Para resolver essa questão, vamos definir algumas variáveis e usar um modelo de mistura. 1. Dados iniciais: - Volume da sala (V) = 180 m³ - Concentração inicial de CO₂ = 0,15% = 0,0015 (em fração) - Concentração do ar fresco = 0,05% = 0,0005 (em fração) - Taxa de entrada e saída de ar = 2 m³/min 2. Cálculo da quantidade inicial de CO₂: - Quantidade inicial de CO₂ = V * concentração inicial = 180 m³ * 0,0015 = 0,27 m³ de CO₂. 3. Modelo de mistura: - A cada minuto, 2 m³ de ar entram e 2 m³ de ar saem. Portanto, a quantidade de CO₂ na sala muda com o tempo. - A quantidade de CO₂ que entra a cada minuto = 2 m³ * 0,0005 = 0,001 m³. - A quantidade de CO₂ que sai a cada minuto depende da concentração atual na sala. 4. Equação diferencial: - Seja \( C(t) \) a concentração de CO₂ na sala em função do tempo \( t \) (em minutos). - A quantidade de CO₂ na sala em função do tempo é \( Q(t) = V * C(t) \). - A taxa de variação da quantidade de CO₂ é dada por: \[ \frac{dQ}{dt} = \text{CO₂ que entra} - \text{CO₂ que sai} \] \[ \frac{dQ}{dt} = 0,001 - \frac{Q(t)}{V} \cdot \text{taxa de saída} \] \[ \frac{dQ}{dt} = 0,001 - \frac{Q(t)}{180} \cdot 2 \] \[ \frac{dQ}{dt} = 0,001 - \frac{2Q(t)}{180} \] 5. Resolvendo a equação: - Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando métodos padrão. A solução geral terá a forma: \[ C(t) = C_{ss} + (C(0) - C_{ss}) e^{-kt} \] - Onde \( C_{ss} \) é a concentração de estado estacionário e \( k \) é uma constante relacionada à taxa de saída. 6. Estado estacionário: - No estado estacionário, \( \frac{dQ}{dt} = 0 \): \[ 0 = 0,001 - \frac{2Q_{ss}}{180} \] \[ Q_{ss} = 0,001 \cdot \frac{180}{2} = 0,09 \text{ m³ de CO₂} \] - Portanto, a concentração de CO₂ no estado estacionário será: \[ C_{ss} = \frac{0,09}{180} \approx 0,0005 \text{ ou } 0,05\% \] 7. Conclusão: - A porcentagem de dióxido de carbono na sala como função do tempo tende a 0,05% a longo prazo, que é a concentração do ar fresco que está entrando. Assim, a longo prazo, a concentração de CO₂ na sala se estabiliza em 0,05%.