Vamos analisar cada afirmativa sobre a fatoração de \(50!\) usando o teorema de Legendre: I- É composto por 14 números primos. Para determinar quantos números primos estão presentes na fatoração de \(50!\), precisamos contar todos os primos menores ou iguais a 50. Os primos até 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Totalizando 15 primos. Portanto, essa afirmativa é falsa. II- A potência do primo 5 é 12. Para calcular a potência de 5 em \(50!\), usamos a fórmula de Legendre: \[ \text{Ep}(5) = \left\lfloor \frac{50}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{25} \right\rfloor = 10 + 2 = 12. \] Essa afirmativa é verdadeira. III- A potência dos primos acima do 23 são todos 1. Os primos acima de 23 até 50 são: 29, 31, 37, 41, 43, 47. Vamos calcular a potência de cada um: - Para 29: \(\left\lfloor \frac{50}{29} \right\rfloor = 1\) - Para 31: \(\left\lfloor \frac{50}{31} \right\rfloor = 1\) - Para 37: \(\left\lfloor \frac{50}{37} \right\rfloor = 1\) - Para 41: \(\left\lfloor \frac{50}{41} \right\rfloor = 1\) - Para 43: \(\left\lfloor \frac{50}{43} \right\rfloor = 1\) - Para 47: \(\left\lfloor \frac{50}{47} \right\rfloor = 1\) Portanto, a potência de todos esses primos é 1. Essa afirmativa é verdadeira. IV- A potência do primo 7 é 7. Calculando a potência de 7 em \(50!\): \[ \text{Ep}(7) = \left\lfloor \frac{50}{7} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{50}{49} \right\rfloor = 7 + 1 = 8. \] Portanto, essa afirmativa é falsa. Agora, resumindo: - I: Falsa - II: Verdadeira - III: Verdadeira - IV: Falsa A alternativa correta que contém todos os itens verdadeiros é: B) As afirmativas II e III estão corretas.