Axiomas de Medição de Segmentos e ângulos

Prévia do material em texto

Discente: Kannanda Ribeiro Barreto 
Matéria: Fundamentos da Matemática II 
 
 
 Axiomas de Medição de Segmentos e ângulos 
 
 
 AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE SEGMENTOS 
 
1.1 Os seguintes axiomas são usados para medir segmentos: 
 
Figura 1: 
 
 
Axioma de medição 1: A todo par de pontos do plano corresponde um número maior ou 
igual a zero. Este número é zero se e somente se os pontos são coincidentes. 
O número a que se refere este axioma é chamado de distância entre os pontos ou o 
comprimento do segmento determinado pelos dois pontos. Cada axioma tem uma 
referencia de medida o início do enunciado. 
 
Figura 2: 
 
 
 
Axioma de medição 2: Se eu tenho vários pontos no plano, estes pontos podem ser 
sempre colocados em relação com os números reais, de modo que a diferença entre os 
números correspondentes aos pontos meça a distância entre estes pontos. 
Este axioma poderia receber o apelido de axioma da "régua infinita", pois existe vários 
pontos em seu plano fazendo com que a reta seja infinita. O comprimento do segmento 
AB, denotado por , é igual a = |a − b|. 
 
 
Figura 3: 
 
 
 
Axioma de medição 3: Se C esta entre A e B, ou seja, a distancia entre o ponto AC+ a 
distancia do ponto CB é = a AB. Logo A<C<B ou A>C>B. 
 
Proposição 2.1 
 
Se, em uma semi-reta SAB, consideramos um segmento AC com AC < AB, então o 
ponto C estará entre A e B. 
 
C pertence a SAB. 
Certamente o ponto A não pode estar entre B e C, 
já que B e C estão na mesma semi-reta de origem 
A. Se o ponto B estivesse entre A e C então, pelo 
axioma III3, teríamos AB +BC = AC e, como 
consequência, AB < AC. Mas esta desigualdade é 
contrária a hipótese AC < AB. Portanto, é o ponto C 
que está entre A e B. 
 
Teorema 2.2 
 
Sejam A, B e C pontos distintos de uma reta cujas coordenadas são, respectivamente, a, 
b e c. Então A, C, B se e somente se o número c está entre a e b. 
 
Caso 1: 
AC + CB = AB 
 |c − a| + |b − c| = |a − b|, 
 logo {|c − a| < |b – a| => c – a < b – a => c > a 
 {|b – c| < |b – a| => b – c < b – a => c > a 
 conclui-se que a < c < b. 
 
Caso 2: 
 BC + AC = BA 
 
 |C – B| + |C – A| = |B – A| 
Logo, { |C – B| < |B – A| => C < B 
 { |C – A| < |B – A| => C < A 
Conclui-se que, B < C < A 
 
Tanto no caso 1 quanto no caso 2 o número C esta entre os pontos A e B. 
 
Axioma de medição 3: Se A < C < B, então AC + CB = AB. É importante observar 
aqui que o axioma não diz que se AC + CB = AB então A < C < B. O Axioma de 
Medição 2 diz apenas que existe uma bijeção entre os pontos de uma reta e os números 
reais, porém não fixa nenhuma restrição para a bijeção. O Axioma de Medição 3, 
garante que a bijeção não será arbitrária, ela tem que satisfazer a uma certa ordem. É 
isto que diz a próxima proposição. 
 
AC < AB e CB < AB 
 
Considerando as semi-retas determinadas pelo ponto A. Se C e B pertencem 
à mesma semi-reta, então é uma consequência da proposição anterior que C está entre A 
e B. Afirmo que C e B não podem pertencer as semi-retas distintas, isto é, não podem 
ser separados pelo ponto A. Se este fosse o caso, seria o ponto A que estaria entre B e C 
e teríamos BA + AC = BC. Mas o resultado é que BA < BC o que está em contradição 
com a desigualdade já obtida acima. Isto prova a armação e conclui a demonstração do 
teorema. 
 
 
Teorema 2.3 
Um segmento tem exatamente um ponto médio. Chamamos de ponto médio do 
segmento AB a um ponto C deste segmento tal que AC = CB. 
 
A distancia AC = CB 
 
Seja AB um segmento, e a e b suas coordenadas respectivamente e a < c < b, tal que c = 
(a + b) \ 2. 
O ponto C é o ponto médio de AB. De fato, verifica-se que: 
 AC = |a − c| =|a- a+b \2| = | a\2 − b\2| 
 CB = |c − b| = |a + b \2 - b| = |a\2 - b\2 | 
 
Concluímos que AC = CB. Como o numero (a + b)\2 está entre os números a e b, segue-
se da proposição anterior que C está entre A e B. Logo C é o ponto médio de AB. 
 
Prova de unicidade: 
 
C’ onde, a distancia de AC’ = a distancia de C’B 
 
(I) no caso em que a < c’ < b, 
c’ - a = b – c’ 
 
(II) no caso em que b < c’ < a, 
 a - c’ = c’ – b 
 
Em ambos os casos a conclusão é que c’ = a + b \2. Assim, em qualquer circunstância, 
c’ = c e, portanto, C = C'. Fica assim provada a unicidade do ponto médio. 
 
Definição: Seja A um ponto do plano e r um numero real positivo. O círculo de centro 
A e raio r é o conjunto constituído por todos os pontos B do plano tais que AB = r. 
 
 
 
Círculo de centro A e raio AB = r. C está dentro do 
disco e D está fora do disco. 
 
 
O conjunto dos pontos C que satisfazem a desigualdade AC < r é chamado de disco de 
raio r e centro A. Um ponto C está fora do circulo se AC > r e dentro se AC < r. 
 
 
 AXIOMAS SOBRE MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 
Definição1.1 
 
 Chamamos de ângulo a figura formada por duas 
semi-retas com a mesma origem. 
 
 
 
 
Existem várias maneiras distintas de representar um 
ângulo. Por exemplo, o ângulo da figura pode ser 
designado por DÂE ou E^DA. Ao utilizarmos esta 
notação, a letra indicativa do vértice deve sempre 
aparecer entre as outra duas, as quais representam 
pontos das semi-retas que formando o ângulo. 
 
 
 
 
 
 
As semi-retas são chamadas de lados do ângulo e a 
origem comum, de vértice do ângulo. Um ângulo 
formado por duas semi-retas de um mesma reta é 
chamado de ângulo raso. 
 
 
 
 
 Se dois ângulos BADˆ e CADˆ possuem um lado 
Sad em comum e os outros dois lados Sab e Sac são semi-retas distintas de uma mesma 
reta, os ângulos são ditos suplementares. Os ângulos BACˆ e CADˆ são suplementares. 
 
 
 
Axioma de Medição 4: A todo ângulo corresponde um único número real maior ou 
igual a zero. Este número é zero se e somente se os lados do ângulo coincidem. Uma 
semi-reta divide um semi-plano se ela pertence ao semi-plano. 
 
Definição: Diremos que uma semi-reta divide um semi-plano se ela estiver contida no 
semi-plano e sua origem for um ponto da reta que o determina. 
 
 
Axioma de Medição 5: Existe uma bijeção entre as semi-retas de mesma origem que 
dividem um dado semi-plano e os números entre zero e 180, de modo que a diferença 
entre os números é a medida do ângulo formado pelas semi-retas correspondentes. 
 
 
 
 
A medida de um ângulo AÕBˆ será denotada pelo próprio 
ângulo. Assim, AÕBˆ poderá indicar o ângulo ou a medida 
deste ângulo, mas sempre estará claro no contexto se 
estaremos nos referindo ao ângulo ou a sua medida. 
Observe que o ângulo raso mede 180◦ graus. 
Uma semi-reta Soc divide o ângulo AOBˆ se o 
segmento AB intersecta Soc. Se uma semi-reta SÕC 
divide o ângulo AOBˆ de tal modo que AOCˆ = COBˆ 
, dizemos que Soc é a bissetriz do ângulo AÕB. 
 
 
 
Axioma de Medição 6: Se uma semi-reta Soc divide um ângulo AÕB, então 
 
 
 
 
 Definição: Dois ângulos AÕB e CÕD são ditos 
opostos pelo vértice se os pares de lados (Soa, 
Sod)e(Sob, Soc) são semi-retas distintas de uma 
mesma reta. Note que ângulos opostos pelo vértice 
têm o mesmo suplemento. Portanto, ângulos 
opostos pelo vértice têm a mesma medida. 
AÕB = AÕC + CÕB. 
 
Soc divide o ângulo AÕB . 
 
 
 
 
CODˆ e AOBˆ são opostos pelo vértice. 
 
De fato, se AÔB e DÔC são ângulos opostos pelo 
vértice, então eles tem o mesmo suplemento: AÔD. 
Logo, 
AÔB + AÔD = 180º 
DÔC + AÔD = 180º 
Portanto AÔB = 180º AÔD = DÔC 
 
 
 
Teorema: Por qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a esta reta. 
 
Definição: Um ângulo cuja medida é 90◦ é chamado ângulo reto. Se duas retas se 
intersectam formando um ângulo reto, dizemos que as retas são perpendiculares. Se a 
soma das medidas de dois ângulos é 90◦, dizemos que os ângulos são complementares. 
 
Demonstração: A existência é garantida pelo Axioma de Medição 5. Suponha então que 
existam duas perpendicularesr e r’ a uma reta m passando pelo ponto A. Assim, r e r’ 
formam um ângulo α em um dos semi-planos determinados por m. Mas como r e r’ 
formam ângulos retos com m, segue que α = 0. Logo, r e r’ coincidem. 
Um ângulo é agudo se mede menos de 90◦ e é obtuso se mede mais de 90◦. 
 
 
 
 
 
Prova: Dada uma reta m e um ponto A sobre ela, as duas semi-retas determinadas por A 
formam um ângulo raso. Considere um dos semi-planos determinados pela reta m. De 
acordo com axioma 5,entre todas as semi-retas com origem A, que dividem o semi-
plano fixado, existe uma cuja coordenada será o numero 90º. Esta semi-reta forma, com 
as duas semi retas determinadas pelo ponto A sobre a reta m, ângulos de 90º. Portanto 
ela é perpendicular à reta m.