Dada a equação geral da hipérbole 9x²-4x²-18x-16y-43=0 encontre os focos.

Para encontrar os focos da hipérbole dada pela equação \(9x^2 - 4y^2 - 18x - 16y - 43 = 0\), vamos seguir os passos: 1. Reorganizar a equação: Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole. \[ 9x^2 - 18x - 4y^2 - 16y - 43 = 0 \] 2. Completar o quadrado: Vamos completar o quadrado para as variáveis \(x\) e \(y\). Para \(x\): \[ 9(x^2 - 2x) = 9((x - 1)^2 - 1) = 9(x - 1)^2 - 9 \] Para \(y\): \[ -4(y^2 + 4y) = -4((y + 2)^2 - 4) = -4(y + 2)^2 + 16 \] 3. Substituir na equação: \[ 9(x - 1)^2 - 9 - 4(y + 2)^2 + 16 - 43 = 0 \] \[ 9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 - 36 = 0 \] \[ 9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 = 36 \] 4. Dividir por 36: \[ \frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{(y + 2)^2}{9} = 1 \] 5. Identificar os parâmetros: Agora temos a forma padrão da hipérbole: \[ \frac{(x - 1)^2}{4} - \frac{(y + 2)^2}{9} = 1 \] Aqui, \(a^2 = 4\) e \(b^2 = 9\), então \(a = 2\) e \(b = 3\). 6. Encontrar os focos: Os focos de uma hipérbole são dados por \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\): \[ c = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] Os focos estão localizados em \((h \pm c, k)\), onde \((h, k)\) é o centro da hipérbole. O centro é \((1, -2)\). Portanto, os focos são: \[ (1 \pm \sqrt{13}, -2) \] Assim, os focos da hipérbole são \((1 + \sqrt{13}, -2)\) e \((1 - \sqrt{13}, -2)\).