1 - Nivelamento

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<p>www.trilhabrunovillar.com.br 1</p><p>Bruno Villar</p><p>Definição: Aritmética é a parte da matemática que lida com as operações</p><p>numéricas: Adição, subtração, divisão e multiplicação.</p><p>Soma: A adição é uma propriedade onde juntamos os elementos de dois</p><p>os mais conjuntos, formando um novo conjunto.</p><p>Propriedades:</p><p>Elemento neutro: 0</p><p>Exemplo: a + 0 = a</p><p>Comutatividade: Se mudarmos as parcelas de lugar na adição, o resultado</p><p>não se altera.</p><p>Exemplo: 5 + 3 = 8 e a mesma coisa 3+ 5 = 8</p><p>Associação: As parcelas numa adição podem ser somadas de</p><p>maneiras diferentes, e o resultado não se altera.</p><p>(5 + 2) + 6 = 13</p><p>5 + (2 + 6) = 13</p><p>Se ligue!</p><p>Nomenclatura da adição.</p><p>Adição: 2 + 5 = 7 (2: parcela; 5: parcela; 7: soma ou total)</p><p>Subtração: A subtração abrange a redução de um número por outro. Os</p><p>seus elementos são: minuendo, subtraendo e diferença ou resto. O (-) é o</p><p>sinal utilizado na operação. Veja o exemplo:</p><p>8 (minuendo) – 2 (subtraendo) = 6 (diferença ou resto)</p><p>As propriedades da subtração são:</p><p>- O resultado é alterado no caso de mudança na ordem de apresentação</p><p>dos valores, e nesse caso a diferença terá o sinal trocado.</p><p>NIVELAMENTO</p><p>MATEMÁTICO</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 2</p><p>Bruno Villar</p><p>Exemplo.: 8 - 2 = 6 é diferente de 2 - 8 = -6.</p><p>- Não existe elemento neutro.</p><p>Multiplicação: A Multiplicação está intimamente relacionada à adição,</p><p>pois pode-se dizer que ela é a soma de um número pela quantidade de</p><p>vezes que deverá ser multiplicado. O símbolo mais conhecido é o (x), mas</p><p>muitas pessoas utilizam o (*) ou (.) para representar essa operação. Os</p><p>nomes dados aos seus elementos são fatores e produtos. Vejamos um</p><p>exemplo:</p><p>4 (fator) x 4 (fator) = 16 (produto)</p><p>Observe que o exemplo também poderia ser representado: 4 + 4 + 4 +</p><p>4 = 16.</p><p>Propriedades:</p><p>Comutatividade: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex.: 4 x 2 = 8</p><p>e 2 x 4 = 8.</p><p>Associatividade: quando tem mais de dois fatores não importa a sua</p><p>ordem, pois o resultado será o mesmo. Ex.: (3 x 5) x 2 = 30 ou 3 x (5 x 2)</p><p>= 30</p><p>Distributividade: quando temos que multiplicar e somar devemos iniciar</p><p>o cálculo pela multiplicação, mesmo que a soma esteja dentro de</p><p>parênteses.</p><p>Exemplo: 2 x (3 + 3) = (2 x 3) + (2 x 3) = 6 + 6 = 12.</p><p>Elemento neutro: número 1, sendo que qualquer número multiplicado</p><p>por ele resultará nele mesmo.</p><p>Divisão: Nessa operação é possível dividir dois números em partes iguais.</p><p>Essa operação tem os seguintes elementos: dividendo, divisor, quociente</p><p>e resto. O sinal utilizado é (÷), mas podemos ver também os sinais (/) ou</p><p>(:). Observe o exemplo:</p><p>31 (dividendo) ÷ 2 (divisor) = 15 (quociente) 1 (resto)</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 3</p><p>Bruno Villar</p><p>Ao dividir 31 por 2 não temos um resultado exato, sendo assim, temos o</p><p>15 como quociente e 1 de resto.</p><p>As propriedades da divisão são as seguintes:</p><p>- A ordem dos elementos altera o resultado final, pois não é comutativa.</p><p>Exemplo: 8 ÷ 2 = 4 é diferente de 2 ÷ 8 = 0,25.</p><p>- Não é associativa; na divisão os parênteses devem ser resolvidos</p><p>primeiro.</p><p>Exemplo: (6 ÷ 3) ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1 é diferente de 6 ÷ (3 ÷ 3) = 6 ÷ 1 = 6.</p><p>- Elemento neutro: número 1, ou seja, o valor dividido por ele terá como</p><p>resultado ele mesmo.</p><p>Adição com números decimais</p><p>A adição de números decimais é definida de maneira semelhante à adição</p><p>de números inteiros, nessa operação devemos somar parte inteira com</p><p>parte inteira, décimos com décimos, centésimos com centésimos, e assim</p><p>sucessivamente. Em outras palavras, devemos colocar vírgula abaixo de</p><p>vírgula, veja o exemplo.</p><p>Exemplo 1</p><p>Vamos determinar a soma dos números 0,65 e 0,792. Lembre-se: o</p><p>número 0 no final de qualquer número decimal não acresce no valor.</p><p>Exemplo 2</p><p>Determine o valor da soma 1,442 + 2,4.</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 4</p><p>Bruno Villar</p><p>Subtração com números decimais</p><p>A subtração entre dois números decimais dá-se do mesmo modo que a</p><p>sua adição, operamos parte inteira com parte inteira, décimos com</p><p>décimos, e assim sucessivamente. Veja os exemplos.</p><p>Exemplo</p><p>Determine a diferença entre os números 3,842 e 1,442.</p><p>Multiplicação com números decimais</p><p>A multiplicação entre dois números decimais pode ser realizada de duas</p><p>formas: podemos operar de maneira semelhante à da multiplicação de</p><p>dois números inteiros, somando, ao final, a quantidade de casas decimais</p><p>dos dois números e colocando-as no resultado; ou podemos transformar</p><p>os números decimais em frações e utilizar a multiplicação de fração.</p><p>Exemplo</p><p>Determine o produto entre 0,42 e 1,2. Antes de efetuar a multiplicação,</p><p>perceba que 0,42 possui duas casas decimais e que o número 1,20 possui</p><p>duas delas. A soma disso resulta em quatro casas decimais, ou seja, o</p><p>resultado deverá ter quatro casas decimais.</p><p>Divisão com números decimais</p><p>Na divisão de números decimais também vamos observar dois métodos</p><p>que podem ser considerados equivalentes. O primeiro método consiste</p><p>em “andar” a mesma quantidade de casas decimais, ou seja, multiplicar</p><p>por potencias de 10 até que a vírgula não esteja mais presente. O</p><p>segundo método consiste em representar os números em forma de</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 5</p><p>Bruno Villar</p><p>fração e realizar a divisão de frações.</p><p>Exemplo</p><p>Vamos realizar a divisão entre os números 0,504 e 1,2.</p><p>Com o primeiro método, devemos multiplicar o dividendo e o divisor pelo</p><p>mesmo número até que a vírgula desapareça.</p><p>Para que a vírgula desapareça do denominador, devemos multiplicá-lo</p><p>por 1000, logo, faremos o mesmo com o divisor.</p><p>0,504 · 1000 = 504</p><p>1,2 · 1000 = 1200</p><p>Armando a conta, temos:</p><p>Transformando os números decimais em frações, temos:</p><p>Fonte: LUIZ, Robson. "Operações com números decimais"; Brasil Escola.</p><p>Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-</p><p>numeros-decimais.htm. Acesso em 23 de agosto de 2020.</p><p>Definição: são as regras que permitem verificar se um número natural é</p><p>divisível por determinado número sem realizar a conta de divisão.</p><p>Exemplo: 8 é divisível por 2?</p><p>Sem realizar a divisão de 8 por 2, posso afirmar que é divisível. A minha</p><p>informação é referenciada pelo critério de divisibilidade por 2.</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 6</p><p>Bruno Villar</p><p>É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um</p><p>número natural qualquer é divisível por outro. Essas regras são chamadas</p><p>de critérios de divisibilidade.</p><p>Dica: os critérios de divisibilidade podem ser utilizados para verificar se</p><p>podemos simplificar os termos de uma fração, reconhecer os múltiplos</p><p>ou os divisores e aumentar a nossa agilidade no cálculo da divisão.</p><p>Vamos aos critérios, ok? (Lembre-se: a prática leva a perfeição!)</p><p>• Divisibilidade por 2</p><p>Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for par, ou</p><p>seja, terminar em: 0, 2, 4, 6 ou 8. Os números que são divisíveis por 2 são</p><p>denominados números pares.</p><p>Exemplos: 22, 1540, 1908764...</p><p>• Divisibilidade por 3</p><p>Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de</p><p>seus algarismos for divisível por 3.</p><p>Exemplo: 123 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 3 = 6, e 6 é divisível por 3.</p><p>• Divisibilidade por 4</p><p>Um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos</p><p>algarismos da direita for divisível por 4 ou quando o número terminar em</p><p>00.</p><p>Exemplo: 124, termina em 24 e 24 é divisível por 4.</p><p>• Divisibilidade por 5</p><p>Um número é divisível por 5 quando o algarismo da unidade (o último</p><p>algarismo) for 0 ou 5.</p><p>Exemplos: 15, 125, 1050...</p><p>• Divisibilidade por 6</p><p>Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3, ao mesmo</p><p>tempo.</p><p>Exemplo: 180 é divisível por 2 e por 3, logo também é divisível por 6.</p><p>• Divisibilidade por 7</p><p>O critério do número 7</p><p>segue a utilização do seguinte processo: retirar o</p><p>último algarismo da direita e subtrair o dobro desse algarismo da direita</p><p>pelo número restante; e se o resultado obtido for divisível por 7, então o</p><p>número é divisível por 7.</p><p>Exemplo: 245 é divisível por 7.</p><p>O último algarismo da direita é o 5.</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 7</p><p>Bruno Villar</p><p>24 - 2 x 5 = 24 - 10 = 14, e 14 é divisível por 7.</p><p>Obs.: dobrar = multiplicar por 2.</p><p>• Divisibilidade por 9</p><p>Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de</p><p>seus algarismos for divisível por 9.</p><p>Exemplo: 135 é divisível por 9, pois 1 + 3 + 5 = 9, e 9 é divisível por 9.</p><p>• Divisibilidade por 10</p><p>Um número é divisível por 10 se o algarismo da unidade (o último</p><p>algarismo) for igual a 0.</p><p>Exemplos: 120, 1450.</p><p>• Divisibilidade por 11</p><p>O critério do número 11 segue a utilização do seguinte processo: retirar</p><p>o último algarismo da direita e subtrair esse último algarismo da direita</p><p>pelo número restante; e se o resultado obtido for divisível por 11, então</p><p>o número é divisível por 11.</p><p>Exemplos:</p><p> 121</p><p>12 - 1 = 11</p><p> 1331</p><p>133 - 1= 132</p><p>Se você não conseguir ter certeza, pode repetir o processo com o</p><p>resultado obtido:</p><p>132</p><p>13 - 2 = 11</p><p>• Divisibilidade por 13</p><p>Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último</p><p>algarismo da direita, somado ao número sem o último algarismo, resultar</p><p>em um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande,</p><p>repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este</p><p>critério é semelhante àquele dado para a divisibilidade por 7, difere</p><p>apenas, no presente caso, pela utilização da soma ao invés da subtração.</p><p>Exemplo: 117</p><p>11 + 4 x 7 = 11 + 28 = 39</p><p>39 é divisível por 13, logo 117 é divisível por 13.</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 8</p><p>Bruno Villar</p><p>• Divisibilidade por 15</p><p>Um número é divisível por 15 quando for divisível por 3 e 5 ao mesmo</p><p>tempo.</p><p>Exemplo: 180 é divisível por 3 e por 5, logo também é divisível por 15.</p><p>Definição: são os números que têm apenas dois divisores, sendo esses</p><p>divisores a unidade 1 e o próprio número.</p><p>Exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...</p><p>Fique ligado!</p><p>O número 2 é o único número primo par.</p><p>O número 1 não é primo.</p><p>Reconhecimento de número primo</p><p>O método apresentado a seguir é o mais seguro para garantir se um</p><p>número é primo ou não.</p><p>Exemplo: o número 103 é primo?</p><p>1º passo: calcular a raiz quadrada do número.</p><p>103 10</p><p>O número 103 não possui raiz quadrada exata, logo passou pela primeira</p><p>etapa.</p><p>2º passo: dividir o número 103 pelos números primos menores que 10</p><p>(resultado da raiz).</p><p>2, 3, 5 e 7 (os números primos menores que 10).</p><p>103 : 2 = não!</p><p>O número 103 termina em 3, logo não é divisível por 2.</p><p>103 : 3 = não!</p><p>A soma dos algarismos de 103 é 1 + 0 + 3 = 4, e 4 não é divisível por 3.</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 9</p><p>Bruno Villar</p><p>103 : 5 = não!</p><p>O número 103 termina em 3, logo não é divisível por 5.</p><p>103 : 7 = não!</p><p>10 - 2 x 3</p><p>10 - 6 = 4 (4 não divisível por 7).</p><p>Como o número 103 não é divisível por nenhum dos números primos</p><p>utilizados, então podemos garantir que 103 é um número primo.</p><p>Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto em um produto</p><p>de dois ou mais fatores.</p><p>Exemplos de decomposição em fatores primos:</p><p> 15</p><p>15 = 3 x 5</p><p> 36</p><p>36 = 2² x 3²</p><p> 143</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 10</p><p>Bruno Villar</p><p>143 = 11 x 13</p><p>A decomposição em fatores primos tem grande aplicabilidade na</p><p>matemática.</p><p>Exemplo: a quantidade de divisores de um número natural pode ser</p><p>obtida pela decomposição de um número natural em fatores primos.</p><p>Considere o número natural N = ax x by x cz</p><p>A quantidade de divisores é obtida pela seguinte fórmula (x+1)(y+1)(z+1).</p><p>Exemplo: determine a quantidade de divisores do número 120.</p><p>1º passo: decomposição do número 120 em fatores primos.</p><p>5</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>5</p><p>15</p><p>30</p><p>60</p><p>120</p><p>120 = 2³ x 3¹ x 5¹</p><p>2º passo: aplicar a fórmula (x+1)(y+1)(z+1).</p><p>(3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 4 x 2 x 2 = 16 divisores.</p><p>Resposta: o número 120 possui 16 divisores.</p><p>Fique ligado!</p><p>A fórmula consiste em somar mais um aos expoentes das bases e depois</p><p>multiplicar os valores obtidos.</p><p>A potência é utilizada na multiplicação entre números iguais.</p><p>Exemplo:</p><p>2 x 2 x 2 = 8 → multiplicação de fatores iguais.</p><p>Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:</p><p>2 x 2 x 2 = 2³ = 8</p><p>↓</p><p>Fatores iguais</p><p>Essa representação é conhecida como potenciação. Portanto, sempre que</p><p>tivermos fatores iguais, podemos representar na forma de potência.</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 11</p><p>Bruno Villar</p><p>Representamos uma potência da seguinte forma:</p><p>A base sempre será o valor do fator.</p><p>O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.</p><p>A potência é o resultado do produto.</p><p>Propriedade da potência</p><p>a) Todo número natural elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo.</p><p>a¹ = a</p><p>Exemplo: 7¹ = 7</p><p>b) Todo número natural não-nulo elevado ao expoente zero é igual a 1.</p><p>a0 = 1</p><p>Exemplo: 50 = 1</p><p>c) Toda potência da base 1 é igual a 1.</p><p>1n = 1</p><p>Exemplo: 1³ = 1 . 1 . 1</p><p>d) Toda potência de 10 é igual ao numeral formado pelo algarismo 1</p><p>seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.</p><p>Exemplo: 10² = 10 . 10 = 100</p><p>e) O expoente negativo significa que ocorre a troca de lugar entre o</p><p>numerador e o denominador.</p><p>Exemplos:</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 12</p><p>Bruno Villar</p><p>f) Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número</p><p>natural não-nulo, temos que:</p><p>Exemplo:</p><p>Propriedades operatórias da potência</p><p>a) Produto de potência de mesma base</p><p>Nesse caso, conserva-se a base e soma-se os expoentes.</p><p>aX x aY = aX+Y</p><p>Exemplo: 5² . 5³ = 52+3 = 55</p><p>Cuidado!</p><p>4² + 4³  45</p><p>4² = 4 x 4 = 16</p><p>43 = 4 x 4 x 4 = 64</p><p>16 + 64 = 80</p><p>A regra só pode ser aplicada quando multiplicamos bases iguais.</p><p>b) Quocientes de potências de mesma base</p><p>Nesse caso, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.</p><p>aX : aY = aX-Y</p><p>Exemplos:</p><p>129 : 123 = 129-3 = 126</p><p>85 : 8-2 = 85-(-2) = 85+2 = 87</p><p>c) Potência da potência</p><p>Nesse caso, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 13</p><p>Bruno Villar</p><p>= am.n</p><p>Definição: é a operação que realizamos quando queremos descobrir qual</p><p>o número que multiplicado por ele mesmo uma determinada quantidade</p><p>de vezes dá um valor que conhecemos.</p><p>Exemplo: qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá</p><p>como resultado 64?</p><p>x³ = 64</p><p>x= ³√4³</p><p>Fazendo pelo método de “tentativa e erro”, vai encontrar 4 x 4 x 4. Logo,</p><p>o número 4 é o valor procurado.</p><p>Símbolo da radiciação</p><p>Para indicar a radiciação, usamos a seguinte notação:</p><p>Dica:</p><p>n é o índice do radical.</p><p>Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado</p><p>por ele mesmo.</p><p>x é o radicando.</p><p>Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando</p><p>por ele mesmo.</p><p>Quando não aparecer nenhum valor no índice do radical, este será igual</p><p>a 2. Sendo essa raiz chamada de raiz quadrada.</p><p>As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos</p><p>simplificar radicais.</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 14</p><p>Bruno Villar</p><p>A falta de conhecimento nas regras de prioridade de cálculo é a grande</p><p>responsável pelo erro em algumas questões.</p><p>Caso 1 – com os sinais: ( ) parênteses, [ ] colchetes e { }</p><p>chaves.</p><p>Ordem de eliminação:</p><p>I - Parênteses;</p><p>II - Colchetes;</p><p>III - Chaves.</p><p>Exemplos:</p><p>a)5 x (64 - 12 ÷ 4)</p><p>Primeiro, resolvemos a divisão dentro dos parênteses e, depois, a</p><p>subtração.</p><p>5 x (64 - 3)</p><p>5 x (61)</p><p>Agora, realizamos a multiplicação.</p><p>5 x 61 = 305</p><p>b) 560 ÷ {20 x [86 - 12 x (5 + 2)] x 2}</p><p>Primeiro, resolvemos dentro dos parênteses.</p><p>560 ÷ {20 x [86 - 12 x 7] x 2}</p><p>Depois, resolvemos a multiplicação dentro dos colchetes e, depois, a</p><p>www.trilhabrunovillar.com.br 15</p><p>Bruno Villar</p><p>subtração.</p><p>560 ÷ {20 x [86 - 84] x 2}</p><p>560 ÷ {20 x [2] x 2}</p><p>Por último, resolvemos as chaves.</p><p>560 ÷ {20 x 4}</p><p>560 ÷ 80 = 7</p><p>5 + 3 (23 - 4)</p><p>Primeiro, resolvemos dentro dos parênteses.</p><p>5 + 3 (19)</p><p>Agora, temos uma soma e uma multiplicação, ou seja, a multiplicação tem</p><p>prioridade.</p><p>5 + 57 = 62</p><p>Caso 2 – sem os sinais: ( ) parênteses, [ ] colchetes e { } chaves.</p><p>Ordem de eliminação:</p><p>I - Potenciação e radiciação;</p><p>II - Multiplicações e divisões;</p><p>III - Somas e subtrações.</p><p>a)2 + 3 . 5</p><p>Primeiro, devemos realizar a multiplicação: 3. 5 = 15</p><p>2 + 15 = 17</p><p>b) Quanto é a metade de 2 + 2?</p><p>Usando a regra de prioridade:</p><p>I - Quanto é a metade de 2? Resultado = 1;</p><p>II - Depois, soma-se o resultado anterior com 2, logo temos: 1 + 2 = 3.</p><p>Obs.: o cálculo é realizado de acordo com a ordem de preferência. A</p><p>multiplicação ou a divisão tem prioridade sobre a soma ou a subtração.</p>