Para resolver o problema, precisamos calcular a área sob a curva da função \( f(x) = 12x - x^2 \) no intervalo de 1 até \( b \), onde \( b \) tende ao infinito. Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a função cruza o eixo x, ou seja, onde \( f(x) = 0 \): \[ 12x - x^2 = 0 \] \[ x(12 - x) = 0 \] Os zeros da função são \( x = 0 \) e \( x = 12 \). Portanto, a função é positiva no intervalo \( (0, 12) \). Agora, vamos calcular a integral de \( f(x) \) de 1 até 12, pois a área a partir de 12 até o infinito será zero (a função se torna negativa após \( x = 12 \)): \[ \int_1^{12} (12x - x^2) \, dx \] Calculando a integral: \[ \int (12x - x^2) \, dx = 6x^2 - \frac{x^3}{3} + C \] Agora, avaliamos a integral de 1 a 12: \[ \left[ 6x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_1^{12} \] Calculando em \( x = 12 \): \[ 6(12^2) - \frac{12^3}{3} = 6(144) - \frac{1728}{3} = 864 - 576 = 288 \] Calculando em \( x = 1 \): \[ 6(1^2) - \frac{1^3}{3} = 6 - \frac{1}{3} = 6 - 0.333 = 5.667 \] Agora, subtraímos os resultados: \[ 288 - 5.667 = 282.333 \] Como a pergunta pede a área limitada pela função e as alternativas são números inteiros ou simples, parece que houve um erro na interpretação ou na formulação da questão. Entretanto, se considerarmos a área total e as opções dadas, a resposta correta não está clara entre as opções apresentadas. Por favor, verifique se a função ou os limites estão corretos, pois a área calculada não corresponde a nenhuma das alternativas. Se precisar de mais ajuda, você terá que criar uma nova pergunta.