Determine o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos TT:2x+y-2z+ 3=0e =y=2+2a - y, a e y reais. z=a-y

Para determinar o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos \( TT: 2x + y - 2z + 3 = 0 \) e \( y = 2 + 2a - y \) (que pode ser reescrito como \( y = 2 + 2a \) e \( z = a - y \)), precisamos primeiro encontrar os vetores normais de cada plano. 1. Plano 1: \( 2x + y - 2z + 3 = 0 \) - O vetor normal \( \vec{n_1} = (2, 1, -2) \). 2. Plano 2: Para o plano \( y = 2 + 2a \), podemos reescrever como \( 0x + 1y + 0z - (2 + 2a) = 0 \). - O vetor normal \( \vec{n_2} = (0, 1, 0) \). 3. Cosseno do ângulo: O cosseno do ângulo \( \theta \) entre dois vetores normais é dado por: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} \] 4. Produto escalar: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2, 1, -2) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 = 1 \] 5. Normas dos vetores: \[ ||\vec{n_1}|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ ||\vec{n_2}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \] 6. Cálculo do cosseno: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} \] 7. Valor de sete vezes o cosseno: \[ 7 \cdot \cos(\theta) = 7 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \] Portanto, o valor de sete vezes o cosseno do ângulo formado entre os planos é \( \frac{7}{3} \).