Para resolver a equação diferencial \( y'' - 2y' + 5y = 0 \) usando a transformada de Laplace, vamos seguir os passos: 1. Transformada de Laplace: Aplicamos a transformada de Laplace na equação. Lembrando que: - \( \mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s) \) - \( \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0) \) - \( \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) \) 2. Substituindo as condições iniciais: - \( y(0) = 0 \) - \( y'(0) = 1 \) Assim, a transformada de Laplace da equação se torna: \[ s^2Y(s) - s \cdot 0 - 1 - 2(sY(s) - 0) + 5Y(s) = 0 \] Simplificando, temos: \[ s^2Y(s) - 1 - 2sY(s) + 5Y(s) = 0 \] \[ (s^2 - 2s + 5)Y(s) = 1 \] \[ Y(s) = \frac{1}{s^2 - 2s + 5} \] 3. Fatorando o denominador: O denominador pode ser reescrito como: \[ s^2 - 2s + 5 = (s - 1)^2 + 4 \] 4. Transformada inversa de Laplace: A forma \( \frac{1}{(s - 1)^2 + 2^2} \) é reconhecível como a transformada de Laplace de \( e^{at} \sin(bt) \). Assim, temos: \[ Y(s) = \frac{1}{(s - 1)^2 + 2^2} \Rightarrow y(t) = e^{1t} \cdot \frac{1}{2} \sin(2t) \] Portanto, a solução é: \[ y(t) = \frac{1}{2} e^{t} \sin(2t) \] 5. Analisando as alternativas: a) \( 12 \cdot e^{t} \cdot \sin(2t) \) - Incorreto (fator 12) b) \( 12 \cdot \sin(5t) \) - Incorreto (não tem \( e^{t} \) e a frequência está errada) c) \( t^2 \cdot e^{t} \cdot \sin(2t) \) - Incorreto (não tem \( t^2 \)) d) \( 52 \cdot e^{3t} \cdot \sin(2t) \) - Incorreto (fator 52 e \( e^{3t} \) está errado) e) \( 17 \cdot e^{t} \cdot \sin(4t) \) - Incorreto (fator 17 e frequência errada) Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde à solução correta. A solução correta é \( \frac{1}{2} e^{t} \sin(2t) \). Você pode precisar revisar as opções ou verificar se há um erro nas alternativas fornecidas.