01.MA.Cálculo Diferencial e Integral II

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Cálculo Diferencial e 
Integral II 
Prof. Roberto Carlos Lourenço 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
SUMÁRIO 
BLOCO 1. INTEGRAL.................................................................................................. 3 
BLOCO 2. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO I........................................................................ 14 
BLOCO 3. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO II.......................................................................... 24 
BLOCO 4. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS.................................................... 31 
BLOCO 5. LIMITE E DERIVADAS PARCIAIS................................................................... 40 
BLOCO 6. DERIVADAS PARCIAIS E INTEGRAL DUPLA................................................... 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
BLOCO 1. INTEGRAL 
Neste bloco, iniciamos um conteúdo muito importante em Cálculo e que certamente assume 
um papel fundamental na sua formação. Estudaremos a Integral! 
Teremos o contato com a Integral de algumas funções, conhecendo as regras básicas para 
assim determinar a primitiva de uma função. Estudaremos a definição de Integral Indefinida, 
onde será possível comparar com a operação de derivadas. A definição de Integral Definida 
será outro ponto importante, como também a Soma de Riemann, cálculo de área de regiões 
determinadas pelas funções e a apresentação do Teorema Fundamental do Cálculo. Bons 
estudos! 
 
1.1. Integral de algumas funções – Regras básicas 
1.1.1. Primitiva de uma função 
Para ser possível entender o que é a primitiva de uma função, basta pensar que se uma função 
 foi derivada e determinou a função , logo, é a função primitiva de para o mesmo 
domínio de . 
Alguns exemplos: 
a) é uma função primitiva de 
Isso ocorre, pois ²3)()('³)( xxfxF
dx
dF
xxF  
Repare que a derivada da função resulta na função . 
 
b) é uma função primitiva de 
Ao derivar a função , determinamos a função . 
 
c) é uma função primitiva de . 
Resolução: 
 
 
ao ser derivado, temos: 
  . 
 
1.1.2. Notação de integral para primitivas (antiderivadas) 
Uma outra maneira de identificar a primitiva de uma função é antiderivada. 
 
 
 
 
4 
 
Notação: 
  cxFdxxf )()( 
Para “c” que representa uma constante arbitrária, temos F uma função antiderivada de , 
onde no domínio de . 
 
Regras básicas 
I. Regra da Constante 
  cxKKdx . (onde K é um valor constante) 
Exemplo: 
  cxdx .55 
 
II. Regra do Múltiplo Constante 
  xdxfKdxxKf .)(.)( 
Exemplo: 
cxcxxsenxdsenxdx   cos.7)cos.(7..7.7 
 
III. Regra da Soma 
xdxgxdxfdxxgxf .)(.)()]()([    
Exemplo: 
csenx
x
xxdxdxdxxx    4
.cos.³)]cos³[
4
 
 
IV. Regra da Diferença 
xdxgxdxfdxxgxf .)(.)()]()([    
Exemplo: 
cx
x
xd
x
xdxdx
x
x    ln3
.
1
.²]
1
²[
3
 
 
1.2. Definição de Integral Indefinida 
Nesse momento, vamos compreender que integração indefinida de uma função é o mesmo 
que o processo inverso da derivação. 
 
 
 
5 
 
Definição: Se é uma primitiva de , a expressão é chamada integral 
indefinida da função e é denotada por: 
  cxFdxxf )()( 
Onde: 
).()(')()( xfxFcxFdxxf  
 
1.2.1. Propriedades da Integral Indefinida 
Sejam , em R e K uma constante. Então: 
  dxxfKdxxfKi )(.)(.) 
  dxxgdxxfdxxgxfii )()())()(() 
 
Seguem alguns exemplos de integrais: 
cxdxa ) 
)1tan(
1
)
1




 teconsébcb
x
dxxb
b
b
 
cxdx
x
c  ln
1
)
 
cedxed xx ) 
csenxxdxe cos) 
cxsenxdxf  cos) 
ctgxxdxg  ²sec) 
cgxxdxech  cot²cos) 
carctgx
x
dx
i 
 1²
)
 
 
Agora, calculemos algumas integrais indefinidas: 
 





 dxx
x
xxFa 5
2
7³4)()
 
 
 
 
 
 
6 
 
Resolução: 
cxxx
x
xF
dxxdx
x
dxdxxxF

    
5 6
4
5
.
6
5
ln.2.7
4
.4)(
1
.27³4)(
 
 
dx
x
x
xFb  

1²
²
)()
 
 
Resolução: 
carctgxxxF
x
dx
dxxF
dx
x
xFdx
xx
x
xF
dx
x
x
xFdx
x
x
xF


























 


)(
1²
)(
1²
1
1)(
1²
1
1²
1²
)(
1²
11²
)(
1²
²
)(
 
 
Por fim, agora encontre a primitiva , da função 12)(
5  xxxf quando . 
cxx
x
xF
cx
xx
dxxxxF
dxxxdxxfxF





²
6
)(
2
2
6
)12()(
)12()()(
6
26
5
5
 
7
70²0
6
0
)0(
6


c
cF
 
7²
6
)(
6
 xx
x
xF 
 
1.3. Definição da Integral Definida 
1.3.1. Definição 
Seja uma função definida no intervalo e seja uma partição qualquer de . A 
integral definida de de até , denotada por: 

b
a
dxxf )(
 
 
 
 
 
7 
 
 onde: 




n
i
i
xmáx
b
a
xcifdxxf
i 1
0
)(lim)(
 
 
Interpretação Geométrica 
 
 
 
Soma de Riemann 




n
i
i
xmáx
b
a
xcifdxxf
i 1
0
)(lim)(
 
Se é contínua e no intervalo não assume valor menor que zero, a função definida 
coincide com a área da região sob o gráfico de no intervalo 
Se for integrável em , então: 




n
i
n
b
a
xxifdxxf
1
)(lim)(
 
Onde n
ab
x


 e 
xiaxi  . 
 
 
 
8 
 
Agora, calcule a soma de Riemann para tomando como pontos amostrais as 
extremidades direitas e . 
 
Resolução: 
 
5,0
2
1
6
03





n
ab
x
 
 
Extremidades direitas: 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
1.4. Aplicações das Integrais Definidas e Indefinidas 
Aplicando a Integral Definida 
Cálculo de Área 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
Aplicando Integral Indefinida 
 
 
 
1.5. Teorema Fundamental do Cálculo ‒ Parte I 
Sendo uma função contínua em um intervalo I, escolhendo um determinado valor c que 
pertence ao intervalo I, e trabalhando com uma determinada função A, sendo I o domínio 
dessa função, representada por: 
 
 
 
12 
 
i) 
x
c
fxA )( 
Sendo , para todo que pertence ao intervalo I, temos que é a área sob o 
gráfico de (quando ): 
 
ii) 
c
x
fxA )( 
Sendo para todo que pertence ao intervalo I, temos que é a área sob o 
gráfico de (quando ): 
 
 
Sendo assim, temos que:  
c
x
x
c
ffxA )( 
 
Teorema Fundamental do Cálculo ‒ Parte II 
Trabalhando com uma função contínua dada por em um determinado intervalo I, onde 
assume o papel de uma primitiva de f em I, então: 
)()()( aFbFxFf
b
a
b
a
 
 
 
 
13 
 
Sendo quaisquer elementos do intervalo I. 
Exemplo: 
Calcule  
3
0
)6³( dxxxS 
Resolução: 
75,6
4
27
4
27
27
4
81
09.3
4
81
²0.3
4
0
²3.3
4
3
²3
42
²6
4
)6³(
44
3
0
4
3
0
4
3
0




















 
S
x
xxx
dxxxS
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a Integral de função com uma variável, sendo um momento oportuno 
para conhecermos a Integral de algumas funções, conhecendo as regras básicas. Passamos 
pelas definições de Integral Indefinida e Integral Definida, sendo possível determinar as 
funções primitivas e área de regiões, ao conhecer a Soma de Riemann, e concluímos com a 
apresentação do Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivada, integração. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
BLOCO 2. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO I 
Neste bloco, estudaremos algumas técnicas de Integração. Teremos a oportunidade de 
conhecer a Integração por Decomposição, observando as propriedades da integral, aplicações 
dessas integrais em problemasde Física e Engenharia, para ser possível compreender como 
esse conteúdo é importante. Ainda teremos neste bloco a Integração por Substituição, técnica 
fundamental para resolver a integral de uma função em casos onde a decomposição não é o 
suficiente. 
 
2.1. Integração por Decomposição 
Caso 1:  dxxgbxfa  )(.)(. 
Para calcular algumas integrais, é necessário conhecer técnicas. Nesse momento, vamos 
estudar a decomposição no caso  dxxgbxfa  )(.)(. , sendo constantes. 
Onde: 
 
      dxxgbdxxfadxxgbdxxfadxxgbxfa )(.)(.)(.)(.)(.)(. 
Sendo assim, temos: 
 
     dxxgbdxxfadxxgbxfa )(.)(.)(.)(. 
Exemplo: 
 
Calcule  dxexsen x  7)(.3 
Resolução: 
     cexcexdxesenxdxdxexsen
xxxx .7cos.3.7)cos.(3.7.37)(.3 
 
Caso 2:  dxxgbxfa  )(.)(. 
A decomposição no caso  dxxgbxfa  )(.)(. , constantes. 
Onde: 
      dxxgbdxxfadxxgbdxxfadxxgbxfa )(.)(.)(.)(.)(.)(. 
Sendo assim, temos: 
     dxxgbdxxfadxxgbxfa )(.)(.)(.)(. 
 
 
 
15 
 
Exemplo: 
Calcule dx
x
x 






2
)cos(.5 
Resolução: 
cxsenxdx
x
xdxdx
x
x 





   ln.2.5
1
.2cos.5
2
)cos(.5 
 
2.2. Decomposição – Aplicações dessas integrais em problemas de física e engenharia 
Volume de Sólido 
Quando uma determinada região plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos um 
sólido que é chamado de sólido de revolução. 
 
Nesse caso, obtemos um cone. 
Definição: 
Para uma função contínua em , onde R é a região sob o gráfico de de até , temos 
que o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo das abscissas é definido 
por: 
  dxxfV
b
a
2
)(. 
 
Exemplo 
1. A região R, limitada pela curva e o eixo das abscissas no intervalo , gira 
em torno do eixo dos . Determine o volume desse sólido de revolução. 
  dxxfV
b
a
2
)(. 
 
 
 
16 
 
dxxxdxxV )4²4(.)²2²(. 4
2
0
2
0
   




   
2
0
2
0
2
0
4 4²4. dxdxxdxxV 
 









2
0
2
0
3
2
0
5
4
3
4
5
. x
xx
V 
 
15
376
8
3
32
5
32
0.42.4
3
0.4
3
2.4
5
0
5
2
.
3355














VV
V


 
 
Exemplo 
2. Calcule quantos litros de água são necessários para abastecer a piscina representada a 
seguir, sabendo que sua profundidade mede 1,3 m e os valores do gráfico estão graduados em 
metros. 
 
3cos)(  xxf 
 
Resolução: 
1º Calcular a área da região apresentada 
  
2
0
3cos dxxA
 
 
 
 
17 
 
 


2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
3
3cos3cos
xsenxA
dxxdxdxxA

 
 
²6
0.32.302
mA
sensenA




 
 
2º Calcular o volume da piscina 
hAV . 
³8,73,1.6 mV   
³5076,24142,3.8,7 mV  
3º Calcular quantidade de água em litros 
lV 6,245071000.5076,24  
 
2.3. Integração por Substituição 
 Método da Substituição 
Para calcular algumas integrais, utilizamos o método da substituição, onde podemos substituir 
uma parte da função, facilitando assim a sua integração. 
 
Exemplo 1 
Calcule a integral: 
 
dx
x
x
²5
2
 
Nesse caso, escolhemos para assumir o valor , sendo . 
 
 
xdxdux
dx
du
22  
cxcu
u
du
dx
x
x

 
²5lnln
²5
2
 
 
Exemplo 2 
Calcule a integral: 
 xdxxsen cos.² 
 
 
 
18 
 
Vamos definir uma função como u, sendo a mais conveniente, para obter a integral mais 
simples possível. 
 
xdxdux
dx
du
coscos  
c
xsen
c
u
duuxdxxsen   3
³
3
².cos.²
3
 
 
Exemplo 3 
Calcule a integral: 
  dttt
42 2 
Primeiro, é necessário reestruturar a função dada. 
   dtttdtttdttt ²21.)21².(2
242 
Em seguida, escolhemos uma função para ser . 
 
 
 
dtt
du
tdtdut
dt
du
.
4
44  
ctt
uuucuduu
du
udttt







 
²21²).21.(
6
1
..
6
1
.
6
1
.
3
2
.
4
1
..
4
1
4
.²21. 32
3
2
1
 
 
2.4. Substituição – Aplicações dessas integrais em problemas de física 
1. No movimento de uma partícula, tem-se 5²4
4
)(


t
t
tv
. Determine a função horária que, 
para , toma o valor , ou seja, para . 
 
Resolução: 
 dttvts )()( 
dt
t
t
ts 


5²4
4
)(
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
2.5. Aplicações dessas Integrais em problemas de engenharia 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos algumas técnicas de integração, de modo que foi possível conhecer a 
Integração por Decomposição, observando as propriedades da integral, aplicações dessas 
integrais em problemas de física e engenharia, e passamos pela técnica de Integração por 
Substituição. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
FLEMMIING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivada, integração. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
BLOCO 3. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO II 
Neste bloco, estudaremos a técnica de Integração por Partes, onde o passo a passo 
apresentado faz uma demonstração da fórmula que colabora com o cálculo de integrar uma 
determinada função. 
Ainda neste bloco, veremos as integrais de funções trigonométricas, passando pelas aplicações 
das integrais em problemas de Física e Engenharia. 
 
3.1. Integração por Partes 
Definição 
Para primitiva de primitiva de , temos: 
Uma função composta pelo produto , onde sua derivada fica: 
 
 
Logo: 
 
 
  



gFFGGf
gFGfFG
gFGfGF
..
..
..)'.(
 
Gerando a fórmula de Integração por Partes: 
  dxxgxFxGxFdxxGxf )().()().()().( 
 
Exemplo 1 
Calcule  dxxx .cos. 
1º Passo: Escolher as funções 
 e 
 
2º Passo: Determinar : 
 
 
 
3º Passo: Utilizar a fórmula   dxxgxFxGxFdxxGxf )().()().()().( 
  xsenxxdxsenxxsenxdxxx cos..1).(..cos. 
 
 
 
 
25 
 
Exemplo 2 
Calcule  dxxx .ln². 
1º Passo: Escolher as funções : 
 e 
 
2º Passo: Determinar : 
 
 
 
3º Passo: Utilizar a fórmula   dxxgxFxGxFdxxGxf )().()().()().( 
9
³
ln.
3
³
.
3
²
ln.
3
³
.
1
.
3
³
ln.
3
³
.ln².
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
x
dxxx   
 
3.2. Aplicações dessas integrais em problemas de Física e Engenharia 
Exemplo 1. Um tanque de 72 litros de capacidade está cheio de um líquido. No instante , 
tomando como origem do tempo, abre-se uma torneira do tanque, e uma bomba faz com que 
o líquido saia pela torneira a uma razão, no instante , de – litros por min. Calcule o 
volume de líquido no tanque no instante . 
Resolução: 
)1ln(),(  t
dt
dV
vazãotemostVSendo
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
3.3. Integração de algumas Funções Trigonométricas 
Algumas identidades trigonométricas 
Para integrar algumas funções trigonométricas, é fundamental conhecer essas identidades: 
 
2
2cos1
²cos
2
2cos1
²
1²cos²
x
x
x
xsen
xxsen





 
1²cos²cot
1²sec²


uecxg
xxtg
 
 
 
Exemplo 1 
Calcule  xdxxsen
25 cos. 
 
 
 
28 
 
1º Passo 
senxxsenxxxsenxxsenxxx
xsenxxxsenxsenxxsen
.cos.cos.2²cos.²cos.).cos²cos.21(
²cos.)².²cos1(²cos.²)².(cos.
644
25


 
2º Passo 
dxsenxxsenxxxsenxxdxxsen ).cos.cos.2²cos.(cos. 6425   
senxdxxsenxdxxxdxsenx .cos.cos.2²cos. 64   
cxxx  75 cos
7
1
cos.
5
2
³cos.
3
1
 
 
Exemplo 2 
Calcule dxxg )2(cot 4 
1º Passo 
 
1)2²(cos)2²(cos).2²(cot
1)2²(cos)2²(cos).2²(cot
)2²(cot)2²(cos).2²(cot
)1)2²().(cos2²(cot)2²cot).2²(cot)2(cot4




xecxecxg
xecxecxg
xgxecxg
xecxgxgxgxg
 
2º Passo 
cxxgxg
dxxecxecxgdxxg

 
)2(cot.
2
1
)2³(cot.
6
1
)1)2²(cos)2²(cos).2²((cot)2(cot 4
 
 
3.4. Integração de algumas funções Trigonométricas - Aplicações 
1. Um determinado local de uma cidade possui a temperatura dada por graus Celsius, 
onde representa o tempo em horas do dia, no intervalo de 6h até 12h. Calcule a temperatura 
média no intervalo indicado para 
xsen
x
tf 4
4
²
)( 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Resolução 
Valor médio de em é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
2. Um determinado fio retilíneo localizado no intervalo 
 
 
 tem densidade no ponto de 
abscissa . Determine a massa desse fio sendo xx
5cos)(  . 
 
Resolução: 

2
0
5cos

xdxm
 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a técnica de integração por partes, as integrais de funções 
trigonométricas e ainda as aplicações das integrais em problemas de Física e Engenharia. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
FLEMMIING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivada, integração. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1. 
 
 
 
31 
 
BLOCO 4. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS 
Neste quarto bloco, estudaremos as funções de duas ou mais variáveis, passando pelo 
conjunto domínio da função e também pelo conjunto imagem da função. 
Vamos aproveitar para estudar os gráficos e equações de algumas superfícies, como a esfera e 
o traço de superfície. 
 
4.1. Funções de duas ou mais variáveis 
Definição: 
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional (
nRA ), isto é, os elementos de A são n-uplas 
ordenadas ( nxxxx ,...,,, 321 ) de números reais, se a cada ponto P do conjunto A associamos 
um único elemento de z ϵ R, temos uma função RRAf n : . Essa função é chamada 
função de n-variáveis reais. 
 
Exemplos de Funções com duas variáveis 
Volume de um cilindro 
 
 
Onde o volume depende das variáveis r (raio da base) e h (altura do cilindro). 
 
Área de um paralelogramo 
 
 
 
Sendo a área do paralelogramo o produto entre as duas variáveis, (base) e (altura). 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Exemplos de Funções com várias variáveis 
Área de trapézio 
 
2
).( hbB
AT

 
Para determinar a área do trapézio, é preciso três variáveis: (base maior), (base menor) e 
 (altura). 
 
Estado de um gás ideal 
V
TRn
p
..
 
Onde: 
p = pressão; 
V = volume; 
n = massa gasosa em moles; 
R = constante molar do gás; e 
T = temperatura. 
 
4.2. Domínio das funções 
Exemplos 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
4.3. Imagem das funções 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
4.4. Gráficos e Equações de uma Superfície 
A Esfera 
 
Exemplos 
 
 
 
 
38 
 
 
 
Traços de Superfície 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos as funções de duas ou mais variáveis, passando pelo conjunto domínio 
da função e também pelo conjunto imagem da função, onde os gráficos se apresentam com 
uma enorme importância para uma melhor compreensão. 
Passamos ainda pelos gráficos e equações de algumas superfícies, como a esfera e o traço de 
superfície. 
 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivada, integração. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1. 
FLEMMIING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 2. 
 
 
 
40 
 
BLOCO 5. LIMITE E DERIVADAS PARCIAIS 
Neste bloco, estudaremos a definição e propriedades de limite de funções de duas ou várias 
variáveis. Teremos alguns exemplos envolvendo o cálculo de limite quando ocorre uma 
indeterminação, onde existem algumas técnicas para colaborar no desenvolvimento. 
 Ainda neste bloco, vamos estudar as Derivadas Parciais, uma ferramenta fundamental em 
Cálculo para determinar pontos extremos de uma determinada função. 
 
5.1. Definição e Propriedades de Limite 
Definição: 
Seja uma função de duas variáveis definida em todo o interior de um círculo de centro , 
exceto possivelmente no próprio . 
A afirmação Lyxf
bayx


),(lim
),(),(
 significa que, para , existe , tal que se 
  Lyxfbyax ),(,)()(0 22 
 
Proposição 
Sendo J e K dois subconjuntos de , ambos com como ponto de acumulação, se 
 tem limites diferentes quando tende a através de pontos de J e de K, 
respectivamente, então ),(lim
),(),(
yxf
bayx 
 não existe. 
 
 
Propriedades de Limite 
Se são funções de duas variáveis, onde ),(lim),(lim
),(),(),(),(
yxgeyxf
bayxbayx 
 
existem, e , temos: 
I. ),(lim),(lim)],(),([lim
),(),(),(),(),(),(
yxgyxfyxgyxf
bayxbayxbayx 
 
II. ),(lim),(lim)],(),([lim
),(),(),(),(),(),(
yxgyxfyxgyxf
bayxbayxbayx 
 
III. ),(lim),(lim)],(),([lim
),(),(),(),(),(),(
yxgyxfyxgyxf
bayxbayxbayx 
 
IV. 0),(lim
),(lim
),(lim
),(
),(
lim
),(),(
),(),(
),(),(
),(),(





yxgse
yxg
yxf
yxg
yxf
bayx
bayx
bayx
bayx
 
V. 0),(lim),(lim),(lim
),(),(),(),(),(),(


yxfseyxfyxf
bayxbayxbayx
 
 
 
 
41 
 
VI. Nnseyxfyxf
n
bayx
n
bayx






),(lim),(lim
),(),(),(),(
 
VII. ),(lim),(lim
),(),(),(),(
yxfcyxfc
bayxbayx 
 
 
5.2. Limite de funções de duas variáveis 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
5.3. Problemas de Aplicações das Funções de duas ou várias variáveis 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
 
 
5.4. Derivadas Parciais 
Definição: 
Seja uma função de duas variáveis, as derivadas parciais são as funções xf e yf : 
fD
x
f
f
h
yxfyhxf
yxf xx
h
x 






),(),(
lim),(
0 
 
de temperatura? 
 
 
 
46 
 
fD
y
f
f
h
yxfhyxf
yxf yy
h
y 






),(),(
lim),(
0
 
xf : considere a variável como constante e derive com relação a . 
yf : considere a variável como constante e derive com relação a . 
 
Exemplo 1 
Se encontre )
3
,1(

xf e )
2
,3(

yf . 
 
Resolução: 
Para determinar xf , considere a variável como constante e derive com relação a . 
 
 
 
yxy
xx
f
yxf x cos.2³
1
),( 



 
 
)
3
,1(

xf
 = 272
1
.2
27
1
3
cos.1.2
31
1 33
3








 
Para determinar yf , considere a variável como constante e derive com relação a . 
 
senyxxysenyxxy
y
f
yxf y ².²3)².(²30),( 



 
9
4
².9
1.9
4
²
.9
2
².3
2
.3.3)
2
,3(
2








senf y
 
 
Exemplo 2 
Se 







y
x
senyxf
1
),( , calcule 
y
f
e
x
f




: 
 

















yy
x
x
f
1
1
.
1
cos
 
 
 
 
 
47 
 
)²1(
.
1
cos
)²1(
)(
.
1
cos
)²1(
)10.()1.(0
.
1
cos
y
x
y
x
y
x
y
x
y
xy
y
x
y
f




































 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a definição e propriedades de limite de funções de duas ou várias 
variáveis. Ao estudar alguns exemplos envolvendo o cálculo de limite, foi possível identificar 
que existem casos de indeterminação, onde algumas técnicas são necessárias para análise da 
existência desse limite no valor indicado. Aproveitamos para estudar as Derivadas Parciais, que 
é um tópico fundamental para identificarmosos pontos extremos de uma determinada 
função. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivada, integração. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1. 
FLEMMIING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
BLOCO 6. DERIVADAS PARCIAIS E INTEGRAL DUPLA 
Neste bloco, estudaremos as Derivadas Parciais Sucessivas, onde será importante recordar as 
regras de Derivação de Função com uma Variável, passando ainda pelas Derivadas Direcionais 
e o Vetor Gradiente, sendo um tópico de cálculo que auxilia na determinação da taxa de 
variação em um determinado intervalo com o uso do vetor unitário. Dando sequência ao 
conteúdo, estudaremos os Extremos de Funções de Duas Variáveis, para assim determinar o 
ponto de máximo, ponto de mínimo, ponto de sela da função e concluiremos com as Integrais 
Múltiplas. 
 
6.1. Derivadas Parciais Sucessivas 
Definição: 
Seja uma função de duas variáveis, as derivadas parciais de segunda ordem são as funções: 
xxf , xyf , yyf e yxf : 
²
²
x
f
x
f
x
f
f xx












 
xy
f
x
f
y
f
f xy













²
 
²
²
y
f
y
f
y
f
f yy












 
yx
f
y
f
x
f
f yx













²
 
 
Exemplo 1 
Se ³9²7²³3),( yxyxyxf  , apresente suas derivadas parciais de 2ª ordem. 
Resolução: 
1ª ordem: 
xyx
x
f
yxf x 14²²9),( 


 
²27³6),( yyx
y
f
yxf y 


 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
2ª ordem: 
14²18
²
²



 xy
x
f
f xx 
yx
xy
f
f xy ²18
²



 
yx
y
f
f yy 54³6
²
²



 
yx
yx
f
f yx ²18
²



 
 
Exemplo 2 
Se  yxsenyxf 73),(  , calcule 
xy
f
e
yx
f



 ²²
: 
1ª Ordem 
   yxyx
x
f
73cos.303).(73cos 


 
   yxyx
y
f
73cos.770).(73cos 


 
 
2ª Ordem 
)73cos(.21)]03).(73(.[7)]73cos(.7[
²
yxyxsenyx
xyx
f






 
)73cos(.21)]70).(73(.[3)]73cos(.3[
²
yxyxsenyx
yxy
f






 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
6.2. Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente 
 
 
 
 
 
 
51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
6.3. Extremos de funções de duas variáveis 
Definição 
Funções de duas variáveis podem apresentar pontos de máximo, de mínimo ou de sela. 
Seja f uma função de duas variáveis, um par ordenado é ponto crítico de se: 
0),( baf x e 0),( baf y 
ou 
),( baf x ou ),( baf y não existe. 
Discriminante 
),().,(),().,(),( yxfyxfyxfyxfyxD yxxyyyxx  
Teste da Segunda Derivada 
Se e 0),( baf xx , então é um mínimo local. 
Se e 0),( baf xx , então é um máximo local. 
Se , então o é ponto de sela de e o gráfico de cruza seu plano tangente 
em . 
Se , não dá nenhuma informação. 
 
Exemplo 
Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de 
14),( 44  xyyxyxf . 
1º Passo: Identifica os pontos críticos 
yxyxfx 44),( 3  e xyyxf y 44),(
3  
Igualando as derivadas a zero, temos as equações: 






044
044
3
3
xy
yx
 
Resolvendo o sistema onde , temos: 
 
1
1
0
1
0
1
0
0)1.(004³)(4
8
893










x
ou
x
ou
x
x
ou
x
x
ou
x
xxxxxx 
Encontrando os pontos: . 
 
 
 
53 
 
2º Passo: Segundas derivadas parciais e . 
212),( xyxfxx  , 
212),( yyxf yy  , 4),( yxfxy e 4),( yxf yx 
 – 
3º Passo: Teste da segunda derivada 
Ponto 
 , então o é ponto de sela de e o gráfico de cruza seu plano 
tangente em . 
 
Ponto 
 e 012)²1.(12)1,1( xxf , então é um 
mínimo local. 
 
Ponto 
 e 012)²1.(12)1,1( xxf , então é um mínimo 
local. 
 
6.4. Integrais múltiplas 
Integral Dupla 
 
 
 
 
54 
 
 
 
 
Integral Tripla 
 
 
 
 
55 
 
 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos as Derivadas Parciais Sucessivas, as Derivadas Direcionais e o Vetor 
Gradiente, os Extremos de Funções de Duas Variáveis, para assim determinar o ponto de 
máximo, ponto de mínimo, ponto de sela da função e concluímos com as Integrais Múltiplas. 
 
Referências 
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 1999. v. 1. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivada, integração. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais 
múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 2.