determine as Equação da retas assíntotas vertical contro (4,5) excentricidade 4 e eixo imaginario valendo 8

Para determinar as equações das assíntotas verticais de uma hipérbole, precisamos entender alguns conceitos. A hipérbole com centro em (h, k) e excentricidade \( e \) tem a forma geral: \[ \frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1 \] onde \( a \) é a distância do centro até os vértices e \( b \) está relacionado à excentricidade pela fórmula \( e = \frac{c}{a} \), onde \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \). Dado que o centro é (4, 5), a excentricidade é 4 e o eixo imaginário vale 8, temos: 1. O eixo imaginário (2b) é 8, então \( b = 4 \). 2. A excentricidade \( e = 4 \), então \( c = 4a \). Usando a relação \( c^2 = a^2 + b^2 \): \[ (4a)^2 = a^2 + 4^2 \] \[ 16a^2 = a^2 + 16 \] \[ 15a^2 = 16 \] \[ a^2 = \frac{16}{15} \] Agora, as assíntotas verticais da hipérbole são dadas por: \[ y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h) \] Substituindo \( h = 4 \), \( k = 5 \), \( a = \sqrt{\frac{16}{15}} \) e \( b = 4 \): \[ y - 5 = \pm \frac{\sqrt{\frac{16}{15}}}{4}(x - 4) \] Assim, as equações das assíntotas verticais são: \[ y - 5 = \pm \frac{1}{2\sqrt{15}}(x - 4) \] Essas são as equações das assíntotas verticais da hipérbole.