Para determinar o valor de \( L \) para o qual a série de Fourier da função \( g(x) \) converge no intervalo \( -L < x < L \), precisamos considerar a continuidade e a suavidade da função. A função \( g(x) \) é definida como: - \( g(x) = 4x^2 \) para \( -L < x < 0 \) - \( g(x) = x^4 \) para \( 0 \leq x < L \) Para que a série de Fourier converja, a função deve ser contínua e, idealmente, diferenciável em todo o intervalo. Vamos analisar os pontos de junção, que são \( x = 0 \). Calculando os limites: - Para \( x \) se aproximando de 0 pela esquerda: \( g(0^-) = 4(0)^2 = 0 \) - Para \( x \) se aproximando de 0 pela direita: \( g(0^+) = (0)^4 = 0 \) A função é contínua em \( x = 0 \). Agora, precisamos verificar a suavidade. A derivada de \( g(x) \) deve ser contínua em \( x = 0 \). Calculando as derivadas: - \( g'(x) = 8x \) para \( -L < x < 0 \) (derivada de \( 4x^2 \)) - \( g'(x) = 4x^3 \) para \( 0 \leq x < L \) (derivada de \( x^4 \)) Verificando em \( x = 0 \): - \( g'(0^-) = 8(0) = 0 \) - \( g'(0^+) = 4(0)^3 = 0 \) As derivadas também são contínuas em \( x = 0 \). Portanto, a função é contínua e suavemente diferenciável em todo o intervalo \( -L < x < L \) para qualquer valor de \( L \) positivo. No entanto, para a série de Fourier convergir, é comum que \( L \) seja um valor que não cause problemas de divergência em pontos de descontinuidade ou singularidade. Dentre as opções apresentadas, a escolha mais comum e segura para garantir a convergência da série de Fourier em funções polinomiais é \( L = 2 \). Assim, a resposta correta é: B 2.