A)

Para resolver as equações vamos separar em um dos membros os termos com incógnita e reduzir ambos os membros à mesma base.

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Aplicando esse raciocínio:

\[\eqalign{ {10^x} \cdot {10^{x + 2}} &= 1000\cr{10^{2x + 2}} &= {10^3}\cr2x + 2 &= 3\crx &= \dfrac{1}{2} }\]

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Portanto, \(\boxed{x = \dfrac{1}{2}}\).

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B)

Aplicando o mesmo raciocínio:

\[\eqalign{ {\left( {\sqrt {10} } \right)^x} \cdot {\left( {0,01} \right)^{4x - 1}} &= \dfrac{1}{{1000}}\cr{10^{x/2}} \cdot {10^{ - 2(4x - 1)}} &= {10^{ - 3}}\cr{10^{ - 15x/2 + 2}} &= {10^{ - 3}}\cr- \dfrac{{15}}{2}x &= - 5\crx &= \dfrac{{10}}{{15}} }\]

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Portanto, \(\boxed{x = \dfrac{{10}}{{15}}}\).

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C)

Analogamente:

\[\eqalign{ {2^{4x + 1}} \cdot {8^{ - x + 3}} &= 1/16\cr{2^{4x + 1}} \cdot {2^{3\left( { - x + 3} \right)}} &= {2^{ - 4}}\cr{2^{x + 10}} &= {2^{ - 4}}\crx + 10 &= - 4\crx &= - 14 }\]

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Portanto, \(\boxed{x = - 14}\).

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D)

Analogamente:

\[\eqalign{ {\left( {1/9} \right)^{{x^2} - 1}} \cdot {27^{1 - x}} &= {3^{2x + 7}}\cr{3^{ - 2\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cdot {3^{3\left( {1 - x} \right)}} &= {3^{2x + 7}}\cr{3^{ - 2{x^2} + 5 - 3x}} &= {3^{2x + 7}}\cr- 2{x^2} + 5 - 3x &= 2x + 7\cr2{x^2} + 5x + 2 &= 0 }\]

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Resolvendo a equação do 2º grau, temos \(x = - 2\) ou \(x = - \dfrac{1}{2}\).

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Portanto, \(\boxed{x = - 2}\) ou \(\boxed{x = - \dfrac{1}{2}}\).