem esse conteúdo facilitará bastante quando fomos
estudar fatoração e, principalmente, simplificação de frações.
@matematica.do.zero
Número primo é todo número que tem apenas dois divisores
naturais distintos: o número 1 e o próprio número.
ANOTE AÍ
15
Perceba que quando falamos dos critérios de divisibilidade, não
citamos o caso do número 1, isso porque todos os números são
divisíveis por 1, ou seja, sempre dá uma divisão exata.
Números Primos2.
7 ÷ 1 = 7 95 ÷ 1 = 95 457 ÷ 1 = 457 8436 ÷ 1 = 8436 
Além disso todo número natural, diferente de 0, é divisível por ele
mesmo. 
5 ÷ 5 = 1 43 ÷ 43 = 1 291 ÷ 291 = 1 4868 ÷ 4868 = 1 
Ótimo, e o que um número primo? Chamamos de número primo
um número natural que possui somente dois divisores: 1 e ele
mesmo.
Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7, 11,... são números primos.
3.
Existem também números naturais que têm mais de dois
divisores distintos. O número 12 é um deles. Seus divisores são
1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Número composto é todo número natural que tem mais de
dois divisores distintos.
ANOTE AÍ
O número 1 não é primo nem composto, pois tem um único
divisor natural, que é ele mesmo.
Número Primo Apenas dois divisores
Número Composto Mais de dois divisores
Nem primo
Nem composto
1
https://escolakids.uol.com.br/matematica/numeros-naturais.htm
@matematica.do.zero 16
Saber se um número é primo ou composto nem sempre é uma
tarefa fácil. O método mais usado para essa tarefa é o "crivo de
Eratóstenes", o qual permite encontrar todos os números primos
entre dois números.
Números Primos VS Números Compostos3.
Encontraremos, como exemplo, todos os números primos que
existem entre 1 e 100, e, para isso, vamos seguir alguns passos.
Primeiro construiremos uma lista com todos os números de 1 até
100.
97
89
79
3 5 7
17 19
23 29
31 37
4341 47
53
61 67
71 73
83
11
2
13
59
1009998969594939291
1 4 6 8 9 10
14 16 18 201512
21 2724 26 28 302522
33 3934 36 38 403532
4944 46 48 504542
51 5754 56 58 605552
63 6964 66 68 706562
7774 76 78 807572
81 8784 86 88 908582
Vamos deixar com o fundo verde apenas os números primos.
Sabemos que 1 não é primo. Após o 1, vamos encontrar o
primeiro número primo, que é o 2 . Sabemos que todos os
números divisíveis por 2, exceto o próprio 2, não são primos,
pois eles possuem mais de dois divisores.
@matematica.do.zero 17
Perceba a diferença,
97
89
79
3 5 7
17 19
23 29
31 37
4341 47
53
61 67
71 73
83
11
2
13
59
1009998969594939291
1 4 6 8 9 10
14 16 18 201512
21 2724 26 28 302522
33 3934 36 38 403532
4944 46 48 504542
51 5754 56 58 605552
63 6964 66 68 706562
7774 76 78 807572
81 8784 86 88 908582
2
1 2
apenas dois divisores
número primo
4
1 4
número composto
2
mais de dois divisores
logo, vamos retirar da lista todos os números pares.
 3 é o próximo número primo, vamos retirar da lista todos os
números divisíveis por 3, pois eles não são primos.
97
89
79
3 5 7
17 19
23 29
31 37
4341 47
53
61 67
71 73
83
11
2
13
59
1009998969594939291
1 4 6 8 9 10
14 16 18 201512
21 2724 26 28 302522
33 3934 36 38 403532
4944 46 48 504542
51 5754 56 58 605552
63 6964 66 68 706562
7774 76 78 807572
81 8784 86 88 908582
https://www.preparaenem.com/matematica/numeros-pares-impares.htm
@matematica.do.zero 18
O próximo número é o 5 ,ele é primo, agora, vamos remover
todos os números divisíveis por 5.
O próximo número primo é o 11 , note que todos os números
97
89
79
3 5 7
17 19
23 29
31 37
4341 47
53
61 67
71 73
83
11
2
13
59
1009998969594939291
1 4 6 8 9 10
14 16 18 201512
21 2724 26 28 302522
33 3934 36 38 403532
4944 46 48 504542
51 5754 56 58 605552
63 6964 66 68 706562
7774 76 78 807572
81 8784 86 88 908582
 7 é o próximo número primo, vamos retirar da lista todos os
números divisíveis por 7, encontraremos a seguinte tabela.
97
89
79
3 5 7
17 19
23 29
31 37
4341 47
53
61 67
71 73
83
11
2
13
59
1009998969594939291
1 4 6 8 9 10
14 16 18 201512
21 2724 26 28 302522
33 3934 36 38 403532
4944 46 48 504542
51 5754 56 58 605552
63 6964 66 68 706562
7774 76 78 807572
81 8784 86 88 908582
@matematica.do.zero 19
divisíveis por ele (22, 33, ... , 99) já foram retirados. Portanto, os
números restantes são todos números primos.
Pronto, esses são os números primos que estão entre 1 e 100.
Saiba que quanto maior o número, geralmente, maior será a
dificuldade para saber se ele é primo ou composto. 
Por 2: 103 não é par, logo não é divisível por 2.
100999897969594939291
89
79
2 3 5 7
1311 17 19
1 4 6 8 9 10
14 16 18 201512
2321 27 2924 26 28 302522
3331 37 3934 36 38 403532
4341 47 4944 46 48 504542
5351 57 5954 56 58 605552
6361 67 6964 66 68 706562
71 73 7774 76 78 807572
81 83 8784 86 88 908582
Por exemplo, o número 103 é primo ou composto? Para
sabermos isso, vamos utilizar os critérios de divisibilidade dos
números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...).
Caso se obtenha uma divisão exata, o número será composto.
Caso se obtenha uma divisão em que o quociente seja igual ou
menor que o divisor o número será primo. 
Por 3: A soma dos seus algarismos: 1 + 0 + 3 = 4, não é divisível
 por 3. 
Por 5: 103 Não termina em 0 ou 5, não é divisível por 5. 
Por 7: 10 − (3 × 2) = 10 − 6 = 4, não é divisível por 7. 
@matematica.do.zero 20
Note que 7103
5
1498−
Como 14 > 7, é preciso continuar.
Por 11: Soma dos algarismos de órdem ímpar: 1 + 3 = 4 
Soma dos algarismos de órdem par: 0 
A diferença: 4 − 0 = 4, não é divisível por 11
Note que 11103
4
999−
Como 91.
Os números primos que ficarem depois do traço são os fatores.
Se multiplicados, representam a fatoração do número inicial!
30 2
15 3
5 5
1 2 × 3 × 5 
30 2
15 3
5
Passo 4:
30 = 2 × 3 × 5
Qual a decomposição de fatores primos do número 126
126 2
63 3
21 3
1 2 × 3 × 3 × 7
7 7
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
Passo 5:
Traço vertical.
Divida pelo menor número primo.
Escreva o quociente.
Divida o quociente pelo menor
número primo.
Repita o processo até
que o quociente seja 1.
126 = 2 × 3 × 3 × 7
@matematica.do.zero 23
Por meio da fatoração é possível determinar quais são os
divisores de um número. Vamos utilizar os números anteriores,
30 e 126, que já fizemos a fatoração para entendermos como
encontramos os seus divisores.
Divisores de um Número5.
Passo 4:
multiplique os dois divisores, 
pelo número primo seguinte.
Anote os 2 resultados
obtidos. 
Passo 1:
Comece fatorando o número
completamente.
Passo 2:
trace uma linha e escreva o
1 no alto, porque ele é
divisor de qualquer número.
Quais são os divisores do número 30?
30 2
15 3
5 5
1
30 2
15 3
5 5
1
1
divisores
Passo 3:
Multiplique o divisor 1 pelo
primeiro fator primo.
Depois, anote o resultado
abaixo do 1.
30 2
15 3
5 5
1
1
divisores
×
2
30 2
15 3
5 5
1
1
divisores
×
2
3, 6
@matematica.do.zero
2
3
5
1×
2
3, 6
2
3
2
3
1×
2
2
3
3
1×
2
3, 6
2
3
3
7
1×
2
3, 6
9, 18
24
Passo 5:
multiplique todos os divisores
pelo próximo número primo.
Anote os resultados obtidos. 
30
15
5
1
divisores
5, 10, 15, 30
Caso houvesse divisores
repetidos, não precisaria anotá-los
Portanto o número 30 possui 8 divisores, que são eles: 1, 2, 3, 5,
6, 10, 15 e 30.
Quais são os divisores do número 126?
Utilizando o passo a passo já citado, temos:
126
63
21 3
1
7 7
1
divisores
×
2 126
63
21 3
1
7 7
divisores
3, 6
126
63
21
1
7 7
divisores
9, 18
Quando há divisores repetidos,
não precisa anotá-los
126
63
21
1
7
divisores
7, 14, 21, 42, 63, 126
Portanto o número 126 possui 12 divisores, que são eles: 1, 2, 3,
6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.
@matematica.do.zero 25
Encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre dois ou mais
números é identificar o menor número inteiro positivo, diferente
de zero, que é múltiplo simultaneamente desses números.
Mínimo Múltiplo Comum - MMC6.
Para compreender o que é o MMC, é fundamental saber o que
são os múltiplos de um número. Os múltiplos de um número são
calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.
4 × 0 = 0
4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16...
Observações importantes:
Os múltiplos de 4, são M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ...}.
Podemos encontrar o MMC entre dois números analisando as
duas listas de múltiplos e procurar o menor número inteiro
diferente de zero e que seja múltiplo dos dois.
Ex. : Qual o MMC(4, 6) = 
Vamos analisar os seus múltiplos:
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, ...}.
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, ...}.
Existem infinitos múltiplos comuns entre 4 e 6, porém o mínimo
múltiplo comum é 12.
Assim, o MMC(4, 6) = 12
Um número tem infinitos múltiplos.
Zero é múltiplo de qualquer número natural.
@matematica.do.zero 26
Acontece que esse método é pouco prático quando há mais
números, ou então, quando os números são maiores, muitas
vezes encontrar o MMC escrevendo a lista de múltiplos de cada
um dos números pode ser bastante trabalhoso.
A melhor forma de encontrar o MMC é por meio de uma
fatoração simultânea. Como você já aprendeu a fatorar um
número, então você sabe fatorar dois ou mais números
simultaneamente, porque os passos são idênticos. Vejamos, 
Passo 1:
faça um traço vertical.
4, 6
Passo 2:
Divida-os pelo menor número primo
possível e registre-o depois do traço.
2
Passo 3:
Escreva os quocientes das divisões
abaixo dos números iniciais.
2, 3
Passo 4:
Divida o quociente pelo menor
número primo.
2
Passo 5:
Repita o processo até que os
quocientes sejam 1.
2, 3
4, 6
1, 3
1, 1
2
2
3
12
2, 3
4, 6 2
2
1, 3
4, 6
4, 6
2, 3
4, 6 2
2
1, 3 3
1, 1
Passo 6:
Multiplique todos os números
primos. ×
 
MMC(4, 6) = 12
@matematica.do.zero 27
Já vimos muita coisa até aqui, chegou a hora de praticar um
pouco. Releia os conteúdos e tente responder as alternativas
antes de ver a resolução. Se você aprendeu o que foi passado
anteriormente, será tranquilo.
1) Calcule o MMC dos seguinte números:
Resolução:
 a)MMC(12, 20) b)MMC(48, 84) 
c)MMC(9, 15, 21) d)MMC(15, 24, 60)
2
2
3
5
12, 20
a) 60
60
MMC(48, 84) = MMC(12, 20) = 
 6, 10
3, 5
1, 5
1, 1
×
×
×
2
2
2
48, 84
336
 24, 42
12, 21
6, 21
3, 21
×
×
×
336
MMC(9,15,21) = 
3
3
5
7
9, 15, 21
315
×
×
×
1, 5, 7
1, 1, 7
1, 1, 1
315
3, 5, 7
b)
2
3 ×
×71, 7
1, 1
c) d) MMC(15,24,60) = 
2
2
2
3
15, 24, 60
120
×
×
×
15, 6, 15
5, 1, 5
120
15, 12, 30
15, 3, 15
5 ×
1, 1, 1
Propriedades do MMC6.1. 
Existem algumas propriedades que facilitam nossos estudos,
porque utilizando elas não precisamos realizar muitos cálculos.
O MMC entre dois ou mais números primos será sempre o
produto entre eles.
Propriedade 1
MMC(3, 5 ) = 3 × 5 = 15Ex. : MMC( 7, 11 ) = 7 × 11 = 77Ex. :
@matematica.do.zero 28
MMC(2, 4, 8 ) = 8Ex. : MMC( 6, 24 ) = 24Ex. :
Entre dois ou mais números, se o maior deles é múltiplo dos
outros, então esse maior número é o MMC.
Propriedade 2
M(2) = {0, 2, 4, 8,...}
M(4) = {0, 4, 8,...}
M(6) = {0, 6, 12, 24,...}
Multiplicando ou dividindo os números por um outro número
diferente de zero, o MMC aparece multiplicado ou dividido por
esse outro.
Propriedade 3
MMC(3, 5 ) = 15Ex. :
×2
MMC(3×2, 5×2 ) = 15×2
MMC(3, 5 ) = 15
×3
MMC(3×3, 5×3 ) = 15×3Ex. :
MMC(8, 12 ) = 24
÷4
Ex. : MMC(8÷4, 12÷4 ) = 24÷4
MMC(9, 15) = 45
MMC(6, 10) = 30
MMC(2, 3) = 6
MMC(8, 12 ) = 24
÷2
Ex. : MMC(8÷2, 12÷2 ) = 24÷2
MMC(4, 6) = 12
@matematica.do.zero 29
O máximo divisor comum (MDC) é o maior número que é divisor
de dois ou mais números simultaneamente. Para encontrá-lo,
podemos escrever a lista de divisores de cada um desses
números e compará-las, buscando o maior divisor em comum
entre esses números.
Máximo Divisor Comum - MDC7.
Ex. : Qual o MDC( 30, 126 ) = 
Note que analisamos os divisores dos números que trabalhamos
na seção 5 (Divisores de um número). Lá vimos que encontrar os
divisores de um número não é uma tarefa tão simples, né
verdade?!
Imagine que você tivesse que descobrir o MDC( 20, 50 ). Então,
primeiro você teria que descobrir quais os seus divisores e depois
analisar qual é o maior entre eles, isso levaria muito tempo. 
Vamos analisar os seus divisores:
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30}.
D(126) = {1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126}.
Existem vários divisores comuns entre 30 e 126, porém o
máximo divisor comum é 6.
Assim, o MDC( 30, 126 ) = 6
A boa notícia é que existe uma forma muito mais rápida e é bem
parecida com a que utilizamos no MMC.
Faremos, novamente, uma fatoração simultânea. Sendo assim,
por meio da fatoração vamos encontrar o MDC( 20, 50).
Divisores de 30
Divisores de 126
@matematica.do.zero 30
Passo 1:
faça a fatoração como se
estivesse calculando o MMC.
20, 50
10, 25
5, 25
1, 5
2
2
5
5
1, 1
Resolução:
Passo 2:
Assinale os números primos que
dividiu todos os números
simultaneamente.
20, 50
10, 25
5, 25
1, 5
2
2
5
5
1, 1
apenas 1
apenas 1
Passo 3:
Multiplique apenas os números
que foram assinalados.
20, 50
10, 25
5, 25
1, 5
2
2
5
5
1, 1
× 10
Logo, o MDC( 20, 50 ) = 10.
Vamos praticar um pouco, faça antes de ver a resolução.
2
3
3
3
54, 405
a) 27 MDC(45, 60, 135) = MDC(54, 405) = 
27, 405
9, 135
3, 45
1, 15
2
2
3
45, 60, 135
45, 30, 135
45, 15, 135
15, 5, 45
5, 5, 15
15b)
3
3
55, 5, 5
1, 1, 1
1) Calcule o MDC dos seguinte números:
 a)MDC(54, 405) b)MDC(45, 60, 135) 
3
51, 5
1, 1
×
×
@matematica.do.zero 31
Propriedades do MDC7.1. 
O máximo divisor comumpossui propriedades importantes que
nos auxiliam a encontrar de forma mais rápida o MDC entre dois
números.
O MDC entre dois ou mais números primos é sempre igual 
 a 1.
Propriedade 1
MDC( 5, 7 ) = 1Ex. : MDC( 2, 11 ) = 1Ex. :
MDC( 3, 6, 12 ) = 3Ex. : MDC( 5, 20 ) = 5Ex. :
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos
os outros, então ele é o MDC dos números dados.
Propriedade 2
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Multiplicando ou dividindo os números por um outro número
diferente de zero, o MDC aparece multiplicado ou dividido por
esse outro.
Propriedade 3
MDC(4, 10 ) = 2Ex. :
×9
MDC(4×9, 10×9 ) = 2×9
MDC(36, 90) = 18
MDC( 3, 9 ) = 3
×2
MDC(3×2, 9×2 ) = 3×2Ex. :
MDC(28, 42 ) = 14
÷7
Ex. : MDC(28÷7, 42÷7 ) = 14÷7
MDC(6, 18) = 6
MDC(4, 6) = 2
@matematica.do.zero 32
A grande maioria dos alunos confundem o conceito de MMC com
o de MDC, não sabem quando se deve usar um ou outro. Por
mais que tenham palavras ou siglas parecidas, eles possuem
muitas diferenças, vamos esclarecê-las.
MMC VS MDC8.
A diferença entre MMC e MDC é que o primeiro procura encontrar
o menor múltiplo, já o segundo quer encontrar o maior divisor.
Mas encontrar de onde? Da comparação entre dois ou mais
valores.
Note que não faz sentido pensar em um “máximo múltiplo
comum”, porque os múltiplos dos números são infinitos, então
não é possível determinar esse valor!
D(12) = {1, 2, 4, 6, 12}.
Também não é útil pensar em um “mínimo divisor comum”, pois
nós já sabemos que todos os números são divisíveis por 1 e isso
não nos leva a lugar nenhum!
M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...}.
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...}.
Qual o máximo?
Qual o máximo?
MMC ( 8, 12 ) = 24
Precisa ser o mínimo
D(8) = {1, 2, 4, 8,}.
um é sempre divisor
MDC ( 8, 12 ) = 4
Precisa ser o máximo
um é sempre divisor
Em geral, se pegarmos os mesmos números, o MMC é sempre
maior que o MDC. Vamos ver outras diferenças.
@matematica.do.zero
Ideia de divisão
Partes iguais
2 8, 12
2 4, 6
2
2
2
3
M(8) = {0,8,16,24,32,40,48,56, ...}
M(12) = {0,12,24,36,48,60,72, ...} D(12) = {1, 2, 4, 6, 12}
D(8) = {1, 2, 4, 8,}
MDC ( 8, 12 ) = 4MMC ( 8, 12 ) = 24
MMC( 4, 8 ) = 8
MMC( 12, 24 ) = 24
Ideia de tempo
Encontro
MDC( 12, 24 ) = 12
33
MMC
Simplificar frações
2
3
4MDC( 8, 12 ) = 
2, 3
1, 3
1, 1
×
 8, 12
24MMC( 8, 12 ) = 
 4, 6
2, 3
1, 3
1, 1
×
×
×
24
MDC( 3, 5 ) = 1MMC( 3, 5 ) = 15
Propriedade 2
MDC( 4, 8 ) = 4MMC( 4, 8 ) = 8
MDC( 4, 8 ) = 4
Propriedade 1
Propriedade 3
Propriedade 1
Propriedade 1
Propriedade 3
MDC
Somar frações
@matematica.do.zero
Imagina que você esteja com uma deliciosa barra de chocolate.
Aí você a divide em três partes iguais. Em termos matemáticos,
cada uma dessas partes é vista como um terço. 
2
3
34
Frações9.
Finalmente chegamos ao assunto de frações. O uso de frações é
frequente em nosso dia a dia: quando estamos fazendo receitas
culinárias, quando vamos dividir a conta do restaurante com um
grupo de amigos, quando observamos o tanque de gasolina de
um veículo, entre outros diversos exemplos.
Fração é simplesmente um número que representa uma divisão.
Mas ela é especificamente usada quando queremos falar de um
elemento que foi divido em partes iguais.
Para representar uma fração utilizamos dois números inteiros:
Numerador
Denominador
Numerador: indica o número de partes que foram reunidas ou
tomadas da unidade (ou todo). Comumente conhecido como 
 “o número de cima”.
Denominador: indica em quantas partes a unidade foi dividida.
Comumente conhecido como “o número de baixo”.
Atenção: o denominador nunca pode ser 0.
3
3
1
3
1
3
1
3
@matematica.do.zero
1
2
2
3
3
4
2
5
lê-se: um meio
lê-se: dois terços
lê-se: três quartos
lê-se: dois quintos
35
Nomenclatura das Frações10.
Antes de falarmos dos tipos de frações e das operações, é
interessante estendermos como funciona a nomenclatura.
A leitura das frações é feita assim: primeiro, lemos o numerador;
depois, o denominador. Contudo, a forma como essa pronuncia
é feita depende de algumas condições.
Enuncia-se: meios, terços, quartos, quintos, sextos, sétimos,
oitavos, nonos.
Denominadores entre o 2 e o 910.1. 
5
6
1
7
4
8
7
9
lê-se: cinco sextos
lê-se: um sétimos
lê-se: quatro oitavos
lê-se: sete nonos
Frações Decimais10.2. 
Frações decimais são frações terminadas em 10, 100, 1000, etc.
Para elas, utiliza-se as nomenclaturas:
@matematica.do.zero 36
10 (décimos), 100 (centésimos), 1000 (milésimos), e assim por
diante.
Quando o denominador não for nenhum dos números indicados
aqui, lemos o denominador acompanhado da palavra avos.
Demais Denominadores10.3. 
9
10 lê-se: nove décimos
31
100 lê-se: trinta e um centésimos 
47
1000 lê-se: quarenta e sete milésimos
5
11 lê-se: cinco onze avos
3
20 lê-se: três vinte avos 
lê-se: sete dezenove avos7
19
lê-se: um doze avos1
12
@matematica.do.zero
1
2
3
4
37
Tipos de Frações11.
Agora que você já sabe o que é fração, deve entender que há
inúmeros tipos de frações. Vamos focar nas principais e entender
as características de cada uma delas.
São aquelas em que o numerador é menor que o denominador.
 Frações próprias11.1. 
5
6
Frações Impróprias11.2. 
São aquelas em que o numerador é maior que o denominador.
Em sua representação gráfica, é necessário mais de um inteiro.
5
4
11
6
Frações Aparentes11.3. 
São aquelas em que o numerador é igual ou múltiplo do
denominador.
8
4
= 22
2
= 1 9
3
= 3
@matematica.do.zero 38
Duas ou mais frações que representam a mesma parte da
unidade (têm o mesmo valor).
 Frações Equivalentes11.4. 
Frações Irredutíveis11.5. 
São aquelas em que o numerador e o denominador são inteiros
que não possuem outros divisores em comum. 
1
2
2
4
3
6
4
8
As frações, embora escritas de modo diferente, representam a
mesma parte da figura, ou seja, 
1
2
2
4
= 3
6
4
8
==
11
3
4
5
8
9
17
29
1
2
Entender o que é uma fração irredutível é muito importante,
principalmente quando falarmos de simplificação de frações, que
consiste em dividir seus termos por um mesmo número de forma
a conseguir termos menores que os iniciais.
Resumidamente, o processo de simplificação de frações
corresponde a encontrar uma fração que seja, ao mesmo tempo,
irredutível e equivalente à primeira!
2
4
2 ÷ 2
4 ÷ 2= 1
2
=
Fração irredutível
Frações equivalentes
@matematica.do.zero 39
Se você não entendeu muito bem esse conceito de simplificação,
não se preocupe, teremos uma seção que será apenas sobre
isso. Apenas quis aproveitar o momento que estamos falando de
frações equivalentes e frações irredutíveis.
Frações Particulares11.6. 
Há alguns casos que são particulares e quando você se debater
com eles irá saber exatamente o que cada um significa.
Se o numerador é zero, a fração é igual a zero.
0
3
= 0 0
15
= 0 0
71
= 0 0
100
= 0
Se o denominador é um, a fração é igual ao numerador.
5
1 = 5 99
1
= 99 36
1
= 36 2
1
= 2
Se o numerador e o denominador são iguais, a fração é igual
à unidade.
4
4 = 1 23
23
= 1 758
758
= 1 896
896
= 1
Se o denominador é zero, a fração não tem sentido (a divisão
por zero é impossível).
@matematica.do.zero 40
Simplificação de Frações12.
Simplificar uma fração é dividir seus termos por um mesmo
número e obter termos menores que os iniciais.
Passo 2:
Identifique qual número divide
o numerador e o denominador
simultaneamente.
Como falamos anteriormente, o processo de simplificação de
frações corresponde a encontrar uma fração que seja, ao mesmo
tempo, irredutível e equivalente à primeira!
2
4
2 ÷ 2
4 ÷ 2= 1
2
=
Fração irredutível
Frações equivalentes
Para simplificar frações o método mais utilizado é o chamado
método das divisões sucessivas. Basicamente, a única coisa
que você precisará lembrar é dos critérios de divisibilidades
que já vimos.
Vamos simplificar a fração 48
60
Passo 1:
Repita o procedimento até 
 não haver tal número.
Obter uma fração irredutível.
Note que o número2 divide, já
que ambos são pares.
48
60
48 ÷ 2
60 ÷ 2
24
30
==
48
60
24
30
=
÷ 2
÷ 2
12
15
=
÷ 2
÷ 2
÷ 3
÷ 3
4
5
=
Note que não há número, diferente de
1, que divida 4 e 5 simultaneamente. 
Portanto 48
60
4
5
=
@matematica.do.zero 41
Você não é obrigado a dividir pelo menor número (nesse caso o
2). O problema é que às vezes não conseguimos pensar em bons
números para simplificar de uma vez só. 
Vamos supor que logo no passo 1 você tenha identificado que o
número 6 divide ambos os números, o processo de simplificação
seria mais rápido.
Simplificação é um assunto delicado, porque os alunos acabam
cometendo muitos equívocos. Aos poucos vamos citando cada
um deles. Veja só
48
60
8
10
=
÷ 6
÷ 6
4
5
=
÷ 2
÷ 2
O ideal é simplificar pelo MDC, MDC( 48, 60 ) = 12
48
60
=
÷ 1
2
÷ 12
4
5
Sempre que possível, divida pelo MDC
ANOTE AÍ
4
9
=
÷ 2
÷ 3
2
9
= 2
3
Dividiu apenas o numerador 
Dividiu apenas o denominador
Cuidado, dividir apenas o numerador ou o denominador está
ERRADO. Lembre-se precisamos dividir ambos os números
simultaneamente, a fração já é irredutível.4
9
Vamos ver outros exemplos para você fixar o assunto.
315
90
= 105
30
35
10
=
÷ 3
÷ 3
÷ 5
÷ 5
7
2
=
÷ 3
÷ 3
96
132
= 48
66
24
33
=
÷ 2
÷ 2
÷ 3
÷ 3
8
11
=
÷ 2
÷ 2
ou
ou
315
90
= 7
2
÷ 4
5
÷ 45
96
132
= 8
11
÷ 1
2
÷ 12
@matematica.do.zero 42
Finalmente, chegamos nas operações com frações. O mais
importante sobre as frações é saber como utilizá-las para fazer
operações matemáticas básicas, como adição, subtração,
multiplicação e divisão. Vamos entender como funciona cada
uma delas.
Operações com Frações13.
Soma de Frações13.1. 
Para somar duas ou mais frações de mesmo denominador,
devemos repetir os denominadores e operar com os
numeradores.
Denominadores Iguais
3
5 + 1
5
3 + 1
5
= 4
5
=
Para fazer uma operação de adição entre frações, teremos que
analisar apenas dois casos: denominadores iguais ou 
 denominadores diferentes.
8
9 + 7
9
8 + 7
9
= 15
9
= 5
3
=
2
7 + 4
7
2 + 4 + 8
7
+ 14
7
= 2
1
=8
7
= 2=
Conserva
Soma
Sempre que possível, simplifique
÷ 3
÷ 3
÷ 7
÷ 7
Muito fácil, concorda? O problema é que, na grande maioria das 
@matematica.do.zero 43
questões, os denominadores são diferentes, e o pior, só
podemos somar frações com denominadores iguais. Vamos
verificar como fazer nesses casos.
Denominadores Diferentes
3
4 + 1
6
=
Calcule o MMC entre
os denominadores.
Passo 1:
Ex. :
2
2
3
12
12
MMC(4, 6) = 
4, 6
2, 3
1, 3
×
×
1, 1
Substitua todos os
denominadores por
este MMC.
Passo 2:
3
4 + 1
6
=
12
Divida o MMC por cada
denominador e multiplique
o resultado pelo numerador.
Passo 3:
3
4
+ 1
6
=
12
÷ ÷
× ×
Some os novos numeradores.
Passo 4:
9 + 2 
3
4
+ 1
6
=
12
9 + 2 = 11
12
12 ÷ 4 × 3 = 9 12 ÷ 6 × 1 = 2 
Portanto, 3
4
+ 1
6
= 11
12
Pronto, se você conseguiu entender esse método, então
conseguirá fazer qualquer soma entre frações.
Professor, não gostei! Existe outro método? Sim, existe.
Há outro forma de fazer, tem um Macete que é bem útil. 
@matematica.do.zero 44
Método da Borboleta
Por meio desse método, conseguimos realizar a soma de frações
sem calcular MMC. Vamos fazer, novamente, o exemplo anterior
e analisar como funciona.
Como já sabíamos,
3
4
+ 1
6
=
Multiplique os
denominadores
.
Passo 1:
Ex. :
Multiplique cruzado. 
Passo 2:
=
24
Passo 3:
3
4
+ 1
6
24
18 4
3
4
+ 1
6
24
3
4
+ 1
6
24
18
=
24
18 
Multiplique cruzado
novamente 
=
24
18 + 4 
Passo 4:
3
4
+ 1
6
24
18 4
Some os novos
numeradores e depois
simplifique.
=
24
18 + 4 = 22
24
= 11
12
÷ 2
÷ 2
3
4
+ 1
6
= 11
12
mas agora você tem
duas formas de fazer.
Vamos ver outro exemplo. 
3
4
+ 2
5
=
3
4
+ 2
5
20
15 8
=
2O
15 + 8 = 23
20
23
20
Logo,
3
4
+ 2
5
=Ex. :
@matematica.do.zero
10 + 15 + 20
4O
2
3
24 + 15
Geralmente, quando temos uma soma de apenas duas frações,
a forma mais fácil e rápido de fazer é utilizando esse macete.
Entretanto, quando temos mais de duas frações é melhor utilizar
o modelo tradicional.
10
4
20 + 60
5
10
45
Claro que não somos obrigados a desenhar a borboleta rsrsrs
podemos fazer direto.
Para fazer pelo método da borboleta, teríamos que primeiro
somar as duas primeira e depois somar o resultado com a última. 
Portanto, das duas formas encontramos
5
12
= 36
39
36
= 13
12
=
÷ 3
÷ 3
+
15
2
= 8
80
8
= 10=
÷ 8
÷ 8
+
1
4
+ 3
8
+ =
÷ ÷
÷
× × ×
=Ex. : 5
10
1
4
+ 3
8
+
= 45
40
= 9
8
÷ 5
÷ 5
1
4
8 + 123
8
=
32
20
32
= 5
8
=
÷ 4
÷ 4
+
=Ex. : 5
10
1
4
+ 3
8
+
MMC(4,8,10) = 40
Duas primeiras
5
8
Somar a última
5
10
+ 50 + 40=
80
90
80
= 9
8
=
÷ 1
0
÷ 10
+
=5
10
1
4
+ 3
8
+ 9
8
Porém, nesses casos, é melhor pelo método tradicional,
principalmente se tivéssemos 4, 5 ou mais frações.
@matematica.do.zero 46
Subtração de Frações13.2. 
Para subtrair duas ou mais frações de mesmo denominador,
devemos repetir os denominadores e operar com os
numeradores.
Denominadores Iguais
8
2 − 7
2
8 − 7
2
= 1
2
=
A subtração de frações funciona da mesma forma que a adição,
ou seja, é necessário verificar se os denominadores são iguais
ou se os denominadores diferentes.
11
4 − 9
4
11 − 9 − 5
4
− −3
4
=5
4
=
Conserva
Subtrai
É importante notar que o resultado do último exemplo pode ser
escrito de três maneiras.
−3
4
= 3
4
− = 3
−4
Sendo as duas primeiras formas as mais comuns. Em outras
palavras: em uma fração negativa, o sinal de “menos” pode ser
colocado no numerador, no denominador, ou à esquerda da
fração.
Denominadores Diferentes
5
6 − 3
10
=Ex. :
@matematica.do.zero 47
Calcule o MMC entre
os denominadores.
Passo 1:
2
3
5
30
30
MMC(6, 10) = 
6, 10
3, 5
1, 5
×
×
1, 1
Substitua todos os
denominadores por
este MMC.
Passo 2:
5
6 − 3
10
=
30
Divida o MMC por cada
denominador e multiplique
o resultado pelo numerador.
Passo 3:
5
6
− 3
10
=
30
÷ ÷
× ×
Subtraia os novos
numeradores.
Passo 4:
25 − 9 
5
6
− 3
10
=
30
25 − 9 = 16
30
30 ÷ 6 × 5 = 25 30 ÷ 10 × 3 = 9 
Portanto, 5
6
− 3
10
= 8
15
Praticamente, idêntico ao da adição, e o melhor, o método da
borboleta também funciona.
= 8
15
÷ 2
÷ 2
Método da Borboleta
5
6 − 3
10
=Ex. :
Multiplique os
denominadores.
Passo 1:
=
60
5
6
− 3
10
60
Multiplique cruzado. 
Passo 2:
5
6
− 3
10
60
50
=
24
50 
@matematica.do.zero
5
6
− 3
10
60
50 18
5
6
− 3
10
60
50 18
50 − 18 32
60
8
15
Logo, 
18 + 28 − 248
16
3
8
7
5
7
2 10
3×
×
×
48
Passo 3:
Multiplique cruzado
novamente. 
=
60
50 − 18 
De fato,
Passo 4:
Subtraia os novos
numeradores e depois
simplifique.
=
60
= =
÷ 4
÷ 4
5
6
− 3
10
= 8
15
Como já sabemos, quando temos mais de duas frações, é mais
simples fazermos pelo método tradicional. Além disso, já que a
forma de resolver é idêntica, utilizamos quando temos "mais" e
"menos" em uma mesma expressão.
=
48
+
12
− =
÷ ÷
÷
× × ×
=Ex. : 8
16
3
8
+ 7
12
−
= 22
48
= 11
24
÷ 2
÷ 2
MMC(8,12,16) = 48
=8
16
3
8
+ 7
12
− 11
24
Multiplicação de Frações13.3. 
Para multiplicar frações, não precisamos ter denominadores
iguais. Basta multiplicar os numeradores e multiplicar os
denominadores.
21= 1
2
9 9
4×
×
×
8=
@matematica.do.zero 49
Se a multiplicação for entre um número inteiro e uma fração, o
número inteiro multiplicará o numerador da fração.
2 7 14
13×
×
13= isso porque 2 2
1=
Sempre que possível, simplifique as frações antes de multiplicar
ANOTE AÍ
Desta forma, você terá bem menos trabalho. O detalhe é que
qualquer numerador pode ser simplificado com qualquer
denominador, se possível.
=Ex. : 9
15
5
2
× 4
3
×
5 e 15 podem ser simplificados por 5;
2 e 4 podem ser simplificados por 2; e
3 e 9 podem ser simplificados por 3;
Observe que
=9
15
5
2
× 4
3
×
÷5 ÷2 ÷3
1
31 1
2 3 6
3
= 2
Viu como é mais fácil? Vamos fazer outro exemplo, primeiro sem
simplificar e depois simplificando.
=Ex. : 33
12
4
15
× 5
11
×
=33
12
415
× 5
11
× =4 × 5 × 33
15 × 11 × 12
660
1980
=
=33
12
4
15
× 5
11
× 3
9
=
÷4 ÷5 ÷11
1
33 1
1 3
Tem alguns casos que precisamos tomar muuuito cuidado para
não cometer erros.
1
3
1
3
@matematica.do.zero 50
Só podemos simplificar um ou outro, quando temos uma
multiplicação, simplificar os dois está ERRADO.
=Ex. : 14 × 20
2
ERRADO
14 × 20
2
= 7 × 10 = 70
CERTO
14 × 20
2
= 7 × 20 = 140
14 × 20
2
= 14 × 10 = 140
Isso acontece porque quando "separamos" a fração ela pode ficar
de duas formas:
14 × 20
2
= 20
214 × ou 14 × 20
2
= 14
2 × 20
Entretanto, a grande maioria dos erros que os alunos cometem é
quando vão simplificar uma fração com soma.
=Ex. : 14 + 20
2
Nesses casos só podemos simplificar se todos forem divisíveis
pelo mesmo número.
ERRADO
14 + 20
2
= 7 + 20 = 27
14 + 20
2
= 14 + 10 = 24
CERTO
14 + 20
2
= 7 + 10 = 17
14 + 20
2
= = 1734
2
Isso acontece porque quando "separamos" a fração temos:
14 + 20
2
= 20
2+14
2
Simplificar é bom, mas qualquer deslize pode levar você ao erro. 
Então, se você não conseguiu entender a diferença entre uma
fração com multiplicação e uma com soma, faça o seguinte:
simplifique na multiplicação e calcule normalmente na soma.
@matematica.do.zero
15 × 21
3
2 ÷ 2 ×
9 ÷ 9 ×
2
2
3
5
9
9
2
7
= 14
15
51
Afinal de contas, realizar uma soma é bem tranquilo.
Há três formas de fazer uma divisão entre frações, isso mesmo,
TRÊS. Vamos conhecer cada uma delas.
= 5 × 21 = 105 =15 + 21
3
36
3
= 12
Divisão de Frações13.4. 
=Ex. : 2
3
5
7
÷ =Ex. : 9
2
7
3
÷
Método 1
Para fazer a divisão entre frações, basta manter a primeira fração
e multiplicá-la pelo inverso da segunda.
3
5
7
=
3
7
5 = 14
15
2
7
3
=
2
3
7 = 27
14
Método 2
"Lei da orelha" este procedimento indica que as extremidades
superior e inferior são multiplicadas para obter o numerador e os
números do meio para obter o denominador. 
÷
3
5
7
=
7
= 27
14÷
2
7
3
=
3
Método 3
"Produtos cruzados" simplesmente multiplicamos o numerador
https://edu.gcfglobal.org/pt/como-fazer-multiplicacao/comecando-a-multiplicar/1/
@matematica.do.zero 52
pelo denominador e o denominador pelo numerador.
2 14
15
÷
3
5
7
=
9 27
14
÷
2
7
3
=
Não importa o método utilizado o resultado será o mesmo, então
você só precisa escolher um e utilizá-lo. 
Particularmente, prefiro o método 1. Embora pareça mais difícil,
quando temos várias frações, ele é bem útil, já que ficamos
apenas com multiplcações.
÷Ex. : 3
7
1
2
÷ =1
5
3
7 2÷ ÷ 5
1 = 3
7
1 × 2
1 × 5
1 = 30
7
@matematica.do.zero
Parte inteira
5
6
53
Números Mistos14.
Esses números são bastante utilizados na culinária, a vantagem
da representação de uma fração mista é que nela podemos
identificar com facilidade a parte inteira do número.
É importante mencionar que os números mistos podem ser
transformados em frações impróprias e vice-versa.
1
4
1 1
Os números mistos, também conhecido como frações mistas,
são números compostos por uma parte inteira e outra parte
fracionária. 
Parte fracionária
Parte inteira
Parte fracionária
Perceba que as representações gráficas utilizadas foram
exatamente as mesmas que utilizamos quando falamos de
frações impróprias. 
Números Mistos p/ Frações Impróprias14.1. 
1
4
1 +=
Para transformar um número misto em uma fração imprópria,
basta conservar o denominador, depois multiplicá-lo pela parte
inteira e somar com o numerador.
1
4
1 5
4
=
×
+
5
6
1 11
6
=
×
+
@matematica.do.zero
5
6
5 11
54
Nessa situação, o quociente representa a parte inteira, o resto
é o numerador e o divisor é o denominador.
1
4
1 1
Quanto à transformação de uma fração imprópria em número
misto, deve-se dividir o numerador pelo denominador. 
5
4
=
4
5 4
14−
1 
= 1
4
1
6
11 6
16−
5
= 5
6
1
Ou seja,
11
6
=
Fração Mista
Fração Imprópria
Fração Mista
Fração Imprópria
Vejamos outros exempos
2
4
2 10
4
=
7
9
1 16
9
=
3
6
4 27
6
=
Frações Impróprias p/ Números Mistos14.2. 
@matematica.do.zero
Frações Números Decimais
Centena Dezena Unidade , Décimo Centésimo Milésimo 
Ordens inteiras Ordens decimais Leitura
2 1 Dois inteiros e um
décimo.
Trinta e seis inteiros e 
 cinco centésimos
Um inteiros e vinte e
sete milésimos
3 6 50
1 20 7
55
15.
Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da
divisão não exata de dois números inteiros. Correspondem,
portanto, aos números que possuem “casas após a vírgula”.
É importante mencionar que a leitura de um número decimal deve
ser feita primeiramente pelo número inteiro e depois pela parte
decimal.
Todo número decimal é composto por duas partes: 
 Parte inteira: Fica à esquerda da vírgula;
Parte decimal: Fica à direita da vírgula; 
3,25
A ideia que o decimal carrega é a mesma da fração: pegamos um
valor inteiro e dividimos em pedacinhos. Por isso, a fração e o
decimal são duas formas diferentes de indicar o mesmo valor!
3
2
= 1,5
Como temos uma igualdade, isso significa que podemos tanto ir
da esquerda para direita, como ir da direita para esquerda. 
Para transformar uma fração em decimal, é bem simples, basta
dividir o numerador pelo denominador. Como já vimos isso no 
@matematica.do.zero 56
e-book anterior, vamos entender agora como funciona o processo
inverso. 
Para transformar um decimal em uma fração, não é tão simples
assim, porque teremos três casos: decimal exato, dízima
periódica simples e dízima periódica composta.
Todo número cuja representação decimal for finita pode ser
escrito na forma de uma fração com denominador 10, 100, 1000,
etc.
Decimal Exato p/ Frações15.1. 
Coloque no numerador todo o nº
sem a vírgula.
Passo 1:
=1,5 15
Uma forma simples de realizar este procedimento é a seguinte:
Vejamos outros exemplos
Coloque no denominador o nº 1
seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais. 
Passo 2:
=1,5 15
10uma casa
 decimal um zero
Simplifique, se possível.
Passo 3:
=1,5 15
10
÷ 5
÷ 5
= 3
2
=7,3 73
10uma casa
 decimal um zero
=0,5 5
10uma casa
 decimal um zero
= 1
2
@matematica.do.zero 57
=4,19 419
100duas casas
 decimal dois zeros
=1,42 142
100duas casas
 decimal dois zeros
= 71
50
=21,651 21651
1000três casas
 decimal três zeros
=1,920 1920
1000três casas
 decimal três zeros
= 48
25
Em outra palavras, é preciso que exista certo conjunto de
números que se repitam periodicamente infinitas vezes. 
Dízima periódica p/ Frações15.2. 
Dízimas periódicas são números decimais com infinitas casas
decimais periódicas.
5,63272727...
Observe que o conjunto de dígitos 27 se repete infinitas vezes.
Os Matemáticos adoram inventar abreviações, notações e
símbolos.
A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos
que se repetem, ou seja, do período. Logo,
5,63272727... = 5,6327
Para transformar esses números em frações, precisamos
entender a diferença entre uma dízima periódica simples e uma
dízima periódica composta.
São aquelas cuja parte decimal é repetida em sua totalidade.
Periódicas Simples
0,5555... = 0,5
0,7373... = 0,73 28,5757... = 28,57
3,2121... = 3,21
@matematica.do.zero 58
Periódicas Compostas
São aquelas em que uma parte decimal é repetida e outra parte
não.
0,3777... = 0,37
0,13434... = 0,134 32,016565... = 32,0165
1,54888... = 1,548
Entendido a diferença, vamos ver o como transformamos as
dízimas periódicas em frações, iniciando pelas simples.
Ex. : 28,57 = 
Identifique o período e a parte
inteira.
Passo 1:
Parte inteira
Diminua todo o nº , sem a
vírgula, da parte inteira (será o
numerador).
Passo 2:
Período 57
28
2857 − 28 = 2829 
Para cada nº no período,
adicione um 9 no denominador.
Passo 3:
= 282928,57
99Dois
números
Portanto, 28,57 = 2829
99
Vamos encontrar a fração do número 3,21
Identifique o período e a parte
inteira.
Passo 1:
Parte inteira
Período 21
3
@matematica.do.zero 59
Diminua todo o nº , sem a
vírgula, da parte inteira (será o
numerador).
Passo 2:
321 − 3 = 318 
Para cada nº no período,
adicioneum 9 no denominador.
Passo 3:
= 3183,21
99Dois
números
Portanto, 3,21 = 318
99
Quanto a parte inteira é 0 se torna tudo mais fácil, porque o
numerador é igual ao período e o denominador é formado por
tantos noves quantos são os algarismos do período. 
= 50,5
9um 
número
= 730,73
99dois
números
= 1270,127
999três
números
Um pouco mais complicada de se encontrar, porém bem
semelhante, a fração de uma dízima periódica composta pode
ser determinada da seguinte maneira: 
Ex. : 1,548 = 
Identifique o período, a parte
inteira e a parte não
periódica.
Passo 1:
Parte inteira
Diminua todo o nº, sem a
vírgula, da parte inteira com a
parte não periódica (será o
numerador).
Passo 2:
Período 8
1
1548 − 154 = 1394
Parte não periódica 54
@matematica.do.zero 60
Para cada nº no período,
adicione um 9 e para cada
número na parte não periódica
adicione um 0 no denominador.
Passo 3:
= 13941,548
900um
número
Portanto, 1,548 = 1394
900
dois
números
Vamos encontrar a fração do número 0,134
Identifique o período, a parte
inteira e a parte não
periódica.
Passo 1:
Parte inteira
Diminua todo o nº, sem a
vírgula, da parte inteira com a
parte não periódica (será o
numerador).
Passo 2:
Período 34
0
134 − 01 = 133
Parte não periódica 1
Para cada nº no período,
adicione um 9 e para cada
número na parte não periódica
adicione um 0 no denominador
Passo 3:
= 1330,134
990dois
números
um
número
Portanto, 0,134 = 133
990
@matematica.do.zero
Listas de Questões
61
16.
1) Analise as seguintes afirmações:
II - O resultado da multiplicação de 762 por 5 é um número
divisível por 10.
III - Todo número par é divisível por 6.
I - O número 3744 é divisível por 3 e por 4.
Assinale a alternativa correta
a) Apenas a afirmação I é verdadeira.
b) As alternativas I e III são falsas.
c) Todas as afirmações são falsas.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras.
2) Para que o número 3814b seja divisível por 4 e por 8 é
necessário que b seja igual a:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
3) Das alternativas a seguir, o único número ímpar entre 100 e
200, que é divisível por 7 é:
a) 107
b) 133
c) 141
d) 163
e) 185
@matematica.do.zero 62
4) O número 2A35 será divisível por 3 desde que o algarismo “A”
assuma valores cuja soma seja:
a) 15
b) 14
c) 13
d) 12
e) 11
5) Determine o produto dos cinco primeiros números primos,
quando dispostos em ordem crescente.
a) 2310
b) 720
c) 30030
d) 2520
e) 15015
6) O número de divisores naturais de 80, que são múltiplos de 5,
é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
7) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para
seus comissários de bordo de determinado voo diário. A escala
estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 dias;
o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias.
Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no voo do dia de
hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente
juntos nesse voo ocorrerá daqui a:
@matematica.do.zero 63
a) 30 dias
b) 74 dias
c) 120 dias
d) 240 dias
e) 960 dias
8) Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O
primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o
terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos
às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3
medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 2009,
dia 
9) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um
determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de
controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o
terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que
eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada
a) 1 h 24 min.
b) 1 h 18 min.
c) 1 h 12 min.
d) 1 h 06 min.
e) 1 h.
a) 28, às 19 horas.
b) 28, às 23 horas.
c) 29, às 7 horas.
d) 29, às 11 horas.
e) 30, às 7 horas.
10) O MDC(420, 480, 600) é um número múltiplo de:
a) 12
@matematica.do.zero 64
b) 16
c) 18
d) 25
e) 36
12) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132
comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico.
Deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a
maior quantidade possível de um único tipo de medicamento.
Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma
quantidade de medicamento, o número de recipientes
necessários para essa distribuição é: 
11) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160
no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de
detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de
integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar
nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois
setores. Dessa forma, foram formados
a) 5 grupos
b) 8 grupos
c) 10 grupos
d) 12 grupos
e) 13 grupos
a) 24
b) 16
c) 12 
d) 8
e) 4 
13) Determine o valor de
2
5
+ 3
7
1
10
− . 
@matematica.do.zero 65
a) 5
7
b) 51
70
c) 11
14
d) 17
20
e) 13
14
14) O número racional equivalente ao resultado da expressão 
3
5
+ 3 (
7
14
5÷(numérica
a) 7
5
b) 18
7
c) 2
7
d) 18
49
e) 3
28
é:
15) Analise as sentenças matemáticas abaixo: 
a) Apenas I. 
b) Apenas I e III. 
c) Apenas II e III. 
d) Apenas I, III e IV. 
e) I, II, III e IV.
I. 2
3
5
7Resolução:
Gabarito: letra c
3) Das alternativas a seguir, o único número ímpar entre 100 e
200, que é divisível por 7 é:
a) 107 b) 133 c) 141 d) 163 e) 185
Os 2 últimos algarismo
formam um número
divisível por 4 ÷4 Os 3 últimos algarismo 
formam um número 
divisivel por 8 ÷8
a) Substituindo por 0, temos 31140. 
É divisível por 4, pois termina em 40, que é divisível por 4.
Mas não é divisível por 8, pois 140 não é.
b) Substituindo por 2, temos 31142. 
Não é divisível por 4, pois termina em 42, que não é divisível.
c) Substituindo por 4, temos 31144. 
É divisível por 4, pois termina em 44, que é divisível por 4.
E é divisível por 8, pois 144 é divisível por 8.
Se testássemos por 6 e 8, também veríamos que não seria divisível. 
Conforme a anterior, a melhor maneira de responder esta questão é
testando os valores dados. Vamos relembrar a divisibilidade de 7..
Resolução:
Se a subtração do número formado sem o
último algarismo com o dobro do último
algarismo for um número divisível por 7÷7
a) 107 temos:
-4 não é divisível
por 7. 10 − 14 = −4
107 7
7 × 2 = 14
b) 133 temos:
7 é divisível
por 7. 13 − 6 = 7
133 3
3 × 2 = 6
Gabarito: letra b
4) O número 2A35 será divisível por 3 desde que o algarismo “A”
assuma valores cuja soma seja:
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11
Precisamos achar os valores de "A" tal que o número 2A35 seja divisível
por 3. Lembrando que:
@matematica.do.zero 71
Resolução:
A soma dos algarismos tem que
ser um número divisível por 3
Sendo assim, vamos testar os valores de 0 a 9:
÷3
soma obtida2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2 + 0 + 3 + 5 = 10 
é divisível por 3
não
2 + 1 + 3 + 5 = 11 
2 + 2 + 3 + 5 = 12 
2 + 3 + 3 + 5 = 13 
2 + 4 + 3 + 5 = 14 
2 + 5 + 3 + 5 = 15 
2 + 6 + 3 + 5 = 16 
2 + 7 + 3 + 5 = 17 
2 + 8 + 3 + 5 = 18 
2 + 9 + 3 + 5 = 19 
não
sim
não
não
sim
não
não
sim
não
Somente para “A” igual a 2, 5 e 8, o número formado será divisível por 3.
Logo, a soma desses algarismos vale:
Gabarito: letra a
2 + 5 + 8 = 15
5) Determine o produto dos cinco primeiros números primos,
quando dispostos em ordem crescente.
a) 2310 b) 720 c) 30030 d) 2520 e) 15015
Vimos que os cinco primeiros números primos são: 2,3,5,7 e 11.
O produto entre eles é: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 
Resolução:
 6 x 5 x 7 x 11 = 
 30 x 7 x 11 = 
 210 x 11 = 2310
Gabarito: letra a
6) O número de divisores naturais de 80, que são múltiplos de 5,
é:
@matematica.do.zero 72
Primeiramente, vamos descobrir quem são os divisores de 80.
Resolução:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Passo 1:
Comece fatorando o número
completamente.
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
Passo 2:
trace uma linha e escreva o
1 no alto, porque ele é
divisor de qualquer número.
1
divisores
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
Passo 4:
multiplique os dois divisores, 
pelo número primo seguinte.
Anote os resultados obtidos.
Passo 3:
Multiplique o divisor 1 pelo
primeiro fator primo.
Depois, anote o resultado
abaixo do 1.
Passo 5:
Repita o processo até que
todos os números primos
sejam multiplicados pelos
divisores. 
1
divisores
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
×
2
1
divisores
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
×
2
4
1
divisores
80 2
40 2
20 2
10 2
5 5
1
×
2
4
8
16
5, 10, 20, 40, 80
Quando há divisores repetidos,
não precisa anotá-los
Pronto, encontramos os divisores
D(80) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80} 
Agora só precisamos analisar quais desses são múltiplos de 5.
M(5) = {5, 10, 20, 40, 80}
Logo, temos 5 divisores de 80 que são múltiplos de 5.
Gabarito: letra b
Divisores de 20
@matematica.do.zero 73
7) Uma companhia aérea fixou rodízio entre duas cidades para
seus comissários de bordo de determinado voo diário. A escala
estabelece que o comissário A trabalhe nesse voo a cada 8 dias;
o comissário B, a cada 10 dias; e o comissário C, a cada 12 dias.
Nesse caso, se os três tiverem trabalhado juntos no voo do dia de
hoje, então a próxima vez em que eles trabalharão novamente
juntos nesse voo ocorrerá daqui a:
a)30 dias b)74 dias c)120 dias d)240 dias e)960 dias
Quando falamos da diferença entre MMC e MDC, citamos que, geralmente,
utilizamos o MMC quando temos na questão ideia de tempo ou encontro. 
Resolução:
Se o comissário A trabalhou hoje, ele vai trabalhar daqui a 8 dias, daqui a
16 dias, e assim por diante. O comissário A trabalha nos múltiplos de 8.
Gabarito: letra c
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48,...}
M(10) = {10, 20, 30, 40, 60, 80,...}
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72,...}
Os comissários trabalharão muitas vezes juntos, pois há infinitos múltiplos
comuns entre 8, 10 e 12. Como queremos saber a próxima vez que eles
trabalharão juntos, vamos procurar o menor múltiplo comum, ou seja, o
MMC entre 8,10 e 12.
MMC(8,10,12) = 
2
2
2
3
8, 10, 12
120
×
×
×
1, 5, 1
120
4, 5, 6
5 ×
1, 1, 1
2, 5, 3
1, 5, 3
Os três trabalharão juntos daqui a 120 dias.
Se o comissário B trabalhou hoje, ele vai trabalhar daqui a 10 dias, daqui a
20 dias, e assim por diante. O comissário B trabalha nos múltiplos de 10.
E o comissário C trabalha nos múltiplos de 12.
É justamente o que essa questão pede, descobrir quando os comissários A,
B e C irão se encontrar novamente. 
@matematica.do.zero 74
8) Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O
primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o
terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos
às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3
medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 2009,
dia
a) 28, às 19 horas. b)28, às 23 horas. c) 29, às 7 horas. 
Para descobrir quando o paciente receberá os medicamentos juntos
(encontro), devemos calcular o mínimo múltiplo comum entre os períodos.
Resolução:
9) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um
determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de
controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o
terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que
eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada: 
MMC(4,8,10) = 
2
2
2
5
4, 8, 10
40
×
×
×
40
2, 4, 5
1, 1, 1
1, 2, 5
1, 1, 5
Isto significa que os 3 medicamentos chegam juntos a cada 40 horas. 
Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de
2009.
sabemos que 40 horas = 24 horas + 16 horas = 1 dia + 16 horas
7 horas do dia 27 de novembro de 2009 + 1 dia = 7 h do dia 28 de
novembro de 2009.
Gabarito: letra b
7 h do dia 28 de novembro de 2009 + 16 horas = 23 h do dia 28 de Nov. de
2009.
d) 29, às 11 horas. e)30, às 7 horas.
@matematica.do.zero 75
Calculando o MMC entre os tempos dados, temos:
Resolução:
a) 1 h 24 min. b) 1 h 18 min. c) 1 h 12 min.
d) 1 h 06 min. e) 1 h.
MMC(18,24,36) = 
2
2
2
3
18, 24, 36
72
×
×
×
3, 1, 3
72
9, 12, 18
3 ×
1, 1, 1
9, 6, 9
9, 3, 9
Eles acionam simultaneamente a cada 72 minutos.
72 min = 60 min + 12 min = 1h 12 min
Gabarito: letra c
2
2
2
2
420, 480, 600
60MDC( 420, 480, 600 ) = 
210, 240, 300
105, 120, 150
105, 15, 75
105, 30, 75
105, 60, 75
2
3
×
5
5
7
10) O MDC(420, 480, 600) é um número múltiplo de:
a) 12 b) 16 c) 18 d) 25 e) 36
Primeiro vamos analisar o MDC entre os números.
Resolução:
Gabarito: letra a
35, 5, 25
7, 1, 5
7, 1, 1
1, 1, 1
Agora vamos verificar os múltiplos de cada alternativa.
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60,...} M(16) = {16, 32, 48, 64,...}
M(18) = {18, 36, 54, 72,...} M(25) = {25, 50, 75,...} M(36) = {36, 72,...}
Das alternativas apresentadas, verificamos que 60 é múltiplo de 12.
@matematica.do.zero 76
11) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160
no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de
detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de
integrantes,