Considere o sinal discreto de entrada em um sistema, descrito por:$$x[n] = \delta[n] + 2\delta[n - 1]$$A resposta ao impulso do sinal é definida por:$

Question

Considere o sinal discreto de entrada em um sistema, descrito por:$$x[n] = \delta[n] + 2\delta[n - 1]$$A resposta ao impulso do sinal é definida por:$$h[n] = 2\delta[n + 1] + 2\delta[n - 1]$$Calcule a convolução de $x[n]$ por $h[n]$, que é dada pela equação:$$y[n] = x[n] * h[n]$$

Ed · Answer

Para calcular a convolução $ y[n] = x[n] * h[n] $, onde:

- $ x[n] = \delta[n] + 2\delta[n - 1] $
- $ h[n] = 2\delta[n + 1] + 2\delta[n - 1] $

Usamos a definição de convolução para sinais discretos:

$$
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k]
$$

Substituindo $ x[k] $ e $ h[n - k] $:

$$
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left( \delta[k] + 2\delta[k - 1] \right) \left( 2\delta[n - k + 1] + 2\delta[n - k - 1] \right)
$$

Agora, vamos calcular cada parte da soma:

1. Para $ \delta[k] $:
   $$
   y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[k] \cdot (2\delta[n - k + 1] + 2\delta[n - k - 1]) = 2\delta[n + 1] + 2\delta[n - 1]
   $$

2. Para $ 2\delta[k - 1] $:
   $$
   y[n] = 2 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta[k - 1] \cdot (2\delta[n - k + 1] + 2\delta[n - k - 1])
   $$
   Substituindo $ k = 1 $:
   $$
   = 2(2\delta[n - 1 + 1] + 2\delta[n - 1 - 1]) = 2(2\delta[n] + 2\delta[n - 2]) = 4\delta[n] + 4\delta[n - 2]
   $$

Agora, somando os resultados:

$$
y[n] = (2\delta[n + 1] + 2\delta[n - 1]) + (4\delta[n] + 4\delta[n - 2])
$$

Portanto, a resposta final da convolução é:

$$
y[n] = 4\delta[n] + 2\delta[n + 1] + 2\delta[n - 1] + 4\delta[n - 2]
$$

Análise de Sinais e Sistemas

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