Para resolver a expressão \((2i + 2)^6 - (2 - 2i)^6\), vamos simplificar cada parte. Primeiro, podemos reescrever as expressões: 1. \(2i + 2 = 2(1 + i)\) 2. \(2 - 2i = 2(1 - i)\) Agora, elevamos cada uma ao poder 6: \[ (2(1 + i))^6 = 2^6(1 + i)^6 = 64(1 + i)^6 \] \[ (2(1 - i))^6 = 2^6(1 - i)^6 = 64(1 - i)^6 \] Agora, precisamos calcular \((1 + i)^6\) e \((1 - i)^6\). Usando a fórmula de De Moivre, sabemos que: \[ 1 + i = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \] \[ 1 - i = \sqrt{2} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \] Elevando ao poder 6: \[ (1 + i)^6 = (\sqrt{2})^6 \left( \cos\left(\frac{6\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{6\pi}{4}\right) \right) = 8 \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right) = 8(0 - i) = -8i \] \[ (1 - i)^6 = (\sqrt{2})^6 \left( \cos\left(-\frac{6\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{6\pi}{4}\right) \right) = 8 \left( \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) \right) = 8(0 + i) = 8i \] Agora, substituímos de volta: \[ (2i + 2)^6 = 64(-8i) = -512i \] \[ (2 - 2i)^6 = 64(8i) = 512i \] Agora, calculamos a expressão original: \[ (2i + 2)^6 - (2 - 2i)^6 = -512i - 512i = -1024i \] Portanto, a resposta correta é: e) -1024i.