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Geometria Analítica

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Existem várias abordagens para calcular a área de um triângulo, mas um método comum em Geometria Analítica é utilizando o método do determinante. Nesse método, montamos uma matriz 3x3, onde a primeira coluna contém as coordenadas x dos vértices, a segunda coluna contém as coordenadas y correspondentes e a terceira coluna é preenchida com o valor 1. Ao tomar a metade do valor absoluto do determinante dessa matriz, obtemos a área do triângulo.
Sendo assim, qual das alternativas apresenta a área do triângulo definido pelos pontos A(3, 1), B(-1, 3) e C(-2, -1):
A A área do triângulo é igual a 9 unidades de área (ua).
B A área do triângulo é igual a 12 unidades de área (ua).
C A área do triângulo é igual a 6 unidades de área (ua).
D A área do triângulo é igual a 18 unidades de área (ua).

Exercícios Para o Aprendizado

há 2 semanas

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Avaliação I - Individual - Geometria Analítica - MAT20

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Uniasselvi

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Ed

há 2 semanas

Para calcular a área do triângulo definido pelos pontos A(3, 1), B(-1, 3) e C(-2, -1) usando o método do determinante, montamos a matriz 3x3 da seguinte forma: \[ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ = 3 \cdot (3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - 1 \cdot (-1 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + 1 \cdot (-1 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2)) \] \[ = 3 \cdot (3 + 1) - 1 \cdot (-1 + 2) + 1 \cdot (1 + 6) \] \[ = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot 7 \] \[ = 12 - 1 + 7 = 18 \] Agora, para encontrar a área do triângulo, tomamos a metade do valor absoluto do determinante: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \cdot |18| = 9 \text{ unidades de área (ua)} \] Portanto, a alternativa correta é: A A área do triângulo é igual a 9 unidades de área (ua).

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Quando citamos os pontos do plano cartesiano, ao falarmos dos valores da coordenada X, nos referimos a eles como "abscissas" e aos valores da coordenada Y como "ordenadas". Quando analisamos o ponto onde o gráfico de uma função corta o eixo X, temos uma raiz da função, e ao analisar o ponto onde há o corte no eixo Y, temos o valor do coeficiente linear. Percebemos desta forma que podemos ter acesso a diversas informações das características de uma função apenas sabendo os valores das "abscissas" e "ordenadas".
Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) A reta y = x + 1 tem raiz no ponto (0, 1). ( ) O par ordenado (2, 3) pertence à reta y = x + 2. ( ) O par ordenado (1, 2) pertence à reta y = x + 1. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - V.
B F - F - V.
C V - F - F.
D V - V - F.

A Geometria Analítica, pelo fato de estudar graficamente conceitos algébricos, permite-nos realizar análises que anteriormente não poderiam ser confirmadas na prática. Em vários casos, para verificar a correção de alguns cálculos, construir graficamente a situação é bastante importante.
Nesse sentido, se afirmarmos que o ponto P(2, b) está distante do ponto A(-1, 2) em 5 unidades, com relação à ordenada do ponto P, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) As possibilidades para b são b = 6 e b = -2. ( ) Há apenas uma possibilidade para b. ( ) A distância entre as possibilidades de b é de 8 unidades. ( ) O valor de b pertence a reta x = 2. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V – F – V – V
B F – V – F – F
C V – F – F – V
D F – V – V – F

A equação segmentada da reta x/p + y/q = 1, é uma forma simplificada de representar uma reta, fornecendo informações sobre os interceptos nos eixos coordenados e a inclinação com base nos coeficientes. Essa equação é útil para visualizar diretamente a relação linear entre as coordenadas x e y, facilitando a análise e compreensão das características da reta no plano cartesiano.
Com base nestas informações, sendo a reta r: 2x - 5y + 10 = 0 e sua representação na forma segmentada, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) Encontraremos p = 5, que representa onde a reta corta o eixo das abscissas. ( ) A reta não intercepta o eixo das ordenadas em um ponto negativo. ( ) A equação segmentada da reta será dada por x/5 + y/(-2) = 1. ( ) É possível determinar se a reta passa pela origem do plano cartesiano. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - V - F - V.
C V - F - V - V.
D V - V - F - F.

Uma bissetriz é uma reta que divide um ângulo em duas partes iguais. No caso do plano cartesiano, temos quatro bissetrizes que se resumem a apenas duas, a bissetriz dos quadrantes ímpares e a bissetriz dos quadrantes pares, pois atravessam simultaneamente ambos os quadrantes. Cada uma delas, passa pelo centro do plano e divide cada um dos ângulos retos em partes iguais.
Como base nestas informações é possível definir a reta que representa cada uma das bissetrizes, desta forma, analise cada uma das sentenças a seguir: I. A bissetriz dos quadrantes ímpares é definida pela reta y = - x. II. O valor de m para que o ponto P(2m + 2, m + 1) pertença a bissetriz dos quadrantes pares é m = -1. III. O coeficiente angular da bissetriz dos quadrantes pares é m = - 1. IV. Não há ponto de encontro entre as bissetrizes dos quadrantes pares com a bissetrizes dos quadrantes ímpares. Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as sentenças II e IV estão corretas.
B Somente as sentenças I e IV estão corretas.
C Somente as sentenças II e III estão corretas.
D Somente as sentenças I, II e IV estão corretas.

Uma das principais aplicações da geometria analítica e, em especial, do sistema de coordenadas cartesianas e o estudo de pontos, suas características, posições e distâncias é a questão da localização.
A partir da reta determinada pelos pontos (-3, 1) e (2, -4), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) Seu coeficiente angular é m = -1. ( ) O ponto de intersecção com o eixo y é (0, -2). ( ) Como m = tg(∝), a reta possui um ângulo de 45°. ( ) A reta não corta o eixo x . Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - V.
B F - F - V - F.
C V - F - V - V.
D V - V - F - F.

O responsável pelo entrelaçamento da Geometria e a Ágebra foi René Descartes e, para tanto, se utilizava do seu sistema cartesiano para representar expressões algébricas graficamente.
Sobre como é representado um ponto P no sistema cartesiano ortogonal, assinale a alternativa CORRETA:
A Através de um número indicado no eixo horizontal, chamado de ordenada do ponto P.
B Apenas por uma letra minúscula do nosso alfabeto.
C Através de um par ordenado de números, chamado de coordenadas do ponto P.
D Através de um número indicado no eixo vertical, chamado de abscissa do ponto P.

O baricentro é um conceito da geometria que representa o ponto de equilíbrio de uma figura geométrica, considerando sua distribuição de massa ou peso. É também conhecido como centro de gravidade ou centro de massa. Para determinar o baricentro de um triângulo em geometria analítica, utilizamos o conceito de média das coordenadas dos pontos que compõem a figura geométrica.
Desta forma, sabendo que o baricentro de um triângulo está localizando no ponto G(1, 2) e que o triângulo está definido pelos pontos A(-5, 4), B(5, y) e C(x, 4) analise cada uma das sentenças a seguir: I. O ponto B está localizado no 1º quadrante. II. Ambos os valores são números inteiros. III. O valor de y é -2. IV. O ponto C está localizado no 2º quadrante. Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as sentenças II e III estão corretas.
B Somente as sentenças III e IV estão corretas.
C Somente as sentenças I e II estão corretas.
D Somente as sentenças I, II e IV estão corretas.

A distância do ponto A (3,a) ao ponto B (0,2) é igual a 3. Calcule o valor da ordenada a e assinale a alternativa CORRETA: A) 4. B) 2. C) 5. D) 3.

As equações da reta podem ser obtidas por meio das equações de primeiro grau, em que existem as variáveis x e y dentro do plano cartesiano. As principais expressões matemáticas são: equação geral, equação fundamental, equação reduzida e equação segmentária.
Sobre a equação da reta que passa pelo ponto A (1, 4) e que possui coeficiente angular igual a 2, assinale a alternativa CORRETA:
A) y = 2x - 6.
B) 2x - y + 6 = 0.
C) y = 2x + 2.
D) 2x - y - 2 = 0.