Para calcular o volume do elipsoide definido pela equação \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1\), podemos usar uma mudança de variáveis. A mudança de variáveis mais comum é: \[ x = a u, \quad y = b v, \quad z = c w \] onde \(u\), \(v\) e \(w\) variam de \(-1\) a \(1\). Com essa mudança, a equação do elipsoide se transforma em: \[ u^2 + v^2 + w^2 \leq 1 \] que é a equação de uma esfera de raio 1. O volume do elipsoide pode ser encontrado através da integral tripla: \[ V = \iiint_{E} dV \] onde \(E\) é a região definida pela nova equação. O jacobiano da transformação é dado por: \[ \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \right| = abc \] Assim, o volume do elipsoide é: \[ V = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} abc \, du \, dv \, dw \] No entanto, como estamos integrando sobre a esfera, podemos usar coordenadas esféricas: \[ u = r \sin \theta \cos \phi, \quad v = r \sin \theta \sin \phi, \quad w = r \cos \theta \] onde \(r\) varia de \(0\) a \(1\), \(\theta\) de \(0\) a \(\pi\) e \(\phi\) de \(0\) a \(2\pi\). O volume em coordenadas esféricas é: \[ V = abc \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] Calculando a integral: 1. A integral em \(r\): \[ \int_{0}^{1} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \] 2. A integral em \(\theta\): \[ \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta = 2 \] 3. A integral em \(\phi\): \[ \int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi \] Portanto, o volume total é: \[ V = abc \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3} abc \] Assim, o volume do elipsoide é: \[ V = \frac{4\pi}{3} abc \]