Para encontrar as derivadas parciais da função \( f(x,y) = 2x^3y^2 - 4xy^3 + 7x - 10y - 6 \), precisamos calcular \( f_x \) (derivada parcial em relação a \( x \)) e \( f_y \) (derivada parcial em relação a \( y \)). 1. Cálculo de \( f_x \): - Derivando \( f(x,y) \) em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(2x^3y^2) - \frac{\partial}{\partial x}(4xy^3) + \frac{\partial}{\partial x}(7x) - \frac{\partial}{\partial x}(10y) - \frac{\partial}{\partial x}(6) \] - Isso resulta em: \[ f_x = 6x^2y^2 - 4y^3 + 7 \] 2. Cálculo de \( f_y \): - Derivando \( f(x,y) \) em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}(2x^3y^2) - \frac{\partial}{\partial y}(4xy^3) + \frac{\partial}{\partial y}(7x) - \frac{\partial}{\partial y}(10y) - \frac{\partial}{\partial y}(6) \] - Isso resulta em: \[ f_y = 4x^3y - 12xy^2 - 10 \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( f_x = x^2y^2 - y^3 + 7 \) e \( f_y = x^3y - xy^2 - 10 \) B) \( f_x = 6x^2y^2 - 4y^3 \) e \( f_y = 4x^3y - 12xy^2 \) C) \( f_x = 12xy^2 \) e \( f_y = 4x^3 - 24xy \) D) \( f_x = 6x^2y^2 - 4y^3 + 7 \) e \( f_y = 4x^3y - 12xy^2 - 10 \) E) \( f_x = 6x^2y^2 - 4y^2 + 7 \) e \( f_y = 12x^3y^2 - 12xy - 10 \) A alternativa correta, que coincide com os resultados que encontramos, é a D: \( f_x = 6x^2y^2 - 4y^3 + 7 \) e \( f_y = 4x^3y - 12xy^2 - 10 \).