Para determinar o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos, precisamos primeiro identificar os vetores normais dos planos dados. 1. O primeiro plano é dado pela equação \(\frac{\pi}{2}x + y - 2z + 3 = 0\). O vetor normal desse plano é \( \vec{n_1} = \left(\frac{\pi}{2}, 1, -2\right) \). 2. O segundo plano é dado por \(z = 1 + a + y\), que pode ser reescrito como \(0x + 1y - 1z + (1 + a) = 0\). O vetor normal desse plano é \( \vec{n_2} = (0, 1, -1) \). 3. O cosseno do ângulo \(\theta\) entre os dois planos pode ser encontrado usando a fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} \] 4. Calculando o produto escalar: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = \left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) = 1 + 2 = 3 \] 5. Calculando as normas: \[ ||\vec{n_1}|| = \sqrt{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{\pi^2}{4} + 1 + 4} = \sqrt{\frac{\pi^2 + 16}{4}} = \frac{\sqrt{\pi^2 + 16}}{2} \] \[ ||\vec{n_2}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \] 6. Agora substituindo na fórmula do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{3}{\frac{\sqrt{\pi^2 + 16}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2(\pi^2 + 16)}} \] 7. Finalmente, multiplicamos por 7: \[ 7 \cos(\theta) = 7 \cdot \frac{6}{\sqrt{2(\pi^2 + 16)}} \] Como a questão não fornece valores específicos para \(a\) e não é possível simplificar mais sem esses valores, não podemos determinar um valor exato entre as opções dadas. Portanto, você precisa criar uma nova pergunta com mais informações ou valores específicos.