1-Estabilidade Global

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1
Instabilidade e Efeitos de 2.ª
Ordem em Edifícios
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
C
ap
ítu
lo
 1
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II
1.1- Introdução
Caderno
2
1.2- Estruturas de Nós Fixos e Nós Móveis
Caderno
1.3- Dispensa da Consideração dos Esforços 
Globais de 2ª Ordem
A NBR 6118:2003 (item 15.5) indica dois 
processos aproximados para verificar a 
possibilidade de dispensa da consideração 
dos esforços de 2ª ordem globais, ou seja, 
para classificar as estruturas de edifícios 
como sendo de nós fixos ou de nós móveis.
São eles:
Parâmetro de instabilidade α
Coeficiente γz.
3
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Teoria de BECK (1966):
onde:
H: altura total do edifício, medida a partir do topo da fundação ou 
de um nível muito pouco deslocável do subsolo;
Nk: somatório de todas as ações verticais atuantes no edifício (a 
partir do nível considerado para o cálculo de H), com valor 
característico;
(EI)eq: módulo de rigidez da estrutura do edifício equivalente a um 
pilar de seção constante engastado na base e livre no topo.
( )α = H
Nk
EI eq
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Módulo de rigidez equivalente:
Valor representativo:
Verificar o deslocamento do topo do 
edifício quando submetido a uma 
ação lateral uniformemente 
distribuída, segundo um modelo 
tridimensional;
4
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Módulo de rigidez equivalente:
Associa-se à estrutura a um pilar de 
seção constante, engastado na 
base e livre no topo, com altura 
igual à do edifício, que sujeito à
mesma ação apresente 
deslocamento idêntico;
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Módulo de rigidez equivalente:
Considera-se a linha elástica do 
elemento linear de seção 
constante.
EI q H
a
=
4
8
E, I, A : constantes
q : ação lateral uniformemente 
distribuída ( geralmente é
adotado um valor unitário );
H : altura total do edifício;
a : deslocamento do topo do edifício 
quando submetido à ação 
lateral de valor igual a q.
5
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Módulo de rigidez equivalente:
Consideração de um modelo bidimensional.
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Modelo Bidimensional:
1- Associação plana de painéis;
2- Todos os pórticos e pilares-parede que contribuem para o 
contraventamento da direção analisada são 
posicionados seqüencialmente num plano e interligados 
em cada pavimento por barras rotuladas em suas 
extremidades, as quais simulam a presença das lajes 
atuando como um diafragma rígido.
3- Essas barras rotuladas devem ser consideradas com 
elevada área de seção transversal, para que não ocorra 
deformação axial nas mesmas.
4- Para as vigas, os momentos de inércia utilizados devem 
ser os reais.
6
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Módulo de rigidez equivalente:
Exemplo:
a
HPEI
3
3
=
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
A NBR 6118:2003 indica que uma estrutura reticulada 
simétrica pode ser considerada de nós fixos se α < α1
Sendo:
cci
k
IE
NH tot=α
ckci fE 5600= Módulo de elasticidade tangente inicial
Ic : considerar as seções brutas dos pilares
EciIc : representa o somatório dos valores de rigidez de 
todos os pilares na direção considerada.
7
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Sendo α1 :
n : número de andares acima da fundação;
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
→≥
+=→≤
pórticoshouver só quando 5,0
parede-pilarespor enteexclusivam oconstituíd amentocontravent para 7,0
pórtico e parede-pilares de sassociaçõe para 6,0
 4n
1,02,0 3n
1
1
1
1
α
α
α
α n
No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou com pilares de rigidez 
variável ao longo da altura, pode-se considerar EciIc como sendo 
de um pilar equivalente de seção constante.
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Considerações:
Pilares-parede são elementos de eixo vertical submetidos 
preponderantemente à compressão, nos quais a menor dimensão 
da seção transversal deve ser menor que 1/5 da maior.
Há edifícios em que elevadores e escadas são envolvidos por 
pilares-parede com grande rigidez (Núcleo Estrutural).
Considerando somente o somatório das rigidezes das seções brutas 
desses elementos como sendo o valor de (EI)eq para cálculo do 
parâmetro de instabilidade α, se obtenha α ≤ α1, satisfazendo a 
condição para não levar em conta no dimensionamento os efeitos 
de 2ª ordem.
Havendo a necessidade de se considerar os esforços de 2ª ordem, 
deve-se avaliar ainda se esses não apresentam valores muito 
elevados o que implicaria na conveniência de se alterar a estrutura.
8
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Elementos de contraventamento:
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Exemplo:
Para o edifício de 3 andares, mostrado na figura, 
verifique a sua estabilidade global através do 
parâmetro α.
Dados: 
fck: 20 MPa; 
Ação em cada pavimento: 10 kN/m2
Distância entre os pavimentos: 3 m
Pilares de canto: 20 cm x 20 cm 
Pilares de extremidade: 20 cm x 40 cm 
Vigas: 12 cm x 40 cm
9
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Contraventamento na direção x:
Associação de pórticos na direção x por meio das barras 
rígidas bi-rotuladas.
10
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Contraventamento na direção x:
Pórticos planos:
Vista Superior:
Contraventamento na direção x:
Onde:
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
MPafE ckci 044.252056005600 ===
12
3bhIc =
Sendo:
P1, P3, P4 e P6 com seção 20 cm x 20 cm 
P2 e P5 com seção 40 cm x 20 cm 
Viga com seção 12 cm x 40 cm 
Barra rígida com comprimento de 1m e seção 600cm x 40 cm
11
Contraventamento na direção x:
Programa
Ftool:
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Contraventamento na direção x:
Deformada:
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
a
a = 0,0486cm
12
Contraventamento na direção x:
a = 0,0486cm
Htot = 3m x 4 pavimentos = 12 m = 1200cm
P = 1 kN
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
2
33
.9,851.851.851.11
0486,03
12001
3
cmkN
a
HPEI =
⋅
⋅
==
Nk = 10 kN/m2 / pavimento x (6m x 8m) área do pavimento x 4 pavimentos
Nk = 1920 kN
483,0
9,851.851.851.11
19201200tot ===
cci
k
IE
NHα
Contraventamento na direção x:
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Comparando com α1 para n = 4
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
→≥
+=→≤
pórticoshouver só quando 5,0
parede-pilarespor enteexclusivam oconstituíd amentocontravent para 7,0
pórtico e parede-pilares de sassociaçõe para 6,0
 4n
1,02,0 3n
1
1
1
1
α
α
α
α n
Portanto α < α1 = 0,5 (contraventamento constituído somente por pórticos
Estrutura tem comportamento de nós fixos na direção do eixo x.
483,0
9,851.851.851.11
19201200tot ===
cci
k
IE
NHα
13
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Contraventamento na direção y:
Associação de pórticos na direção y por meio das barras 
rígidas bi-rotuladas.
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Contraventamento na direção y:
Pórticos planos:
Vista Superior:
14
Contraventamento na direção y:
Onde:
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
MPafE ckci 044.252056005600 ===
12
3bhIc =
Sendo:
P1, P3, P4 e P6 com seção 20 cm x 20 cm 
P2 e P5 com seção 20 cm x 40 cm
Viga com seção 12 cm x 40 cm 
Barra rígida com comprimento de 1m e seção 600cm x 40 cm
Contraventamento na direção y:
Programa
Ftool:
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
15
Contraventamento na direção y:
Deformada:
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
a = 0,0509cm
Contraventamento na direção y:
a = 0,0509 cm
Htot = 3m x 4 pavimentos = 12 m = 1200cm
P = 1 kN
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
2
33
.3,483.306.316.11
0509,03
12001
3
cmkN
a
HPEI =
⋅
⋅
==
Nk = 10 kN/m2 / pavimento x (6m x 8m) área do pavimento x 4 pavimentos
Nk = 1920 kN
494,0
3,483.306.316.11
19201200tot ===
cci
k
IE
NHα
16
Contraventamento na direção y:
1.3.1- Parâmetro de Instabilidade α
Comparando com α1 para n = 4
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
→≥
+=→≤
pórticoshouver só quando 5,0
parede-pilarespor enteexclusivam oconstituíd amentocontravent para 7,0
pórtico e parede-pilaresde sassociaçõe para 6,0
 4n
1,02,0 3n
1
1
1
1
α
α
α
α n
Portanto α < α1 = 0,5 (contraventamento constituído somente por pórticos
Estrutura tem comportamento de nós fixos na direção do eixo y.
494,0
3,483.306.316.11
19201200tot ===
cci
k
IE
NHα
1.3.2- Coeficiente γz
Avalia a importância dos esforços de 2ª orem global;
É válido para estruturas reticuladas de no mínimo 4 andares.
O valor de γz para cada combinação de carregamento é dado 
pela expressão:
onde:
M1,tot,d : soma dos momentos de todas as forças horizontais, da 
combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à
base da estrutura (momento de tombamento);
ΔMtot,d : soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na 
estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, 
pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de 
aplicação, obtidos da análise em 1.ª ordem com todas as 
componentes de força horizontal de cálculo agindo.
dtot
dtot
z
M
M
,,1
,1
1
Δ
−
=γ
17
1.3.2- Coeficiente γz
Condição
1,1≤zγ Considera-se que a estrutura é de nós fixos.
1,1>zγ Considera-se que a estrutura é de nós móveis.
1.3.2- Coeficiente γz
Exemplo:
Para a edificação abaixo os pilares P1, P2, P4 e P5 fazem 
parte da estrutura de contraventamento, enquanto P3 é
um pilar contraventado.
A planta de formas e a perspectiva são apresentadas nas 
figuras a seguir.
Verifique a sua estabilidade global através do coeficiente γz.
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1.3.2- Coeficiente γz
Exemplo:
1.3.2- Coeficiente γz
Exemplo:
Dados: 
fck = 25 MPa; 
Número de pavimentos: 6;
Distância piso-a-piso: 3,00 m;
γconcreto armado = 25 kN/m³;
carga estimada do piso = 12 kN/m2;
pk,vento = 0,8 kN/m².
19
1.3.2- Coeficiente γz
Ações:
Ações horizontais de cálculo entre pisos:
Fh = γf x pk,vento x área entre pisos 
Fh = 1,4 x 0,8kN/m² x (6m x 3m) = 20,2 kN
Ações verticais de cálculo por pilar:
Fvp = Fv / (nº de pilares) 
Fvp = 604,8 kN / 4 = 151,2 kN
Ações verticais de cálculo por piso:
Fv = γf x (g +q) x área do pisos 
Fv = 1,4 x 12kN/m² x (6m x 6m) = 604,8 kN
1.3.2- Coeficiente γz
Características:
Módulo de elasticidade:
MPafE ckci 000.282556005600 ===
P1 = P5 com seção 20 cm x 70cm
P2 = P4 com seção 70 cm x 20cm
P3 com seção 20 cm x 20 cm 
Viga com seção 20 cm x 50 cm 
Barra rígida com comprimento de 3m e seção 600cm x 50 cm
20
1.3.2- Coeficiente γz
Deslocamentos:
Pavimento simétrico nas 
direções x e y
FTOOL:
1.3.2- Coeficiente γz
Deslocamentos:
Pavimento simétrico nas 
direções x e y
FTOOL:
21
1.3.2- Coeficiente γz
Cálculo de γz :
38,52Σ1090,8Σ
0,000,0000000,00,00,00,0Térreo
1,460,002406604,8060,620,203,01º
3,940,006507604,80121,220,206,02º
6,230,010300604,80181,820,209,03º
7,990,013210604,80242,420,2012,04º
9,130,015100604,80303,020,2015,05º
9,780,016170604,80181,810,1018,06º
ΔMtot,dd(m)Fv (kN)M1,tot,dFh (kN)Cota piso (m)Andar
dtot
dtot
z
M
M
,,1
,1
1
Δ
−
=γ
1.3.2- Coeficiente γz
Cálculo de γz :
04,1
8,1090
52,381
1
1
1
,,1
,
=
−
=
Δ
−
=
dtot
dtot
z
M
Mγ
Ok! 10,104,1 <=zγ
Estrutura de nós fixos
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1.4- Análise de Estruturas de Nós Fixos
Permite-se considerar cada elemento comprimido 
isoladamente, como barra vinculada nas 
extremidades aos demais elementos estruturais que 
ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos 
pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria 
de 1ª ordem.
Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é
sempre calculada como deslocável. O fato de a 
estrutura ser classificada como sendo de nós fixos 
dispensa apenas a consideração dos esforços globais 
de 2ª ordem, mas não sua análise como estrutura 
deslocável.
1.4- Análise de Estruturas de Nós Fixos
O comprimento equivalente le do elemento 
comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as 
extremidades, é o menor dos seguintes valores:
Onde:
l o – distância entre as faces internas dos 
elementos estruturais, supostos 
horizontais, que vinculam o pilar;
h – altura da seção transversal do pilar, 
medida no plano da estrutura;
l – distância entre os eixos dos elementos 
estruturais aos quais o pilar está
vinculado.
l e = l o + h
le = l
23
1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis
A análise deve levar obrigatoriamente em conta os 
efeitos da não-linearidade geométrica e da não-
linearidade física.
No dimensionamento, consideram-se 
obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ª
ordem.
Deve ficar assegurado que para as combinações mais 
desfavoráveis das ações de cálculo não ocorra perda de 
estabilidade nem tão pouco esgotamento da capacidade 
resistente de cálculo das seções mais solicitadas.
1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis
Consideração da Não-linearidade Geométrica:
Modificações apropriadas na matriz de rigidez da 
estrutura;
Processo P-Δ.
NBR 6118:2003
Uma solução aproximada para a determinação dos 
esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas 
regulares, consiste na avaliação dos esforços finais (1ª + 
2ª ordem) pela majoração adicional dos esforços 
horizontais da combinação de carregamento 
considerada por 0,95γz;
Desde que γz ≤ 1,3.
24
1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis
Consideração da Não-linearidade Física:
Considerações adequadas sobre ductilidade, fissuração 
e deformabilidade.
Maneira aproximada indicado pela NBR 6118:2003
1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis
Consideração da Não-linearidade Física:
NBR 6118:2003
Estruturas reticuladas com no mínimo 4 andares;
Permite-se considerar a não-linearidade física tomando-
se como rigidez das peças os valores a seguir:
Lajes: (EI)sec = 0,3 . Eci . Ic
Vigas: (EI)sec = 0,4 . Eci . Ic para A’s ≠ As
(EI)sec = 0,5 . Eci . Ic para A’s = As
Pilares: (EI)sec = 0,8 . Eci . Ic
Sendo:
Eci o módulo de deformação tangente inicial
Ic o momento de inércia da seção bruta de concreto, 
incluindo, quando for o caso, as mesas colaborantes.
25
1.5- Análise de Estruturas de Nós Móveis
Consideração da Não-linearidade Física:
NBR 6118:2003
Alternativamente, permite-se, quando a estrutura de 
contraventamento é composta exclusivamente por vigas 
e pilares, e γz for menor que 1,3, permite-se calcular a 
rigidez das vigas e pilares por:
(EI)sec = 0,7 . Eci . Ic
Os valores acima dados para (EI)sec são aproximados e 
não poderão ser usados para avaliar esforços locais de 
2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da 
modelagem.
1.6- Análise dos Efeitos Locais de 2ª Ordem
A análise global de 2ª ordem fornece apenas os 
esforços nas extremidades das barras, devendo ser 
realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem 
ao longo dos eixos das barras comprimidas;
Os elementos isolados, para fins de verificação 
local, devem ser formados pelas barras 
comprimidas retiradas da estrutura, com 
comprimento le, porém, aplicando-se às suas 
extremidades os esforços obtidos através da análise 
global de 2ª ordem.