5_Sistemas Lineares_parte 1

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NOTAS DE AULA 5 
Sistemas Lineares 
Parte 1 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo Numérico 
Prof. MSc. Hedler Barreto 
2018 
 
Sumário 
 
6 SISTEMAS LINEARES DE EQUAÇÕES ........................................................ 3 
6.1 INTRODUÇÃO .......................................................................................... 3 
6.2 CONCEITOS PRELIMINARES ................................................................. 4 
6.2.1 Equação Linear .................................................................................. 4 
6.2.2 Sistema de equações lineares ........................................................... 4 
6.2.3 Classificação de um Sistema Linear .................................................. 5 
6.3 MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS (ESCALONAMENTO) .............. 6 
6.4 MÉTODO DO PIVOTAMENTO PARCIAL ................................................ 9 
6.5 FATORAÇÃO LU .................................................................................... 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 SISTEMAS LINEARES DE EQUAÇÕES 
6.1 INTRODUÇÃO 
 
A necessidade de resolver sistemas de equações lineares aparece numa grande 
quantidade de problemas científicos. Existem estimativas que apontam que, a 
cada quatro problemas de simulação em matemática, três convertem-se em 
solução de sistemas de equações. 
Entre os exemplos de problemas, pode-se citar a determinação do potencial em 
redes elétricas, cálculo da tensão na estrutura metálica da construção civil, 
cálculo da razão de escoamento num sistema hidráulico com derivações, 
previsão da concentração de reagentes sujeitos às reações químicas 
simultâneas. Também encontramos quando estudamos métodos numéricos 
para a resolução de problemas de equações diferenciais parciais, pois estes 
requerem a solução de um conjunto de equações. 
A resolução de um sistema linear é feita, em geral, por dois caminhos: os 
métodos diretos e os métodos iterativos. Os métodos diretos determinam a 
solução de um sistema linear com um número finito de operações. Já os métodos 
iterativos são aqueles que se baseiam na construção de sequências de 
aproximações. Em um método iterativo, a cada passo, os valores calculados 
anteriormente são usados para melhorar a aproximação. 
De maneira geral, podemos representar os métodos de resolução de sistemas 
lineares pelo diagrama a seguir: 
 
 
6.2 CONCEITOS PRELIMINARES 
6.2.1 Equação Linear 
Uma equação é linear se cada termo contém não mais do que uma variável e 
cada variável aparece na primeira potência. 
 
Exemplos: 
 2x + 5y - 9z = - 2 → é linear. 
 xy - 2z = 2 → não é linear, pois o primeiro termo contém duas variáveis. 
 3x3 - 2y + 5z = 0 → não é linear, pois o primeiro termo contém uma variável 
elevada ao cubo. 
 
6.2.2 Sistema de equações lineares 
 
 
 
 
 
6.2.3 Classificação de um Sistema Linear 
 
A classificação de um sistema linear é feita em função do número de soluções 
que ele admite: 
 
a) Sistema possível ou consistente: É todo sistema que possui pelo menos uma 
solução. Pode ser: 
 
 Determinado: admite uma única solução; 
 Indeterminado: admite mais de uma solução. 
 
b) Sistema Impossível ou Inconsistente: É todo sistema que não admite solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1: Verificar se os sistemas de equações abaixo são determinados: 
 
 
6.3 MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS (ESCALONAMENTO) 
 
Monta-se a matriz de acordo com os coeficientes 
 
 
�
2 3 −1
4 4 −3
2 −3 1
� �
�
�
�
� = �
5
3
−1
� 
 
Define-se a matriz aumentada e inicialmente troca-se a posição a 1ª e 2ª linhas: 
 
�
4 4 −3
2 3 1
2 −3 1
 
3
5
−1
� 
 
A 2ª e 3ª linha são multiplicadas por 2: 
 
�
4 4 −3
4 6 −2
4 −6 2
� �
3
10
−2
� 
 
Subtrai-se os termos da 2ª linha em relação a 1ª linha: 
 
�
4 4 −3
0 −2 −1
4 −6 2
� �
3
−7
−2
� 
 
 
Subtrai-se os termos da 3ª linha em relação a 1ª linha: 
 
�
4 4 −3
0 −2 −1
0 10 −5
� �
3
−7
5
� 
 
Agora a 2ª e a 3ª linha são trocadas de posição para que o valor do “pivô” seja o 
maior possível: 
 
�
4 4 −3
0 10 −5
0 −2 −1
� �
3
5
−7
� 
 
A 3ª linha agora é multiplicada por -5: 
 
 
�
4 4 −3
0 10 −5
0 10 5
� = �
3
5
35
� 
 
 
Agora a 3ª linha é subtraída da 2ª, e teremos o sistema triangular: 
 
�
4 4 −3
0 10 −5
0 0 −10
� = �
3
5
−30
� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4 MÉTODO DO PIVOTAMENTO PARCIAL 
 
Seja o sistema linear abaixo: 
 
x + 2y + z = 3 
2x – 3y – z = 4 
3x – y – 2z = 1 
 
E abaixo a sua matriz ampliada dos coeficientes: 
 
�
1 2 1
2 −3 −1
3 −1 −2
� �
3
4
1
� 
 
 Sendo a diagonal principal 1,-3,-2; 
 
Multiplicadores do Pivo (mij): 
 
��� =
���
(���)
���
(���)
 
 
Primeiro escolhe-se o pivô: a11 = 1 
Qual o número que se deseja zerar: a21 = 2 
 
��� =
�° �����
����
 
 
��� =
2
1
= 2 
 
OBS: Faça a operação com o sinal trocado de mij. 
 
 
 
 
 
Matriz original 
�
1 2 1
2 −3 −1
3 −1 −2
� �
3
4
1
� 
 
1) Multiplica a primeira linha por -2 e realiza a soma algébrica com a segunda 
linha: 
 
�
1 2 1
0 −7 −3
3 −1 −2
� �
3
−2
1
� 
 
Agora m31: 
 
��� =
3
1
= 3 
 
2) Multiplica a primeira linha por -3 e realiza a soma algébrica com a terceira 
linha: 
 
�
1 2 1
0 −7 −3
0 −7 −5
� �
3
−2
−8
� 
 
 
Calcula-se o próximo mij: 
 
��� =
−7
−7
= 1 
 
 
3) Multiplica a segunda linha por -1 e realiza a soma algébrica com a terceira 
linha: 
 
 
 
 
�
1 2 1
0 −7 −3
0 0 −2
� �
3
−2
−6
� 
 
 
4) Reescrevemos o novo sistema equivalente e resolvemos o sistema linear 
triangular: 
 
x + 2y + 1z = 3 
 – 7y – 3z = –2 
 – 2z = –6 
 
z = 3 
y = –1 
x = 2 
 
A solução do sistema é a matriz: 
 
�̅ = �
2
−1
3
� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.5 FATORAÇÃO LU 
 
Todo sistema linear é escrito da forma: 
 
�. � = � 
 
Onde: A é a matriz dos coeficientes 
 
Transformaremos a matriz A em duas matrizes que serão: 
 
� = �. � 
 
L = Matriz triangular inferior 
U = Matriz triangula superior 
 
***Sendo U a matriz resultante do método de eliminação de Gauss*** 
 
Retomando o exemplo anterior temos a sua matriz U: 
 
� = �
1 2 1
0 −7 −3
0 0 −2
� 
 
L será a matriz dos multiplicadores mij, com a diagonal principal formada sempre 
por 1: 
 
� = �
1 0 0
��� 1 0
��� ��� 1
� 
 
m21 = 2 
m31 = 3 
m32 = 1 
 
 
 
� = �
1 0 0
2 1 0
3 1 1
� 
 
Construção do sistema LU: 
 
�. � = � 
��. � = � 
�(�. �) = � 
 
Fazendo: 
�. � = � 
 
Teremos: 
 
�. � = � 
 
Portanto teremos 2 sistemas: 
 
�. � = � 
�. � = � 
Resolvendo: �. � = � 
 
�
1 0 0
2 1 0
3 1 1
� . �
��
��
��
� = �
3
4
1
� 
 
Novo sistema: 
y1 = 3 y1 = 3 
2y1 + y2 = 4 y1 = – 2 
3y1 + y2 + y3 = 1 y3 = – 6 
 
 
Sendo: 
� = �
3
−2
− 6
� 
 
Resolvendo: �. � = � 
 
�
1 2 1
0 −7 −3
0 0 −2
� . �
��
��
��
� = �
3
−2
−6
� 
 
X1 + 2x2 + x3 = 3 x1 = 2 
 – 7x2 – 3x3 = – 2 x2 = –1 
 – 2x3 = – 6 x3 = 3 
 
 
A solução do sistema é a matriz: 
 
�̅ = �
2
−1
3
� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de exercícios: 
 
1. Resolva o sistema linear pelo método da eliminação de 
Gauss(escalonamento) e pela regra do pivotamento parcial: 
 
2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7 
 x1 – x2 + 2x3 – x4 = 1 
3x1 + 2x2 – 3x3 – 2x4 = 4 
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 12 
 
2. Resolva o sistema abaixo pela regra do pivotamento parcial: 
 
 
 
3. Construa a matriz A = L.U do sistema linear da questão nº 2 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) �̅ = �
1
2
1
0
� 2) �̅ = �
2
−1
3
� 
 
3) �̅ = �
2
−1
3
�