APOSTILA CURSO EDIFICIO COMPLETO 2017

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Dimensionamento de Edifício em concreto armado 
 
 
 
Concepção de projeto 
Pré-dimensionamento 
Dimensionamento 
Detalhamento 
 
 
 
 
 
Sumário
 
1- Considerações iniciais ..................................................................................................................... 1 
2- Sequência de elaboração e procedimentos de cálculos ................................................................. 1 
2.1- Critérios de projeto: ..................................................................................................................... 1 
2.2- Concepção estrutural: .................................................................................................................. 1 
2.3- Dimensionamento das lajes: ........................................................................................................ 1 
2.4- Dimensionamento das vigas: ....................................................................................................... 1 
2.5- Dimensionamento de Pilares: ...................................................................................................... 1 
3- Elementos estruturais ..................................................................................................................... 2 
3.1- Elementos lineares: ...................................................................................................................... 2 
3.2- Elementos bidimensionais: .......................................................................................................... 2 
3.2.1- Placas .................................................................................................................................... 3 
3.2.2- Chapas ................................................................................................................................... 3 
3.2.3- Cascas (abóbodas ou cúpulas) .............................................................................................. 3 
3.2.4- Abóboda: ............................................................................................................................... 3 
3.2.5- Cúpula: .................................................................................................................................. 3 
3.3- Elementos tridimensionais:...................................................................................................... 4 
4- Principais elementos estruturais em uma edificação em concreto armado. ................................. 4 
4.1- Lajes ............................................................................................................................................. 4 
4.2- TIPOS: ........................................................................................................................................... 5 
4.3- PROCESSO DE PRODUÇÃO: .......................................................................................................... 5 
4.3.1- Lajes maciças ......................................................................................................................... 5 
4.3.2- Lajes nervuradas: .................................................................................................................. 6 
4.3.3- Lajes cogumelo:..................................................................................................................... 7 
4.3.4- Lajes pré-fabricadas .............................................................................................................. 8 
4.3.5- Painéis alveolares ................................................................................................................ 10 
5- Vigas .............................................................................................................................................. 11 
6- Pilares ............................................................................................................................................ 14 
7- Escadas .......................................................................................................................................... 16 
8- Conceitos de projeto das estruturas de concreto ......................................................................... 17 
8.1- Requisitos gerais de qualidade .................................................................................................. 17 
8.2- Requisitos de qualidade do projeto ........................................................................................... 17 
 
 
8.3- Condições impostas ao projeto .................................................................................................. 18 
8.4- Diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto .......................................................... 18 
8.5- Deterioração do concreto .......................................................................................................... 18 
8.6- Deterioração da armadura ......................................................................................................... 19 
9- Critérios de projeto ....................................................................................................................... 20 
9.1- Classe de agressividade .............................................................................................................. 20 
9.2- Qualidade do concreto ............................................................................................................... 21 
9.3- Cobrimento ................................................................................................................................ 22 
10- Ações nas estruturas de concreto armado ............................................................................... 23 
10.1- Ações Permanentes Diretas ..................................................................................................... 23 
10.2- Ações Permanentes Indiretas .................................................................................................. 23 
10.3- Ações variáveis diretas ............................................................................................................. 23 
10.4- Ações variáveis indiretas .......................................................................................................... 23 
10.5- Ações excepcionais .................................................................................................................. 23 
10.6- Coeficiente de ponderação ...................................................................................................... 24 
11- O projeto! .................................................................................................................................. 24 
11.1- Como fazer a distribuição dos elementos estruturais em nossa edificação! .......................... 25 
11.1.1- Pilares: ............................................................................................................................... 25 
11.1.2- Vigas: ................................................................................................................................. 25 
11.1.3- Lajes: ................................................................................................................................. 26 
11.2- Numeração dos elementos ...................................................................................................... 26 
12- Pré-dimensionamento das lajes maciças: ................................................................................. 28 
12.1- Pré-dimensionamento das espessuras (Equações) .................................................................. 30 
12.2- Pré-dimensionamento das espessuras – Mãos à obra!........................................................... 30 
12.2.1- L201=L202=L221=L222 (Laje da sacada) ........................................................................... 30 
12.2.2- L203=L204=L219=L220 ...................................................................................................... 31 
12.2.3- L205=L208=L214=L217 ...................................................................................................... 31 
12.2.4- L206=L207=L215=L216 ...................................................................................................... 32 
12.2.5- L209=L211=L213=L218 ...................................................................................................... 32 
12.2.6- L210 (única) ....................................................................................................................... 33 
12.2.7- L212 (única) ....................................................................................................................... 33 
13- Carga nas lajes ........................................................................................................................... 36 
13.1- Laje 201 .................................................................................................................................... 37 
13.2- Laje 203 .................................................................................................................................... 37 
13.3- Laje 205 .................................................................................................................................... 38 
13.4- Laje 206 .................................................................................................................................... 38 
 
 
13.5- Laje 209 .................................................................................................................................... 39 
13.6- Laje 210 .................................................................................................................................... 39 
13.7- Laje 212 ................................................................................................................................... 40 
14- Reações nas lajes ....................................................................................................................... 41 
14.1- Planta de reações nas lajes ...................................................................................................... 52 
15- Equilíbrio de momentos (Método simplificado de forma empírica)......................................... 54 
15.1- Momento negativo .................................................................................................................. 54 
15.2- Momento positivo .................................................................................................................... 54 
15.3- Equilíbrio das lajes 203/205/206 ............................................................................................. 55 
15.4- Equilíbrio das lajes 209/205/206 ............................................................................................. 56 
15.5- Equilíbrio das lajes 219/213/209/203 ...................................................................................... 57 
15.6- Equilíbrio das lajes 221/214/205/201 ...................................................................................... 58 
15.7- Taxas mínimas de armadura (𝝆𝒎𝒊𝒏) segundo a NBR 6118 .................................................... 58 
16- Dimensionamento das armaduras ............................................................................................ 59 
16.1- Roteiro de cálculo lajes 203/205/206 ...................................................................................... 60 
16.2- Roteiro de cálculo lajes 209/205/206 ...................................................................................... 61 
16.3- Roteiro de cálculo Lajes 219/213/209/203 .............................................................................. 62 
16.4- Roteiro de cálculo Lajes 221/214/205/203 .............................................................................. 63 
17- Verificações do estado limite de serviço (ELS) .......................................................................... 64 
17.1- Deslocamento vertical ............................................................................................................. 66 
17.1.1- Deslocamento vertical da laje 201 .................................................................................... 67 
17.1.2- Deslocamento vertical da laje 203 .................................................................................... 67 
17.1.3- Deslocamento vertical da laje 205 .................................................................................... 67 
17.1.4- Deslocamento vertical da laje 206 .................................................................................... 67 
17.1.5- Deslocamento vertical da laje 209 .................................................................................... 67 
17.2- Abertura de fissuras: Laje 219 ................................................................................................. 68 
17.3- Verificação da cortante: L219 .................................................................................................. 69 
17.4- Armadura perimetral ............................................................................................................... 69 
18- Cargas dinâmicas ....................................................................................................................... 70 
19- Cargas devido ao vento ............................................................................................................. 71 
20- Valor característico do vento para nossa edificação................................................................. 74 
21- Coeficiente Gama Z ................................................................................................................... 75 
21.1- Estruturas de nós Fixos: ........................................................................................................... 75 
21.2- Estrutura de nós flexíveis: ........................................................................................................ 75 
22- Cálculos das cargas atuantes nos pórticos planos .................................................................... 76 
23- Vigas de concreto armado ........................................................................................................ 80 
 
 
23.1- Esquema estático ..................................................................................................................... 81 
23.2- Definição das seções da viga (Retangular ou T) ....................................................................... 81 
24- Dimensionamento das armadura de flexão (positivas e negativas) ......................................... 82 
24.1- O processo e roteiro de cálculo: .............................................................................................. 83 
24.2-Dimensionamento de armaduras duplas .................................................................................. 84 
24.3- Armadura de flexão em várias camadas .................................................................................. 85 
24.3.1- Erros aceitáveis método do centroide .............................................................................. 85 
25- Dimensionamento ao cisalhamento ......................................................................................... 86 
25.1- Armadura mínima (cisalhamento) segundo NBR 6118: ........................................................... 87 
25.2-Espaçamento longitudinal máximo: ......................................................................................... 87 
26- Roteiro de cálculo das vigas ............................................................................................................ 89 
26.1- Viga 201 .................................................................................................................................... 89 
26.2- Viga 203 .................................................................................................................................... 90 
26.3- Viga 204 .................................................................................................................................... 91 
26.4- Viga 206 .................................................................................................................................... 92 
26.5- Viga 207 .................................................................................................................................... 93 
26.6- Viga 208 .................................................................................................................................... 94 
26.7- Viga 210 .................................................................................................................................... 95 
26.8- Viga 213 .................................................................................................................................... 96 
26.9- Viga 218 .................................................................................................................................... 97 
26.10- Viga 219 .................................................................................................................................. 98 
26.11- Viga 220 .................................................................................................................................. 99 
26.12- Viga 221 ................................................................................................................................ 100 
 ............................................................................................................................................................. 101 
26.13- Viga 222 ................................................................................................................................ 101 
27- Comprimento de ancoragem e decalagem dos diagramas .......................................................... 102 
27.1- Cálculo do comprimento de ancoragem ................................................................................ 102 
28- Detalhamento das armaduras ...................................................................................................... 103 
28.1 – Detalhamento da armadura viga 201................................................................................... 103 
28.2 – Detalhamento da armadura viga 203................................................................................... 104 
29- Pilares de concreto armado .................................................................................................... 105 
30- Esforços nos pilares ................................................................................................................. 105 
30.1- Compressão Simples .............................................................................................................. 106 
30.2- Flexão Composta .................................................................................................................... 106 
30.3- Flambagem ............................................................................................................................. 107 
30.3.1- Índice de esbeltez ........................................................................................................... 107 
 
 
31- NOÇÕES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS ............................................................ 109 
31.1- Estruturas de Nós Fixos e Móveis .......................................................................................... 110 
31.2- Estruturas de nós móveis ....................................................................................................... 111 
31.3- Elementos Isolados ................................................................................................................ 112 
32- EXCENTRICIDADES ................................................................................................................... 113 
32.1- Excentricidade de 1a Ordem .................................................................................................. 113 
32.2- Excentricidade Acidental ........................................................................................................ 113 
32.3- Excentricidade de 2a Ordem .................................................................................................. 114 
32.4- Excentricidade Devida à Fluência ........................................................................................... 116 
33- Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada ............................................................ 116 
34- Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada .............................................................. 119 
35- SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO ........................................................................................... 120 
35.1- Pilar Intermediário ................................................................................................................. 120 
35.2- Pilar de Extremidade .............................................................................................................. 120 
35.3- Pilar de Canto ......................................................................................................................... 121 
35.4- RELAÇÃO ENTRE A DIMENSÃO MÍNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO ...................... 121 
36- Cargas nos pilares .................................................................................................................... 122 
37- Cálculo dos pilares ................................................................................................................... 123 
37.1- Cálculo do Pilar P15 ................................................................................................................ 123 
37.2 - Cálculo Pilar 4 – Pilar de extremidade .................................................................................. 128 
37.3- Cálculo Pilar 1 ......................................................................................................................... 132 
38- Armadura transversal .............................................................................................................. 137 
38.1 -Proteção contra flambagem .................................................................................................. 137 
39- Detalhamento das armaduras ................................................................................................. 138 
39.1- Detalhamento Pilar 15 (1º Lance) .......................................................................................... 138 
39.2- Detalhamento Pilar 4 (1º Lance) ............................................................................................ 139 
39.3- Detalhamento Pilar 1 (1º Lance) ............................................................................................ 140 
40- Dimensionamento das escadas ............................................................................................... 150 
40.1- Dimensionamento lance 2 ..................................................................................................... 151 
40.2-Dimensionamento lance 1 ..................................................................................................... 152 
41- Dimensionamento da viga inclinada: ...................................................................................... 154 
42- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................... 157 
 
 
 
 
 
 
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1- Considerações iniciais 
 
 Com objetivo de esclarecer e nortear os engenheiros e projetistas na área de cálculo estrutural, neste 
conteúdo abordaremos os principais métodos de dimensionamento de estruturas (Concreto armado), 
métodos esses baseados nas principais normativas em curso no país. Neste curso abordaremos a 
concepção do projeto, onde através de um estudo sobre uma planta de arquitetura, iremos realizar a 
distribuição dos elementos estruturais que irão integrar o edifício, todos os passos deste curso seguirá 
a sequência mais lógica no tratar o dimensionamento, facilitando o entendimento e refinando os 
procedimentos de cálculos para os trabalhos futuros de nossos leitores. 
 Com a escassez de informação na área, temos total ciência da importância que este conteúdo fará 
na carreira de cada um, e por isso faremos o melhor possível para alcançar e quem sabe superar as 
expectativas de todos que acompanharem nosso trabalho! 
2- Sequência de elaboração e procedimentos de cálculos 
 Neste trabalho seguiremos esta sequência de elaboração: 
2.1- Critérios de projeto: 
-Classe de agressividade do ambiente 
-Resistencia dos materiais que serão utilizados na edificação 
-Características desses materiais 
 
2.2- Concepção estrutural: 
-Distribuição dos elementos estruturais que irão compor o edifício, tais como pilares, vigas e lajes 
 
2.3- Dimensionamento das lajes: 
-Pré-dimensionamento das espessuras 
-Cargas nas lajes 
-Esforços solicitantes 
-Dimensionamento no estado limite último (ELU) 
-Verificações no estado limite de serviço (ELS) 
 
2.4- Dimensionamento das vigas: 
-Levantamento das cargas 
-Esquema estático 
-Inércia da seção 
-Dimensionamento das armaduras longitudinais 
-Dimensionamento das armaduras transversais 
2.5- Dimensionamento de Pilares: 
-Cargas nos pilares 
-Dimensionamento pilares de carga centrada 
-Dimensionamento de pilares de canto 
-Dimensionamento de pilares de extremidade 
 
 
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3- Elementos estruturais 
 
3.1- Elementos lineares: 
 
Aqueles que têm a espessura da mesma ordem de grandeza da altura, mas ambas muito menores que 
o comprimento. São as “barras” (vigas, pilares, etc.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2- Elementos bidimensionais: 
Aqueles onde duas dimensões, o comprimento e a largura, são da mesma ordem de grandeza e muito 
maiores que a terceira dimensão (espessura). São os elementos de superfície (lajes, as paredes de 
reservatórios, etc.) 
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3.2.1- Placas - superfícies que recebem o carregamento perpendicular ao seu plano (lajes). 
3.2.2- Chapas - tem o carregamento contido neste plano (viga-parede) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.3- Cascas (abóbodas ou cúpulas) 
Quando a superfície é curva 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.4- Abóboda: 
Casca cilíndrica sujeita principalmente a esforços normais de compressão. 
 
 
 
 
 
 
3.2.5- Cúpula: 
Casca de dupla curvatura sujeita a principalmente a esforços de compressão 
 
 
 
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3.3- Elementos tridimensionais: 
Aqueles onde as três dimensões têm a mesma ordem de grandeza. São os elementos de volume 
(blocos, sapatas de fundação, consolos e etc.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Principais elementos estruturais em uma edificação em concreto armado. 
4.1- Lajes 
 
São elementos planos que recebem a maior parte das ações (cargas) aplicadas numa construção. As 
ações, comumente perpendiculares ao plano da laje, podem ser: distribuídas na área, distribuídas 
linearmente e forças concentradas. As ações são transferidas para as vigas de apoio nos bordos da laje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.2- TIPOS: 
- Maciças 
- Nervuradas 
- Cogumelo 
4.3- PROCESSO DE PRODUÇÃO: 
- Moldada in loco 
- Pré-moldadas 
 
4.3.1- Lajes maciças 
As lajes maciças têm espessuras de 7 cm a 15 cm. São comuns em edifícios e construções de grande 
porte (escolas, indústrias, hospitais, pontes, etc.). Geralmente não são aplicadas em construções de 
pequeno porte (casas, sobrados, galpões, etc.). 
Lajes maciças - Execução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.3.2- Lajes nervuradas: 
“Lajes nervuradas são as lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração 
para momentos positivos está localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material 
inerte” 
 
Laje nervurada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje nervurada execução Laje nervurada concretagem 
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4.3.3- Lajes cogumelo: 
Lajes cogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares com capitéis. 
Lajes lisas são as apoiadas nos pilares sem capitéis. 
Lajes lisa e cogumelo - também chamadas lajes sem vigas. 
Esquema laje lisa e laje cogumelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje cogumelo mista com nervurada 
Esquemática laje cogumelo e tipos de capiteis mais usuais 
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4.3.4- Lajes pré-fabricadas 
Apresentam bom custo e bom comportamento estrutural e facilidade de execução. São comumente 
aplicadas em construções residenciais de pequeno porte e edifícios de baixa altura. 
 
Laje pré-fabricada – execução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vigota treliçada 
 
 
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Vigota “T” simplesmente armada 
 
Vigota “T” protendida 
 
 
 
 
 
 
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4.3.5- Painéis alveolares 
Painéis alveolares - largamente utilizadas nas construções de concreto pré-moldado. Em geral são 
protendidas. 
 
 
 
 
 
Painel alveolar 
 
 
 
Painel alveolar - Montagem 
 
 
 
 
 
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5- Vigas 
São elementos lineares em que a flexão é preponderante. São elementos de barras, normalmente 
retas e horizontais. Recebem ações (cargas) das lajes, de outras vigas, de paredes de alvenaria, e 
eventualmente de pilares, etc. A função é basicamente vencer vãos e transmitir as ações nelas 
atuantes para os apoios, geralmente os pilares. 
As ações (concentradas ou distribuídas) são geralmente perpendiculares ao seu eixo longitudinal. Mas 
podem receber forçasnormais de compressão ou de tração, na direção do eixo longitudinal. As vigas 
também fazem parte da estrutura de contraventamento, responsável por proporcionar a estabilidade 
global dos edifícios às ações verticais e horizontais. 
 
 
 
Detalhe de viga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Obra de médio porte com viga moldada in-loco 
 
Obra de médio porte com vigas moldadas in-loco (detalhe de fôrmas) 
 
 
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Detalhe de fôrma viga baldrame 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga invertida com laje maciça 
 
 
 
 
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6- Pilares 
As ações são provenientes geralmente das vigas, bem como de lajes também. 
- São os elementos estruturais de maior importância nas estruturas, pois são responsáveis por 
receber e transferir as principais cargas até as fundações! (capacidade resistente dos edifícios e 
segurança). 
- Comumente fazem parte do sistema de contraventamento responsável por garantir a estabilidade 
global dos edifícios às ações verticais e horizontais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Detalhe pilar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Principais disposições de pilares presentes nas edificações 
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Detalhe de fôrma pilar 
 
 
 
 
Fôrma pilar de papelão 
 
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7- Escadas 
 Elementos estruturais responsáveis pela 
mudança de nível de uma edificação pelos 
ocupantes, esses elementos tem a função de 
resistir aos esforços de peso próprio e utilização 
dos usuários, podem ser executadas de inúmeras 
formas, desde as mais comuns, retas de apenas 
um lance, até as mais complexas com vigas curvas 
e degraus suspensos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8- Conceitos de projeto das estruturas de concreto 
 
Principais normas brasileiras para concreto: 
ABNT NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento 
ABNT NBR 9062 – Projeto de estruturas de concreto pré-moldado 
ABNT NBR 6120 – Cargas para cálculo de estruturas de edificação – Procedimentos 
ABNT NBR 8681 – Ações e segurança nas estruturas – Procedimentos 
ABNT NBR 12655 – Concreto de cimento Portland – Preparo, controle, recebimento e 
aceitação - Procedimento 
 
8.1- Requisitos gerais de qualidade 
1- Requisitos de qualidade da estrutura 
As estruturas de concreto devem atender a requisitos mínimos de qualidade, durante sua construção 
e serviço, e aos requisitos adicionais estabelecidos em conjunto entre o autor do projeto e o 
contratante. 
As estruturas de concreto devem obrigatoriamente apresentar: 
a) Capacidade Resistente: significa que a estrutura deve ter capacidade de suportar as ações 
previstas que ocorrerem na construção, com conveniente margem de segurança contra a ruína 
ou a ruptura; 
 
b) Desempenho em Serviço: consiste na capacidade da estrutura manter-se em condições plenas 
de utilização durante sua vida útil, não devendo apresentar danos que comprometam em 
parte ou totalmente o uso para o qual foi projetada. 
 
c) Durabilidade: consiste na capacidade da estrutura resistir às influências ambientais previstas 
e definidas em conjunto pelo autor do projeto estrutural e pelo contratante, no início dos 
trabalhos de elaboração do projeto. 
 
8.2- Requisitos de qualidade do projeto 
- Qualidade da solução adotada 
A qualidade da solução adotada deve atender os requisitos de qualidade estabelecidos nas normas 
técnicas e considerar as condições arquitetônicas, funcionais, construtivas, de integração com os 
demais projetos (elétrico, hidráulico, ar-condicionado, etc.), e exigências particulares, como resistência 
a explosões, impacto, sismos, ou ainda relativas à estanqueidade e isolamento térmico e acústico. 
 
 
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18 
 
8.3- Condições impostas ao projeto 
Restrições de normas, durabilidade e desempenho 
- Documentação da solução adotada 
O produto final do projeto estrutural é constituído por desenhos, especificações e critérios de projeto. 
O projeto estrutural deve proporcionar as informações necessárias para a execução da estrutura. 
Projetos complementares (escoramento e fôrmas) não fazem parte do projeto estrutural. 
- Avaliação de conformidade do projeto 
Deve ser realizada por profissional habilitado, independente e diferente do projetista, requerida e 
contratada pelo contratante e registrada em documento específico. 
A avaliação da conformidade do projeto deve ser realizada antes da fase de construção e, de 
preferência, simultaneamente com a fase de projeto. 
 
8.4- Diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto 
 As estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que, sob as condições 
ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizado em projeto, 
conservem sua segurança, estabilidade e aptidão em serviço, durante o prazo correspondente à sua 
vida útil. 
 Entende-se por vida útil de projeto o período de tempo durante o qual se mantêm as características 
das estruturas de concreto, sem intervenções significativas, desde que atendidos os requisitos de uso 
e manutenção prescritos pelo projetista e pelo construtor, bem como de execução dos reparos 
necessários decorrentes de danos acidentais. 
 O conceito de vida útil aplica-se à estrutura como um todo ou às suas partes. Dessa forma, 
determinadas partes das estruturas podem merecer consideração especial com valor de vida útil 
diferente do todo, como, por exemplo, aparelhos de apoio e juntas de dilatação. 
8.5- Deterioração do concreto 
a) lixiviação: por ação de águas puras, carbônicas agressivas ou ácidas que dissolvem e carreiam os 
compostos hidratados da pasta de cimento. Para prevenir sua ocorrência, recomenda-se restringir a 
fissuração 
b) Expansão por sulfato: por ação de águas e solos que contenham ou estejam contaminados com 
sulfatos, dando origem a reações expansivas e deletérias com a pasta de cimento hidratado. Para 
prevenir pode ser feito o uso de cimentos resistente a sulfatos 
c) Reação álcali-agregado: expansão por ação das reações entre os álcalis do concreto e agregados 
reativos. 
 
 
 
 
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8.6- Deterioração da armadura 
a) despassivação por carbonatação: por ação do gás carbônico da atmosfera sobre o aço da armadura 
b) despassivação por ação de cloretos: ruptura local da camada de passivação, causada pelo elevado 
teor de íon-cloro. 
A carbonatação no concreto é um dos principais agentes iniciadores da corrosão, provoca alteração na 
condição de equilíbrio da alta alcalinidade, havendo assim, redução generalizada do pH para valores 
menores que 10.5, ocasionando a susceptibilidade das armaduras (quebra da instabilidade química do 
filme de óxidos passivantes) no que tange a corrosão das armaduras. 
“As armaduras se encontram passivas em decorrência da elevada alcalinidade do concreto (pH da 
ordem de 12 a 13), que favorece a formação de um filme de óxidos submicroscópico passivante,compacto, resistente e aderente sobre a superfície da armadura, que inviabiliza o desenvolvimento da 
corrosão das armaduras no concreto armado”. 
A profundidade ou espessura de carbonatação avança progressivamente para o interior do concreto, 
formando uma “frente de carbonatação”, que separa duas zonas de pH muito distintas (13 e 8). Danos 
causados pela corrosão das armaduras por carbonatação causam expansão, fissuração, destacamentos 
do cobrimento, perda da aderência e redução significativa de seção da armadura, subtraindo o 
comportamento da vida em serviço da estrutura para qual foi projetada, elevando assim os custos de 
manutenção e reparo. 
 
 
 
 
O cobrimento da armadura é uma ação isolante, ou de 
barreira, sendo exercida pelo concreto interpondo-se entre o 
meio corrosivo e a armadura, principalmente em se tratando 
de um concreto bem dosado, pouco permeável, compacto e 
apresentando uma espessura adequada de cobrimento. 
 
 
 
 
 
 
Cnom
C
n
o
m
Estribo
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9- Critérios de projeto 
Antes de iniciarmos um projeto temos que nos ater a algumas considerações iniciais importantes, essas 
considerações irão nos acompanhar até o final desta empreitada e são de extrema valia para um bom 
desempenho e durabilidade da nossa edificação. 
9.1- Classe de agressividade 
A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações físicas e químicas que atuam nas 
estruturas, independentemente das ações mecânicas, das variações volumétricas de origem térmica, 
da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas de concreto. Nos 
projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o 
apresentado na Tabela 1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição 
da estrutura ou de suas partes. 
De acordo com a NBR 6118-2014 temos de analisar a CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL 
(CAA) 
 
Tabela 1 – Classe de agressividade ambiental 
Classe de agressividade Ambiental 
Classe de agressividade 
Ambiental 
Agressividade 
Classificação geral do tipo de 
ambiente para efeito de projeto 
Risco de deterioração da 
estrutura 
I FRACA 
Rural 
Insignificante 
Submersa 
II MODERADA Urbana (a,b) Pequeno 
III FORTE 
Marinha (a,b) 
Grande 
Industrial (a,b) 
IV MUITO FORTE 
Industrial (a,c) 
Elevado 
Respingos de maré 
 
a - Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) para 
ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos 
residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). 
b - Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regiões 
de clima seco, com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura protegidas 
de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove. 
c - Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias 
de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 
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9.2- Qualidade do concreto 
 
 Com a definição da classe de agressividade ambiental podemos decidir o tipo de concreto empregado 
em nossa edificação, a modo de resistir aos esforços mecânicos e cumprir com requisitos de 
durabilidade estipulados pela norma vigente no país. 
 
Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto 
Concreto Tipo (b,c) 
Classe de agressividade (Tabela 1) 
I II III IV 
Relação água/cimento 
em massa 
CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45 
CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45 
Classe de concreto CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40 
(ABNT NBR 8953) CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40 
 
 
a O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na 
ABNT NBR 12655. 
b CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado. 
c CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido. 
Tabela 2 – Correspondência entre a classe de agressividade e a qualidade do concreto 
 Na tabela acima podemos observar a relação entre a qualidade do concreto a agressividade do 
ambiente, com esses parâmetros é possível decidir a relação Água/cimento da mistura de 
amassamento, que estará ligada diretamente com a resistência do concreto escolhido para a nossa 
edificação. 
 A relação água/cimento deve ser atendida, pois quanto maior o volume de água presente na mistura 
menor será a nossa resistência, esse parâmetro pode mudar significativamente as características 
mecânicas do concreto, e caso não seja elaborada com um certo controle pode vir a causar problemas 
estruturais na edificação. 
 
Obs.: Para se obter o melhor resultado possível na edificação é essencial ter bom conhecimento das 
normas, neste conteúdo iremos nos ater apenas nas informações necessárias para a elaboração da 
nossa edificação, mas nas normas há inúmeras informações que devem ser lidas e quando necessária 
atendidas para o excelente desempenho em serviços de nossos projetos! 
Itens da norma que devem ser checados neste ponto do projeto: 
De 6 a 7 (NBR 6118-2014) 
 
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9.3- Cobrimento 
 
 O cobrimento das armaduras devem seguir alguns critérios para garantir a durabilidade do material, 
evitando qualquer tipo de alteração química em sua composição por agentes externos, o cobrimento 
deve garantir que a armadura se mantenha com suas características ideais, assim como definidas em 
projeto. 
 
 Para a definição desses cobrimentos seguimos a tabela abaixo: 
 
Cobrimento das Armaduras 
TIPO DE ESTRUTURA 
COMPONETE OU ELEMENTO CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL 
 
I II III IV 
COBRIMENTO NOMINAL EM (mm) 
Concreto Armado 
Lajes (b) 20 25 35 45 
Vigas/Pilar 25 30 40 50 
Elementos estruturais em 
contato com o solo (d) 
30 40 50 
Concreto protendido 
Laje 25 30 40 50 
Viga/Pilar 30 35 45 55 
 
a - Cobrimento nominal da bainha ou dos fios, cabos e cordoalhas. O cobrimento da armadura passiva deve 
 respeitar os cobrimentos para concreto armado. 
b - Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contra-piso, com revestimentos 
 finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento, como pisos de 
 elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros, as exigências desta Tabela podem ser 
 substituídas pelas de 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm. 
c - Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de tratamento de água e 
 esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente 
 agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV. 
d - No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura deve ter 
 cobrimento nominal ≥ 45 mm. 
Para garantir o cobrimento mínimo (Cmín) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (Cnom) 
𝐶𝑛𝑜𝑚 = 𝐶𝑚í𝑛 + ∆𝐶 
Nas obras correntes ∆C deve ser maior ou igual a 10mm, que pode ser reduzido para 5mm quando houver um controle 
de qualidade adequado e rígido limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução das estruturas de 
concreto. 
Tabela 3 – Cobrimento das armadurasCurso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
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10- Ações nas estruturas de concreto armado 
NBR 8681 – Ações e segurança nas estruturas – Procedimentos 
 
Ações: “causas que provocam o aparecimento de esforços ou deformações nas 
estruturas.” 
Forças (ações diretas). 
Deformações impostas (ações indiretas) são aquelas oriundas de variações de temperatura, retração 
e deformação lenta (fluência) do concreto, recalques de apoio, etc. 
Classificação: permanentes, variáveis e excepcionais. 
10.1- Ações Permanentes Diretas 
São constituídas pelo peso próprio e pelos pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações 
permanentes. 
Peso Próprio 
Massas específicas: 
- concreto simples: 24 kN/m³ (2,4 tf/m3) 
- concreto armado: 25 kN/m³ (2,5 tf/m3) 
 
10.2- Ações Permanentes Indiretas 
São constituídas pelas deformações impostas por retração e deformação lenta (fluência) do 
concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão. 
10.3- Ações variáveis diretas 
São constituídas pelas cargas acidentais, pela ação do vento e da águas. 
Cargas acidentais são as “Ações variáveis que atuam nas construções em função de seu uso (pessoas, 
mobiliário, veículos, materiais diversos, etc.)”. Na BR 6120 constam os valores mínimos a serem 
adotados para as cargas acidentais. 
10.4- Ações variáveis indiretas 
Variação de temperatura 
10.5- Ações excepcionais 
“As que têm duração extremamente curta e muito baixa probabilidade de ocorrência durante a vida 
da construção, mas que devem ser consideradas nos projetos de determinadas estruturas. 
Consideram-se como excepcionais as ações decorrentes de causas tais como explosões, choques de 
veículos, incêndios, enchentes ou sismos excepcionais.” 
 
 
 
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10.6- Coeficiente de ponderação 
As ações devem ser majoradas pelo coeficiente de segurança γf . Em construções residenciais 
normalmente o cálculo fica muitas vezes simplificado como: 
Fd = γg Fgk + γq Fqk 
 
11- O projeto! 
 
 O nosso projeto neste material será baseado em um edifício real de 5 Pavimentos (sendo térreo e 
mais 4), Todos os pavimentos serão de apartamentos de dois quartos, banheiro, cozinha, área de 
serviço, sala de jantar e sala de estar com sacada, cada pavimento com 4 apartamentos de 63,85 m², 
cada pavimento terá uma área de 276,43m², a área total da edificação será de 1382,15m² de área útil! 
 
O local da obra será uma área urbana em desenvolvimento, em zona residencial 
 
 
Planta do pavimento tipo 
 
 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
re
a 
= 
2.
98
 m
2
BA
NH
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
NH
O
Ár
ea
 =
 2
.9
8 
m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Ár
ea
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
NH
O
BA
NH
O
Ár
ea
 =
 2
.9
8 
m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
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11.1- Como fazer a distribuição dos elementos estruturais em nossa edificação! 
 
 Para realizar a locação de cada elemento em nossa edificação, temos que analisar primeiramente 
toda a planta de arquitetura, que deverá ser seguida rigorosamente. Sabemos que muitas vezes isso é 
complexo, e que a possibilidade de alteração da planta de arquitetura se faz bem mais interessante 
que uma solução estrutural mirabolante, porém a grande maioria desses problemas podem ser 
solucionados com um pouco de criatividade e lógico, paciência! 
11.1.1- Pilares: 
 Os primeiros elementos que devemos alocar em nossos projetos são os pilares, eles são responsáveis 
pelo recebimento de todas as cargas da edificação, e para a distribuição dessas cargas para os 
elementos de fundação, que por sua vez dissipam para o solo, porém esses elementos na grande 
maioria dos projetos, tendem a ficar escondidos e/ou embutidos em paredes, pois a grande maioria 
das pessoas não gosta de ter um pilar no meio da sala não é verdade? E as dicas que vamos te dar são 
as seguintes: 
 
-Comece a locação dos pilares pelos vértices principais, nos quatro cantos da edificação. 
-Faça a locação dos pilares das áreas comuns tais como: foço de escada, hall de distribuição, foço do 
elevador, etc.... 
-Os pilares internos, coloque-os nas paredes de divisa principais, como por exemplo na divisa entre os 
apartamentos. 
-Não coloque pilares muito longe e nem muito perto uns dos outros, tente colocar com distâncias 
acima de 3 e abaixo de 6 metros de eixo a eixo. 
-Verifique o posicionamento dos pilares, tire proveito da inércia deles para aumentar estabilidade da 
edificação, posicionando os pilares com o eixo de maior inércia perpendicular ao eixo mais suscetível 
as cargas dinâmicas do vento. 
 
11.1.2- Vigas: 
 As vigas são responsáveis pelo recebimento das cargas das lajes e de alvenarias, elas diferente dos 
pilares trabalham individualmente em cada pavimento, ou seja, elas são responsáveis pelas cargas de 
apenas um pavimento, não tendo qualquer tipo de ligação com os pavimentos posteriores, com 
exceção apenas das vigas de transição, que é um assunto para outro curso! 
 Para a distribuição desses elementos as dicas que daremos são as seguintes: 
-Inicie a locação desses elementos pelas extremidades, fazendo a ligação entre os pilares externos, a 
modo de fazer o contorno completo da edificação. 
-Evite vigas muito extensas, respeitando a mesma regra dos 6 metros. 
-Aproveite a continuidade das vigas, com a continuidade conseguiremos realizar uma distribuição 
melhor entre as armaduras e manter seções menores. 
-Respeite a largura das paredes 
-Procure coloca-las em baixo das alvenarias, para que possamos receber essas cargas diretamente. 
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-Quando houver vigas externas, como no caso das sacadas evite vigas com pontas expostas, coloque 
sempre uma viga de bordo para dar o arremate. 
 
11.1.3- Lajes: 
 As lajes, são responsáveis por receber as chamadas cargas de utilização, são os elementos que 
efetivamente receberam a grande maioria das cargas produzidas por aqueles que irão utilizar a 
edificação, que são nada mais e nada menos do que, cargas das pessoas, móveis, automóveis e 
também algumas cargas permanentes, como revestimentos, alvenarias, forros, etc... 
 Para a distribuição desses elementos as dicas são: 
-Colocá-las sempre em um perímetro de vigas 
-Evitar balanços muito grandes 
-Evitar vãos muito grandes 
-Evitar a colocação de muita alvenaria sobre as lajes 
 
11.2- Numeração dos elementos 
 A numeração dos elementos tem extrema importância para o bom desenvolvimento do projeto, 
sendo assim existem alguns procedimentos para a numeração desses elementos para que fiquemo 
mais organizado possível, facilitando o entendimento de todos os envolvidos no período de projeto! 
 A numeração deve começar de CIMA PARA BAIXO e da ESQUERDA PARA A DIREITA! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Locação dos elementos 
L
2
0
1
L
2
0
2
L
2
2
1
L
2
2
2
L
2
0
3
L
2
0
4
L
2
2
0
L
2
1
9
L
2
1
3
L
2
0
9
L
2
1
1
L
2
1
8
L
2
1
4
L
2
0
5
L
2
0
8
L
2
1
7
L
2
1
5
L
2
0
6
L
2
0
7
L
2
1
6
L
2
1
2
L
2
1
0
V
2
0
1
V
2
0
1
V
2
0
3
V
2
0
2
V
2
0
6
V
2
0
7
V
2
0
4
V
2
0
5
V
2
0
8
V
2
0
9
V
2
1
0
V
2
1
1
V
2
1
5
V
2
1
3
V
2
1
4
V
2
1
2
V217V218
V219
V220
V221
V222
V223
V225
V226
V227
V229 V229
V
2
1
6
V224
P
1
P
3
P
4
P
6
P
7
P
8
P
1
1
P
1
3
P
1
4
P
1
5
P
1
9
P
2
1
P
2
2
P
2
5
P
2
9
P
2
6
P
2
P
5
P
1
0
P
9
P
1
2
P
1
8
P
1
7
P
1
6
P
2
0
P
2
4
P
2
3
P
2
8
P
3
0
P
2
7
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28 
 
12- Pré-dimensionamento das lajes maciças: 
 
O pré-dimensionamento das lajes, é nada mais e nada menos do que uma consideração a ser feita 
sobre a sua espessura. Essa estimativa e baseada na relação entre suas vinculações, dimensões e os 
parâmetros que encontramos anteriormente. 
Para analisarmos essa relação, temos que responder 3 perguntas, essas perguntas irão nos permitir 
descobrir se esse painel de laje, é continuo ou não, caso seja continuo, consideraremos cada painel 
com suas bordas continuas engastadas, ou seja, quando uma borda for continua o esquema estático 
do painel estudado será como a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engaste (borda contínua) 
 
 
 
 
 
 
Corpo da laje 
 
As 3 perguntas são: 
1ª – Há Laje vizinha ao lado da borda estudada? 
2ª – A laje vizinha está no mesmo nível? 
3ª – Mais de 2/3 da borda da laje vizinha é contínua e está no mesmo nível? 
LAJE 
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Se todas as perguntas tiverem resposta positivas, a borda da laje que estamos estudando pode ser 
considerada contínua, por tanto, com esquema estático de engaste na borda estudada! 
Vamos pegar um exemplo: 
L201 
 
 
 
 
 
 
 
 
A laje 201 tem vizinhos na parte de baixo e na lateral esquerda, 1ª pergunta – Positiva 
Porém a laje 201 é uma laje de sacada, que por consequência não estará no mesmo nível das demais 
2ª pergunta – Negativa, desta forma, não podemos considerar nenhuma das bordas desta laje como 
contínua (engastada), tendo qualquer uma das perguntas negativas, se desconsidera a continuidade! 
Agora vejamos a laje 203 
1ª Tem vizinhos? – Sim, do lado direito e abaixo 
2ª A laje vizinha está no mesmo nível? - Sim, com exceção apenas de um trecho da laje 201, porém 
todas as demais estão no mesmo nível! 
3ª Mais de 2/3 da borda da laje vizinha é contínua e está no mesmo nível? – Sim, apesar de não termos 
qualquer tipo de cota no desenho, constatamos nitidamente que há mais de 2/3 da borda contínua e 
no mesmo nível. 
Neste caso podemos considerar a laje 203 contínua, nas laterais direita e na parte de baixo assim como 
mostra a figura abaixo! 
 
 
 LAJE 203 
 
 
 
 
Nas laterais onde não se tem engaste, consideraremos uma borda simplesmente apoiada 
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
V201V201
V203
V202
V206
V207
V204 V205
V208 V209
V210
V211
V215
V213 V214
V212
V2
17
V2
18
V2
19
V2
20
V2
21 V2
22 V
22
3
V2
25
V2
26
V2
27
V2
29
V2
29
V216
V2
24
P1
P3
P4
P6
P7 P8
P11
P13 P14 P15
P19
P21
P22
P25
P29
P26
P2
P5
P10P9
P12
P18P17P16
P20
P24
P23
P28
P30
P27
Engaste (Continuidade) 
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30 
 
12.1- Pré-dimensionamento das espessuras (Equações) 
 Tendo entendido todos os passos anteriores podemos partir para os cálculos! 
O primeiro cálculo que faremos neste material será o pré-dimensionamento das espessuras, para 
realizar esse procedimento seguimos o roteiro de cálculo abaixo! 
 
Calculo da altura útil: 
𝐷 ú𝑡𝑖𝑙 =
(2,5−0,1.𝑛).𝑙
100
 
Sendo: 
n= Número de bordas engastadas 
𝑙 = É o menor valor entre o Lx e 0,7.Ly (Lx é o menor vão ou o vão que tiver o maior número de 
engastes) 
A constante de 2,5 (cm) é a soma dos valores de cobrimento e da bitola de 10 mm (Bitola máxima 
geralmente utilizada nas lajes) 
A espessura será então finalizada com a equação abaixo: 
(𝐻 = 𝐷 ú𝑡𝑖𝑙 + 2,5) ≥ 8 𝑐𝑚 
A espessura da laje, de acordo com norma NBR 6118-2014 tem de ser maior ou igual a 8 cm, para as 
lajes piso e 10 cm para as lajes piso em balanço. 
 
12.2- Pré-dimensionamento das espessuras – Mãos à obra! 
 
Como já estamos craques nos passos anteriores, podemos partir para os cálculos de verdade, vamos 
lá? 
12.2.1- L201=L202=L221=L222 (Laje da sacada) 
Nesta laje não temos engaste, portanto, a espessura 
será: 
n=0 
𝐷 ú𝑡𝑖𝑙 =
(2,5−0,1.0).105
100
= 2,625 
(𝐻 = 2,625 + 2,5) = 5,13 ≤ 8 𝑐𝑚 ∴ 8 𝑐𝑚 
 
Obs.: Como a espessura calculada está abaixo da espessura mínima adotaremos a espessura mínima 
(8 cm) 
 
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
Esp.: 8cm
Esp.: 8 cm
Carga: 5 Kn/m²
Carga: 6 Kn/m²
NUMERAÇÕES DAS LAJES E ESPESSURAS
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
31 
 
12.2.2- L203=L204=L219=L220 
Nesta laje temos engaste na lateral direita e embaixo, portanto a espessura será: 
n=2 
Verificação da regra dos 2/3: 
3,92
4,85
= 0,81 ≥
2
3
∴ 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒 
 
2,71
3,75
= 0,72 ≥
2
3
∴ 𝐸𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒 
 
Encontrando o "𝑙" 
𝑙 = 𝑙𝑥 𝑜𝑢 0,70 𝑙𝑦 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠) 
𝑙𝑥 = 375 
0,70 𝑥 485(𝑙𝑦) = 340 
 
𝐷 ú𝑡𝑖𝑙 =
(2,5−0,1.2).340
100
= 7,82 
(𝐻 = 7,82 + 2,5) = 10,3 ≥ 8 𝑐𝑚 ∴ 10 𝑐𝑚 
Obs.: Adotaremos 10 cm, um valor um pouco abaixo do calculado, todavia desta forma podemos 
verificar mais a frente se será necessário aumentar essa espessura, ou se poderemos mantê-la! 
 
12.2.3- L205=L208=L214=L217 
Nesta laje temos engaste na lateral direita, esquerda e 
embaixo, o Lx será neste caso, o vão com maior número de 
engastes (3,00 m), portanto a espessura será: 
n=3 
Encontrando o "𝑙" 
𝑙 = 𝑙𝑥 𝑜𝑢 0,70 𝑙𝑦 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠) 
𝑙𝑥 = 300 
0,70 𝑥 555(𝑙𝑦) = 388 cm 
 
𝐷 ú𝑡𝑖𝑙 =
(2,5−0,1.3).300
100
= 6,60 
(𝐻 = 6,6 + 2,5) = 9,1 ≥ 8 𝑐𝑚 ∴ 9 𝑐𝑚 
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206L207
L216
L212
L210
Esp.: 8cm
Esp.: 8 cm
Carga: 5 Kn/m²
Carga: 6 Kn/m²
NUMERAÇÕES DAS LAJES E ESPESSURAS
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
Esp.: 8cm
Esp.: 8 cm
Carga: 5 Kn/m²
Carga: 6 Kn/m²
NUMERAÇÕES DAS LAJES E ESPESSURAS
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
32 
 
12.2.4- L206=L207=L215=L216 
Nesta laje temos engaste na lateral esquerda e embaixo, o Lx será 
neste caso, o menor vão (2,22 m), portanto a espessura será: 
n=2 
Encontrando o "𝑙" 
𝑙 = 𝑙𝑥 𝑜𝑢 0,70 𝑙𝑦 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠) 
𝑙𝑥 = 222 𝑐𝑚 
0,70 𝑥 555(𝑙𝑦) = 388 cm 
 
𝐷 ú𝑡𝑖𝑙 =
(2,5−0,1.2).222
100
= 5,11 
(𝐻 = 5,11 + 2,5) = 7,6 ≤ 8 𝑐𝑚 ∴ 8 𝑐𝑚 
Obs.: Não há engaste do lado direito, pois não tem laje, por se 
tratar do foço da escada! 
 
 
12.2.5- L209=L211=L213=L218 
Nesta laje temos engaste na lateral direita, em cima 
e embaixo, o Lx será neste caso, será o vão com 
maior número de engastes (2,84m), portanto a 
espessura será: 
n=3 
Encontrando o "𝑙" 
𝑙 = 𝑙𝑥 𝑜𝑢 0,70 𝑙𝑦 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠) 
𝑙𝑥 = 284 𝑐𝑚 
0,70 𝑥 392(𝑙𝑦) = 274 𝑐𝑚 
 
𝐷 ú𝑡𝑖𝑙 =
(2,5−0,1.3).274
100
= 6,03 𝑐𝑚 
 
(𝐻 = 6,03 + 2,5) = 8,53 ≥ 8 𝑐𝑚 ∴ 9 𝑐𝑚 
 
 
 
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
Esp.: 8cm
Esp.: 8 cm
Carga: 5 Kn/m²
Carga: 6 Kn/m²
NUMERAÇÕES DAS LAJES E ESPESSURAS
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
Esp.: 8cm
Esp.: 8 cm
Carga: 5 Kn/m²
Carga: 6 Kn/m²
NUMERAÇÕES DAS LAJES E ESPESSURAS
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
33 
 
12.2.6- L210 (única) 
Nesta laje temos engaste na lateral esquerda e embaixo, o Lx será neste caso o menor vão (1,07 m), 
portanto a espessura será: 
n=2 
Encontrando o "𝑙" 
𝑙 = 𝑙𝑥 𝑜𝑢 0,70 𝑙𝑦 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠) 
𝑙𝑥 = 107 𝑐𝑚 
0,70 𝑥 134(𝑙𝑦) = 94 𝑐𝑚 
 
𝐷 ú𝑡𝑖𝑙 =
(2,5−0,1.2).94
100
= 2,15 𝑐𝑚 
 
(𝐻 = 2,15 + 2,5) = 4,65 ≤ 8 𝑐𝑚 ∴ 8 𝑐𝑚 
 
Obs.: Não há engaste do lado direito, pois não tem laje, por se tratar do foço do shaft! 
 
 
12.2.7- L212 (única) 
Nesta laje temos engaste na lateral esquerda e direita, o Lx será neste caso, será o vão com maior 
número de engastes (3,29m), portanto a espessura será: 
n=2 
Encontrando o "𝑙" 
𝑙 = 𝑙𝑥 𝑜𝑢 0,70 𝑙𝑦 (𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠) 
𝑙𝑥 = 329 𝑐𝑚 
0,70 𝑥 238(𝑙𝑦) = 167 𝑐𝑚 
 
𝐷 ú𝑡𝑖𝑙 =
(2,5−0,1.2).167
100
= 3,84 𝑐𝑚 
 
(𝐻 = 3,84 + 2,5) = 6,35 𝑐𝑚 ≤ 8 𝑐𝑚 ∴ 8 𝑐𝑚 
Obs.: Não há engaste em cima, o trecho que há laje é inferior a 2/3 do vão! 
 
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
Esp.: 8cm
Esp.: 8 cm
Carga: 5 Kn/m²
Carga: 6 Kn/m²
NUMERAÇÕES DAS LAJES E ESPESSURAS
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
Esp.: 8cm
Carga: 5 Kn/m²
NUMERAÇÕES DAS LAJES E ESPESSURAS
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34 
 
 
L
2
0
1
L
2
0
2
L
2
2
1
L
2
2
2
L
2
0
3
L
2
0
4
L
2
2
0
L
2
1
9
L
2
1
3
L
2
0
9
L
2
1
1
L
2
1
8
L
2
1
4
L
2
0
5
L
2
0
8
L
2
1
7
L
2
1
5
L
2
0
6
L
2
0
7
L
2
1
6
L
2
1
2
L
2
1
0
E
s
p
.:
 8
c
m
E
s
p
.:
 8
c
m
E
s
p
.:
 8
c
m
E
s
p
.:
 8
c
m
E
s
p
.:
 1
0
 c
m
E
s
p
.:
 1
0
 c
m
E
s
p
.:
 1
0
 c
m
E
s
p
.:
 1
0
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 8
 c
m
E
s
p
.:
 9
 c
m
E
s
p
.:
 9
 c
m
E
s
p
.:
 9
 c
m
E
s
p
.:
 9
 c
m
N
U
M
E
R
A
Ç
Õ
E
S
 D
A
S
 L
A
J
E
S
 E
 E
S
P
E
S
S
U
R
A
S
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
35 
 
 
NBR 6120/1980 
Tabela 2 - Valores mínimos das cargas verticais 
Unid.: kN/m 2 
Carga Local 
1 Arquibancadas 4 
- Balcões 2 Mesma carga da peça com a qual se comunicam e as 
Previstas em 2.2.1.5 
2 Escritórios e banheiros Bancos 3 
, Salas de diretoria e de gerência 1 5 
Sala de leitura 2 , 5 
Sala para depósito de livros 4 
4 Sala com estantes de livros a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m Bibliotecas 2 
por metro de altura observado, porém o valor mínimo de 6 
incluindo o peso das máquinas) a ser determinada ( Casas de 5 
5 , 7 em cada caso, porém com o valor mínimo de máquinas 
3 Plateia com assentos fixos 
4 Estúdio e plateia com assentos móveis Cinemas 6 
Banheiro 2 
3 Sala de refeições e de assembleia com assentos fixos 
Sala de assembleia com assentos móveis 4 7 Clubes 
5 Salão de danças e salão de esportes 
2 Sala de bilhar e banheiro 
3 Com acesso ao público 
8 Sem acesso ao público Corredores 2 
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de Cozinhas não 9 
 residenciais 3 
A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais 
- Conforme o indicado em 2.2.1.3 Depósitos 10 
, 11 5 Edifícios Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1 
2 residenciais Despensa, área de serviço e lavanderia 
12 Com acesso ao público Escadas 3 
Sem acesso ao público , 5 2 
Anfiteatro com assentos fixos 
Corredor e sala de aula 13 Escolas 3 
Outras salas 2 
14 Escritórios Salas de uso geral e banheiro 2 
15 Forros Sem acesso a pessoas 0 , 5 
16 Galerias de A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 
 
arte 
3 
17 Galerias de A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo 3 
 lojas 
18 Garagens e Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de 
 kN por veículo. Valores de 25 estacionamentos indicados em 2.2.1.6 3 
19 Ginásios de 
 esportes 5 
/continua – Consultar norma 
 
( ver 2.2.1.7) 
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36 
 
13- Carga nas lajes 
Para as cargas de utilização nas lajes, devemos seguir a tabela acima (Tabela 2 – NBR 6120 – Cargas 
para cálculo das estruturas de edificações). 
Teremos 2 tipos principais de cargas na nossa edificação: Cargas permanente e Cargas de utilização, 
também conhecida como sobrecarga. 
 
Entre as cargas permanentes temos: Peso próprio do elemento, revestimento e alvenarias 
Nas cargas de utilização temos: móveis, automóveis, pessoas e qualquer outra carga que ocorra 
eventualmente na edificação! 
 
Cargas 
PERMANENTES: 
Peso próprio das lajes: Espessura (m) x Gama do concreto armado (25 kN) 
 
Cargas de alvenaria sobre laje: 
 
(𝑆𝑂𝑀𝐴 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝑅 𝐷𝐴𝑆 𝑃𝐴𝑅𝐸𝐷𝐸𝑆) 𝑥 𝑃.𝐷 𝑥 𝑃𝐸𝑆𝑂 𝑃𝐴𝑅𝐸𝐷𝐸
(Á𝑅𝐸𝐴 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝐷𝐴 𝐿𝐴𝐽𝐸)
= "𝑋" 𝑘𝑁/m² 
Revestimento: 1 Kn/m²(Valor fixo para todo o projeto) 
 
 
CARGAS VARIÁVEIS (Sobrecarga) 
De acordo com a utilização do ambiente (Tabela 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
37 
 
13.1- Laje 201 
 Cargas permanentes 
P.P = 0,08 x 25 =2 KN/m² 
Revestimento= 1 KN/m² 
Total: 3,0 KN/m² 
 Cargas variáveis 
Tabela 2 – Sacadas: 2 KN 
Total geral: 5 KN/m² 
 
 
 
 
 
13.2- Laje 203 
 
 Cargas permanentes 
P.P = 0,10 x 25 =2,5 KN/m² 
Alvenaria= 
(3,75+1,45)𝑥2,8𝑥1,8
(3,75 𝑥 4,85)
= 1,43 𝑘𝑁/m² 
Revestimento= 1 KN/m² 
Total: 4,93 KN/m² 
 Cargas variáveis 
Tabela 2 – Dormitórios: 1,5 KN/m² 
Total geral: 6,43 KN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Ár
ea
 = 2
.98
 m2
BA
NH
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
NH
O
Áre
a =
 2.9
8 m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Áre
a =
 2.9
8 m
2
BA
NH
O
BA
NH
O
Áre
a =
 2.9
8 m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
38 
 
 13.3- Laje 205 
 
 
 Cargas permanentes 
P.P = 0,09 x 25 =2,25 KN/m² 
Revestimento= 1 KN/m² 
Total: 3,25 KN/m² 
 Cargas variáveis 
Tabela 2 – Sala de estar: 1,5 KN/m² 
Total geral: 4,75 KN/m² 
 
 
 
 
13.4- Laje 206 
 
 Cargas permanentes 
P.P = 0,08 x 25 =2,0 KN/m² 
Alvenaria= 
(2,22+2,22)𝑥2,8𝑥1,8
(5,55 𝑥 2,22)
= 1,82 𝑘𝑁/m² 
Revestimento= 1 KN/m² 
Total: 4,82 KN/m² 
 Cargas variáveis 
Tabela 2 – Cozinha/A.S: 2,0 KN/m² 
Total geral: 6,82 KN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 m
2
B
A
N
H
O
VARANDA
Área = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
B
A
N
H
O
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 m
2
B
A
N
H
O
B
A
N
H
O
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 
m
2
B
A
N
H
O
VARANDA
Área = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
B
A
N
H
O
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 
m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 
m
2
B
A
N
H
O
B
A
N
H
O
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 
m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
39 
 
13.5- Laje 209 
 
 Cargas permanentes 
P.P = 0,08 x 25 =2,0 KN/m² 
Revestimento= 1 KN/m² 
Total: 3,0 KN/m² 
 Cargas variáveis 
Tabela 2 – Dormitório: 1,5 KN/m² 
Total geral: 4,50 KN/m² 
 
 
 
 
 
 
13.6- Laje 210 
 Cargas permanentes 
P.P = 0,08 x 25 =2,0 KN/m² 
Revestimento= 1 KN/m² 
Total: 3,0 KN/m² 
 Cargas variáveis 
Tabela 2 – Corredores: 3,0 KN/m2 
Total geral: 6,0 KN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
re
a 
= 
2.9
8 m
2
BA
NH
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
NH
O
Ár
ea
 =
 2.
98
 m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Ár
ea
 =
 2.
98
 m
2
BA
NH
O
BA
NH
O
Ár
ea
 =
 2.
98
 m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
40 
 
 13.7- Laje 212 
Cargas permanentes 
P.P = 0,08 x 25 =2,0 KN/m² 
Revestimento= 1 KN/m² 
Total: 3,0 KN/m² 
 Cargas variáveis 
Tabela 2 – Hall c/ acesso: 3,0 KN/m² 
Total geral: 6,0 KN/m² 
 
 
 
 
CARGAS ATUANTES NAS LAJES 
LAJE ESPESSURA (cm) AMBIENTE 
CARGA 
(kN/m²) 
L201=L202=L221=L222 8 SACADA 5 
L203=L204=L219=L220 10 DORMITÓRIO 6,43 
L205=L208=L214=L217 9 SALA DE ESTAR 4,75 
L206=L207=L215=L216 8 COZINHA/A.S 6,82 
L209=L211=L213=L218 8 DORMITÓRIO 4,5 
L210 8 CORREDOR C/ ACESSO 6 
L212 8 HALL C/ ACESSO 6 
Tabela 3 - cargas nas lajes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
41 
 
 
14- Reações nas lajes 
Para o cálculo das reações nas lajes iremos utilizar a tabela de Marcus, com ela poderemos nos casos 
das lajes armadas em duas direções, trabalhar com a consideração de solidariedade entre as 
armaduras, ou seja, as armaduras trabalhando em conjunto para resistir aos esforços solicitantes. 
Como utilizar a tabela: 
1° Passo! 
Encontrar a relação Ly/Lx, essa é informação de entrada para a utilização da tabela, a tabela tem uma 
variação de 0,50 até 2, para 6 diferentes tipos de lajes, de diferentes tipos de engastamento, quando 
o valor dessa relação for superior a 2, a laje será armada em apenas uma direção, descartando a 
utilização da tabela, ou seja, poderemos fazer a análise por estática simples! 
Seguiremos o exemplo da laje 203 
 
 
Relação Ly/Lx 
 
4,85
3,75
= 1,29 
 
 
 
 
 
 
 
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
Esp.: 8cm
Esp.: 8 cm
Carga: 5 Kn/m²
Carga: 6 Kn/m²
NUMERAÇÕES DAS LAJES E ESPESSURAS
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
42 
 
Nossa laje é do tipo “3” na tabela de Marcus, ou seja, duas bordas livre e duas engastadas ou 
contínuas! 
O resultado da nossa relação ly/lx = 1,29, como indica a figura acima, podemos encontrar 
todos os demais fatores para a composição das equações de momentos positivos e 
negativos, esses fatores são: 
Kx – Esse fator é o grau de solidariedade entre as duas dimensões que compõe o elemento, 
quanto maior for a relação entre ly e lx, maior será esse fator! 
mx- Esse fator será responsável pela parcela do momento positivo na direção “x” do nosso 
painel de laje. 
nx- Esse fator será responsável pela parcela do momento negativo na direção “x” do painel 
de laje, esse fator só será necessário para painéis com uma ou mais bordas engastadas! 
my- Esse fator será responsável pela parcela do momento positivo na direção “y” do nosso 
painel de laje 
ny- Esse fator será responsável pela parcela do momento negativo na direção “y” do painel 
de laje, esse fator só será necessário para painéis com uma ou mais bordas engastadas! 
Encontrando todos esses valores podemos partir para composição das equações de 
momento positivo, negativo e reações de apoio! 
 
A primeira laje que vamos analisar é a 201=202=221=222 
 
Carga: 5 kN/m² 
 
 
 
 
ʎ=ly/lx - ʎ=3,0/1,05= 2,85 (Laje armada em uma direção!) 
Obs.: Como o valor é superior a dois faremos a resolução por estática simples! 
𝑀𝑥 =
q.lx²
8
 , 𝑀𝑥 =
5 . 1,05²
8
= 0,70 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑅𝑥 =
q.lx
2
, 𝑅𝑥 =
5 . 1,05
2
= 2,63 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑦 = 𝑞 . 0,3; 𝑅𝑦 = 5 . 0,3 = 1,5 𝑘𝑁/𝑚 
 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Ár
ea
 = 2
.98
 m2
BA
NH
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
NH
O
Áre
a =
 2.9
8 m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Áre
a =
 2.9
8 m
2
BA
NH
O
BA
NH
O
Áre
a =
 2.9
8 m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
L
A
B
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
43Laje: 203=204=219=220 
Carga: 6,5 kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ʎ=ly/lx - ʎ=4,85/3,75= 1,29 (Laje armada em duas direções!) 
Laje com duas bordas engastadas, tabela 3 (Marcus) 
Valores dos coeficientes para (1,29): 
Kx=0,735; mx=24,40; my=40,61; nx=10,89; ny=18,12 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “x”! 
𝑀𝑥 =
q.lx²
mx
 , 𝑀𝑥 =
6,5 . 3,75²
24,40
= 3,74 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑥 =
−q.lx²
nx
, 𝑋𝑥 =
−6,5 . 3,75²
10,89
= −8,39 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
Cálculos da reação de apoio em “x” 
𝑃𝑥 = 𝐾𝑥 . 𝑞 , 𝑃𝑥 = 0,735 . 6,5 = 4,78 𝑘𝑁/𝑚, 
Sendo Px: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
𝑃𝑦 = 𝑞 − 𝑃𝑥, 𝑃𝑦 = 6,5 − 4,78 = 1,72 𝑘𝑁/𝑚, 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
L
A B
L
A
B
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
44 
 
Sendo Py: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
 
DESLOCAMENTO (FLECHAS) NAS LAJES 
Tipo Deslocamento (Flecha) 
 
𝑅𝐴 =
𝑝 . 𝑙𝑥
2
 𝑀𝑥 =
𝑝 . 𝑙𝑥²
8
 𝑓 =
5 . 𝑃 . 𝑙4
384 . 𝐸 . 𝐼
 
 
𝑅𝐵 =
𝑝 . 𝑙𝑥
2
 
𝑋𝑥 = 0 
 
𝑅𝐴 =
3. 𝑝. 𝑙𝑥
8
 𝑀𝑥 =
𝑝 . 𝑙𝑥²
14,22
 𝑓 =
2 . 𝑃 . 𝑙4
384 . 𝐸 . 𝐼
 
 
𝑅𝐵 =
5. 𝑝. 𝑙𝑥
8
 𝑋𝑥 =
𝑝 . 𝑙𝑥²
8
 
 
𝑅𝐴 =
𝑝 . 𝑙𝑥
2
 𝑀𝑥 =
𝑝 . 𝑙𝑥²
24
 𝑓 =
 𝑃 . 𝑙4
384 . 𝐸 . 𝐼
 
 
𝑅𝐵 =
𝑝 . 𝑙𝑥
2
 𝑋𝑥 =
𝑝 . 𝑙𝑥²
12
 
 
 
 
𝑅𝑎𝑥 =
3 .Px .lx 
8
, 𝑅𝑎𝑥 =
3 . 4,78 . 3,75 
8
= 6,72 𝑘𝑁/𝑚, 
 
𝑅𝑒𝑥 =
5 .Px .lx 
8
, 𝑅𝑒𝑥 =
5 . 4,78 . 3,75 
8
= 11,20 𝑘𝑁/𝑚, 
 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “y”! 
𝑀𝑦 =
q.lx²
my
 , 𝑀𝑦 =
6,5 . 3,75²
40,61
= 2,25 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑦 =
−q.lx²
ny
, 𝑋𝑦 =
−6,5 . 3,75²
18,12
= −5,04 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
 
 
 
L
A B
L
A B
L
A B
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
45 
 
Cálculos da reação de apoio em “Y” 
 
𝑅𝑎𝑦 =
3 .Py .ly 
8
, 𝑅𝑎𝑦 =
3 . 1,72 . 4,85 
8
= 3,13 𝑘𝑁/𝑚, 
 
𝑅𝑒𝑦 =
5 .Py .ly 
8
, 𝑅𝑒𝑦 =
5 . 1,72 . 4,85 
8
= 5,21 𝑘𝑁/𝑚, 
 
 
Lajes: 205=208=214=217 
Carga: 5 kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ʎ=ly/lx - ʎ=5,55/3,00= 1,85 (Laje armada em duas direções!) 
Laje com três bordas engastadas, tabela 5 (Marcus) 
Valores dos coeficientes para (1,85): 
Kx=0,96; mx=27,09; my=109,63; nx=12,50; ny=57,67 
 
 
 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 m
2
B
A
N
H
O
VARANDA
Área = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
B
A
N
H
O
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 m
2
B
A
N
H
O
B
A
N
H
O
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
46 
 
 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “x”! 
𝑀𝑥 =
q.lx²
mx
 , 𝑀𝑥 =
5 . 3,0²
27,09
= 1,66 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑥 =
−q.lx²
nx
, 𝑋𝑥 =
−5 . 3,0²
12,50
= −3,60 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
Cálculos da reação de apoio em “x” 
𝑃𝑥 = 𝐾𝑥 . 𝑞 , 𝑃𝑥 = 0,96 . 5 = 4,8 𝑘𝑁/𝑚, 
Sendo Px: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
 
 
𝑃𝑦 = 𝑞 − 𝑃𝑥, 𝑃𝑦 = 5 − 4,8 = 0,2 𝑘𝑁/𝑚, 
Sendo Py: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
 
𝑅𝑒𝑥 =
Px . lx 
2
, 𝑅𝑒𝑥 =
4,8 . 3,0 
2
= 7,2 𝑘𝑁/𝑚, 
 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “y”! 
𝑀𝑦 =
q.lx²
my
 , 𝑀𝑦 =
5 . 3,0²
109,63
= 0,41 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑦 =
−q.lx²
nx
, 𝑋𝑦 =
−5 . 3,0²
57,67
= −0,78 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
 
Cálculos da reação de apoio em “y” 
 
𝑅𝑎𝑦 =
3 .Py .ly 
8
, 𝑅𝑎𝑦 =
3 . 0,20 . 5,55 
8
= 0,693 𝑘𝑁/𝑚, 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
47 
 
𝑅𝑒𝑦 =
5 .Py .ly 
8
, 𝑅𝑒𝑦 =
5 . 0,20 . 5,55 
8
= 0,416 𝑘𝑁/𝑚, 
 
Lajes: 206=207=215=216 
Carga: 6,9 kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ʎ=ly/lx - ʎ=5,55/2,22= 2,5 (Laje armada em uma direção!) 
Obs.: Como o valor é superior a (2) faremos a resolução por estática simples! 
𝑀𝑥 =
q.lx²
14,22
 , 𝑀𝑥 =
6,9 . 2,22²
14,22
= 2,39 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑥 =
q.lx²
8
, , 𝑋𝑥 =
6,9 . 2,22²
8
= 4,25 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 , 
𝑅𝑒𝑥 =
5.q.lx
8
, 𝑅𝑥 =
5 .6.9 .2,22
8
= 9.57 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑎𝑥 =
3.q.lx
8
, 𝑅𝑥 =
3 .6.9 .2,22
8
= 5.74 𝑘𝑁/𝑚 
𝑅𝑎𝑥 = 03 . 𝑞 𝑅𝑥 = 0.3 . 6.9 = 2.07 𝑘𝑁/𝑚 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
r
e
a=
 
2
.
9
8
 
m
2
B
A
N
H
O
VARANDA
Área = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
B
A
N
H
O
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 
m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 
m
2
B
A
N
H
O
B
A
N
H
O
Á
r
e
a
 
=
 
2
.
9
8
 
m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
48 
 
Laje: 209=211=213=218 
Carga: 4,5 kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ʎ=ly/lx - ʎ=3,92/2,84= 1,38 (Laje armada em duas direções!) 
Laje com três bordas engastadas, tabela 5 (Marcus) 
Valores dos coeficientes para (1,38): 
Kx=0,879; mx=31,02; my=69,10; nx=13,65; ny=34,67 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “x”! 
𝑀𝑥 =
q.lx²
mx
 , 𝑀𝑥 =
4,5 . 2,84²
31,02
= 1,17 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑥 =
−q.lx²
nx
, 𝑋𝑥 =
−4,5 . 2,84²
13,65
= −2,65 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
Cálculos da reação de apoio em “x” 
𝑃𝑥 = 𝐾𝑥 . 𝑞 , 𝑃𝑥 = 0,879 . 4,5 = 3,95 𝑘𝑁/𝑚, 
Sendo Px: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
 
 
𝑃𝑦 = 𝑞 − 𝑃𝑥, 𝑃𝑦 = 4,5 − 3,95 = 0,55 𝑘𝑁/𝑚, 
Sendo Py: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
BA
N
H
O
BA
N
H
O
Á
re
a
 =
 2
.9
8 
m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
49 
 
 
𝑅𝑒𝑥 =
Px . lx 
2
, 𝑅𝑒𝑥 =
3,95 . 2,84 
2
= 5,61 𝑘𝑁/𝑚, 
 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “y”! 
𝑀𝑦 =
q.lx²
my
 , 𝑀𝑦 =
4,5 . 2,84²
69,10
= 0,52 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑦 =
−q.lx²
ny
, 𝑋𝑦 =
−4,5 . 2,84²
34,67
= −1,05 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
 
Cálculos da reação de apoio em “y” 
 
𝑅𝑎𝑦 =
3 .Py .ly 
8
, 𝑅𝑎𝑦 =
3 . 0,55 . 3,92 
8
= 0,81 𝑘𝑁/𝑚, 
 
𝑅𝑒𝑦 =
5 .Py .ly 
8
, 𝑅𝑒𝑦 =
5 . 0,55 . 3,92 
8
= 1,35 𝑘𝑁/𝑚, 
 
 
 
Laje 210 
Carga: 6 kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
ʎ=ly/lx - ʎ=1,35/1,07= 1,26 (Laje armada em duas direções!) 
P3
J2
J1
J1
P2
P1
P1
P2
J1
P3
J2
J1
PLANTA BAIXA - PAV. TIPO 
J5
J3
P1
P1
J2
P1
P1
P2
P3
J3
P1
P1
J4 J4
P4P1
J3
J2
J3
P3
P1
P1
P2
P1
J1
J1
J1
J1
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO Á
re
a 
= 
2.9
8 m
2
BA
NH
O VARANDAÁrea = 2.68 m2
ESTAR
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
Área = 16.85 m2
JANTARDORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
sobe
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
JANTAR
ESTAR
Área = 16.85 m2
COZINHA
A.S.
Área = 8.51 m2
BA
NH
O
Ár
ea
 =
 2.
98
 m
2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
DORMITÓRIO
Área = 10.40 m2
Área = 10.12 m2
DORMITÓRIO
DORMITÓRIO
Área = 10.12 m2
Ár
ea
 =
 2.
98
 m
2
BA
NH
O
BA
NH
O
Ár
ea
 =
 2.
98
 m
2
ESTAR
JANTAR
Área = 16.85 m2
ESTAR
Área = 16.85 m2
JANTAR
Área = 8.51 m2
COZINHA
A.S.
A.S.
Área = 8.51 m2
COZINHA
HALL
Área = 11.74 m2
SHAFT
Área = 2.68 m2
VARANDA
Área = 2.68 m2
VARANDA
VARANDA
Área = 2.68 m2
P1
P1
J5
P1P1
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
50 
 
Laje com duas bordas engastadas, tabela 3 (Marcus) 
Valores dos coeficientes para (1,26): 
Kx=0,716; mx=25,18; my=39,98; nx=11,17; ny=17,74 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “x”! 
𝑀𝑥 =
q.lx²
mx
 , 𝑀𝑥 =
6 . 1,07²
25,58
= 0,27 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑥 =
−q.lx²
nx
, 𝑋𝑥 =
−6 . 1,07²
11,17
= −0,61 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
Cálculos da reação de apoio em “x” 
𝑃𝑥 = 𝐾𝑥 . 𝑞 , 𝑃𝑥 = 0,716 . 6 = 4,3 𝑘𝑁/𝑚, 
Sendo Px: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
 
 
𝑃𝑦 = 𝑞 − 𝑃𝑥, 𝑃𝑦 = 6 − 4,3 = 1,7 𝑘𝑁/𝑚, 
Sendo Py: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
 
𝑅𝑎𝑥 =
3 .Px .lx 
8
, 𝑅𝑎𝑥 =
3 . 4,3 . 1,07 
8
= 1,72 𝑘𝑁/𝑚, 
 
𝑅𝑒𝑥 =
5 .Px .lx 
8
, 𝑅𝑒𝑥 =
5 . 4,3 . 1,07 
8
= 2,87 𝑘𝑁/𝑚, 
 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “y”! 
𝑀𝑦 =
q.lx²
my
 , 𝑀𝑦 =
6 . 1,07²
39,98
= 0,17 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑦 =
−q.lx²
nx
, 𝑋𝑦 =
−6 . 1,07²
17,74
= −0,39 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
51 
 
Cálculos da reação de apoio em “y” 
 
𝑅𝑎𝑦 =
3 .Py .ly 
8
, 𝑅𝑎𝑦 =
3 . 1,7 . 1,07 
8
= 0,86 𝑘𝑁/𝑚, 
 
𝑅𝑒𝑦 =
5 .Py .ly 
8
, 𝑅𝑒𝑦 =
5 . 1,7 . 1,07 
8
= 1,43 𝑘𝑁/𝑚, 
 
 
Laje 212 
Carga: 6kN/m² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ʎ=ly/lx - ʎ=2,38/3,29= 0,72 (Laje armada em duas direções!) 
Laje com duas bordas paralelas engastadas, tabela 4 (Marcus) 
Valores dos coeficientes para (0,72): 
Kx=0,573; mx=60,42; my=44,34; nx=20,93 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “x”! 
𝑀𝑥 =
q.lx²
mx
 , 𝑀𝑥 =
6 . 3,29²
60,42
= 1,07 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
𝑋𝑥 =
−q.lx²
nx
, 𝑋𝑥 =
−6 . 3,29²
20,93
= −3,102 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
Esp.: 8cm
Carga: 5 Kn/m²
NUMERAÇÕES DAS LAJES E ESPESSURAS
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
52 
 
Cálculos da reação de apoioem “x” 
𝑃𝑥 = 𝐾𝑥 . 𝑞 , 𝑃𝑥 = 0,573 . 6 = 3,44 𝑘𝑁/𝑚, 
Sendo Px: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
 
 
𝑃𝑦 = 𝑞 − 𝑃𝑥, 𝑃𝑦 = 6 − 3,44 = 2,56 𝑘𝑁/𝑚, 
Sendo Py: Parcela equivalente da carga total considerando a solidariedade entre as duas 
armaduras do painel. 
 
𝑅𝑒𝑥 =
Px . lx 
2
, 𝑅𝑒𝑥 =
3,44 . 3,29 
2
= 5,66 𝑘𝑁/𝑚, 
 
 
Cálculos de momentos fletores positivos e negativos no eixo “y”! 
𝑀𝑦 =
q.lx²
my
 , 𝑀𝑦 =
6 . 3,29²
44,34
= 1,46 𝑘𝑁.𝑚/𝑚 
 
 
Cálculos da reação de apoio em “y” 
 
𝑅𝑎𝑦 =
Py .ly 
2
, 𝑅𝑎𝑦 =
2,56 . 2,38 
2
= 3,05 𝑘𝑁/𝑚, 
 
 
 
14.1- Planta de reações nas lajes 
 
 
 
 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M
y
=
0
M
x
=
0
,7
 k
N
.m y
x
x
y
M
x
=
3
,7
4
 k
N
.m
M
y
=
2
,2
5
 k
N
.m
X
y
=
-
5
,0
4
 k
N
.m
0
R
e
y
=
5
,2
1
 k
N
R
a
y
=
3
,1
3
 k
N
0 R
a
x
=
6
,7
2
 k
N
.m
X
x
=
-
8
,3
9
 k
N
.m
R
e
x
=
1
1
,2
0
 k
N
x
y
M
y
=
0
,4
1
 k
N
.m
M
x
=
1
,6
6
 k
N
.m
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
y
=
-
0
,7
8
 k
N
.m
R
e
y
=
0
,7
 k
N
0 R
a
y
=
0
,4
2
 k
N
x
y
M
x
=
2
,3
9
 k
N
.m
M
y
=
0
0 R
e
y
=
2
,0
7
 k
N
0 R
e
y
=
2
,0
7
 k
N
X
x
=
-
4
,2
5
 k
N
.m
R
e
x
=
9
,5
7
 k
N
0 R
a
x
=
5
,7
4
 k
N
y
x
M
y
=
0
,5
2
 k
N
.m
M
x
=
1
,1
7
 k
N
.m
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
y
=
-
1
,0
5
 k
N
.m
R
e
y
=
1
,3
5
 k
N
0 R
a
y
=
0
,8
1
 k
N
X
x
=
-
2
,6
5
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
1
 k
N
X
x
=
-
2
,6
5
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
1
 k
N
M
y
=
0
M
x
=
0
,7
 k
N
.m
y
x
x
y
M
x
=
3
,7
4
 k
N
.m
M
y
=
2
,2
5
 k
N
.m
X
y
=
-
5
,0
4
 k
N
.m
0
R
e
y
=
5
,2
1
 k
N
R
a
y
=
3
,1
3
 k
N
0
R
a
x
=
6
,7
2
 k
N
.m
X
x
=
-
8
,3
9
 k
N
.m
R
e
x
=
1
1
,2
0
 k
N
x
y
M
y
=
0
,4
1
 k
N
.m
M
x
=
1
,6
6
 k
N
.m
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
y
=
-
0
,7
8
 k
N
.m
R
e
y
=
0
,7
 k
N0
R
a
y
=
0
,4
2
 k
N
x
y
M
x
=
2
,3
9
 k
N
.m
M
y
=
0 0
R
e
y
=
2
,0
7
 k
N0
R
e
y
=
2
,0
7
 k
N
X
x
=
-
4
,2
5
 k
N
.m
R
e
x
=
9
,5
7
 k
N
0
R
a
x
=
5
,7
4
 k
N
y
x
M
y
=
0
,5
2
 k
N
.m
M
x
=
1
,1
7
 k
N
.m
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
y
=
-
1
,0
5
 k
N
.m
R
e
y
=
1
,3
5
 k
N
0
R
a
y
=
0
,8
1
 k
N
X
x
=
-
2
,6
5
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
1
 k
N
X
x
=
-
2
,6
5
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
1
 k
N
M
y
=
0
M
x
=
0
,7
 k
N
.my
x
x
y
M
x
=
3
,7
4
 k
N
.m
M
y
=
2
,2
5
 k
N
.m
X
y
=
-
5
,0
4
 k
N
.m
0
R
e
y
=
5
,2
1
 k
N
R
a
y
=
3
,1
3
 k
N
0R
a
x
=
6
,7
2
 k
N
.m
X
x
=
-
8
,3
9
 k
N
.m
R
e
x
=
1
1
,2
0
 k
N
x
y
M
y
=
0
,4
1
 k
N
.m
M
x
=
1
,6
6
 k
N
.m
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
y
=
-
0
,7
8
 k
N
.m
R
e
y
=
0
,7
 k
N
0R
a
y
=
0
,4
2
 k
N
x
y
M
x
=
2
,3
9
 k
N
.m
M
y
=
0
0R
e
y
=
2
,0
7
 k
N
0R
e
y
=
2
,0
7
 k
N
X
x
=
-
4
,2
5
 k
N
.m
R
e
x
=
9
,5
7
 k
N
0R
a
x
=
5
,7
4
 k
N
y
x
M
y
=
0
,5
2
 k
N
.m
M
x
=
1
,1
7
 k
N
.m
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
y
=
-
1
,0
5
 k
N
.m
R
e
y
=
1
,3
5
 k
N
0R
a
y
=
0
,8
1
 k
N
X
x
=
-
2
,6
5
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
1
 k
N
X
x
=
-
2
,6
5
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
1
 k
N
M
y
=
0
M
x
=
0
,7
 k
N
.m
y
x
x
y
M
x
=
3
,7
4
 k
N
.m
M
y
=
2
,2
5
 k
N
.m
X
y
=
-
5
,0
4
 k
N
.m
0
R
e
y
=
5
,2
1
 k
N
R
a
y
=
3
,1
3
 k
N
0
R
a
x
=
6
,7
2
 k
N
.m
X
x
=
-
8
,3
9
 k
N
.m
R
e
x
=
1
1
,2
0
 k
N
x
y
M
y
=
0
,4
1
 k
N
.m
M
x
=
1
,6
6
 k
N
.m
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
y
=
-
0
,7
8
 k
N
.m
R
e
y
=
0
,7
 k
N 0
R
a
y
=
0
,4
2
 k
N
x
y
M
x
=
2
,3
9
 k
N
.m
M
y
=
00
R
e
y
=
2
,0
7
 k
N 0
R
e
y
=
2
,0
7
 k
N
X
x
=
-
4
,2
5
 k
N
.m
R
e
x
=
9
,5
7
 k
N
0
R
a
x
=
5
,7
4
 k
N
y
x
M
y
=
0
,5
2
 k
N
.m
M
x
=
1
,1
7
 k
N
.m
X
x
=
-
3
,6
 k
N
.m
R
e
x
=
7
,2
 k
N
X
y
=
-
1
,0
5
 k
N
.m
R
e
y
=
1
,3
5
 k
N
0
R
a
y
=
0
,8
1
 k
N
X
x
=
-
2
,6
5
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
1
 k
N
X
x
=
-
2
,6
5
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
1
 k
N
x
y
y
x
X
y
=
-
0
,
3
9
 k
N
.m
R
e
y
=
1
,
4
3
 k
N
M
x
=
0
,2
7
M
y
=
0
,1
7
X
x
=
-
0
,
6
1
 k
N
.m
R
e
x
=
2
,
8
7
 k
N
0 R
a
x
=
1
,
7
2
 k
N
0 R
a
y
=
0
,
8
6
 k
N
M
y
=
1
,4
6
 k
N
.m
M
x
=
1
,0
7
 k
N
.m
0R
a
y
=
3
,0
5
 k
N
X
x
=
-
3
,1
0
2
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
6
 k
N
X
x
=
-
3
,1
0
2
 k
N
.m
R
e
x
=
5
,6
6
 k
N
0R
a
y
=
3
,0
5
 k
N
R
E
A
Ç
Õ
E
S
 E
 M
O
M
E
N
T
O
S
 N
A
S
 L
A
J
E
S
R
a
x
=
2
,6
3
 k
N
.m
R
a
x
=
2
,6
3
 k
N
.m
R
a
x
=
2
,6
3
 k
N
.m
R
a
x
=
2
,6
3
 k
N
.m
R
a
x
=
2
,6
3
 k
N
.m
R
a
x
=
2
,6
3
 kN
.m
R
a
x
=
2
,6
3
 k
N
.m
R
a
x
=
2
,6
3
 k
N
.m
R
a
y
=
1
,5
 k
N
.m
R
a
y
=
1
,5
 k
N
.m
R
a
y
=
1
,5
 k
N
.m
R
a
y
=
1
,5
 k
N
.m
R
a
y
=
1
,5
 k
N
.m
R
a
y
=
1
,5
 k
N
.m
R
a
y
=
1
,5
 k
N
.m
R
a
y
=
1
,5
 k
N
.m
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
54 
 
15- Equilíbrio de momentos (Método simplificado de forma empírica) 
15.1- Momento negativo 
O momento negativo comum entre as lajes adjacentes deve ser tomado como sendo o maior 
valor entre a média dos dois valores ou 80% do maior momento. 
15.2- Momento positivo 
Na direção do momento negativo considerado, somente o lado do momento negativo maior 
entre as duas lajes adjacentes deverá ter seu momento equilibrado, mantendo-se o outro 
momento positivo com o mesmo valor encontrado para o painel de laje isolado. Ou seja, o 
momento positivo só poderá ser modificado para um valor superior ao original, nunca para 
um inferior! 
 
 
Xy12 será o maior valor entre: 
(xy1 + xy2)/2 
80% do maior valor entre xy1 e xy2 
 
 
 
 
 
Xy1
Xy2
Xy12
Mx1
M
y1
Mx1
M
y1
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55 
 
15.3- Equilíbrio das lajes 203/205/206 
Diagrama de momentos não equilibrados 
Momentos negativos (-5,04 e -3,6) 
Média: 
|5,04+3,6|
2
= 4,32 𝑘𝑁.𝑚 * 
80% do maior: (5,04 𝑥 0,8) = 4,032 𝑘𝑁.𝑚 
 
Momentos negativos (-3,6 e -4,25) 
Média: 
|3,6+4,25|
2
= 3,92 𝑘𝑁.𝑚 * 
80% do maior: (4,25 𝑥 0,8) = 3,40 𝑘𝑁.𝑚 
 
Momento positivo (2,25) 
2,25 +
|5,04−4,32|
2
= 2,61 𝑘𝑁.𝑚 * 
Momento positivo (2,39) 
2,39 +
|4,25−3,925|
2
= 2,55 𝑘𝑁.𝑚 * 
 
Diagrama com momentos equilibrados 
 
 
 
-5,04 -3,6 -3,6 -4,25
2,391,662,25
00
-4,32 -3,925
2,551,662,61
00
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56 
 
15.4- Equilíbrio das lajes 209/205/206 
Diagrama de momentos não equilibrados 
Momentos negativos (-5,04 e -3,6) 
Média: 
|1,05+3,6|
2
= 2,325 𝑘𝑁.𝑚 
80% do maior: (3,8 𝑥 0,8) = 2,88 𝑘𝑁.𝑚* 
 
Momentos negativos (-3,6 e -4,25) 
Média: 
|3,6+4,25|
2
= 3,92 𝑘𝑁.𝑚 * 
80% do maior: (4,25 𝑥 0,8) = 3,40 𝑘𝑁.𝑚 
 
Momento positivo (0,52) 
0,52 𝑘𝑁/𝑚 * 
Momento positivo (1,66) 
1,66 +
|3,6−2,88|
2
= 2,02 𝑘𝑁.𝑚 * 
 
Momento positivo (2,39) 
2,39 +
|4,25−3,925|
2
= 2,55 𝑘𝑁.𝑚 * 
Diagrama com momentos equilibrados 
 
-3,6 -4,25-3,6-1,05
0
2,39
-3,60,52
1,66
-3,925-2,88
0
2,55
-3,60,52
2,02
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57 
 
15.5- Equilíbrio das lajes 219/213/209/203 
Diagrama de momentos não equilibrados 
 
Momentos negativos (-8,39 e -2,65) 
Média: 
|8,39+2,65|
2
= 5,52 𝑘𝑁.𝑚 
80% do maior: (8,39 𝑥 0,8) = 6,71 𝑘𝑁.𝑚 ∗ 
 
Momentos negativos (-2,65) 
2,65 𝑘𝑁.𝑚 * 
 
Momento positivo (3,74) 
3,74 +
|8,39−6,71|
2
= 4,58 𝑘𝑁.𝑚 * 
 
Diagrama com momentos equilibrados 
 
 
 
 
 
 
-8,39
-2,65 -2,65 -2,65 -2,65
-8,39
3,743,74
00 1,17 1,17
-2,65
-6,71
4,58
00
-6,71
4,58
1,17 1,17
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58 
 
15.6- Equilíbrio das lajes 221/214/205/201 
Diagrama de momentos não equilibrados (não necessita equilíbrio) 
 
 
 
 
 
 
15.7- Taxas mínimas de armadura (𝝆𝒎𝒊𝒏) segundo a NBR 6118 
𝜌𝑠 =
𝐴𝑠
𝑏𝑤 𝑥 ℎ
 𝑒 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 ℎ 
 
 
Armadura secundária 
{
20% 𝐴𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
0,9 𝑐𝑚2/𝑚
0,5 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛
 
 
 
 
 
Forma da 
seção 
Valores de ρmin (As,min/Ac) % 
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
Retangular 
0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h=0,8 e γc=1,4 e γs=1,15. Caso esses 
fatores sejam diferentes, ρmin deve ser reticulado 
0,70 1,66
-0,78
1,66 0,70
00
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59 
 
16- Dimensionamento das armaduras 
Para o dimensionamento das armaduras utilizaremos a tabela do tipo K. 
Domínio
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-25 CA-50 CA-60
0,02 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,019
0,04 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,047 0,023 0,019
0,06 17,6 14,1 11,7 10 8,8 7,8 7 0,047 0,024 0,019
0,08 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,020
0,1 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,020
0,12 9 7,2 6 5,1 4,5 4 3,6 0,048 0,024 0,020
0,14 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,020
0,16 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,020
0,18 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,05 0,025 0,021
0,2 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,05 0,025 0,021
0,22 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,051 0,025 0,021
0,4 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,051 0,025 0,021
0,259 4,4 3,6 3 2,5 2,2 2 1,8 0,051 0,026 0,021
0,28 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,026 0,022
0,3 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,026 0,022
0,32 3,7 3 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,053 0,026 0,022
0,34 3,5 2,8 2,3 2 1,8 1,6 1,4 0,053 0,027 0,022
0,36 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,027 0,022
0,38 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,027 0,023
0,4 3,1 2,5 2 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,028 0,023
0,42 2,9 2,4 2 1,7 1,5 1,3 1,2 0,055 0,028 0,023
0,44 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,023
0,46 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,023
0,48 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,057 0,028 0,024
0,5 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1 0,058 0,029 0,024
0,52 2,5 2 1,7 1,4 1,2 1,1 1 0,058 0,029 0,024
0,54 2,4 2 1,6 1,4 1,2 1,1 1 0,059 0,029 0,024
0,56 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1 0,059 0,030 0,025
0,585 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1 0,9 0,06 0,030 0,025
0,6 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1 0,9 0,061 0,030
0,628 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1 0,9 0,062 0,031
0,64 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1 0,9 0,062
0,66 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063
0,68 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063
0,7 2 1,6 1,4 1,2 1 0,9 0,8 0,064
0,72 2 1,6 1,3 1,2 1 0,9 0,8 0,065
0,74 2 1,6 1,3 1,1 1 0,9 0,8 0,065
0,76 2 1,6 1,3 1,1 1 0,9 0,8 0,066
0,772 1,9 1,5 1,3 1,1 1 0,9 0,8 0,067
3
4
Valores de Kc e Ks para os aços CA-25, CA-50 e CA-60 (para concretos do Grupo I de
resistência – fck ≤ 50 MPa, γc = 1,4, γs = 1,15)
TABELA DO TIPO K
Dimensionamento de seções retangulares submetidas a flexão simples armadura simples
βx=x/d
2
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 . 𝑑²
𝑀𝑠𝑑
 𝑐𝑚2/𝑘𝑁 𝐾𝑠 =
𝐴𝑠 .𝑑
𝑀𝑠𝑑
 𝑐𝑚2/𝑘𝑁 
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60 
 
16.1- Roteiro de cálculo lajes 203/205/206 
-5,04 -3,6 -3,6 -4,25
2,391,662,25
00
-4,32 -3,925
2,551,662,61
00
LAJES 203/205/206
Ks = 100 x 8²
1,4 x 261
=17,51 Ks = 0,023
As = 0,023 x 1,4 x 261
8
 = 1,05 cm²
Verificação As min > 0,15% da seção
 1,05 cm² / (10x100)= 0,00105 < 0,0015
Não ok! usar (0,0015 x (10 x 100)) = 1,50 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,50
0,20
 = 7,55 100
7,55
 =13,2 cm
M: 2,61 / Espes.: 10cm / Conc: 30 Mpa
Ks = 100 x 7²
1,4 x 432
=8,10 Ks = 0,024
Verificação As min > 0,15% da seção
2,07 cm² / (09x100)= 0,0023 > 0,0015
ok! usar 2,07 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 2,07
0,315
 = 6,57 100
6,57
 =15,2 cm
M: -4,32 / Espes.: 09cm / Conc: 30 Mpa
Ks = 100x 7²
1,4 x 166
=21,08 Ks = 0,023
Verificação As min > 0,15% da seção
 0,77 cm² / (09x100)= 0,0009 < 0,0015
Não ok! usar (0,0015 x (09 x 100)) = 1,35 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,35
0,20
 = 6,75 100
6,75
 =15 cm
M: 1,66 / Espes.: 09cm / Conc: 30 Mpa
Ks = 100 x 6²
1,4 x 255
=10,1 Ks = 0,024
Verificação As min > 0,15% da seção
 1,42 cm² / (8x100)= 0,0017 > 0,0015
ok! usar 1,42 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,42
0,20
 = 7,1 100
7,1
 =14 cm
M: 2,55 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
Ks = 100 x 6²
1,4 x 393
=6,55 Ks = 0,024
Verificação As min > 0,15% da seção
 2,2 cm² / (08x100)= 0,0028 > 0,0015
ok! usar 2,2 cm²
Espaçamento dos estribos
M: 3,925 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,024 x 1,4 x 432
7
 = 2,07 cm²
As = 0,023 x 1,4 x 166
7
 = 0,77 cm²
As = 0,024 x 1,4 x 255
6
 = 1,42 cm²
As = 0,024 x 1,4 x 393
6
 = 2,2 cm²
478 300 222
121 75 75 56
 Ø6,3 c/ 15 cm
comp: 200 cm
 Ø6,3 c/ 14 cm
comp: 135 cm
 Ø5 c/ 13 cm
comp: 4,78 cm
 Ø5 c/ 15 cm
comp: 300 cm
 Ø5 c/ 14 cm
comp: 222 cm
L203 espes: 10 cm L205 espes: 09 cm L206 espes: 08 cm
n = 2,2
0,315
 = 7 100
7
 =14 cm
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61 
 
16.2- Roteiro de cálculo lajes 209/205/206 
-3,6 -4,25-3,6-1,05
0
2,39
-3,60,52
1,66
-3,925-2,88
0
2,55
-3,60,52
2,02
Ks = 100 x 6²
1,4 x 52
=49,45 Ks = 0,023
As = 0,023 x 1,4 x 52
6
 = 0,28 cm²
Verificação As min > 0,15% da seção
 0,28 cm² / (08x100)= 0,0003 < 0,0015
Não ok! usar (0,0015 x (08 x 100)) = 1,2 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,20
0,20
 = 6 100
6
 =16 cm
M: 52 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
Ks = 100 x 6²
1,4 x 288
=8,9 Ks = 0,024
Verificação As min > 0,15% da seção
 1,32 cm² / (9x100)= 0,0014 < 0,0015
Espaçamento dos estribos
M: 2,88 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,023 x 1,4 x 288
7
 = 1,61 cm²
Não ok! usar (0,0015 x (09 x 100)) = 1,35 cm²
n = 1,61
0,20
 = 8,06 100
8,06
 =12 cm
Ks = 100 x 7²
1,4 x 202
=17,32 Ks = 0,023
Verificação As min > 0,15% da seção
 0,93 cm² / (9x100)= 0,0010 < 0,0015
Espaçamento dos estribos
M: 2,02 / Espes.: 09cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,023 x 1,4 x 202
7
 = 0,93 cm²
Não ok! usar (0,0015 x (09 x 100)) = 1,35 cm²
n = 1,35
0,20
 = 6,75 100
6,75
 =15 cm
Ks = 100 x 6²
1,4 x 393
=6,55 Ks = 0,024
Verificação As min > 0,15% da seção
 2,2 cm² / (08x100)= 0,0028 > 0,0015
ok! usar 2,2 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 2,2
0,315
 = 7 100
7
 =14 cm
M: 3,925 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,024 x 1,4 x 393
6
 = 2,2 cm²
Ks = 100 x 6²
1,4 x 255
=10,1 Ks = 0,024
Verificação As min > 0,15% da seção
 1,42 cm² / (8x100)= 0,0017 > 0,0015
ok! usar 1,42 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,42
0,20
 = 7,1 100
7,1
 =14 cm
M: 2,55 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,024 x 1,4 x 255
6
 = 1,42 cm²
L209 espes: 8 cm L205 espes: 9 cm L206 espes: 8 cm
 Ø5 c/ 12 cm
comp: 177 cm
 Ø5 c/ 14 cm
comp: 135 cm
 Ø5 c/ 16 cm
comp: 390 cm
 Ø5 c/ 15 cm
comp: 300 cm
 Ø5 c/ 14 cm
comp: 222 cm
390 300 222
100 75 75 56
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62 
 
16.3- Roteiro de cálculo Lajes 219/213/209/203 
 
 
 
-2,65
-6,71
4,58
00
-6,71
4,58
1,17 1,17
Ks = 100 x 8²
1,4 x 458
=9,98 Ks = 0,024
Verificação As min > 0,15% da seção
1,92 cm² / (10x100)= 0,0019 > 0,0015
ok! usar 1,92 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,92
0,315
 = 6,1 100
6,1
 =16 cm
M: -4,58 / Espes.: 09cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,024 x 1,4 x 458
8
 = 1,92 cm²
L219 espes: 10 cm L213 espes: 8 cm L209 espes: 8 cm L203 espes: 10 cm
Ks = 100 x 6²
1,4 x 671
=8,10 Ks = 0,025
Verificação As min > 0,15% da seção
3,91 cm² / (08x100)= 0,0048 > 0,0015
ok! usar 3,91 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 3,91
0,315
 = 12,41 100
12,41
= 8 cm
M: -6,71 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,025 x 1,4 x 671
6
 = 3,91 cm²
Ks = 100 x 6²
1,4 x 117
=21,9 Ks = 0,023
Verificação As min > 0,15% da seção
0,63 cm² / (8x100)= 0,0008 < 0,0015
Espaçamento dos estribos
M: 1,17 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,023 x 1,4 x 117
6
 = 0,63 cm²
Não ok! usar (0,0015 x (08 x 100)) = 1,20 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,20
0,20
 = 6 100
6
 =16 cm
Ks = 100 x 6²
1,4 x 265
=9,70 Ks = 0,024
Verificação As min > 0,15% da seção
1,48 cm² / (8x100)= 0,0018 < 0,0015
Espaçamento dos estribos
M: -2,65 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,024 x 1,4 x 265
6
 = 1,48 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,48
0,20
 = 7,4 100
7,4
 =13 cm
ok! usar 1,48 cm²
 Ø6,3 c/ 8 cm
comp: 190 cm
 Ø5 c/ 13 cm
comp: 146 cm
 Ø6,3 c/ 8 cm
comp: 190 cm
 Ø6,3 c/ 16 cm
comp: 375cm
 Ø5 c/ 16 cm
comp: 484 cm
375 284 284 375
115 71 71 71 71 115
 Ø5 c/ 16 cm
comp: 484 cm
 Ø6,3 c/ 16 cm
comp: 375cm
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63 
 
16.4- Roteiro de cálculo Lajes 221/214/205/203 
 
 
 
 
0,70 0.41
-0,78
0.41 0,70
00
Ks = 100 x 6²
1,4 x 70
=36,7 Ks = 0,023
As = 0,023 x 1,4 x 70
6
 = 0,37 cm²
Verificação As min > 0,15% da seção
 0,37 cm² / (08x100)= 0,0005 < 0,0015
Não ok! usar (0,0015 x (08 x 100)) = 1,2 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,20
0,20
 = 6 100
6
 =16 cm
M: 70 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
Ks = 100 x 7²
1,4 x 41
=85,4 Ks = 0,023
Verificação As min > 0,15% da seção
 0,77 cm² / (09x100)= 0,0009 < 0,0015
Não ok! usar (0,0015 x (09 x 100)) = 1,35 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,35
0,20
 = 6,75 100
6,75
 =15 cm
M: 1,66 / Espes.: 09cm / Conc: 30 Mpa
As = 0,023 x 1,4 x 41
7
 = 0,19 cm²
Ks = 100 x 6²
1,4 x 78
=32,7 Ks = 0,023
As = 0,023 x 1,4 x 78
6
 = 0,41 cm²
Verificação As min > 0,15% da seção
 0,37 cm² / (08x100)= 0,0005 < 0,0015
Não ok! usar (0,0015 x (08 x 100)) = 1,2 cm²
Espaçamento dos estribos
n = 1,20
0,20
 = 6 100
6
 =16 cm
M: 78 / Espes.: 08cm / Conc: 30 Mpa
 Ø5 c/ 15 cm
comp: 670 cm
 Ø5 c/ 15 cm
comp: 670 cm
 Ø5 c/ 16 cm
comp: 284 cm
140 140
105 555 555 105
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64 
 
17- Verificações do estado limite de serviço (ELS) 
No estado limite de serviço, faremos as verificações de: 
-Deslocamento vertical – Também conhecido como flecha, essa verificação é necessária para 
o atendimento da NBR 6118-14 que estabelece limites a esse deslocamento para que não haja 
um desconforto visual ou até mesmo problemas na estrutura em sí. 
• Para deslocamentos visíveis em elementos estruturais limite: 2 x f ≤ 
𝒍
𝟐𝟓𝟎
 ≤ 2,5 cm 
-Vibrações – Nesses casos recomenda-se a utilização somente dos valores devido às cargas 
acidentais “q”. 
Como efeito da deformação lenta (Fluência), podemos tomar das mesmas prerrogativas 
anteriores, ou seja, podemos dobrar os valores dos deslocamentos calculados de maneira que: 
• Vibrações sentidas no piso: 2 x f ≤ 
𝒍
𝟑𝟓𝟎
 
 
-Efeito em elementos não estruturais - Os deslocamentos das lajes também devem ser 
limitados a fim de se evitar danos nos elementos não estruturais de uma obra, tais como as 
alvenarias, divisórias, etc. Assim, quando houver a existência de paredes construídas sobre as 
lajes, os deslocamentos deverão ter limites específicos e serão calculados para a atuação da 
carga permanente [g] proveniente do peso próprio [gp] e do peso das paredes [ga], pois nas 
construções em geral, as paredes são executadasantes de se executarem os revestimentos. 
Nesses casos pode-se desprezar no cálculo dos deslocamentos a deformação lenta ou fluência, 
em vista de que as cargas ocorrerão quase que de forma imediata à construção, enquanto que 
os efeitos da fluência atuam ao longo do tempo. Assim temos: 
 
• Elementos não estruturais: f ≤ 
𝒍
𝟓𝟎𝟎
 
-Abertura de fissura – A importância dessa verificação tem relação direta com as armaduras, 
pois quando há um número excessivo de fissuras, ou fissuras com uma abertura muito grande, 
isso pode prejudicar a vida útil da edificação por conta da oxidação das armaduras que serão 
atacadas por meio dessas aberturas. 
De acordo com o estabelecido pela NBR 6118, “a fissuração de elementos estruturais de 
concreto armado é inevitável, devido à grande variabilidade e à baixa resistência do concreto 
à tração” (...) Visando obter bom desempenho relacionado à proteção das armaduras quanto 
à corrosão e à aceitabilidade sensorial dos usuários, busca-se controlar a abertura dessas 
fissuras. 
Tendo em vista um dos principais objetivos da NBR 6118, conforme já vimos, é o de 
proporcionar uma durabilidade considerável às estruturas de concreto, a abertura máxima 
característica wk das fissuras, não deverá exceder o valor de 
0,3 mm (para Classe de Agressividade Ambiental II e III), sob a ação das condições frequentes. 
 
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65 
 
As ações frequentes mais desfavoráveis nos levam à condição de adotarmos para o momento 
fletor positivo (equilibrado): Mx = Mx[g] + 0,7 Mx[q], sendo que essa verificação poderá ser 
efetuada para cada laje. O índice x não se refere ao eixo utilizado para cálculo dos esforços 
nas lajes e sim uma indicação genérica. 
 
O valor característico da abertura de fissuras, wk, deve ser o menor entre os obtidos pelas 
expressões a seguir: 
𝑊𝑘 =
∅
12,5 𝜂1
 𝑥 
𝜎𝑠
𝐸𝑠
 𝑥 
3𝜎𝑠
𝑓𝑐𝑡𝑚
 ≤ 0,3𝑚𝑚 
 
𝑊𝑘 =
∅
12,5 𝜂1
 𝑥 
𝜎𝑠
𝐸𝑠
 𝑥 (
4
𝜌𝑟
+ 45) ≤ 0,3𝑚𝑚 
Onde: 
 
𝜂1 é o coeficiente de conformidade superficial da armadura (1,0 para barras lisas, 1,4 para 
barras entalhadas e 2,25 para barras nervuradas) 
 
𝜌𝑟 =
𝐴𝑠
0,25 . 𝑏 . ℎ
 
 
𝜎𝑠 =
𝑀𝑥𝑘
 (𝑑−𝑥3) . 𝐴𝑠 
 e 𝑥 = 
𝐴𝑠 . 𝛼𝑒
𝑏
 −1+ √ 2
𝛼𝑒 . 𝜌𝑑
 , onde 𝜌𝑑 = 𝐴𝑠
𝑏 . 𝑑
 
 
Obs.: Mxk = (100% [g] + 70% [q]), g (carga permanente), q (carga acdental) 
 
𝛼𝑒 =
𝐸𝑠
𝐸𝑐
 { Es= 21000 kN/cm² e Ec=Eci= 560 𝑥 √𝑓𝑐𝑘 (
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
) 
 
 
 
-Verificação a cortante – Nesta verificação analisamos qual o comportamento do painel de 
laje em relação aos esforços cortantes, verificando se a seção do elemento estrutural 
juntamente com as armaduras de tração conseguem resistir sem que haja a necessidade de 
uma armadura complementar, para isso: 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑟𝑑1 
Onde: 
𝑉𝑠𝑑 = 𝛾𝑓. 𝑉𝑠𝑘 , 𝑉𝑠𝑘 = 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (𝑟𝑒𝑎çã𝑜) 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑙 
 
𝑉𝑟𝑑1 = 𝜏𝑅𝑑 𝑘(1,2 + 40𝜌1) + 0,15 𝜎𝑐𝑝 𝑏𝑤𝑑 
Com, 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25𝑓𝑐𝑡𝑑 , onde 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓/𝛾𝑐, 
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66 
 
𝑓𝑐𝑡𝑘, 𝑖𝑛𝑓 = 0,7𝑓𝑐𝑡𝑚 , 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘2/3 
𝜌1 =
𝐴𝑠1
𝑏𝑤𝑑
, 𝑛ã𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 |0,02| 
 
𝜎𝑐𝑝 =
𝑁𝑠𝑑
𝐴𝑐
 (= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜) 
Onde ainda: 
K é um coeficiente que tem os seguintes valores: 
- Para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: K=|1| 
-Para os demais casos: K=|1,6-d|, não menor que |1|, com d em metros 
 
17.1- Deslocamento vertical 
Para o desenvolvimento do deslocamento vertical, que a partir de agora chamaremos de 
flecha, é realizada considerando que o concreto armado se comporta como um elemento 
elástico, esses resultados apesar de seguirem um modelo irreal, seus resultados são 
satisfatórios para os métodos manuais, para que tenhamos valores mais preciso precisaríamos 
de auxilio de ferramentas computacionais com a utilização do método dos elementos finitos, 
por exemplo, o que não é o caso deste curso! 
Equação da flecha para elementos lineares de seção retangular de concreto armado 
DESLOCAMENTO (FLECHAS) NAS LAJES 
Tipo Deslocamento (Flecha) 
 
𝑓 =
5 . 𝑃 . 𝑙4
384 . 𝐸 . 𝐼
 
 
 
𝑓 =
2 . 𝑃 . 𝑙4
384 . 𝐸 . 𝐼
 
 
 
𝑓 =
 𝑃 . 𝑙4
384 . 𝐸 . 𝐼
 
 
 
Sendo P a parcela da carga na faixa unitária de “X” multiplicada por Kx (Tabela de Marcus) 
caso a laje seja armada em duas direções, do contrário parcela da carga pura. 
𝐸 = 𝐸𝑐𝑠 ; 𝐸𝑐𝑠 = 0,85 . 𝐸𝑐𝑖; 𝐸𝑐𝑖 = 560.√𝑓𝑐𝑘 * Obs: fck neste projeto (30Mpa) 
 
L
A B
L
A B
L
A B
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67 
 
 
17.1.1- Deslocamento vertical da laje 201 
𝑓201 =
5 .0,05 .1054
384 .(0,85 .3067) .(
100 . 83
12
)
= 0,007 𝑐𝑚 
Limite da flecha: 2 x f < L/250 
2 x 0,007 = 0,014 cm < 105/250 = 0,42 cm Portanto, Ok! 
 
17.1.2- Deslocamento vertical da laje 203 
𝑓203 =
2 .0,064 .0,735 .3754
384 .(0,85 .3067) .(
100 . 103
12
)
= 0,23 𝑐𝑚 
Limite da flecha: 2 x f < L/250 
2 x 0,24 = 0,48 cm < 375/250 = 1,5 cm Portanto, Ok! 
 
17.1.3- Deslocamento vertical da laje 205 
𝑓205 =
0,05 .0,96 .3004
384 .(0,85 .3067) .(
100 . 93
12
)
= 0,064 𝑐𝑚 
Limite da flecha: 2 x f < L/250 
2 x 0,070 = 0,14 cm < 300/250 = 1,2 cm Portanto, Ok! 
 
17.1.4- Deslocamento vertical da laje 206 
𝑓206 =
2 . 0,069 . 2224
384 .(0,85 .3067) .(
100 . 83
12
)
= 0,078 𝑐𝑚 
Limite da flecha: 2 x f < L/250 
2 x 0,043 = 0,083 cm < 222/250 = 0,888 cm Portanto, Ok! 
 
17.1.5- Deslocamento vertical da laje 209 
𝑓209 =
0,045 .0,879 . 2844
384 .(0,85 .3067) .(
100 . 83
12
)
= 0,06 𝑐𝑚 
Limite da flecha: 2 x f < L/250 
2 x 0,23 = 0,46 cm < 392/250 = 1,56 cm Portanto, Ok! 
 
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68 
 
 
17.2- Abertura de fissuras: Laje 219 
As = ∅ 6,3 c/ 16 cm = 1,97 cm² 
 
𝜌𝑟 =
1,97
0,25 𝑥 100 𝑥 10
= 0,008 
 
𝜌𝑑 =
1,97
100 𝑥 6
= 0,002 
 
𝑥 = 
1,92 𝑥 21000
560 𝑥 √30
100
 −1+ √
2
21000
560 𝑥 √30
 .0,002
 =1,33 cm 
 
Mxk= (100% [g] + 70%[q]) 
 
Carga permanente= 5 kN 
Carga acidental= 1,5 kN – 0,7 x 1,5 = 1,05 
 
Mxk: 
6,5 ----------------------4,58 
6,05---------------------x 
X=4,26 kN.m/m ≈ 426 kN.cm/m 
 
 
𝜎𝑠 =
426
 (8−1,153 ) 𝑥 1,97 
= 28,6 𝑘𝑁
𝑐𝑚2
/𝑚 
 
 
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘2/3 , 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 𝑥 302/3 = 2,896 𝑀𝑝𝑎 𝑜𝑢 0,29 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
𝑊𝑘 =
0,63
12,5 𝑥 2,25
 𝑥 
28,4
21000
 𝑥 
3 𝑥 28,4
0,29
= 0,009 ≤ 0,3𝑚𝑚 𝑂𝑘! 
 
𝑊𝑘 =
0,63
12,5 2,25
 𝑥 
28,4
21000
 𝑥 (
4
0,008
+ 45) = 0,017 ≤ 0,3𝑚𝑚 𝑂𝑘! 
, 
 
 
 
 
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69 
 
 
17.3- Verificação da cortante: L219 
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘2/3 , 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 𝑥 302/3 = 2,896 𝑀𝑝𝑎 
 
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,7𝑓𝑐𝑡𝑚 , 𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,7 𝑥 2,896 = 2,02 𝑀𝑝𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑑 =
𝑓𝑡𝑐𝑘
1,4
 , 𝑓𝑐𝑡𝑑 =
2,02
1,4
 = 1,44 𝑀𝑝𝑎 𝑜𝑢 0,144 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜏𝑅𝑑 = 0,25 𝑥 0,144 = 0,036 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
K=|1,6 – 0,08|=1,52 
𝜌1 =
1,97
100 𝑥 8
= 0,0025 
 
 
𝑉𝑟𝑑1 = 0,036 𝑥 1,52 𝑥 (1,2 + 40 𝑥 0,0025) 100𝑥8 = 56,91 𝑘𝑁/𝑚 
𝑉𝑠𝑑 = 1,4 . 11,20 = 15,68 𝑘𝑁/𝑚 ∴ 𝑂𝑘! 
 
17.4- Armadura perimetral 
Asarmadura perimetrais, são armaduras construtivas encontradas de maneira indireta para o 
combate de fissuras entre a interface, laje/viga, para o dimensionamento dessas armadura devemos 
seguir os critérios abaixo! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com todas essas verificações, podemos encerrar as nossas análises em relação as lajes! 
 0.
15
 ou
 1 3 v
iga
Lx/5
h-
cn
om
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70 
 
18- Cargas dinâmicas 
 
Nas edificações verticais, sejam de grandes alturas ou não, estão sujeitas a diferentes tipos de 
cargas; cargas essas que devem ser analisadas caso a caso para uma maior precisão nos 
cálculos de dimensionamento. Uma das principais cargas nas edificações verticais são, as 
cargas dinâmicas, ou para ser mais objetivo cargas devido ao vento, tende ser analisadas com 
muito cuidado, pois temos de coletar inúmeros dados para que possamos iniciar as 
composições de cálculo, essas composições se devem exclusivamente devido as cargas de 
vento, pois como todos nós sabemos, o vento não age sempre de uma mesma forma, está em 
constante mudança de intensidade e direção! 
 
Para analisarmos a estrutura, devemos fazer o levantamento dos dados sobre as 
características da região onde será instalada a nossa edificação, informações como topografia, 
rugosidade, densidade de vegetações e edificações vizinhas, o tipo de uso da edificação e 
logicamente a velocidade do vento dessa região, para isso podemos contar com dados 
estatísticos já disponíveis para nós engenheiros nas NBRs, no gráfico abaixo, podemos 
observar a velocidade média do vento para diferentes regiões no território nacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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71 
 
19- Cargas devido ao vento 
Para o levantamento das cargas dinâmicas devemos nos atentar a três fatores característicos, 
que são: 
S1 – Fator Topográfico 
O fator topográfico considera as variações topográficas da região e as implicações que essas 
formações podem causar na edificação, por exemplo: formações montanhosas e/ou colinas 
causam um aumento na velocidade, ou seja, uma aceleração do vento, mudanças de 
comportamento que devem ser consideradas no dimensionamento dessas estruturas, desta 
forma podemos dividir essas diferentes formações topográficas em 3 casos que tem o seu 
devido peso numérico para considerarmos nos cálculos mais à frente! 
 
Tabela – Fator S1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso Topografia S1
a) Terreno Plano ou fracamente acidentado 1,0
b)
Taludes e morros: taludes e morros alongados, nos quais pode ser admitido um 
fluxo de ar bidimensional sorando no sentido indicado na figuras a abaixo No 
ponto A (morros) e nos pontos A e C (taludes) 1,0
c) Vales Profundos, protegidos de ventos de qualquer direção 0,9
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72 
 
S2 – Fator de Rugosidade 
Este fator leva em consideração os obstáculos da vizinhança, tais como: prédios, vegetações 
ou qualquer obstáculo com dimensão suficiente para mudar o fluxo do vento na região. 
Podemos dividir em cinco diferentes categorias, são elas: 
Categoria I – Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de extensão, medidas 
na direção e no sentido do vento. Exemplo: mar calmo; lagos e rios; pântanos sem vegetação. 
Categoria II – Terrenos abertos em nível ou aproximadamente em nível, com poucos 
obstáculos isolados, como árvores e edificações baixas. Exemplo: zonas costeiras planas; 
pântanos com vegetação rala; campos de aviação; pradarias; fazendas sebes ou muros 
Categoria III – terrenos planos ou ondulados com obstáculos com sebes e muros, poucos 
quebra-ventos de árvores, edificações baixas e esparsas. Exemplos: Granjas e casas de campo, 
com exceção das partes com vegetação; fazendas com sebes ou muros; subúrbios a 
considerável distância do centro, com baixas e esparsas. 
Categoria IV – Terrenos coberto de obstáculos numerosos e pouco espaçados, em zona 
florestal, industrial ou urbana. Exemplos: Zonas de parques e bosques com muitas árvores; 
cidades pequenas e seus arredores; subúrbios densamente construídos de grandes cidades; 
áreas industriais plena ou parcialmente desenvolvidas. 
A cota média dos obstáculos é considerada igual a 10 m. 
Categoria V – Terrenos cobertos por obstáculos numerosos, grandes e pouco espaçados. 
Exemplo: Florestas com árvores altas de copas isoladas; centros de grandes cidades; 
complexos industriais bem desenvolvidos. 
 
Dentro dessas categorias devemos relacionar as dimensões e características da nossa 
edificação, identificando e/ou classificando em três diferentes classes: 
Classe A – Todas as unidades de vedação, seus elementos de fixação e peças individuais da 
estrutura sem vedação. Toda edificação na qual a maior dimensão horizontal ou vertical não 
exceda 20 metros. 
Classe B – Toda edificação ou parte de edificação para qual a maior dimensão horizontal ou 
vertical esteja entre 20 e 50 metros. 
Classe C – Toda edificação ou parte de edificação para a qual a maior dimensão horizontal 
ou vertical que exceda 50 metros. 
 
 
 
 
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73 
 
Tabela 2.1 Fator S2 – relação entre rugosidade do terreno e caracteristicas da edfificação 
 
 
S3 – Fator estatístico 
Fator que prevê o grau de segurança requerido e a vida útil da edificação, tendo por base um 
período de 50 anos para a determinação de V0 e a probabilidade de 63% que a velocidade do 
vento exceda, ou seja, igual nesse período. 
Tabela 3 fator S3 – Fator estatístico 
Grupo Descrição S3 
1 
Edificação cuja ruina total ou parcial pode afetar a segurança ou 
possibilidade de socorro a pessoas após uma tempestade destrutiva 
(Hospitais; quarteis de bombeiros e de forças de segurança, centrais de 
comunicação) 1,1 
2 Edificações para hotéis e residências. Edificações para comercio e indústria 
com alto fator de ocupação. 1 
3 Edificações e instalações industriais com baixo fator de ocupação 
(depósitos, silos, construções rurais) 0,95 
4 
Edificações temporárias. Estruturas dos grupos 1 a 3 durante a construção. 0,88 
5 0,83 
 
 
 
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74 
 
20- Valor característico do vento para nossa edificação 
Dados e características da edificação 
Para a região de Sorocaba/SP, vamos utilizar a velocidade do vento em 45 m/s, seguindo o 
mapa do vento da pag. 70 
Fator topográfico S1: 
Vamos considerar: Terreno plano ou fracamente acidentado (S1 = 1,0) 
Fator de rugosidade S2: 
Categoria IV (Zona industrial e/ou urbana) 
Classe B (Edificação de 20 a 50 metros) (S2 = 0,88) 
Fator estatístico S3 
Grupo 2 (instalação residenciais) (S3 = 1) 
 
Cálculo da pressão dinâmica do vento 
Para o cálculo da pressão dinâmica podemos utilizar da seguinte expressão: 
𝑉𝐾 = 𝑉𝑜 𝑥 𝑆1 𝑥 𝑆2 𝑥 𝑆3 
Desta forma substituindo os valores de V0, S1, S2 e S3 temos: 
𝑉𝐾 = 45 𝑥 1,0 𝑥 0,88 𝑥 1,0 
𝑉𝑘 = 39,60 𝑚/𝑠 
Com a nova velocidade calculada podemos encontrar a pressão exercida na superfície da 
nossa edificação, utilizando da seguinte fórmula: 
 
𝑞 =
𝑉𝑘²
16
 ∴ 𝑞 = 39,60²16 = 98,01 𝑘𝑔𝑓/𝑚² 
 
Ou Conforme a norma NBR6123 
 
𝑞 = 0,613. 𝑉𝑘² ∴ 0,613 .39,60 ² = 980,1 𝑁/𝑚² 
980,1 𝑁/𝑚² = 98,01 𝑘𝑔𝑓/𝑚² 
 
 
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21- Coeficiente Gama Z 
O coeficiente de instabilidade Gama z, visa enxergar as deformações causadas devido aos 
carregamentos presentes na estrutura, junta interface de cargas estáticas e dinâmicas, de 
modo a categorizar essas deformações em duas instancias: 
21.1- Estruturas de nós Fixos: 
Quando a estruturas tem uma rigidez suficiente para absorver os esforços devido aos 
carregamentos verticais (Peso próprio e sobrecargas) e as cargas horizontais (vento), apesar 
da estrutura sofrer sim, uma deformação, ela é tão pequena que podemos simplesmente 
ignora-la e considerar nossa estrutura como indeformável, Coeficiente γz ≤ 1,1 
21.2- Estrutura de nós flexíveis: 
Quando a edificação não tem uma inercia suficiente para absorver os esforços, sem sofrer 
“grandes deslocamentos/deformações”, excedendo um certo limite estabelecido em norma 
γz > 1,1 ,quando esse efeito ocorre temos de considerar nossa estrutura como flexível, 
considerando assim os efeitos de 2° ordem globais, os efeitos de segunda ordem globais, nada 
mais são que uma consideração das cargas verticais em relação ao deslocamento que a 
estrutura sofrerá durante sua vida útil, as cargas verticais juntamente com o deslocamento 
causaram uma excentricidade que por sua vez gerará uma momento a mais nos elementos 
estruturais da nossa edificação, por isso a importância de uma boa concepção estrutural, 
considerando nossos elementos (pilares) de maior inércia posicionados de forma 
perpendicular aos eixos/faces mais desfavoráveis as cargas de vento! 
𝛾𝑧 =
1
1 −
𝛥𝑀𝑡𝑜𝑡, 𝑑
𝑀1𝑡𝑜𝑡, 𝑑
 
Onde: 
M1,tot,d: Soma dos momentos de todas as forças horizontais, da combinação considerada, 
com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura (momento de tombamento). 
 ΔMtot,d: Soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, na 
combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de 
seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem com todas as 
componentes de força horizontal de cálculo agindo. 
Obs: Nós neste trabalho faremos a combinação de todas as cargas (100%) do vento 
característico mais as cargas horizontais, que vamos considerar como 10 kN/m² por 
conveniência devido ao fato de não termos as informações exatas de peso próprio dos pilares 
e vigas. Tendo essas informações em mente, podemos prosseguir com os cálculos do 
coeficiente gama z. 
Para a facilitação do nosso trabalho utilizaremos o software Ftool para encontrar o 
deslocamento relativos aos pórticos no núcleo resistente do nosso edifício, dessa forma 
otimizaremos o nosso tempo. 
 
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76 
 
22- Cálculos das cargas atuantes nos pórticos planos 
 
Pórticos a (0° graus): 
Fv – 
Á𝒓𝒆𝒂 𝒙 𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 
𝒏° 𝒑𝒊𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔
 → 
𝟏𝟐𝟖,𝟐𝟖 .𝟏𝟎 
𝟖
= 𝟏𝟔𝟎, 𝟑𝟓 𝒌𝑵 
Fh- Á𝒓𝒆𝒂𝒗 𝒙 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒙 𝜸 → 𝟑𝟕, 𝟒𝟗 . 𝟎, 𝟗𝟖 . 𝟏, 𝟒 = 𝟓𝟏, 𝟒𝟑 𝒌𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cargas pórtico plano a 0° 
 
 
 
 
 
 
 
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77 
 
 
Deslocamento “a” devido as cargas do pórtico plano 
 
Instabilidade GAMA Z - Eixo 0° 
Andar Cota piso(m) Fh (kN) M1,tot,d Fv (kN) d(m) Δmtot,d 
5° 14,4 21 302,4 1282,8 0,014 17,9592 
4° 11,52 42 483,84 1282,8 0,0106 13,59768 
3° 8,64 42 362,88 1282,8 0,0074 9,49272 
2° 5,76 42 241,92 1282,8 0,0041 5,25948 
1° 2,88 42 120,96 1282,8 0,001 1,2828 
Terreo 0 0 0 0 0 0 
 1512 47,59188 
 
γz 1,03 
 
𝛾𝑧 =
1
1 −
47,59
1512
= 1,0325 < 1,1 ∴ 𝑛ó𝑠 𝑓𝑖𝑥𝑜𝑠 
 
 
 
a 
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Pórticos a (90° graus): 
Fv – 
Á𝒓𝒆𝒂 𝒙 𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 
𝒏° 𝒑𝒊𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔
 → 
𝟐𝟕𝟔,𝟓 . 𝟏𝟎 
𝟐𝟒
= 𝟏𝟏𝟓, 𝟑 𝒌𝑵 
Fh- Á𝒓𝒆𝒂𝒗 𝒙 𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒙 𝜸 → 𝟔𝟕, 𝟗𝟏 . 𝟎, 𝟗𝟖 . 𝟏, 𝟒 = 𝟗𝟑, 𝟏𝟕 𝒌𝑵 
 
Instabilidade GAMA Z - Eixo 90° 
Andar Cota piso(m) Fh (kN) M1,tot,d Fv(kN) d(m) Δmtot,d 
5° 14,4 38 547,2 1282,8 0,005 6,414 
4° 11,52 76,1 876,672 1282,8 0,0043 5,51604 
3° 8,64 76,1 657,504 1282,8 0,0033 4,23324 
2° 5,76 76,1 438,336 1282,8 0,002 2,5656 
1° 2,88 76,1 219,168 1282,8 0,0007 0,89796 
Terreo 0 0 0 0 0 0 
 2738,88 19,62684 
 
γz 1,01 
 
 
𝛾𝑧 =
1
1 −
19,63
2738,9
= 1,007 < 1,1 ∴ 𝑛ó𝑠 𝑓𝑖𝑥𝑜𝑠 
 
 
Com essas analises, vimos que não será necessário considerar os efeitos de 2ª ordem globais 
na nossa edificação, pois em ambas as direções considerando as cargas máximas do vento 
majoradas em 1,4 ainda assim ficamos abaixo de γz 1,1, por conta das nossas decisões quanto 
a bom posicionamento dos pilares! 
Apesar disso temos de analisar os efeitos de 2ª ordem locais, porem deixemos isso para o 
tema pilares! 
 
 
 
 
 
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79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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80 
 
23- Vigas de concreto armado 
Para iniciarmos nossos estudos em relação as vigas temos que observar algumas 
características importantes em relação ao desenvolvimento de todos os passos para um bom 
dimensionamento desses elementos! 
Cargas – As cargas que atuam nesses elementos são provenientes, em geral, de: 
• Peso próprio (pp) 
𝑝𝑝 = 𝛾𝐶𝐴 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 ℎ 
Sendo: 
𝛾𝐶𝐴 : peso específico do concreto armado (apróx.: 25 kN/m³) 
bw: largura da seção da viga 
h: altura da seção da viga 
 
• Cargas das lajes (Rlaje) 
 
Carga linearmente distribuída na viga proveniente das reações de apoio das lajes 
anteriormente calculadas 
 
• Alvenarias (Alv) 
 
Carga linear distribuída uniformemente 
𝑎𝑙𝑣 = 𝑔𝑎𝑙𝑣 𝑥 ℎ 
Sendo: 
galv.: Carga da alvenaria por metro quadrado (Tabelado) 
h: altura da alvenaria 
 
• Apoios indiretos: vigas que se apoiam em vigas e pilares, que nascem em vigas. 
 
Cargas pontuais provenientes das reações de apoio de vigas que se apoiam em vigas 
ou pilares, que nascem em vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
NUMERAÇÕES DAS LAJES
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81 
 
23.1- Esquema estático 
O cálculo dos esforços solicitantes do elemento é indispensável, para o desenvolvimento 
podemos utilizar de métodos mais tradicionais como o método de Cross por exemplo, para 
calcular reações, esforços cortantes e momentos, que se mostra bem preciso nos resultados 
ao mesmo tempo fácil de desenvolver! 
Para este trabalho, todas as vigas que serão estudadas, terão seus resultados de esforços 
solicitantes derivados desse método! 
23.2- Definição das seções da viga (Retangular ou T) 
A definição das vigas deve partir primariamente da arquitetura, que poderá limitar sua largura 
e altura devido sua configuração, cabe a nós adaptar essas seções de forma a absorver todos 
os esforços nela presentes, contudo podemos utilizar de algumas técnicas para o 
enrijecimento dessas seções através da definição de seções com mesa colaborante ou 
também conhecida, seção “T” 
 
𝑏𝑓 = 𝑏1 + 𝑏𝑤 + 𝑏1𝑑 
 
𝑏1 ≤ 0,10 𝑥 𝑎 
𝑏1 ≤ 0,5 𝑥 𝑏2, o menor entre as duas condicionais 
 
 
L201 L202
L221 L222
L203 L204
L220L219
L213
L209 L211
L218
L214
L205 L208
L217L215
L206 L207
L216
L212
L210
NUMERAÇÕES DAS LAJES
b1e b1d
bf
b2e b2d
L
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82 
 
Sendo: 
a= Distância entre pontos de momento nulo, pois a mesa colaborante só nos é interessante 
para vigas que sofrem compressão na face superior e tração na face inferior, sendo dispensada 
para trechos de momento negativo por exemplo, o valor de “a” pode ser estimado conforme 
a seguir: 
• Vigas simplesmente apoiada: a= 1,0 x L 
• Tramo com momento em uma só extremidade: a=0,75 x L 
• Tramo com momento em duas extremidade: a=0,60 x L 
• Tramo em balanço: a= 2,0 x L 
b2=Distância entre a face da viga da seção considerada e a face da viga paralela no lado 
considerado de b1. 
Obs: Necessário verificar caso a caso no desenho de forma do pavimento! 
 
 
24- Dimensionamento das armadura de flexão (positivas e negativas) 
Com essas considerações podemos partir para as teorias em relação ao dimensionamento 
desses elementos, tendo como primeiro passo o dimensionamento das armadura de flexão. 
Para o cálculo da área de aço utilizaremos novamente a tabela do tipo K, para um ganho 
significativo de produtividade uma vez que nos devolve como resultado, valores precisos! 
 
 
 
 
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83 
 
24.1- O processo e roteiro de cálculo: 
1) Calcula-se o valor de Kc pela expressão: 
 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 𝑥 𝑑²
𝑀𝑑
 , sendo “d”= Altura útil da seção e Md= Mk x γf 
 
2) Com o auxílio da tabela do tipo K (pág: xx), obtemos o valor de Ks (A partir do concreto 
e do aço utilizados) 
 
3) Determina-se então a área de aço necessária para resistir a esses esforços! 
 𝐾𝑐 =
𝐴𝑠 𝑥 𝑑
𝑀𝑑
 , 𝐴𝑠 =
𝐾𝑠 𝑥 𝑀𝑑
𝑑
 
Para seção com mesa colaborante calcula-se o valor de Kc utilizando bw=bf. Com o auxílio da 
tabela tipo K, obtemos o valor de 𝛽𝑥 para o cálculo de x (profundidade da linha neutra). 
Verificando as condições da linha neutra temos: 
• Se 𝑥 < ℎ𝑓: seção T – 1° Caso (Prossegue-se com o dimensionamento como seção T 
com auxilio da tabela tipo K) 
• Se Se 𝑥 > ℎ𝑓: Seção T – 2° caso, neste caso o dimensionamento deve ser feito 
conforme a considerações a seguir: 
Calcula-se: 
Mdf: Momento equilibrado na zona de compressão pelas áreas laterais da mesa, como largura 
bf-bw: 
𝑀𝑑𝑓 = 0,85 𝑥 𝑓𝑐𝑑 𝑥 ℎ𝑓 𝑥 (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤)𝑥 (𝑑 −
ℎ𝑓
2
) , 𝐴𝑠𝑓 =
𝑀𝑑𝑓
(𝑑 −
ℎ𝑓
2 ) 𝑥𝑓𝑦𝑑
 
𝑀𝑑𝑤 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑑𝑓 → 𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 𝑥 𝑑2
𝑀𝑑𝑤
 → 𝐾𝑠 → 𝐴𝑠𝑓 =
𝐾𝑠 𝑥 𝑀𝑑𝑤
𝑑
 
 
A armadura total longitudinal será : 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑓 + 𝐴𝑠𝑤 
Obs: Armadura de pele NBR 6118/2014 
“A mínima armadura lateral deve ser 0,10 % Ac,alma em cada face da alma da viga e composta 
por barras de CA-50 ou CA-60, com espaçamento não maior que 20 cm e devidamente 
ancorada nos apoios, respeitado o disposto em 17.3.3.2, não sendo necessária uma armadura 
superior a 5 cm2/m por face. 
Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização da armadura 
de pele. 
As armaduras principais de tração e de compressão não podem ser computadas no cálculo da 
armadura de pele.” 
 
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84 
 
24.2-Dimensionamento de armaduras duplas 
 
𝐴𝑠 =
𝐾𝑠 𝑥 𝑀1
𝑑
 
 
𝐴𝑠2 =
𝐾𝑠2 𝑥 𝑀2
𝑑 − 𝑑′
 
 
𝐴′𝑠 =
𝐾′𝑠 𝑥 𝑀2
𝑑 − 𝑑′
 
 
 
𝑀1 =
𝑏𝑤 𝑥 𝑑²
𝐾𝑐,𝑙𝑖𝑚
 𝑀2 = 𝑀𝑑 − 𝑀1 
 
Obs.: Para garantir boas condições de ductilidade (Conforme NBR 6118) devemos limitar a 
posição da linha neutra utilizando Kc,lim para ralação x/d=0,45 
Taxas mínimas de armadura (𝝆𝒎𝒊𝒏) segundo a NBR 6118 
𝜌𝑠 =
𝐴𝑠
𝑏𝑤 𝑥 ℎ
 𝑒 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 𝜌𝑚𝑖𝑛 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 ℎ 
 
 
 
 
 
 
Forma da 
seção 
Valores de ρmin (As,min/Ac) % 
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
Retangular 
0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h=0,8 e γc=1,4 e γs=1,15. Caso esses 
fatores sejam diferentes, ρmin deve ser reticulado 
h d
bw
d'
As As1 As2
A's
= +
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85 
 
24.3- Armadura de flexão em várias camadas 
Para garantir que todas as barras da armadura longitudinal sejam envolvidas pelo concreto, 
evitando-se falhas de concretagem, devem ser respeitados os espaçamentos indicados: 
Espaçamento horizontal: 
𝑒ℎ ≥ {
2𝑐𝑚
𝜙
1,2𝑑𝑚á𝑥
 
dmáx=Diâmetro máximo do agregado 
(19mm em geral) 
 
 
Espaçamento vertical: 
𝑒𝑣 ≥ {
2𝑐𝑚
𝜙
0,5𝑑𝑚á𝑥
 
 
 
24.3.1- Erros aceitáveis método do centroide 
Quando as armaduras forem colocadas em mais de uma camada, o dimensionamento não 
está rigorosamente correto. 
O erro cometido é aceitável? 
Se, 𝑦0 ≤ 0,10 h - pode-se considerar toda a 
armadura concentrada no centroide dn= d - yo 
Se, 𝑦0 ≥ 0,10 h - o erro cometido poderá ser 
grande e deve-se verificar a capacidade 
resistente da seção com a real disposição das 
barras 
 
 
 
 
 
0
 
 
 
 
 
 
 e
v
 eh
h
d d
n
centróide
LN
y
0
0
 
 
 
 
 
 
 e
v
 eh
h
d d
n
centróide
LN
y
0
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86 
 
25- Dimensionamento ao cisalhamento 
A ABNT NBR 6118 admite dois modelos de cálculo, que pressupõem analogia em treliça, de 
banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no 
interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente Vc: 
Modelo de cálculo 1 – Considera (item 17.4.2.2 da ABNT NBR 6118): 
-Bielas com inclinação de θ=45° 
-Vc constante, independente de Vsd (Vsd é a força cortante de cálculo na seção) 
Modelo de cálculo 2 – Considera (item 17.4.2.3 da ABNT NBR 6118): 
-Bielas com inclinação θ entre 30° e 45° 
-Vc diminui com o aumento de Vsd 
 
Em ambos os modelos devemos considerar as seguintes etapas de cálculo: 
a) Dimensionamento a compressão, verificação da biela de compressão: 
 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑟𝑑2 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 . 𝛼𝑣2 . 𝑓𝑐𝑑 . 𝑏𝑤. 𝑑 
𝛼 𝑣2 = (1 – 𝑓𝑐𝑘 / 250) 𝑓𝑐𝑘 𝑒𝑚 𝑀𝑃𝑎 
VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína da biela; no modelo I (item 
17.4.2.2 da NBR 6118, 2003): 
 
b) Dimensionamento a tração, cálculo da armadura transversal 
 
𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑟𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
Cálculo de Vc 
- Para o Modelo de Cálculo I, na flexão simples item 17.4.2.2.b da ABNT NBR 6118: 
 
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐0 
 
- Para o Modelo de Cálculo II, na flexão simples item 17.4.2.3.b da ABNT NBR 6118: 
𝑉𝑐 = 𝑉𝑐1 
Sendo: 
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87 
 
𝑉𝑐1 = 0 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑉𝑠𝑑 = 𝑉𝑅𝑑2 
𝑉𝑐1 = 𝑉𝑐0 , 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑐0 
Interpolar linearmente para valores de Vsd 
entre Vc0 e VRd2. 
25.1- Armadura mínima (cisalhamento) segundo NBR 6118: 
𝜌𝑠𝑤 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 𝑥 𝑠 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝛼
≥ 0,20 𝑥 
𝑓𝑐𝑡𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
 
Todavia, para simplificar o processo de dimensionamento, podemos calcular o valor de 
Vsd,min, que corresponde ao máximo valor de Vsd para Asw,min/S, e comparamoscom o Vsd, 
se Vsd > Vsd,min, calculamos Asw/S correspondente, se Vsd < Vsd,min Utilizamos Asw,min/s. 
Assim considerando o modelo 1, α=90° e aço CA50, temos: 
𝑉𝑠𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 0,0137 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 𝑑 𝑥 √𝑓𝑐𝑘2
3
, 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑐𝑘 𝑒𝑚 𝑀𝑝𝑎 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑆
,𝑚𝑖𝑛 = 
0,2 𝑥 𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
 𝑥 𝑏𝑤 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝛼 
 
25.2- Espaçamento longitudinal máximo: 
 
7 𝑐𝑚 ≤ 𝑆 ≤ {
𝑆𝑒 𝑉𝑑 ≤ 0,67𝑉𝑅𝑑2: 𝑆𝑚á𝑥 = 0,6 𝑥 𝑑 ≤ 30𝑐𝑚
𝑆𝑒 𝑉𝑑 > 0,67𝑉𝑅𝑑2: 𝑆𝑚á𝑥 = 0,3 𝑥 𝑑 ≤ 20𝑐𝑚
 
 
 
 
fck (Mpa) fctm (Mpa) fctk,inf (Mpa) fctd (Mpa) fctm (kN/m²) fctk,inf (kN/m²) fctd (kN/m²) fctm (kN/cm²) fctk,inf (kN/cm²) fctd (kN/cm²)
20 2,210 1,547 1,105 2210 1547 1105 0,221 0,155 0,111
25 2,565 1,795 1,282 2565 1795 1282 0,256 0,180 0,128
30 2,896 2,028 1,448 2896 2028 1448 0,290 0,203 0,145
35 3,210 2,247 1,605 3210 2247 1605 0,321 0,225 0,160
40 3,509 2,456 1,754 3509 2456 1754 0,351 0,246 0,175
45 3,795 2,657 1,898 3795 2657 1898 0,380 0,266 0,190
50 4,072 2,850 2,036 4072 2850 2036 0,407 0,285 0,204
55 4,339 3,037 2,169 4339 3037 2169 0,434 0,304 0,217
60 4,598 3,218 2,299 4598 3218 2299 0,460 0,322 0,230
70 5,095 3,567 2,548 5095 3567 2548 0,510 0,357 0,255
80 5,570 3,899 2,785 5570 3899 2785 0,557 0,390 0,278
90 6,025 4,217 3,012 6025 4217 3012 0,602 0,422 0,301
Tabela com valores de calculo (Vco)
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88 
 
 
 bw e b (em metros), VRd2 em kN 
 
 Tabela de cálculo armadura mínima Asw,min= ρsw,min x bw 
 
tabela de área dos estribos 
fck (Mpa) αv2 fcd (Mpa)
0,27xαv2xfcd 
(Kpa)
VRd2= 0,27 x αv2 x fcd x bw x d
20 0,92 14286 3549 VRd2= 3549 x bw x d
25 0,90 17857 4339 VRd2= 4339 x bw x d
30 0,88 21429 5091 VRd2= 5091 x bw x d
35 0,86 25000 5805 VRd2= 5805 x bw x d
40 0,84 28571 6480 VRd2= 6480 x bw x d
45 0,82 32143 7116 VRd2= 7116 x bw x d
50 0,80 35714 7714 VRd2= 7714 x bw x d
55 0,78 39286 8274 VRd2= 8274 x bw x d
60 0,76 42857 8794 VRd2= 8794 x bw x d
70 0,72 50000 9720 VRd2= 9720 x bw x d
80 0,68 57143 10491 VRd2= 1049 x bw x d
90 0,64 64286 11109 VRd2= 1111 x bw x d
Tabela de calculo VRd2
Espaçamento 
(s) cm
Φ5 mm Φ6,3 mm Φ8 mm Φ10 mm
Espaçamento 
(s) cm
Φ5 mm Φ6,3 mm Φ8 mm Φ10 mm
5 8,00 19 2,11 3,32 5,26 8,42
6 6,67 10,50 16,67 26,67 20 2,00 3,15 5,00 8,00
7 5,71 9,00 14,29 22,86 21 1,90 3,00 4,76 7,62
8 5,00 7,88 12,50 20,00 22 1,82 2,86 4,55 7,27
9 4,44 7,00 11,11 17,78 23 1,74 2,74 4,35 6,96
10 4,00 6,30 10,00 16,00 24 1,67 2,63 4,17 6,67
11 3,64 5,73 9,09 14,55 25 1,60 2,52 4,00 6,40
12 3,33 5,25 8,33 13,33 26 1,54 2,42 3,85 6,15
13 3,08 4,85 7,69 12,31 27 1,48 2,33 3,70 5,93
14 2,86 4,50 7,14 11,43 28 1,43 2,25 3,57 5,71
15 2,67 4,20 6,67 10,67 29 1,38 2,17 3,45 5,52
16 2,50 3,94 6,25 10,00 30 1,33 2,10 3,33 5,33
18 2,22 3,50 5,56 8,89
Valores de Asw/s para estribos de 2 ramos 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50
CA-25 0,1768 0,2052 0,2317 0,2568 0,2807 0,3036 0,3257
CA-50 0,0884 0,1026 0,1159 0,1284 0,1404 0,1580 0,1629
CA-60 0,0737 0,0855 0,0965 0,1070 0,1170 0,1265 0,1357
AÇO
CONCRETO
ρsw, mín
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26- Roteiro de cálculo das vigas 
26.1- Viga 201 
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90 
 
 
26.2- Viga 203 
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26.3- Viga 204 
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26.4- Viga 206 
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93 
 
 
26.5- Viga 207 
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26.6- Viga 208 
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26.7- Viga 210 
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26.8- Viga 213 
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97 
 
 
26.9- Viga 218 
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98 
 
 
26.10- Viga 219 
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26.11- Viga 220 
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100 
 
 
26.12- Viga 221 
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101 
 
 
26.13- Viga 222 
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102 
 
27- Comprimento de ancoragem e decalagem dos diagramas 
 
 
Durante o detalhamento das vigas devemos levar em consideração o comprimento de 
ancoragem das armaduras com a interface de concreto, de modo a garantir uma boa ligação 
entre os dois componentes. Para isso devemos analisar dois parâmetros em relação ao aço e 
o concreto, que são: Rugosidade da barra de aço e condição de aderência da região onde se 
encontra essa barra dentro da seção de concreto, em determinante a rugosidade podemos 
utilizar alguns índices que indicam a condição de rugosidade da barra, esses índices são: 
𝜂1: 𝑅𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜 
𝜂1 = 1,0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑠𝑎𝑠 
𝜂1 = 1,4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙ℎ𝑎𝑑𝑎𝑠 
𝜂1 = 2,25 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑟𝑣𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 
 
𝜂2: 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝜂2 = 1,0 𝐵𝑜𝑎 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝐹𝑎𝑐𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜) 
𝜂2 = 0,7 𝑀á 𝑎𝑑𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝐹𝑎𝑐𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜) 
 
𝑛3: 𝐵𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 
𝜂3 = 1,0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑡é 32𝑚𝑚 
𝜂3 =
132 − 𝜙
100
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 32𝑚𝑚 
 
27.1- Cálculo do comprimento de ancoragem 
𝑙𝑏 =
𝜙 . 𝑓𝑦𝑑
4 . 𝑓𝑏𝑑
 
Sendo: 
𝜙:𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑡𝑜𝑙𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑚 𝑐𝑚 
𝑓𝑦𝑑: 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑎ç𝑜 (43,5
𝑘𝑁
𝑐𝑚2
) 
𝑓𝑏𝑑: 𝑛1 𝑥 𝑛2 𝑥 𝑛3 𝑥 𝑓𝑐𝑡𝑑 
 
 
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103 
 
 
28- Detalhamento das armaduras 
28.1 – Detalhamento da armadura viga 201 
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104 
 
 
28.2 – Detalhamento da armadura viga 203 
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105 
 
29- Pilares de concreto armado 
Pilares são “Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças 
normais de compressão são preponderantes.” (NBR 6118/20141, item 14.4.1.2). 
Pilares-parede são “Elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente dispostos na vertical 
e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos por uma ou mais superfícies 
associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas superfícies a menor dimensão deve 
ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção transversal do elemento estrutural.” (item 
14.4.2.4). 
O dimensionamento dos pilares é feito em função dos esforços externos solicitantes de cálculo, que 
compreendem as forças normais (Nd), os momentos fletores (Mdx e Mdy) e as forças cortantes (Vdx 
e Vdy) no caso de ação horizontal. 
A NBR 6118, naversão de 2003, fez modificações em algumas das metodologias de cálculo das 
estruturas de Concreto Armado, como também em alguns parâmetros aplicados no dimensionamento 
e verificação das estruturas. Especial atenção é dada à questão da durabilidade das peças de concreto. 
Particularmente no caso dos pilares, a norma introduziu várias modificações, como no valor da 
excentricidade acidental, um maior cobrimento de concreto, uma nova metodologia para o cálculo da 
esbeltez limite relativa à consideração ou não dos momentos fletores de 2a ordem e, principalmente, 
com a consideração de um momento fletor mínimo, que pode substituir o momento fletor devido à 
excentricidade acidental. A versão de 2014 mantém essas prescrições, e introduziu que a verificação 
do momento fletor mínimo pode ser feita comparando uma envoltória resistente, que englobe a 
envoltória mínima com 2ª ordem. 
No item 17.2.5 (“Processo aproximado para o dimensionamento à flexão composta oblíqua”) a NBR 
6118 apresenta um método simplificado para o projeto de pilares sob flexão composta normal e 
oblíqua, que não será apresentado neste texto. 
Os três itens seguintes (2,3 e 4) foram inseridos no texto porque são muito importantes no projeto de 
estruturas de concreto, especialmente o cobrimento da armadura pelo concreto. 
 
30- Esforços nos pilares 
Solicitações normais, Os pilares podem estar submetidos a forças normais e momentos fletores, 
gerando os seguintes casos de solicitação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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106 
 
 
 
 
 
30.1- Compressão Simples 
A compressão simples também é chamada compressão centrada ou compressão uniforme. A 
aplicação da força normal Nd é no centro geométrico (CG) da seção transversal do pilar, cujas tensões 
na seção transversal são uniformes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura x.x - Solicitação de compressão simples ou uniforme. 
 
30.2- Flexão Composta 
Na flexão composta ocorre a atuação conjunta de força normal e momento fletor sobre o pilar. Há 
dois casos: 
- Flexão Composta Normal (ou Reta): existe a força normal e um momento fletor em uma direção, 
tal que Mdx = e1x . Nd (Figura “a”); 
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107 
 
- Flexão Composta Oblíqua: existe a força normal e dois momentos fletores, relativos às duas 
direções principais do pilar, tal que M1d,x = e1x . Nd e M1d,y = e1y . Nd (Figura “b”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) Normal b) Oblíqua 
30.3- Flambagem 
 
Flambagem pode ser definida como o “deslocamento lateral na direção de maior esbeltez, com força 
menor do que a de ruptura do material” ou como a “instabilidade de peças esbeltas comprimidas”. A 
ruína por efeito de flambagem é repentina e violenta, mesmo que não ocorram acréscimos bruscos 
nas ações aplicadas. 
Uma barra comprimida feita por alguns tipos de materiais pode resistir a cargas substancialmente 
superior à carga crítica (Ncrít), o que significa que a flambagem não corresponde a um estado-limite 
último. No entanto, para uma barra comprimida de Concreto Armado, a flambagem caracteriza um 
estado-limite último. 
30.3.1- Índice de esbeltez 
O índice de esbeltez é a razão entre o comprimento de flambagem e o raio de giração, nas direções a 
serem consideradas (NBR 6118, 15.8.2): 
𝜆 =
𝑙𝑒
𝑖
 
Com raio de giração (i): 𝑖 = √
𝐼
𝐴
 
Para seção retangular podemos simplificar para: 
𝜆 =
3,46 . 𝑙𝑒
ℎ
 
onde: 
 
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108 
 
𝑙𝑒 = comprimento de flambagem; 
𝑖 = raio de giração da seção geométrica da peça (seção transversal de concreto, não considerando a 
presença de armadura); 
𝐼 = momento de inércia; 
𝐴 = área da seção; 
ℎ = dimensão do pilar na direção considerada. 
O comprimento de flambagem de uma barra isolada depende das vinculações na base e no topo, 
conforme os esquemas mostrados na figura abaixo: 
Figura 30.1 – Comprimento de flambagem. 
 Em edifícios, a linha deformada dos pilares contraventados apresenta-se como ilustrada na Figura “a”. 
Uma simplificação pode ser feita como indicada a figura “b”. 
a) Situação real b) Situação simplificada 
 
“Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido 
isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali 
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109 
 
concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 
1a ordem.” (NBR 6118, 15.6). 
 
Assim, o comprimento equivalente (e), de flambagem, “do elemento comprimido (pilar), suposto 
vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: 
𝑙𝑒 ≤ {
𝑙𝑜 + ℎ
𝑙
 
 
com: 
𝑙𝑜 = distância entre as faces internas dos 
elementos estruturais, supostos horizontais, que 
vinculam o pilar (xxx); 
ℎ = altura da seção transversal do pilar, medida 
no plano da estrutura em estudo; 
𝑙 = distância entre os eixos dos elementos 
estruturais aos quais o pilar está vinculado.” 
 
 
Em função do índice de esbeltez, os pilares podem 
ser classificados como: 
 
a) Pilar curto se λ ≤ 35; 
b) Pilar médio se 35 < λ ≤ 90; 
c) Pilar medianamente esbelto se 90 < λ ≤ 140; 
d) Pilar esbelto se 140 < λ ≤ 200. 
Obs.: Os pilares curtos e médios representam a grande maioria dos pilares das edificações. Os pilares 
medianamente esbeltos e esbeltos são bem menos frequentes. 
 
31- NOÇÕES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS 
Os edifícios devem ser projetados de modo a apresentarem a necessária estabilidade às ações verticais 
e horizontais, ou seja, devem apresentar a chamada “estabilidade global”. Os pilares são os elementos 
destinados à estabilidade vertical, porém, é necessário projetar outros elementos mais rígidos que, 
além de também transmitirem as ações verticais, deverão garantir a estabilidade horizontal do edifício 
à ação do vento e de sismos (quando existirem). Ao mesmo tempo, são esses elementos mais rígidos 
que garantirão a indeslocabilidade dos nós dos pilares menos rígidos. 
Com essas premissas classificam-se os elementos verticais dos edifícios em elementos de 
contraventamento e elementos (pilares) contraventados. 
Define-se o sistema de contraventamento como “o conjunto de elementos que proporcionarão a 
estabilidade horizontal do edifício e a indeslocabilidade ou quase-indeslocabilidade dos pilares 
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110 
 
contraventados”, que são aqueles que não fazem parte do sistema de contraventamento. A NBR 6118 
(item 15.4.3) diz que, “Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, 
subestruturas que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços 
decorrentes dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento. Os 
elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são chamados elementos 
contraventados.” 
Os elementos de contraventamento são constituídos por pilares de grandes dimensões (pilares-parede 
ou simplesmente paredes estruturais), por treliças ou pórticos de grande rigidez, núcleos de rigidez,etc., como mostrados na Figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981). 
As lajes dos diversos pavimentos do edifício também podem participar da estabilidade horizontal, ao 
atuarem como elementos de rigidez infinita no próprio plano (o que se chama diafragma rígido), 
fazendo a ligação entre elementos de contraventamento formados por pórticos, por exemplo. 
Segundo SÜSSEKIND (1984, p. 175), “Toda estrutura, independentemente do número de andares e das 
dimensões em planta, deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente 
dimensionado.” 
 
31.1- Estruturas de Nós Fixos e Móveis 
No item 15.4.2 a NBR 6118 define o que são, para efeito de cálculo, estruturas de nós fixos e de nós 
móveis. A Figura 31.3 e a Figura 31.4 ilustram os tipos. 
a) Estruturas de nós fixos 
São aquelas “quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por decorrência, os efeitos 
globais de 2a ordem são desprezíveis (inferiores a 10 % dos respectivos esforços de 1a ordem), Nessas 
estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem.” 
No item 15.4.1 a NBR 6118 apresenta definições de efeitos globais, locais e localizados de 2a ordem: 
“Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os 
esforços de 2a ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2a ordem. Nas 
barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo 
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111 
 
aí efeitos locais de 2a ordem que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo 
delas. 
Em pilares-parede (simples ou compostos) pode-se ter uma região que apresenta não retilinidade 
maior do que a do eixo do pilar como um todo. Nessas regiões surgem efeitos de 2a ordem maiores, 
chamados de efeitos de 2a ordem localizados (ver Figura 15.3). O efeito de 2a ordem localizado, além 
de aumentar nessa região a flexão longitudinal, aumenta também a flexão transversal, havendo a 
necessidade de aumentar a armadura transversal nessas regiões.” (ver Figura 31.1). 
 
 
 
 
 
 
 
31.1 Efeitos de 2a ordem localizados (NBR 6118). 
 
 
 
 
 
31.2- Estruturas de nós móveis 
São “aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos 
globais de 2a ordem são importantes (superiores a 10 % dos respectivos esforços de 1a ordem). Nessas 
estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2a ordem globais como os locais e localizados.” 
As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós móveis, de acordo com as 
definições acima . 
Para verificar se a estrutura está sujeita ou não a esforços globais de 2a ordem, ou seja, se a estrutura 
pode ser considerada como de nós fixos, lança-se mão do cálculo do parâmetro de instabilidade α (NBR 
6118, item 15.5.2) ou do coeficiente γz (item 15.5.3). Esses coeficientes serão estudados na disciplina 
Estruturas de Concreto IV. 
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112 
 
Para mais informações sobre a estabilidade global dos edifícios devem ser consultados FUSCO (2000) 
e SÜSSEKIND (1984). 
 
31.2 Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981). 
 
 
31.3- Elementos Isolados 
A NBR 6118 (item 15.4.4) define que são “considerados elementos isolados os seguintes: 
a) elementos estruturais isostáticos; 
b) elementos contraventados; 
c) elementos que fazem parte de estruturas de contraventamento de nós fixos; 
d) elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis, desde que, aos esforços nas 
extremidades, obtidos em uma análise de 1a ordem, sejam acrescentados os determinados por análise 
global de 2a ordem.” 
31.3 -Estrutura deslocável 31.4 -Estrutura indeslocável 
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113 
 
Nesta apostila são apresentados somente os chamados elementos (pilares) contraventados. 
 
32- EXCENTRICIDADES 
Neste item são apresentadas outras excentricidades além da excentricidade de 2a ordem, que podem 
ocorrer no dimensionamento dos pilares: excentricidade de 1a ordem, excentricidade acidental e 
excentricidade devida à fluência. 
32.1- Excentricidade de 1a Ordem 
A excentricidade de 1a ordem (e1) é devida à possibilidade de ocorrência de momentos fletores 
externos solicitantes, que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar, ou devido ao ponto 
teórico de aplicação da força normal não estar localizado no centro de gravidade da seção 
transversal, ou seja, existência da excentricidade inicial a, como indicada na Figura 14. 
Considerando a força normal N e o momento fletor M (independente de N), a Figura 14 mostra os 
casos possíveis de excentricidade de 1a ordem. 
 
 
 
 
 
 
32.2- Excentricidade Acidental 
“No caso do dimensionamento ou verificação de um lance de pilar, dever ser considerado o efeito do 
desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar [...]. Admite-se que, nos casos usuais de 
estruturas reticuladas, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja 
suficiente.” (NBR 6118, 11.3.3.4.2). A imperfeição geométrica pode ser avaliada pelo ângulo θ1 : 
 
 
𝜃 =
1
100√𝐻
 
 
com: 
 H = altura do lance, em metro, conforme mostrado na Figura; 
𝜃 1mín = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais; 
𝜃 1max = 1/200 máx 
N suposta 
centrada e M= 0 
e1=0 
N suposta aplicada á 
distancia “a” do CG 
M= 0, e1=a 
N suposta 
centrada 
e1=
𝑀
𝑁
 
N suposta aplicada á 
distancia “a” do CG 
e1= a + 
𝑀
𝑁
 
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114 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A excentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ângulo θ1 : 
 
𝑒𝑎 = θ1
𝐻
2
 
 
32.3- Excentricidade de 2a Ordem 
“A análise global de 2a ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo ser 
realizada uma análise dos efeitos locais de 2a ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de 
acordo com o prescrito em 15.8. Os elementos isolados, para fins de verificação local, devem ser 
formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento 𝑙𝑒 , de acordo com o 
estabelecido em 15.6, porém aplicando-se às suas extremidades os esforços obtidos através da análise 
global de 2a ordem.” (NBR 6118, item 15.7.4). 
Conforme a NBR 6118 (15.8.2), “Os esforços locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser 
desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor-limite λ1 [...]. O valor de λ1 depende de 
diversos fatores, mas os preponderantes são: 
- a excentricidade relativa de 1a ordem e1 /h na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1a 
ordem de maior valor absoluto; 
- a vinculação dos extremos da coluna isolada; 
- a forma do diagrama de momentos de 1a ordem.” 
 
O valor-limite λ1 é: 
 
𝜆1 =
25 + 12,5
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 
 
a) Elementos de 
travamento 
b) Falta de retilinidade. c) Desaprumo do pilar 
(tracionado ou 
comprimido) no pilar 
 
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115 
 
com: 35 ≤ λ1 ≤ 90, 
onde: e1 = excentricidade de 1a ordem (não inclui a excentricidade acidental ea); 
e / h 1 = excentricidade relativa de 1a ordem. 
 
No item 15.8.1 da NBR 6118 encontra-se que o pilar deve ser do tipo isolado,e de seção e armadura 
constantes ao longo do eixo longitudinal, submetidos à flexo-compressão. “Os pilares devem ter índice 
de esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas no caso de elementos pouco comprimidos com força 
normal menor que 0,10fcd Ac , o índice de esbeltez pode ser maior que 200. Para pilares com índice 
 
de esbeltez superior a 140, na análise dos efeitos locais de 2a ordem, devem-se multiplicar os esforços 
solicitantes finais de cálculo por um coeficiente adicional γn1 = 1 + [0,01(λ – 140)/1,4].” O valor de 
αb deve ser obtido conforme estabelecido a seguir (NBR 6118, 15.8.2): 
 
“a) para pilares bi-apoiados sem cargas transversais: 
 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4
𝑀𝐵
𝑀𝐴
≥ 0,4 
 
sendo: 0,4 ≤ αb ≤ 1,0 
MA e MB são os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar, obtidos na análise de 1a ordem no 
caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais (1a ordem + 2a ordem global) no caso de 
estruturas de nós móveis. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar bi- 
apoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo, em caso 
contrário. 
 
b) para pilares bi-apoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura: 
αb =1 
 
c) para pilares em balanço: 
 
𝛼𝑏 = 0,8 + 0,2
𝑀𝐶
𝑀𝐵
≥ 0,85 
 
sendo: 0,85 ≤ αb ≤ 1,0, 
MA = momento de 1a ordem no engaste; 
MC = momento de 1a ordem no meio do pilar em balanço. 
 
 
 
 
d) para pilares bi-apoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo 
estabelecido em 11.3.3.4.3: 
 
αb =1 
 
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116 
 
O fator αb consta do ACI 318 (1995) com a notação Cm (item 10.12.3.1). Porém, ao contrário da NBR 
6118, que também considera a excentricidade relativa e1/h, tanto o ACI como o Eurocode 2 (1992) e o 
MC-90 (1990) do CEB, calculam a esbeltez limite em função da razão entre os momentos fletores ou 
entre as excentricidades nas extremidades do pilar. 
 
 
32.4- Excentricidade Devida à Fluência 
 
“A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de 
esbeltez ʎ > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional 
ecc dada a seguir:” (NBR 6118, 15.8.4) 
 
𝑒𝑐𝑐 = (
𝑀𝑔𝑠
𝑁𝑔𝑠
+ 𝑒𝑎) . (2,718
𝜑𝑁𝑔𝑠
𝑁𝑒−𝑁𝑔𝑠 − 1) 
 
𝑁𝑒 =
10 𝐸𝑐𝑖 𝐼𝑐
𝑙𝑒²
 
 
onde: 𝑒𝑎 = excentricidade devida a imperfeições locais; 
 
Msg e Nsg = esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente; 
ϕ = coeficiente de fluência; 
𝐸𝑐𝑖 = módulo de elasticidade tangente; 
𝐼𝑐 = momento de inércia; 
𝑙𝑒 = comprimento de flambagem. 
 
DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM 
De acordo com a NBR 6118 (15.8.3), o cálculo dos efeitos locais de 2a ordem pode ser feito pelo Método 
Geral ou por métodos aproximados. O Método Geral é obrigatório para elementos com λ > 140. 
A norma apresenta diferentes métodos aproximados, sendo eles: método do pilar-padrão com 
curvatura aproximada (item 15.8.3.3.2), método do pilar-padrão com rigidez k aproximada 
(15.8.3.3.3), método do pilar-padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r (15.8.3.3.4) e método do pilar-
padrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua (15.8.3.3.5). Serão 
agora apresentados os métodos do pilar-padrão com curvatura aproximada, que são simples de serem 
aplicados no dimensionamento. 
33- Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada 
Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.2), o método pode ser “empregado apenas no cálculo de pilares com 
λ ≤ 90, com seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não linearidade 
geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da barra seja senoidal. 
A não linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na seção 
crítica.” 
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117 
 
A equação senoidal para a linha elástica foi definida na Eq. 16, que define os valores para a deformação 
de 2a ordem (e2) ao longo da altura do pilar. A não linearidade física com a curvatura aproximada foi 
apresentada na Eq. 11 e na Eq. 19. 
O momento fletor total máximo no pilar deve ser calculado com a expressão: 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 𝑀𝑑1, 𝑎 + 𝑁𝑑
𝑙𝑒²
10
1
𝑟
≥ 𝑀1𝑑, 𝐴 
onde: 
αb = parâmetro definido no item 7.3; 
Nd = força normal solicitante de cálculo; 
le = comprimento de flambagem. 
1/r = curvatura na seção crítica, avaliada pela expressão aproximada (Eq. 19): 
 
1
𝑟
=
0,005
ℎ(𝑣 + 0,5)
≤
0,005
ℎ
 
 
Sendo: 
 
𝑣 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
 
 
Com: 
 
𝑀1𝑑, 𝐴 = valor de cálculo de 1a ordem do momento MA , como definido no item 7.3; 
𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 = momento fletor mínimo como definido a seguir; 
Ac = área da seção transversal do pilar; 
𝑓𝑐𝑑 = resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd = fck /γc); 
ℎ = dimensão da seção transversal na direção considerada. 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑(0,015 + 0,03ℎ) 
 
Sendo ℎ a altura total da seção transversal na direção considerada, em metro (m) 
 
 A NBR 6118 ainda informa que ao se considerar o momento fletor mínimo pode-se desconsiderar 
a excentricidade acidental ou o efeito das imperfeições locais, e que ao momento mínimo devem ser 
acrescidos os momentos de 2a ordem. 
 A rigor, o momento fletor total máximo deve ser calculado para cada direção principal do pilar. 
Ele leva em conta que, numa seção intermediária onde ocorre a excentricidade máxima de 2a ordem, 
o momento fletor máximo de 1a ordem seja corrigido pelo fator αb. Isto é semelhante ao que se 
encontra no item 7.5.4 de FUSCO (1981), com a diferença de que novos parâmetros foram 
estabelecidos para αb . Se o momento fletor de 1a ordem for nulo ou menor que o mínimo, então o 
momento fletor mínimo, constante na altura do pilar, deve ser somado ao momento fletor de 2a 
ordem. Ainda no item 11.3.3.4.3 da NBR 6118: “Para pilares de seção retangular, pode-se definir uma 
envoltória mínima de 1ª ordem, tomada a favor da segurança,” conforme mostrado na Figura 19. 
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118 
 
 
(
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑥
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑥
)
2
+ (
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑦
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑦𝑦
)
2
= 1 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑥 = 𝑁𝑑(0,015 + 0,03ℎ) 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑦𝑦 = 𝑁𝑑(0,015 + 0,03𝑏) 
 
Sendo: 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑥𝑥 e 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑦𝑦 = Componentes em flexão composta normal; 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑥 e 𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑦 = Componentes em flexão composta oblíqua; 
 
 
“Neste caso, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no 
dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima de 
1ª ordem. Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem em alguma das 
direções do pilar, a verificação do momento mínimo deve considerar ainda a envoltória mínima com 
2ª ordem, conforme 15.3.2.” 
No item 15.3.2 a norma reapresenta o diagrama da Figura 19, mas com a envoltória mínima acrescida 
dos efeitos da 2a ordem, e mostrando também a envoltória resistente (Figura 20). “Para pilares de 
seção retangular, quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem, a verificação 
do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtém-
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119 
 
se uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima com 2ª ordem, cujos momentos totaissão calculados a partir dos momentos mínimos de 1ª ordem e de acordo com item 15.8.3. A 
consideração desta envoltória mínima pode ser realizada através de duas análises à flexão composta 
normal, calculadas de forma isolada e com momentos fletores mínimos de 1ª ordem atuantes nos 
extremos do pilar, nas suas direções principais.” 
34- Método do Pilar-Padrão com Rigidez k Aproximada 
Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.3), o método pode ser “empregado apenas no cálculo de pilares com 
λ ≤ 90, com seção retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não 
linearidade geométrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da 
barra seja senoidal. A não linearidade física deve ser considerada através de uma expressão 
aproximada da rigidez. 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1a ordem 
pela expressão: ” 
𝑀𝑠𝑑, 𝑡𝑜𝑡 =
𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑, 𝐴
1 −
𝜆²
120 . 𝑘/𝑣
≥ 𝑀1𝑑, 𝐴 
Sendo o valor da rigidez adimensional k dado aproximadamente pela expressão: 
𝑘𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = 32 (1 + 5
𝑀𝑅𝑑, 𝑡𝑜𝑡
ℎ . 𝑁𝑑
) . 𝑣 
 
“Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot . Em um processo de verificação, onde 
a armadura é conhecida, MRd,tot é o momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd = 
NRd . 
 
Convergindo a equações anteriores obtém-se uma equação do 2o grau útil para calcular diretamente 
o valor de MSd,tot , sem a necessidade de se fazer iterações: 
𝑎𝑀𝑠𝑑, 𝑡𝑜𝑡2 + 𝑏𝑀𝑠𝑑, 𝑡𝑜𝑡 + 𝑐 = 0 
𝑎 = 5ℎ 
𝑏 = ℎ^2.𝑁𝑑 − (𝑁𝑑. 𝑙𝑒^2)/320 − 5ℎ. 𝛼𝑏.𝑀1𝑑, 𝐴 
𝑐 = −𝑁𝑑. ℎ^2. 𝛼𝑏.𝑀1𝑑, 𝐴 
 
𝑀𝑠𝑑, 𝑡𝑜𝑡 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
O cálculo do momento fletor total pode ser feito aplicando as três equações acima ,ou também com 
a equação do segundo grau (com Md,tot ao invés de MSd): 
19200 𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡2 + (3840 ℎ 𝑁𝑑 – 𝜆2ℎ 𝑁𝑑 – 19200 𝛼𝑏 𝑀1𝑑, 𝐴)𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 – 3840 𝛼𝑏 ℎ 𝑁𝑑 𝑀1𝑑, 𝐴 = 0 
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120 
 
35- SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO 
Para efeito de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados nos seguintes tipos: pilares 
intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto. A cada um desses tipos básicos corresponde 
uma situação de projeto diferente. 
35.1- Pilar Intermediário 
Nos pilares intermediários (Figura 21) considera-se a compressão centrada na situação de projeto, pois 
como as lajes e vigas são contínuas sobre o pilar, pode-se admitir que os momentos fletores 
transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezíveis. Não existem, portanto, os momentos fletores 
MA e MB de 1a ordem nas extremidades do pilar, como descritos no item 7.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35.2- Pilar de Extremidade 
Os pilares de extremidade, de modo geral, encontram-se posicionados nas bordas das edificações, 
sendo também chamados pilares laterais ou de borda. O termo “pilar de extremidade” advém do fato 
do pilar ser extremo para uma viga, aquela que não tem continuidade sobre o pilar, como mostrado 
na Figura 22. Na situação de projeto ocorre a flexão composta normal, decorrente da não continuidade 
da viga. 
Existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem em uma direção do pilar, como 
descritos no item 7.3. 
O pilar de extremidade não ocorre necessariamente na borda da edificação, ou seja, pode ocorrer na 
zona interior de uma edificação, desde que uma viga não apresente continuidade no pilar. 
Nas seções de topo e base ocorrem excentricidades e1 de 1a ordem, na direção principal x ou y do 
 
𝑒1, 𝐴 =
𝑀𝐴
𝑁𝑑
 e 𝑒1, 𝐵 =
𝑀𝐵
𝑁𝑑
 
 
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121 
 
Os momentos fletores MA e MB são devidos aos carregamentos verticais sobre as vigas, e obtidos 
calculando-se os pilares em conjunto com as vigas, formando pórticos planos, ou, de uma maneira 
mais simples e que pode ser feita manualmente, com a aplicação das equações já apresentadas em 
BASTOS (2015). 
 
35.3- Pilar de Canto 
De modo geral, os pilares de canto encontram-se posicionados nos cantos dos edifícios, vindo daí o 
nome, como mostrado na Figura 24. Na situação de projeto ocorre a flexão composta oblíqua, 
decorrente da não continuidade das vigas apoiadas no pilar. Existem, portanto, os momentos fletores 
MA e MB de 1a ordem, nas suas duas direções do pilar, ou seja, e1x e e1y . Esses momentos podem ser 
calculados da mesma forma como apresentado nos pilares de extremidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35.4- RELAÇÃO ENTRE A DIMENSÃO MÍNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO 
Os pilares com seção transversal retangular são diferenciados dos pilares-parede em função da 
relação entre os lados, conforme a regra (Figura 33): 
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122 
 
h≤ 5 b → pilar 
h > 5 b → pilar-parede 
 
 
A NBR 6118 (item 13.2.3) impõe que “A seção transversal de pilares e pilares-parede maciços, qualquer 
que seja a sua forma, não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-
se a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm, desde que se multipliquem os esforços solicitantes 
de cálculo a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional γn , de acordo com 
o indicado na Tabela 13.1 e na Seção 11. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção transversal 
de área inferior a 360 cm2.”, o que representa a seção mínima de 14 x 25,7 cm. A Tabela 4 apresenta 
o coeficiente adicional. É importante salientar que o texto indica que todos os esforços solicitantes 
atuantes no pilar devem ser majorados por γn , ou seja, a força normal e os momentos fletores que 
existirem. 
b ≥19 18 17 16 15 14 
γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 
Nota: O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de 
cálculo quando de seu dimensionamento. 
 γn = 1,95 – 0,05 b 
b = menor dimensão da seção transversal (cm). 
 
36- Cargas nos pilares 
 
 
Tabela de carga nos pilares 
 
 
 
 
 
 
 
PILARES\NÍVEIS
P1=P2=P29
=P30
P3=P6=P2
5=P28 P4=P5
P7=P10=
P21=P24
P8=P9=P
22=P23 P11 P12 P13=P18 P14=P17 P15=P16 P19=P20 P26=P27
COBERTURA\RESERVATÓRIO - - 0 - - 0 0 - - - 0 -
BARRILETE - - 100 - - 100 100 - - - 100 -
COBERTURA 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
4º PAVIMENTO 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
3º PAVIMENTO 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
2º PAVIMENTO 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
1º PAVIMENTO 49,87 155,67 135,87 92,91 47,27 142,47 139,57 59,67 115,87 168,27 72,27 82,37
TÉRREO 44,4 150,2 130,4 78 41,8 137 134,1 54,2 110,4 162,8 66,8 76,9
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123 
 
 
37- Cálculo dos pilares 
37.1- Cálculo do Pilar P15 
Após toda a teoria vamos pôr em prática! Iniciaremos pelo dimensionamento do pilar P15 devido a 
sua configuração, é um pilar intermediário de carga Nk=841,35 kN 
le=2,88 m 
hy=19 cm 
hx=40 cm 
 
Resolução 
a) Esforços solicitantes majorada e relacionada a seção adotada 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓. 𝑁𝑘 = 1,0 . 1,4 . 841,35 = 1177,9 𝑘𝑁 
 
com γn determinado na Tabela 4, em função da largura da seção transversal do pilar. Tratando-se de 
um pilar intermediário, não existem momentos fletores e excentricidades de1a ordem em ambas as 
direções do pilar. 
 
 
 
 
 
b) Índice de Esbeltez 
𝜆𝑥 =
3,46𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥
=
3,46 . 288
40
= 24,9 
 
𝜆𝑦 =
3,46𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥
=
3,46 . 288
19
= 52,44 
le
Nd x
y
hy
hx
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124 
 
 
c) Momento fletor mínimo 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑(1,5 + 0,03ℎ) 
 
Direção x: 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑥 = 1177,9(1,5 + 0,03 . 40) = 3180,3 𝑘𝑁. 𝑐𝑚; 
 
 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛, 𝑥 =
3180,3
1177,9
= 2,7 𝑐𝑚 (Desconsiderar por ser pilar intermediário) 
 
Direção y: 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑦 = 1177,9(1,5 + 0,03 . 19) = 2438,2 𝑘𝑁. 𝑐𝑚; 
 
 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛, 𝑦 =
2438,2
1177,9
= 2,07 𝑐𝑚 (Desconsiderar por ser pilar intermediário) 
 
Obs.: Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidade de 1ª 
Ordem, desde modo sendo e1=0 e αb=1,0 
 
Deste modo: 
𝜆𝑦 = 24,90 < 𝜆1𝑦 → Não se considera os efeitos locais de 2ª ordem na direção x 
 
𝜆𝑦 = 52,44 > 𝜆1𝑦 → Se considera os efeitos locais de 2ª ordem na direção y 
 
Em pilares retangulares correntes, geralmente há a necessidade de considerar a 
excentricidade de 2a ordem na direção da largura do pilar. 
 
d) Momentos de 2ª ordem 
O momento de 2ª ordem será avaliado pelos métodos de pilar-padrão com curvatura 
aproximada. 
 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 𝑀1𝑑, 𝐴 + 𝑁𝑑
𝑙𝑒²
10
1
𝑟
≥ {
𝑀1𝑑, 𝑎
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛
 
 
Força normal adimensional 
𝑣 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
=
1177,9
760 .
3
1,4
= 0,72 
 
1
𝑟
=
0,005
ℎ(𝑣 + 0,50)
=
0,005
19 . (0,72 + 0,50)
= 2,15 . 10−4𝑐𝑚−1 ≤ 
0,005
19
= 2,63 . 10−4 
 
Usaremos 
1
𝑟
= 2,15 . 10−4𝑐𝑚−1 
 
𝑒2𝑦 =
𝑙𝑒²
10
.
1
𝑟
=
288²
10
 . 2,15 . 10−4 = 1,78 𝑐𝑚 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
125 
 
 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 = 1,0 . 2438,2 + 1177,9
288²
10
 . 2,15 . 10−4 = 4540 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 > 2438,2 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 ∴ 𝑜𝑘! 
 
𝑀2𝑑,𝑚á𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 − 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 =4540 – 2438,2 =2102 kN.cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de 𝝁 (Fator ábaco de VENTURINI) 
Neste exemplo iremos calcular para ambos os momentos, em relação a “x” e á “y” 
 
𝜇𝑥 =
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑥
ℎ𝑥. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
=
3180,3
40.760.
3,0
1,4
= 0,05 
3180 kN.cm 2438 kN.cm 
2102 kN.cm 
2,70 
2,07 
1,78 
3,85 
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126 
 
Escolha do ábaco: 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
=
4,0
40
= 0,10 → Ábaco A-25 → ω=0,05 
 
 
𝜇𝑦 =
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑦
ℎ𝑦. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
=
4540
19.760.
3,0
1,4
= 0,146 
 
Escolha do ábaco: 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
=
4,0
19
= 0,21 → Ábaco A-4 → ω=0,35 
 
Calcularemos a área de aço baseado no maior valor de ω (ω=0,35) 
 
𝐴𝑠 = 
 ω. Ac. fcd
𝑓𝑦𝑑
=
 0,35.760.
3,0
1,4
50
1,15
= 14,9 𝑐𝑚² 
 
Cálculo pelo método de pilar-padrão com rigidez K aproximada: 
 
Equação: 
19200 𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡2 + (3840 ℎ 𝑁𝑑 – 𝜆2ℎ 𝑁𝑑 – 19200 𝛼𝑏 𝑀1𝑑, 𝐴)𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 – 3840 𝛼𝑏 ℎ 𝑁𝑑 𝑀1𝑑, 𝐴 = 0 
Substituindo: 
19200 𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡2
+ (3840 19 1177,9 – 52,442 . 19 . 1177,9– 19200 1,0 .2438)𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 – 3840 1,0 . 19 . 1177,9 . 2438 = 0 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 = 3939 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝜇𝑦 =
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑦
ℎ𝑦. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
=
3939
19.760.
3,0
1,4
= 0,13 
Escolha do ábaco: 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
=
4,0
19
= 0,21 → Ábaco A-4 → ω=0,30 
𝐴𝑠 = 
 ω. Ac. fcd
𝑓𝑦𝑑
=
 0,23.760.
3,0
1,4
50
1,15
= 11,2 𝑐𝑚² 
 
 
 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
127 
 
 
Momentos nos pilares de extremidade 
Como consideramos os pilares de extremidade como um apoio fixo para as vigas, ou seja, não 
gerou momento nas extremidades das vigas a serem absorvidas pelos pilares, todavia, podemos 
utilizar o momento gerado pelar armaduras do porta estribos, que padronizamos como sendo 2Φ8mm 
(1 cm²) e que já foi ancorada nos pilares conforme a NBR 6118 estabelece, esse procedimento é viável 
para esse tipo de edificação de pilares com menor inércia gerando uma economia significativa de 
armaduras, mas mantendo as características estruturais de ambos os elementos! 
Para a realização deste procedimento, temos que encontrar o momento que a armadura de 
2Φ 8mm (1cm²) é capaz de absorver nos dois tipos de seções presentes no projeto (19x40) e (14x40), 
para isso seguiremos o processo de cálculo abaixo: 
Cálculo da altura da linha neutra da seção: 
0,68 . 𝑏𝑤 . 𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 = 𝑓𝑦𝑘. 𝐴𝑠 
X= Altura da linha neutra em cm 
0,68 . 19 . 𝑥 .3/1,4 = 50/1,15.1 
X=1,6 cm (domínio 2) 
0,68 . 14 . 𝑥 .3/1,4 = 50/1,15.1 
X=2,13 cm (domínio 2) 
 
Limites dos domínios do concreto (seção de 40cm e d=37 cm): 
x2lim = 0,26d = 0,26 . 37 = 9,62 cm 
x3lim = 0,63d = 0,63 . 46 = 23,3 cm 
 
Cálculo do momento (Mk) 
1,4.𝑀𝑘 = 𝐴𝑠 .
50
1,15
 . (𝑑 − 0,4. 𝑥) 
Mk= Momento de projeto em kN.cm 
1,4.𝑀𝑘 = 1 .
50
1,15
 . (37 − 0,4.1,6) 
Mk= 1129 kN.cm 
 
1,4.𝑀𝑘 = 1 .
50
1,15
 . (37 − 0,4.2,13) 
Mk= 1122,6 kN.cm 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
128 
 
37.2 - Cálculo Pilar 4 – Pilar de extremidade 
 
 
Nk=779,35 kN 
Mk=1129 kN.cm 
le=2,88 m 
hy=19 cm 
hx=40 cm 
 
Resolução 
a) Esforços solicitantes majorada e relacionada a seção adotada 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓. 𝑁𝑘 = 1,0 . 1,4 . 751 = 1091 𝑘𝑁 
 
𝑀𝑑 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓.𝑀𝑘 = 1,0 . 1,4 . 1129 = 1580,6 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
 
com γn determinado na Tabela 4, em função da largura da seção transversal do pilar. Tratando-se de 
um pilar intermediário, não existem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em ambas as 
direções do pilar. 
 
 
 
b) Índice de Esbeltez 
𝜆𝑥 =
3,46𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥
=
3,46 . 288
40
= 24,9 
 
𝜆𝑦 =
3,46𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥
=
3,46 . 288
19
= 52,44 
le
Nd x
y
hy
hx
M1d,A,x
M1d,A,x
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129 
 
 
c) Excentricidade inicial devido ao momento já existente no pilar 
 
𝑒1𝑥 =
1580,6
1091
= 1,45 
 
d) Momento fletor mínimo 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑(1,5 + 0,03ℎ) 
 
Direção x: 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑥 = 1091(1,5 + 0,03 . 40) = 2945,9 𝑘𝑁. 𝑐𝑚; 
 
 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛, 𝑥 =
2945,9
1091
= 2,7 𝑐𝑚 (Desconsiderar por ser pilar intermediário) 
 
Direção y: 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑦 = 1091(1,5 + 0,03 . 19) = 2258,55 𝑘𝑁. 𝑐𝑚; 
 
 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛, 𝑦 =
2258,55
1091
= 2,07 𝑐𝑚 
 
Obs.: Como o momento inicial se mostra menor que o momento mínimo utilizaremos o nosso 
fator αb=1 
 
Desse modo: 
𝜆𝑦 = 24,90 < 𝜆1𝑦 → Não se considera os efeitos locais de 2ª ordem na direção x 
 
𝜆𝑦 = 52,44 > 𝜆1𝑦 → Se considera os efeitos locais de 2ª ordem na direção y 
 
Em pilares retangulares correntes, geralmente há a necessidade de considerar a 
excentricidade de 2a ordem na direção da largura do pilar. 
 
e) Momentos de 2ª ordem 
O momento de 2ª ordem será avaliado pelos métodos do pilar-padrão com curvatura 
aproximada. 
 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 𝑀1𝑑, 𝐴 + 𝑁𝑑
𝑙𝑒²
10
1
𝑟
≥ {
𝑀1𝑑, 𝑎
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛
 
 
Força normal adimensional 
𝑣 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
=
1091
760 .
3
1,4
= 0,67 
 
1
𝑟
=
0,005
ℎ(𝑣 + 0,50)
=
0,005
19 . (0,67 + 0,50)
= 2,25 . 10−4𝑐𝑚−1 ≤ 
0,005
19
= 2,63 . 10−4 
Curso Edifício completo– O Canal da engenharia________________________________________ 
130 
 
 
Usaremos 
1
𝑟
= 2,25 . 10−4𝑐𝑚−1 
 
𝑒2𝑦 =
𝑙𝑒²
10
.
1
𝑟
=
288²
10
 . 2,25 . 10−4 = 1,86 𝑐𝑚 
 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 = 1,0 . 2258,55 + 1091
288²
10
 . 2,25 . 10−4 = 4294,13 𝑘𝑁. 𝑐𝑚>2258,5 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 ∴ 𝑜𝑘! 
 
𝑀2𝑑,𝑚á𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 − 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 =4294,13 – 2258,5 =2035,6 kN.cm 
 
 
 
 
 
Calculo de 𝝁 (Fator ábaco de VENTURINI) 
Neste exemplo iremos calcular para ambos os momentos, em relação a “x” e á “y” 
 
𝜇𝑥 =
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑥
ℎ𝑥. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
=
2945,9
40.760.
3,0
1,4
= 0,045 
2945 kN.cm 1129 kN.cm 
2035 kN.cm 
1,45 
 2258 kN.cm 
2,7 
2,07 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
131 
 
Escolha do ábaco: 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
=
4,0
40
= 0,10 → Ábaco A-25 → ω=0,05 
 
 
𝜇𝑦 =
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑦
ℎ𝑦. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
=
4294,13
19.760.
3,0
1,4
= 0,14 
 
Escolha do ábaco: 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
=
4,0
19
= 0,21 → Ábaco A-4 → ω=0,25 
 
Calcularemos a área de aço baseado no maior valor de ω (ω=0,25) 
 
𝐴𝑠 = 
 ω. Ac. fcd
𝑓𝑦𝑑
=
 0,25.760.
3,0
1,4
50
1,15
= 9,4 𝑐𝑚² 
 
Cálculo pelo método de pilar-padrão com rigidez K aproximada: 
 
Equação: 
19200 𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡2 + (3840 ℎ 𝑁𝑑 – 𝜆2ℎ 𝑁𝑑 – 19200 𝛼𝑏 𝑀1𝑑, 𝐴)𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 – 3840 𝛼𝑏 ℎ 𝑁𝑑 𝑀1𝑑, 𝐴 = 0 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 = 3649 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝜇𝑦 =
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑦
ℎ𝑦. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
=
3649
19.760.
3,0
1,4
= 0,12 
Escolha do ábaco: 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
=
4,0
19
= 0,21 → Ábaco A-4 → ω=0,18 
𝐴𝑠 = 
 ω. Ac. fcd
𝑓𝑦𝑑
=
 0,18.760.
3,0
1,4
50
1,15
= 6,75 𝑐𝑚² 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,004 . 𝐴𝑐 = 0,004 . 760 = 3,04 𝑐𝑚² 
 
 
 
 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
132 
 
37.3- Cálculo Pilar 1 
 
 
 
Nk=250 kN 
Mkx=1129 
Mky=1129 
le=2,88 m 
hy=19 cm 
hx=40 cm 
 
Resolução 
a) Esforços solicitantes majorada e relacionada a seção adotada 
𝑁𝑑 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓. 𝑁𝑘 = 1,0 . 1,4 . 250 = 350 𝑘𝑁 
 
𝑀1𝑑, 𝑥 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓.𝑀𝑘𝑥 = 1,0 . 1,4 . 1129 = 1580 𝑘𝑁 
 
𝑀1𝑑, 𝑦 = 𝛾𝑛. 𝛾𝑓.𝑀𝑘𝑥 = 1,0 . 1,4 . 1129 = 1580 𝑘𝑁 
 
 
com γn determinado na Tabela 4, em função da largura da seção transversal do pilar. Tratando-se de 
um pilar intermediário, não existem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em ambas as 
direções do pilar. 
 
 
 
le
Nd x
y
hy
hx
M1d,B,x
M1
d,B
,y
M1d,A,x
M1
d,A
,y
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
133 
 
b) Índice de Esbeltez 
𝜆𝑥 =
3,46𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥
=
3,46 . 288
40
= 24,9 
 
𝜆𝑦 =
3,46𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥
=
3,46 . 288
19
= 52,44 
 
 
c) Excentricidade inicial devido ao momento já existente no pilar 
 
𝑒1𝑥 =
1580
350
= 4,51 
 
d) Momento fletor mínimo 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝑑(1,5 + 0,03ℎ) 
 
Direção x: 
 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑥 = 350(1,5 + 0,03 . 40) = 945 𝑘𝑁. 𝑐𝑚; 
 
 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛, 𝑥 =
945
350
= 2,7 𝑐𝑚 
 
Direção y: 
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛, 𝑦 = 350(1,5 + 0,03 . 19) = 724,5 𝑘𝑁. 𝑐𝑚; 
 
 𝑒1𝑥,𝑚𝑖𝑛, 𝑦 =
724,5
350
= 2,07 𝑐𝑚 
 
Obs.: Como o momento inicial se mostra maior que o momento mínimo utilizaremos o nosso 
fator αb como sendo: 
 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4.
𝑀𝐵
𝑀𝐴
 0,6 + 0,4.
(−1580,6)
1580,6
= 0,2 ≥ 0,4 ∴ 𝛼𝑏 = 0,4 
 
Desse modo: 
𝜆𝑦 = 24,90 < 𝜆1𝑦 → Não se considera os efeitos locais de 2ª ordem na direção x 
 
𝜆𝑦 = 52,44 > 𝜆1𝑦 → Se considera os efeitos locais de 2ª ordem na direção y 
 
Em pilares retangulares correntes, geralmente há necessidade de considerar a excentricidade 
de 2a ordem na direção da largura do pilar. 
 
 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
134 
 
Esbeltez limite 
 
𝜆1 =
25+12,5.
𝑒1
ℎ
𝛼𝑏
 
 
𝜆1 =
25+12,5.
4,51
19
0,4
= 69,9 
Obs: Em teoria, não precisaríamos considerar os efeitos de segunda ordem devido ao fato da 
esbeltez limite ser elevada pelo momento inicial, porém ainda assim consideraremos os efeitos 
de segunda ordem para esse pilar de modo a avaliar os efeitos dessa consideração! 
 
e) Momentos de 2ª ordem 
O momento de 2ª ordem será avaliado pelos métodos de pilar-padrão com curvatura 
aproximada. 
 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 𝑀1𝑑, 𝐴 + 𝑁𝑑
𝑙𝑒²
10
1
𝑟
≥ {
𝑀1𝑑, 𝑎
𝑀1𝑑,𝑚𝑖𝑛
 
 
Força normal adimensional 
𝑣 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐 𝑓𝑐𝑑
=
350
760 .
3
1,4
= 0,215 
 
1
𝑟𝑥
=
0,005
ℎ(𝑣 + 0,50)
=
0,005
19 . (0,215 + 0,50)
= 3,7 . 10−4𝑐𝑚−1 ≤ 
0,005
19
= 2,63 . 10−4 
 
Usaremos 
1
𝑟𝑥
= 2,63 . 10−4𝑐𝑚−1 
 
 
1
𝑟𝑦
=
0,005
ℎ(𝑣 + 0,50)
=
0,005
40 . (0,215 + 0,50)
= 1,8. 10−4𝑐𝑚−1 ≤ 
0,005
19
= 2,63 . 10−4 
 
 
Usaremos 
1
𝑟𝑦
= 1,81 . 10−4𝑐𝑚−1 
 
𝑒2𝑥 =
𝑙𝑒²
10
.
1
𝑟𝑥
=
288²
10
 . 2,63 . 10−4 = 2,18 𝑐𝑚 
 
𝑒2𝑦 =
𝑙𝑒²
10
.
1
𝑟𝑦
=
288²
10
 . 1,8 . 10−4 = 1,50 𝑐𝑚 
 
 
 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑦 = 1,0 . 724,5 + 350.
2882
10
 . 2,63 . 10−4 = 1488 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 < 1580 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
𝑀2𝑑,𝑚á𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 − 𝑀1𝑑,𝑚í𝑛 =1580 – 724,5 =855,5 kN.cm 
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135 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de 𝝁 (Fator ábaco de VENTURINI) 
Neste exemplo iremos calcular para ambos os momentos, em relação a “x” e á “y” 
 
𝜇𝑥 =
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑥
ℎ𝑥. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
=
1580
40.760.
3,0
1,4
= 0,024 
Escolha do ábaco: 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
=
4,0
40
= 0,10 → Ábaco A-25 → ω=0,05 
 
 
4,51 2,70 
2,07 
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136 
 
𝜇𝑦 =
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑦
ℎ𝑦. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
=
1580
19.760.
3,0
1,4
= 0,05 
 
Escolha do ábaco: 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
=
4,0
19
= 0,21 → Ábaco A-4 → ω=0,05 
 
Calcularemos a área de aço baseado no maior valor de ω (ω=0,05) 
 
𝐴𝑠 = 
 ω. Ac. fcd
𝑓𝑦𝑑
=
 0,05.760.
3,0
1,4
50
1,15
= 1,87 𝑐𝑚² 
 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,004 . 𝐴𝑐 = 0,004 . 760 = 3,04 𝑐𝑚² 
 
 
Cálculo pelo método de pilar-padrão com rigidez K aproximada: 
 
Equação: 
19200 𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡2 + (3840 ℎ 𝑁𝑑 – 𝜆2ℎ 𝑁𝑑 – 19200 𝛼𝑏 𝑀1𝑑, 𝐴)𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 – 3840 𝛼𝑏 ℎ 𝑁𝑑 𝑀1𝑑, 𝐴 = 0 
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡 = 1170,4 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
𝜇𝑦 =
𝑀𝑑, 𝑡𝑜𝑡𝑦
ℎ𝑦. 𝐴𝑐. 𝑓𝑐𝑑
=
1170,4
19.760.
3,0
1,4
= 0,037 
Escolha do ábaco: 
𝑑′𝑥
ℎ𝑥
=
4,0
19
= 0,21 → Ábaco A-4 → ω=0,05 
𝐴𝑠 = 
 ω. Ac. fcd
𝑓𝑦𝑑
=
 0,05.760.
3,0
1,4
50
1,15
= 1,87 𝑐𝑚² 
 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,004 . 𝐴𝑐 = 0,004 . 760 = 3,04 𝑐𝑚² 
 
 
 
 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
137 
 
 
 
 
38- Armadura transversal 
A principal função dos estribos e a contenção da flambagem das barras que compõe o elemento 
estrutural ao receber a carga axial, além de facilitar o procedimento de montagem e distribuição das 
barras longitudinais durante a execução da edificação. 
Para o dimensionamento dos estribos, precisamos simplesmente obedecer alguns parâmetros 
relativos as armaduras longitudinais já calculadas que são: 
“A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos 
suplementares,deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região 
de cruzamento com vigas e lajes.” (NBR 6118, 18.4.3). O diâmetro dos estribos em pilares deve 
obedecer a: 
𝜙𝑡 ≥ {
5𝑚𝑚
𝜙𝑙/4
 
“O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para garantir o 
posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de 
barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser”: 
𝑆𝑚á𝑥 ≤ {
20 𝑐𝑚
𝑏 
12𝜙 (𝐶𝐴50)
 
 
38.1 -Proteção contra flambagem 
 
No item 18.2.4 da NBR 6118 encontra-se: “Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras 
da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para 
evitá-la. Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus 
cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância 20 𝜙 t do canto, se nesse trecho de 
comprimento 20 𝜙 t não houver mais de duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais 
de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares. 
Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos (90° a 180°), ele 
deve atravessar a seção do elemento estrutural, e os seus ganchos devem envolver a barra 
longitudinal.” 
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138 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39- Detalhamento das armaduras 
Com a elaboração do cálculo dos três principais tipos de pilares, podemos realizar agora o 
detalhamento desses elementos, fazendo a distribuição das barras longitudinais e transversais 
escolhendo a bitola e espaçamento dessas armaduras. 
 
39.1- Detalhamento Pilar 15 (1º Lance) 
Área de aço calculada: 11,2 cm² → 6Φ 16mm (12 cm²) 
 Estribos: 
𝜙𝑡 ≥ {
5𝑚𝑚
16/4 = 4
 ∴ 5𝑚𝑚 
 
Espaçamento mínimo 
𝑆𝑚á𝑥 ≤ {
20 𝑐𝑚
19 𝑐𝑚
12 𝑥 1,6 = 19,2 𝑐𝑚
 ∴ 19 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
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139 
 
 
 
 
39.2- Detalhamento Pilar 4 (1º Lance) 
 
Área de aço calculada: 7,11 cm² → 6Φ 12,5mm (7,50 cm²) 
 Estribos: 
𝜙𝑡 ≥ {
5𝑚𝑚
12,5/4 = 3,125
 ∴ 5𝑚𝑚 
 
Espaçamento mínimo 
𝑆𝑚á𝑥 ≤ {
20 𝑐𝑚
19 𝑐𝑚
12 𝑥 1,25 = 15 𝑐𝑚
 ∴ 15 𝑐𝑚 
 
6Ø 16mm
grampo Ø5mmest Ø5mm
1.
30
3.40
1.
90
4.00
.3
6
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140 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39.3- Detalhamento Pilar 1 (1º Lance) 
 
Área de aço calculada: 3,04 cm² → 6Φ 10mm (4,8 cm²) 
 Estribos: 
𝜙𝑡 ≥ {
5𝑚𝑚
10/4 = 2,5
 ∴ 5𝑚𝑚 
 
Espaçamento mínimo 
𝑆𝑚á𝑥 ≤ {
20 𝑐𝑚
19 𝑐𝑚
12 𝑥 10 = 12 𝑐𝑚
 ∴ 12 𝑐𝑚 
 
6Ø 12,5mm
grampo Ø5mmest Ø5mm
.1
3
.34
.1
9
.40
.0
4
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141 
 
 
 
 
 
6Ø 10mm
grampo Ø5mmest Ø5mm
.1
3
.34
.1
9
.40
.04
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
142 
 
 
Nk 778,35 kN
le 288 cm
hy 19 cm
hx 40 cm
Ac 760 cm²
γn 1 -
γf 1,4 -
fck 3 kN/cm²
fcd 2,142857143 kN/cm²
fyk 50 kN/cm²
d'x 4 cm
αb 1 -
Nd 1089,69 kN
ʎx 24,912
ʎy 52,44631579
M1d,min,x 2942,163 kN.cm
M1d,min,y 2255,6583 kN.cm
e1x,min,x 2,7 cm
e1x,min,y 2,07 cm
v 0,669
1/Rx 0 ≤ 0
1/Ry 0,000225093 ≤ 0,000263
1/rx 0
1/ry 0,000225093
e2x 0 cm
e2y 1,867010609 cm
Md,tot,x 2942,163 kN.cm
Md,tot,y 4290,12109 kN.cm
μx 0,045164783 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,138646573 d'x/hy 0,210526316 ωy 0,3
Asx 1,87 cm²
Asy 11,23714286 cm²
As min 3,04 cm²
a 1 a 1
b 4366,461057 b -1080,933022
c -25648364,8 c -9340279,513
Δ 121659441,3 Δ 38529534,25
Msd,tot,x 3331,7 Msd,tot,y 3644,1
μx 0,05 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,12 d'x/hy 0,211 ωy 0,2
Asx 1,87 cm²
Asy 7,49 cm²
Metódo da rigidez aproximada k
d) Momento de 2ª ordem
a) ESFORÇOS SOLICITANTES MAJORADA E RELACIONADA A SEÇÃO ADOTADA
b) Índice de esbeltez
ROTEIRO DE CALCULO PILAR INTERMEDIÁRIO (P3=P6=P25=P28)
APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
DADOS DO PILAR
NÃO APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
c) Momento minimo para x e y
le
Nd x
y
hy
hx
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143 
 
 
Nk 236,35 kN
le 288 cm
hy 19 cm
hx 40 cm
Ac 760 cm²
γn 1 -
γf 1,4 -
fck 3 kN/cm²
fcd 2,142857143 kN/cm²
fyk 50 kN/cm²
d'x 4 cm
αb 1 -
Nd 330,89 kN
ʎx 24,912
ʎy 52,44631579
M1d,min,x 893,403 kN.cm
M1d,min,y 684,9423 kN.cm
e1x,min,x 2,7 cm
e1x,min,y 2,07 cm
v 0,203
1/Rx 0 ≤ 0
1/Ry 0,000374241 ≤ 0,000263
1/rx 0
1/ry 0,000263158
e2x 0 cm
e2y 2,182736842 cm
Md,tot,x 893,403 kN.cm
Md,tot,y 1407,188094 kN.cm
μx 0,01371452 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,045476993 d'x/hy 0,210526316 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,872857143 cm²
As min 3,04 cm²
a 1 a 1
b 1325,898466 b -328,2308983
c -2364944,949 c -861234,1191
Δ 11217786,54 Δ 3552671,999
Msd,tot,x 1011,7 Msd,tot,y 1106,5
μx 0,02 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,04 d'x/hy 0,211 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,87 cm²
Metódo da rigidez aproximada k
d) Momento de 2ª ordem
a) ESFORÇOS SOLICITANTES MAJORADA E RELACIONADA A SEÇÃO ADOTADA
b) Índice de esbeltez
ROTEIRO DE CALCULO PILAR INTERMEDIÁRIO (P8=P9=P22=P23)
APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
DADOS DO PILAR
NÃO APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
c) Momento minimo para x e y
le
Nd x
y
hy
hx
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
144 
 
 
Nk 579,35 kN
le 288 cm
hy 19 cm
hx 40 cm
Ac 760 cm²
γn 1 -
γf 1,4 -
fck 3 kN/cm²
fcd 2,142857143 kN/cm²
fyk 50 kN/cm²
d'x 4 cm
αb 1 -
Nd 811,09 kN
ʎx 24,912
ʎy 52,44631579
M1d,min,x 2189,943 kN.cm
M1d,min,y 1678,9563 kN.cm
e1x,min,x 2,7 cm
e1x,min,y 2,07 cm
v 0,498
1/Rx 0 ≤ 0
1/Ry 0,000263675 ≤ 0,000263
1/rx 0
1/ry 0,000263158
e2x 0 cm
e2y 2,182736842 cm
Md,tot,x 2189,943 kN.cm
Md,tot,y 3449,352325 kN.cm
μx 0,033617546 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,111474914 d'x/hy 0,210526316 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,872857143 cm²
As min 3,04 cm²
a 1 a 1
b 3250,092135 b -804,57191
c -14209926,94 c -5174781,728
Δ 67402806,66 Δ 21346462,87
Msd,tot,x 2479,9 Msd,tot,y 2712,4
μx 0,04 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,09 d'x/hy 0,211 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,87 cm²
Metódo da rigidez aproximada k
d) Momento de 2ª ordem
a) ESFORÇOS SOLICITANTES MAJORADA E RELACIONADA A SEÇÃO ADOTADA
b) Índice de esbeltez
ROTEIRO DE CALCULO PILAR INTERMEDIÁRIO (P14=P17)
APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
DADOS DO PILAR
NÃO APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
c) Momento minimo para x e y
le
Nd x
y
hy
hx
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
145 
 
 
Nk 812,35 kN
le 288 cm
hy 19 cm
hx 40 cm
Ac 760 cm²
γn 1 -
γf 1,4 -
fck 3 kN/cm²
fcd 2,142857143 kN/cm²
fyk 50 kN/cm²
d'x 4 cm
αb 1 -
Nd 1137,29 kN
ʎx 24,912
ʎy 52,44631579
M1d,min,x 3070,683 kN.cm
M1d,min,y 2354,1903 kN.cm
e1x,min,x 2,7 cm
e1x,min,y 2,07 cm
v 0,698
1/Rx 0 ≤ 0
1/Ry 0,000219603 ≤ 0,000263
1/rx 0
1/ry 0,000219603
e2x 0 cm
e2y 1,821473198 cm
Md,tot,x 3070,683 kN.cm
Md,tot,y 4425,733553 kN.cm
μx 0,047137678 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,143029247 d'x/hy 0,210526316 ωy 0,35
Asx 1,87 cm²Asy 13,11 cm²
As min 3,04 cm²
a 1 a 1
b 4557,197456 b -1128,150498
c -27938056,55 c -10174108,93
Δ 132520274,9 Δ 41969159,26
Msd,tot,x 3477,3 Msd,tot,y 3803,3
μx 0,05 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,12 d'x/hy 0,211 ωy 0,2
Asx 1,87 cm²
Asy 7,49 cm²
Metódo da rigidez aproximada k
d) Momento de 2ª ordem
a) ESFORÇOS SOLICITANTES MAJORADA E RELACIONADA A SEÇÃO ADOTADA
b) Índice de esbeltez
ROTEIRO DE CALCULO PILAR INTERMEDIÁRIO (P11)
APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
DADOS DO PILAR
NÃO APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
c) Momento minimo para x e y
le
Nd x
y
hy
hx
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
146 
 
 
Nk 461,35 kN
le 288 cm
hy 19 cm
hx 40 cm
Ac 760 cm²
γn 1 -
γf 1,4 -
fck 3 kN/cm²
fcd 2,142857143 kN/cm²
fyk 50 kN/cm²
d'x 4 cm
αb 1 -
Nd 645,89 kN
ʎx 24,912
ʎy 52,44631579
M1d,min,x 1743,903 kN.cm
M1d,min,y 1336,9923 kN.cm
e1x,min,x 2,7 cm
e1x,min,y 2,07 cm
v 0,397
1/Rx 0 ≤ 0
1/Ry 0,000293507 ≤ 0,000263
1/rx 0
1/ry 0,000263158
e2x 0 cm
e2y 2,182736842 cm
Md,tot,x 1743,903 kN.cm
Md,tot,y 2746,800199 kN.cm
μx 0,026770441 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,08877009 d'x/hy 0,210526316 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,872857143 cm²
As min 3,04 cm²
a 1 a 1
b 2588,124634 b -640,699492
c -9010956,069 c -3281489,835
Δ 42742213,4 Δ 13536455,18
Msd,tot,x 1974,8 Msd,tot,y 2159,9
μx 0,03 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,07 d'x/hy 0,211 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,87 cm²
Metódo da rigidez aproximada k
d) Momento de 2ª ordem
a) ESFORÇOS SOLICITANTES MAJORADA E RELACIONADA A SEÇÃO ADOTADA
b) Índice de esbeltez
ROTEIRO DE CALCULO PILAR INTERMEDIÁRIO (P19=P20)
APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
DADOS DO PILAR
NÃO APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
c) Momento minimo para x e y
le
Nd x
y
hy
hx
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
147 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nk 298,35 kN
Mk,A,x 1129
Mk,B,x -1129
M1d,A,x 1580,6 kN.cm
M1d,B,x -1580,6 kN.cm
le 288 cm
hy 19 cm
hx 40 cm
Ac 760 cm²
γn 1 -
γf 1,4 -
fck 3 kN/cm²
fcd 2,142857143 kN/cm²
fyk 50 kN/cm²
d'x 4 cm
αb 1 -
Nd 417,69 kN
ʎx 24,912
ʎy 52,44631579
M1d,min,x 1127,763 kN.cm M1d,A,x 1580,6 kN.cm
M1d,min,y 864,6183 kN.cm M1d,B,x -1580,6 kN.cm
e1x,min,x 2,7 cm e1x,A,x 3,784146137 cm
e1x,min,y 2,07 cm e1x,B,x -3,784146137 cm
v 0,256
1/Rx 0 ≤ 0
1/Ry 0,000347873 ≤ 0,000263
1/rx 0
1/ry 0,000263158
e2x 0 cm e1c 1,51 cm
e2y 2,182736842 cm
Md,tot,x 1580,6 kN.cm
Md,tot,y 1776,325652 kN.cm
μx 0,024263596 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,057406646 d'x/hy 0,210526316 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,872857143 cm²
As min 3,04 cm²
a 1 a 1
b 1673,711899 b -414,3333552
c -3768442,62 c -1372341,187
Δ 17875082 Δ 5661036,879
Msd,tot,x 1277,1 Msd,tot,y 1396,8
μx 0,02 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,05 d'x/hy 0,211 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,87 cm²
Metódo da rigidez aproximada k
d) Momento de 2ª ordem
a) ESFORÇOS SOLICITANTES MAJORADA E RELACIONADA A SEÇÃO ADOTADA
b) Índice de esbeltez
ROTEIRO DE CALCULO PILAR EXTREMIDADE (P13=P18)
APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
DADOS DO PILAR
NÃO APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
c) Momento minimo para x e y
le
Nd x
y
hy
hx
M1d,A,x
M1d,A,x
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
148 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nk 411,85 kN
Mk,A,x 1129
Mk,B,x -1129
M1d,A,x 1580,6 kN.cm
M1d,B,x -1580,6 kN.cm
le 288 cm
hy 19 cm
hx 40 cm
Ac 760 cm²
γn 1 -
γf 1,4 -
fck 3 kN/cm²
fcd 2,142857143 kN/cm²
fyk 50 kN/cm²
d'x 4 cm
αb 1 -
Nd 576,59 kN
ʎx 24,912
ʎy 52,44631579
M1d,min,x 1556,793 kN.cm M1d,A,x 1580,6 kN.cm
M1d,min,y 1193,5413 kN.cm M1d,B,x -1580,6 kN.cm
e1x,min,x 2,7 cm e1x,A,x 2,741289304 cm
e1x,min,y 2,07 cm e1x,B,x -2,741289304 cm
v 0,354
1/Rx 0 ≤ 0
1/Ry 0,000308131 ≤ 0,000263
1/rx 0
1/ry 0,000263158
e2x 0 cm e1c 1,10 cm
e2y 2,182736842 cm
Md,tot,x 1580,6 kN.cm
Md,tot,y 2452,085536 kN.cm
μx 0,024263596 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,079245608 d'x/hy 0,210526316 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,872857143 cm²
As min 3,04 cm²
a 1 a 1
b 2310,434877 b -571,9564014
c -7181050,207 c -2615099,117
Δ 34062310,15 Δ 10787530,59
Msd,tot,x 1762,9 Msd,tot,y 1928,2
μx 0,03 d'x/hx 0,1 ωx 0,05
μy 0,06 d'x/hy 0,211 ωy 0,05
Asx 1,87 cm²
Asy 1,87 cm²
Metódo da rigidez aproximada k
d) Momento de 2ª ordem
a) ESFORÇOS SOLICITANTES MAJORADA E RELACIONADA A SEÇÃO ADOTADA
b) Índice de esbeltez
ROTEIRO DE CALCULO PILAR EXTREMIDADE (P26=P27)
APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
DADOS DO PILAR
NÃO APLICAR EFEITOS DE 2ª ORDEM
c) Momento minimo para x e y
le
Nd x
y
hy
hx
M1d,A,x
M1d,A,x
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
149 
 
 
 
 
Ligação viga/pilar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
150 
 
40- Dimensionamento das escadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As escadas do nosso edifício seguem uma distribuição de 4 lances para cada pavimento vencido, sendo 
dois lances que se apoião diretamente em vigas e dois lances que se apoio em patamares. 
O lance 1 se apoiado na viga 206 e na viga inclinada conforme indica o desenho, já o lance 2 se apoia 
nos patamares do lance 1 e lance 3 que podem ser considerados gêmeos, desta forma podemos 
desenvolver o esquema estático para ambos os lances (lances 1 e 3) e (lances 2 e 4). 
As cargas presentes no dimensionamento do elemento escadas são: 
Peso próprio do elemento: 
𝑃𝑃 = (ℎ +
𝑒
2
) . 𝛾𝑐𝑎 ∴ 𝑃𝑃 = (0,12 +
0,18
2
) . 25 = 5,25 𝑘𝑁/𝑚 
Sendo: 
h: Altura da laje estrutural da escada 
e: O espelho do degrau 
 
Revestimento = 1,0 kN/m 
Carga de utilização = 3,0 kN/m (escada com acesso público NBR 6120) 
 
Total: 9,25 kN/m² 
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151 
 
40.1- Dimensionamento lance 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carregamento do esquema estático lance 2 
 
 
 
 
 
 
 
 Diagrama de momento fletor lance 2 
 
Dimensionamento: 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 . 𝑑²
𝑀𝑠𝑑
 ∴ 𝐾𝑐 =
120 . 12²
1,4 . 506
= 24,39 
 
𝐴𝑠 = 𝐾𝑠 .
𝑀𝑠𝑑
𝑏𝑤
 ∴ 𝐴𝑠 = 0,023 .
1,4 . 506
12
= 1,35 𝑐𝑚2/𝑚 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝜌 min. 𝐴𝑐 ∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,0015 . 12 . 120 = 2,16 𝑐𝑚² 
 
Espaçamento da armadura principal: 𝑛° 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠: 
2,16
0,315
= 6,8 𝑆 =
1.20
6,8
= 0,17 
 
Armadura de distribuição: 𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡
{
 
 
𝐴𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
5
= 
2,16
5
= 0,43 𝑐𝑚²
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
2
= 
2,16
2
= 1,08 𝑐𝑚²
0,9 𝑐𝑚2
 
9,25 kN/m
9,44 kN/m
9,44 kN/m
9,44 kN/m
9,44 kN/m
5,06
5,06
5,06
5,06
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
152 
 
 
Detalhamento da armadura lance 2 
 
 
40.2- Dimensionamento lance 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Carregamentodo esquema estático lance 1 
 
 
 
 
 
 
 
Ø5mm c/ 15
Ø6,3 mm c/ 14
.20
.20
9,44 kN/m 9,44 kN/m
9,25 kN/m
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153 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carregamento do esquema estático lance 1 
Dimensionamento: 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 . 𝑑²
𝑀𝑠𝑑
 ∴ 𝐾𝑐 =
120 . 12²
1,4 . 2330
= 5,5 
 
𝐴𝑠 = 𝐾𝑠 .
𝑀𝑠𝑑
𝑑
 ∴ 𝐴𝑠 = 0,024 .
1,4 . 2330
12
= 6,52 𝑐𝑚2/𝑚 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝜌 min. 𝐴𝑐 ∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,0015 . 12 . 120 = 2,16 𝑐𝑚² 
 
Espaçamento da armadura principal: 𝑛° 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠: 
6,52
0,8
= 8,15 𝑆 =
1.20
8.15
= 0,147 
 
Armadura de distribuição: 𝐴𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡
{
 
 
𝐴𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
5
= 
6,52
5
= 1,304 𝑐𝑚²
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
2
= 
2,16
2
= 1,08 𝑐𝑚²
0,9 𝑐𝑚2
 
 
Detalhamento da armadura lance 1 
22,3
22,3
22,3
22,3
29,3 kN/m
29,3 kN/m
23,3
50 x Ø
50 x Ø
Ø5mm c/ 15
Ø10mm c/ 14
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154 
 
Obs.: O detalhamento deve evitar o fenômeno conhecido como empuxo no vazio, onde as barras dos 
vértices da mudança de direção entre o lance e o patamar com angulação negativa, devemos fazer a 
disposição com duas barras separadas a modo de evitar a tendência de reticulação quando submetidas 
aos esforços solicitantes, deste modo realizamos o procedimento de armação como o detalhe abaixo: 
 
 
 
41- Dimensionamento da viga inclinada: 
 
 
Carregamento viga inclinada 
 
 
 
 
 
 
50 x Ø
50 x Ø
30 kN/m 30 kN/m
1,9 kN/m
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155 
 
 
 Diagrama momento fletor viga inclinada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de cortante viga inclinada 
 
Dimensionamento armadura de flexão: 
Dimensionamento: 
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 . 𝑑²
𝑀𝑠𝑑
 ∴ 𝐾𝑐 =
19 . 37²
1,4 . 2400
= 7,74 
 
𝐴𝑠 = 𝐾𝑠 .
𝑀𝑠𝑑
𝑑
 ∴ 𝐴𝑠 = 0,024 .
1,4 . 2400
37
= 2,2 𝑐𝑚2/𝑚 
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝜌 min. 𝐴𝑐 ∴ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,0015 . 19 . 40 = 1,4 𝑐𝑚² 
 
23,5
23,5
24,0
23,5
23,5
37,6 kN/m
37,6 kN/m
37,6
1,6
1,2
37,6
-1,6
-1,2
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
156 
 
 
Armadura viga inclinada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ø5mm c/ 15
2Ø12,5 mm
2Ø10 mm
Curso Edifício completo – O Canal da engenharia________________________________________ 
157 
 
42- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, 
NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2014, 238p. 
 
BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas 
de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual 
Paulista (UNESP), abr/2015, 74p. Disponível em (30/07/2015): 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
 
 
BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, 
Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), maio/2015, 
40p. Disponível em (30/07/2015): 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
 
FUSCO, P.B. Estruturas de concreto - Solicitações normais. Rio de Janeiro, Ed. Guanabara Dois, 1981, 464p. 
 
PINHEIRO, L.M. ; BARALDI, L.T. ; POREM, M.E. Concreto Armado: Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, 
Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, 1994. 
 
PINHEIRO, L.M. Instabilidade. Notas de Aula. São Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de 
Engenharia de São Carlos – USP, 1994. 
 
 
SÜSSEKIND, J.C. Curso de concreto, v. 2, 4a ed., Porto Alegre, Ed. Globo, 1984, 280p. 
VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta. São 
Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, 1987.