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Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
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UNIDAD 1
TEORÍA DE CONJUNTO
1.1 Introducción
La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y
relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en
sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y
estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; gracias a
las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella.
El término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la estructura matemática.
Generalmente, esta palabra se acepta en matemáticas como un término indefinido, tal como en
geometría que toma, entre otros, los términos punto, línea, plano, que sin definición pero si de
manera intuitiva.
1.2 Definición de conjunto
Se llama conjunto a toda agrupación, colección o reunión de individuos (cosas, animales,
personas o números) bien definidos que cumplen una propiedad determinada. A los objetos del
conjunto se denominan “elementos”.
Ejemplo1:
a) Conjunto formado por los colores de la bandera paraguaya
b) Conjunto formado por las vocales de la palabra murciélago.
c) Conjunto formado por los números naturales múltiplos de 7
1.3 Notación de conjuntos
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A , B , C ,….etc.
Los elementos con letras minúsculas: a,e,i,n,m,…….
Los conjuntos se escriben entre llaves o por medio del diagrama de Venn
1.4 Representación de los conjuntos
Los conjuntos se representan en forma de llaves o por medio del diagrama de Venn.
Diagramas de Venn: consisten en figuras geométricas planas y cerrada s; dentro de cada
figura se ponen los elementos que le corresponden
Ejemplo: A
A = { a , e} a
e
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica
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1.5 Determinación de conjunto
Un conjunto se determina de dos formas: por extensión y por comprensión
1.5.1 Por extensión
Un conjunto se escribe por extensión cuando se enumeran o se nombran los
elementos del conjunto
Ejemplo : {3,6,9,12,15}
1.5.2 Por comprensión
Un conjunto se escribe por comprensión cuando se enuncia la propiedad o cualidad
que distingue a los elementos. Para el efecto: { x / x cumple la propiedad}
Ejemplo: { x / x es una vocal de la palabra murciélago}
1.6 Relaciones de conjuntos
Las relaciones que se pueden dar entre conjuntos son: pertenencia, inclusión e igualdad.
1.6.1 Relación de pertenencia:
El signo que representa la relación de pertenencia es ∈. En efecto, sea A un conjunto
cualquiera y x un elemento, para indicar que x es elemento de A o simplemente que, x está en A
se simboliza:
x∈ 𝐴. Si x no es elemento de A , se simboliza: x∉ A.
La relación de pertenencia se da entre elementos y conjuntos, pero no entre conjuntos.
Exceptuando el caso del conjunto potencia.
Ejemplo: Sea A el conjunto los colores de la bandera del Paraguay
A = {rojo, blanco, azul}
Rojo ∈ A blanco ∈ A azul ∈ A amarillo∉ A
1.6.2 Relación de inclusión de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B , esta relación se utiliza para indicar que el conjunto A es
subconjunto del conjunto B, lo cual se escribe: 𝐴 ⊆ 𝐵. Se lee A es subconjunto de B, A está
incluido en B , A está contenido en B, B incluye a A
Si A no es subconjunto de B , se simboliza: 𝐴 ⊆ 𝐵.
Se dice que A es subconjunto de B si todos los elementos de A también están en B
Subconjunto propio: Si A es un subconjunto de B y existen elementos de B que no están en A,
entonces A es un subconjunto propio de B. Se simboliza 𝐴 ⊂ B
1.6.2.1 Propiedades de la Inclusión
* A ⊆ A . Todo conjunto es subconjunto de sí mismo
* A ⊆ B ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ⇒ 𝐴 ⊆ 𝐶
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Ejemplo : Dados los conjuntos A={3,5,6,9,4}, B={3,4,7,9,6,5} y C={3,9,5,7,4,6,8,} ponga entre el
paréntesis V o F si los siguientes enunciados son verdadero o falso, respectivamente y justifique
el por qué de los falsos.
a) ( ) B⊂ A
b) ( ) B⊆ A
c) ( ) C⊆ A
d) ( )A⊂ C
e) ( ) B⊂ C
f) ( ) C⊆B
Solución
Según el ejemplo se puede observar que A es subconjunto propio de B y a la vez éste
de C
1.7 Relación de igualdad entre conjuntos
La igualdad de dos conjuntos A y B denotada A=B , se da cuando todos los elementos de A
están en B y viceversa.
La igualdad de conjuntos intuitivamente dice: “dos conjuntos son iguales si y solo tienen los
mismos elementos (no importa el orden)”.
Si algún elemento x de A no está en B o algún elemento x de B no está en A se dice que A es
diferente de B y se simboliza: A ≠ 𝐵
Ejemplo : Dados los conjuntos
A={x/x es un número primo positivo menor que 8}, B={ x/x es un factor de 210}; ¿A=B?
Compruébelo.
Solución
Escribimos los conjuntos A y B por extensión y luego comparamos
A={2,3,5,7} ; B={2,3,5,7}
Por tanto, los conjuntos son iguales
1.8 Clases de conjuntos
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1.8.1 Conjunto finito
Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento se puede contar; es decir, es aquel conjunto en
que sus elementos se pueden nombrar o enumerar.
Ejemplo : A={x/x es un número entero mayor o igual que -3 y menor que 5}. Este conjunto está
formado por 8 elementos. En efecto, A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,4}
1.8.2Conjunto vacío
Existe un conjunto especial denominado “conjunto vacío” o “conjunto nulo” y algunos definen
como un conjunto sin elementos. Este último concepto se presta para confusiones cuando se
dice “conjunto sin elementos”. El conjunto vac+io se denota por la letra 𝜙 o simplemente { }
Observación:
No es correcto decir, “un conjunto vacío”; debe decirse siempre “el conjunto vacío”
porque este conjunto es único.
No confundir 𝜙 con { 𝜙} ; pues este último es un conjunto vacío.
1.8.3 Propiedades del conjunto vacío
1.8.4 Conjunto Unitario
El conjunto unitario es aquel solamente tiene un elemento.
Ejemplo : Los conjuntos siguientes , son unitarios:
A={x/x es un pontífice entre los años 1985 y 2005} ; B={xN / x2– 4=0}
1.8.5Conjunto binario
El conjunto binario es aquel que está formado por dos elementos.
Ejemplo: Es un conjunto binario A = { x 𝜖 Z / x2 – 4 = 0}
Solución
Escribimos por extensión , el conjunto A
A = { - 2 , 2}
Por tanto el conjunto A tiene 2 elementos, es un conjunto binario
1.8.6 Conjunto Universal
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Sean A y U conjuntos cualesquiera. Se dice que U es un conjunto universal o referencial
respecto al conjunto A, si A⊆ U.
El conjunto universal es el que contiene todos los elementos en estudio
Ejemplo : dados los conjuntos U={1,3,5,7,9,11}, A={3,9,11}, B={2,5,7,9}, C={1,6} y D={1,7,11,5},
determine si U es conjunto universal respecto a los demás conjuntos.
Solución
𝐴 ⊆ 𝑈 ; 𝐵 ⊈ 𝑈 ; 𝐶 ⊈ 𝑈 ; 𝐷 ⊆ 𝑈
En efecto, U es un conjunto universal respecto a los conjuntos A y D, pero no con respecto a los
conjuntos B y C. Porque los elementos de B y C no pertenecen al conjunto universal-
1.8.7 Conjunto infinito
Es aquel conjunto cuya cantidad de elemento no se puede contar; es decir, es aquel conjunto
en que sus elementos no se pueden nombrar o enumerar. Sonejemplos de conjuntos infinitos,
los conjuntos numéricos: los Naturales (N) , los enteros (Z) , los reales (R), los racionales (Q) , los
complejos ( C)
Ejemplo: El conjunto A = {x 𝜖R / x > 100} es infinito parque ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 100 , ∞)
1.8.8.Conjuntos disjuntos ( Incompatibles)
Son aquellos conjuntos que no tienen elementos comunes
Ejemplo: El conjunto de los números naturlaes pares y el conjunto de los números naturales
impares.
1.9 Conjunto potencia
El nombre de conjunto potencia proviene del hecho de que si un conjunto A tiene n elementos,
la cantidad de subconjuntos que se pueden formar con los elementos de A es 2 n. Este conjunto
también se conoce como conjunto de partes de un conjunto.
Sean A y X conjuntos cualesquiera; el conjunto formado por todos los subconjuntos de A de
denomina conjunto potencia y se denota por P(A). Simbólicamente: 𝑃(𝐴) = {𝑥/𝑥 ⊆ 𝐴}
Ejemplo: Sean A y B conjuntos definidos como A = {2} ; B = {1,2,3} ; C = { }.
Halle P(A) ; P(B) y P(C)
Solución
P(A) = {∅, {2}}
P(B) = {∅ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
P( C ) = {∅}
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2. Número de elementos de un conjunto
( Cardinalidad)
Sea A un conjunto finito; el número de elementos de un conjunto denotado n(A) corresponde a
un número natural que indica la cantidad de elementos del conjunto dado.
El cálculo del número de elementos de un conjunto consiste en contar los elementos del
conjunto; por lo tanto, se considerarán conjuntos finitos.
Se denominará n(A) al número cardinal de elementos de A o clase de A. Así que los conjuntos
que tengan igual número de elementos se podrá llamar conjuntos coordinables o equipotentes.
Ejemplo: Sean A = {𝑎, 𝑒, 𝑖} ; 𝐵 = ∅. Determine la cardinalidad de cada conjunto
Solución
n(A) = 3 n(B) = 0
Ejemplo: Dados los conjuntos A ={𝑎, 𝑚, 𝑜} 𝑦 𝐵 = {1,2,3} . Son equipotentes?
Solución
n(A) = 3 n(B) = 3
Los conjuntos A y B tienen el mismo número de elementos, por tanto son equipotentes
o coordinables.
ACTIVIDAD N° 1
1. Expresa por extensión los siguientes conjuntos:
a) M = { x / x es número natural impar menor que 10}
b) M = { x / x es país de América del Norte}
c) A = { x / x = ( n – 1 )2 , n 𝜖 Z , - 1 ≤ n < 4 }
d) B = { x / x =
5−𝑛
𝑛−3
, n 𝜖 Z , 0 ≤ n ≤ 5 }
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e) C = { x / x = n2 – 3 , n 𝜖 Z , - 3 ≤ n ≤ 3 }
f) F = { x / x 𝜖 Z , - 4 ≤ x < 8 , es par}
g) J = { x / x = n2 + n , x𝜖 Z , - 1 ≤ n ≤ 4 }
h) Q = { x / x es una letra de la palabra “calcular”}
i) A = { x / x2 – 25 = 0, 𝑥𝜖 𝑍 }
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j) B = { x / x 𝜖 Z , x es positivo y negativo}
k) A = { x / x2 = 4, 𝑥𝜖 𝑍 }
l) B = { x/x – 2 = 5 , 𝑥𝜖 𝑍 }
m) C = { x / x es positivo , x es negativo}
n) D =) { x/x es una letra de la palabra “correcto”}
2. Expresa por comprensión los siguientes conjuntos
a) A = { a , e , i , o , u}
b) M = { 4 , 6 , 8 , 10 , ……}
c) N = { 1 , 4 , 9 , 16 , 25, 36 ,49 , 64 , 81 , 100 }
d) M = {enero, febrero, marzo, ….., diciembre}
e) A = { 7 , 11 , 13, 17, 19}
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f) El conjunto A que consiste de las letras a , b , c , d y e.
g) El B = { 2 , 4 , 6, 8, ,……..}
h) El conjunto C de todos los países de las Naciones Unidas.
i) El conjunto D = { 3 }
j) Sea E los presidentes Nicanor Duarte Frutos, Fernando Lugo, Federico Franco,
Horacio Cartes, Mario Abdo Benitez
3. Escribe simbólicamente las afirmaciones siguientes:
a) v pertenece al conjunto M : …………
b) El conjunto T contiene como subconjunto al conjunto H :…………
c) Entre los elementos del conjunto G no está el número 2: ……….
d) El conjunto Z no es un subconjunto del conjunto A ………
e) El conjunto X no contiene al conjunto K : …………
f) El conjunto H es un subconjunto propio del conjunto. ………
g) x no pertenece a A ……………..
h) R es un superconjunto de S ………….
i) d es elemento de F ………….
j) F no es subconjunto de G …………
k) H no incluye a D ………….
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4. Completa las proposiciones siguientes con los símbolos ∈ o ∉
a) 2 ___ {1,3,5,7}
b) 5 ___ {2,4,5,6}
c) 3 ___{x ∈ℕ / 2 < x < 6 } {3, 4 , 5 }
d) 2 ___ {4,5,6,7}
e) 8 ___ { x∈ℕ / 8 < x < 10 }
f) 0 ____ Ø
g) América ____ { x / x es el nombre de un país },
h) 12 / 8 ______ N
5. Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales
A = { r , s , t} B = { s , t , r , s} C = { t , s , t , s}
D = { s , r , s , t}
6. Cuáles de estos conjuntos son iguales?
a) A = { x / x es una letra en la palabra “ tocata”}
b) B = Las letras de la palabra tacto
c) C = { x / x es una letra de la palabra “ cota”}
d) D = { a , c , o , t}
7. Entre los conjuntos que siguen , cuáles son diferentes?
a) { 0}
b) ∅
c) { ∅ }
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8. SeaT={ x∈ Z /4x=12 }. .Es T=3 ? .Por qué? ¿ Qué clase de conjunto es?
9. Si A = { x/2x = 6} y b = 3 , ¿es b = A?
10. Sea M = { r , s , t}. Determina si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.
En caso que sea Falsa, explicar porque
a) r 𝜖 M ………… --------------------------------------------------------------
---
b) r ⊂ M ………… --------------------------------------------------------------
---
c) { r } 𝜖 M ……….. --------------------------------------------------------------
---
d) { r } ⊂ M ……….. --------------------------------------------------------------
----
11. De entre los siguientes conjuntos, señala los que sean conjuntos vacíos:
A={x∈ℝ/ x2+x+1=0 } ……..
B={x∈ℝ/ x<4∨x>6} ……..
C={ x∈ℝ/ x2+x−1=0 } ………
D={x∈ℝ/ x+5=5} ………
F={ x∈ℝ/ 4 < x < 6} ………
13. Identifica los siguientes conjuntos en vacíos, unitarios, finitos o infinitos?
a) A = { x / x es dia de la semana} ……………….
b) B = { vocales de la palabra “ vals”} ……………….
c) C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .} ………………..
d) D = { x / x es un habitante de la luna} ……………..
e)E = { x∈ℕ/ x < 15} ...................
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f)F = { x∈ℕ/ 5 < x < 5 } ..................
g)G = { x∈ℕ/ x > 15} ..................
h)H = { x∈ℕ/ 3x = 6} ....................
i)I = { x / x es presidente del Mar Mediterráneo} ………………..
j) J = { x / x es el numero de pelos de todos los eslovacos que viven actualmente}
……………….
14. Sea M= {r , s ,t } . Dígase cuales de las afirmaciones siguientes son correctas. Si alguna es
incorrecta, decir el porque:
a) a∈M ………………………………………………………………………
b) r⊂M ……………………………………………………………………..
c) {r }∈M ……………………………………………………………………..
d) {r }⊂M ……………………………………………………………………….
15. Si E={1,0}, razona cuales de las afirmaciones siguientes son correctas y cuales no:
a) {0}∈E ………………………………………………..
b) {0}⊂E ………………………………………………..
c) 0∈E ……………………………………………….
d) 0⊂E ……………………………………………….
16. Consideremos el conjunto A={r , s ,m, e }. Razona la veracidad de las siguientes
afirmaciones:
a) c∈A ……………
b) {r , c ,m}⊂A ……………
c) {m}⊂A ……………
d) {e ,m, r }⊂A …………..
e){s , e }∈A ………….
f){s , e }⊂A …………
17. Dado el conjunto A = {𝟑 , 𝟒 {𝟔}, 𝟖} colocar Verdadero o Falso según corresponda , en
casoque sea Falso explicar:
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a) {3} ∈ A ………………. e) {𝜙} ⊆ A ……………..
b) 8 ∈ A …………………… f) {3,8} ∈ A ……..……….
c) ∅ ⊂ 𝐴 ……………………. g) {{6}} ⊂ A …………………
d) {𝜙} ⊂ A …………………….. h) {6} ∈ A ………………….
i) 𝜙 = {0} ………………….. j) 𝜙 = {𝜙} ………………..
k) {𝜙} = {0} ………………. l) 𝜙 𝜖{{𝜙}} ………………..
18. Justifica razonadamente que el conjunto A={2,3, 4,5} no es un subconjunto del C={x∈ N / x
es par}.
19. a).Es el conjunto A={1,3,5 ,7 } un subconjunto del conjunto
B={x∈ 𝑍/ x=2n , n>1}?
Y del C={ x∈ 𝑁/ x=2n+1, n > 3}? .Por qué?
b) D={2,4 ,6 ,7 ,8} es subconjunto de A o de B. ¿ Por qué?
20.Halla el conjunto potencia de cada conjunto:
a) M= {r , s ,t }
b) B={a , b}
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c) C= {𝑐 , 𝑑, 𝑒 , 𝑓}
21. Resolver:
a ) Si los conjuntos A = {2 𝑎−1 , 3𝑏+1} 𝑦 𝐵 = {16 , 27} son iguales, hallar la suma de los
elementos de C = {𝑥2 ∕ 𝑥𝜀 𝑁 ; 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎}
b ) Si los conjuntos A = {𝑥 + 7 , 2 𝑥 + 5} 𝑦 𝐵 = {𝑦 − 3 ; 5 𝑦 − 15} son unitarios, hallar E = x +
y
22. Si el conjunto A tiene 5 elementos, el conjunto B tiene 3 elementos, y además se sabe que
(A ∩ B) tiene 2 elementos entonces, .cual es la cardinalidad de (A∪B)?
23.Dado que el conjunto A esta definido como: A = { (a, b) / a ∈ ΙN, b ∈ ΙN y a + b = 12} .Cuál es
la cardinalidad del conjunto A ?
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24. Si A = {𝑥 ∈ 𝑁 1⁄ < 𝑥 < 5}. Hallar P ( A )
25. Si A = {𝑥 ∈ 𝑁 0⁄ ≤ 𝑥 ≤ 4}. Determinar P ( A )
26. Establecer el valor de verdad de los siguientes conjuntos:
a) 𝐴 = {𝑥 𝜀 𝑄 ∕ 10𝑥2 − 𝑚13 𝑥 − 3 = 0} es un conjunto unitario …………..
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 6⁄ < 𝑥 < 7} es un conjunto vacío ………………
c) 𝐶 = {𝑥 ∕ 𝑥 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3} es un conjunto infinito. ………………
d) 𝐸 = {1 , 2, 3} 𝑦 𝐵 = {1 , 1 , 3 , 2 , 3} son disjuntos ……………….
e) 𝐶 = {
−1
2
, 3} 𝑦 𝐷 = {𝑥𝜖 𝑅 2⁄ 𝑥2 − 5 𝑥 − 3 = 0} son iguales ……………….
f) 𝐴 = {𝑎 , 𝑏 , 𝑐} 𝑦 𝐵 = {1 , 2 , 3 } son conjuntos iguales ……………….
g) 𝑃 ( ∅ ) = {∅} ………………..
UNIDAD 2
Operaciones entre conjuntos
Las operaciones que pueden realizar con conjuntos son: la intersección, la unión, la diferencia,
la diferencia simétrica y el complemento.
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1.9.1 Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos y se denota : 𝐴 ∩ 𝐵
Simbólicamente: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Ejemplo: Determine 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 dado que A = {1,4,7,9} ; B = {1,2,9,5} ; C = {2,4,6,9} y U =
{1,2,9,5,4,6,8,7}
Solución
La solución por simple inspección se determina buscando los elementos comunes que tienen
los conjuntos A , B y C ; en efecto : 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {9}
Para determinar la solución gráfica:
1°) Buscamos los elementos comunes a A , B y C , en este caso 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {9}
2°) Buscamos los elementos comunes entre pares, es decir:
𝐴 ∩ 𝐵 = {1,9} ; 𝐴 ∩ 𝐶 = {4,6,9} ; 𝐵 ∩ 𝐶 = {2,9}
Observamos que el 9 se repite en las intersecciones, entonces el dato ponemos en la
intersección de los tres y completamos las intersecciones de pares de conjuntos con los datos
faltantes de esas intersecciones
3°) Completamos los conjuntos dados con los datos faltantes.
4°) Subrayamos el área correspondiente, donde están los elementos obtenidos por simple
inspección y ese es el resultado
1.9.2 Unión de conjuntos
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos comunes y no
comunes de ambos conjuntos (sin repetir elementos) y se denota: A∪ 𝐵 .
Simbólicamente: A∪ 𝐵 = {{𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}}
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Ejemplo : Determine 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 dado que A = {1,4,7,9} ; B = {1,2,9,5} ; C = {2,4,6,9} y U =
{1,2,9,5,4,6,8,7}
Solución
Por simple inspección, la solución se obtiene poniendo primero los elementos comunes y
luego se ponen los elementos no comunes, sin repetir elementos. En efecto,
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {9,1,4,6,7,2,3}
Para la solución gráfica, se procede tal como se halló la intersección del ejemplo anterior
1.9.3 Diferencia de conjuntos
La diferencia entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos no
comunes del conjunto B respecto al conjunto A; es decir, los elementos que están en A, pero no
están en B y se denota A-B. Simbólicamente: A – B = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
Ejemplo : determine gráficamente y por simple inspección los conjuntos C-B dado que
B={1,2,9,5}, C={2,4,6,9} y U={1,2,9,5,4,6,8,7}.
Solución
Por simple inspección C-B={4,6} y gráficamente
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1.9.4 Diferencia Simétrica de Conjuntos
La diferencia simétrica entre de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los
elementos no comunes de ambos conjuntos; es decir, los elementos que no están repetidos
entre los conjuntos y se denota A △ 𝐵
Simbólicamente: 𝐴 △ 𝐵 = {𝑥/𝑥 ∈ ( 𝐴 − 𝐵 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝐵 − 𝐴)}
Ejemplo: Determine gráficamente y por simple inspección B △ 𝐶 , dados los conjuntos
𝐵 = {1,2,9,5} ; 𝐶 = {2,4,6,9} 𝑦 𝑈 = {1,2,9,5,4,6,8,7}
Solución
Por simple inspección B – C = {1,5} y C – B = {4,6}
Por Tanto B△ C = {1,4,5,6}
1.9.5 Complemento de Conjuntos
Sea U un conjunto universal respecto a un conjunto A ( 𝐴 ⊆ 𝑈 ). El complemento de A es el
conjunto formado por los elementos de U que no están en A y se denota: A ´ , �̅� o Ac.
Simbólicamente: 𝐴´ = {𝑥/𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴, 𝐴 ⊆ 𝑈}
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Ejemplo: Determine gráficamente y por simple inspección los conjuntos ( B∩ C)´ dado que :
𝐵 = {1,2,9,5} ; 𝐶 = {2,4,6,9} 𝑦 𝑈 = {1,2,9,5,4,6,8,7}
Solución
Para obtener la solución por simple inspección determinamos primero la intersección entre B y
C
𝐵 ∩ 𝐶 = {2,9}
Hallamos el complemento 𝐵 ∩ 𝐶 respecto a U
(𝐵 ∩ 𝐶)´ = {1,4,5,6,7,8}
2.Número de elementos de la Unión de dos conjuntos
Sean A y B conjuntos cualesquiera, el número de elementos de 𝐴 ∪ 𝐵 denotado n(𝐴 ∪
𝐵) es n(A) + N(B) , si los conjuntos son disjuntos o también n(A) + n( B) – n(𝐴 ∩ 𝐵) ,
si los conjuntos no son disjuntos.
En general al realizar la unión de conjuntos se juntan los elementos de los conjuntos en
uno solo y aparecen elementos repetidos que corresponde a la intersección. Éstos no
deben contarse, por lo tanto se resta.
En general: n(A) + n( B) – n(𝐴 ∩ 𝐵)
Ejemplo: Dados los conjuntos A={2,3,5,7} y B={2,4,6,8} y C={1,9}, halle n(𝐴 ∪ 𝐵) , n(𝐴 ∪ 𝐶)
Solución
Hallamos la unión y la intersección entre los conjuntos A y B
𝐴 ∪ 𝐵={2,3,5,7,4,6,8} 𝐴 ∩ 𝐵={2}
Los conjuntos A y B no son disjuntos, entonces
n(𝐴 ∪ 𝐵) = 7
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Hallamos ahora n(𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∪ 𝐶 ={2,3,5,7,1,9} 𝐴 ∩C ={ }
A y C son disjuntos, por tanto n(𝐴 ∪ 𝐶) = 6
2.1 Número de elementos de la unión de tres conjuntos
Sean A, B y C conjuntos cualesquiera, el número de elementos de A ∪B∪ C denotadopor n (A ∪B∪ C ) es:
n (A ∪B∪ C ) = n ( A ) + n (B ) + n ( C ) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) - n (A ∩B∩
C )
ACTIVIDAD N° 2
1. Consideremos U={a , b , c , d , e} como conjunto universal y los subconjuntos
A={a , b , d } , B={b , d , e} y C={a ,b , e }. Halla por extensión y luego represéntalos en
el diagrama de Venn:
a) A∪B =
b) A∪C =
c) A∩B =
d) A' =
e) C−A =
f) B−C =
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g) A∩C' =
h) A∪A' =
i) A'∪C ' =
j) B'−A'=
2. Idem al anterior, para U={a , b , c , d , e , f , g } y A={a , b , c , d , e }, B={a , c , e , g } ,
C={b , e , f , g}.
a) A∪B =
b) A∪C =
c) A∩B =
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22
d) A' =
e) C−A =
f) B−C =
g) A∩C' =
h) A∪A' =
i) A'∪C ' =
j) B'−A'=
3. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12} el conjunto universal. Consideremos los subconjuntos,
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11}, D = {2, 4, 8} y C = {2, 3, 6, 12}. Determina los
conjuntos:
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23
a) A ∪ B=
b) A ∩ C =
c) (A ∪ B) ∩ C' =
d) A – B =
e) C – D =
f) B △ D =
4. Considerando U = {x ∈ 𝑍/2 ≤ 𝑥 < 9} ; A = { x ∈ 𝑍 1 ≤ 𝑥 < 5} ;
B = { x ∈ 𝑍/−10 ≤ 𝑥 ≤ 10, 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟}. Determinar los conjuntos siguientes:
a) A – B =
b) A´- B´ =
c) A ∆ B
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24
d) P ( A ) ∩ P ( B ) =
5. Considerando A = { x ∈ 𝑁/−3 < 𝑥 ≤ 8} ; B = { x ∈ 𝑁, −2 < 𝑥 < 8} ;
B = { x/ x ∈ 𝑁 , −2 < 𝑥 < 4} , U = A∪ B , determine : ( A ∆ B ) ´
6. Sean los conjuntos A = { 𝑥 ∈ 𝑍/( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 1) = 0}
B = { x ∈ 𝑍/(𝑥2 − 1)(𝑥2 − 4) = 0} y U = A ∪ B. Determine E = ( A – B)´
4. Problemas de Aplicación de las Operaciones entre Conjuntos
a) Una encuesta realizada a excursionistas de la ciudad de Medellín entre los últimos 4 años
acerca de los que habían visitado a Argentina, Bolivia y Canadá arrojó la siguiente información:
48% había ido a Argentina , 46% había ido a Bolivia , 30% había ido a Canadá , 26% había ido a
Argentina y Bolivia , 15% había ido a Bolivia y Canadá ,13% había ido a Argentina y Canadá , 10%
había ido a los tres países
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25
Se quiere saber:
a) El porcentaje que no ha ido a ninguno de los tres países
b) El porcentaje que ha ido a los sumo a dos países
c) El porcentaje que ha ido al menos a dos de estos países
d) El porcentaje que ha ido exactamente a un país
e) El porcentaje que ha ido a Argentina y no a Canadá
f) El porcentaje que ha ido a Bolivia o a Canadá, pero no a Argentina
Solución
Tomamos como recurso el diagrama de Venn para graficar el problema, luego las operaciones
de conjuntos lograremos la solución.
En efecto, veamos la gráfica del problema:
Designemos A: Argentina, B: Bolivia y C: Canadá y U: 100% de los encuestados
Para graficar tenemos en cuenta, que se inicia primeramente con las instrucciones que indican
intersección (de pares de conjuntos y de los tres); que se completan los conjuntos dados y que
el total, por ningún motivo, debe ser mayor que 100.
Solución de a: según la gráfica, el porcentaje que no ha ido a ninguno de los tres países es 20%.
Observe que está ubicado por fuera de los tres conjuntos.
Solución de b: La palabra “a lo sumo” significa “máximo”; en nuestro problema, donde se pide
hallar los que máximo han ido a dos países, es similar a que estén pidiendo los que han ido a 1 ó
a 2 países: 3%+15%+5%+16%+19%+12%=70%
Solución de c: La palabra “al menos” significa “mínimo”; en nuestro problema, donde se pide
hallar los que mínimo han ido a dos país, es similar a que estén solicitando los que han ido a 2 ó
3 países:
10%+16%+3%+5%=34%
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26
Solución de d: Los que han ido exactamente a uno de estos países son aquellos que viajado
únicamente a Argentina o únicamente a Bolivia o únicamente a Canadá. En efecto son:
15%+19%+12%=46%
Solución de e: el porcentaje que ha ido a Argentina y no a Canadá corresponde a la sección que
está en A, pero no está en C. Por consiguiente, es:
19%+16%=35%
Solución de f: La solución se puede ver en el diagrama de la figura se tiene:
15%+5%+12%=32%
ACTIVIDAD N° 3
1. El equipo de futbol-sala de la 3a clase del instituto Megalio está formado por Pedro, Diego,
Hugo, Carlos, Roberto, Rolando y Edgar. El equipo de Olimpiadas de Matemáticas de dicha
clase está formado por Andrea, Diego, Cristina, José, Rolando y Edgar.
a) Quienes están en ambos equipos? .
b) Quienes están en al menos uno de los dos equipos? .
c) Quienes están en el equipo de futbol-sala pero no en el de las
olimpiadas? .
d)Quienes están únicamente en el equipo de las olimpiadas?.
e)Quienes están solo en uno de esos dos equipos?
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
27
2.Laura tiene discos de diferentes géneros musicales: pop, rock, punk, gothic, clásica y jazz. Su
amiga Diana tiene discos de salsa, gothic, hip-hop, pop, metal e industrial. Luis, un amigo
común, quería escuchar la música que le gusta a cada una de ellas, así que le prestaron un
disco de cada uno de los géneros.
a) De que géneros le han prestado los discos?
b) Si Luis se decide a oír primero los discos que le gustan a ambas, .que discos ha de oír?.
3. En una encuesta realizada a 100 viviendas de un barrio , se obtuvo que: 60 casas tenían TV
plasma, 30 casas tenían equipo de sonido, 20 casas tenían DVD, 21 casas tenían TV plasma y
equipo de sonido , 15 casas tenían TV plasma y DVD , 4 casas tenían equipo de sonido y DVD.
Cuántas casas como máximo no tenían estos aparatos?
4.Un grupo de alumnos de la carrera de Ingeniería en Informática ha planeado realizar una
investigación sobre las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las películas A , B y
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
28
C. Después de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente información: 20 han visto la
película A , 17 han visto la película B , 23 han visto la película C , 6 han visto las películas A y B,
8 han visto las películas B y C , 10 han visto las películas A y C y 2 han visto las tres películas.
Cuántas personas han visto solo una película?
Cuántas personas han visto al menos una película?
5.Se pregunto a 50 padres de alumnos sobre los deportes que practicaban,
obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol y natación
; 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua :
a) el número de padres que practican natación, el numero de ellos que solo practican
natación
b) el número de los que practican alguno de dichos deportes.
6.Se pregunto a 11 profesores del instituto acerca de sus preferencia por dos marcas de café
instantáneo A y B y se obtuvieron los siguientes resultados: 7 prefirieron solo una de dichas
marcas; el número de personas que prefirieron ambas marcas fue igual al número de personas
que no prefirió ninguno de las dos; 3 personasmanifestaron que no prefieren la A pero si la B.
Se desea saber: a) .Cuantas personas prefirieron la marca A?
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
29
b) .Cuantas personas prefirieron solo la B?
c) .Cuantas personas manifestaron que les eran indistintas ambas marcas?
7.Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de
refrescos, Vinea y Kofola y se obtuvieron los siguientes resultados: todos admitieron que les
gusta alguno de los dos refrescos, 3 estudiantes manifestaron que les gusta Vinea pero no
Kofola, 6 dijeron que no les gusta Kofola. Se desea saber:<
a)cuantos de los encuestados les prefirieron Kofola?
b) cuantos de los encuestados prefirieron Vinea?
c) Cuantos de los encuestados prefirieron Vinea o Kofola?
8.Se hizo una encuesta entre 1000 personas de Bratislava para determinar el medio de
comunicación empleado para conocer las noticias del dia ; 400 respondieron que se enteran
de forma regular de los sucesos del dia a traves de la televisión, 300 lo hacen a través de la
radio. De las cantidades anteriormente mencionadas, 275 corresponde al numero de personas
que utilizan ambos medios para estar al día en los acontecimientos del mundo.
a) .Cuantas de las personas encuestadas se enteran de las noticias solo a través de la
televisión?
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
30
b) .Cuantas de las personas entrevistadas lo hacen únicamente a través de la radio? c)
.Cuantas de las personas investigadas no hacen uso de ninguno de los dos medios?
9.A una prueba de ingreso a la Universidad se presentaron 100 alumnos, de los cuales 65
aprobaron el examen de Matemáticas, 25 el de Matemáticas y Física y 15 aprobaron solo el de
Física. Cuántos no aprobaron ninguno de los exámenes mencionados?
10.De un total de 60 alumnos del primer curso del I. B. Todo estudiado: 15 estudian solamente
ruso, 11 estudian ruso e inglés, 12 estudian solo alemán; 8 estudian ruso y alemán; 10 estudian
solo inglés; 5 estudian inglés y alemán; y 3 los tres idiomas.
Determina: a) .Cuantos no estudian ningún idioma? b) Cuantos estudian alemán? c) Cuantos
estudian solo alemán e inglés? d) Cuantos estudian ruso?
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31
11.Se pregunto a unas cuantas madres de alumnos de nuestro instituto sobre si leen o no
alguna de las revistas “La Marqueza”, “Solo Para Mujeres” y “Buena Comida” y se obtuvieron
los siguientes resultados: 48 leen “La Marqueza“, 40 leen “Solo Para Mujeres”, 34 leen “Buena
Comida”, 25 leen “La Marqueza” y “Solo Para Mujeres”, 14 leen “Solo Para Mujeres” y “Buena
Comida”, 23 leen “La Marqueza” y “Buena Comida” y 3 madres leen las tres revistas. Se pide
ilustrar el problema con un diagrama de Venn, el numero de madres entrevistadas, y .cuantas
de ellas leen solo una de las tres revistas?
12.En una encuesta realizada a 150 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y
C, se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el
producto B, 50 consumen únicamente el producto A, 30 solo el producto B, el número de
personas que consumen solo B y C es la mitad del número de personas que consumen solo A y
C, el número de personas que consumen solo A y B es el tripe del número de las que
consumen los tres productos y hay tantas personas que no consumen los productos
mencionados como las que consumen solo C. Determina:
a)el número de personas que consumen solo dos de los productos,
b) el número de personas que no consumen ninguno de los tres productos,
c) el número de personas que consumen al menos uno de los tres productos.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
32
13.Un club consta de 78 personas, de las cuales 50 juegan al futbol, 32 al baloncesto y 23 al
volleyball. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno.
a)Cuántas personas practican solo un deporte? .cuántas practican solo dos deportes?
b)Cuántas practican al menos dos deportes? .Cuántas practican a lo sumo dos
deportes?
14.En un Congreso Internacional de Medicina, se debatió el problema de la eutanasia y se
planteó una moción. Los resultados fueron los siguientes: 115 europeos votaron a favor de la
moción, 75 cardiólogos votaron en contra, 60 europeos votaron en contra, 80 cardiólogos
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
33
votaron a favor. Si el número de cardiólogos europeos excede en 30 al número de americanos
de otras especialidades y no hubo abstenciones. .Cuántos médicos participaron en el
congreso?
15.Se llevó a cabo una investigación con 1000 personas, para determinar que medio utilizan
para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias en forma
regular por TV, 300 personas escuchan las noticias por la Radio y 275 se enteran de las noticias
por ambos medios.
a.-. Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TV?
b.-. Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Radio?
c.-.Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?
16.Se realizó una encuesta a 11 personas, sobre sus preferencias por dos tipos de productos A
y B. Obteniéndose lo siguientes resultados:
El número de personas que prefirieron uno solo de los productos fueron 7.
El número de personas que prefirieron ambos productos fue igual al número de
personas que no prefirió ninguno de los dos productos.
El número de personas que no prefieren el producto A y prefirieron el producto B fueron 3.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
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Se desea saber:
a) .Cuántas personas prefieren el producto A?
b) .Cuántas personas prefieren el producto B solamente?
c) .Cuantas personas prefieren ambos productos?
17.Se le pregunto a un grupo de 10 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de
refrescos Pepsi y Coca Cola. Obteniéndose lo siguientes resultados:
El número de estudiantes que prefirieron Pepsi pero no Coca Cola fue de 3.
El número de estudiantes que no prefirieron Pepsi fueron 6.
Se desea saber:
a) .Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi?
b) . Cuántos de los encuestados prefirieron Coca Cola?
c) . Cuántos de los encuestados prefirieron Pepsi o Coca Cola?
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
35
18.Determina el número de alumnos de una clase, si se sabe que cada uno participa en al
menos una de las tres seminarios de ampliación de las asignaturas Matemáticas, Física o
Química. 48 participan en el de Matemáticas, 45 en el de Física, 49 en el de Química, 28 en el
de Matemáticas y Física, 26 en el de Matemáticas y Química, 28 en el de Física y Química y 18
en los tres seminarios.
a) Cuantos alumnos participan en los seminarios de Física y Matemáticas, pero no en el
de Química? .
b) Cuantos participan solo en el de Química?
19. En un total de 250 personas encuestadas sobre su desayuno se obtuvieron las
siguientes respuestas, 30 personas tomaban te con leche, 40 personas tomaban cafe
con leche, 80 personas tomaban leche, 130 personas tomaban te o leche y 150
tomaban cafe o leche. a) .Cuantaspersonas tomaban te puro? b) .Cuantas personas
tomaban leche pura? c) .Cuantas personas tomaban cafe puro? d) .Cuantas
personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desayuno?
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20. Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen como minimo 1 semana,
43 gastan como minimo 30.000 € diarios, 32 estan completamente satisfechos del
servicio; 30 permanecieron como minimo una semana y gastaron como minimo
30.000 € diarios, 26 permanecieron como minimo una semana y quedaron
completamente satisfechos, 27 gastaron como minimo 30.000 € diarios y quedaron
completamente satisfechos y 24 permanecieron como minimo una semana, gastaron
como minimo 30,000 € diarios y quedaron completamente satisfechos. a) .Cuantos
visitantes permanecieron como minimo una semana, gastaron como minimo 30.000 €
diarios pero no quedaron completamente satisfechos? b) .Cuantos visitantes
quedaron completamente satisfechos , pero permanecieron menos de una semana y
gastaron menos de 30.000 € diarios? c) .Cuantos visitantes permanecieron menos de
una semana y gastaron menos de 30.000 € diarios y no quedaron completamente
satisfechos.?
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21. Se encuesta a 100 personas obteniéndose la siguiente información: Todo encuestado
que es propietario de automóvil también lo es de una casa. 54 encuestados son
hombres. 30 de los encuestados que son hombres no son propietarios de un
automóvil. 30 de los encuestados que son mujeres son propietarios de una casa. 5
de los encuestados que son mujeres son solamente propietarios de una casa. 15
encuestados que son propietarios de una casa no lo son de un automóvil. a) Hacer un
diagrama adecuado a la situación e indicar la cardinalidad correspondiente a cada
region. b) .Cuantos encuestados que son hombres son solamente propietarios de
casa? c) .Cuantas mujeres no son propietarios de casa?
UNIDAD 3
LOGICA MATEMATICA
1.1 INTRODUCCIÓN
La palabra “lógica” etimológicamente, proviene del griego logos, que tiene varios
significados: pensamiento, inteligencia, razón, facultas de apresar el que de las cosas,
estudio, etc.
Para Aristóteles, la lógica era “Organon”, la introducción a cualquier ciencia. Para Santo
Tomás, la lógica, es la ciencia por excelencia, pues es obra de la razón y tiene como objeto
de estudio la razón.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
38
La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la
demostración e inferencia válida.
Matemática es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento
lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras
geométricas, símbolos).
La lógica matemática es una parte de la lógica y de las matemáticas que estudia la
matemática de la lógica. Tiene gran aplicación en el estudio de otras áreas de las
matemáticas (como la geometría) y la lógica filosófica y, estrechas conexiones con la ciencia
de la computación. La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la
«matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y
estudiadas, matemáticamente.
Razonamiento es la forma ágil y asertiva del pensamiento inductivo. Es la facultad que
permite resolver problemas, extraer conclusiones y aprender de manera consciente de los
hechos, estableciendo conexiones causales y lógicas necesarias entre ellos.
El razonamiento lógico o causal es un proceso de lógica mediante la cual, partiendo de uno
o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o la falsedad de otro juicio distinto.
Con el estudio de la Lógica se persigue llegar a ser preciso y cuidadoso. La Lógica tiene
lenguaje exacto. Es necesario redactar un conjunto de reglas que sean perfectamente
claras y definidas.. La Lógica nos ayuda a aprender una forma de razonar que es exacta y a
la vez útil.
1.2 Formas o estructuras del Pensamiento
Las formas o estructuras del pensamiento son:
a) El concepto: que es una simple representación, la idea que no afirma ni niega nada,
por lo que el concepto no es verdadero ni falso. Su expresión menciona animales,
personas, cosas.
b) El juicio: es la relación enunciativa ( que afirma o niega) de conceptos. Por el hecho de
afirmar o de negar, el juicio puede ser verdadero o falso. Su expresión es la
proposición.
Ejemplos:
El Paraguay es un país mediterráneo ( V )
El primer presidente constitucional del Paraguay fue el Mcal. Francisco Solano López (
F)
c) El razonamiento: es la operación lógica por la cual se relacionan entre sí dos o más
juicios ( premisas) de modo que éstas sirven como punto de partida de donde se
infiere otro juicio que es la conclusión lógica. Generalmente, la conclusión va
precedida por una de las siguientes expresiones: por lo tanto, por consiguiente, luego,
en consecuencia, por ende, etc.
Ejemplos: El Paraguay no tiene costas sobre el mar. Por tanto es un país mediterráneo
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
39
1.3 PROPOSICIONES:
Para comunicarnos, ya sea de forma escrita o verbal, usamos enunciados. Los enunciados son
las unidades mínimas del lenguaje que pueden transmitir un mensaje. Un enunciado( o
proposición no lógica) es una expresión del lenguaje que puede ser falso o verdadero o no serlo.
Dichos enunciados pueden ser interrogativos o prescriptivos, ya que a éstos no puede asignarse
un valor de verdad.
Ejemplo : son enunciados por ejemplo, coma carne de res, tome vino tinto seco.
Los siguientes son ejemplos de los diferentes tipos de enunciados:
Enunciado Tipo Explicación
¡Ven a verme! Imperativo
Le damos una orden o instrucción a otra persona para que
ejecute una acción.
¡Viva la libertad! Exclamativo
Expresamos una emoción, en este caso en particular
expresamos un deseo: queremos que la libertad viva.
¿Está lloviendo? Interrogativo
Solicitamos información sobre un evento o situación. En
este caso queremos saber si llueve o no.
El trabajo es muy
complicado.
Aseverativo
Transmitimos información que puede ser falsa o verdadera.
En este caso puede ser cierto que el trabajo sea complicado,
o puede ser falso, y el trabajo en realidad es sencillo.
En la lógica proposicional nos interesan los enunciados aseverativos y se les
llama proposiciones. Una proposición es un enunciado declarativo al que puede asignarse
valores de verdad. La proposición lógica es la expresión lingüística del razonamiento, que se
caracteriza por ser verdadera o falsa empíricamente, sin ambigüedades.
Ejemplo : son ejemplos de proposiciones, el ser humano es inteligente, 2+3 es 5; la vaca es
negra; 2+4x= -2; si 2+3 es 5 entonces 2+4x= -2.
Las expresiones aseverativas o proposiciones que cumplen con estas características:[2]
Solo pueden tener uno de los siguientes valores de verdad:
Verdadero: Usualmente representado con la letra .
https://www.ecured.cu/Ling%C3%BC%C3%ADstica
https://es.wikiversity.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicional/Proposiciones#cite_note-klement-2
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
40
Falso: Usualmente representado con la letra .
No pueden ser falsas y verdaderas al mismo tiempo.
Su valor de verdad de pende únicamente de las proposiciones mismas y no de factores
externos.
Los siguientes son algunos ejemplos de proposiciones con sus correspondientes valores de
verdad:
Proposición Valor de
verdad
El año empieza con el mes de enero VCuando está soleado se siente calor V
En invierno no es agradable sentir frío V
1 + 1 = 2 V
Marte está lleno de marcianitos F
5 * 9 = 59 F
Las primeras cuatro proposiciones son verdaderas y se dice que su valor es V, mientras que las
últimas dos son falsas y su valor es F . Dentro de las proposiciones verdaderas, la última
(1+1=2) no representa ninguna palabra o frase, sin embargo es una expresión matemática
verdadera. Y lo mismo pasa con la proposición (5*9=59), cuyo valor lógico es falso. No es
necesario que una proposición sea una expresión verbal, simplemente necesitamos poder
determinar el valor de verdadero o falso.
Conclusión:
Son proposiciones lógicas las oraciones aseverativas, las leyes científicas, las fórmulas
matemáticas, las fórmulas y/o esquemas lógicos, los enunciados cerrados o claramente
definidos. No son proposiciones lógicas las opiniones y suposiciones; los proverbios,
modismos y refranes; los enunciados abiertos no definidos; las oraciones interrogativas,
exclamativas, imperativas, desiderativas y dubitativas; las interjecciones en general.
Se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones lógicas : atómicas y moleculares.
Proposición atómica: son las proposiciones lógicas de forma simple, es una proposición
completa sin términos de enlace.
Ejemplos:
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
41
Hoy hace calor.
Estoy en el primer semestre de la Universidad.
Proposición molecular: si se juntan una o varias proposiciones atómicas con un término de
enlace.
Ejemplos:
Luis está en el primer semestre y Carlos en el segundo.
Si hoy es miércoles, entonces iré al cine.
En los dos ejemplos anteriores, las proposiciones simples se unieron por términos de enlace.
En el primer ejemplo el término de enlace fue la conjunción y, mientras que en el segundo la
condicional sí, ..... entonces.
1.3TERMINOS DE ENLACE:
Los términos de enlace de proposición o simplemente concetores son las palabras “y”, “o” ,
“no”, “si... entonces”, “si y sólo si”, que sirven para enlazar proposiciones atómicas y
convertirlas en proposiciones moleculares. ... entonces”, “si y sólo si” se usan para enlazar dos
proposiciones.
Se simbolizan: Se denomina conjunción ( y )
Se denomina disjunción ( o )
Se denomina negación (no)
Se denomina condicional ( sí, entonces)
Se denomina bicondicional ( sí y solo sí )
Ejemplos:
Hoy es jueves y mañana viernes.
José está en el primer semestre o en el segundo semestre.
Si y solo sí apruebo la tesis, entonces iré de vacaciones.
Si hoy llueve entonces el calor húmedo estará muy alto.
No iré el sábado a bailar.
1.4 SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
42
Generalmente se cree que las proposiciones atómicas son proposiciones cortas, pero
también algunas de las proposiciones atómicas del lenguaje corriente son largas. En
Lógica se afronta este problema utilizando símbolos en lugar de las proposiciones
completas.
Los símbolos que utilizaremos para representar proposiciones, son letras mayúsculas.
Ejemplos:
Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes :
* Los patitos no se transforman en cisnes
P= los patitos se transforman en cisnes P
OBSERVACIÓN:
Al simbolizar una proposición que tiene el término de enlace “no”, la palabra no se
pone delante del símbolo que sustituye a la proposición atómica. El término de enlace,
no es una parte de la proposición atómica y por tanto la palabra “no” debe separarse
de la proposición atómica.
* La nieve es profunda y el tiempo es frío.
P= la nieve es profunda Q= el tiempo es frío P Q
* Si llueve el sábado entonces el juego de voley vall se suspenderá.
P= llueve el sábado Q= el juego de voley vall P Q
* Pedro está en casa o fue al cine
P= Pedro está en casa Q= fue al cine P Q
* Pasaré el examen si y solo si estudio todos los días.
P= pasaré el examen Q= estudio todos los días P Q
Representación de las simbolizaciones de la lógica proposicional
Expresiones en el
lenguaje natural
Simbolización
No P
Es falso que
No es cierto que
− 𝑃
P y Q
P sin embargo Q
P no obstante Q
P a pesar de Q
𝑃 ∧ 𝑄
O P o Q o ambas cosas
Al menos P o Q
𝑃 ∨ 𝑄
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
43
Como mínimo P o Q
O P o Qara P
Exclusivo
𝑃 𝑤 𝑄
Si P entonces Q
P solo si Q
Q si P
Q es necesario para P
P es suficiente para Q
No P a menos que Q
No P o Q
𝑃 → 𝑄
P si y solo si Q
P es necesario y suficiente para Q
Q es necesario y suficiente p
𝑃 ↔ 𝑄
Actividades N° 3
1. De los enunciados siguientes, señalo cuales son proposiciones lógicas y cuales no
lógicas:
1) Los flamencos son aves. ( )
2) ¡Oh, América inmortal! ( )
3) Todos los postres de chocolate están riquísimos. ( )
4) La casa de la pradera. ( )
5) ¡Esta es una desgracia! ( )
6) ¿Son cuadriláteros, todos los paralelogramos? ( )
7) Algunos crímenes son ejecutados involuntariamente. ( )
8) Ninguna estrella es un satélite. ( )
9) Los Aztecas edificaron su capital, Tenochitlán. ( )
10) Estudiamos Informática. ( )
11) El cielo es rojo. ( )
12) Miguel Cervantes es el autor de “El Quijote”. ( )
13) El Taguá es un animal en peligro de extinción ( )
14) La circunferencia trigonométrica es la que tiene radio igual a la unidad. (
)
15) Déjenme sola. ( )
16) La lógica enseña a pensar. ( )
17) Todas las ballenas son mamíferos. ( )
18) ¡Sopla, sopla el viento de invierno!. ( )
19) Estudia con ahínco. ( )
20) Un triángulo equilátero no es un polígono. ( )
2. Escribe al lado de cada proposición lógica, si es afirmativa o negativa
1) Todo río corre hacia abajo. ………..………..
2) La petulancia de ese individuo me fastidia. ………..………..
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
44
3) Carlos A. López fue el primer presidente constitucional que tuvo el Paraguay.
………..………..
4) Napoleón Bonaparte fue un emperador francés ………..……….
5) 2 es un número irracional. ………..………..
6) El 9 es un número primo. ………..………..
7) Alguno periodistas no son veraces. ………..………..
8) Napoleón era un inglés. ………..………..
9) Algunos animales son carnívoros. ………..………..
10) No todo lo que brilla es oro. ………..………..
11) Ni uno solo de los alumnos es mentiroso. ………..………..
12) No todos los estudiantes son responsables. . ………..………..
13) Todos los cuadrúpedos son mamíferos. ………..………..
3. De los siguientes enunciados señalo la opción correcta:
1. Una proposición es:
a) ( ) un enunciado que solo expresa un juicio falso.
b) ( ) un enunciado que expresa ruego, orden, mandato.
c) ( ) un enunciado que solo expresa un juicio verdadero.
d) ( )Un enunciado que expresa un juicio que puede ser falso o verdadero.
e) ( )Ninguno es correcto.
4. Señalo la opción que no corresponde a una proposición
( ) Hay nubarrones de tormenta en el sur de la región.
( ) La región oriental está más poblada que la Occidental.
( )Ojalá el presidente electo cumpla con todas sus promesas.
( )El Paraguay tiene una superficie de 406.752 km2.
( )Sal de mi presencia, ahora.
( )Ninguna no corresponde.
5. Señalo la opción que corresponde a una proposición lógica
( ) La larga sequía perjudica a la ganadería y a la agricultura.
( ) Que tengas un buen desempeño en tu nuevo trabajo.( ) Sé atento y correcto con los demás.
( ) El guaraní y el español son idiomas oficiales del Paraguay.
( ) Francia no se localiza en el continente americano.
( ) Acaso viven en un estado paupérrimo.
( ) Ninguna corresponde.
6. Subrayo los términos de enlace (conectivos) que conozco, en las proposiciones
siguientes:
1. Si mañana amanece despejado, entonces iremos de pesca.
2. Los números 5 y 11 son primos.
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3. La hidrografía estudia los cerros, cordilleras, montañas.
4. El 3 es un número primo o número impar.
5. Compraré ese libro , si y solo si, cuesta menos de G 100 000
7. Señala cada proposición atómica con A y cada proposición molecular con M.
1) Algunos alumnos son deportistas. ( )
2) Aquella fue una aventura inolvidable. ( )
3) Desapareció mi perro o lo escondieron ustedes. ( )
4) Si la superficie del Paraguay es de 406. 752 km2 y la de Cuba 114.524 km2.
( )
5) Cristhian Barnard fue el primero que realizó un transplante de corazón
humano.
( )
6) La unidad de medida de velocidad es de metro/segundo. ( )
7) Un triángulo es escaleno, si y solo si sus tres lados son desiguales. (
)
8) Roberto Koch descubrió el bacilo de la tuberculosis en 1882 y Fleming la
penicilina en 1 928. ( )
9) Voy a ir de campamento este fin de semana. ( )
10) Si x es un múltiplo de 4, no es menor que 3. ( )
11) La democracia bien aplicada tiene sus ventajas. ( )
12) Si está lloviendo , entonces no iremos al cine. ( )
13) Voy, si y solo si hace calor. ( )
14) Estela está en el primer semestre de la Universidad y Carlos en el 4º semestre.
( )
15) El continente americano fue descubierto en el año 1 492. ( )
16) El diámetro de la circunferencia es el doble del radio, si y solo si el radio es
igual a la mitad del diámetro. ( )
17) Algunas mujeres no son tiernas. ( )
18) La música es muy suave o la puerta está cerrada. ( )
19) El sol calentaba y el agua estaba muy agradable. ( )
20) El triángulo es equilátero si y solo si los tres ángulos interiores son iguales.(
)
8. Utilizo los conectivos ( no repetir los conectivos), para formar otras proposiciones
lógicas a partir de las dadas.
1. Los delincuentes comenten las malas acciones.
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Acabarán siendo apresados.
2. Hoy el cielo está despejado.
Hace mucho calor.
3. Terminé mi trabajo a las 15:00 horas.
4. Esteban estudiará en la UNIDA.
Carlos irá a otra Universidad
5. La expresión “ojos del cielo” es una metáfora.
Relaciona los ojos celestes con el color del cielo.
9. Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes, utilizando el símbolo lógico
correspondiente para los términos de enlace. Indicar la proposición atómica
sustituyendo por letras mayúsculas.
a) Teresa es la primera y Tomás es el cuarto.
b) Las arañas no son insectos.
c) Si Luis es el ganador, entonces él obtendrá la medalla.
d) Patricia vive en nuestra calle y Manuel en la manzana contigua.
e) Esta es el aula de Informática o es el aula de Auditoría.
f) En el hemisferio sur, julio no es mes de verano.
g) La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son también equinodermos.
h) Si hace suficiente frío entonces el lago se helará.
i) O no es jueves o no sucedió en lunes.
j) O una anémona es un animal o es una planta.
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k) Luisa no es una persona alta.
l) Jaime no es puntual y Tomás llega tarde.
m) Si no sucedió en lunes entonces no es jueves.
n) Si su producción crece entonces Juan podrá estabilizar el precio.
o) Hemos de llegar allí, u otro recibirá el empleo.
p) París está en Francia y Zurich en Suiza.
q) Las rosas son rojas y las violetas son azules.
r) Si está nublado, entonces se vendrá un temporal.
s) Si y solo si García entrega la mercadería en el tiempo indicado, entonces el contrato se
considera legal.
t) Si el freno falla o el camino está helado, entonces el coche no parará.
u) No ocurre que si x es un número impar entonces x es divisible por 2
v) Si x más cuatro es siete e y mas x es ocho entonces y es cinco
w) Si x no es igual a cinco , entonces o es mayor que cinco o es menor que cinco.
x) Si los deseos fueran caballos, entonces los mendigos cabalgarían.
y) La función de las vitaminas es facilitar la acción de las enzimas.
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z) Se come para vivir y no se vive para comer.
aa) Los ecosistemas naturales mantienen constantemente la cantidad de materia.
bb) El período jurásico es la época del apogeo de los dinosaurios.
10. Construye 5 proposiciones atómicas y escribe, luego 5 proposiciones moleculares a
partir de las atómicas.
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………
11. Forma 5 proposiciones moleculares utilizando una o dos proposiciones escritas, con
un término de enlace. Utiliza cada uno de los conectivos una sola vez, de modo que
cada una de las proposiciones tenga distintos términos de enlace.
Proposiciones atómicas
a) Pablo podría ganar fácilmente.
b) El viento sopla fuerte.
c) La fuerza mejor conocida es la gravitatoria.
d) El ser humano adquiere su energía, cuando corre.
e) Me gustan mucho las estadísticas.
f) Estaré recabando datos importantísimos.
g) Los anfibios se desplazan por el agua.
h) El amigo de Raúl es un gran atleta.
i) Analizaremos que planes hay para mañana
j) Estamos exhaustos por la veloz carrera emprendida
k) La lluvia puede ser la causa de que se suspenda el partido.
Proposiciones moleculares
a) ………………………………………………………………….
b) ………………………………………………………………….
c) ………………………………………………………………….
d) ………………………………………………………………….
e) ………………………………………………………………….
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12. Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes, utilizando el símbolo lógico
correspondiente para los términos de enlace. Indicar la proposición atómica
sustituyendo por letras mayúsculas.
a) Teresa es la primera y Tomás es el cuarto.
b) Las arañas no son insectos.
c) Si Luis es el ganador, entonces él obtendrá la medalla.
d) Patricia vive en nuestra calle y Manuel en la manzana contigua.
e) Esta es el aula de Informática o es el aula de Auditoría.
f) En el hemisferio sur, julio no es mes de verano.
g) La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son también equinodermos.
h) Si hace suficiente frío entonces el lago se helará.
i) O no es jueves o no sucedió en lunes.
j) O una anémona es un animal o es una planta.
k) Luisa no es una persona alta.
l) Jaime no es puntual y Tomás llega tarde.
m) Si no sucedió en lunes entonces no es jueves.
n) Si su producción crece entonces Juan podrá estabilizar el precio.
o) Hemos de llegar allí, u otro recibirá el empleo.
p) París está en Francia y Zurich en Suiza.
q) Las rosas son rojas y las violetas son azules.
r) Si está nublado, entonces se vendrá un temporal.
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s) Si y solo si García entrega la mercadería en el tiempo indicado, entonces el contrato se
considera legal.
t) Si el freno falla o el camino está helado, entonces el coche no parará.
u) No ocurre que si x es un número impar entonces x es divisible por 2
v) Si x más cuatro es siete e y mas x es ocho entonces y es cinco
w) Si x no es igual a cinco , entonces o es mayor que cinco o es menor que cinco.
13. Subrayo los conectivos utilizados en cada una de las proposiciones moleculares y
escribo sus nombres
1) Si Carlos tiene aptitud para las matemáticas, entonces participará en las
Olimpiadas. ……………………..
2) x = 3 o y + z = 2 ……………………..
3) y = 2 y z = 8 ……………………..
4) Si y = 3, entonces y + 2 = 5 ……………………..
5) No ocurre que la lógica sea difícil. ……………………..
6) x + 4 = 9 , si y solo si x = 5 ……………………..
7) No me agradan los alumnos irresponsables. ……………………..
8) No ocurre que x + y > 2 ……………………..
9) Si hace frío entonces el lago se congelará. ……………………..
10) Si me gusta la matemática, entonces me gusta la física. ………….
11) Juan vive en nuestra calle. ……………………..
12) El primer grupo social es la familia y ésta es el núcleo fundacional de toda
sociedad. ……………………..
13) El carbón es un fósil p este combustible tiene alto poder calorífico.
14) Si x2 = 81, entonces x = 9. ……………………..
15) Todo atómo está formado por el núcleo y la corteza, si y solo si en el núcleo
reside la carga positiva. ……………………..
16) El hierro es un metal sólido o es un metal orgánico. ……………………..
14. Escribo en lenguaje corriente proposiciones de las formas indicadas. Suprimo
paréntesis al escribirlas.
a) O ( ……………………………………………………)
b) A la vez (……………………) y ( ………………….)
c) O (………………………) o ( ……………………….)
d) (………………………….) y (…………………………)
e) No ocurre que (……………………..)
f) Si ( ………………………….) entonces ( ………………..)
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g) (……………………………….) si y solo si (………………..)
15. Dadas las proposiciones, escribo la negación de cada uno de ellas, utilizando los
términos más convenientes. Luego las simbolizo
a) El hidrógeno es un gas pesado.
……………………………………………………………………..
b) La cebra es un animal omnívoro.
……………………………………………………………………..
c) El oro es un metal blanco.
……………………………………………………………………..
d) Benjamín Franklin inventó la máquina a vapor.
……………………………………………………………………..
e) En un choque elástico, los cuerpos quedan adheridos.
……………………………………………………………………..
f) La energía potencial poseen los cuerpos en movimiento.
……………………………………………………………………..
g) Los metales son buenos aisladores de la electricidad.
……………………………………………………………………..
h) Los factores bióticos de un ecosistema son los seres inertes que viven en él.
………………………………………………………………
i) El elemento infaltable es una combustión es el dióxido de carbono
………………………………………………………………………….
j) La sede de la ONU está en Washington
………………………………………………………………………….
k) La luna tiene luz propia
………………………………………………………………………….
16. Pareo con su respectiva proposición negativa
a) El Brasil es uno de los países …..La llama es un animal
Más comerciales de Sudamérica de Bolivia
b) La llama es un animal típico de …..En los polos el día no
Bolivia dura 6 meses.
c) El clima depende de la temperatura …..El clima no depende
De la presión atmosférica, de los de la temperatrura, de
Vientos, de la humedad, del mar, de la presión atmosférica, de
vegetación, de la proximidad de los vientos, de la humedad
al Ecuador del mar, de la vegetación, de
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la proximidad al Ecuador
d) En los polos, el día dura 6 meses …..La cascada más alta
del mundo no es el
Niágara
e) La casacada más del mundo es …..El Brasil no es uno
El Niágara de los países más
Comerciales de Sudamérica
17. Simboliza cada proposición atómica que forman la molecular, diagramando el
término de enlace , la conjunción por su símbolo:
a) La Tierra es el tercer planeta y la Luna es su satélite. …….
b) El Paraguay es un país tropical y tiene clima cálido. ……….
c) Las rosas son amarillas y los claveles son blancos.
d) La caída libre es un movimiento acelerado y el tiro vertical es un movimiento
retardado. ……………….
e) Muchos progresan solo con el trabajo, pero es importante también estudiar.
…………….
f) Te hablo , pero miras a otra persona. ………
g) Muchos filósofos han sido científicos se empeñan en hacer nuevos
descubrimientos. …………….
h) Algunos compuestos del carbono son sustancias sumamente duras y los
diamantes son compuestos del carbono. ………
i) El número 5 es primo y 2 es un número irracional. ………
j) La palanca es una máquina simple y los polipastos son combinaciones de
poleas. ……….
k) La masa es la cantidad de materia que posee un cuerpo y el peso es el
resultado de la acción gravitatoria de la Tierra ………
l) Estudié bastante, sin embargo reprobé el examen. ………
m) Siguen fabricando armas nucleares aunque sepa sus poderes destructivos.
……..
n) Un pincel sobre el escritorio tiene energía potencial y su energía cinética es
igual a cero.
o) Los termómetros son instrumentos que sirven para medir la temperatura y los
pluviómetros miden la cantidad de lluvia caída.
…….
18. Completa los espacios vacíos, haciendo uso en cada caso, de expresiones distintas, Y
, pero, sin embargo, aunque
a) José quiere conservar el primer puesto en la clase…… Lucía es un estudiante
excelente.
b) Los postres de chocolate son pasteles …. Nos hacen engordar.
c) Antiguamente se usaba hidrógeno para el llenado de los globos aerostáticos
….. se sustituyó por gas helio.
d) El carbón tiene un alto poder calorífico…… es el más sucio debido a su elevado
contenido de azufre.
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53
e) El camalote vive en el agua …. Las plantas que viven en el agua son acuáticas.
f) Todos los cuerpos se contraen por la acción del frío …..todos los cuerpos se
contraen por la acción del calor.
19. Escribo si tiene sentido inclusivo o exclusivo cada una de las siguientes
disyunciones:
a) El joven vive en un ambiente hostil o le importa poco el estudio.
( )
b) El acepta la clonación humana o tiene formado fuertes principios religiosos.
( )
c) Los jóvenes estudian más o los profesores están más capacitados.
( )
d) Su piel presenta una quemadura solar o una química. ( )
e) Le gusta la matemática o la física. ( )
f) Los próceres de mayo consiguieron revelarse con valentía o los españoles tardaron
en reaccionar. ( )
g) Esta oración es enunciativa, afirmativa o es interrogativa. ( )
h) Aprendo mejor solo/a con mis compañeros. ( )
i) Debemos tener un botiquín de primeros auxilios o nos veremos en apuros.
( )
j) La proposición dada es atómica o molecular. ( )
k) Thales de Mileto fue el primer geómetra helénico o el más antiguo.( )
l) Las sustancias son compuestos orgánicos o compuestos inorgánicos.( )
m) Una especie es un conjunto de seres vivos que poseen rasgos muy semejantes o
capaces de producir descendencia fecunda. ( )
n) Los vertebrados con sangre roja son los ovíparos o los vivíparos.
( )
o) Estudio las partes de una planta o las partes de una hoja. ( )
20. Escribo la proposición atómica que falta para formar una disjunción , de modo que
la proposición escrita tenga relación con la dada.
a) Los gases se dilatan o …………………………………………………
b) El ecosistema está formado por factores bióticos o …………………………
c) El aire es una mezcla de varios gases o ………………………………………
d) El agua o …………………….es agente geológico causantede la erosión.
e) El marrano es un animal omnívoro o …………………
f) Los abetos se encuentran preferentemente en terrenos ricos o ……………
21. Diagramo el término de enlace, señalando el antecedente y el consecuente de cada
proposición condicional
a) Si sigue la tala de árboles, entonces se acaba la vida silvestre.
b) Toda vez que un cuerpo caiga libremente, entonces posee energía cinética.
c) Siempre que seas honesto reprobarás a los corruptos.
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d) Si el agua produce energía, entonces esa energía se llama hidraúlica.
e) Toda vez que midamos la distancia entre un punto cualquiera de la tierra y la línea
del Ecuador, entonces medimos la latitud geográfica.
f) Si la energía ni se crea ni se destruye, entonces solamente se transforma.
g) Mejorará el nivel de vida de la población, en el caso que los gobernantes sean
honestos.
h) Si es un ácido, entonces contiene el elemento hidrógeno.
i) Si x = 2, entonces x + 1 = 3
j) Si la leche materna es el mejor alimento para el recién nacido entonces no
necesita otro alimento durante los primeros seis meses de vida.
k) Si el gas se comprime, entonces el gas se licua.
l) Si el oxígeno es el elemento más abundante en el cuerpo de los seres vivos
entonces las áreas verdes son una valiosa fuente para nuestra respiración.
m) Si el oso hormiguero es un mamífero, entonces es un vertebrado.
22. En los espacios en blanco, completa el consecuente de cada condicional, de modo
que tenga derivación el consecuente.
a) Si dos rectas son perpendiculares entre sí, entonces……………………………………………
b) Si la función seno y coseno tiene relaciones inversas, entonces…………………………..
c) Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces……………………………………………..
d) Si el petróleo es un recurso no renovable, entonces……………………………………………
e) Si el sol es el centro del sistema solar, entonces…………………………………………………
f) Si Manuel Ortiz Guerrero fue un poeta guaireño, entonces……………………………………
g) Si el participio de imprimir es impreso, entonces………………………………………………..
h) En el caso que tenga tres lados iguales, entonces………………………………………………….
i) Si el sujeto es la persona, animal o cosa de quien se habla en la oración,
entonces…………………………………………………………..
j) Siempre que x > - 3 , entonces……………………………………
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23. Escribo el antecedente, a cada una de las proposiciones condicionales, de modo que
tenga relación con el consecuente.
a) Si………………………………, entonces es la fórmula del agua.
b) Si……………………, entonces producirá la mortandad de muchos peces.
c) Toda vez que…………………………….., aumenta el ingreso al fisco.
d) Si…………………, mejorará la cosecha del algodón.
e) En el caso que…………………………………….., entonces es un cuadrilátero
f) Si………………., entonces me quedará gélido.
24. Completo con proposiciones atómicas los siguientes conectivos de modo que resulte
una proposición condicional.
a) Si…………………………………………………., entonces ………………………………………………….
b) Entonces……………………………………………..si,………………………………………………………..
c) Toda vez que………………………………………………, entonces…………………………………….
d) Siempre que………………………………………..,entonces…………………………………………….
e) Si………………………………………………………..,entonces……………………………………………..
f) En el caso que…………………………………….., entonces……………………………………………
25. Dada la primera proposición condicional o implicación, escribo la segunda
proposición y luego la convierto en bicondicional.
a) Si un determinado gobierno es democrático, entonces existe un estado de
derecho.
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………..
b) Si los jueces imparten justicia, entonces cumple la ley.
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………..
c) Si no respetas los derechos humanos, entonces no te respetas a ti mismo.
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
d) Si los gobernantes son deshonestos, entonces son apátridas.
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….
e) Si ejercemos nuestro derecho al sufragio, entonces tenemos la obligación de
exigir.
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
f) Es una persona de palabra, si cumple su promesa.
………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
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26. Completo la proposición que falte de modo que resulte una proposición
bicondicional y tenga relación con la otra.
a) La suma de los ángulos agudos de un triángulo es igual a 180º si y solo
si……………………………………………………………………………………
b) Las dimensiones son largo y ancho si y solo si…………………………………
c) Tres puntos forman un plano si y solo si ………………………………………
d) Los resultados son creíbles si y solo si…………………………………………
e) Los ángulos consecutivos suman 180º si y solo si……………………………
27. Aparear cada una de las palabras de la izquierda con los ejemplos o definiciones en
la lista de la derecha
a.Disjunción ( ) P → Q
b.Negación ( ) – ( P . Q )
c.Proposición Condicional ( ) P v Q
d.Proposición molecular ( ) Q en la proposición
P → Q
e.Antecedente ( ) _ P
f.Consecuente ( ) P en la proposición
P → Q
g.Conjunción ( ) P . Q
h.Proposición atómica ( ) – P v - Q
( ) Cualquier proposición
Con un término de enlace
( ) Cualquier proposición
Sin términos de enlace
28. Dadas las proposiciones atómicas, escribo en lenguaje corriente las proposiciones
moleculares simbolizadas
A: El sol es el centro del sistema solar.
B: La Tierra tiene dos movimientos.
C: Los rayos solares excesivos causan daño .
D: Son nueve los planetas del sistema solar.
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a) A . B …………………………………………………………………………………………………………..
b) – C: …………………………………………………………………………………………………………..
c) A v C …………………………………………………………………………………………………………..
d) – D: …………………………………………………………………………………………………………..
e) A . – D …………………………………………………………………………………………………………..
f) – C v – D …………………………………………………………………………………………………………..
g) – A…………………………………………………………………………………………………………..
h) – A v C …………………………………………………………………………………………………………..
i) – A . - B…………………………………………………………………………………………………………..
j) – ( A . B) …………………………………………………………………………………………………………..
k) - ( A v C) …………………………………………………………………………………………………………..
29. Simbolizar las proposiciones moleculares siguientes, utilizando el símbolo lógico
correspondiente para los términos de enlace. Indicar la proposición atómica
sustituyendo por letras mayúsculas.
1. Teresa es la primera y Tomás es el cuarto.
2. Las arañas no son insectos.
3. Si Luis es el ganador, entonces él obtendrá la medalla.
4. Patricia vive en nuestra calle y Manuel en la manzana contigua.
5. Esta es el aula de Informática o es el aula de Auditoría.
6. En el hemisferio sur, julio no es mes de verano.
7. La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son también equinodermos.
8. Si hace suficiente frío entonces el lago se helará.
9. O no es jueves o no sucedió en lunes.
10. O una anémona es un animal o es una planta.
11. Luisa no es una persona alta.
12. Jaime no es puntual y Tomás llega tarde.
13. Si no sucedió en lunes entonces no es jueves.
14. Si su producción crece entonces Juan podrá estabilizar el precio.
15. Hemos de llegar allí, u otro recibirá el empleo.Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
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16. París está en Francia y Zurich en Suiza.
17. Las rosas son rojas y las violetas son azules.
18. Si está nublado, entonces se vendrá un temporal.
19. Si y solo si García entrega la mercadería en el tiempo indicado, entonces el contrato se
considera legal.
20. Si el freno falla o el camino está helado, entonces el coche no parará.
AGRUPAMIENTOS Y PARENTESIS
Es frecuente utilizar proposiciones que tienen más de un término de enlace. Los términos de
enlace pueden unir o pueden ser usados con proposiciones moleculares de la misma forma
que con las proposiciones atómicas. En todos estos casos uno de los términos de enlace es el
dominante, porque es el que actúa sobre toda la proposición.
Los paréntesis son los símbolos de puntuación de la Lógica, muestran como están agrupados
una proposición y por tanto señalan cual es el término de enlace dominante.
El bicondicional es el término de enlace más potente, mientras que la negación es el más débil
que cualquiera de los otros términos de enlace. La conjunción y la disjunción son igualmente
fuertes. Es por eso que cuando en una proposición se encuentran ambas es necesario colocar
los paréntesis para indicar cual es el dominante.
Por tanto, para mayor facilidad se adopta el siguiente convenio: una proposición que no
contenga conjunción, disjunción ni la condicional, no necesita colocarse entre paréntesis. Pues
los paréntesis son los símbolos de puntuación de la Lógica. Muestran como está agrupada una
proposición y por tanto señalan cuál es el término de enlace dominante.
Ejemplo 5:
Luis no está en el primer semestre y Antonio no está en el primer semestre.
P = Luis está en el primer semestre
Q = Antonio está en el primer semestre
QP
La proposición molecular no lleva paréntesis pues el término de enlace dominante es la
conjunción.
O Juan es el más pequeño y Pedro es el más alto o Pedro es el más bajo y Juan es el
grande.
A = Juan es el más pequeño.
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B = Pedro es el más alto.
M = Pedro es el más bajo.
N = Juan es el más grande.
)()( NMBA
En este caso la proposición molecular lleva paréntesis, pues al empezar la proposición se hace
hincapié de que el término de enlace dominante es o, pues empieza con ese término,
habiendo dos términos de enlace igualmente potentes.
ACTIVIDAD N° 4
1. Junto a cada proposición molecular escrita a continuación se ha puesto el nombre
del tipo de proposición molecular a la que pertenece. Poner adecuadamente los
paréntesis.
1. Conjunción SQR 2. Condicional SRP
3. Negación SP 4. Disjunción SPQ
5. Condicional QP 6. Conjunción TQP
7. Bicondicional SRQ 8. Conjunción QST
9. Disjunción RQP 10. Condicional TQP
11. Disjunción TQP 12. Negación RQ
13. Condicional SRQ 14. Negación TR
15. Bicondicional RQP
2.Simbolizar las proposiciones siguientes utilizando el paréntesis si fuera necesario
a) Si una sustancia orgánica se descompone, entonces sus componentes se transforman
en abono y fertilizan el suelo.
b) A la vez yo estoy equivocado, o la pregunta número uno es cierta y la pregunta
número dos es falsa.
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c) No todas las regiones de Africa tienen un clima cálido y húmedo y no toda el Africa
ecuatorial es una tierra de vegetación espesa y exuberante.
d) Juana no es su hermana y Rosa es su hermana.
e) Si se conoce el período del movimiento de las Luna y se sabe la distancia de la Tierra a
la Luna, entonces se puede calcular la aceleración centrípeta de la Luna.
f) O no es miércoles y no sucedió en martes
g) Si este mineral no es duro, entonces no estás compuesto de cristales de cuarzo.
h) Si es después de las cinco, entonces la puerta está cerrada y además, yo no tengo la
llave.
i) No ocurre que, a la vez Patricia sea su hermana y Teresa sea su hermana.
j) Si son las diez entonces la sesión de la asamblea General ha empezado, y ahora el reloj
señala las diez.
k) Juan ha venido demasiado pronto, y si Luis ha venido demasiado tarde, entonces el
señor Pérez está enfadado.
l) Si una sustancia orgánica se descompone, entonces sus componentes se transforman
en abono y fertilizan el suelo.
m) A la vez yo estoy equivocado, o la pregunta número uno es cierta y la pregunta
número dos es falsa.
VERACIDAD Y VALIDEZ
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La veracidad se refiere a la cualidad de la verdad de las proposiciones. Así, la proposición
“El primer presidente Constitucional del Paraguay fue Carlos Antonio López”, es verdadera,
en tanto que, “La Luna es un planeta del sistema solar” es falsa.
LA validez se refiere a la corrección de los razonamientos que se cumple cuando se ha
relacionado legítimamente las premisas entre sí/o éstas con la conclusión, es decir, el
antecedente con el consecuente. Así decimos que el siguiente razonamiento es correcto o
válido: Todos los números pares son divisibles por dos.
Cuatro es un número par
Luego, cuatro es divisible por dos
Otro ejemplo:
Algunos estudiantes universitarios les gusta el baile.
Marisa es una estudiante universitaria.
Por lo tanto, Marisa irá a bailar esta noche.
Este razonamiento, no es válido, debido al hecho de que si a alguno estudiantes
universitarios les gusta bailar y de que Marisa sea estudiante, no implica que Marisa sea
uno de ellos ni tampoco que bailará esta noche.
TABLAS DE CERTEZA
Indican rápidamente si una proposición molecular es cierta o falsa, si se conoce la certeza o
falsedad de las proposiciones que la forman. El número de combinaciones posibles de certeza
o falsedad depende del número de proposición atómica que intervienen. Para determinar la
veracidad de una proposición atómica basta mirarla. La veracidad de la misma se refiere a su
valor de verdad o sea, al hecho de que es verdadera o falsa.
Hace frío F
Hoy salió el sol V
Para determinar el valor de verdad de proposiciones moleculares es necesario construir una
tabla de verdad donde se detallan todas las posibles combinaciones de valores de certeza que
puede tomar la proposición.
Se dan a continuación las tablas básicas de certeza (tablas de verdad), para los cinco términos
de enlace de proposiciones; además en estas tablas se hallan resumidas todas las reglas, de
manera que puedan ser utilizadas como tablas de referencias.
CONJUNCIÓN: es verdadera solamente si ambas proposiciones son ciertas.
P Q P ∧ Q
V V V
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V F F
F V F
F F F
DISJUNCION INCLUSIVA: es falsa solo si ambas proposiciones son falsas
P Q P 𝒗 Q
V V V
V F V
F V V
F F F
DISJUNCIÓN EXCLUSIVA: es verdadera solo si una de las proposiciones es verdadera
P Q P 𝒘 Q
V V F
V F V
F V V
F F F
NEGACION: si la proposición es falsa entonces cambia a cierta y viceversa
P
_p
V F
F V
CONDICIONAL: es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
P Q P → Q
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de MatemáticaI
63
V V V
V F F
F V V
F F V
BICONDICIONAL: es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas
falsas.
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Construcción de tablas de certeza de proposiciones moleculares
Sea “n” la cantidad de proposiciones diferentes que contenga la expresión proposicional. Para
cada proposición existen dos valores de verdad ( verdadero y falso). En general 2n . es la
cantidad de posibles combinaciones .El método para la formación de la tabla de certeza se
empieza poniendo todas las combinaciones de certeza o falsedad debajo de las proposiciones
atómicas. Luego se determina los valores de certeza para todas las premisas y de la conclusión
del razonamiento. El valor de certeza de las proposiciones moleculares depende de los valores
de certeza de las proposiciones.
Para determinar como se irán organizando los valores de verdad para cada proposición se
divide entre 2 hasta que no se pueda y así 2n – 1 grupos de verdadero y falso corresponderán
a p.
Ejemplo:
Construir la tabla de verdad para 𝑃𝑣 − 𝑄
Solución
La cantidad de proposiciones diferentes es 2, entonces n = 2
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
64
Aplicamos la fórmula 2n , entonces 22 = 4. Son todas las posibles combinaciones
Dividimos entre 2 y luego por 1,entonces 2 para P y 1 para Q.
La proposición Q está negada.
Realizamos las combinaciones posibles
P Q -Q P v -Q
V V F V
V F V V
F V F F
F F V V
Ejemplo
Construir la tabla de verdad (𝑃 ∧ 𝑄) ↔ 𝑅
Solución
En este caso n = 3 por lo que la cantidad de combinaciones será: 23 = 8
Se va dividiendo entre 2 y la primera vez se obtiene 4 ( para P), luego 2 ( para Q) y por último 1
( para R)
P Q R P∧ Q (P∧ Q)↔R
V V V V V
V V F V F
V F V F F
V F F F V
F V V F F
F V F F V
F F V F F
F F F F V
Razonamiento válido
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
65
El paso siguiente es ver las líneas en las que todas las premisas del razonamiento son
verdaderas. Para indicar en las tablas que las premisas son simultáneamente verdaderas se
encierran en círculos. Puesto que una inferencia válida requiere que en todos los casos en que
las premisas son verdaderas, la conclusión también es verdadera, entonces el razonamiento es
válido, si hay alguna línea para la que todas las premisas son verdaderas y la conclusión falsa,
entonces el razonamiento es no válido. En la tabla se pone un cuadrado alrededor de la
asignación de certeza la conclusión en cada línea en la que todas las premisas sean ciertas.
Ejemplo :
Demostrar si el siguiente razonamiento es válido o no:
B
BA
A
Solución
Como cada proposición atómica puede ser verdadera o falsa hay 42
2 combinaciones de
certeza, por tanto 4 líneas en la tabla de certeza. Dividimos entre 2 , se obtiene 2 ( para A) ,
luego 1 ( para Q)
A B A→ 𝑩 -B -A
V V F F
V F F F
F V F V
F F
El razonamiento es válido
Ejemplo :
Dado el siguiente razonamiento , construir la tabla de certeza y determinar si el razonamiento
es válido o no.
Si 𝑥 = 0 y 𝑦 = 𝑧 entonces 𝑦 > 1
𝑦 ≯ 1
Por tanto, 𝑦 ≠ 𝑧
V
V
V
V
V V
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
66
Solución
Aparecen en el razonamiento tres proposiciones atómicas que se simbolizan en la siguiente
forma: 0 xP
zyQ
1 yR
Como cada proposición atómica puede ser verdadera o falsa hay 82
3 combinaciones de
certeza y por tanto 8 líneas en la tabla de certeza.
Simbolizando: RQP
R
Q
P Q R P∧ Q P∧ Q→ R -R -Q
V V V V F F
V V F V F F
V F V F F V
V F F F
F V V F F F
F V F F F
F F V F F V
F F F F
toRazonamien no válido
Tipos de proposiciones
TAUTOLOGIA
Una proposición es una tautología si y solo sí permanece cierta para todas las combinaciones
asignadas de certeza atribuidas a cada uno de sus distintas proposiciones atómicas.
CONTINGENCIA: si en su tabla de verdad presenta al menos un valor de certeza cierto y uno
falso
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
67
CONTRADICCION: si permanece falsa para todas las combinaciones de asignaciones posibles
de certeza
Ejemplo : Construye la tabla de verdad y determina su tipo
a) P ∨-(P ∧ Q)
P Q P∧ Q -(P ∧ Q) P ∨-(P ∧ Q)
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
íatautolog
b)P ∨ Q → P
P Q P ∨ Q P ∨ Q → P
V V V V
V F V V
F V V F
F F F V
Es una contingencia
ACTIVIDAD N° 5
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
68
1. Mostrar por medio de una tabla de certeza cual de los siguientes razonamientos es
“válido” o “no válido” .
2. P Q.P Q. Por tanto P Q
3. P Q. Q R. P. Por tanto R
4. P Q R. R. P. Por tanto Q
5. P Q R. R. Por tanto Q
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
69
6. ( P Q) Q. Por tanto P
7. P Q. Q. Por tanto P
8. ( P Q) ( P R). P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
70
9. (P Q) ( P R). P R. Por tanto P
10. (P Q) Q. Por tanto P
11. Q P. Por tanto P Q
2. Simbolizar las premisas y la conclusión, luego mostrar por medio de una tabla de
certeza cual de los ejemplos es válido. Escribir la tabla de certeza completa y escribir
la palabra “válida” o “no válida”.
1. Si Isabel se retrasa, entonces Cristina es puntual
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
71
Si Isabel no se retrasa, entonces Cristina no se retrasa
Por tanto, o Isabel se retrasa o Cristina es puntual
2. O García no entrega la mercancía o el contrato se considera legal
Por tanto si García entrega la mercancía entonces el contrato se considera legal
3. Los terrenos sembrados continuamente se agotan si y solo sí no se han tomado medidas
para restablecer los minerales extraídos por las cosechas.
Por tanto, o los terrenos sembrados continuamente se agotan o se han tomados
medidas para restablecer los minerales extraídos por las cosechas
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
72
4. Un átomo de hidrógeno tiene un protón en su núcleo y el número atómico del hidrógeno
es uno
Por tanto, un átomo de hidrógeno tiene un protón en cada núcleo si y solo sí el número
atómico del hidrógeno es uno
5. Si tengo 18 años entonces soy mayor que Pablo
Si no tengo 18 años entonces soy más joven que Jorge
Por tanto o tengo 18 años o soy más joven que Jorge.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
73
6. .3x Por tanto 30 xy
7.
).42(.24 22 xxxx
Por tanto 22 xx
8. .2 yyxyx Por tanto
yx
Universidad de Integración de las AméricasCuadernillo de Matemática I
74
9. 3 ≮ 𝑦 → 𝑥 > 𝑦 . 𝑥 > 𝑦 → (𝑥 ≯ 𝑦 ∧ 3 ≮ 𝑦). Por tanto 3 < 𝑦 ∨ 𝑥 > 𝑦
10. )1(.1 yyxyyx . Por tanto 1y
3. Decidir mediante tablas de certeza cuales de las proposiciones siguientes son una
tautología, contingencia o contradicción.
1. P (Q P)
2. P Q Q P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
75
3. P ( P Q )
4. P Q P R
5. [ (P Q) Q] P
6. P Q (P Q R)
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
76
7. )( QPQP
8. RQPP )(
9. )()( PQQP
10. PQQP )(
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
77
EQUIVALENCIA DE PROPOSICIONES
Dos expresiones proposicionales son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad en su
tabla
Ejemplo: 𝑃 → 𝑄 con −𝑃 ∨ 𝑄
P → Q -P ∨ Q
V V V F V V
V F F F F F
F V V V V V
F V F V V F
Para determinar la equivalencia de dos proposiciones moleculares, se construye la tabla de
verdad de la bicondicional formada por ambas proposiciones. Así tenemos en el caso del
ejemplo
Anterior
P → Q ↔ -P ∨ Q
V V V V F V V
V F F V F F F
F V V V V V V
F V F V V V F
ACTIVIDAD N° 6
Demostrar la equivalencia de las proposiciones siguientes
1. −𝑄 → 𝑃 con 𝑄 ∨ 𝑃
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
78
2. −(𝑃 ∧ 𝑄) con − 𝑃 ∨ −𝑄
3. −(𝑃 ∨ 𝑄)con − 𝑃 ∧ −𝑄
4. 𝑃 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) con (𝑃 ∧ 𝑄) ∨ (𝑃 ∧ 𝑅)
5. 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∧ 𝑅) con (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑅)
VARIANTES DE LA CONDICIONAL
La condicional no es una operación conmutativa.
P Q -P -Q P→Q Q→P -P→ -Q -Q→ -P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
79
V V F F V V V V
V F F V F V V F
F V V F V F F V
F F V V V V V V
Observando la tabla vemos que para la condicional 𝑃 → 𝑄, existen tres variantes que son
𝑄 → 𝑃 llamada conversa o recíproca de la condicional
−𝑃 → −𝑄 llamada inversa
−𝑄 → −𝑃 llamada contra recíproca
Observación:
La condicional es lógicamente equivalente a la contrarecíproca
La inversa es lógicamente equivalente a la recíproca
ACTIVIDAD N° 7
1. Redacta dada la condicional cada una de sus variantes
a) Si apruebo el curso de Inglés, entonces iré a Londres.
b) Si José está en el primer semestre, entonces tengo 5 materias.
c) Si cobro el aguinaldo, entonces podré retirar la moto.
d) Si el número es múltiplo de 2, entonces es número par.
e) Si la diabetes es debida al consumo excesivo de azúcar, entonces afecta el buen
funcionamiento del páncreas.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
80
2. Subraya cual de las condicionales siguientes es el recíproco de: “Si el miércoles
iremos al cine, entonces el jueves estudiaré tres horas”
a) Si el jueves estudiaré tres horas, entonces el miércoles iremos al cine.
b) Si el jueves no estudiaré tres horas, entonces el miércoles no iremos al cine.
c) Si el miércoles no iremos al cine, entonces el jueves no estudiaré tres horas
3. Subraya cual de las condicionales siguientes es la contra recíproco de “ Si el virus no
es una célula, entonces no puede reproducirse solo”
a) Si el virus es una célula, entonces puede reproducirse solo
b) Si no puede reproducirse solo, entonces el virus no es una célula.
c) Si puede reproducirse solo, entonces el virus es una célula
4. Subraya cual de las condicionales siguientes es la inversa de : Si la figura es un
cuadrado, entonces tiene cuatro lados iguales”.
a) Si tiene cuatro lados iguales , entonces es un cuadrado.
b) Si no tiene cuatro lados iguales, entonces no es un cuadrado.
c) Si no es un cuadrado, entonces la figura no tiene cuatro lados iguales.
CONDICIONAL ASOCIADO
El Condicional asociado es un mecanismo que se emplea para determinar si un razonamiento
es correcto (válido) o no, es decir, sirve para verificar mecánicamente la validez ( corrección) o
no de un razonamiento
Construcción del condicional asociado
Se simbolizan correctamente las premisas y la conclusión.
Si existen dos o más premisas, se las une por la conjunción y se les abarca, si es necesario, con
símbolos de agrupación (corchetes , paréntesis).
Se escribe el signo condicional → y a continuación, se escribe la simbolización de la conclusión.
Se halla la tabla de verdad de la expresión proposicional resultante.
Ejemplo:
El dinero no da la felicidad, pero existen personas que no quieran dinero. Luego, no existan
personas que no quieran dinero.
Solución
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
81
(-P ∧ -Q ) → -Q
F F F V F
F F V V V
V F F V F
V V V V V
El resultado de la tabla es una tautología, entonces estamos frente a un razonamiento válido.
Si el resultado de la tabla es una contradicción o una contingencia, el razonamiento es no
válido.
ACTIVIDAD N° 8
De los siguientes razonamientos :
a) Simboliza la(s) premisa(s) y la conclusión
b) Construye el condicional asociado y la tabla de verdad
c) Determinar si el razonamiento es válido o no
1. Tener una cultura muy amplia no significa haber leído mucho o estoy equivocado. No
estoy equivocado. Por lo tanto, tener una cultura muy amplia no significa haber leído
mucho.
2. Aquel político estaba equivocado, si pretendía imponer su voluntad. Pretendía
imponer su voluntad. Estaba equivocado.
3. Estoy en el primer semestres y tengo que cursar Matemática I. Es falso que, no esté en
el primer semestre o no tengo que cursar Matemática I.
4. El agua no se hiela. Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales. Por
tanto sus moléculas forman cristales.
5. Si hoy es viernes, entonces mañana me levantaré más tarde. No me levantaré más
tarde. Por tanto, mañana no es sábado
6. El jueves no tendremos clases de inglés pero si de Metodología. Es falso que , el jueves
tendremos clases de inglés y si tendremos metodología.
7. Cumple todo lo que promete. Si cumple todo lo que promete, entonces es un hombre
honrado. Por consiguiente es un hombre honrado
8. Los hombres están protegidos por la Ley y pueden vivir libremente. Pueden vivir
libremente. Por tanto Los hombres están protegidos por la Ley
9. Carlos es un estratega en el desarrollo de software. Por consiguiente es egresado de la
facultad de Ingeniería de la Unida.
10. Si está en el primer semestre de la carrera de Ingeniería, entonces su materia será
Matemática I. Si su materia será Matemática I, entonces en el segundo semestre
tendrá Matemática II. Por tanto, si está en el primer semestre de la carrera de
Ingeniería, entonces en el segundo semestre tendrá Matemática II .
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
82
11. Los jardines bien cuidados adornan la casa y son necesarios para alegrar la vista. Los
jardines bien cuidados no adornan la casa. Por consiguiente son necesarios para
alegrar la vista
UNIDAD 4
REGLAS DE INFERENCIA
Conocidas las formas de las proposiciones y teniendo los instrumentos de simbolización a
nuestro alcance, podemos adentrarnos en la inferencia y deducción.
Cuando usamos la lógica proposicional para analizar un problema no solo queremosdescribirlo
en términos de afirmaciones y conectivas lógicas. También queremos obtener información
nueva. Esta información puede incluir el determinar si una afirmación es una conclusión válida
a partir de los datos proporcionados en la especificación del problema o saber que información
podemos deducir a partir de las premisas que nos proporcionan. Para lograr esto los sistemas
lógicos necesitan al menos una regla de inferencia. Las reglas de inferencia son construcciones
de un sistema que permiten determinar información nueva a partir de la información ya
existente.
Las reglas de inferencia se modelan como implicaciones, donde el antecedente de la
implicación está compuesto de una conjunción de proposiciones llamadas premisas y el
consecuente se llama conclusión. Su aplicación a un conjunto de premisas para llegar a una
conclusión se llama argumento y consideramos que es válido si la conclusión es
necesariamente verdadera cuando las premisas son verdadera.
El objeto es utilizar reglas de inferencia de manera que conduzcan a otras fórmulas que se
denominan conclusiones. El paso lógico de las premisas a la conclusión es una deducción. La
conclusión que se obtiene es una consecuencia lógica de las premisas si cada paso que se da
para llegar a la conclusión está permitido por una regla .Si las premisas son verdaderas,
entonces las conclusiones han de ser verdaderas.
MODUS PONENDO PONENS (PP)
El nombre Modus Ponendo Ponens significa: método ( modus) , que afirma (ponens) el
consecuente, afirmando ( ponendo) el antecedente.
Esta regla se aplica, siempre que se dé una proposición condicional y se dé el antecedente de
aquella condicional, entonces se concluye con el consecuente de aquella condicional.
a) P Q b) P Q c) P Q
P P P
Q Q Q
Ejemplo :
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
83
Si usted está en el primer semestre, entonces deberá realizar un test diagnóstico. Usted está
en el primer semestre. Por tanto , deberá realizar un test diagnóstico.
M = Usted está en el primer semestre.
N = Deberá realizar un test diagnóstico.
Premisa 1: NM
Premisa 2: M
Conclusión: N
La regla permite de dos premisas pasar a la conclusión.
OBSERVACIÓN.
Cuando se usa una regla de inferencia para pasar de un conjunto de proposiciones a otra
proposición se demuestra que la última es consecuencia lógica de las otras. Colocando a la
derecha la regla de inferencia utilizada.
ACTIVIDAD N°
1. ¿Qué conclusión se puede sacar de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas
aplicando la regla del Ponendo Ponens,?. Luego simbolizarlos.
a) Si hoy es miércoles, entonces voy al cine. Hoy es miércoles.
Por tanto, …………………………………………………………………………………………………..
b) Si vivo en Asunción, entonces no vivo en el departamento de la Cordillera. Vivo en
Asunción.
Luego, ………………………………………………………………………………………………………………….
c) Si esta planta no crece, entonces o necesita más agua o necesita abono. Esta planta no
crece.
Por consiguiente,
…………………………………………………………………………………………………………..
d) Si no nos despedimos ahora, entonces no tomaré el avión a tiempo. No nos
despedimos ahora.
Por consiguiente,
…………………………………………………………………………………………………………..
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
84
e) Si Nicolás está en el partido de fútbol, entonces Nicolás está en el estadio. Nicolás está
en el partido de fútbol.
Luego, …………………………………………………………………………………………………………..
f) Si hace demasiado calor, el helado se derretirá. Hace demasiado calor.
Por consiguiente,
…………………………………………………………………………………………………………..
g) Si x = 0, entonces x + y < 1. x = 0
Por consiguiente,
…………………………………………………………………………………………………………..
h) Si x es un número e y es un número, entonces x + y es un número.
Luego, ………………………………………………………………………………………………………………………..
i) A la vez x = y y y = z. Si x = y y y = z, entonces x = z.
Por lo tanto, ……………………………………………………………………………………………………………..
j) Si x > y y y > z, entonces x > z. A la vez x > y y y > z.
Por tanto, ……………………………………………………………………………………………………………….
2. A continuación se dan conjuntos de premisas. Deducir una conclusión de cada conjunto,
indicando como se obtienen, por medio de las abreviaturas.
a) (1) BA b) (1) RP
(2) A (2) P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
85
c) (1) QPR d) (1) A
(2) R (2) CBA
3. En cada uno de los siguientes grupos de premisas deducir una conclusión, cuando sea
posible, por el modus ponendo ponens. Si la regla modus ponendo ponens no se puede
aplicar a las premisas indicarlo poniendo “ no PP”
a) ( 1 ) P . Q → R d) ( 1 ) S
( 2 ) R ( 2 ) S → - P
b) ( 1 ) Q → R v S e) ( 1 ) S → T . U
( 2 ) Q ( 2 )T . U
4. Deducir la conclusión que se desea demostrar:
a) Demostrar: A b) Demostrar: C
(1) SR (1) DBA
(2) R (2) CDB
(3) QS (3) A
(4) AQ
c) Demostrar: P d) Demostrar: BA
(1) QB (1) BAC
(2) B (2) CED
(3) PQ (3) ED
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
86
e) Demostrar: 03 f) Demostrar: y + 1 = 2
(1) 2 >1 3 >1 (1) x + 1 = 2
(2) 3 >1 3 > 0 (2) x + 1 = 2 y + 1 = 2
(3) y + 1 = 2 x = y
g)Demostrar: -N i) Demostrar: B
(1) R → - S (1) -G→ E
(2)R (2) E→ K
(3) -S→ Q (3) - G
(4) Q → - N (4) K → - L
(5) – L→ M
(6) M → B
5. Poner una “C” junto a cada ejemplo en el que la conclusión es correcta, según el modus
ponendo ponens. Poner una “I” junto a cada conclusión incorrecta.
C I
a) Premisas: A y A → B ; conclusión : B
b) Premisas: M → N y M ; conclusión: N
c) Premisas: P → Q y Q ; conclusión: P
d) Premisas: A y A → M ; conclusión: A
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
87
e) Premisas: P . Q y P . Q → M ; conclusión: M
f) Premisas: S y S → T ; conclusión: T
g) Premisas: T → V y T ; conclusión: V
h) Premisas: P → Q y Q ; conclusión: P
i) Premisas: - P y - P → Q ; conclusión: Q
6. Simbolizar cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y demostrar que la
conclusión es consecuencia lógica de las premisas
a) Si 2 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que 1
Si 3 es mayor que 1, entonces 3 es mayor que cero.
2es mayor que 1
Por tanto, 3 es mayor que cero
b) x + 1 = 2
Si x + 1 = 2 , entonces y + 1 = 2
Si y + 1 = 2 , entonces x = y
Por tanto ,x = y
c) Si x + 0 = y , entonces = y.
X + 0 = y
Si x = y , entonces x+ 2 = y + 2
Por tanto, x + 2 = y + 2
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
88
d) Si 𝑥 > 𝑦 y 𝑦 > 𝑧 entonces 𝑥 > 𝑧
𝑥 > 𝑦 y 𝑦 > 𝑧
Si 𝑥 > 𝑧 , entonces 𝑥 > 10
e) Si se levanta aire húmedo, entonces refrescará.
Si refresca , entonces se formarán nubes
Se levanta aire húmedo
Entonces se formarán nubes.
f) Si no está prohibida la utilización de insecticidas órganoclorados en cultivos
frutihortícolas, entonces muchos productores violan el código sanitario o simplemente
la desconocen.
Si los plaguicidas llegan a nuestro organismo por medio de productos agrícolas o por el
aire, entonces no está prohibida la utilización de insecticidas órganoclorados en
cultivos frutihórticolas.
Universidadde Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
89
Los plaguicidas llegan a nuestro organismo por medio de productos agrícolas o por el
aire
Por tanto , muchos productores violan el código sanitario o simplemente la
desconocen.
DOBLE NEGACIÓN ( DN)
Es una regla simple que permite pasar de una premisa única a la conclusión.
Ejemplo
Sea la premisa: No ocurre que José no tiene 10 años.
La conclusión que se puede sacar de esta premisa es: José tiene 10 años.
P
P
La regla de doble negación , también actúa en sentido contrario.
Sea la premisa: Nicolás toma el colectivo, para ir al colegio.
Se puede concluir la negación de su negación: No ocurre que Nicolás no toma el colectivo,
para ir al colegio.
P
P
El uso de la doble negación permite demostrar una conclusión como consecuencia lógica de
una premisa:
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
90
a) P P b) - - A P c) - - ( P ∧ Q) P
--P DN A DN P ∧ Q DN
ACTIVIDAD N°
1. Qué conclusiones se puede sacar de cada una de las proposiciones siguientes por la
doble negación
a) Todos los caballos son animales de sangre caliente.
b) No ocurre que el núcleo de un átomo no esté cargado positivamente
c) No ocurre que un quinto no es el veinte por ciento
d) Las elecciones presidenciales en el Paraguay son cada seis años.
e) El Paraguay está dividido por estados.
2. Dar una demostración formal, indicar la abreviatura de la regla utilizada y los
números de las líneas de las que se ha deducido cada línea en la demostración
a) Demostrar: - - T b) Demostrar: P ∨ Q
(1) S → T P (1) R → - - ( P ∨ Q) P
(2) S P (2) R P
c)Demostrar: B d)Demostrar: - - N
(1) - 𝐴 → - - B P (1) M → - P P
(2) - A P (2) - P → N P
(3) M P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
91
e)Demostrar: G f)Demostrar: Q
(1) H P (1) J P
(2) H → - - G P (2) J → K ∧ M P
(3) K ∧ M → - - Q P
MODUS TOLLENDO TOLLENS ( T T )
La regla de Inferencia que tiene el nombre latino modus tollendo tollens se aplica también a
las proposiciones condicionales. Negando (tollendo) el consecuente, se puede negar también
el antecedente de la condicional (tollens)
Si Carlos está en el tercer semestre, entonces está en el segundo año de la carrera
No está en el segundo año de la carrera
Por tanto, Carlos no está en el tercer semestre
Simbolizando:
P: Carlos está en el tercer semestre
Q: está en el segundo año de la carrera
𝑃 → 𝑄
− 𝑄
-P
Por tanto, la regla del Tollendo Tollens, permite pasar de dos premisas, una condicional y una
proposición que niega el consecuente, a una conclusión que niega el antecedente.
Se usa la regla del TT en cada uno de ellos:
a) (1) R → S P b) (1) Q ∧ R → S P C) (1) P → - Q
P
(2) –S P (2) - S P (2) - - Q
P
(3) – R T T1,2 (3) – (Q ∧ R ) T T1,2 (3) – P T
T1,2
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
92
ACTIVIDAD N°
1.Qué conclusión se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos de premisas ,
aplicando la regla de Tollendo Tollens?
a) Si la luz fuera simplemente un movimiento ondulatorio continuo, entonces la luz más
brillante daría lugar siempre a una emisión de electrones con mayor energía que los
originados por luz más tenue. La luz más brillante no daría lugar siempre a una
emisión de electrones con mayor energía que los originados por luz más tenue.
b) Si el alquiler se mantiene, entonces el dueño se hace responsable de las reparaciones.
El dueño no se hace responsable de las reparaciones.
c) Si el cumpleaños de Rodrigo es el jueves, entonces festejará el sábado. Rodrigo no
festejará el sábado.
d) Si algo es imposible, entonces no sabes como hacerlo. Se como hacerlo.
e) Si está preparado para todas las circunstancias de la vida , entonces nada te tomará
por sorpresa. Es falso que nada te tomará por sorpresa.
f) Si llovió la noche pasada, entonces las pistas se han limpiado. Las pistas no se han
limpiado.
g) José no es mi hermano. Si Luis es mi hijo, entonces José es mi hermano.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
93
h) La suma de los otros dos ángulos es menor de 90°. Si un ángulo de un triángulo es
mayor de 90°, entonces la suma de los otros dos ángulos es menor de 90°.
3. Dar una demostración del siguiente conjunto de premisas, aplicando la regla del
Tollendo Tollens
a) (1) P→ R P b) (1) – P → Q P
(2) – R P (2) – Q P
c) (1) A → B P d) (1) – (T ∧ S) P
(2) – B P (2) - R → (T ∧ S) P
e)(1) Q → - P P f) (1)P ∨ Q → R P
(2) - - P P (2) – R P
4. Dar una demostración formal
a)Demostrar: - P b)Demostrar: - - P
(1)P → S P (1) Q → P P
(2) S→ R P (2) T → Q P
(3) R → Q P (3) R → T P
(4) - Q P (4) R P
c)Demostrar: - D d)Demostrar: C
(1) A → B P (1) – B P
(2) B → C P (2) A → B P
(3) - C P (3) – A → C P
(4) – A→ - D P
e)Demostrar: R f)Demostrar: F
(1) P → - Q P (1) G→ H P
(2) Q P (2) – G → - - F P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
94
(3) - P → R ∧ S P (3) – H P
g)Demostrar: - -A h)Demostrar: - S
(1) -A → - C P (1) P → Q P
(2) B→ C P (2) Q→ R P
(3) B P (3) S → - R P
(4) P P
i)Demostrar: A j)Demostrar: - A
(1) - A→ - B P (1)A → B P
(2) – B → - C P (2) B→ C P
(3) C P (3) C → D P
(4) – D P
k)Demostrar:𝑥 ≠ 0 l)Demostrar: 𝑥 = 0
(1)𝑥 = 0 → 𝑥 = 𝑦 p (1) 𝑥 ≠ 0 → 𝑥 + 𝑦 ≠ 𝑦 p
(2)𝑥 = 𝑧 → 𝑥 = 𝑦 p (2) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 P
(3) 𝑥 = 𝑧 p
m)Demostrar: 𝑥 = 0 n)Demostrar: 𝑥 ≠ 𝑦
(1)𝑥 ≠ 0 → 𝑦 = 1 p (1) 𝑥 = 𝑦 → 𝑦 = 𝑧 p
(2)𝑥 = 𝑦 → 𝑦 = 𝑤 p (2) 𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑤 P
(3) 𝑦 = 𝑤 → 𝑦 ≠ 1 p (3) 𝑦 = 𝑤 → 𝑦 = 1 P
(4) 𝑥 = 𝑦 P (4) 𝑦 ≠ 1 P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
95
ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN
Dadas dos proposiciones como premisas: 1°) César es alumno de la Unida
2°) César es de nacionalidad paraguaya
Si ambas proposiciones son verdaderas, entonces podríamos juntar en una proposición
molecular, utilizando el término de enlace “y”. Se tendría una proposición verdadera que se
leería:
César es alumno de la Unida y César es de nacionalidad paraguaya.
Si ambas premisas son verdaderas, entonces la conclusión tendría que ser verdadera. La regla
que permite pasar de dos premisas a la conclusión se llama Adjunción.
Se Simboliza:
P: César es alumno de la Unida y
Q: César es de nacionalidad paraguaya.
De las premisas: P
Q
Se concluye: P∧Q
Ejemplos:
a)(1) P P b) (1) Q ∧R P c)(1) A P
(2)- Q P (2) - T P (2) B P
(3) P∧ −Q A1,2 (3) (Q ∧ R) ∧ - T A1,2 (3) A ∧ B A1,2
Consideremos ahora donde se considera la regla opuesta:
Las clases empiezan el lunes y terminaron las vacaciones
De esta premisa se pueden sacar dos conclusiones. La primera: Las clases empiezan el lunes
La otra: terminaron las vacaciones
Si la premisa es verdadera, cada una de las conclusioneses también verdadera
La regla que permite pasar de una conjunción a cada una de las dos proposiciones que están
unidas por “∧ “ se denomina regla de simplificación.
En forma simbólica la regla de Simplificación es :
P: Las clases empiezan el lunes
Q: terminaron las vacaciones
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
96
De la premisa: 𝑃 ∧ 𝑄
Se puede concluir P
O se puede concluir : Q
Ejemplos
a) (1) P∧ −Q P b) (1) (Q ∧ R) ∧ - T P c) (1) A ∧ B P
(2) P S1 (2) – T S1 (2) A S1
ACTIVIDAD N°
1.Qué conclusión o conclusiones se puede sacar del siguiente conjunto de premisas,
aplicando la regla de Adjunción o simplificación
a) El número atómico del hidrógeno es 1. El número atómico del helio es 2.
b)A Tomás le gusta esquiar y a Tobías le gusta nadar
c)El cumpleaños de Genaro es en marzo y el mío es el jueves
d)José es un adolescente. Claudia es una niña
e)Esta inferencia es válida. Aquella inferencia no es válida.
f)(1) P ∧ −Q P g) (1) P ∨ −Q P h) (P ∨ −Q) ∧ S P
(2) – R P
2.Probar que las conclusiones siguientes son consecuencia lógica de las premisas dadas. Dar
una conclusión completa
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
97
a) Demostrar: - B b)Demostrar: Q ∧ R
(1) A → (- B ∧ C) P (1) P → Q P
(2) A P (2) R P
(3) P P
c) Demostrar: - S d)Demostrar: - M ∧ N
(1) – R ∧ T P (1) M→ P P
(2) S→ R P (2) N P
(3)- P P
e) Demostrar: B ∧ - D f)Demostrar: - - Q
(1) C → B P (1) P ∧ Q P
(2) C P
(3) D → - E P
(4) E P
g) Demostrar: - S ∧ Q h)Demostrar: A → C
(1) – S → Q P (1) A ∧ - C P
(2) – ( T ∧ R) P (2) – C → B P
(3) S →( T ∧ R) P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
98
i)Demostrar: - ( M ∧ N)
(1) H→ S P
(2) S ∧ N→ - (M ∧ N) P
(3) – R
MODUS TOLLENDO PONENS (T P)
Dice que negando (TOLLENDO)un miembro de la disjunción se afirma (ponens) el oreo
miembro.
La disjunción se usa en forma inclusiva. La disjunción inclusiva significa que por lo menos uno
de los miembros de la disjunción o ambos debe ser verdadera
Ejemplo:
Los periodistas entran por el acceso N° 2 o los fotógrafos entran por el acceso N° 2.
Los periodistsa no pueden entrar por el acceso N° 2.
Luego, los fotógrafos entran por el acceso N° 2
Simbolizando:
P: Los periodistas entran por el acceso N° 2
Q: los fotógrafos entran por el acceso N° 2
Premisa 1 : P v Q
Premisa 2: - P
Conclusión: Q
Ejemplos
a)(1) PvQ P b)(1) P v – Q P c)(1) (P∧ Q) v R P
(2) – Q P (2) - P P (2) – R P
(3) P TP1,2 (3) P TP1,2 (3) (P∧ Q) TP1,2
d)(1) (P∧ Q) v ( R∧ S) P e)(1) – P v – T P f)(1) – T v S P
(2) - (P∧ Q) P (2) - - T P (2) T P
(3) ( R∧ S) TP1,2 (3) – P TP1,2 (3) S TP1,2
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
99
ACTIVIDAD N°
1.Con la ayuda de la regla del Tollendo Ponens saca una conclusión válida para cada una del
conjunto de premisas siguientes:
a) la bulimia es una ingesta compulsiva de alimentos o es la falta de consumo de
vitaminas.
No es la falta de consumos de vitaminas.
Luego
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
b) La diabetes es debida al consumo excesivo de azúcar o es una consecuencia del
mal funcionamiento del páncreas.
La diabetes no es debida al consumo excesivo de azúcar.
Por tanto,
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………
c) Esteban o es un abogado o es licenciado en Marketing.
Esteban no es abogado.
Por tanto
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………
d) O hace calor y está nublado o el festival por el día de la madre se realizará en el
polideportivo.
Hace calor y está nublado.
Por tanto,
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………
e) O la energía interna de un átomo puede cambiar con continuidad o cambia solo a
saltos.
La energía interna de un átomo no puede cambiar con continuidad.
Por consiguiente
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………
f) Juan o ha terminado la tarea de proceso de Matemática I o no lo entregará el día
de hoy.
Juan lo entregará el día de hoy.
Por tanto,
………………………………………………………………………………………………………………………………
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
100
………………………………………………………………………………………………………………………………
………………
2. Dar una conclusión, usando la regla del Tollendo Tollens, para el siguiente
conjunto de premisas
a)(1) P v – Q P b)(1) ( P →Q) v N P
(2) Q P (2) - N P
C)(1) – T v – S P d)(1) – A v – B P
(2) S P (2) - - B
e)(1) (S ∧T) v – R P f)(1) – N P
(2) R P (2) N v (S ∧ −T) P
g)(1) - E v F P h)(1) - (P ∧T) P
( 2) – E P (2) (S ∧T) v – R P
3. Dar una demostración formal
a)Demostrar: P b)Demostrar: - P
(1) P v Q P (1) T v (Q ∧ 𝑅) P
(2) - T P (2) (Q ∧ 𝑅) →( - P v T) P
(3) Q → T P (3) - T
c)Demostrar: - P d)Demostrar: - ( S v T)
(1) – R P (1) P → Q P
(2) P → - Q P (2) P P
(3) - Q → R P (3) (S v T) → - Q P
e)Demostrar: - P f)Demostrar: T
(1) T P (1) M P
(2) (Q ∧ 𝑅) → (- P ∧ 𝑇) P (2) N →T P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
101
(3) T → (Q ∧ 𝑅) P (3) M →( N ∧L L) P
g)Demostrar: P h)Demostrar: A ∧ C
(1) - Q P (1) B P
(2) -- T P (2) A v D P
(3) T → ( P v Q) P (3) B → - D P
(4)
i)Demostrar: - - H b)Demostrar: S
(1) S v ( H v G) P (1) – ( R ∧ S ) → Q P
(2) - S P (2) – Q v S P
(3) – G P (3) – S P
4. Primero simbolizar las premisas y la conclusiones siguientes. Luego
demostrar que las conclusiones son consecuencia lógica de las premisas
a) O x = y o x = z
Si x = z entonces = 6
No es x = 6Por tanto x = y
b) A la vez, 1 + 1 = 2 y 2 + 1 = 3
O 3 – 2 = 1 o no ocurre que 2 – 1 = 1
Si 1 + 1 = 2 entonces2 – 1 = 1
c) O x = 0 o x = y
Si x = y entonces x = z.
No es x = z
Por tanto, x = 0
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
102
d) Si x = y entonces x = z
Si x = z entonces x = w
O x = y o x = 0
Si x = 0 entonces x + u = 1
No es x + u = 1
Por tanto, x = w
e) Si 0 ≠ x entonces x ≠ y
O x = y o x = z
x ≠ z
Por tanto x = 0
DEDUCCIÓN PROPOSICIONAL
La demostración es el juego y las reglas del juego son precisamente las reglas de inferencia. Se
puede hacer cualquier movimiento, dar cualquier paso que está permitido por una regla y se
hade poder justificar cada paso dado indicando la regla seguida. El propósito de cada
movimiento, es avanzar un paso acercándose al objetivo. La posición de partida con la que se
inicia el juego es un conjunto de premisas. Las premisas están justificadas por la regla de las
premisas que es: Una premisa puede ser introducida en cualquier punto de una deducción.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
103
Resumiendo, se empieza con un conjunto de premisas y el objeto es pasar de estas premisas
(P) a una conclusión particular. Cada movimiento que se hace, cada línea que se escribe
debajo, ha de ser permitido por una regla de inferencia definida.
Ejemplo
Si la ballena es una mamífero, entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno del aire,
entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por tanto, no
necesita branquias
Lo que se quiere demostrar , es decir la conclusión es “no tiene branquias”. La palabra, por
tanto, pone de manifiesto que la proposición final es la conclusión del razonamiento.
El primer paso es simbolizar el razonamiento de manera que la deducción sea perfectamente
clara.
P:la ballena es una mamífero
Q:toma oxígeno del aire
R:necesita branquias
S:vive en el océano
Entonces
Primera premisa: P → Q
Segunda premisa: Q→ - R
Tercera premisa: P ∧ S
Conclusión: -R
La demostración formal:
Demostrar: - R
(1)P → Q P
(2)Q→ - R P
(3)P ∧ S P
(4) P S3
(5) Q PP1,4
(6) – R PP2,6
Ejemplo:
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
104
Si Tomás tiene 17 años, entonces Tomás tiene la misma edad que Juana.
Si Joaquín tiene distinta edad que Tomás, entonces Joaquín tiene distinta edad que Juana.
Tomás tiene 17 años y Joaquín tiene la misma edad que Juana.
Por tanto, Joaquín tiene la misma edad que Tomás y Tomás la misma edad que Juana
P: Tomás tiene 17 años
Q:Tomás tiene la misma edad que Juana
R:Joaquín tiene misma edad que Tomás
S:Joaquín tiene misma edad que Juana
Premisas: P → Q
-R → - S
P ∧ S
Conclusión: R ∧ Q
Demostrar: R ∧ Q
(1)P → Q P
(2)-R → - S P
(3)P∧ S P
(4) P S3
(5) Q PP1,4
(6) S S3
(7) R TT2,6
(8) R ∧ Q A5,7
ACTIVIDAD N°
1. Simbolizar las proposiciones dadas y luego dar una demostración formal
a) Si la enmienda no fue aprobada, entonces la Constitución queda como estaba.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
105
Si la Constitución queda como estaba , entonces no podemos añadir nuevos miembros
al comité.
O podemos añadir nuevos miembros al comité o el informe se retrasará un mes. Pero
el informe no se retrasará un mes. Por tanto la enmienda fue aprobada.
b) O esta es una roca ígnea o es una roca sedimentaria. Esta roca es granito. Si esta roca
es granito entonces no es una roca sedimentaria. Por tanto ,esta es una roca ígnea.
c) Si A ganó la carrera , entonces o B fue el segundo o C fue el segundo. Si B fue el
segundo entonces A no ganó la carrera. Si D fue el segundo, entonces C no fue el
segundo. A ganó la carrera. Por tanto, D no fue el segundo.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
106
d) Si esta es una sociedad matriarcal, entonces el hermano de la madre es el cabeza de la
familia.
Si el hermano de la madre es el cabeza de la familia entonces el padre no tiene
autoridad.
Esta es una sociedad matriarcal.
Por tanto, el padre no tiene autoridad
e) Si Juan es más alto que Pedro, entonces María es más baja que Juana. Si Juan y Luis
tienen la misma estatura, entonces Juan es más alto que Pedro. Por tanto Juan y Luis
no tienen la misma estatura.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
107
f) Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vió partir el auto de
Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vió partir el auto de Andrés. O
Andrés dice la verdad o estaba en el edifico en el momento del crimen. El reloj está
adelantado. Por tanto, Andrés estaba en el edifico en el momento del crimen
2. Dar una demostración formal:
a)Demostrar: S b)Demostrar: - T
(1) – T v R P (1) P → S P
(2) - S → - R P (2) P ∧ Q P
(3) T P (3) (S ∧ R) → - T P
(4) Q → R P
c)Demostrar:- R d)Demostrar: S ∧ T
(1) Q ∧ S P (1) P → S p
(2) 𝑄 ∧ T P (2) P → T P
(3) T → - R P (3) P P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
108
e)Demostrar: y + 8 < 1 2 f)Demostrar: x < 4 ∧ y < 6
(1) x + 8 = 12 v x ≠ 4 p (1) x + 2 < 6 → x < 4 P
(2) x = 4 ∧ y < x P (2) y < 6 v x + y ≮10 P
(3) x + 8 = 12 ∧ y < x → y + 8 < 12 P (3)x + y < 10 ∧ x + 2 < 6 P
g)Demostrar: y > z h)Demostrar: x < 5
(1) x = y → x = z P (1) x < y v x = y P
(2) x≠ y → x < z P (2) x = y → y ≠ 5 P
(3) x≮ z v y > z P (3) x < y ∧ y = 5 → x < 5 P
(4) y ≠ z ∧ x ≠ z P (4) y = 5 P
LEY DE ADICIÓN ( LA)
La ley de adición expresa el hecho que si se tiene una proposición verdadera, entonces la
disjunción de aquella disjunción y otra cualquiera ha de ser verdadera.
Dada la premisa: Estamos en el verano
Es una premisa verdadera y por lo tanto podemos afirmar que la disjunción de cualquier
proposición con la primera es siempre verdadera. Por lo que podemos concluir: estamos en el
verano o amaneció nublado. En ambos casos la disjunción sigue siendo verdadera porque
basta con que uno de los miembros sea verdadero para que el conjunto sea verdadero.
Simbolizando:
P: Estamos en verano
Q: Amaneció nublado
P
Por tanto: P v Q LA
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
109
Ejemplos:
a)(1) P P b)(1) – P P c)(1) ( P ∧ Q) P
(2) P v W LA (2) – p V R LA (2) (P ∧ Q) v – R LA
d)(1) ( P ∧ Q) P
(2) ( P ∧ Q) v ( T v R) LA
ACTIVIDAD N°
1.De las premisas siguientes obtener una disjunción
a) El etanol es soluble
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
b) El hierro es un bioelemento
………………………………………………………………………………………………………………………………………
c) Algunos juegos son fáciles de aprender
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
d) El Paraguay es un país mediterráneo
……………………………………………………………………………………………………………………………………
e) El Dr. José Gaspar Rodríguez de Francia participó de la gesta de la Independencia
………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Si las conclusiones son consecuencia lógicas de las premisas, en los ejemplos que siguen,
escribir la palabra “válido”. Si es válido, completar la demostración
a)(1) P P b)(1) Q P
Por tanto P v Q tanto Q v - R
c)(1) P P d) (1) – P P
(2) ( P v Q) → R P Por tanto – P v - Q
Por tanto, R
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
110
e)(1) T P f)(1) P P
(2) T v S → Q P Por tanto P ∧ Q
Por tanto, Q P
g)(1) R ∧ S → T
(2) R
Por tanto, T
4. Dar una demostración formal
a)Demostrar: R → T b)Demostrar: P ∧ Q
(1) – Q v ( R → T) P (1) R → S P
(2) - L → Q P (2) – S P
(3) L→ - PP (3) R v ( P ∧ Q) P
(4) P P
c)Demostrar: - L d)Demostrar: T v S
(1) S → Q P (1) Q v T P
(2) – Q v T P (2) Q → R P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
111
(3) L → - T P (3) – R P
(4) S P
e)Demostrar: R v - S f)Demostrar: T v Q
(1) S ∧ Q P (1) S → P ∧ Q P
(2) T → - Q P (2) S P
(3) – T → R P (3) P ∧ Q → T P
g)Demostrar: U h)Demostrar: - S
(1) P ∧ - T P (1) P v Q P
(2) S → T P (2) – S v – P P
(3) S v Q P (3)- Q P
(4) Q v P → U P
LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO (S H)
Dadas las premisas
Si Carlos está en la Universidad, entonces estudia ingeniería en Informática
Si estudia Ingeniería en Informática, entonces tendrá como materia Matemática I
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
112
Se puede concluir, Si Carlos está en la Universidad, entonces tendrá como materia Matemática
I
Simbolizando
P: Carlos está en la Universidad
Q: estudia ingeniería en Informática
R: tendrá como materia Matemática I
Premisas: P → Q
Q → R
Conclusión: P → 𝑅
La conclusión es una proposición condicional.
Ambas premisas son condicionales
Es una regla de inferencia que en su expresión plantea un caso hipotético, por lo cual puede
tener términos válidos o no.
Ejemplo:
Si hace frío, entonces iré bien abrigado
Si iré bien abrigado, entonces no me resfriaré.
Podemos concluir: Si hace frío, entonces no me resfriaré
Simbolizando: P : hace frío
Q: iré bien abrigado
R: me resfriaré
P→ Q
Q→ R
P→R
La conclusión es una condicional, ambas premisas son proposiciones condicionales. La
conclusión dice que ocurrirá si hace frío.
Ejemplos:
a)(1) P → - R P b)(1) ( P v Q) → T P
(2) – R→ T P (2) T → S P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
113
(3) P → T SH1,2 (3) (P v Q) → S SH1,2
c)(1) T → R P d)(1) S → ( P ∧ T) P
(2) S → T P (2) ( P ∧ T) → R P
(3) S → R SH1,2 (3) S → R SH1,2
ACTIVIDAD N°
1. Qué conclusión se puede sacar, por la ley del Silogismo Hipotético, de los conjuntos
de proposiciones siguientes?. Luego , traducir los razonamientos en símbolos lógicos,
y demostrar que su conclusión es consecuencia lógica de las premisas
a) Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales. Si las moléculas
forman cristales, entonces el agua aumenta de volumen.
Por tanto, ……………………………………………………………………………………………………………..
b) Si Tomás conduce a una velocidad de 50 km/h, entonces en 9 horas habrá
recorrido 450 km.
Si en 9 horas habrá recorrido 450 km, entonces habrá recorrido 90 km más que el
día anterior.
Luego, ………………………………………………………………………………………………………………
c) Si un haz fino de fotones penetra en un gas en una cámara de niebla, entonces los
fotones expulsan electrones de los átomos de gas. Si los fotones expulsan
electrones de átomos de gas, entonces la energía de la luz se convierte en energía
cinética de los electrones.
Luego, ………………………………………………………………………………………………………………
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
114
d) Si el número de representantes del Senado está en relación con la población de
cada departamento, entonces Central tiene más Senadores que Guairá. Si Central
tiene más Senadores que Guairá, entonces, Central tiene más de dos senadores.
Por tanto, ……………………………………………………………………………………………………
e) Si x = 0 , entonces x + y = 2. Si x + y = 2 , entonces y > 0
Por tanto, ……………………………………………………………………………………………………
2. Utilizar la ley del Silogismo hipotético, en una demostración formal para obtener una
conclusión de los siguientes conjuntos de premisas.
1. (1) Q → - P P 3. (1) S v T → R v S P
(2) – P → R P (2) R v Q → - P P
2. (1)P → R ∧ – S P 4. (1) S → - T P
(2) R ∧ – S → T P (2) – T → - R P
3. Dar una demostración formal
a)Demostrar: - T b)Demostrar: P
(1) (Q → R) ∧ P P (1) – R P
(2) R → T P (2) – P → Q P
(3) (Q → R) P (3) Q → R P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
115
c)Demostrar: Q d)Demostrar: T v L
(1) - R → S P (1) P v – Q P
(2) S → P∧ Q P (2) Q P
(3) R → T P (3) P → (S ∧T) P
(4) – T P
e)Demostrar: - - T f)Demostrar: S
(1) P → Q P (1) P → Q
(2) Q → R P (2) Q → - R
(3) R → T P (3) P v ( T ∧ S)
(4) P P (4) R
g)Demostrar: R v T h) Demostrar: - T ∧ - P
(1) P → S P (1) – S v – R P
(2) P P (2) – R → - T P
(3) – S v Q P (3) – S → - T P
i)Demostrar: y < 3 V x > 5 j)Demostrar:5 x – 4 = 3 x + 4→ x = 4
(1) y = 4 ∧ x = y + 3 P (1) 5 x – 4 = 3 x + 4→ 5 x = 3 x + 8 P
(2) x = y + 3 → x > 2 P (2) 2 x = 8 → x = 4 P
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
116
(3) y ≯ 2 → x ≯ 2 P (3) 5 x = 3 x + 8 → 2 x = 8 P
(4) ( y > 2 v y = 3 ) → x > 5 P
k)Demostrar: x = 6 v x > 6 l)Demostrar: x ≠ 3 v 4 > x
(1) x ≠ y → y < x P (1) 5 x = 20 → x = 4 P
(2)( x > 5 → y < x) → y = 5 P (2) 2 x = 6 v x ≠ 3 P
(3) y ≠ 5 v x = 6 P (3)2 x = 6 → - ( 5 x – 3 = 17 →x = 4) P
(4) x > 5→ x ≠ y P (4) 5 x – 3 = 17 → 5x = 20 P
LEY DEL SILOGISMO DISYUNTIVO
La ley del Silogismo disyuntivo, empieza con una disjunción y dos condicionales
O llueve hoy o el campo está seco
Si llueve hoy , entonces el partido de fútbol se suspenderá.
Si el campo está seco, entonces el partido de fútbol empezará a la hora fijada
Qué concluimos?
Que el partido de fútbol se suspenderá o que empezará a la hora fijada.
La conclusión es otra disjunción
Simbolizando:
P: llueve hoy
Q: el campo está seco
R: el partido de fútbol se suspenderá
S: el partido de fútbol empezará a la hora fijada
Premisas: P v Q
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
117
P → R
Q → S
Conclusión R v S
Para aplicar la ley del Silogismo Disyuntivo, lo primero es hacer una inspección generalizada
para comprobar si se tienen las dos condicionales y la disjunción requerida. Luego, se
comprueba que los dos antecedentes de las condicionales son precisamente los miembros de
la disjunción. Por último se forma como conclusión una disjunción, donde los miembros de
ésta corresponde a los dos consecuentes de las condicionales.
Ejemplos
a)(1) P V Q P b) (1)- T v R P
(2) P → R P (2) – T → - S P
(3) Q → T P (3) R → W P
(4) R v T (4) – S v W SD1,2,3
b)(1) – P v – Q P d)(1) P v Q P
(2) – P → T P (2) P → - S P
(3) – Q→ S P (3) Q → - T P
(4) T v S SD1,2,3 (4) – S v – T SD1,2,3
ACTVIDAD N°
Qué conclusión se puede sacar, por la ley del Silogismo Disyuntivo, de los conjuntos de
proposiciones siguientes?. Luego , traducir los razonamientos en símbolos lógicos, y
demostrar que su conclusión es consecuencia lógica de las premisas
1. O Juan tiene mayoría o Pedro tiene mayoría. Si Juan tiene mayoría, entonces Pedro
será el tesorero. Si Pedro tiene mayoría, entonces Juan será el tesorero.
Por tanto, ………………………………………………………………………………………………………………….
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
118
2.Este número, o es un número positivo o es un número negativo. Si es un número
positivo, entonces es mayor que cero. Si es un número negativo, entonces es menor
que cero.
Luego, ……………………………………………………………………………………………………………….
3. O la planta es una planta verde o es una planta no verde. Si es una planta verde,
entonces fabrica su propio alimento. Si es una planta no verde, entonces depende de
las materias de otras plantas para su alimento.
Por tanto, …………………………………………………………………………………………………………………..
4. Esta roca, o es una piedra caliza o es granito. Si es piedra caliza, entonces es
sedimentaria. Si es granito, es ígnea.
Luego, …………………………………………………………………………………………………………………………
2. Utilizar la ley del Silogismo hipotético, en una demostración formal para obtener una
conclusión de los siguientes conjuntos de premisas.
a)(1) P v – Q P b)(1) – T v – S P
(2) P → S P (2) – S → P P
(3) – Q → T P (3) – T → Q P
c)(1) Q v T P d)(1) (P ∧ Q ) v – R P
(2) Q → L P (2) (P ∧ Q ) → S P
(3) T → - R P (3) – R → T P
3. Dar una deducción formal
a)Demostrar: R ∧ ( P v Q) b)Demostrar: - T
(1) P v Q P (1) – S→ - H P
(2) Q → R P (2) H P
(3) P → T P (3) S → P P
(4) - S P (4) P → - T P
C)Demostrar: d) Demostrar
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
119
Ley de simplificación disjuntiva; P v Q
P →R
REGLAS DE INFERENCIA
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
120
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
121
3.9 TERMINOS, PREDICADOS Y CUANTIFICADORES UNIVERSALES
TERMINO:
Es una expresión con la que se nombra o se designa un único objeto.
Ejemplo 7:
a) Brasil es el mayor productor de café en el mundo
Término: Brasil
b) Sócrates es sabio
Término: Sócrates
c) Dos es menor que tres.
Término: Dos y tres
Observación: Un término no ha de ser necesariamente un nombre, puede ser también una
frase, como “este cuaderno”, “el Presidente del Paraguay”; que se refiere a un individuo o cosa
particular.
PREDICADO:
Es lo que se dice del término.
Ejemplo 8:
a) Juan es nadador
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
122
Predicado: es nadador
b) Manuel está triste.
Predicado: está triste
Para simbolizar la expresión se utiliza una sola letra para todo el predicado y se usa con letras
mayúsculas, mientras que los términos se simbolizan con letras minúsculas.
Ejemplo 9:
a) María canta
Término: María m = María
Predicado: canta A = canta
Por tanto: Am
b) El lector habla rápidamente
Término: El lector m = El lector
Predicado: habla rápidamente H = habla rápidamente
Por tanto: Hm
UNIVERSIDAD AMERICANA MATEMATICAS I
EJERCICIO 3 - 8
Simbolizar las proposiciones siguientes
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
123
1. Andrés es un miembro de nuestro club
2. Esta mesa es redonda
3. Azul y amarillo son colores complementarios
4. Julio es un estudiante
5. Este libro tiene una página extraviada
6. El coche del Sr. Martínez es un coche de carrera
7. Australia es un continente
8. Este dinosaurio vivió durante el período Jurásico.
9. El rayo de luz se refracta.
10. Susana cabalga.
11. Joaquín atiende con aplicación.
12. El sol estaba en el zenit.
13. El río Paraguay se desborda.
14. Este dinosaurio murió durante el período jurásico.
15. Este círculo tiene una tangente AB
16. El auto de Manuel es un auto de carreras.
17. El número uno es un número Natural.
18. O Catalina se ha retrasado o Rosa se ha adelantado.
19. El uno es un número natural y es número primo.
20. El budismo es una religión que se originó en la India, pero que tuvo más difusión en la
China.
21. Juan ganará si y solo sí se entrena cada día
22. Si Antonio está aquí entonces puede empezar la Asamblea
23. Eubola es una isla griega y Creta es una isla griega
24. Manuel es estudiante del primer semestre o del segundo semestre.
25. Si José es viejo entonces Nicolás no es viejo.
26. Jorge Martínez y Luis Carreras no fueron actores.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
124
27. Manuel será músico si y solo si practica todos los días.
28. O el avión se ha retrasado o Raquel está equivocada.
29. Si Tomás es elegido, entonces Jorge será nombrado.
30. Luis estudiará las lecciones si y solo sí no va al cine.
3.10 CUANTIFICADORES UNIVERSALES
Se llama así porque utiliza la variable x para afirmar que cada cosa en el universo tiene una
cierta propiedad. El símbolo para el cuantificador universal es una letra A al revés y se
simboliza : x
Cuantificadores universales son: para cada x, para todo x, cualquiera, todo, ningún, ninguna,
nada, no
Ejemplo 10:
Todo es alto
La frase para cada x es un cuantificador universal, y la propiedad es ser alto.
UNIVERSIDAD AMERICANA MATEMATICAS I
Simbolizando: Lmx)(
EJERCICIO 3 - 9
Simbolizar completamente las proposiciones siguientes
1. Ningún melocotón es un vegetal
2. Todos los gorriones son pájaros
3. Solo el protoplasma es sustancia viviente
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
125
4. Ningún canino es pájaro
5. Todo río corre hacia abajo
6. Todos los estudiantes son escolares
7. Ningún pájaro es cuadrúpedo
8. Solo los hombres son racionales
9. Todas las cuevas son refugios
10. Solo los números positivos son mayores que cero
11. Todos los pinos son siempre verde
12. Todo fruto es delicioso
13. Para todo x, si x > 2, entonces x > 1
14. No toda hierba es verde
15. Para todo y, y – 0 = y
16. Todas las cuevas son refugios
17. Todos los caballos son cuadrúpedos
18. Solo el protoplasma es sustancia viviente
19. Ningún cocinero es hombre delgado
20. Para todo x, si x 0, entonces x / x = 1
3.9 TERMINOS, PREDICADOS Y CUANTIFICADORES UNIVERSALES
TERMINO:
Es una expresión con la que se nombra o se designa un único objeto.
Ejemplo 7:
a) Brasil es el mayor productor de café en el mundo
Término: Brasil
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
126
b) Sócrates es sabio
Término: Sócrates
c) Dos es menor que tres.
Término: Dos y tres
Observación: Un término no ha de ser necesariamente un nombre, puede ser también una
frase, como “este cuaderno”, “el Presidente del Paraguay”; que se refiere a un individuo o cosa
particular.
PREDICADO:
Es lo que se dice del término.
Ejemplo 8:
a) Juan es nadador
Predicado: es nadador
b) Manuel está triste.
Predicado: está triste
Para simbolizar la expresión se utiliza una sola letra para todo el predicado y se usa con letras
mayúsculas, mientras que los términos se simbolizan con letras minúsculas.
Ejemplo 9:
a) María canta
Término: María m = María
Predicado: canta A = canta
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127
Por tanto: Am
b) El lector habla rápidamente
Término: El lector m = El lectorPredicado: habla rápidamente H = habla rápidamente
Por tanto: Hm
ACTIVIDAD N°
Simbolizar las proposiciones siguientes
31. Andrés es un miembro de nuestro club
32. Esta mesa es redonda
33. Azul y amarillo son colores complementarios
34. Julio es un estudiante
35. Este libro tiene una página extraviada
36. El coche del Sr. Martínez es un coche de carrera
37. Australia es un continente
38. Este dinosaurio vivió durante el período Jurásico.
39. El rayo de luz se refracta.
40. Susana cabalga.
41. Joaquín atiende con aplicación.
42. El sol estaba en el zenit.
43. El río Paraguay se desborda.
44. Este dinosaurio murió durante el período jurásico.
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128
45. Este círculo tiene una tangente AB
46. El auto de Manuel es un auto de carreras.
47. El número uno es un número Natural.
48. O Catalina se ha retrasado o Rosa se ha adelantado.
49. El uno es un número natural y es número primo.
50. El budismo es una religión que se originó en la India, pero que tuvo más difusión en la
China.
51. Juan ganará si y solo sí se entrena cada día
52. Si Antonio está aquí entonces puede empezar la Asamblea
53. Eubola es una isla griega y Creta es una isla griega
54. Manuel es estudiante del primer semestre o del segundo semestre.
55. Si José es viejo entonces Nicolás no es viejo.
56. Jorge Martínez y Luis Carreras no fueron actores.
57. Manuel será músico si y solo si practica todos los días.
58. O el avión se ha retrasado o Raquel está equivocada.
59. Si Tomás es elegido, entonces Jorge será nombrado.
60. Luis estudiará las lecciones si y solo sí no va al cine.
3.10 CUANTIFICADORES UNIVERSALES
Se llama así porque utiliza la variable x para afirmar que cada cosa en el universo tiene una
cierta propiedad. El símbolo para el cuantificador universal es una letra A al revés y se
simboliza : x
Cuantificadores universales son: para cada x, para todo x, cualquiera, todo, ningún, ninguna,
nada, no
Ejemplo 10:
Todo es alto
La frase para cada x es un cuantificador universal, y la propiedad es ser alto.
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
129
UNIVERSIDAD AMERICANA MATEMATICAS I
Simbolizando: Lmx)(
EJERCICIO 3 - 9
Simbolizar completamente las proposiciones siguientes
21. Ningún melocotón es un vegetal
22. Todos los gorriones son pájaros
23. Solo el protoplasma es sustancia viviente
24. Ningún canino es pájaro
25. Todo río corre hacia abajo
26. Todos los estudiantes son escolares
27. Ningún pájaro es cuadrúpedo
28. Solo los hombres son racionales
29. Todas las cuevas son refugios
30. Solo los números positivos son mayores que cero
31. Todos los pinos son siempre verde
32. Todo fruto es delicioso
33. Para todo x, si x > 2, entonces x > 1
34. No toda hierba es verde
35. Para todo y, y – 0 = y
36. Todas las cuevas son refugios
37. Todos los caballos son cuadrúpedos
38. Solo el protoplasma es sustancia viviente
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130
39. Ningún cocinero es hombre delgado
40. Para todo x, si x 0, entonces x / x = 1
1.
Bibliografía
Klement, Kevin. «Propositional Logic». The Internet Encyclopedia of Philosophy (en
inglés). Massachusetts, Estados Unidos.
https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/capítulo-7-teoria-de-conjuntos
http://www.iep.utm.edu/prop-log/
https://medium.com/@matematicasdiscretaslibro/capítulo-7-teoria-de-conjuntos
Universidad de Integración de las Américas Cuadernillo de Matemática I
131
https://www.ecured.cu/Proposici%C3%B3n_l%C3%B3gica
https://es.wikiversity.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_proposicional/Proposiciones&actio
n=edit§ion=1
PROCESO
Señalar cada proposición atómica con una A y cada proposición molecular con una M.
Escribir junto a cada proposición molecular el término de enlace utilizado.
a) La comida será hoy a las cuatro en punto. ( )…………………………
b) La música es muy suave o la puerta está cerrada. ( )……………………
c) Al perro le gusta cazar gatos. ( ) ……………………….
d) Si María canta entonces es feliz ( ) ……………………
e) Los estudiantes del primer semestre estudian Lógica. ( ) ……………..
f) A las focas no les crece el pelo. ( ) ……………………
g) Hoy es sábado y no hay clases. ( ) ……………………
h) X = 2 ( ) ………………………….
i) Empieza la primavera. ( ) ………………………………
j) Juan tiene razón o estamos confundidos respecto a la hora del examen. ( ) ………
k) En el mes de junio empieza el invierno en el hemisferio sur. ( ) ………………….
l) La cena se servirá a las 20:30 horas. ( ) ……………………..
m) Si hoy es miércoles, entonces tengo clases de Matemática. ( ) ………………
n) No sucedió el día martes. ( ) ………………………..
o) Este número es mayor que 2 y menor que 0. ( ) ………………………..
p) El jueves viajaré al Brasil. ( ) ………………………..
q) No hace mucho calor. ( ) ………………………..
r) x = 0 o y = 4. ( ) ………………………………
s) Si y solo si estudio durante la semana, podré ir a la discoteca el sábado. ( ) ………
t) Paraguay es un país mediterráneo. ( ) …………………………..
u) José es mi hermano mayor y Luisa mi hermana menor. ( ) ……………………..
v) Si x + y = 3 , entonces es una ecuación de primer grado. ( ) ……………………
w) x + y = y + x . ( ) ………………
x) Este número es mayor que 3 o igual a 3. ( ) …………………….
y) Ha llegado el verano y los días son más largos. ( ) ………………………..
Completar las proposiciones siguientes eligiendo de entre las palabras escritas al final laque
está definida por la proposición dada
a) La proposición molecular que utiliza el término de enlace ”y” es una …………………………..
b) La proposición molecular que utiliza el término de enlace ”no” es una ……………………….
c) La combinación de una o más proposiciones con un término de enlace de
proposiciones se denomina……………………………………….
https://www.ecured.cu/Proposici%C3%B3n_l%C3%B3gica
https://es.wikiversity.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_proposicional/Proposiciones&action=edit§ion=1
https://es.wikiversity.org/w/index.php?title=L%C3%B3gica_proposicional/Proposiciones&action=edit§ion=1
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132
d) En Lógica una proposición completa que no tiene término de enlace se
denomina……………………………………….
e) La proposición molecular que utiliza el término de enlace ”si,,,,,,entonces” es una
……………………………
f) La proposición molecular que utiliza el término de enlace ”o” es una ………………..
g) La proposición situada después del término de enlace en una proposición condicional
se denomina ……………………………
h) La proposición situada después del término de enlace en una proposición condicional
se denomina ……………………………
Junto a cada proposición molecular escrita a continuación se ha puesto el nombre del
tipo de proposición molecular a la que pertenece. Poner adecuadamente los paréntesis.
1. Conjunción SQR 2. Condicional SPQ
3. Negación SP 4. Disjunción SPQ
5. Condicional QP 6. Conjunción TQP
7. Bicondicional SRQ 8. Conjunción QST
9. Disjunción RQP 10. Condicional TQP
11. Disjunción TQP 12. Negación RQ
13. Condicional SRQ 14. Negación TR
15. Bicondicional RQP
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