Para resolver a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \) e encontrar uma solução que atenda às condições iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 4 \), vamos seguir os passos: 1. Identificar a solução geral: A equação característica associada é \( r^2 + 4 = 0 \), cujas raízes são \( r = 2i \) e \( r = -2i \). Portanto, a solução geral da equação diferencial é: \[ y(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) \] 2. Derivar a solução: A derivada da solução é: \[ y'(t) = -2C_1 \sin(2t) + 2C_2 \cos(2t) \] 3. Aplicar as condições iniciais: - Para \( y(0) = 1 \): \[ C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = 1 \] - Para \( y'(0) = 4 \): \[ -2C_1 \sin(0) + 2C_2 \cos(0) = 2C_2 = 4 \implies C_2 = 2 \] 4. Substituir os valores de \( C_1 \) e \( C_2 \): \[ y(t) = 1 \cdot \cos(2t) + 2 \cdot \sin(2t) = \cos(2t) + 2\sin(2t) \] Portanto, a solução que atende às condições iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 4 \) é: \[ y(t) = \cos(2t) + 2\sin(2t) \]