Para resolver essa questão, precisamos aplicar o método de Decomposição LU ao sistema linear dado. A matriz \( A \) do sistema é: \[ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} \] A matriz \( L \) (Lower) e a matriz \( U \) (Upper) são formadas de tal maneira que \( A = LU \). A matriz \( U \) já está parcialmente preenchida: \[ U = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & a & ? \\ 0 & 0 & ? \end{bmatrix} \] Para encontrar o valor de \( a \), precisamos fazer a eliminação de Gauss. O primeiro passo é transformar a segunda linha da matriz \( A \) para que o primeiro elemento se torne zero. Para isso, subtraímos \( \frac{1}{3} \) da primeira linha da segunda linha: 1. A primeira linha permanece a mesma: \( 3x + 2y + 4z = 1 \). 2. A segunda linha se torna: \( 1 - \frac{1}{3}(3) = 0 \), \( 1 - \frac{1}{3}(2) = \frac{1}{3} \), \( 2 - \frac{1}{3}(4) = \frac{2}{3} \). Assim, a segunda linha se transforma em: \[ 0x + \frac{1}{3}y + \frac{2}{3}z = \frac{5}{3} \] Agora, para a terceira linha, subtraímos \( \frac{4}{3} \) da primeira linha: 3. A terceira linha se torna: \( 4 - \frac{4}{3}(3) = 0 \), \( 3 - \frac{4}{3}(2) = \frac{1}{3} \), \( 2 - \frac{4}{3}(4) = -\frac{10}{3} \). Assim, a terceira linha se transforma em: \[ 0x + \frac{1}{3}y - \frac{10}{3}z = -\frac{10}{3} \] Portanto, a matriz \( U \) se torna: \[ U = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & ? \end{bmatrix} \] Assim, o valor de \( a \) que corresponde à segunda linha da matriz \( U \) é \( \frac{1}{3} \). Portanto, a alternativa correta é: d) \( \frac{1}{3} \).