Para calcular a distância entre as retas \( r \) e \( s \), precisamos primeiro entender suas representações paramétricas. A reta \( r \) pode ser escrita como: \[ \begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = 3t \\ z = -t \end{cases} \] A reta \( s \) é dada por: \[ \begin{cases} x = -2 \\ y = 4 + t \\ z = 2 - t \end{cases} \] Agora, para encontrar a distância entre duas retas não paralelas, podemos usar a fórmula da distância entre duas retas no espaço tridimensional. A distância \( d \) entre as retas \( r \) e \( s \) é dada por: \[ d = \frac{|(\mathbf{a_2} - \mathbf{a_1}) \cdot (\mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2})|}{|\mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2}|} \] onde: - \( \mathbf{a_1} \) e \( \mathbf{a_2} \) são pontos em \( r \) e \( s \), respectivamente. - \( \mathbf{b_1} \) e \( \mathbf{b_2} \) são os vetores diretores das retas \( r \) e \( s \). Para \( r \): - Um ponto \( \mathbf{a_1} = (1, 0, 0) \) (quando \( t = 0 \)) - O vetor diretor \( \mathbf{b_1} = (2, 3, -1) \) Para \( s \): - Um ponto \( \mathbf{a_2} = (-2, 4, 2) \) - O vetor diretor \( \mathbf{b_2} = (0, 1, -1) \) Agora, calculamos \( \mathbf{a_2} - \mathbf{a_1} = (-2 - 1, 4 - 0, 2 - 0) = (-3, 4, 2) \). Em seguida, calculamos o produto vetorial \( \mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2} \): \[ \mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot -1 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(2 \cdot -1 - 0 \cdot -1) + \mathbf{k}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 3) \] \[ = \mathbf{i}(-3 + 1) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(2) = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (-2, 2, 2) \] Agora, calculamos o módulo de \( \mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2} \): \[ |\mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] Agora, calculamos o produto escalar: \[ |(\mathbf{a_2} - \mathbf{a_1}) \cdot (\mathbf{b_1} \times \mathbf{b_2})| = |(-3, 4, 2) \cdot (-2, 2, 2)| = |-3 \cdot -2 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 2| = |6 + 8 + 4| = |18| \] Finalmente, substituímos na fórmula da distância: \[ d = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \] Portanto, a distância entre as retas \( r \) e \( s \) é igual a: b. \( 3\sqrt{3} \).