Para resolver essa questão, precisamos calcular as derivadas parciais da função \( f(x, y) = 1000 - 0,15625x^2 - 0,1y^2 \) em relação a \( x \) e \( y \) para determinar as taxas de variação. 1. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -0,2y \] Avaliando em \( y = 50 \): \[ f_y(64, 50) = -0,2 \times 50 = -10 \] Isso significa que a taxa de variação em relação à direção norte (eixo \( y \)) é de -10 metros. Portanto, a afirmativa I está incorreta. 2. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = -0,3125x \] Avaliando em \( x = 64 \): \[ f_x(64, 50) = -0,3125 \times 64 = -20 \] Isso significa que a taxa de variação em relação à direção leste (eixo \( x \)) é de -20 metros. Portanto, a afirmativa II está correta. 3. Taxa de variação na direção sudoeste: O vetor na direção sudoeste é \( \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \). A taxa de variação na direção de um vetor unitário \( \mathbf{u} = (u_1, u_2) \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}}f = f_x u_1 + f_y u_2 \] Substituindo \( u_1 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) e \( u_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \): \[ D_{\mathbf{u}}f = (-20) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + (-10) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{20}{\sqrt{2}} + \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} \approx 21,2 \] Portanto, a afirmativa III está correta. Resumindo: - I: Incorreta - II: Correta - III: Correta A alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: b) II e III.