Para responder a essa questão, precisamos entender a diferença entre números racionais e irracionais, especialmente em relação à representação decimal. - Números racionais são aqueles que podem ser expressos como a razão de dois inteiros (a/b), e sua representação decimal pode ser finita ou periódica (ou seja, se repete após um certo ponto). - Números irracionais, por outro lado, não podem ser expressos como uma fração de inteiros e têm uma representação decimal infinita e não periódica. Dado que a questão afirma que o número real χ só pode ser representado na forma decimal com infinitas casas decimais, isso indica que ele não pode ser um número racional (que teria uma representação decimal finita ou periódica). Agora, analisando as alternativas: a. χ é irracional - Correto, pois a representação decimal é infinita e não periódica. b. χ é racional - Incorreto, pois números racionais têm representação decimal finita ou periódica. c. χ é irracional se for uma dízima não periódica - Isso é verdade, mas não é a única condição para χ ser irracional. d. χ é racional se for uma dízima não periódica - Incorreto, pois dízimas não periódicas são irracionais. e. χ é irracional se for uma dízima periódica - Incorreto, pois dízimas periódicas são racionais. Portanto, a alternativa correta é: a. χ é irracional.