Determine a derivada da função f ( x ) = x 2 sen x em x = π .

Para determinar a derivada da função \( f(x) = x^2 \sen(x) \) em \( x = \pi \), vamos usar a regra do produto. A derivada de \( f(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] onde \( u = x^2 \) e \( v = \sen(x) \). Calculando as derivadas: 1. \( u' = 2x \) 2. \( v' = \cos(x) \) Agora, aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2x)(\sen(x)) + (x^2)(\cos(x)) \] Agora, substituímos \( x = \pi \): \[ f'(\pi) = (2\pi)(\sen(\pi)) + (\pi^2)(\cos(\pi)) \] Sabemos que \( \sen(\pi) = 0 \) e \( \cos(\pi) = -1 \): \[ f'(\pi) = (2\pi)(0) + (\pi^2)(-1) = 0 - \pi^2 = -\pi^2 \] Portanto, a derivada da função \( f(x) = x^2 \sen(x) \) em \( x = \pi \) é: \[ f'(\pi) = -\pi^2 \]