Para calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço, podemos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta. A reta é definida pelos pontos A e B, e o ponto P é dado. 1. Encontrar o vetor diretor da reta: O vetor diretor \( \vec{AB} \) é dado por \( B - A \): \[ \vec{AB} = (4 - 1, 3 - 0, 0 - 1) = (3, 3, -1) \] 2. Encontrar o vetor \( \vec{AP} \): O vetor que vai de A até P é: \[ \vec{AP} = (0 - 1, 1 - 0, 5 - 1) = (-1, 1, 4) \] 3. Calcular o produto vetorial \( \vec{AP} \times \vec{AB} \): \[ \vec{AP} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 4 \\ 3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 \cdot (-1) - 4 \cdot 3) - \hat{j}(-1 \cdot (-1) - 4 \cdot 3) + \hat{k}(-1 \cdot 3 - 1 \cdot 3) \] \[ = \hat{i}(-1 - 12) - \hat{j}(1 - 12) + \hat{k}(-3 - 3) \] \[ = \hat{i}(-13) - \hat{j}(-11) + \hat{k}(-6) = (-13, 11, -6) \] 4. Calcular o módulo do produto vetorial: \[ |\vec{AP} \times \vec{AB}| = \sqrt{(-13)^2 + 11^2 + (-6)^2} = \sqrt{169 + 121 + 36} = \sqrt{326} \] 5. Calcular o módulo do vetor diretor \( \vec{AB} \): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \] 6. Calcular a distância: A distância \( d \) entre o ponto P e a reta r é dada por: \[ d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{AB}|}{|\vec{AB}|} = \frac{\sqrt{326}}{\sqrt{19}} = \sqrt{\frac{326}{19}} = \sqrt{17.1578947368421} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a. \( \frac{\sqrt{899}}{29} \) b. \( \frac{\sqrt{9622}}{17} \) c. \( \frac{\sqrt{6194}}{19} \) d. \( \frac{\sqrt{3813}}{31} \) e. \( \frac{\sqrt{407}}{11} \) Nenhuma das alternativas parece corresponder diretamente ao resultado que encontramos. Portanto, você precisa verificar os cálculos ou as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!