Vamos analisar o problema passo a passo. As palavras são: BEM e BARATO. Letras envolvidas: B, E, M, B, A, R, A, T, O Note que a senha deve ter 9 caracteres, usando todas as letras dessas duas palavras. Letras e suas quantidades: - B: 2 vezes - E: 1 vez - M: 1 vez - A: 2 vezes - R: 1 vez - T: 1 vez - O: 1 vez Total: 9 letras. --- a) Quantas senhas distintas ele pode criar? Número total de permutações das 9 letras, considerando as repetições: \[ \frac{9!}{2! \times 2!} = \frac{362880}{4} = 90720 \] --- b) Quantas senhas distintas ele pode criar começando com vogal? Vogais: A, E, A, O (total 4 vogais, sendo A repetida 2 vezes) Primeiro, fixamos a primeira letra como vogal. Vamos analisar as possibilidades para a primeira letra: - Se a primeira letra for A (tem 2 A's, então 2 possibilidades para a primeira posição): Restam 8 letras: B (2), E (1), M (1), A (1), R (1), T (1), O (1) Número de permutações das 8 letras restantes: \[ \frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160 \] Como temos 2 A's para a primeira posição, multiplicamos por 2: \[ 2 \times 20160 = 40320 \] - Se a primeira letra for E (1 vez): Restam 8 letras: B (2), M (1), A (2), R (1), T (1), O (1) Número de permutações: \[ \frac{8!}{2!} = 20160 \] - Se a primeira letra for O (1 vez): Restam 8 letras: B (2), E (1), M (1), A (2), R (1), T (1) Número de permutações: \[ \frac{8!}{2! \times 2!} = \frac{40320}{4} = 10080 \] Somando todas as possibilidades: \[ 40320 + 20160 + 10080 = 70560 \] --- c) Quantas senhas distintas ele pode criar de forma que as letras B, E e M estejam juntas, assim como as letras B, A, R, A, T e O? Aqui, temos dois grupos que devem ficar juntos: - Grupo 1: B, E, M (3 letras) - Grupo 2: B, A, R, A, T, O (6 letras) Como as letras B aparecem duas vezes, uma em cada grupo, isso é importante para o cálculo. Vamos considerar os dois grupos como blocos: - Bloco 1: BEM (3 letras) - Bloco 2: BARATO (6 letras) Agora, temos 2 blocos para permutar. Número de formas de permutar os blocos: 2! = 2 Dentro do bloco 1 (BEM): As letras são B, E, M, todas diferentes. Número de permutações: 3! = 6 Dentro do bloco 2 (BARATO): Letras: B, A, R, A, T, O Repetição de A: 2 vezes Número de permutações: \[ \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360 \] Multiplicando tudo: \[ 2! \times 6 \times 360 = 2 \times 6 \times 360 = 4320 \] --- Respostas finais: a) 90.720 senhas distintas. b) 70.560 senhas distintas começando com vogal. c) 4.320 senhas distintas com os grupos BEM e BARATO juntos.